2ο Κεφάλαιο

2.1 Περιγραφή της κίνησηςΘέση

Για να περιγράψουμε την κίνηση ενός σώματος με ακρίβεια πρέπει να γνωρίζουμε κάθε στιγμή που βρίσκεται το σώμα, δηλαδή να ξέρουμε τη θέση του. Η θέση ενός σώματος καθορίζεται σε σχέση με ένα σημείο αναφοράς. Το σημείο αναφοράς είναι ένα σημείο το οποίο θεωρούμε ακίνητο και συνήθως συμβολίζουμε με το γράμμα Ο. Για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σώματος (που το θεωρούμε υλικό σημείο, δηλαδή σώμα αμελητέων διαστάσεων, γι’ αυτό το παριστάνουμε με μια κουκίδα) πάνω σε μια ευθεία, χρειαζόμαστε έναν άξονα. Ο άξονας είναι η ευθεία κίνησης του σώματος. Στην ευθεία αυτή:

Ο άξονας είναι βαθμολογημένος, δηλαδή τοποθετούμε πάνω του μια κλίμακα (π.χ. μια μετροταινία).

Ορίζουμε το σημείο αναφοράς Ο (π.χ. συνήθως το σημείο μηδέν της κλίμακας).

Ορίζουμε μια φορά θετική κατεύθυνση του άξονα (π.χ. προς τα δεξιά, του σημείου αναφοράς).

Για να συμβολίσουμε τη θέση χρησιμοποιούμε συνήθως το γράμμα x (ή y ή z).

Παράδειγμα 1: Με σημείο αναφοράς το δένδρο, που βρίσκεται στην αρχή του άξονα (x = 0), οι θέσεις των δύο ανθρώπων Α και Β στο σχήμα 1, που ακολουθεί είναι:

Επομένως, η θέση ανθρώπου Α είναι xΑ = + 3 m, δηλαδή γνωρίζουμε την απόστασή του από το σημείο αναφοράς (δένδρο) ότι είναι 3 m και βρίσκεται στα θετικά του άξονα, ενώ η θέση ανθρώπου Β είναι xΒ = - 4 m, δηλαδή γνωρίζουμε την απόστασή του από το σημείο αναφοράς ότι είναι 4 m και βρίσκεται στα αρνητικά του άξονα.

Παράδειγμα 2: Αν υποθέσουμε ότι το σημείο αναφοράς είναι το δένδρο στο σχήμα 2, που ακολουθεί, οι θέσεις των δύο ανθρώπων καθορίζονται ως εξής:

Επομένως, η θέση ανθρώπου Α είναι xΑ = + 8 m, δηλαδή γνωρίζουμε την απόστασή του από το σημείο αναφοράς (δένδρο) ότι είναι 8 m και βρίσκεται στα θετικά του άξονα, ενώ η θέση ανθρώπου Β είναι xΒ = +1 m, δηλαδή γνωρίζουμε την απόστασή του από το σημείο αναφοράς ότι είναι 1 m και βρίσκεται στα αρνητικά του άξονα.

Συμπέρασμα: Η θέση ενός αντικειμένου πάνω στον άξονα εξαρτάται από το σημείο αναφοράς που χρησιμοποιούμε και πρέπει να δηλώνουμε αν βρίσκεται στα θετικά ή στα αρνητικά του άξονα.

Χρονική στιγμή – Χρονικό διάστημα

Η χρονική στιγμή απαντάει στο ερώτημα «πότε;» ενώ το χρονικό διάστημα απαντάει στο ερώτημα «πόσο διαρκεί;».

Χρονική στιγμή είναι η ένδειξη ενός χρονομέτρου ή ενός ρολογιού και συμβολίζεται με t. Αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο γεγονός και δεν έχει διάρκεια αφού αυξάνεται συνεχώς.

Χρονικό διάστημα είναι ο χρόνος που μεσολάβησε μεταξύ δύο χρονικών στιγμών και συμβολίζεται με Δt. Το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο χρονικών στιγμών to και t ισούται με:

Δt = t - to

όπου t τελική χρονική στιγμή και to η αρχική χρονική στιγμή, ισχύει ότι t > to, επομένως, το χρονικό διάστημα Δt > 0, είναι πάντα θετικός αριθμός. Συνήθως, ως αρχική χρονική στιγμή to ορίζουμε το μηδέν.

Μετατόπιση

Καθώς ένα σώμα κινείται αλλάζει συνεχώς η θέση του, η μεταβολή της θέσης ενός κινούμενου σώματος ονομάζεται μετατόπιση. Έστω xo η θέση του σώματος τη χρονική στιγμή to και x η θέση του τη χρονική στιγμή t. Η μετατόπιση του σώματος είναι:

Δx = x - xo

Παράδειγμα 1: Έστω ότι ένας άνθρωπος βρίσκεται αρχικά στη θέση xo = + 2 m και τελικά στη θέση, x = + 7 m. Τότε, η μετατόπιση του ανθρώπου είναι:

Δx = x – xo = + 7 – (+2) = + 7 – 2 = + 5 m

Το θετικό πρόσημο της μετατόπισης δηλώνει ότι ο άνθρωπος μετακινήθηκε προς τα δεξιά (δηλαδή, κατά τη θετική φορά του άξονα).

2

Παράδειγμα 2: Έστω ότι ένας άνθρωπος βρίσκεται αρχικά στη θέση xo = - 3 m και τελικά στη θέση, x = + 4 m. Τότε, η μετατόπιση του ανθρώπου είναι:

Δx = x – xo = + 4 – (- 3) = + 4 + 3 = + 7 m

Το θετικό πρόσημο της μετατόπισης δηλώνει ότι το άνθρωπος μετακινήθηκε προς τα δεξιά (δηλαδή, κατά τη θετική φορά του άξονα).

Παράδειγμα 3: Έστω ότι ένας άνθρωπος βρίσκεται αρχικά στη θέση xo = + 7 m και τελικά στη θέση, x = + 2 m. Τότε, η μετατόπιση του ανθρώπου είναι:

Δx = x – xo = + 2 – (+ 7) = + 2 - 7 = - 5 m

Το αρνητικό πρόσημο της μετατόπισης δηλώνει ότι ο άνθρωπος μετακινήθηκε προς τα αριστερά (δηλαδή, κατά την αρνητική φορά του άξονα).

Παράδειγμα 4: Έστω ότι ένας άνθρωπος βρίσκεται αρχικά στη θέση xo = - 1 m και τελικά στη θέση, x = - 5 m. Τότε, η μετατόπιση του ανθρώπου είναι:

Δx = x – xo = - 5 – (- 1) = - 5 + 1 = - 4 m

Το αρνητικό πρόσημο της μετατόπισης δηλώνει ότι ο άνθρωπος μετακινήθηκε προς τα αριστερά (δηλαδή, κατά την αρνητική φορά του άξονα).

Παράδειγμα 5: Έστω ότι ένας άνθρωπος βρίσκεται αρχικά στη θέση xo = - 2 m και αλλάζοντας συνεχώς θέσεις ( +5 m, + 8 m) τελικά επιστρέφει στην αρχική του θέση, x = - 2 m. Τότε, η μετατόπιση του ανθρώπου είναι:

3

Δx = x – xo = - 2 – (- 2) = - 2 + 2 = 0 m

Δηλαδή ο άνθρωπος έχει μηδενική μετατόπιση.

Παρατηρήσεις

Η μετατόπιση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση μπορεί να είναι είτε θετική, είτε αρνητική ή μηδενική.

Η μετατόπιση είναι ανεξάρτητη από τον παρατηρητή και το σημείο αναφοράς. Διαφορετικοί παρατηρητές μετρούν διαφορετική αρχική και τελική θέση, όμως συμφωνούν για τη μετατόπιση, όπως φαίνεται στο παράδειγμα 6, που ακολουθεί.

Παράδειγμα 6: Έστω ότι ένας άνθρωπος στο σχήμα 1, βρίσκεται αρχικά στη θέση xo = - 2 m και πηγαίνει τελικά στη θέση x = + 5 m. Τότε, η μετατόπιση του ανθρώπου είναι:

Δx = x – xo = + 5 – (- 2) = + 5 + 2 = + 7 m

Στο σχήμα 2, το σημείο αναφοράς είναι το δένδρο οπότε ο άνθρωπος βρίσκεται αρχικά στη θέση xo

= + 2 m και πηγαίνει τελικά στη θέση x = + 9 m. Τότε, η μετατόπιση του ανθρώπου είναι:

Δx = x – xo = + 9 – (+ 2) = + 9 - 2 = + 7 m

Παρατηρήσεις

Η μετατόπιση Δx ενός σώματος διαφέρει – γενικά – από το μήκος της διαδρομής (διάστημα) που διανύει το κινούμενο σώμα, για να μεταβεί από μια θέση x0 σε μια άλλη θέση x. Η μετατόπιση εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική θέση, ενώ το διάστημα παίρνει πάντα μόνο θετικές τιμές (άρα δεν μας πληροφορεί για τη φορά κίνησης) και εξαρτάται και από την ενδιάμεση διαδρομή, στο παράδειγμα 5, είδαμε ότι η μετατόπιση είναι μηδενική ενώ το διάστημα S που διανύει είναι:

4

Τροχιά

Καθώς ένα αντικείμενο (υλικό σημείο) κινείται στο χώρο και αλλάζει συνεχώς θέσεις, «χαράζει» μια νοητή γραμμή που την ονομάζουμε τροχιά.

Τροχιά ενός κινούμενου αντικειμένου ονομάζεται το σύνολο των διαδοχικών θέσεων από τις οποίες διέρχεται το αντικείμενο στη διάρκεια της κίνησής του.

Αν η τροχιά είναι ευθεία, η κίνηση λέγεται ευθύγραμμη.

Αν η τροχιά είναι κύκλος, η κίνηση λέγεται κυκλική.

Αν η τροχιά είναι τυχαία καμπύλη, η κίνηση λέγεται καμπυλόγραμμη.

1. Πολλαπλής επιλογής (βάλτε σε κύκλο το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση):

Υλικό σημείο ονομάζεται ένα σώμα (αντικείμενο) το οποίο:

α. δεν έχει μάζα ούτε διαστάσεις.

β. δεν έχει μάζα, όμως έχει διαστάσεις.

γ. έχει μάζα, όμως δεν έχει διαστάσεις.

δ. έχει μάζα και διαστάσεις.

2. Στις προτάσεις που ακολουθούν, να σημειώσετε με Σ τις σωστές και με Λ τις λανθασμένες:

α. Η τροχιά ενός κινούμενου αντικειμένου έχει την ίδια μορφή για όλους τους παρατηρητές της κίνησης.

β. Το διάστημα (μήκος διαδρομής) που διανύει ένα κινητό είναι πάντα ένας θετικός αριθμός και ισούται με το μήκος της τροχιάς του κινητού.

γ. Η μετατόπιση εξαρτάται από την αρχική και την τελική θέση του κινητού και είναι ανεξάρτητη από την τροχιά που διαγράφει μεταξύ της αρχικής και της τελικής θέσης.

δ. Η θέση ενός σώματος εξαρτάται από το σημείο αναφοράς που χρησιμοποιούμε.

ε. Χρονική στιγμή ονομάζουμε την ένδειξη του χρονομέτρου ή του ρολογιού.

5

3. Να αντιστοιχίσετε τα φυσικά μεγέθη της Στήλης Α με τις φράσεις της Στήλης Β:

Στήλη Α Αντιστοίχιση Στήλη Β

1. Θέση 1. - α. Πόσο και προς τα πού μετακινείται

2. Μετατόπιση 2. - β. Πόσο διαρκεί.

3. Απόσταση 3. - γ. Που βρίσκεται.

4. Χρονική στιγμή 4. - δ. Μήκος διαδρομής

5. Χρονικό διάστημα 5. - ε. Ένδειξη χρονομέτρου

4. Στον Πίνακα που ακολουθεί να σημειώσετε τα γράμματα των προτάσεων που δηλώνουν χρονική στιγμή ή χρονικό διάστημα:

α. Πόσο διάρκεσε ο Δεύτερος Παγκόσμιος Πόλεμος;

β. Ποιο έτος γεννήθηκες;

γ. Πόσο διαρκεί το μεγάλο διάλλειμα του σχολικού προγράμματος;

δ. Πότε θα χτυπήσει το κουδούνι για την προσευχή;

ε. Πότε θα φάμε για βράδυ;

Χρονική στιγμή

Χρονικό διάστημα

5. Χρησιμοποιώντας το υποδεκάμετρο (χάρακα) του σχήματος που ακολουθεί:

Α. Να προσδιορίσετε την αρχική και την τελική θέση του μολυβιού, σε σχέση με τις δύο άκρες Α και Β του χάρακα.

Με σημείο αναφοράς το άκρο Α:

Η αρχική θέση του μολυβιού είναι xo = ………

Η τελική θέση του μολυβιού είναι x = ……….

Με σημείο αναφοράς το άκρο Β:

Η αρχική θέση του μολυβιού είναι xo = ………

Η τελική θέση του μολυβιού είναι x = ………

Β. Σε ποιο συμπέρασμα καταλήγετε; Εξαρτάται ή όχι η θέση ενός αντικειμένου από το σημείο αναφοράς;

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6

Γ. Να υπολογίσετε τη μετατόπιση του μολυβιού σε σχέση με το Α και σε σχέση με το Β:

Με σημείο αναφοράς το άκρο Α: Δx = ……………………………………………………………………………

Με σημείο αναφοράς το άκρο Β: Δx = ……………………………………………………………………………

Δ. Σε ποιο συμπέρασμα καταλήγετε; Εξαρτάται ή όχι, η μετατόπιση ενός αντικειμένου από το σημείο αναφοράς;

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. Βάλτε σε κύκλο το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: Ο χιλιομετρητής (distance counter) ενός αυτοκινήτου δείχνει 56329 Km. Η ένδειξη αυτή αντιπροσωπεύει:

α. το συνολικό διάστημα που έχει διανύσει το αυτοκίνητο.

β. τη συνολική μετατόπιση του αυτοκινήτου.

γ. τη θέση του αυτοκινήτου.

δ. κανένα από τα προηγούμενα.

7. Ένας μαθητής ξεκινά από το σπίτι του τη στιγμή που το ρολόι δείχνει 7 h και 30 min. Ο μαθητής φτάνει στο σχολείο όταν το ρολόι δείχνει 7 h και 50 min. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα που διαρκεί η μετάβαση του μαθητή από το σπίτι στο σχολείο.

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. Στέκεστε στην αρχή Ο του άξονα των συντεταγμένων και βλέπετε ένα σώμα Σ. Κάποιος φίλος σας στέκεται σε ένα άλλο σημείο του ίδιου άξονα, όπως φαίνεται το σχήμα που ακολουθεί.

Α. Η θέση του σώματος, με σημείο αναφοράς εσάς, είναι: x = ……………..

Β. Η θέση του σώματος, με σημείο αναφοράς τον φίλο σας, είναι: x = ……………..

7

1. Το αυτοκίνητο μετακινείται από τη θέση Α στη θέση Β και τελικά στη θέση Γ.

α. Να υπολογίσετε τη μετατόπιση του αυτοκινήτου για τη μετακίνηση A B.

β. Να υπολογίσετε τη μετατόπιση του αυτοκινήτου για τη μετακίνηση B Γ.

γ. Να υπολογίσετε τη μετατόπιση του αυτοκινήτου για τη συνολική μετακίνηση A B Γ.

δ. Να βρείτε το συνολικό μήκος της διαδρομής.

2. Για ένα κινητό που κινείται πάνω σε ευθεία τροχιά να συμπληρώσετε τα κενά του πίνακα.

Αρχική θέση xο Τελική θέση x Μετατόπιση Δx

+8 m -18 m

0 +20 m

-5 m -5 m

-50 m +30 m

+10 m +10 m

3. Ρίχνουμε μια μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω. Η μπάλα ανεβαίνει σε ύψος 2 m και στη συνέχεια επιστρέφει στα χέρια μας.

α. Το μήκος της διαδρομής (διάστημα) που διανύει η μπάλα είναι ……….

β. Η συνολική μετατόπιση της μπάλας είναι ……….

4. Όχημα κινούμενο κατά μήκος μιας ευθείας βρίσκεται αρχικά στη θέση xο = - 2 m και πηγαίνει στη θέση x = - 8 m. Να υπολογίσετε:

α. Τη μετατόπιση του οχήματος.

8

β. Το διάστημα που κινήθηκε.

5. Ένα όχημα βρίσκεται αρχικά στη θέση xo = - 8 m. Αν κινούμενο προς τα θετικά του άξονα διανύσει απόσταση S = 10 m, να βρείτε:

α. Την τελική θέση του.

β. Τη μετατόπισή του.

6. Ένα σώμα βρίσκεται αρχικά στη θέση xο = +2 m να υπολογίσετε τη νέα θέση του αν η μετατόπισή του είναι:

α. Δx = + 8 m

β. Δx = - 4 m

7. Ένα σώμα βρίσκεται αρχικά στη θέση xο = - 8 m και πηγαίνει στη θέση x = - 2 m. Η μετατόπισή του είναι:

α. 10 m

β. 6 m

γ. – 6 m

8. Ένα όχημα κινείται κατά μήκος μιας ευθείας αρχίζοντας από τη θέση x1, πηγαίνει στη θέση x2 και καταλήγει στη θέση x3. Οι χρονικές στιγμές που βρίσκεται στις θέσεις αυτές είναι σημειωμένες στο σχήμα.

Να υπολογίσετε τις μετατοπίσεις του οχήματος για τα χρονικά διαστήματα:

α. από t1 μέχρι t2.

β. από t2 μέχρι t3.

γ. από t1 μέχρι t3.

9

9. Για ένα όχημα που κινείται κατά μήκος μιας ευθείας έχουμε σημειώσει τις θέσεις του και τις αντίστοιχες χρονικές στιγμές.

t(s) t1 = 0 s t2 = 5 s t2 = 8 s t3 10 s

x(m) x1 x2 x3 x4

Να υπολογίσετε τις μετατοπίσεις του οχήματος για τα χρονικά διαστήματα:

α. από t1 μέχρι t2.

β. από t2 μέχρι t3.

γ. από t3 μέχρι t4.

δ. από t1 μέχρι t4.

Να υπολογίσετε τη συνολική απόσταση που διανύει το όχημα.

10