«Η Μαγεία της Γενίκευσης στην Ευκλείδεια Γεωμετρία»

Γεώργιος Τσαπακίδης Πέτρος Σουλίδης

georgetsapakidis@yahoo.gr petrossoulidis@gmail.com

Εκπαιδευτήρια «Παναγία Προυσιώτισσα»

Ψηλογέφυρο Αγρινίου, Τ.Κ. 30100

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Σχεδόν όλα τα μαθηματικά είναι γενικεύσεις των ιδεών που περιέχονται στα

Στοιχεία του Ευκλείδη. Στην εργασία αυτή, θα περιοριστούμε σε

γενικεύσεις γνωστών προτάσεων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (Ε.Γ.) στα

πλαίσια της ίδιας της Ε.Γ.

ABSTRACT

Virtually all of mathematics are the generalizations of the ideas contained in

the Elements of Euclid. In this paper, we will limit ourselves to

generalizations of known proposals of the Euclidean Geometry to

proposals of the same geometry.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Τι σημαίνει γενίκευση μιας μαθηματικής πρότασης;

Η πρόταση p είναι μια γενίκευση της πρότασης q, αν η q προκύπτει από

την p ως ειδική περίπτωση. Γενίκευση μιας πρότασης μπορούμε να έχουμε

σε πολλαπλά επίπεδα, όπως φαίνεται στα παραδείγματα:

1ο Παράδειγμα: Θα γενικεύσουμε τη γνωστή ταυτότητα:

(𝛼 + 𝛽)2 = 𝛼2 + 2𝛼𝛽 + 𝛽2

Γενίκευση ως προς τον εκθέτη Γενίκευση ως προς το πλήθος

των προσθετέων

(𝛼 + 𝛽)𝜈 = ∑ (𝜈𝜅

)𝛼𝜈−𝜅𝛽𝜅𝜈 𝜅=0 (𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝜈)2 = ∑ 𝛼𝑖𝛼𝑗

𝜈𝑖=1𝑗=1

Γενίκευση ως προς τον εκθέτη και το πλήθος των προσθετέων

(𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝜇)𝜈 = ∑𝜈!

𝜅1! 𝜅2! … 𝜅𝜇!𝜅1+𝜅2+⋯+𝜅𝜇=𝜈

𝑎1𝑘1𝑎2

𝑘2 … 𝛼𝜇

𝜅𝜇

όπου η άθροιση επεκτείνεται σε όλες τις μ-άδες (𝜅1, 𝜅2, … , 𝜅𝜇) των μη

αρνητικών ακεραίων 𝜅1, 𝜅2, … , 𝜅𝜇 που έχουν άθροισμα ν.

2ο Παράδειγμα: 1

ο Θεώρημα Διαμέσων

𝜷𝟐 + 𝜸𝟐 = 𝟐𝝁𝜶𝟐 +

𝜶𝟐

𝟐

Γενίκευση σε τρίγωνο Γενίκευση στο τετράπλευρο

𝝂𝜷𝟐 + 𝝁𝜸𝟐 = 𝜶 ⋅ 𝜜𝜧𝟐 + 𝝂 ⋅ 𝝁 ⋅ 𝜶 𝜜𝜝𝟐 + 𝜝𝜞𝟐 + 𝜞𝜟𝟐 + 𝜟𝜜𝟐 =

(Θεώρημα Stewart) 𝜜𝜞𝟐 + 𝜝𝜟𝟐 + 𝟒𝜧𝜨𝟐

όπου Μ, Ν μέσα των ΑΓ, ΒΔ

(Θεώρημα Euler)

Το Θεώρημα Stewart είναι γενίκευση του Θεωρήματος των Διαμέσων,

γιατί για 𝜈 = 𝜇 =𝛼

2 δίνει:

𝜶

𝟐⋅ 𝜷𝟐 +

𝒂

𝟐⋅ 𝜸𝟐 = 𝜶 ⋅ 𝜜𝜧𝟐 +

𝜶𝟐

𝟒⋅ 𝜶 ⇔ 𝜷𝟐 + 𝜸𝟐 = 𝟐𝝁𝜶

𝟐 +𝜶𝟐

𝟐

Το Θεώρημα του Euler είναι γενίκευση του Θεωρήματος Διαμέσων,

γιατί αν το Δ συμπέσει με το Β θα έχουμε

𝛥𝛢 = 𝛣𝛢, 𝛥𝛤 = 𝛣𝛤 και 𝛮𝛭 = 𝛣𝑁 και έτσι η σχέση του Euler

μετατρέπεται στην:

𝟐𝜜𝜝𝟐 + 𝟐𝜝𝜞𝟐 = 𝜜𝜞𝟐 + 𝟎𝟐 + 𝟒𝜝𝑵𝟐 ⇔ 𝜜𝜝𝟐 + 𝜝𝜞𝟐 = 𝟐𝜝𝑵𝟐 +𝜜𝜞𝟐

𝟐

που είναι το Θεώρημα των Διαμέσων στο τρίγωνο ΑΒΓ.

Στη συνέχεια θα προχωρήσουμε σε γνωστές ή λιγότερο γνωστές γενικεύσεις

προτάσεων της Ε.Γ. στο επίπεδο ή τον τριδιάστατο χώρο.

Α. Γενικεύσεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Κάθε αναφορά στην Ε.Γ. δεν μπορεί παρά να αρχίζει με το διασημότερο

θεώρημα όλων των Μαθηματικών, που είναι προφανώς το Πυθαγόρειο

Θεώρημα (Π.Θ.). Είναι γνωστές γενικεύσεις του στα Στοιχεία του

Ευκλείδη και στα σχολικά μαθηματικά με τα λεγόμενα θεωρήματα

οξείας και αμβλείας γωνίας, τα οποία συμπτίσονται στο νόμο των

συνημιτόνων. Αλλά και το Θεώρημα των Διαμέσων, το οποίο

αναφέρεται επίσης στα Στοιχεία, είναι μια γενίκευση του Π.Θ, γιατί αν

�̂� = 90o, τότε 𝜇𝛼 =𝛼

2 και η ισότητα: 𝛽2 + 𝛾2 = 2𝜇𝛼

2 +𝛼2

2 γίνεται

𝜷𝟐 + 𝜸𝟐 = 𝟐 (𝜶

𝟐)

𝟐

+𝜶𝟐

𝟐= 𝒂𝟐

Η επόμενη γενίκευση του Π.Θ. αναφέρεται στην Συναγωγή του Πάππου

(Αλεξάνδρεια 3ος

μ.Χ. αιώνας)

Αν 𝜜𝜜𝟏𝜝𝟏𝜝, 𝜝𝜝𝟐𝜞𝟏𝜞 𝛋𝛂𝛊 𝜞𝜞𝟐𝜜𝟐𝜜 είναι

παραλληλόγραμμα με 𝜝𝑩𝟐 παράλληλη

και ίση με την 𝜥𝜜, τότε:

(𝜝𝜝𝟐𝜞𝟏𝜞) =

(𝜜𝜜𝟏𝜝𝟏𝜝) + (𝜞𝜞𝟐𝜜𝟐𝜜)

( [ 14 ] σελίδα 289)

Μια άλλη γενίκευση του Π.Θ. είναι η:

Αν τα πολύγωνα 𝜫𝟏, 𝜫𝟐, 𝜫𝟑 είναι όμοια με

εμβαδά 𝜠𝟏, 𝜠𝟐, 𝜠𝟑 αντίστοιχα, τότε:

𝜠𝟏 = 𝜠𝟐 + 𝜠𝟑

( [ 14 ] σελίδα 289)

Η προηγούμενη πρόταση εξακολουθεί να ισχύει αν τα πολύγωνα

αντικατασταθούν από ημικύκλια ή όμοιες ημιελλείψεις. Οι γενικεύσεις

όλων αυτών είναι:

Αν τα σχήματα 𝜮𝟏, 𝜮𝟐 𝛋𝛂𝛊 𝜮𝟑 έχουν εμβαδά

𝜠𝟏, 𝜠𝟐, 𝜠𝟑 αντίστοιχα και τα 𝜮𝟐, 𝜮𝟑

προέκυψαν από ομοιοθεσία του 𝜮𝟏 με λόγο

ομοιοθεσίας 𝜷

𝜶,

𝜸

𝜶 αντίστοιχα, τότε:

𝜠𝟏 = 𝜠𝟐 + 𝜠𝟑

Μια απλή γενίκευση του Π.Θ. στο χώρο είναι η:

Αν το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει

μήκος 𝜶, πλάτος 𝜷 και ύψος 𝜸 τότε για τη

διαγώνιο του δ, ισχύει:

𝜹𝟐 = 𝜶𝟐 + 𝜷𝟐 + 𝜸𝟐

([ 15 ] σελίδες 27-40)

Μια άλλη γενίκευση στο χώρο είναι του Cua de Malves (Γαλλία 1783).

Αν το τετράεδρο ΟΑΒΓ είναι

τρισορθογώνιο στο Ο, τότε:

(𝜜𝜝𝜞)𝟐 = (𝜪𝜜𝜝)𝟐 + (𝜪𝜜𝜞)𝟐 + (𝜪𝜝𝜞)𝟐

([ 16 ], σελίδες 54-57)

Β. Γενικεύσεις του τύπου του Ήρωνα

Είναι γνωστό ότι στα Στοιχεία δεν υπολογίζονται εμβαδά και όγκοι μόνο

συγκρίνονται. Εκεί που γίνεται συστηματική και αυστηρή μελέτη της

μέτρησης των εμβαδών και των όγκων των σχημάτων είναι στα έργα του

Αρχιμήδη. Από αραβικές πηγές γνωρίζουμε [ 7 ] ότι ο Αρχιμήδης πρώτος

υπολόγισε το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση των πλευρών του και το

βρήκε: 𝜠 = √𝝉 ⋅ (𝝉 − 𝜶) ⋅ (𝝉 − 𝜷) ⋅ (𝝉 − 𝜸)

Ο τύπος αυτός αναφέρετε στα έργα: Μετρικά και Διοπτρικά του Ήρωνα του

Αλεξανδρέα (3ος

αιώνας μ.Χ.,σύμφωνα με τον T.L. Heath [ 7 ] σελίδα 362).

Μια γενίκευση του τύπου του Ήρωνα στο τετράπλευρο είναι ο τύπος του

Carl Anton Bretschneider (1842):

𝜠 = √(𝝉 − 𝜶) ⋅ (𝝉 − 𝜷) ⋅ (𝝉 − 𝜸) ⋅ (𝝉 − 𝜹) − 𝜶𝜷𝜸𝜹 ⋅ 𝝈𝝊𝝂𝟐 (�̂� + �̂�

𝟐)

ο οποίος για 𝛿 = 0 δίνει προφανώς τον τύπο

του Ήρωνα. Για μια απόδειξη του τύπου αυτού

μπορείτε να δείτε στο Λήμμα της Wikipedia:

Bretscneider’s Formula.

Γ. Γενίκευση του αθροίσματος των τετραγώνων των αποστάσεων του

κέντρου βάρους τριγώνου από τις κορυφές του.

Αν Θ το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ, τότε με εφαρμογή του

θεωρήματος των διαμέσων παίρνουμε εύκολα ότι:

𝜣𝜜𝟐 + 𝜣𝜝𝟐 + 𝜣𝜞𝟐 =𝟏

𝟑(𝜶𝟐 + 𝜷𝟐 + 𝜸𝟐)

Το αποτέλεσμα αυτό γενικεύθηκε από τον Leibniz ([ 14 ] σελίδα 253 ).

Αν Μ είναι τυχαίο σημείο του επιπέδου και Θ το κέντρο βάρους του

τριγώνου ΑΒΓ τότε:

𝜧𝜜𝟐 + 𝜧𝜝𝟐 + 𝜧𝜞𝟐 =

𝟑𝜧𝜣𝟐 +𝟏

𝟑(𝜶𝟐 + 𝜷𝟐 + 𝜸𝟐)

Η προηγούμενη πρόταση μπορεί να επεκταθεί στο τετράεδρο. Κέντρο

βάρους ενός τετραέδρου λέμε το σημείο

στο οποίο τέμνονται τα τμήματα που

ενώνουν τα μέσα των απέναντι ακμών

του τετραέδρου.

Αν Θ είναι το κέντρο βάρους του

τετραέδρου ΑΒΓΔ και Μ τυχαίο

σημείο του χώρου, τότε:

𝜧𝜜𝟐 + 𝜧𝜝𝟐 + 𝜧𝜞𝟐 + 𝜧𝜟𝟐 = 𝟒𝜧𝜣𝟐

+𝟏

𝟒(𝜜𝜝𝟐 + 𝜜𝜞𝟐 + 𝜜𝜟𝟐 + 𝜝𝜞𝟐 + 𝜞𝜟𝟐

+ 𝜟𝜝𝟐)

(Για μια απόδειξη στο [ 13 ] σελίδα 364)

Δ. Γενίκευση του μήκους κύκλου

Έστω (σ) ένα κυρτό περατωμένο κλειστό

σχήμα και 휀 μια ευθεία. Αν οι ευθείες

휀1, 휀2 είναι παράλληλες προς την 휀 και

κάθε μια τους έχει ένα μόνο κοινό σημείο

με το (σ), τότε την απόσταση των 휀1, 휀2

το λέμε πλάτος του (σ) κατά τη

διεύθυνση της 휀 . Αν το πλάτος ενός

σχήματος κατά οποιαδήποτε διεύθυνση

είναι το ίδιο 𝑑, τότε λέμε ότι το σχήμα

είναι σταθερού πλάτους 𝑑 . Σχήματα

σταθερού πλάτους, για παράδειγμα, είναι

ο κύκλος και το τρίγωνο του Ρελώ, το

οποίο ορίζουν τα τόξα που γράφονται με κέντρα τις κορυφές ισόπλευρου

τριγώνου και ακτίνες τις πλευρές του ( [ 11 ]

σελίδα 101).

Θεώρημα Joseph- Emile Barbier (1860)

Κάθε καμπύλη σταθερού πλάτους 𝒅 έχει μήκος

𝝅𝒅.

([ 8 ] σελίδες 157-164)

Στη περίπτωση του κύκλου είναι 𝑑 = 2𝑅, οπότε

το μήκος του είναι 𝐿 = 2𝜋𝑅.

E. Γενίκευση του Θεωρήματος του Πτολεμαίου

Ένα από τα διασημότερα θεώρηματα της Ε.Γ.

είναι το Θεώρημα του Πτολεμαίου, το οποίο

ήταν η βάση της τριγωνομετρίας που

χρησιμοποίησε ο Κλαύδιος Πτολεμαίος στο

περίφημο έργο του «Μεγάλη Σύνταξις».

Θεώρημα του Πτολεμαίου:

Σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο ισχύει:

𝜜𝜝 ⋅ 𝜞𝜟 + 𝜜𝜟 ⋅ 𝜝𝜞 = 𝜜𝜞 ⋅ 𝜝𝜟

Μια πρώτη γενίκευση του Θεωρήματος του Πτολεμαίου έγινε από τον

Carl Anton Bretschneider (1842) .([ 1 ] σελίδες 224-225):

Σε κάθε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ

πλευρών 𝜶, 𝜷, 𝜸, 𝜹 και διαγωνίων 𝒙, 𝒚 ισχύει:

𝒙𝟐𝒚𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝜷𝟐 + 𝜸𝟐 + 𝜹𝟐

−𝟐𝜶𝜷𝜸𝜹𝝈𝝊𝝂(�̂� + �̂�)

Μια δεύτερη γενίκευση έγινε από τον Jon Casey (1820-1891).

Έστω ότι οι κύκλοι

(𝜪𝟏), (𝜪𝟐), (𝜪𝟑) 𝛋𝛂𝛊(𝜪𝟒) εφάπτονται

εσωτερικά ή εξωτερικά του κύκλου (𝜪). Αν 𝜶, 𝜷, 𝜸, 𝜹 είναι τα κοινά εξωτερικά

εφαπτόμενα τμήματα των κύκλων

𝜪𝟏 − 𝜪𝟐, 𝜪𝟐 − 𝜪𝟑, 𝜪𝟑 − 𝜪𝟒 και 𝜪𝟒 −𝜪𝟏αντίστοιχα και 𝒙, 𝒚 τα κοινά εξωτερικά

εφαπτόμενα τμήματα των 𝜪𝟏 − 𝜪𝟑 και

𝜪𝟐 − 𝜪𝟒 αντίστοιχα, τότε θα ισχύει:

𝒙 ⋅ 𝒚 = 𝒂𝜸 + 𝜷𝜹

Η παραπάνω πρόταση είναι γενίκευση του Θεωρήματος του Πτολεμαίου,

γιατί αν οι ακτίνες των κύκλων Ο1, Ο2, Ο3, Ο4 γίνουν μηδενικές, οι

κύκλοι θα ταυτιστούν με σημεία του κύκλου (Ο, R) δηλαδή προκύπτει

εγγεγραμμένο τετράπλευρο. (L.Gonzalez, Casey’s Theorem and its

Applications, διαδικτυακός τόπος:http://geometry.ru/articles)

Το 1984 ο M. Benze ([ 2 ] ) γενίκευσε το Θεώρημα του Πτολεμαίου σε

κυρτό ν-γωνο 𝛢1𝛢2 … 𝛢𝜈 ως εξής:

Αν 𝜜𝟏𝜜𝟐𝜜𝟑 … 𝜜𝝂 είναι κυρτό πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο τότε

ισχύει: 𝜜𝟐𝜜𝝂

𝜜𝟏𝜜𝟐 ⋅ 𝜜𝟏𝜜𝝂 =

𝜜𝟐𝜜𝟑

𝜜𝟏𝜜𝟐 ⋅ 𝜜𝟏𝜜𝟑+

𝜜𝟑𝜜𝟒

𝜜𝟏𝜜𝟑 ⋅ 𝜜𝟏𝜜𝟒+ ⋯ +

𝜜𝝂−𝟏𝜜𝝂

𝜜𝟏𝜜𝝂−𝟏 ⋅ 𝜜𝟏𝜜𝝂

ΣΤ. Γενίκευση εμβαδού κυκλικού δακτυλίου

Έστω ο κύκλος (𝛰, 𝑅) και η χορδή

𝛢𝛣 = 𝛼 που είναι σταθερή κατά μέγεθος και Μ

σταθερό της σημείο, τέτοιο ώστε 𝛢𝛭 = 𝑥 και

𝛭𝛣 = 𝑦 . Ο τόπος του Μ, όπως εύκολα

αποδεικνύεται, είναι ο κύκλος (𝛰, √𝑅2 − 𝑥𝑦)

και το εμβαδόν του δακτυλίου που ορίζουν ο

προηγούμενος κύκλος και ο (𝛰, 𝑅) είναι:

𝜠 = 𝝅𝑹𝟐 − 𝝅 (√𝑹𝟐 − 𝒙𝒚)𝟐

= 𝝅𝒙𝒚

Ο Η. Holditch στο The Quarterly Journal of Pure and Applied

Mathematics, Vol. 2, London, 1858, σελίδα 38 γενίκευσε το

προηγούμενο αποτέλεσμα ως εξής:

Έστω 𝑪 μια κυρτή, λεία, κλειστή

καμπύλη και ΑΒ χορδή της σταθερή κατά

μέγεθος. Αν Μ σημείο της χορδής ΑΒ με

𝜜𝜧 = 𝒙 και 𝜧𝜝 = 𝒚 με 𝒙, 𝒚 σταθερά μήκη

(𝒙 + 𝒚 = 𝑨𝑩) , τότε το εμβαδόν που

περικλείεται από την 𝑪 και τον γεωμετρικό

τόπο του Μ είναι: 𝜠 = 𝝅𝒙𝒚.

Z. Γενίκευση απόστασης περίκεντρου-έγκεντρου τριγώνου

Ο Leonard Euler ( 1703-1783) απέδειξε ότι για την απόσταση 𝑑 του

περίκεντρου από το έγκεντρο τριγώνου, ισχύει:

𝒅𝟐 = 𝑹 ⋅ (𝑹 − 𝟐𝝆) ([ 14 ] σελίδα 257 )

Η σχέση αυτή μετασχηματίζεται στην: 𝟏

𝝆=

𝟏

𝑹 − 𝒅+

𝟏

𝑹 + 𝒅

Ο Nicolas Fuss (1755-1826) που ήταν μαθητής

του Euler, γενίκευσε την προηγούμενη σχέση:

Σε κάθε τετράπλευρο εγγεγραμμένο στον

(𝜪, 𝑹) και περιγεγραμμένο στον (𝜤, 𝝆) με

𝜹 = 𝜪𝜤, ισχύει: 𝟏

𝝆𝟐=

𝟏

(𝑹 − 𝒅)𝟐+

𝟏

(𝑹 + 𝒅)𝟐

([ 5 ] σελίδες 188-193 )

Η. Γενίκευση του κύκλου των εννέα σημείων

Ο κύκλος των εννέα σημείων είναι μία από τις πιο

όμορφες προτάσεις της Ε.Γ. Ως γνωστόν:

Τα μέσα των πλευρών τριγώνου, οι πόδες των

υψών του και τα μέσα των αποστάσεων του

ορθοκέντρου του από τις κορυφές του είναι

ομοκυκλικά σημεία.

Σεβιανές του σημείου Ρ στο τρίγωνο ΑΒΓ

λέμε τα ευθύγραμμα τμήματα που φέρνουμε

από τις κορυφές που περνάνε από το Ρ και

περατούνται στις ευθείες που ορίζουν οι

απέναντι πλευρές του τριγώνου.

Το 2012 ο Michael de Villiers γενίκευσε τον κύκλο των εννέα σημείων

ως εξής:

Τα μέσα των πλευρών τριγώνου , τα ίχνη των

σεβιανών εσωτερικού σημείου Ρ και τα μέσα των

αποστάσεων του Ρ από τις κορυφές του είναι

σημεία έλλειψης.

Όπως ανακάλυψε, αργότερα, η προηγούμενη

γενίκευση αναφέρεται στα: Russell.J.W. Pure

Geometry, Oxford University Press, Oxford, 1893 και Baker H.F, Principles

of Geometry , VII, Cambridge University Press, 1922.

Θ. Γενίκευση του Θεωρήματος του Ναπολέοντα

Μια από τις ωραιότερες πρότασεις της Ε.Γ. είναι το

λεγόμενο Θεώρημα του Ναπολέοντα:

Τα κέντρα των ισόπλευρων τριγώνων, που

κατασκευάζονται με πλευρές τις πλευρές τριγώνου

ΑΒΓ, που δεν έχουν κοινό μέρος με αυτό, είναι

κορυφές ισόπλευρου τριγώνου.

Η γενίκευση αυτού της πρότασης, άργησε να γίνει.

Ο Jesse Douglas το 1940 και ανεξάρτητα από αυτόν ο

B.H. Neumann το 1941 γενίκευσαν το Θεώρημα του Ναπολέοντα στο:

Στις πλευρές τυχαίου ν-γώνου και εξωτερικά του κατασκευάζουμε

όμοια ισοσκελή τρίγωνα και θεωρούμε το πολύγωνο που ορίζουν οι

κορυφές τους. Επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη διαδικασία

συνολικά ν-2 φορές. Οι κορυφές των τελικών όμοιων ισοσκελών

τριγώνων είναι κορυφές κανονικού ν-γώνου.

Για μια ακόμη φορά η ιστορία επαναλαμβάνεται. Παρ’ ότι η γενίκευση

είναι γνωστή ως Θεώρημα των Douglas-Neumann το θεώρημα είχε

ανακαλυφθεί από τον Τσέχο μαθηματικό Karel Petr το 1908 ([ 3 ] σελίδες

90-92).

Ι. Γενίκευση του Θεωρήματος του Μενελάου.

Περί τον 1ο-

2ο μ.Χ. αιώνα ο Μενέλαος ο Αλεξανδρινός έγραψε το βιβλίο

«Σφαιρικά» στο οποίο μελετάει τις ιδιότητες των σφαιρικών τριγώνων

μεταξύ των οποίων είναι και η αντίστοιχη πρόταση της:

Έστω το τρίγωνο ΑBΓ και τα σημεία Δ,

Ε, Ζ των ευθειών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα.

Τα Δ, Ε, Ζ είνια συνευθειακά, αν και μόνο αν: 𝜜𝜟

𝜟𝜝⋅

𝜝𝜡

𝜡𝜞⋅

𝜞𝜠

𝜠𝜜= 𝟏

([ 4 ] σελίδες 66-67)

Το Θεώρημα του Μενελάου γενικεύεται στο επίπεδο τετράπλευρο και το

στρεβλό τετράπλευρο του χώρου [ 6 ].

Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ καιτα

σημεία Ε, Ζ, Η και Θ των ευθειών ΑΒ,

ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα Αν τα Ε, Ζ, Η,

Θ είναι συνευθειακά, τότε:

𝜜𝜣

𝜣𝜟⋅

𝜟𝜢

𝜢𝜞⋅

𝜞𝜡

𝜡𝜝⋅

𝜝𝜠

𝜠𝜜= 𝟏

Έστω στρεβλό τετράπλευρο

ΑΒΓΔ. Αν τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν των

ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα είναι

συνεπίπεδα, τότε: 𝜜𝜥

𝜥𝜝⋅

𝜝𝜦

𝜦𝜞⋅

𝜞𝜧

𝜧𝜟⋅

𝜟𝜨

𝜨𝜜= 𝟏

ΙΑ. Γενίκευση του Θεωρήματος Ceva.

Ο Ιταλός Γεωμέτρης Giovanni Ceva (1648-1734) στο έργο του «De

lineis rectis se invicem secantibus static

construction» περιέχεται και το φερώνυμο

θεώρημα:

Έστω τα σημεία Δ, Ε και Ζ των πλευρών ΒΓ,

ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ. Οι

ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ συντρέχουν αν και μόνο αν: 𝜜𝜡

𝜡𝜝⋅

𝜝𝜟

𝜟𝜞⋅

𝜞𝜠

𝜠𝜜= 𝟏

([ 14 ] σελίδα 246)

Γενίκευση στον κύκλο

Οι χορδές ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ του κύκλου (Ο,R)

συντρέχουν αν και μόνον αν: 𝜜𝜝

𝜝𝜞⋅

𝜞𝜟

𝜟𝜠⋅

𝜠𝜡

𝜡𝜜= 𝟏

(Stanley,Rabinowitz, The Seven Circles Theorem,

Pi Mu Epsilon Journal, 8(1987) 441-449)

Γενίκευση στο στρεβλό τετράπλευρο

Έστω ΑΒΓΔ ένα στρεβλό τετράπλευρο και τα Ε, Ζ, Η, Θ των πλευρών

ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα. Τα επίπεδα ΑΗΒ, ΒΘΓ, ΓΕΔ και ΔΖΑ

συντρέχουν αν και μόνο αν: 𝜜𝜠

𝜠𝜝⋅

𝜝𝜡

𝜡𝜞⋅

𝜞𝜢

𝜢𝜟⋅

𝜟𝜣

𝜣𝜜= 𝟏 [ 6 ]

IB. Γενίκευση: Γενίκευση του Θεωρήματος του Morley

Το 1904 ο Αγγλοαμερικάνος

γεωμέτρης Frank Morley (1860-1937)

εξέπληξε την μαθηματική κοινότητα με

την πρόταση:

Οι προσκείμενες στις πλευρές τριγώνου

τριχοτόμοι των γωνιών του, τεμνόμενες

ανά δύο ορίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. ([ 9]

σελίδες 92-98)

Η πρόταση αυτή γενικεύεται:

Οι τριχοτόμοι των γωνιών, των εξωτερικών γωνιών και των μη κυρτών

γωνιών τριγώνου, τεμνόμενες ανά δύο σχηματίζουν 18 ισόπλευρα

τρίγωνα, των οποίων οι πλευρές είναι παράλληλες προς τις πλευρές του

τριγώνου του Morley.(Ελληνικό Quantum, τόμος 7, τεύχος 3, σελίδα 41)

ΙΓ. Γενίκευση: Γενίκευση Ανισότητας Erdös-Mordell

Ο P. Erdös το 1935 στο τεύχος Ιουνίου-Ιουλίου του περιοδικού

Mathematical Monthly πρότεινε για απόδειξη

την πρόταση:

Αν Ρ εσωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒΓ,

ΡΔ, ΡΕ, και ΡΖ οι αποστάσεις του Ρ από τις

πλευρές του τριγώνου, τότε ισχύει:

𝜬𝜜 + 𝜬𝜝 + 𝜬𝜞 ≥ 𝟐(𝜬𝜟 + 𝜬𝜠 + 𝜬𝜡)

Μετά από δύο χρόνια, το 1937, στο τεύχος του

Απριλίου του ίδιου περιοδικού δόθηκαν δύο τριγωνομετρικές αποδείξεις της

ανισότητας αυτής από τους L.J. Mordell και τον D.F. Barrow. Από τότε

έχουν δοθεί πολλές αποδείξεις τις περίφημης αυτής ανισότητας. Για

παράδειγμα, ο Έλληνας γεωμέτρης Γιώργος Τσίτσιφας έχει δημοσιεύσει

στο διαδίκτυο 13 αποδείξεις.

Γενίκευση στο τετράεδρο

Το 1957 ο D. Kazarinoff στο Michigan

Mathematical Journal, τόμος 4, τεύχος 2,

(1957) σελίδες 99-104 γενίκευσε την

ανισότητα Erdös-Mordell για τετράεδρο, ως

εξής:

Αν Ρ είναι εσωτερικό σημείο του

τετραέδρου ΑΒΓΔ και ΡΕ, ΡΖ, ΡΗ, ΡΘ οι

αποστάσεις του Ρ από τις πλευρές του, τότε

ισχύει:

𝜬𝜜 + 𝜬𝜝 + 𝜬𝜞 + 𝜬𝜟 > 𝟐√𝟐 (𝜬𝜠 + 𝜬𝜡 + 𝜬𝜢 + 𝜬𝜣)

Γενίκευση στο τρίγωνο

Στο [ 12 ] θεώρημα 15 σελίδα 318 αναφέρεται μια γενίκευση της

ανισότητας Erdös-Mordell:

Αν 𝒙, 𝒚, 𝒛 είναι θετικοί αριθμοί, Ρ εωστερικό σημείο του τριγώνου

ΑΒΓ, 𝜬𝜟 ⊥ 𝑩𝜞, 𝜬𝜠 ⊥ 𝜜𝜞 𝜿𝜶𝜾 𝜬𝜡 ⊥ 𝜜Β , τότε ισχύει:

𝒙𝟐𝜬𝑨 + 𝒚𝟐𝜬𝑩 + 𝒛𝟐𝜬𝜞 ≥ 𝟐(𝒚𝒛𝜬𝜟 + 𝒛𝒙𝜬𝑬 + 𝒙𝒚𝜬𝒁)

Στο τεύχος του Μαρτίου του 2005 στο Mathematical Monthly στις

σελίδες 257-263 οι S.Gueron και I.

Shafrir γενίκευσαν την ανισότητα

Erdös-Mordell σε κυρτό ν-γωνο:

Έστω οι θετικοί αριθμοί 𝝀𝟏, 𝝀𝟐, … , 𝝀𝝂

και κυρτό ν-γωνο 𝜜𝟏𝜜𝟐 … 𝜜𝝂 , Ρ

εσωτερικό του σημείο και

𝒅𝟏, 𝒅𝟐, … , 𝒅𝝂 οι αποστάσεις του Ρ από

τις πλευρές του ν-γωνου, ισχύει:

𝝀𝟏𝜬𝜜𝟏 + 𝝀𝟐𝜬𝜜𝟐 + ⋯ + 𝝀𝝂𝜬𝜜𝝂 ≥𝟏

𝐜𝐨𝐬 (𝛑𝛎)

⋅ (√𝝀𝟏 ⋅ 𝝀𝟐𝒅𝟏 +

√𝝀𝟐 ⋅ 𝝀𝟑𝒅𝟐 + ⋯ + √𝝀𝝂 ⋅ 𝝀𝟏𝒅𝝂)

ΙΔ. Γενίκευση της Εγγραφής Τετραγώνου σε Κύκλο

Σε κάθε κύκλο εγγράφεται τετράγωνο.

Σε κάθε έλλειψη εγγράφεται τετράγωνο.

Γενίκευση

Κάθε κλειστή, λεία καμπύλη του επιπέδου έχει

τέσσερα σημεία που να είναι κορυφές

τετραγώνου;

Το πρόβλημα αυτό είναι ανοικτό!

([ 10 ], σελίδες 58-65, 137-144, στο διαδίκτυο:

M.J. Nielsen, Figures Inscribed in Curves)

ΙΕ. Γενίκευση του φωτισμένου πολυγώνου

Έστω ότι οι πλευρές ενός κυρτού

πολυγώνου είναι καθρέπτες. Αν σε

οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο του

πολυγώνου τοποθετήσουμε μια

φωτεινή πηγή, τότε φωτίζεται όλο το

εσωτερικό του, δηλαδή κάθε σημείο

της περιμέτρου του αντανακλά μια

φωτεινή ακτίνα.

Γενίκευση

Υπάρχει πάντα εσωτερικό σημείο μη

κυρτού πολυγώνου στο οποίο να

τοποθετηθεί φωτεινή πηγή, που θα

φωτίζει το πολύγωνο;

Το πρόβλημα παραμένει ανοικτό!

([ 10 ], σελίδες 3-11, 71-74)

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

Η γενίκευση είναι ένα από τα κύρια συστατικά της μαθηματικής έρευνας. Η

αναζήτηση στην τάξη γενικεύσεων γνωστών μαθηματικών προτάσεων δεν

δείχνει μόνο μια από τις κύριες όψεις των Μαθηματικών αλλά προετοιμάζει

και μελλοντικούς ερευνητές.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. T. Andreescu, D. Andrica, Complex Numbers from A to .. Z, Birkhauser,

New York 2005.

2. M. Bencze, Generalization of Ptolemy’s Theorems, Journal of Science

and Arts, No. 1(14), σελίδες 45-48, 2011.

3. G. Chang, T.W. Sederberg, Over and Over Again, M.A.A, U.S.A, 1997.

4. H.S.M. Coxeter,S.L. Greitzer, Geometry Revisited, M.A.A, U.S.A, 1967.

5. H. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover

Publications Inc., New York, 1965.

6. N. Goldberg, Spatial Analogues of Ceva’s Theorem and it’s

Applications, διαδίκτυο.

7. T.L. Heath, A History of Greek Mathematics, Oxford University, Oxford,

1921 (Ελληνική Μετάφραση με τίτλο: Ιστορία των Ελληνικών

Μαθηματικών, από του Α. Αγγέλη, Ε. Βλάμου, Θ. Γραμμένος και Α.

Σπανού, έκδοση Κ.Ε.ΕΠ., Αθήνα 2001).

8. R. Honsberger, Ingenuity in Mathematics, M.A.A, U.S.A, 1970.

9. R. Honsberger, Mathematical Gems I, M.A.A, U.S.A, 1973.

10. V. Klee, S.Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane

Geometry and Number Theory, M.A.A, U.S.A, 1991.

11. Δ.Γ. Κοντογιάννη, Γεωμετρία (Μαθηματικές Ολυμπιάδες),

αυτοέκδοση, Αθήνα, 1987.

12. D.S. Mitrinovic, J.E. Pecaric, V. Volenec, Recent Advances in

Geometrical Inequalities, Kluwer Academic Publishers, London, 1989.

13. Γ. Ντάνη, Γεωμετρία (μεθοδική αντιμετώπιση των θεμάτων του

χώρου), τεύχος 2, αυτοέκδοση, Αθήνα, 1972.

14. Γ.Ντάνη, Γεωμετρία (η θεωρία της επιπέδου γεωμετρίας με 600

επεξεργασμένα ειδικά θέματα και ασκήσεις), αυτοέκδοση, Αθήνα, χωρίς

χρονολογία!

15. G. Polya, How to Solve it, Princeton University Press, New Jersey,

1945 (Ελληνική Μετάφραση με τίτλο: Πως να το λύσω, σε μετάφραση

Λάμπη Σιαδήμα, Εκδόσεις Σπηλιώτη, Αθήνα, χωρίς χρονολόγηση!).

16. G. Polya, Mathematical Discovery, John Wiley & Sons Inc., U.S.A,

1962 (Ελληνική Μετάφραση με τίτλο: Η Μαθηματική Ανακάλυψη, από

τους Σ. Στεργιάκη, Γ. Τσαπακίδη, Εκδόσεις Κάτοπτρο, Αθήνα, 2001).