ΟΛΟΚΛΗΡΩΗ ΣΩΝ ΕΞΙΩΕΩΝ

ΚΙΝΗΗ.

ΚΙΝΗΗ Ε ΜΙΑ ΔΙΑΣΑΗ.

(Η ΠΕΡΙΠΣΩΗ ΣΟΤ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤ ΣΑΛΑΝΣΩΣΗ).

Για ένα σωματίδιο μάζας m, το οποίο κινείται σε μια διάσταση

υπό την επίδραση δύναμης ( )F x , έχοντας ολική ενέργεια Ε (που

αποτελεί σταθερά της κίνησης), η διατήρηση της ενέργειας δίνει:

21( )

2E mx U x

(1)

τη σχέση (1), Ε είναι η ολική ενέργεια του σωματιδίου, ( )U x

είναι η δυναμική του ενέργεια και x η ταχύτητά του. (dx

xdt

). Από τη

σχέση λοιπόν (1), έχουμε διαδοχικά:

21( )

2mx U x E ή

21( ) ( )

2

dxm U x E

dt ή

2 2( ) [ ( )]dx

E U xdt m

ή

2[ ( )]

dxE U x

dt m ή

2 ( )

m dxdt

E U x

(2)

την παραπάνω σχέση (2), η υπόριζη ποσότητα ( )E U x

ισούται με την κινητική ενέργεια του σωματιδίου και πρόκειται

προφανώς για μη αρνητική ποσότητα.

Με ολοκλήρωση της σχέσης (2), παίρνουμε:

0

02 ( )

x

x

m dxt t

E U x

(3)

τη σχέση (3), 0x είναι η θέση του σωματιδίου τη χρονική

στιγμή 0t . Εισάγοντας στη σχέση (3) τη συνάρτηση ( )U x που μας

δίνει τη δυναμική ενέργεια στο εκάστοτε πρόβλημά μας και

ολοκληρώνοντας, βρίσκουμε τη συνάρτηση ( )t x , η αντίστροφη της

οποίας ( ( )x t ) αποτελέι την εξίσωση κίνησης του σώματος.

τη συνέχεια ας θεωρήσουμε την περίπτωση του αρμονικού

ταλαντωτή. Η δυναμική ενέργεια είναι:

21( )

2U x kx

(4)

τη σχέση (4) για την σταθερά k , έχουμε ότι: 0k .

χήμα 1. Σο δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή

το σχήμα (1) βλέπουμε τη γραφική παράσταση του δυναμικού

ενός αρμονικού ταλαντωτή, του οποίου η ολική ενέργεια (σταθερά

της κίνησης) είναι: 212

E ka . Η δύναμη που απορρέει από το

δυναμικό αυτό είναι:

2( ) 1ˆ ˆ ˆ( )2

dU x dF i kx i kxi

dx dx

(5)

Σο i είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στο x-άξονα.

Όπως είναι γνωστό, στην περίπτωση αυτή η κίνηση του

σωματίδιου είναι περιοδική μεταξύ των (ακραίων) θέσεων a και a .

Εμείς όμως θα προσποιηθούμε ότι δεν το γνωρίζουμε και θα

προσπαθήσουμε να φτάσουμε στο συμπέρασμα αυτό, μέσω

ολοκλήρωσης της εξίσωσης κίνησης. Ξεκινάμε λοιπόν...

Από την διατήρηση της ενέργειας έχουμε:

21( )

2mx U x E ή

2 2 21 1 1( )

2 2 2

dxm kx ka

dt ή

2 2 2( ) ( )dx k

a xdt m

ή

2 2( )dx k

a xdt m

ή

2 2

k dxdt

m a x

(7)

Με ολοκλήρωση λοιπόν θα έχουμε:

2 2

k dxdt

m a x

(8)

Όμως:

2 2arcsin( )

dx x

aa x

(9)

Πράγματι:

Αν θέσουμε: arcsin( )x

ya

, θα έχουμε: sinx

ya

και τότε:

2 2 2 2

2

1 1 1 1 1

cos 1 sin1

dy

dxdx a y a y x a xady a

Έτσι λοιπόν με τη βοήθεια της (9), η (8) μας δίνει:

arcsin( )x k

t Ca m

(10)

τη συνέχεια για ευκολία ας περιορισθούμε στη λύση με το

πρόσημο + (στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε και με επιλογή

του πρόσημου -). Προκειμένου να προσδιορίσουμε τ σταθερά C της

ολοκλήρωσης, ας θεωρήσουμε (αρχική συνθήκη) ότι τη χρονική

στιγμή 0t το σώμα βρίσκεται στο a . Από την σχέση (10) λοιπόν

θα έχουμε:

arcsin( )a

Ca

ή

arcsin(1)2

C (11)

Μέσω της σχέσης (11) λοιπόν, η (10) γράφεται:

arcsin( )2

x kt

a m ή

sin( )2

x kt

a m ή

sin( )2

kx a t

m

(12)

τη συνέχεια (κατά τα γνωστά) θέτοντας: k

m, η σχέση

(12) γράφεται:

sin( ) cos( )2

x a t a t (13)

Επίσης:

Από τη σχέση: arcsin( )2

x kt

a m, έχουμε:

arcsin( )2

k xt

m a

(14)

Έτσι λοιπόν αν ονομάσουμε 1t τη χρονική στιγμή που το σώμα

βρίσκται στη θέση a , θα είναι: 1 arcsin(1) 02 2 2

kt

m ή

1 0t (όπως άλλωστε αναμένουμε, αφού αυτή ήταν η αρχική μας

συνθήκη).

Αν ονομάσουμε 2t τη χρονική στιγμή που για πρώτη φορά το

σώμα έρχεται στη θέση a , θα είναι:

2

3arcsin( ) arcsin( 1)

2 2 2 2

k at

m a ή

2

mt

k

Έτσι λοιπόν ο χρόνος που κάνει το σώμα για να πάει από το ένα

άκρο στο άλλο άκρο της τροχιάς του είναι:

2 1

mt t t

k

(15)

Ο χρόνος όμως αυτός, αντιστοιχεί στο μισό της περιόδου. Έτσι

λοιπόν έχουμε:

2

T m

k ή

2m

Tk

(16)

Βρίσκουμε λοιπόν έτσι την (γνωστή μας) σχέση για την περίοδο

του αρμονικού ταλαντωτή.

ΑΤΓΟΤΣΟ 2013

ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ