1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Ελεγκτές - Controllers

Μιχαήλ Παπουτσιδάκης

Τμήμα Αυτοματισμού

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Σκοποί ενότητας

• Να εισάγει τον αναγνώστη στο αντικείμενο των ελεγκτών. • Να παρουσιάσει τα είδη των ελεγκτών. • Να παρουσιάσει την επίδραση των ελεγκτών στη δυναμική απόκριση του συστήματος και πως η αύξηση του κέρδους το επηρεάζει.

4

Περιεχόμενα ενότητας

1. Εισαγωγή στους Ελεγκτές 2. Ορισμοί 3. Είδη Ελεγκτών 4. Επίδραση Ελεγκτών στη δυναμική απόκριση

του συστήματος

5

1. Εισαγωγή στους Ελεγκτές

Στις επόμενες ενότητες θα εξετασθούν οι βιομηχανικοί ελεγκτές ή ελεγκτές τριών όρων PID, (με τους διάφορους συνδυασμούς τους όπως: P, PI ή PID). Η προτίμηση των ελεγκτών PID οφείλεται εν μέρει στην σθεναρή και εν μέρει στην απλή τους λειτουργία, κάτω από πολλές και διαφορετικές συνθήκες. Η υλοποίηση ενός τέτοιου ελεγκτή βασίζεται στον προσδιορισμό των τριών παραμέτρων Kp, Ki, Kd

7

Controllers - Ελεγκτές (1/4)

Ο ελεγκτής παράγει το σήμα διέγερσης για το ελεγχόμενο σύστημα.

8

Controllers - Ελεγκτές (2/4)

Ελεγχόμενο σύστημα

9

Controllers - Ελεγκτές (3/4)

Σήμα εξόδου του ελεγκτή στο πεδίο του χρόνου

Σήμα εξόδου του ελεγκτή στο πεδίο του Laplace

dttdeKdtteKteKtu d

t

ip)()()()(

0++= ∫

)()( sEsKs

KKsU di

p

++=

10

Controllers - Ελεγκτές (4/4)

Η έξοδος του ελεγκτή PID σχηματίζεται από το άθροισμα τριών όρων: • ενός όρου Ρ (Proportional) αναλόγου του σφάλματος, • ενός όρου Ι (Integral) αναλόγου του ολοκληρώματος του

σφάλματος και • ενός όρου D (Derivative ) αναλόγου της παραγώγου του

σφάλματος.

2. Ορισμοί

12

Ορισμοί

integral time constant σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης

++=

++=

∫

∫

dttdeTdtte

TteK

dttdeKdtteKteKtu

d

t

ip

d

t

ip

)()(1)(

)()()()(

0

0

,p di d

i i

K Kό T TK K

που = =

derivative time constant σταθερά χρόνου διαφόρισης

proportional gain Αναλογικό κέρδος

integral gain Ολοκληρωτικό κέρδος

derivative gain Διαφορικό κέρδος

Ο αναλογικός όρος P βοηθά στη βελτίωση της συμπεριφοράς του συστήματος τόσο στην μεταβατική όσο και στην μόνιμη κατάσταση, αλλά αδυνατεί να εξαλείψει πλήρως το μόνιμο σφάλμα. Δεν μπορεί να αντεπεξέλθει ικανοποιητικά σε όλους τους τύπους των συστημάτων και των εξωτερικών διαταραχών, γι' αυτό (όπου απαιτείται) συνδυάζεται μαζί με άλλους όρους.

13

Επιρροή των όρων P, I και D στην απόκριση του συστήματος (1/3)

Ο ολοκληρωτικός όρος Ι χρησιμοποιείται σε συστήματα που παρουσιάζουν σφάλμα στη μόνιμη κατάσταση, αφού για όσο χρόνο υπάρχει σφάλμα, η έξοδος του ελεγκτή, λόγω του ολοκληρώματος αυξάνεται με αποτέλεσμα την εξάλειψη του σφάλματος, αλλά αυτό γίνεται σε βάρος της ταχύτητας απόκρισης και της ευστάθειας του συστήματος.

14

Επιρροή των όρων P, I και D στην απόκριση του συστήματος (2/3)

Ο διαφορικός όρος D αυξάνει την ευστάθεια του συστήματος και βελτιώνει τη συμπεριφορά του κατά τη μεταβατική κατάσταση, αλλά λόγω της επιβολής στην πράξη περιορισμού της εξόδου του ελεγκτή δεν χρησιμοποιείται ποτέ από μόνος του.

15

Επιρροή των όρων P, I και D στην απόκριση του συστήματος (3/3)

Να σημειωθεί ότι η συσχέτιση στον πίνακα μπορεί να μην είναι ακριβής, διότι οι όροι Κp, Ki και Kd είναι αλληλοεξαρτώμενοι.

16

Επιρροή των P, I και D στην απόκριση του συστήματος κλειστού βρόγχου

Rise time Χρόνος ανόδου ή

ανύψωσης (tr)

Maximum overshoot Μέγιστη

υπερύψωση (ym)

Settling time Χρόνος

αποκατάστασης (ts)

Steady-state error

Μόνιμο σφάλμα

P ΜΕΙΩΣΗ ΑΥΞΗΣΗ Μικρή αλλαγή ΜΕΙΩΣΗ

I ΜΕΙΩΣΗ ΑΥΞΗΣΗ ΑΥΞΗΣΗ ΕΞΑΛΕΙΨΗ

D Μικρή αλλαγή ΜΕΙΩΣΗ ΜΕΙΩΣΗ Μικρή αλλαγή

Έστω ότι έχουμε το εικονιζόμενο μηχανικό σύστημα. Η μαθηματική περιγραφή είναι: Μετασχηματίζοντας σε Laplace, παίρνουμε: Η συνάρτηση μεταφοράς είναι:

17

Παράδειγμα εφαρμογής PID ελεγκτή (1/2)

fkxxbxm =++

)()()()(2 sFskXsbsXsXms =++

kbsmssFsX

++= 2

1)()(

έστω Με αυτές τις τιμές η συνάρτηση που προκύπτει είναι: Σκοπός μας είναι να δούμε, πως κάθε ένας από τους όρους συμβάλει στο να έχουμε: • Μικρό χρόνο ανόδου • Ελάχιστη υπερύψωση • Μηδενικό μόνιμο σφάλμα

18

Παράδειγμα εφαρμογής PID ελεγκτή (2/2)

Nf,m/Nk,m/s.Nb,kgm 120101 ====

20101

)()(

2 ++=

sssFsX

Η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόγχου είναι: Η τιμή της εξόδου στη μόνιμη κατάσταση είναι:

19

Διάγραμμα ανοιχτού συστήματος χωρίς ελεγκτή

20101

)()(

2 ++=

sssFsX

201

)()()(lim)(lim)(lim

00====

→→∞→ sFsXssFssXtxx

sstss

• 0.05=1/20 είναι η τελική τιμή της εξόδου X(t) σε μοναδιαία βηματική διέγερση.

• Αυτό σημαίνει ότι το μόνιμο σφάλμα στο ανοιχτό σύστημα είναι 95%.

• Ο χρόνος αποκατάστασης Τς είναι περίπου 1,5 sec.

20

Βηματική Απόκριση του συστήματος ανοιχτού βρόγχου

3. Είδη Ελεγκτών

Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι:

22

P Controller Αναλογικός Ελεγκτής (1/2)

2

2

2

( ) 10 20( ) 10 (20 )1

10 20

p

p

p p

KKX s s s

KF s s s Ks s

+ += =+ + ++

+ +

Επιλέγοντας Κp=300

Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο αναλογικός ελεγκτής, μειώνει το χρόνο ανόδου και το μόνιμο σφάλμα, αυξάνει την υπερύψωση και επιφέρει μικρή αλλαγή στο χρόνο αποκατάστασης.

23

P Controller Αναλογικός Ελεγκτής (2/2)

Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι:

24

PI Controller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός Ελεγκτής (1/2)

ip

ip

ip

ip

KsKssKsK

sssKK

sssKK

sFsX

++++

+=

+++

+

+++

=)20(10

2010/

1

2010/

)()(

23

2

2

Επιλέγοντας Κp=30, Ki=70

Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο αναλογικός ολοκληρωτικός ελεγκτής, μειώνει το χρόνο ανόδου και μηδενίζει το μόνιμο σφάλμα.

25

PI Controller Αναλογικός-Ολοκληρωτικός Ελεγκτής (2/2)

Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι:

26

PD Controller Αναλογικός-Διαφορικός Ελεγκτής (1/2)

)20()10(2010

1

2010)()(

2

2

2

pd

dp

dp

dp

KsKssKK

sssKK

sssKK

sFsX

++++

+=

+++

+

+++

=

Επιλέγοντας Κp=300, Kd=10

Από τη γραφική παράσταση της απόκρισης φαίνεται ότι ο Αναλογικός-Διαφορικός ελεγκτής, μειώνει την υπερύψωση και το χρόνο αποκατάστασης ενώ έχει μικρή επιρροή στο χρόνο ανύψωσης και στο μόνιμο σφάλμα

27

PD Controller Αναλογικός-Διαφορικός Ελεγκτής (2/2)

Η ΣΜ του συστήματος κλειστού βρόγχου είναι:

28

PID Controller (1/2)

ipd

ipd

idp

idp

KsKsKsKsKsK

sssKsKK

sssKsKK

sFsX

+++++

++=

++++

+

++++

=)20()10(

2010/

1

2010/

)()(

23

2

2

2

Επιλέγοντας: Κp=300, Ki=300, Kd=5500

Βέλτιστη Απόκριση

29

PID Controller (2/2)

30

Γραφικές παραστάσεις απόκρισης ελεγκτών

PD P

PI PID

4. Επίδραση ελεγκτών στην απόκριση του συστήματος

Επίδραση του Αναλογικού, Ολοκληρωτικού και Διαφορικού κέρδους στη Δυναμική

Απόκριση του Συστήματος

32

Αναλογικός Ελεγκτής

)()()()( teKtusUKsE pp =⇒=

Αύξηση του κέρδους: • Βελτιώνει την

μεταβατική και την μόνιμη απόκριση.

• Μειώνει το μόνιμο σφάλμα.

• Μειώνει την Ευστάθεια!

33

Μεταβολή του κέρδους σε Αναλογικό Ελεγκτή

34

Αναλογικός Ελεγκτής με μεγάλο κέρδος

35

Ολοκληρωτικός Ελεγκτής

dtteKtusUs

KsEt

ii ∫=⇒=

0

)()()()(

Το Ολοκλήρωμα του σφάλματος με σταθερό κέρδος επιφέρει: • Αύξηση του τύπου του συστήματος κατά 1. • Εξάλειψη του μονίμου σφάλματος σε βηματική διέγερση. • Αύξηση της υπερύψωσης και των ταλαντώσεων.

Αύξηση του κέρδους: • Δεν βελτιώνει τη μόνιμη

απόκριση. • Αυξάνει ελαφρώς το

χρόνο αποκατάστασης. • Αύξηση της

υπερύψωσης και των ταλαντώσεων.

36

Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό-Ολοκληρωτικό Ελεγκτή (PI)

37

Διαφορικός Ελεγκτής

Διαφόριση του σφάλματος με σταθερό κέρδος: • γρήγορη ανίχνευση των μεταβολών της εξόδου, • μείωση υπερύψωσης και ταλαντώσεων, • δεν επηρεάζει τη μόνιμη απόκριση, • βελτίωση της μεταβατικής απόκρισης.

dttdeKtusUsKsE dd)()()()( =⇒=

Αύξηση του κέρδους: • Βελτίωση της

μεταβατικής απόκρισης. • Μείωση της κορυφής και

του χρόνου ανόδου. • Αύξηση της

υπερύψωσης και του χρόνου αποκατάστασης!

38

Αύξηση του κέρδους σε Αναλογικό-Διαφορικό Ελεγκτή (PD)

39

Περιγραφή PID Ελεγκτή Ο βασικός τύπος PID ελεγκτή περιγράφεται από τις παρακάτω σχέσεις:

( ) ( )

1( ) 1 ( )

ip d

p di

KU s K K s E ss

or U s K s T s E sT

= + +

= + +

40

Μεταβολές κέρδους σε Ελεγκτή PID

41

Συμπεράσματα • Αυξάνοντας το αναλογικό κέρδος μειώνεται το

μόνιμο σφάλμα, αν όμως το αυξήσουμε πολύ το σύστημα αποσταθεροποιείται.

• Ο Ολοκληρωτικός έλεγχος επιφέρει ισχυρή μείωση του μόνιμου σφάλματος, αλλά συχνά μειώνει την ευστάθεια του συστήματος.

• Ο Διαφορικός έλεγχος αυξάνει την απόσβεση και βελτιώνει την ευστάθεια χωρίς να επηρεάζει το μόνιμο σφάλμα.

Τέλος Ενότητας