τυπολόγιο (2)

Αγαπητέ υποψήφιε , Οι εργάτες του πνεύµατος και της επιστήµης , ακριβώς όπως και όλοι οι άλλοι παραγωγοί και δηµιουργοί της ζωής , έχουν και αυτοί , τα δικά τους εργαλεία. Στο κρίσιµο ζήτηµα της επίλυσης ασκήσεων , τα εργαλεία µας είναι οι τύποι , που σας παρέχονται εδώ , συγκεντρωτικά και οµαδοποιηµένα , για να διευκολυνθεί η δική σας µάθηση , η δική σας πνευµατική εργασία. Όπως ο τύπος του Αινστάιν άλλαξε τη ροή της Ιστορίας , µε τη συµπυκνωµένη του σοφία , έτσι και για την προσωπική σας επιτυχία , κατά τις εξετάσεις , πολλά θα κριθούν από την αφοµοίωση των τύπων και των προτάσεων αυτών. Προσφορά στους υποψηφίους από το ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο. Κατοχύρωση : N.880/1943 Aρ. 1150

Φροντιστήριο ΘΕΤΙΚΟ Α. Οικονοµόπουλος Κ.Ρούτης Κάνιγγος 12 , Πλ. Κάνιγγος Τηλ. : 3824659 3830085 Internet : www.thetiko.gr

ΘΕΤΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΤΥΠΟΙ2

1. (a ± = ±β) α αβ+β2 22 22. ( ) (a 2 − =β α-β)(α+β)2

3. ( a a a± = ± ±β) β+3αβ β3 2 33 234. a 3 + = −β α+β)(α αβ+β3 2 2( )5. a 3 − = − +β α β)(α αβ+β3 2 2( )6. (a + = + + +β+γ) α β γ αβ+2αγ+2βγ2 2 2 2 27. (α β+γ) α β γ 3(α+β)(α+γ)(β+γ)3 3 3 3+ = + + +

8. ( (x+α)(x+β)=x α+β)x+αβ2 +

9. ( )( ( (x x+ + + +α β)(x+γ)=x α+β+γ)x αβ+βγ+γα)x+αβγ3 2

10. α +β +γ -3αβγ = 12

(α+β+γ)[(α-β) +(α-γ) +(β-γ)3 3 3 2 2 2 ]

11. a + ⇔ + + =β+γ=0 ν α=β=γ α β γ αβγ3 3 3 3

12. Aν ν Ν α β α-β)(α α β+α β β* ν ν ν-1 ν-2 ν-3 2 ν-1∈ − = + + +: ( ... )

13. Aν ν=2κ+1,κ Ν α β α+β)(α α β+α β βν ν ν-1 ν-2 ν-3 2 ν-1∈ + = − − +( ... )

14. ( ... ...a + = + + + +β) α+ ν1!α β+ ν(ν-1)

2!α β ν(ν-1)...(ν-κ+1)

κ!α β βν ν-1 (ν-2) 2 (ν-κ) κ ν

15. a 2 2+ ≥β αβ2

16. a,β 0: α+β 2 αβ≥ ≥

17. ( )( ) (α β x ψ αx+βψ)2 2 2 22 + + ≥

18. ( )( ) (α β γ x ψ z αx+βψ+γz)2 2 2 2 2 22 + + + + ≥

19. Aν α,β,γ 0 : α β γ αβγ3 3 3≥ + + ≥3

20. Aν α -1 ν Ν : (1+α) ανν≥ ∈ ≥ +1

1. ∀ ∈ α,β R ισχυει : α=β η α<β η α>β2. ∀ ∈ ≥ ∧ ≥ α,β,γ R : α β β α α=β3. α>β α+γ>β+γ⇔

ΑΛΓΕΒΡΑ

Α ΛΥΚΕΙΟΥΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ



4. Aν γ>0 τοτε α>β αγ>βγ⇔5. Aν γ<0 τοτε α>β αγ<βγ⇔

6. Aν α>β και γ>δ α+γ>β+δ(προσθεση κατα µελη , δεν συµβαινει το ιδιο µε την αφαιρεση)

7. ∀ ∈ ∧ α,β,γ α>β β>γ α>γR

8. ∀ ∈ ∧ α,β,x,ψ R α>β x>ψ αx>βψ+* :

9. α,β R ν Ν α>β α β+* * ν ν∈ ∈ >

10. α,β R ν Ν α>β α β* 2ν+1 2ν+1∈ ∈ >

[α,β]=x : α x β≤ ≤ [α,+ )=x : x α∞ ≥[α,β)=x : α x<β≤ (α,+ )=x : x>α∞(α,β]=x : α<x β≤ (- ,β]=x : x β∞ ≤(α,β)=x : α<x<β (- ,β)=x : x<β∞

1. |α| =α αν α 0-α αν α<0

≥

2. |α| 0≥3. |α| = |-α|4. -|α| α |α|≤ ≤

5. | | |α| α α2 2 2= =6. Aν θ>0 τοτε |χ| = θ χ=θ η χ= -θ⇔7. |x| = |α| x=α η x= -α⇔8. Aν θ>0 : |x| θ -θ θ≤ ⇔ ≤ ≤x9. Aν θ>0 : |x| θ x θ η x -θ≥ ⇔ ≥ ≤

10. |αβ|=|α| |β|⋅ , αβ

α||β|

= | µε β 0≠

11. | | |α|-|β| α β α| β|≤ ± ≤ +

12. |α α α α α α α1 2 3 ν 1 2 ν+ + + + ≤ + + +... | | | | | ... | |

∆ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΠΟΛΥΤΟΣ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ



13. |α α α α α α α1 2 3 ν 1 2 ν⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅... | | | | | ... | |

1. Aν x 0, ν Ν α x α* ν ν≥ ∈ = ⇔ =: x

2. Aν α,β 0 : ( α α α, ( α α οπου κ Νν ν ν ν κ κν *≥ = = = ∈) )

3. ν νννν

νννν βαβα ,

βα

βα ,αββα ττοτ0βα, =⋅==⋅≥

4. α,β 0 τοτε α α , α αµν ν µ µ ρν ρ µν≥ = =⋅ ⋅⋅

5. α,β 0 : α<β α = β ν ν≥ ⇔

6. x x|, x x αν x 02νν 2ν+12ν+12 = = ≥|

• Η εξίσωση x αν=

x αν= α 0≥ α<0

ν =2κ+1, κ Ν*∈ µοναδική λύση στοR χ= αν

x= - -αν

ν =2κ, κ Ν*∈ x= αν± καµµία λύσηστο R

1. α = β α β ν Ζν ν = ∈,

2. ν Ν : α β α = β2ν+1 2ν+1∈ =

3. ν Ν : α β α = β* 2ν 2ν∈ = ±4. α = β α+λ = β+λ⇔5. β = α βλ = αλ : 0λ ⇔⋅⋅≠6. λ 0 : α = β α λ = β λ≠ ⇔ ÷ ÷7. α = β, γ = δ α γ = β δ ± ±8. α = β, γ = δ α γ = β δ ⋅ ⋅9. α = β, γ = δ, γ,δ 0 α γ = β δ≠ ÷ ÷10. α β γ = 0 α = 0 β = 0 γ = 0⋅ ⋅ ⇔ ∨ ∨11. 2ν 2λ 2κ *α β γ 0, ν,λ,κ Ν α = 0 β = 0 γ = 0+ + = ∈ ⇔ ∧ ∧

Η απόσταση δύο αριθµών α,β συµβολίζεται d(α,β) και ισχύει

Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΡΙΖΩΝ

IΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΟ R-ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ



12. β,δ 0 : αβ

γδ

α δ = β γ αγ

βδ

≠ = ⇔ ⋅ ⋅ ⇔ =

13. β,δ 0 : αβ

γδ

α ββ

γ δδ

≠ = ⇔ ± = ±

14. αβ

γδ

αα β

γγ δ

(α β,γ δ 0)= ⇔±

=±

± ± ≠

15. αβ

γδ

α+βα-β

γ+δγ-δ

(α-β,γ-δ 0)= ⇔ = ≠

16. αβ

γδ

αβ

κα+λγκβ+λδ

(κβ+λδ 0)= = ≠

• Για το σύστηµα : αx+βψ = γα'x+β'ψ = γ'

µε κάποιο από τα α,α',β,β' 0≠

έχουµε :

i) Αν D 0≠ έχει µοναδική λύση : x = DD

ψ = DD

x ψ,

ii) Αν D=0 και (D D x ψ≠ ≠0 0, ) αδύνατο.

iii) Αν D = D = D = 0x ψ άπειρες λύσεις.

∆ιακρίνουσα : ∆ = β α γ2 − ⋅ ⋅4

∆>0

• Η f εχει 2 ριζες ανισες ρ ρ β ∆2α

ρ ρ βα

ρ ρ γα1 2 1 2 1 2, , ,= − ± + = − ⋅ =

• 0<ρ <ρ ∆ > 0, γα

> 0 βα

> 0)1 2 ⇔ −( ,

• ρ < ρ < 0 (∆ > 0, γα

> 0, -βα

< 0)1 2 ⇔

• f(x) = α (x-ρ x-ρ1 2⋅ ⋅) ( )

• Προσηµο της f οµοσηµο του α, αν x (- ,ρ ρ µε ρ <ρετεροσηµο του α, αν x (ρ ρ

1 2 1 2

1 2

∈ ∞ ∪ + ∞∈

) ( , ), )

Λύση-∆ιερεύνηση Γραµµικού Συστήµατος 2εξισώσεων µε 2αγνώστους

Τριώνυµο Β βαθµού : f(χ)= αx βx+γ α,,β,γ R και α 02 + ∈ ≠



∆=0

• ρ ρ - β2α1 2= =

• f(x) = α x + β2α

⋅

2

• Προσηµο f οµοσηµο του α εκτος x = ρ.

∆<0

• ∆εν εχει ριζα στο R.• ∆εν αναλυεται σε γινοµενο παραγοντων.• Είναι οµοσηµο του α για κάθε x R.∈

• Βασικές σχέσεις µεταξύ των στοιχείων ορθογωνίου τριγώνου.

ηµΒ βα

∧= , συνΒ γ

α

∧= , εφΒ β

γ

∧= , σφΒ γ

β

∧=

• Τριγωνοµετρικός κύκλος.

ΟΑ=1, ΟΒ=1, ΟΓ=-1, Ο∆=-1συνφ ΟΕ ηµφ ΟΖ εφφ ΑΗ σφφ ΒΘ

= == =

• -1 συνx 1 |συνx| ≤ ≤ ⇔ ≤ 1• -1 ηµx 1 |ηµx| 1≤ ≤ ⇔ ≤

• ηµ x + συν x = 12 2

• εφx = ηµxσυνx

σφx =συνxηµx

,

Απαραίτητες γνώσεις ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ

Α

+Ο

-

Β

Γ

∆

Ζ

Εφ

ΗΘ

ηµ εφ

σφ

συν

αβ

γΑ Β

Γ



• Τριγωνοµετρικοί τύποι βασικών γωνιών.χ ηµχ συνχ εφχ σφχ0 0 1 0 -π/6 1/2 3

23

33

π/4 22

22

1 1

π/3 32

1/2 3 33

π/2 1 0 - 0• Άµεσα από τον τριγωνοµετρικό κύκλο προκύπτουν:

συν(-χ) = συνχ ηµ(π-χ) = ηµχηµ(-χ) = -ηµχ συν(π-χ) = -συνχεφ(-χ) = -εφχ εφ(π-χ) = -εφχσφ(-χ) = -σφχ σφ(π-χ) = -σφχσυν(π/2-χ) = ηµχ ηµ(π+χ) = -ηµχηµ(π/2-χ) = συνχ συν(π+χ) = -συνχεφ(π/2-χ) = σφχ εφ(π+χ) = εφχσφ(π/2-χ) = εφχ σφ(π+χ) = σφχ

• Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις.

ηµx = ηµα x = 2κπ + αη κ Ζx = 2κπ + π + α

⇔ ∈

συνx = συνα x = 2κπ α κ Ζ⇔ ± ∈εφx = εφα x = κπ + α κ Ζ⇔ ∈σφx = σφα x = κπ + α κ Ζ⇔ ∈

• Βασικές τριγωνοµετρικές ανισώσεις.

συνx > λ (1) όπου -1 λ 1≤ ≤συνx < λ (2) λ = συνα, 0 α π≤ ≤

ΑΛΓΕΒΡΑΒ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ∆ΕΙΑ



∗ Οι λύσεις της (1) στο διάστηµα (-π,π] είναι : -α<x<αΌλες οι λύσεις της (1) είναι :2κπ - α < x < 2κπ + α, κ ∈ Ζ

∗ Οι λύσεις της (2) στο διάστηµα [0,2π), είναι α<x<2π-αΌλες οι λύσεις της (2) είναι :2κπ +α < x < (2π-α) + 2κπ, κ ∈ Ζ

ηµx < λ (3) όπου -1 λ 1≤ ≤

ηµx > λ (4) λ = ηµα, - π2α π

2≤ ≤

∗ Οι λύσεις της (3) στο διάστηµα [-π/2,3π/2)είναι : α<π<π-αΌλες οι λύσεις της (3) είναι :2κπ + α < x < (π-α) + 2κπ, κ Ζ∈

∗ Οι λύσεις της (4) στο διάστηµα [π/2,5π/2)είναι : π-α<x<2π+αΌλες οι λύσεις της (4) είναι :2κπ + (π-α) < x < (2π + α) + 2κπ, κ Ζ∈

εφx > λ (5) λ R∈εφx < λ (6) λ = εφα, -π/2<α<π/2

∗ Οι λύσεις της (5) στο διάστηµα (-π/2,π/2)είναι : α<x<π/2Όλες οι λύσεις της (5) είναι :κπ + α < x < π/2 + κπ, κ Ζ∈

∗ Οι λύσεις της (6) στο διάστηµα (-π/2,π/2)είναι : -π/2<x<αΌλες οι λύσεις της (6) είναι :κπ - π/2 < x < α + κπ, κ Ζ∈

Μ(π-α)Μ(π-α)

ΑΑ

Β

Β

Ο

Β

ΑΟ

Β

Α

λ



ηµβηµα - συνβσυνα = β)+συν(α ⋅⋅συν(α-β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ⋅ ⋅ηµ(α+β) = ηµα συνβ + ηµβ συναηµ(α-β) = ηµα συνβ - ηµβ συνα

⋅ ⋅⋅ ⋅

εφα + εφβεφ(α+β) = 1 - εφα εφβεφα - εφβεφ(α-β) = 1 + εφα εφβσφα σφβ + 1σφ(α-β) = σφβ - σφασφα σφβ - 1σφ(α+β) = σφα+σφβ

⋅

⋅⋅

⋅

22 2 2 2

2

2

2

ηµ2α = 2ηµα συνα 1 - εφ ασυν2α = συν α - ηµ α = 1 - 2ηµ α = 2συν α - 1 = 1 + εφ α

2εφαεφ2α = 1 - εφ ασφ α - 1σφ2α =

2σφα

⋅

ηµx + ηµψ = 2ηµ x + ψ2

συν x - ψ2

συνx + συνψ = 2συν x + ψ2

συν x - ψ2

ηµx - ηµψ = 2ηµ x - ψ2

συν x + ψ2

συνx - συνψ = 2ηµ x + ψ2

ηµ ψ - x2

⋅

⋅

⋅

⋅



1.Ανίσωση 1ου βαθµού: αx + β > 0 µε 0α ≠

αx + β > 0 αx > β x > - β

α αν α > 0

x < - βα

αν α < 0⇔ ⇔

2.Ανίσωση 2ου βαθµού: 0 > γ+βx + αx 2

Εφαρµόζουµε πρόσηµο τριωνύµου

3.Ανίσωση 3ου βαθµού και πάνω: ∆ηµιουργούµε παράσταση της µορφής:

(α x - β )(α x - β )(α x - β )...(α x - β > 0µε α α α θετικους πραγµατικους.1 1 2 2 3 3 ν ν

1 2 ν

), ,...,

Τοποθετούµε σε άξονα τις ρίζες ρ ρ ρ1 2 ν, ,..., κάθε παράγοντα κατάσειρά µεγέθους. Το πρόσηµο στο τελευταίο διάστηµα (ρ ,+ )ν ∞ είναι (+)και στα υπόλοιπα εναλλαξ.

Παρατήρηση• Κάθε παράγοντας της µορφής (α x + β ν Ν1 1

ν *)2 ∈ δεν επηρεάζειτο πρόσηµο της ανίσωσης.

• Το πρόσηµο του παράγοντα (α x + β1 12ν+1) είναι ίδιο µε το

πρόσηµο του 1 1(α x + β ) .

4. f(x) 0 f(x) g(x) 0g(x)

≥ ⇔ ⋅ ≥ µε g(x) 0≠

5. Ανισώσεις µε ριζικά:

0g(x) µε )x(g>f(x)

η 0<g(x) 0f(x)

g(x)>f(x)

[g(x)]<f(x)

0>g(x)0f(x)

g(x)<f(x)

2

2

≥

≥⇔

≥⇔

ΛΥΣΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ



I. αx β = 0α 0

x = - βα

+≠

⇔

II. αx2 + βx + γ = 0 (∆ιακρίνουσα....)III. ανxν + αν-1xν-1 + ... + α1x + α0 = 0 µε α0, α1,..., αν

∈ ℜ .Εφαρµόζουµε Horner ή µέθοδο παραγοντοποίησης.

IV. f(x)g(x)

f(x) = 0 µε g(x) 0= ⇔ ≠0

V. f(x) g(x) f(x) 0g(x) 0

f(x) = g2

= ⇔≥≥

( )x

I. Αριθµητική πρόοδοςΗ ακολουθία (αν) είναι αριθµητική πρόοδος (Α.Π.)

ν+1 να α +ω οπου ω , ν⇔ = ∈ℜ ∈ Ν• αν = α1 + (ν-1)ω µε α1,ω ∈ ℜ .• α,β,γ διαδοχικοί όροι ⇔ 2β = α + γ

• Σ = α + α ν = 2α + (ν-1)ω ν1 ν

2 21⋅ ⋅

• Αριθµητικός µέσος ν πραγµατικών αριθµών : α + α + ... +αν

1 2 ν

ΙΙ. Γεωµετρική πρόοδοςΗ ακολουθία (αν) είναι Γ.Π. ⇔ αν+1 = αν ⋅ λ , λ *∈ ℜ• αν = α1 ⋅ λ ν-1• α,β,γ διαδοχικοί όροι Γ.Π. ⇔ β2 = α γ⋅

• ( )

Σ = α λ - 1

λ - 11

ν

µε λ 1≠

• Άθροισµα απείρων όρων Γ.Π. µε λ < 1 : = α1 - λ

1

Λύση Εξισώσεων

Πρόοδοι



Υπενθυµίζουµε ότι:Αν α > 1 τότε α < α x < xx x

1 21 2 ⇔

Αν 0 < α < 1 τότε α < α x > xx x1 2

1 2 ⇔1 2x x

1 2α = α x = x⇔

Υπενθυµίζουµε ότι:1. logαx = y ⇔ αy 2. logααx = x και α = xlogα x

3. logαα = 1 και logα1 = 0 4. logαx1 = logαx2 ⇔ x1 = x25. logα(x1x2) = logαx1 + logαx2

6. logαxx1

2

= logαx1 - logαx2 7. logαx1κ = κ logαx1

8. Αν α > 1 τότε logαx1 < logαx2 ⇔ x1 < x2 ,ενώ αν 0<α<1 τότε logαx1 < logαx2 ⇔ x1 > x2

9. αx = exlnα, αφού α = elnα

• Οι παραπάνω τύποι ισχύουν µε την προϋπόθεση ότι ταχρησιµοποιούµενα σύµβολα έχουν νόηµα.

Εκθετική συνάρτηση f(x) = αx , 0 < α ≠ 1y

x1

1

α

x

y

1

1α

1

1

α0

α>1

x

y

α 1

y

0<α<11

x

Λογαριθµική συνάρτηση f(x) = logα x , 0 < α ≠ 1



ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ)

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

Αν AΛ

< 90ο τότε : α2 = β2 + γ2 - 2 β Α∆⋅ ⋅

• Αν AΛ

> 90ο τότε : α2 = β2 + γ2 + 2 β Α∆⋅ ⋅Σε κάθε τρίγωνο ισχύουν οι ισοδυναµίες :

1. α2 = β2 + γ2 ⇔ AΛ

= 90ο

2. α2 < β2 + γ2 ⇔ AΛ

< 90ο

3. α2 = β2 + γ2 ⇔ AΛ

> 90ο

1Ο : β2 + γ2 = 2µα2 + α2

22ο : β2 - γ2 = 2 α ∆Μ⋅ ⋅

µ = 2 α + 2 γ - β µ = 2 β + 2 γ - α µ = 2 β + 2 α - γβ2

2 2 2

α2

2 2 2

γ2

2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅4 4 4

1ο : ∆Β∆Γ

= ΑΒΑΓ

2ο : ΖΒΖΓ

= ΑΒΑΓ

∆Β = α γβ + γ

∆Γ = α ββ + γ

ΖΒ = α γβ - γ

ΖΓ = α ββ - γ

⋅ ⋅ ⋅

A

BΓ∆

Ζ Α∆ = Εσωτερική διχοτόµος της ΑΛ

ΑΖ = Εξωτερική διχοτόµος της ΑΛ

βΑ

Β

Γ∆

αγ

A

B Γ∆ Μ

β > γµα = ΑΜΑ∆ ⊥ ΒΓ

Α

Β

Γ∆

α

β

γ

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΑΜΕΣΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ∆ΙΧΟΤΟΜΩΝ



ΑΒ2 = ΑΓ2 + ΒΓ2 2ΑΓ⋅ΒΓ⋅συνΓ

α β γ = = = 2RηµΑ ηµβ ηµΓ

Αν Ε το εµβαδόν τριγώνου µε πλευρές α,β,γ,R η ακτίνα τουπεριγεγραµµένου κύκλου, ρ η ακτίνα του εγγεγραµµένου κύκλου, ρα,ρβ, ργ οι ακτίνες των παρεγεγραµµένων κύκλων στις πλευρές α,β,γ

αντίστοιχα και τ = α + β + γ2

τότε ισχύουν:

Ε = 12

α υα⋅ ⋅ Ε = α β γ4R⋅ ⋅ Ε = (τ - α)ρα = (τ - β)ρβ = (τ - γ)ργ

Ε = τ(τ - α)(τ - β)(τ - γ) Ε = τ ρ⋅Ε = 1

2 α β ηµΓ⋅ ⋅ ⋅

Α

Β

Γ

∆Ο δ1δ2

ΣΑ ΣΒ = ΣΓ Σ∆

ΣΑ ΣΒ = ΣΟ R

ΣΑ ΣΒ = ΣΖ

2 2

2

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅

A

B

Γ

∆

Ζ

Σ

RΟ

ΣΑ ΣΒ = ΣΓ Σ∆

ΣΑ ΣΒ = R ΣΟ2 2

⋅ ⋅

⋅ ⋅

Α

ΒΓ

∆ΣΣ

Ο R

A B

Γ∆Μ Νυ ΑΒ//Γ∆

(ΑΒΓ∆) = ΑΒ + Γ∆ υ = ΜΝ υ2

⋅

Αν δ1,δ2 διαγώνιοι ρόµβου τότε

(ΑΒΓ∆) = δ δ2

1 2⋅

ΤΕΜΝΟΥΣΕΣ ΚΥΚΛΟΥ

ΕΜΒΑ∆Α

Νόµος συνηµιτόνων

Νόµος ηµιτόνων



Εµβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς α: 2α 3E = 4

ή

ΤΥΠΟΙ ΟΓΚΟΥ ΚΑΙ ΕΜΒΑ∆ΟΥ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

Γωνία κανονικού ν-γώνου : φ = 180 - 360νν

οοΛ

Κεντρική γωνία κανονικού ν-γώνου : ω = 360ν

οΛ

Ισχύουν οι σχέσεις :

1) α + λ4

= Rν2 ν

22 2) λ = 2Rηµω

2νν 3) α = Rσυνω

2νν

4) λ = 2R - R 4R - λ2ν2 2

ν2

Παρατήρηση:Η παραπάνω σχέση παίρνει και τις µορφές:

1. λ = λ - λ

ν2ν 2ν

24 2RR

2. λ = 2R(R - α2ν ν )

Αν A A^ ^

= 1ή A + A = 180^ ^ o

1

τότε ( )( )1 1 1 1 1 1 1

ΑΒΓ ΑΒ ΑΓ = Α Β Γ Α Β Α Γ

⋅⋅

A

B Γ

A1

B1 Γ1 A1

B1

Γ1

1) Κύβος πλευράς α∗ Εµβαδόν συνολικής επιφάνειας :Ε = 6 α2⋅∗ Όγκος : V = α3

2) Σφαίρα ακτίνας R∗ Εµβαδόν συνολικής επιφάνειας :Ε = 4 π R2⋅ ⋅

∗ Όγκος : V = 43

π R3⋅ ⋅3) Κύλινδρος ακτίνας r και ύψους h∗ Εµβαδόν παράπλευρης επιφάνειας : Ε = 2 π r h ⋅ ⋅ ⋅∗ Εµβαδόν κάθε βάσης : Ε = π r 2⋅∗ Όγκος : V = π r h2⋅ ⋅

ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ



ΑΡΙΘΜΟΣΠΛΕΥΡΩΝ λ = 2Rηµ π

νν

α = R 1 - λ2R

νν

=

2

= Rσυν πν

E = ν2λ α = ν ν ν

= ν2

ηµ 2πν

R2

4 R 2 12

R 2 2R2

8 R 2 - 2 12

R 2 + 2 2R 2 2

16R 2 - 2 + 2 1

2R 2 + 2 + 2 2R - 22 2

3 R 3 12

R34

R 2 3

6 R 12

R 332

R2 3

12 R 2 - 3 12

R 2 + 3 3R2

5 12

- 2 5R 10 ( )14

R 5 + 158

+ 2 5R2 10

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

Μήκος τόξου: S = αR (rad)

Εµβαδόν κυκλικού τοµέα: E = πR µ360

2 o

o

µR

R

Eµβαδόν κυκλικού τµήµατος: Ε = Εκυκλ. Τοµεα - Ετριγώνου R

µR

Μήκος κύκλου: L = 2πR Μήκος τόξου: S = πR µ180

2

ο

R

Εµβαδόν κύκλου: Ε = π R2



ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

• Ισότητα ∆ιανυσµάτων

ΑΒ = Γ∆→ →

όταν είναι οµόρροπα κι έχουν ίσα µέτρα

ΑΒ = Γ∆→ →

όταν και µόνο όταν τα ευθύγραµµα τµήµατα Α∆, ΒΓέχουν ίδιο µέσο.

• ΑΒ = Γ∆ ΑΓ = Β∆→ → → →

⇔

ΑΒ = Γ∆ ∆Β = ΓΑ→ → → →

⇔

ΑΒ = Γ∆ ∆Γ = ΒΑ→ → → →

⇔• Αν α, β, γ

διανύσµατα λ, µ ∈ R τότε:

1. α + β = β + α

2. (α + β) +γ = α + (β + γ)

3. α + 0 = α

4. α + (-α) = 0

5. α + γ = β + γ α = β⇔

6. α + x = α x = 0⇔

7. α + x = 0 x = -α⇔

8. -(α + β) = (-α) + (-β)

9. Αν Ο σταθερό σηµείο του χώρου ΑΒ = ΟΒ - ΟΑ→ → →

10. | α| - |β| |α + β| | α| + |β|≤ ≤

| α| - |β| <|α + β| = | α| + |β|

για α, β

οµόρροπα

| α| - |β| = |α + β| < | α| + |β|

για α, β

αντίρροπα

11. 0 α = 0, λ 0 = 0⋅ ⋅

12. λ(α + β) = λα + λβ

13. (λ + µ)α = λα + µα



14. λ(µα) = µ(λα)

15. 1α = α

16. λα = 0 λ = 0 η α = 0⇔

17. (-λ)α = λ(-α) = -(λα)

18. λ(α - β) = λα - λβ

19. (λ - µ)α = λα - µα

20. Αν λα = λβ και λ 0≠

τότε α = β

21. Αν λα = µα και α 0≠

τότε λ = µ.

• α//β α = λβ για λ R, β 0⇔ ∈ ≠

• Αν α //

β και το γ

ανήκει στο διανυσµατικό επίπεδο των α, β

τότε

υπάρχουν µοναδικοί λ, µ∈ R ώστε γ = λα + µβ

• ΑΜ λΜΒ , λ 1→ →

= ≠ και Ο σταθερό σηµείο του χώρου τότε

ΟΜ + λΟΒΟΜ = 1 + λ

→ →→

(Αν Μ είναι το µέσο του →

ΑΒ τότε προφανώς ΟΑ + ΟΒΟΜ = 2

→ →→

)

• Βασική εφαρµογή 1: Για το βαρύκεντρο G ενός τριγώνου ΑΒΓ και

µόνο γι αυτό ισχύει GA + GB + GΓ = 0→ → →

• Βασική εφαρµογή 2: Για το βαρύκεντρο G ενός τετραέδρου ΑΒΓ∆

και µόνο γι αυτό ισχύει GA + GB + GΓ + G∆= 0→ → → →

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΑν AΒ + BΓ + ΓΑ = 0

→ → →

τότε AΒ , BΓ, ΓΑ→ → →

είτε σχηµατίζουν τρίγωνοΑΒΓ, είτε είναι συγγραµµικά.ΣΥΝΤΑΤΕΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο• Αν (0, i, j)

ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων στοεπίπεδο και α ένα διάνυσµα σ αυτό, τότε γράφουµε ή 1 1α = (x , y )

όπου τα 1 1x , y είναι οι µοναδικοί πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους

1 1α = x i + y j

.



Έστω 1 1α = (x , y ) και 2 2β = (x , y )

), τότε:

1. 1 2

1 2

x = xα = β

y = y

⇔

2. 1 2 1 2α + β = (x + x , y + y )

3. Για λ∈ R 1 1λα = (λx , λy )

4. Αν 1 1 2 2A(x , y ), B(x , y ) δύο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου τότε:

• 2 1 2 1AB = (x -x , y -y )→

• 2 22 1 2 1AB = (x -x ) + (y -y )

→

• Έστω σηµείο Μ(xM, yM) ώστε AM = λΜΒ , λ -1→ →

≠

τότε 1 2 1 2M Μ

x + λx y + λyx = , y =1 + λ 1 + λ

(Αν Μ το µέσο του ΑΒ→

τότε προφανώς1 2 1 2

M Μx + x y + yx = , y =

2 2)

5. Αν 1 1 2 2α = (x , y ), β = (x , y )

, τότε:

• 1 11 2 2 1

2 2

x yα//β = 0 x y -x y = 0

x y⇔ ⇔

• 1 21 2

1 2

y yλ = , λ = x x

για 1 2x 0, x 0≠ ≠

• 1 2α//β λ = λ⇔

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

• Λ

α β = α β συν(α, β)⋅ ⋅ ⋅

• Αν 1 1 2 2α = (x , y ), β = (x , y )

, τότε:

1 2 1 2

Λ1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 2

α β = x x + y y

α β x x + y yσυν(α,β) = = |α| |β| x + y x + y

⋅

⋅ ⋅



Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ:1. α β = β α⋅ ⋅

2. (λα)β = λ(α β) = α(λβ)⋅

3. α(β + γ) = α β + α γ⋅ ⋅

4. 2α α = |α|⋅ . ∆ηλαδή 2 2| α| = α

(Χρήσιµη ιδιότητα. Μας µεταφέρει από διανύσµατα σε µέτρα και αντίστροφα).1. α β α β = 0⊥ ⇔ ⋅

2. 1 2 1 2α β x x + y y = 0⊥ ⇔

3. 1 2α β λ λ = -1⊥ ⇔ ⋅

Ο

ν

2ν

α

1ν

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ1.

Β(x2, y2)

A(x1, y1)x

y

ε

Β(x2, y2)

A(x1, y1)x

y

ε

ε // yy′

Έστω λ συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε), Α(x1, y1), B(x2, y2)σηµεία της (ε)

λ = εφω, ω π/2≠ 2 12 1

2 1

y - yλ = , x - x 0x - x

≠

Εξίσωση (ε): 1 1y y = λ(x - x )−

Εξίσωση (ε): 1 2 1 2 11 1 1 1

1 2 1 2 12 2

x y 1y - y y - y y - y = y - y = (x - x ) x y 1 = 0x - x x - x x - x

x y 1⇔ ⇔

1α ν = α ν⋅ ⋅ όπου 1 αν = προβ ν



2.

(ε)

x0 x

y

ΕΙ∆ΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ1.

(ε)y0

x

y

2.

(ε)

x

y

3.

(ε) x

y

α

β

• Αν (ε1), (ε2) µη παράλληλες προς τον yy′ µε λ1, λ2 συντελεστέςδιεύθυνσης, αντίστοιχα τότε: ε1//ε2 ⇔ λ1 = λ2, ε1 ⊥ ε2 ⇔ λ1⋅λ2 = -1

• Αν Α(x1, y1), B(x2, y2), Γ(x3, y3) σηµεία του Oxy τότε:Α, Β, Γ

συνευθειακά ⇔1 1

3 12 12 2

ΑΒ ΑΓ 2 1 3 13 3

x y 1y - yy - yλ = λ = x y 1 = 0

x - x x - xx y 1

→ → ⇔ ⇔

• Σε κάθε περίπτωση η εξίσωση της ευθείας (ε) έρχεται στη µορφή:Αx + By + Γ = 0, µε |Α| + |Β| ≠ 0 (1) (που σηµαίνει Α ≠ 0 ή Β ≠ 0)και αντίστροφα κάθε εξίσωση της µορφής (1) παριστάνει ευθεία.

ε//yy′ τότε εξίσωση (ε): 0x = x

ε//xx′ τότε εξίσωση (ε): 0y = y

ε περνά από το (0, 0) τότε: εξίσωση (ε): y = λx

ε κόβει τον xx′ στο (α, 0) και τον yy′ στο (0, β)

τότε: εξίσωση (ε): x y+ = 1α β



Γωνία δύο ευθειών:Έστω ε1, ε2 ευθείες µε ε1, ε2 // yy′ και

Λ

1 2ω = ( ε , ε ) που ονοµάζεται γωνία των ε1 καιε2 η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία ε2 µε τηνευθεία ε1.

Αν πω2

≠ είναι 2 1

1 2

λ - λεφω = 1 + λ λ

• Απόσταση σηµείου Α(x1, y1) από ευθεία(ε): Αx + By + Γ = 0,

1 1

2 2

Αx + By + Γd(A, ε) =

+ ΒΑ• Εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ µε A(x1, y1), B(x2, y2), Γ(x3, y3) τότε

1 12 1 2 1

2 23 1 3 1

3 3

x y 1x -x y - y1 1 1= |det(ΑΒ ,ΑΓ) | = | | = | x y 1 |x - x y - y2 2 2

x y 1

→ →

ΑΒΓΕ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

Κύκλος

0 x

y ρ

• Εξίσωση κύκλου (Κ, ρ):2 2 2

2 2 20 0 0 0

x + y = ρ αν Κ(0,0)(x - x ) + (y - y ) = ρ αν Κ(x , y )

• Εξίσωση εφαπτοµένης κύκλου (Κ, ρ):2

1 12

0 1 0 0 1 0 0 0

xx + yy = ρ αν Κ(0,0)(x - x )(x - x ) + (y - y )(y - y ) = ρ αν Κ(x , y )

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ: x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0, µε Α2 + Β2 - 4Γ > 0

(ε1)

x

y (ε2) ω



ΠαραβολήΕίναι ο γ.τ. των σηµείων που ισαπέχουν απόµία σταθερή ευθεία δ (διευθετούσα) και απόένα σταθερό σηµείο Ε (εστία)

• Εξίσωση παραβολής:2

2

y = 2ρx αν Ε(ρ/2, 0) δ: x = -ρ/2x = 2ρy αν Ε(0, ρ/2) δ: y = -ρ/2

• Εξίσωση εφαπτοµένης παραβολής: 2

1 12

1 1

yy = ρ(x + x ) αν y = 2ρx

xx = ρ(y + y ) αν x = 2ρy

ΈλλειψηΕίναι ο γ.τ. των σηµείων που το άθροισµα τωναποστάσεών τους από δύο σταθερά σηµεία Ε΄ και Ε(εστίες) είναι σταθερό και µεγαλύτερο του (Ε΄Ε).Εστιακή απόσταση: 2γ = (Ε΄Ε)α τέτοιο ώστε (ΜΕ΄) + (ΜΕ) = 2αβ τέτοιο ώστε β2 = α2 - γ2

• Εξίσωση έλλειψης:2 2

2 2

2 2

2 2

x y + = 1 αν Ε(γ, 0), Ε΄(-γ, 0)α βy x + = 1 αν Ε(0, γ), Ε΄(0, -γ)α β

για α>β

δ

Εx

y

0

xx

y

0 E(ρ/2,0)

δ: x=-ρ/2

ρ>0

y

0E(ρ/2,0)

δ: x=-ρ/2ρ<0

ρ>0

x

y

0

E(0,ρ/2)

δ: y=-ρ/2 ρ<0

x

y

0E(0,ρ/2)

δ: y=-ρ/2

x

y M

E΄(-γ,0) E(γ,0)

x

y

ME΄(0,-γ)

E(0,γ)



• Εκκεντρότητα της έλλειψης: 2 2

2 2x y+ = 1α β

ορίζεται το γε = α

• Εξίσωση εφαπτοµένης:

2 21 1

2 2 2 2

2 21 1

2 2 2 2

xx yy x y + = 1 αν + = 1α β α βyy xx y x + = 1 αν + = 1α β α β

για α>β

ΥπερβολήΕίναι ο γ.τ. των σηµείων τουεπιπέδου που η απόλυτη διαφοράτων αποστάσεων από δύο σταθεράσηµεία Ε΄ και Ε (εστίες) είναισταθερή και µικρότερη του (Ε΄Ε)(εστιακή απόσταση).

• Εστιακή απόσταση (Ε΄Ε) = 2γ• α: τέτοιο ώστε |(ΜΕ΄) - (ΜΕ)| = 2α

• β: τέτοιο ώστε β2 = γ2 - α2

• Εξίσωση υπερβολής:2 2

2 2

2 2

2 2

x y - = 1 οταν Ε(γ,0), Ε (-γ,0)α βy x - = 1 οταν Ε(0,γ), Ε (0,-γ)α β

′ ′

• β βy = x, y = - xα α

ασύµπτωτες της 2 2

2 2x y- = 1α β

• α αy = x, y = - xβ β

ασύµπτωτες της 2 2

2 2y x- = 1α β

Ε΄(-γ,0) Ε(γ,0)

Ε΄(0,-γ)

Ε(0,γ)



• Εκκεντρότητα της υπερβολής: 2 2

2 2x y- = 1α β

ορίζεται το γε = α

• Εξισώσεις εφαπτοµένης υπερβολής:2 2

1 12 2 2 2

2 21 1

2 2 2 2

xx yy x y - = 1 αν - = 1α β α βyy xx y x - = 1 αν - = 1α β α β

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ)

Ι. Μαθηµατική Επαγωγήν(ν + 1)1 + 2 + ... + ν = ν Ν

2∀ ∈

ν(1 + α) 1 + να ν Ν, α>-1 και α 0 (Ανισοτητα Bernoulli)≥ ∀ ∈ ≠

ΙΙ. Ευκλείδια ∆ιαιρεσηΑν α, β ακέραιοι µε β≠0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ,ώστε α = κ β + υ⋅ , 0 ≤ υ ≤ |β|.

Κάθε ακέραιος α γράφεται στις εξής µορφές

(1) 2κ η 2κ+1

(2) 3κ η 3κ+1 η 3κ+2κ Ζ

(3) 4κ η 4κ+1 η 4κ+2 η 4κ+3

(.) .......................

∈

ΙΙΙ. ∆ιαιρετότηταΟρισµός: Έστω α,β∈ Ζβ/α (β διαιρεί το α) όταν υπάρχει κ∈ Ζ ώστε α = κ⋅βΆµεσες συνέπειες• α = κ⋅β ⇔ -α = κ⋅(-β). Έτσι ισχύει β/α⇔(-β)/(-α)• α = (-κ)⋅(-β)⇔α = κ⋅(-β). Έτσι ισχύει (-β)/α)• ± 1/α για κάθε α∈ Ζ• ± α/α για κάθε α∈ Ζ*• β/0 για κάθε β∈ Ζ*• β/α⇔κ⋅β/κ⋅α κ∈ ΖΑκόµα για α,β,γ ακεραίους ισχύουνi. Αν α/β και β/α τότε α = β ή α = -βii. Αν α/β και β/γ τότε α/γ



iii. Αν α/β τότε α/λβ, λ∈ Ζiv. Αν α/β και α/γ τότε α/(β + γ)v. Αν α/β και β≠0 τότε |α|≤|β|

IV. Μ.Κ.∆. - Ε.Κ.∆.Με (α,β) συµβολίζουµε το Μ.Κ.∆. των α,β∈ ΖΙσχύουν:• (α,β) = (|α|,|β|)• (α,α) = α• (α,0) = α• (α,1) = 1• αν β/α τότε (α,β) = β• Αν (α,β) = 1 τότε α,β ονοµάζονται πρώτοι

• Αν δ = (α,β) τότε: δ/α και δ/βκαιΑν x/α και x/β τοτε x δ

≤

Αν α,β,κ,υ∈ Ν µε α = κ⋅β + υ τότε (α,β) = (α,υ).

Αν δ = (α,β) τότε α β και δ δ

είναι αριθµοί πρώτοι µεταξύ τους.

Οι κοινοί διαιρέτες των ακεραίων α,β είναι διαιρέτες του (α,β). Αν α,β,γ ακέραιοι και α/β⋅γ και (α,β) = 1 τότε α/γV. Ε.Κ.Π.Με [α,β] συµβολίζουµε το Ε.Κ.Π. των ακεραίων α,β. Ισχύουν:• [α,β] = [|α|,|β|]

• Αν α,β∈ Ν τότε:i) β/α [α,β] = αii) [α,1] = α

Αν α,β∈ Ν* τότε (α,β)⋅[α,β] = α⋅βΑν α,β∈ Ζ* τότε (α,β)⋅[α,β] = |α|⋅|β|, αφού (α,β) = (|α|,|β|) και [α,β] = [|α|,|β|].VI. H Γραµµική ∆ιοφαντική εξίσωσηΑν (x0,y0) µια λύση της αx + βy = γ (δ/γ µε δ = (α,β)) τότε οι άπειρες λύσεις της αx

+βy = γ δίνονται από τους τύπους: 0 0β αx = x + t, y = y - t, t Zδ δ

∈

Αν α/β και α/γ τότε α/(κβ + λγ)

α,β θετικοί ακέραιοι



ΑΝΑΛΥΣΗ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ∆ιαγράµµατα βασικών συναρτήσεων

c

x

y

α > 0

x

y

β

x

y

βα < 0

0α > 0 x

yx

y

α < 0

0f(x) = αx2, α≠0

Αf = R[0,+ ), α>0

f(R) = (- ,0], α<0

∞ ∞

α > 0

x

yα < 0

x

y

0 0

f(x) = αx3, α≠0Αf = R

f(R) = R

α > 0

x

yα < 0

0 x

y

0

αf(x) = , α 0x

≠

Af = R*

f(R) = R*

f(x)=cA(f)=Rf(R)=c

f(x)=αx+βA(f)=Rf(R)=R



0

y

x

y=ñçì ù xñ

-ñ

ðù

2ð ù

Οι συναρτήσεις:f(x) = ρηµωx

µε ρ, ω > 0f(x) = ρσυνωx

0

y

x

y=ñóõí ùxñ

-ñ

ðù

2ð ù

• είναι περιοδικές µε περίοδο 2πω

• έχουν µέγιστη τιµή ίση µε ρ και ελάχιστη τιµή ίση µε -ρ.

0

y

xð-ðð2

ð2

3ð 2

3ð 2

f(x) = εφxΑf = R\κπ+ π

2/κ∈ Ζ

f(Αf)) = R

α > 0β2 - 4αγ > 0

0΄0 x

y

χ

ψ

24,2 4

β αγ−β− α α

α > 0β2 - 4αγ < 0

0΄

0 x

y

χ

ψ

24,2 4

β αγ −β α α

α > 0β2 - 4αγ = 0

0΄0 x

y ψ

α < 0β2 - 4αγ > 0

0΄

0x

y

χ

ψ

α < 0β2 - 4αγ < 0

0΄

0

χ

y

x

ψ

α < 0β2 - 4αγ = 0

0΄0 x

y ψ



11α

α > 1

0 x

y

1α1

0 < α < 1

0 x

yf(x) = αχ, 0<α≠1

Af = Rf(Af) = (0,+∞)

α > 1

1 α

1

0 x

y0 < α < 1

1α

1

0 x

yf(x) = logαxAf = (0, +∞)

f(Af) = R

(θα χρησιµοποιήσουµε τα σύµβολα: ∀ (για κάθε), ∃ (υπάρχει), (έπεται), x (x x→ ±∞ → +∞ → −∞, , ) για συντοµία.

• Ανισότητα Bernoulli:Για α>-1 ισχύει (1+α)ν ≥ 1+να για κάθε ∈Ν .

• 1+2+3+...+ν = ν(ν + 1)2

• 12+22+32+...+ν2 = ν(ν + 1)(2ν + 1)6

• 13+23+33+...+ν3 = ν ν + 1)2 2(4

Ισότητα συναρτήσεων: f = g ότανA = A = A και

f(x) = g(x) για καθε x Af g

∈

Άρτια συνάρτηση: f άρτια όταν για κάθε x A f∈ είναι : -x A καιf(-x) = f(x)

f∈

Περιττή συνάρτηση: f περιττή όταν για κάθε x A f∈ είναι :-x A καιf(-x) = -f(x)

f∈

Περιοδική συνάρτηση: f περιοδική µε περίοδο T *∈ ℜ όταν για κάθε

x A f∈ είναι: x + T A καιf(x + T) = f(x)

f∈

Σύνθεση συναρτήσεων: Αν για τις f,g το σύνολο B = x A Af g∈ ∈/ ( )f x είναι διάφορο του κενού, τότε ορίζεται η νέα

συνάρτηση gof µεAgof = B και (gof)(x) = g(f(x)).



• Μονοτονία συναρτήσεων:f στο ∆ ⊆ Af όταν και µόνο όταν 1 2x , x∀ ∈∆ µε x1<x2 έπεται f(x1) < f(x2)

f ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ x1<x2 ¨ f(x1) ≤ f(x2)f ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ x1<x2 ¨ f(x1) > f(x2)f ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ x1<x2 ¨ f(x1) ≥ f(x2)

Για κάθε x1,x2 ∈ ∆ ⊆ Af µε x1 ≠ x2 και λ = f(x - f(xx - x1 2

1 2

) ) ισχύουν:

Αν λ > 0 τότε f στο ∆.Αν λ ≥ 0 τότε f στο ∆.Αν λ < 0 τότε f στο ∆.Αν λ ≤ 0 τότε f στο ∆.

• Μονοτονία και σύνθεση:Έστω ότι ορίζεται η gof τότε:

Αν g,f γνήσια µονότονες µε ίδιο είδος µονοτονίας έπεται ότι gofΑν g,f γνήσια µονότονες µε διαφορετικό είδος µονοτονίας έπεται ότι gof• Συνάρτηση ¨1 - 1¨.∆είχνουµε ότι η f είναι ¨1 - 1¨ µε ένα από τους πιο κάτω τρόπους:

i) Αποδεικνύουµε ότι ∀ x1,x2 ∈ A f µε x1 ≠ x2 έπεται f(x1) ≠ f(x2)ii) Αποδεικνύουµε ότι ∀ x1,x2 ∈ A f µε f(x1) = f(x2) έπεται x1 = x2

iii) Αποδεικνύουµε ότι η f είναι γνήσια µονότονη.

∗ Πρακτικά η f είναι ¨1 - 1¨ όταν και µόνο όταν οποιαδήποτεοριζόντια ευθεία τέµνει το διάγραµµά της το πολύ σε ένα σηµείο.

• Αντίστροφη συνάρτηση:

Αν f:A → ℜ ¨1-1¨ τότε για την f : f(A)-1 → ℜ ισχύει: f = x f(x) = y-1( )y ⇔

∗ Οι γραφικές παραστάσεις των f,f -1 είναι συµµετρικές ως προς τηνευθεία y = x.

• Αν f : A→ ℜ είναι ¨1 - 1¨ τότε ( )( )

f = x x A

f = y f(A)

-1

-1

f x

f y y

( )

( )

∀ ∈

∀ ∈

• Φραγµένες συναρτήσεις∗ f άνω φραγµένη όταν υπάρχει m ∈ ℜ ώστε f(x) m x A≤ ∀ ∈∗ f κάτω ¨ ¨ ¨ s ∈ ℜ ¨ s f(x) x A≤ ∀ ∈∗ f φραγµένη όταν είναι άνω και κάτω φραγµένη.



Βασική πρότασηf φραγµένη αν και µόνο αν υπάρχει t +

*∈ ℜ ώστε f(x) t≤ για κάθε x Af∈

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΓια κάθε συνάρτηση f : A→ ℜ το σύνολο τιµών f(A) δείχνει την ύπαρξη τωνφραγµάτων όπως και των ακρότατων τιµών της f. Έτσι :∗ Αν για θ ∈ ℜ είναι f(x) θ≤ για κάθε x Af∈ , το θ είναι ένα άνω φράγµα.

Ενώ ανf(x) θ x A καιθ f(A)

f≤ ∀ ∈

∈

τότε το θ είναι το µέγιστο της f.

∗ Αν για s ∈ ℜ είναι s f(x)≤ για κάθε x Af∈ το s είναι ένα κάτωφράγµα.

Ενώ ανs f(x) x A καιs f(A)

f≤ ∀ ∈

∈

τότε το s είναι το ελάχιστο της f.

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

∗ Συµβολίζουµε µε U(x α)o , την ένωση (x - α, x ) (x x + α)o o o o∪ , , α > 0

lim = l x xo→

∈ ℜf x( ) όταν ∀ ∃ε>0 δ>0ώστε ∀ ∈x Af µε 0< x-x <δ f(x)-l <εo

lim = l x +→ ∞

∈ ℜf x( ) ¨ ∀ ∃ε>0 κ>0 ¨ ∀ ∈x Af µε x>κ -l <ε f x( )

lim = l x -→ ∞

∈ ℜf x( ) ¨ ∀ ∃ε>0 κ>0 ¨ ∀ ∈x Af µε x<-κ f(x)-l <ε

lim f(x) = +x xo→

∞ ¨ ∀ ∃M>0 δ>0 ¨ ∀ ∈x Af µε 0< x-x <δ f(x)>Mo

lim f(x) = +x +→ ∞

∞ ¨ ∀ ∃M>0 κ>0 ¨ ∀ ∈x Af µε x>κ f(x)>M

lim f(x) = +x -→ ∞

∞ ¨ ∀ ∃M>0 κ>0 ¨ ∀ ∈x Af µε x<-κ f(x)>M

lim f(x) = -x xo→

∞ ¨ ∀ ∃M>0 δ>0 ¨ ∀ ∈x Af µε 0< x-x <δ f(x)<-Mo

lim f(x) = -x +→ ∞

∞ ¨ ∀ ∃M>0 κ>0 ¨ ∀ ∈x Af µε x>κ f(x)<-M

Η πρόταση χρησιµοποιείται ευρύτατα για την απόδειξη ότι µιασυνάρτηση είναι φραγµένη.



lim f(x) = -x→−∞

∞ ¨ ∀ ∃M>0 κ>0 ¨ ∀ ∈x Af µε x<-κ f(x)<-M

Ιδιότητες ορίων (στα παρακάτω xo ∈ ℜ ℜ ∪ ∞ ∞ = - ,+

(1) Αν ( ( ( )

o

o

x x

f(x) g(x) x U x ,δ , δ>0 καιlim g(x) = 0→

≤ ∀ ∈

τότε ox x

lim f(x) = 0→

(2) Αν o

*

x xlim f(x) = l →

∈ ℜ τότε υπάρχει δ>0 ώστε για κάθε ( )x U x δo∈ , οι

τιµές της f(x) είναι οµόσηµες του l.(3)

o ox x x xlim f(x) = l lim (f(x) - l) = 0→ →

⇔

(4) Αν υπάρχουν τα ox x

lim f(x) →

∈ℜ , ox x

lim g(x) →

∈ℜ ισχύουν:

(i) ( )o o ox x x x x x

lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x)→ → →

± ±

(ii) [ ]o ox x x x

lim c f(x) = c lim f (x)→ →

⋅ ⋅

(iii) [ ]o o ox x x x x x

lim f(x) g(x) = lim f (x) lim g(x)→ → →

⋅ ⋅

(iv) o

o o

o

x x

x x x xx x

lim f (x)f (x)lim = , lim g(x) 0g(x) lim g(x)

→

→ →→

≠

(v) ( ) ( )o o

κκ

x x x xlim(f (x)) = lim f (x) , κ Ν→ →

∈

(vi) o o

*κ κ ox x x xlim f (x) = lim f(x), κ Ν , f(x) 0 σε U(x ,δ)→ →

∈ ≥

(vii) o o o ox x x x x x x x

lim | f (x) | = | lim f (x) | lim f (x) 0 lim | f (x) | 0→ → → →

= ⇔ =

(viii) Αν f(x) 0 σε U(x δ)o≥ , τότε ox x

lim f(x) 0→

≥

Αν f(x) g(x) σε U(x δ)o≥ , τότε o ox x x x

lim f(x) lim g(x)→ →

≥

(5) Κριτήριο παρεµβολής:

Αν

ℜ∈==

>∈∀≤≤

→→ κ g(x)lim h(x)lim

κ κ 0δ δ),,U(xx g(x)f(x)h(x)

00 xxxx

0

τότε ox x

lim f(x) = κ→

(6) Όριο σύνθετης συνάρτησης:



Αν ορίζεται η gof και o o

o o ox x x xf (x) x x f(x) u και g(u)=llim = u , , lim

→ →∀ ≠ ≠

τότε:o o

u=f(x)

x x x xlim g(f (x)) = lim g(u) = l→ →

Ακόµα, για x o ∈ ℜ ισχύουν οι εξής ιδιότητες:(1) lim = + lim -

x x x xo o→ →∞ ⇔ − = ∞f x f x( ) ( ( ))

(2) lim f(x) = +x xo→

∞ (ή −∞ ) τότε lim = +x xo→

∞| ( )|f x

(3) lim = +x xo→

∞f x( ) τότε lim f(x) = +x x

κo→

∞

(4) lim = +x xo→

∞f x( ) (ή -∞ ) τότε lim = 0x xo→

1f x( )

(5)

lim = 0

καιf(x) > 0 σε U(x δ)

x x

o

o→

f x( )

,τότε lim 1

f(x) = +

x xo→∞

(6)

lim f(x) = 0

καιf(x) < 0 σε U(x δ)

x x

o

o→

, τότε lim 1

f(x) = -

x xo→∞

Αν στο xo το όριο της fείναι:

α∈ℜ α∈ℜ +∞ -∞ +∞ -∞

το όριο της g είναι: +∞ -∞ +∞ -∞ -∞ +∞τότε το όριο της f + gείναι:

+∞ -∞ +∞ -∞ ; ;

Αν στο xo το όριο της f είναι: α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 +∞ +∞ -∞ -∞

Πιο γενικά, για τα άπειρα όρια ισχύουν οι προτάσεις πουπεριγράφονται στους επόµενους πίνακες

Πίνακας 1(ΟΡΙΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ)

Πίνακας 2(ΟΡΙΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ)



το όριο της g είναι: +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞ +∞ -∞

τότε το όριο της f ⋅ g είναι: + ∞ -∞ -∞ +∞; ;

+∞ -∞ -∞ +∞

Αν στο xoτο όριοτης f είναι:

α ∈ ℜ α ∈ ℜ α>0 ή+∞

α>0 ή+∞

α<0 ή -∞

α<0 ή-∞

+∞ +∞ -∞ -∞

Το όριοτης gείναι:

+∞ -∞ β=0 και g(x)>0

β=0 και g(x)<0

β=0 και g(x)>0

β=0 και g(x)<0

β>0 β<0 β>0 β<0

Το όριοτης f/gείναι:

0 0 +∞ -∞ -∞ +∞ +∞ -∞ -∞ +∞

ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ

(1) lim x = + ν Νx +

ν *→ ∞

∞ ∈ (2) lim x = + ν Νx -

2ν *→ ∞

∞ ∈

(2) lim x = - ν Νx -

2ν - 1 *→ ∞

∞ ∈ (4) lim lnxx - 1

= 1x 1→

(5) lim e - 1x

= 1x 0

x

→(6) lim α =

+ α>10 0<α<1x +

x→ ∞

∞

(7) lim α = 0 α>1+ 0<α<1x -

x→ ∞ ∞

(8) lim log x = + α>1- 0<α<1x +

α→ ∞

∞∞

(9) lim log x = - α>1+ 0<α<1x 0

α+→

∞∞

(10) lim ηµxx

= lim xηµx

= lim xεφx

= lim εφxx

= 1x 0 x 0 x 0 x 0→ → → →

ΣΧΟΛΙΑ

• Για την εύρεση του ορίου στο xo , ρητής συνάρτησης f(x) = P(x)Q(x)

ακολουθούµε την πιο κάτω διαδικασία:

Αν Q(xo) ≠ 0 τότε lim f(x) = P(xQ(xx x

o

oo→

))

.



Αν Q(xo) = 0 τότε:

1. Αν P(xo) ≠ είναι:

lim = limQ(x)

=

-

+x x x xo o→ →

∞

∞

f x P x( ) ( ) 1

♦ Βασικά τεχνάσµατα που χρησιµοποιούνται για την εύρεσηI. Ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση µε τη συζυγή παράσταση

κυρίως σε συναρτήσεις της µορφής f(x) = P(x) - Q(x) οπότε ο

τύπος της f µετασχηµατίζεται σε f(x) = P(x) - Q(x)P(x) + Q(x)

II. Η χρησιµοποίηση της ταυτότητας:αν - βν = (α - β)(αν-1 + αν-2β + αν-3β2 + ... + βν-1) κυρίως σεσυναρτήσεις της µορφής: f(x) = P(x) - Q(x)ν ν οπότεµετασχηµατίζεται σε:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

f(x) = P(x) - Q(x) P(x) + P(x) Q(x) + ... + Q(x)

P(x) + P(x) Q(x) + ... + Q(x) =

ν ν νν-1

νν-2ν ν

ν-1

νν-1

νν-2ν ν

ν-1

= ( ) ( ) ( )

P(x) - Q(x)

+ + ... + Qνν-1

νν-2ν ν

ν-1P x P x Q x x( ) ( ) ( ) ( )

ΙΙΙ. Η πρόταση:

Αν f(x) = α + α + ... + α + αβ x + β x + ... + β x + β

, α βνν

ν-1ν-1

1 ο

κκ

κ-1κ-1

1 ον κ

x x x ≠ ≠0 0,

τότε lim f(x) = αβ

limx

ν

κ x

ν

κ→±∞ →±∞⋅ x

x

όταν υπάρχει δ>0 ώστε Q(x)οµόσηµο του P(x) για κάθεx U(x δ)o∈ ,όταν υπάρχει δ>0 ώστε Q(x)ετερόσηµο του P(xο) για κάθεx U(x ,δ)o∈



ΙV.

Αν f(x) = P(x)Q(x)

και

lim l limQ(x) = 0x x

*xo→ →

= ∈ℜ

f xxo

( ) ,

τότε ( )lim = lim = l 0 = 0x x x xo o→ →

⋅P x f x Q x( ) ( ) ( ) , xo ∈ ℜ

V.

Αν f(x) = P(x) Q(x)καιlim = , lim = l

x x x xo o

⋅

±∞ ∈ℜ

→ →

P x f x( ) ( )τότε lim = lim = lim

x x x x x xo o o→ → →

Q x f x

P xf x

P x( ) ( )

( )( )

( )1 =

= l ⋅ 0 = 0 , xo ∈ ℜVI. Η εξαγωγή κοινού παράγοντα της µεγιστοβάθµιας δύναµης του x

προκειµένου να δηµιουργήσουµε παραστάσειςλ

x λ κ Νκ

* *, ,∈ ℜ ∈ για τις οποίες lim λx

= 0x κ→±∞

.

ΣχόλιοΕίναι προφανές ότι υπάρχουν και ειδικές περιπτώσεις εύρεσης ορίωνπου είναι πέρα από το σκοπό του τυπολογίου.

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

• Αν f, g συνεχείς στο xo τότε:1. f g± συνεχείς στο xo 2. f g⋅ συνεχείς στο xo

3. fg

¨¨ ¨¨ xo , g(x 0o ) ≠ 4. λ f⋅ ¨¨ ¨¨ x λ o , ∈ ℜ

5. |f| ¨¨ ¨¨ xo 6. fκ ¨¨ ¨¨ x , f(x 0o o ) ≥• Συνέχεια βασικών συναρτήσεων Οι πιο κάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους.

I. f(x) = α + α + ... + α + α ν Ν α , i = 0,1,2,...,ννν

ν-1ν-1

1 ο*

ix x x ∈ ∈ ℜ,

Ορισµός: Η f συνεχής σε xo ∈ A f ότανlim f(x

x xo)

o→=f x( )

∆ηλ. όταν lim f(x) = lim f(x) = f(xo+)



II. g(x) = c, c ∈ ℜIII. p(x) = ηµxIV. Q(x) = συνxV. Z(x) = εφxVI. t(x) = σφxVII. y(x) = αx, 0 < α 1≠VIII. t(x) = logαx, 0 < α 1≠IX. Αν f συνεχής στο xo και g συνεχής στο f(xo), τότε gof συνεχήςστο xo.

Θ. BOLZANO

•• ⋅

f συνεχης στο [α,β] f(α) f(β) < 0

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β)∈ ώστε

f(ξ) = 0• ∆εν ισχύει το αντίστροφο

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

1. Αν f συνεχης στο [α,β] και f(α) f(β) 0⋅ ≤

τότε υπάρχει ένα

τουλάχιστον ξ [α,β]∈ ώστε f(ξ)=02. Για να δείξουµε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β)∈ ώστε f(ξ) =

g(ξ), αρκείf(ξ) - g(ξ) = 0.∆ηλαδή αρκεί η h(x) = f(x) - g(x) να ικανοποιεί τις συνθήκεςBolzano στο [α,β].

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

Ορισµός:

Αν για x Ao f∈ είναι ox x

f(x) - f(x )o x - xo

lim→

∈ ℜ τότε o

o x x

f(x) - f(x )ox - xo

f (x ) lim→

′ =

Για h = x - xox = x + hox x h 0o

⇔→ ⇔ →

Έτσι o h 0

f(x + h) - f(x )o oh

f (x ) lim→

′ =

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ



Αν f,g παραγωγίσιµες, τότε:1. (f g) = f g± ′ ′ ± ′2. (fg) = f g + fg′ ′ ′Γενικά για την παράγωγο του γινοµένου, ν παραγωγίσιµωνσυναρτήσεων, ισχύει:(f f f f f f f + f f f + ... + f f f1 2 3 ν 1 2 ν 1 2 ν 1 2 ν... ) ... ... ...= ′ ′ ′

3. 21 g

, g(x) 0g g

= - ′

′≠

4. 2f f g - fg

= , g(x) 0g g

′′ ′

≠

5. (λf) = λf , λ ′ ′ ∈ ℜ

• Παράγωγος σύνθετης συνάρτησηςΑν f παραγωγίσιµη στο x και g παραγωγίσιµη στο f(x) τότε:(gof) (x)=g (f(x)) f (x)′ ′ ′⋅

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

1. (c) = 0′ 2. (x) = 1′

3. (x ) = νx ν Ν x ν ν-1 *′ ∈ ∈ℜ, ,

( [f(x)] = ν(f(x)) f (x), ν Ν f(x) ν ν-1 *′ ⋅ ′ ∈ ∈ ℜ) ,

(x ) = µx µ Ζ-Ν x µ µ-1 *′ ∈ ∈ℜ, , ( [f(x)] = µ(f(x)) f (x), µ Ζ-Ν f(x) µ µ-1 *′ ⋅ ′ ∈ ∈ℜ) ,

(x ) = αx α -Ζ, x (0,+ )α µ-1′ ∈ℜ ∈ ∞, ( [f(x)] = α(f(x)) f (x), α -Ζ, f(x) > 0α α-1′ ⋅ ′ ∈ℜ)1

( x ) = , x (0,+ )2 x

′ ∈ ∞ 1( f(x)) = f (x), f(x) > 0

2 f(x)′ ′

4. (ηµx) = συνx′ (ηµf(x)) = συνf(x) f (x)′ ′⋅

5. (συνx) = -ηµx′ (συνf(x)) = -ηµf(x) f (x)′ ′⋅

6. 21

(εφx) = συν x

′ 21

(εφf(x)) = f (x)συν f (x)

′ ′

7. (σφx) = - 1ηµ2′

x (σφf(x)) = - 1

ηµf (x)2′ ′

f x( )

8. (ln|x|) = 1x

, x 0′ ≠ (ln|f(x)|) = 1f(x)

f (x)′ ′



9. (e ex x′ =) (e = e f (x)f(x) f(x)′ ⋅ ′)

10. (log 1x lnαα x ′ =

⋅) (log = 1

f(x) lnα f (x)α f x( )) ′

⋅′

11. (α = α α, 0 < α 1x x′ ≠) ln (α = α α f (x)f(x) f(x)′ ⋅ ′) ln

((f(x)) = (e (g(x)lnf(x)) = (f(x)) [g (x)ln(f(x))+g(x) 1f(x)

g(x) g(x)lnf(x) g(x)′ ′ ⋅ ′ ⋅ ′ ′) ) ( )f x

Εξίσωση εφαπτοµένης (ε) του Cf σε σηµείο (xo, f(xo))• Αν f παραγωγίζεται στο xo τότε η εξίσωση

(ε): y - f(x = f (x (x - xo o o) ) )′ ⋅

• Αν f συνεχής στο xo και lim f(x) - f(x x

= +x x

o

oo→ −∞)

xή -∞ τότε η

εξίσωση εφαπτοµένης (ε): x = xo

• Αν f συνεχής στο xo και τα lim f(x) - f(x x

, lim f(x) - f(x xx x

o

o x x

o

oo-

o+→ →− −

) )x x

είναι

διαφορετικά µεταξύ τους, τότε δεν ορίζεται εφαπτοµένη στο xo. Το(xo, f(xo)) είναι γωνιακό σηµείο του Cf.

• Αν f ασυνεχής στο xo τότε δεν ορίζεται εφαπτοµένη στο xo.

Το x o ∈ ℜ είναι ρίζα του πολυωνύµου p(x) µε βαθµό πολλαπλότηταςn, όταν και µόνο όταν υπάρχει πολυώνυµο π(x) ώστε :p(x) = (x - x π(x) µε π(x) 0o )n ⋅ ≠ .

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ - ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Θεώρηµα FERMAT

Αν f ορισµενη σε διαστηµα ∆f παραγωγισιµη σε x εσωτερικο σηµειο του ∆Στο x η f παρουσιαζει τ.α

o

o

τότε ′f (x = 0o )

ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ

1



Θεώρηµα ROLLE

Αν f συνεχης σε διαστηµα ∆f παραγωγισιµη στο (α,β)f(α) = f(β)

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

Θ.Μ.Τ. (Lagrange)Αν f συνεχης στο [α.β]

f παραγωγισιµη στο (α,β)

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

Αν f συνεχής στο διάστηµα ∆ και για κάθε εσωτερικό σηµείο xτου ∆ είναι

′f (x) = 0 τότε f σταθερή στο ∆.

Αν f,g συνεχείς στο διάστηµα ∆ και ′ ′f (x) = g (x) για κάθε xεσωτερικό του ∆ τότε υπάρχει σταθερά c ∈ ℜ ώστεf(x) = g(x) + c για κάθε x ∆∈ .

Έστω f, συνεχής στο [α,β] τότε:

Αν f (x) > 0 x (α,β) επεται f στο [α,β]

Αν f (x) < 0 x (α,β) επεται f στο [α,β]

′ ∀ ∈ ↑ ∧′ ∀ ∈ ↓

∨

Έστω f παραγωγίσιµη στο (α,x x β)o o) ( ,∪ και συνεχής στο xo

τότε:

I. Αν

∈∀′∈∀′

)β,(x x 0 < (x)f)x(αα x 0 > (x)f

o

o έπεται ότι στο xo η f παρουσιάζειτ.µ.

II. Αν

∈∀>′∈∀<′

)β,(x x 0 (x)f)x(αα x 0 (x)f

o

o έπεται ότι στο xo η f παρουσιάζει τ.ε.

Έστω f παραγωγισιµη σε διαστηµα ∆x εσωτερικο του ∆f (x = 0 και υπαρχει f (x

o

o o′ ′′

) )

2ξ ∈ (α, β) ώστε ′f (ξ) = 0

3ξ ∈ (α, β) ώστε ′f (ξ) = f(β) - f(α)

β - α

4

5

6

7

8



τότε:Αν f (x ) < 0 επεται οτι στο x η f παρουσιαζει τ.µ.Αν f (x ) > 0 επεται οτι στο x η f παρουσιαζει τ.ε.

o o

o o

′′′′

Έστω f συνεχής στο [α,β] και δύο φορές παραγωγίσιµη στο(α,β). Τότε:(i) Αν f (x) > 0 στο (α,β) επεται οτι η f στρεφει τα κοιλα ανω στο [α,β](ii) Αν f (x) < 0 στο (α,β) επεται οτι η f στρεφει τα κοιλα κατω στο [α,β]

′′′′

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ

1. Κατακόρυφη ασύµπτωτη:• Έστω (α,x ) Ao f⊆ κι ένα τουλάχιστον από τα

lim f(x) , lim f(x)x x x xo

-o+→ →

είναι +∞ ή -∞ . Τότε η x = xo είναι

κατακόρυφη ασύµπτωτη του διαγράµµατος της f. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΤις κατακόρυφες ασύµπτωτες x = xo τις αναζητούµε σε σηµεία xo όπουη f είτε δεν ορίζεται, είτε παρουσιάζει ασυνέχεια.

2. Οριζόντιες - πλάγιες ασύµπτωτες• Η ευθεία y = λx + β είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης

της f όταν:lim [f(x) - (λx + β)] = 0

x +→ ∞ ή lim [f(x) - (λx + β)] = 0

x -→ ∞

• Ο προσδιορισµός των λ,µ γίνεται µε την χρησιµοποίηση τωντύπων:

λ = lim f(x)xx +→ ∞

β = lim (f(x) - λx)x +→ ∞

λ = lim f(x)xx -→ ∞

β = lim (f(x) - λx)x -→ ∞

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ• Προφανώς πρέπει λ , β ∈ ℜ ∈ ℜ .• Αν λ = 0 τότε η ασύµπτωτη είναι y = β. ∆ηλαδή µε τον πιο πάνω τρόπο

προσδιορίζονται και οι οριζόντιες και οι πλάγιες ασύµπτωτες.

9



Κανόνας de I Hospital

Αν

ℜ∈ℜ′′

∞∞∞∞

→

→→

→→

x, στο (x)g(x)flim υπαρχει το

)- (η + = y(x)lim , )- (η +=f(x)lim

ειτε 0 = y(x)lim , 0 = f(x)lim

oxx

xxxx

xxxx

o

oo

oo

τότε lim f(x)g(x)

lim f (x)g (x)x x x xo o→ →

= ′′

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Σχετική συχνότητα: iiνf = , i=1,2,...,κν

νi=απόλυτη συχνότητα ν=µέγεθος δείγµατοςΙδιότητες σχετικής συχνότητας1) i0 f 1≤ ≤ , i=1,2,...,κ2) 1 2 κf +f +...+f =1Οµαδοποίηση παρατηρήσεων

Μέγεθοςδείγµατος ν

Πλήθοςκλάσεων

Μέγεθοςδείγµατος

Πλήθοςκλάσεων

<220-50

50-100100-200

5678

200-400400-700

700-1000≥1000

9101112

Μέτρα θέσηςΑ. Μέση τιµή1)

t1, t2,...,tν: παρατηρήσεις της Χ.

2 ) χ1, χ2,...,χκ: τιµές της Χ µε αντίστοιχες συχνότητες

ν1, ν2,...,νκ.Β. Σταθµικός µέσος

χ1, χ2,...,χκ: τιµές της Χ, w1, w2,...,wκ: συντελεστέςστάθµισης.

x o ∈ ℜ

ν

ii=1

1x= tν

κ

i ii=1

1x= x νν

ν

i ii=1ν

ii=1

x wx=

w



Γ. ∆ιάµεσοςΑν t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ ... ≤ tν παρατηρήσεις της Χ τότεδ = t1, όπου t1 η µεσαία παρατήρηση, αν ν = 2κ + 1

i i+1t + tδ=2

, όπου t1, ti+1 οι δύο µεσαίες παρατηρήσεις, αν ν = 2κ.

∆ιάµεσος (σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα)δ = x : 50% των παρατηρήσεων ≤ x.

∆. Εκατοστηµόριο (Ρκ)Το πολύ κ% των παρατηρήσεων ≤ Ρκ, κ = 1,2,3,...,99.Ισχύει Ρ50= δ και Ρ25= Q1, Ρ50= Q2, Ρ75= Q3 τεταρτηµόρια.

Ε. Επικρατούσα τιµήΜ0= xκ, όπου xκ η τιµή της Χ µε τη µεγαλύτερη συχνότητα.

Μέτρα διασποράςΑ. Εύρος: R = Μεγαλύτερη παρατήρηση µείον µικρότερη παρατήρηση.Β. Ενδοτεταρτηµοριακό εύρος: Q = Q3 - Q1.Γ. ∆ιασπορά (διακύµανση)

κ2 2

ii=1

1S = (t - x)ν

ή κ

2 2i i

i=1

1S = (x - x) νν

⋅ ή

2κ

i iκi=12 2

i ii=1

x ν1S = x ν - ν ν

.

∆. Τυπική απόκλιση: 2s = s κανονική κατανοµή

Συντελεστής µεταβολής (CV)sCV = x

Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων

(ε): y = βx + α, β, α εκτιµήτριες µε:

ν ν ν

i i i ii=1 i=1 i=1

ν ν2i i

i=1 i=1

ν x y - x yβ =

ν x - x

⋅

⋅

α = y - β x⋅ όπου ν

ii=1

1y = yν

και ν

ii=1

1x = xν

(µέσες τιµές).



ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝΣυνάρτηση f Παράγουσα F f(x) = 1 F(x) = x + c f(x) = 0 F(x) = cf(x) = x ν Ν x ν *∈ ∈ ℜ, F(x) = x

ν + 1

ν+1+ c

f(x) = x α \ -1 x > 0α ∈ ℜ , F(x) = xα + 1

α+1+ c

f(x) = 12 x

, x > 0 F(x) = x + c

f(x) = ηµx F(x) = -συνx + c f(x) = συνx F(x) = ηµx + c

f(x) = 1συν2 x

F(x) = εφx + c

f(x) = 1ηµ2 x

F(x) = -σφx + c

f(x) = ex F(x) = ex + c

f(x) = 1x

, x 0≠F(x) = ln|x| + c

f(x) = α , 0 < α 1x ≠ F(x) = αα

x

ln+ c

f(x) = 1xlnα

, x 0, 0 < α 1≠ ≠F(x) = logα|x| + c

f(x) = ′ ′g (x)h(x) + g(x)h (x) F(x) = g(x)h(x) + c

f(x) = ′ ′g (x)h(x) - g(x)h (x)h x2 ( )

F(x) = g(x)h(x)

+ c

f(x) = g(x) + h(x) F(x) = G(x) + H(x) + c(H,G παράγουσεςτων h,g αντίστοιχα)

f(x) = ( )′ ′g h(x) h x( ) F(x) = (goh)(x) + c

f(x) = αg (x)′ F(x) = αg(x) + c



ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΡΙΣΜΟΣ: Το σύνολο των παραγουσών µιας συνεχούς συνάρτησης fονοµάζεται αόριστο ολοκλήρωµα της f και συµβολίζεται: f(x)dx ∆ηλαδή: f(x)dx = F(x) + c, c ∈ ℜ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Το f(x)dxα

β

είναι σταθερός αριθµός ενώ το f(x)dx είναι συνάρτηση µε

µεταβλητή το x Προφανώς : ′ f (x)dx = f(x) + c

ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω f ορισµένη και συνεχής σε διάστηµα ∆, α ∆∈ τότε

F(x) = f(t)dt, x ∆α

x

∈ είναι µια παράγουσα της f.

∆ηλαδή: f(t)dt = f(x)α

x

′, για κάθε x ∆∈

ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω F µια παράγουσα της συνεχούς συνάρτησης f. Τότε αν

α,β Α f∈ θα είναι: f(x)dx = F(β) - F(α)α

β

ΒΑΣΙΚΗ Ο∆ΗΓΙΑ

Αν σε άσκηση υπάρχει συνάρτηση της µορφής : f(t)dtα

x

τότε

προκειµένου να λυθεί η άσκηση, απαιτείται συνήθως η παραγώγιση τηςσυνάρτησης.



∆ηλαδή απαιτείται η αξιοποίηση του: f(t)dt = f(x)α

x

′

Για συναρτήσεις f,g µε συνεχείς παραγώγους στο [α,β] ισχύει:

′ ⋅ ′ f (x)g(x)dx = [f(x) g(x)] - αβ

α

β

α

βf x g x dx( ) ( )

Για συναρτήσεις f,g µε συνεχείς παραγώγους σε διάστηµα ∆ ισχύει:

′ ⋅ ′ f (x)g(x)dx = f(x) g(x) - f x g x dx( ) ( )

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Η µέθοδος χρησιµοποιείται όταν είναι δύσκολος ο υπολογισµός ′ f (x)g(x)dxα

β

κι ευκολότερος ο υπολογισµός του f(x)g (x)dxα

β′

Ο∆ΗΓΙΑ:

Για τον υπολογισµό του f(x)g(x)dxα

β

πολλές φορές απαιτείται ο µετασχηµατισµός:

f(x)g(x)dx =

F (x)g(x)dx

η

f(x)G (x)dxα

β α

β

α

β

′

′

όπου F,G παράγουσες των f,g αντίστοιχα.Η επιλογή της συνάρτησης που θ αντικατασταθεί µε την παράγωγοτης παράγουσας γίνεται µε βάση την εξής σειρά προτεραιότητας:

ex, αx > ηµ(αx + β), συν(αx + β) > πολυων. > λογαριθµ.Π.χ. Υπολογίστε:



I = x α,β 2

α

β

+*ln xdx ∈ ℜ

I = x = 13

(x = 13

- x =3

3

α

β

αβ 2

α

β

α

β

33

′⋅ ′

ln ) ln [ ln ]xdx xdx x x dx

= 13

- x = β β - α α - β + ααβ

3

α

β 3 3 3 3[ ln ] ln lnx x3

3 3 3 9 9

Ο∆ΗΓΙΑ:Τα ολοκληρώµατα:

I = e ηµxdx I = συνxdx, I = , I = x συνxdx,1x

α

β

2α

β

3α

β

42

α

β

, e x e dxx x2

I = ηµxdx I = x5α

β

62

α

βx xdx2 , ln

θα υπολογισθούν µε παραγοντική ολοκλήρωση.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

• Έστω συναρτήσεις f,g µε:g : [α,β] g[α,β) µε συνεχη παραγωγο στο [α,β]f : συνεχης στο g([α,β])F : παραγουσα της f

→

τότε:

f(g(x)) g (x)dx = f(y)dyα

β

g(α)

g(β)⋅ ′

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΆλλοτε εξυπηρετεί η χρησιµοποίηση της µεθόδου πηγαίνοντας από τοπρώτο µέρος στο δεύτερο, δηλαδή κάνοντας αντικατάσταση µιαςσυνάρτησης g(x) µε µεταβλητή y, άλλοτε πηγαίνοντας από το δεύτερο



στο πρώτο, δηλαδή κάνοντας αντικατάσταση µιας µεταβλητής y µε µιασυνάρτηση g(x), αρκεί η g εκτός από συνάρτηση µε συνεχή παράγωγονα είναι και 1 - 1.Έτσι:

f(y)dy = f(g(x)) g (x)dx = f(g(x)) g (x)dx µε g(α) = γ, g(β) = δγ

δ

g γ)

g δ)

α

β

-1

-1

⋅ ′ ⋅ ′(

(

Ο αντίστοιχος τύπος για τα αόριστα είναι:f(g(x)) g (x)dx = f(y)dy, y = g(x)⋅ ′

Εύρεση τυχαίας τιµής συνάρτησης από την αρχική τιµή

Έστω συνάρτηση Q για την οποία είναι ′Q συνεχής, τότε:

[ ]′ Q u dut

tt

o( ) )

to

o

= Q(u) = Q(t) - Q(t

Έτσι αν Q(t o ) η αρχική τιµή της Q(u) και Q(t) η τυχαία τιµή της θαείναι:

Q(t) = Q(t + duoto

) ( )′Q ut

Βασικές µορφές ασκήσεων

Για την ολοκλήρωση πολυωνυµικών συναρτήσεωνχρησιµοποιούµε το βασικό θεώρηµα:

... f(x)dx = F(β) - F(α)α

β

Για την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων:α) ∆ιασπάµε το κλάσµα και ολοκληρώνουµε κατά µέρη, αναυτό εξυπηρετεί.Π.χ. :

Ι

ΙΙ



x + x + 5xx

dx = (x + x + 5x = xdx + x + 5 x4 8 9

31

75 6

1

7

1

75

1

76

1

7

)dx dx dx

=

= x + x + 5 x = ...2 6 7

2 6 71

7

1

7

1

7

β) ∆ηµιουργούµε στον αριθµητή την παράγωγο του παρονοµαστή,οπότε θα είναι:

[ ]′

g (x)g(x)

= ln|g(x)| = ln|g(β)| - ln|g(α)|α

β

αβdx

ή

Αν I = g (x)g(x)α

β ′ dx θέτω ψ = g(x) οπότε dψ = ′g (x)dx

Έτσι [ ]I = 1ψψ = ln|ψ| = ln|g(β)| - ln|g(α)|

g(α)

g(β)

α)g(β)d g (

γ) Αν ο βαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος από τον βαθµότου παρονοµαστή, τότε είτε απλοποιούµε είτε διαιρούµε αριθµητήµε παρονοµαστή.

Αν f(x) = P(x)Q(x)

θα έχουµε P(x) = Q(x) π(x) + u(x) P(x)Q(x)

= π(x) + u(x)Q(x)

⋅ ⇔

P(x)Q(x)

= π(x) + u(x)Q(x)α

β

α

β

α

βdx dx dx

δ) Αν ο βαθµός του παρονοµαστή είναι µεγαλύτερος από τονβαθµό του αριθµητή και ο παρονοµαστής αναλύεται σε γινόµενοπρωτοβαθµίων παραγόντων, τότε διασπώ έτσι:

φ(x)(x - p x - p x - p

= αx - p

+ αx - p

+ ... αx - p1 2 κ

1

1

2

2

κ

κ)( )...( )

Ενώ: φ(x)(x - p (x - p (x - p

=1 2 3) ) )2 3

P(x) Q(x)

u(x)π(x)



= αx - p

+ α(x - p

+ βx - p

+ γx - p

+ γ(x - p

+ γ(x - p

1

1

2

1

1

2

1

3

2

3

3

3) ) )2 2 3

Για την ολοκλήρωση συναρτήσεων της µορφής:

f(x) = P(x) x [α - δ, α]Q(x) x [α, α + δ]

∈∈

Αφού εξασφαλίσω πρώτα τη συνέχεια, µετά ολοκληρώνωέτσι:

f(x)dx = P(x)dx + Q(x)dxα-δ

α+δ

α-δ

α

α

α+δ

Για την ολοκλήρωση τριγωνοµετρικών συναρτήσεων, πολλέςφορέςχρησιµοποιούνται οι τριγωνοµετρικοί τύποι:2ηµαηµβ = συν(α - β) - συν(α + β)2ηµασυνβ = ηµ(α + β) + ηµ(α - β)2συνασυνβ = συν(α + β) + συν(α - β)

συν 1 + συν2x2 x =2

ηµ = 1 - συν2x2 x2

εφ = ηµσυν

= 1συν x

- 122

2 2x xx

σφ = συνηµ

= 1ηµ

- 122

2 2x xx x

Στις ασκήσεις που δίδεται το ολοκλήρωµα Ιν και ζητείται ηεύρεση αναγωγικού τύπου, τότε αρκεί να βρω το Ινσυναρτήσει του Ιν-1 ή Ιν-2 ή ... κτλ.

ΣχόλιοΕίναι προφανές ότι υπάρχουν και ειδικές περιπτώσειςεύρεσης ολοκληρωµάτων που είναι πέρα από το σκοπό τουτυπολογίου.

ΙΙΙ

V

ΙV



ΑΛΓΕΒΡΑ Πρόσθεση πινάκωνΑν Α = [αij] και Β = [βij] πίνακες του ίδιου τύπου µxν τότε Α + Β = [αij] +[βij].Ιδιότητες πρόσθεσης1. Α + Β = Β + Α Αντιµεταθετική2. Α + (Β + Γ) = (Α + Β) + Γ Προαεταιριστική3. Α + Ο = Ο + Α = Α Μηδενικός πίνακας Ο4. Α + (-Α) = (-Α) + Α = Ο Αντίθετος πίνακας (-Α)Συνέπειες των παραπάνω ιδιοτήτων είναι:• -(-Α) = Α• Αντίθετος του µηδενικού πίνακα Ο είναι ο µηδενικός• Αν Α,Χ δύο µxν πίνακες, τότε:

Α + Χ = Α αν και µόνο αν Χ = ΟΑ + Χ = Ο αν και µόνο αν Χ = -Α

Αφαίρεση πινάκων• Α - Β = Α + (-Β)• Α = Β τότε Α + Γ = Β + Γ και αντιστρόφως• Χ + Β = Α τότε Χ = Α - Β• -(Α + Β) = (-Α) + (-Β)Πολλαπλασιασµός αριθµού µε πίνακαΑν Α = [αij] τότε λ Α = [λ αij]⋅ ⋅ λ ∈ ℜΙδιότητες(κ + λ) Α = κΑ + λΑ⋅ κ,λ ∈ ℜλ (Α + Β) = λΑ + λΒ⋅ λ ∈ ℜκ(λ Α) = (κ λ)Α⋅ ⋅ κ,λ ∈ ℜ1 A = A⋅Συνέπειες των παραπάνω ιδιοτήτων είναι οι εξής:• (-1)Α = -Α (-λ)Α = -λΑ• 0 Α = Ο⋅ λ Ο = Ο⋅• Αν λ Α = Ο⋅ τότε λ = 0 ή Α = Ο• λ 0 λ Α = λ Β≠ ⋅ ⋅ τότε Α = Β• A O λ Α = κ A≠ ⋅ ⋅ τότε λ = κΠολλαπλασιασµός πινάκωνΓια να ορίζεται το γινόµενο A B⋅ πρέπει ο αριθµός των στηλών τουπίνακα Α να είναι ίσος µε τον αριθµό των γραµµών του πίνακα Β.



Α Β ΑΒµxν νxρ µxρ

Γενικά A Β Β Α⋅ ≠ ⋅ΙδιότητεςΜε την προϋπόθεση ότι ισχύουν οι παρακάτω πράξεις, ισχύουν οιιδιότητες:1. Α(Β Γ) = (Α Β)Γ⋅ ⋅ προσεταιριστική2. Α(Β + Γ) = ΑΒ + ΑΓ και (Β +Γ)Α = ΒΑ + ΓΑ επιµεριστική3. (λΑ) (µΒ) = (λµ) ΑΒ⋅ ⋅

Αν ο Α είναι τετραγωνικός πίνακας νxν ισχύουν:Α Α Αρ q ρ+q⋅ = , (A = Aρ ρq)q ⋅ , (κ Α) = κ Αρ ρ ρ⋅ ⋅ , όπου κ ∈ ℜ και ρ,q N∈

Μοναδιαίος Πίνακας

Ι =

1 0 0 ... 00 1 0 ... 0 .......0 0 0 ... 1

ν

Αν Α τετραγωνικός πίνακας τύπου νxν τότε ισχύει: Α Ι = Ι Α = Αν ν⋅ ⋅

Αντιστρέψιµοι πίνακεςΈστω Α τετραγωνικός τύπου νxν. Αν υπάρχει τετραγωνικός πίνακας Yτύπου νxν ώστε να ισχύει Α Χ = Χ Α = Ι ν⋅ ⋅ τότε ο Α λέγεταιαντιστρέψιµος και ο Χ λέγεται αντίστροφος του Α.Τον µοναδικό αντίστροφο του Α τον συµβολίζουµε µε Α-1 και ισχύει:

A A = A A = Ι-1 -1ν⋅ ⋅

Ιδιότητες• (Α-1)-1 = Α εφόσον ο Α είναι αντιστρέψιµος.• (Α Β) = Β A-1 -1 -1⋅ ⋅ εφόσον Α,Β αντιστρέψιµοι.

• (Α Α Α Α = A A ... A1 2 3 κ κ-1

κ-1-1

1-1... )− ⋅ ⋅ ⋅1 εφόσον

Α Α Α Α1 2 3 κ... αντιστρέψιµοι• (Ακ)-1 = (Α-1)κ = Α-κ



ΑΒ = ΑΓ και Α αντιστρέψιµος τότε Β = Γ.A B = O⋅ και Β αντιστρέψιµος τότε Α = Ο.A B = O⋅ και Α αντιστρέψιµος τότε Β = Ο.

ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

• Ορίζουσα πίνακα 2x2 α α α α

= α α - α α11 12

21 2211 22 12 21⋅ ⋅

• Ορίζουσα πίνακα 3x3 α α α α α α α α α

= α α α α α

- α α α α α

+ α α α α α

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1122 23

32 3312

21 23

31 3313

21 22

31 32

• Ελάσσων ορίζουσα - Αλγεβρικό συµπλήρωµαΕλάσσων ορίζουσα ενός στοιχείου αij είναι η ορίζουσα που θαπροκύψει αν παραλείψουµε την γραµµή και τη στήλη του στοιχείουαij και συµβολίζεται Μij.Το γινόµενο (-1)i+jΜij λέγεται αλγεβρικό συµπλήρωµα τουστοιχείου αij και συµβολίζεται Aij δηλαδή Aij = (-1)i+jΜij.

• Ορίζουσα ενός νxν πίνακα είναι ο αριθµός |Α| = α11Α11 + α12Α12 +... α1νΑ1ν

Ιδιότητες οριζουσών1. Για έναν νxν πίνακα Α και τον ανάστροφό του ΑΤ ισχύει: |Α| = |ΑΤ|.2. Αν ο νxν πίνακας Β προκύπτει από τον νxν πίνακα Α µε εναλλαγή

2 γραµµών ή 2 στηλών του Α, τότε ισχύει |Β| = -|Α|.3. Αν ο νxν πίνακας Β προκύπτει από τον Α µε πολ/σµό των

στοιχείων µιας γραµµής (ή στήλης) µε έναν αριθµό λ, τότε ισχύει|Β| = λ |Α|⋅ .Συνέπεια της παραπάνω ιδιότητας είναι:• Αν τα στοιχεία 2 γραµµών (ή στηλών) ενός πίνακα Α είναι

ανάλογα τότε |Α| = 0• Αν ο Α είναι τύπου νxν τότε |λ Α| = λ |Α|ν⋅ ⋅

4. Αν κάθε στοιχείο µιας γραµµής (ή στήλης) ενός νxν πίνακα Α είναιάθροισµα προσθετέων, τότε η |Α| εκφράζεται ως άθροισµα δύοοριζουσών.

5. Αν ο νxν πίνακας Β προκύπτει από τον νxν πίνακα Α µε πρόσθεσητων στοιχείων µιας γραµµής (ή στήλης), πολ/σµένων µε τον ίδιο



αριθµό, στα αντίστοιχα στοιχεία µιας άλλης γραµµής ή στήλης τότεισχύει |Β| = |Α|

6. Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα νxν ισούται µε το γινόµενο τωνστοιχείων της κύριας διαγωνίου του πίνακα.

7. Αν Α,Β δύο νxν πίνακες τότε: |A B| = |A| |B|⋅ ⋅

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΓια το ανάπτυγµα µιας ορίζουσας µας εξυπηρετεί να

εφαρµόσουµε κατάλληλα επιλεγµένες γραµµοπράξεις και θαοδηγηθούµε σε πίνακα µε πολλά µηδενικά στοιχεία ή σε τριγωνικόπίνακα, του οποίου η ορίζουσα είναι εύκολο να υπολογισθεί.

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

Ι. Με τη βοήθεια της ορίζουσαςΟ νxν πίνακας Α = [αij] είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν |A| 0≠ .Αν |A| 0≠ τότε ο αντίστροφος του Α είναι ο :

A = 1|A|

A A A ... AA A A ... A ............. ... A A A ... A

-1

11 21 31 ν1

12 22 32 ν2

1ν 2ν 3ν νν

⋅

Όπου Αij το αλγεβρικό συµπλήρωµα ή adjoint του Α και συµβολίζεταιadjA.

Εποµένως αν |A| 0≠ τότε A 1|A|

adjA-1= ⋅

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν Α,Β τετραγωνικοί πίνακες νxν τότε Α Β = Ι ν⋅ αν και µόνο ανB A = Ι ν⋅

ΙΙ. Με γραµµοπράξειςΑν Α είναι ένας νxν πίνακες και µετασχηµατίζουµε τον νx2ν πίνακα [Α |Ι ] µε γραµµοπράξεις στον νx2ν πίνακα [R | B ] όπου R είναι έναςανοιγµένος κλιµακωτός νxν πίνακας, τότε :1. Αν R = I ο Α είναι αντιστρέψιµος και Α-1 = Β.2. Αν R I≠ ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος.



Λύση συστήµατος µε τη µέθοδο CramerΙ. Έστω νxν γραµµικό σύστηµα A X = B⋅ .

• Αν |A| 0≠ τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την (x1, x2, ...,xν) µε:

x = DxD

x = DxD

, ..., x = DxD1

12

2ν

ν,

όπου D η ορίζουσα του |Α| των συντελεστών των αγνώστων καιDxi, i = 1,2,...,ν είναι η ορίζουσα που προκύπτει από την D αναντικαταστήσουµε την i στήλη των σταθερών όρων.• Αν |A| = 0 τότε το σύστηµα είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος

λύσεων. Σε αυτή την περίπτωση εργαζόµαστε µε τη µέθοδοαπαλοιφής Gauss.

ΙΙ. Το οµογενές σύστηµα A X = O⋅• Έχει µόνο τη µηδενική λύση αν και µόνο αν |A| 0≠ .• Έχει και µη µηδενικές λύσεις αν και µόνο αν |A| = 0 .

ΣΥΝ∆ΙΑΣΤΙΚΗ

1. ΜεταθέσειςΜεταθέσεις των ν στοιχείων ενός συνόλου είναι οι διαφορετικοίτρόποι µε τους οποίους µπορούµε να βάλουµε σε µια σειρά τα ναυτά στοιχεία.Το πλήθος των µεταθέσεων ν στοιχείων είναι: ν! = 1 2 3 ... (ν - 1) ν

2. ∆ιατάξειςΑν Α ένα σύνολο µε ν στοιχεία τότε θα λέµε διάταξη των ν στοιχείωντου Α ανά κ, καθέναν από τους διαφορετικούς τρόπους µε τουςοποίους µπορούµε να πάρουµε κ διαφορετικά στοιχεία του Α και νατα βάλουµε σε µια σειρά.

Το πλήθος των διατάξεων των ν στοιχείων ανά κ είναι: ν!(ν-κ)!

3. ∆ιατάξεις µε επανάληψηΑν Α ένα σύνολο µε ν στοιχεία τότε θα λέµε διάταξη µε επανάληψητων ν στοιχείων του Α ανά κ, καθέναν από τους διαφορετικούςτρόπους µε τους οποίους µπορούµε να πάρουµε κ στοιχεία Α - όχικατ ανάγκη διαφορετικά - και να τα βάλουµε σε µια σειρά.



4. ΣυνδυασµόςΑν έχουµε ένα σύνολο Α µε ν στοιχεία, τότε κάθε υποσύνολό του µεκ στοιχεία λέγεται συνδυασµός των ν στοιχείων του Α ανά κ και

συµβολίζεται νκ

.

Το πλήθος των συνδυασµών των ν στοιχείων ανά κ είναι: νκ

ν!κ!(ν-κ)!

=

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

• Αρχή απαρίθµισηςΑν για µια διατεταγµένη ν-άδα υπάρχουν κ1 δυνατότητες

συµπλήρωσης της πρώτης θέσης, κ2 δυνατότητες της δεύτερης θέσης,..., κν δυνατότητες συµπλήρωσης της ν-οστής θέσης, τότε υπάρχουνκ1κ2...κν διαφορετικές ν-άδες.• ∆ειγµατικός χώρος Ω: είναι το σύνολο των δυνατών

αποτελεσµάτων.• Ενδεχόµενο είναι κάθε υποσύνολο του Ω.• Αν Ω = ω1 ω2 ω3... ων τότε στοιχειώδη ενδεχόµενα είναι όλα τα

µονοσύνολαω1,ω2,ω3,...,ων.

• Το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόµενο διότι πραγµατοποιείται, ενώ τοκενό ∅ αδύνατο ενδεχόµενο.

• Πράξεις µε ενδεχόµενα:1. Αν Α είναι ένα ενδεχόµενο του Ω (A Ω)⊆ ονοµάζουµε

συµπλήρωµα ή αντίθετο του Α και συµβολίζουµε ′A εκείνο τοενδεχόµενο που έχει ως στοιχεία όλα τα στοιχεία του Ω που δενανήκουν στο Α.

2. Ένωση δύο ενδεχοµένων Α,Β ονοµάζεται το ενδεχόµενο πουπραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιούνται ένα τουλάχιστον απότα Α,Β.

3. Τοµή δύο ενδεχοµένων Α,Β ονοµάζεται το ενδεχόµενο πουπραγµατοποιείται όταν πραγµατοποιείται συγχρόνως το Α και τοΒ.

Οι διατάξεις µε επανάληψη των ν στοιχείων ανά κ είναι: νκ



• ∆ύο ενδεχόµενα Α,Β λέγονται ασυµβίβαστα ή ξένα µεταξύ τους ανδεν µπορούν να πραγµατοποιηθούν συγχρόνως. ∆ηλαδή ανA B = ∩ ∅ .

• Οι πράξεις µε ενδεχόµενα είναι πράξεις µεταξύ συνόλοων.

Ιδιότητες θεωρίας συνόλωνΑν Α,Β,Γ Ω⊆ ισχύουν:A = A∪ ∅ A B = B A∩ ∩ Α Β Α Β = Β⊆ ⇔ ∪A = ∩ ∅ ∅ A B = B A∪ ∪ Α Β Α Β = A⊆ ⇔ ∩Α Ω = Ω∪ Α (Β Γ) = (Α Β) Γ∩ ∩ ∩ ∩ (A Β) = Α Β∩ ′ ′ ∪ ′Α Ω = Α∩ Α (Β Γ) = (Α Β) Γ∪ ∪ ∪ ∪ (Α Β) = Α Β∪ ′ ′ ∩ ′

(A B) Γ = (Α Γ) (Β Γ)∪ ∩ ∩ ∪ ∩(Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ)∩ ∪ ∪ ∩ ∪

Η έννοια της πιθανότηταςΟρισµόςΈστω Ω = ω ω ..., ω1 2 κ, , ένας δειγµατικός χώρος µε πεπερασµένοπλήθος στοιχείων. Σε κάθε στοιχειώδες ενδεχόµενοω i αντιστοιχίζουµε έναν πραγµατικό αριθµό P(ωi) έτσι ώστε ναισχύουν:1. 0 Ρ(ω 1i≤ ≤)2. Ρ(ω + Ρ(ω + ... + Ρ(ω = 01 2 κ) ) )Τον αριθµό P(ωi) ονοµάζουµε πιθανότητα του ενδεχοµένου ω i . Ωςπιθανότητα ενός µη κενού ενδεχοµένου Α = α α ..., α1 2 ρ, , ορίζουµετο άθροισµαΡ(α1) + Ρ(α2) + ... + Ρ(αν) και συµβολίζουµε Ρ(Α) και ως πιθανότητατου ∅ τοΡ( ) = 0.∅Επίσης ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας ενός ενδεχοµένου Α είναι:

Ρ(Α) = πληθος ευνοικων περιπτωσεωνπληθος δυνατων περιπτωσεων

Κανόνες λογισµού µε πιθανότητες• Α Β = ∩ ∅ τότε Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +Ρ(Β)∪• Ρ(Α ) = 1 - Ρ(Α)′• Ρ(Α Β) = Ρ(Α) +Ρ(Β)∪ - Ρ(Α Β)∩



• 1 2 ν 1 2 νΡ(Α ... ) = Ρ(Α ) + Ρ(Α ) + ... + Ρ(Α )∪ Α ∪ ∪ Α

1 2 νΑ , Α , ... , Α ανά δύο ασυµβίβαστα.• Α Β⊆ , τότε Ρ(Α) Ρ(Β)≤

∆εσµευµένη πιθανότηταΑν Α, Β δύο ενδεχόµενα δειγµατικού χώρου µε Ρ(Α) ≠ 0 δεσµευµένη

πιθανότητα του Β µε δεδοµένο το Α λέγεται το πηλίκο Ρ(Α Β)( )∩

Ρ Α και

συµβολίζεται Ρ(Β/Α)

δηλαδή: Ρ(Α Β)Ρ(Β/Α) = ( )∩

Ρ Α ή Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Β/Α).∩ ⋅

Ανεξάρτητα ενδεχόµεναΈστω Α, Β δύο ενδεχόµενα µε Ρ(Α) 0≠ και Ρ(Β) 0≠ . Τα ενδεχόµεναΑ, Β λέγονται ανεξάρτητα όταν Ρ(Α/Β) = Ρ(Α) και Ρ(Β/Α) = Ρ(Β).Επίσης: ∆ύο ενδεχόµενα Α, Β λέγονται ανεξάρτητα όταν:Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(Β).∩ ⋅

Γενικά τα ενδεχόµενα Α1, Α2, ..., Αν λέγονται ανεξάρτητα όταν ηπιθανότητα της τοµής είναι ίση µε το γινόµενο των πιθανοτήτων τους.

ΜΙΓΑ∆ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

• Ορισµός του CΤο σύνολο των µιγαδικών αριθµών είναι ένα υπερσύνολο του R στοοποίο:i) Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του

πολλαπλασιασµού που έχουν τους ίδιους κανόνες λογισµού όπωςστο R.

ii) Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο ώστε: i2 = -1.iii) Κάθε στοιχείο z∈ C γράφεται κατά µοναδικό τρόπο z = α + βi όπου

α, β∈ R.Για τον µιγαδικό αριθµό z = α + βi ο α καλείται πραγµατικό µέροςτου z και συµβολίζεται Re(z) και ο β φανταστικό µέρος του z καισυµβολίζεται Im(z).

• Ισότητα στο C - Πράξεις στο CΈστω 1 2z = α + βi και z = γ + δi

1 2z =z α = γ και β = δ⇔α + βi = 0 α = 0 και β = 0⇔



1 2z z = (α γ) + (β δ)i± ± ±

1 2z z = (α γ - β δ) + (α δ + β γ)i⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

12 2 2 2

2

z αγ + βδ -αδ + βγ= + iz γ + δ γ + δ

⋅

• ∆υνάµεις στο CΟι δυνάµεις ενός µιγαδικού z µε ακέραιο εκθέτη ορίζονται όπως στο R.ν z ν = 1

z = z z ... z ν > 1

⋅ ⋅ ⋅

Ορίζουµε επίσης 0 -νν

1z = 1, z = για z 0z

≠

• Συζυγείς µιγαδικοίΣυζυγείς του z = α + βi που συµβολίζεται µε z είναι ο µιγαδικόςz = α - βiΙσχύουν οι ιδιότητεςi) z = z ii) 2 2z z = α + β⋅ iii) z + z = 2α iv) z - z = 2βi

v) z R z = z∈ ⇔ vi) z I z = -z∈ ⇔ αν 1 2z , z ∃ τότε 1 2 1 2z +z = z + z

1 2 1 2z z = z z⋅ ⋅

1 12

2 2

z z = µε z 0z z

≠

• Μέτρο µιγαδικών αριθµώνΑν z = α + βi τότε 2 2z = α + βΙσχύουν οι ιδιότητεςz = z = -z = -z

2z = z z⋅

1 2 1 2z z = z z⋅ ⋅

1 1 = z z

112

2 2

zz = µε z 0z z

≠

1 2 1 2 1 2z - z z z z + z≤ ± ≤



1 2 ν 1 2 νz + z +...+z z + z + ... + z≤

1 2 ν 1 2 νz z ...z = z z ... z ν 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥• Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικούΑν z = α + βi είναι ένας µη µηδενικός µιγαδικός, τότε η τριγωνοµετρικήµορφή του είναι:

z = ρ(συνθ + i ηµθ)⋅ όπου 2 2 α βρ = α + β , συνθ = και ηµθ = ρ ρ

.

ρ το µέτρο του z και θ το όρισµα του z.Αν 1 1 1 1 2 2 2 2z = ρ (συνθ + i ηµθ ) και z = ρ (συνθ + i ηµθ )⋅ ⋅τότε 1 2 1 2 1 2 1 2z z = ρ ρ [συν(θ +θ ) + iηµ(θ +θ )]⋅ ⋅

1 11 2 1 2

2 2

z ρ = [συν(θ -θ ) + iηµ(θ -θ )]z ρ

Αν z = ρ(συνθ + i ηµθ)⋅ τότε ν νz = ρ [συν(νθ) + i ηµ(νθ)]⋅• Επίλυση της εξίσωσης zν= α, α∈∈∈∈ CΑν α = ρ(συνθ + i ηµθ)⋅

τότε νk

2κπ + φ 2κπ + φz = ρ συν + iηµ , κ = 0,1,2,...,ν-1ν ν

όπου ρ = |α| και φ ένα όρισµα του α.



ΦΥΣΙΚΗΑ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΙΝΗΣΕΙΣ

Ταχύτητα∆xυ = ∆t

Επιτάχυνση∆υα = ∆t

Νόµοι του Newton

1 2 (σε καθε δραση υπαρχει µια αντιδραση)

1ος:Αν ΣF = 0 τοτε η υ = 0 η υ = σταθ.

∆P2ος:ΣF=m α η ΣF=∆t

3ος:F =F

⋅

Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση υ = σταθ., ΣF = 0, x = υt

Ευθύγραµµη οµαλά

µεταβαλλόµενη κίνηση

20 0

α = σταθ., ΣF 0 και σταθεροα > 0 επιταχυνοµενηα < 0 επιβραδυνοµενη

1υ = υ αt και x = υ t αt2

≠

± ±

Ελεύθερη πτώση 2

B = m α mg = mα α = g1υ = gt, S = gt2

⋅

Σχετική ταχύτητα (του 1 ωςπρος το 2. Το 0 είναι ο ακίνητος) 1/2 1/0 2/0υ = υ - υ

ΤριβήΤ = µ N (οπου µ ο συντελεστης τριβηςκαι N η καθετη αντιδραση του επιπεδου)

⋅

2 21 2 1 2

1

2 1

F = F + F + 2FF συνθF ηµθεφω =

F + F συνθ

Σ⋅

⋅

Συνισταµένη δύοδυνάµεων ΣF

F1

F2

θω



Σχέση περιόδου συχνότητας1F = T

∆sυ = ∆t και

2πRυ = = 2πRfT

Γωνιακή ταχύτητα∆Φω = ∆t και

2πω = = 2πfΤ

υ = ωR

Κεντροµόλος δύναµη κ κF = m α⋅

Κεντροµόλος επιτάχυνση2

κ κ∆υ υα = α = ∆t R

∆ύναµη Παγκόσµιας Έλξης 2

M mF = Gr⋅

Ταχύτητα δορυφόρουG MU =

r⋅

Ορµή J = mυ

Αρχή διατήρησης ορµής αρχ. τελ.P = P

Σε ένα µονωµένο σύστηµα (οι εξωτερικές δυνάµεις έχουν συνισταµένηµηδέν) η ολική ορµή διατηρείται.Έργο δύναµης FW = F S συνθ⋅ ⋅

Κινητική Ενέργεια 21= mu2ΚΕ

Έργο ∆ύναµης Ελατηρίου ελ

2F

1W = κx2

2 1 ολK - K = W

∆υναµική ενέργεια βαρύτητας BU = m g z⋅ ⋅

∆υναµική ενέργεια ελατηρίου 2ελ

1U = κx2

Κυκλική κίνησηΓραµµική ταχύτητα

Θεώρηµα Μεταβολής τηςΚινητικής Ενέργειας

Σχέση γραµµικής γωνιακής ταχύτητας



1 1 2 2k + U = k + U

ΙσχύςWP = t

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΓΕΝΙΚΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙ∆ΡΑΣΕΙΣ

C C2 2ο

Q 1 Q q΄F = κ η F = 4πεε ττ

⋅ ⋅⋅ q

Ένταση (γενικά)

C

c

c

FΕ = q

E οµορροπη της F αν q>0E αντιρροπη της F αν q<0

→→

2c

2

QqκF QτE = = E = κq q τ

⋅

∆ιαφορά δυναµικού[ ]FC A B

A BW

V - V = q

→

ΧωρητικότηταQc = V

ΤΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ

Ένταση ρεύµατος∆QI = ∆t

Νόµος Ohm για ωµική αντίστασηVIR

=

Αρχή διατήρησηςµηχανικής

Νόµος Coulomb(για σηµειακά φορτία) Q

F Fqτ

QEτ

Q E

Ένταση ηλεκτρικού πεδίουσηµειακού φορτίου(σε κάποιο σηµείο)



Αντίσταση (ωµική)0

VR = = σταθ.I

lR = ρ και ρ = ρ (1 + αθ)s

⋅

Σύνδεση αντιστάσεων σε σειρά ολ 1 νR = R + ... + R

Σύνδεση αντιστάσεων παράλληλαολ 1 ν

1 1 1 = + ... + R R R

1ος κανόνας Kirchhoff 1 νΙ = Ι + ... + Ι

∆ιαφορά δυναµικού σε αντίσταση V = I R⋅

στους πόλους πηγής πV = Ε - I r⋅

Ενέργεια για κάθε κατανάλωση ηλE = V I t⋅ ⋅

για αντίσταση2

2R

VE = V I t = t = I R tR

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

για πηγή πE = Ε Ι t⋅ ⋅

Ισχύς ηλEP =

t

ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΕΙΣ

0µ ΙB = 2r

0µ ΙB = 2πr

Μαγνητικό πεδίοευθύγραµµου

ΙΙ1

ΙνΙ2

Μαγνητικό πεδίο κυκλικούρευµατοφόρου αγωγού



Μαγνητικό πεδίο πηνίου 0ΝB = µ Ιl

ΛLF = B I L ηµφ οπου φ = Β, Ι

⋅ ⋅ ⋅

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΕΡΙΩΝ

Πίεση αερίου 3VK2NE

3

2Uρ V3

2Nmu P ===

Μέση ΕΚ των µορίων του αερίου K3E = KT2

Ενεργός ταχύτητα των µορίων εν.3ΚΤ 3RTU = =

m M

ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΗ

ΙΣΟΘΕΡΜΗ ΙΣΟΧΩΡΗ ΙΣΟΒΑΡΗΣ Α∆ΙΑΒΑΤΙΚΗΝΟΜΟΣ

1 1 2 2P V = P V 1 2

1 2

P P= T T

1 2

1 2

V V= T T

γ γ1 1 2 2

γ-1 γ-11 1 2 2

P V = P VV = Τ VΤ

Α΄ ΘΕΡΜΟ-

∆ΥΝΑΜΙΚΟΣ

ΝΟΜΟΣ

Q = W∆U = 0

Q = ∆UW = 0

Q = ∆U + W ∆U = -WQ = 0

∆ύναµη Laplace σερευµατοφόρο



ΙΣΟΘΕΡΜΗ ΙΣΟΧΩΡΗ ΙΣΟΒΑΡΗΣ Α∆ΙΑΒΑΤΙΚΗ

Q2

1

1

2

VQ = nRTln =VP = nRTlnP

VQ = nC ∆T pQ = nC ∆Τ -

∆U -V∆U = nC ∆Τ VQ = nC ∆Τ VQ = nC ∆Τ

W W = Q - W = P∆V 2 2 1 1P V - P VW = 1 - γ

P V

∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ

P T

∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ -

V T

∆ΙΑΓΡΑΜΜΑ -

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ

Νόµος Gaussεγκ.

0

QΦ =

ε

Ηλεκτρική ροή Φ = Ε Α συνφ⋅ ⋅

∆υναµικό σ ένα σηµείο A AA

W uV = = q q

→∞



∆υναµικό πεδίου σηµειακού φορτίου AQV = Kr , η πηγή Q µε πρόσηµο

∆ιαφορά δυναµικού A BAB

WV = q

→

∆υναµική ενέργεια δύο φορτίων 1 2Q QU = Kr

Ένταση και τάση σε Ο.Η.Π.VE = x

Χωρητικότητα πυκνωτήQC = V

Χωρητικότητα επίπεδου πυκνωτή 0ΑC = εd

Ενέργεια φορτισµένο πυκνωτή2 2CV QV QU = =

2 2 2C=

ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ

Νευτώνεια έλξη 1 22

M MF = Gr

Ένταση βαρυτικού πεδίουFg = m ή 2

Mg = Gr

∆υναµικό βαρυτικού πεδίου AA

WV = m

→∞ ή MV = -Gr



∆ιαφορά δυναµικού δύο σηµείων A BAB

WV = m

→

∆υναµική ενέργεια δύο µαζών 1 2M MU = -Gr

ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ ΓΗΣ

Ένταση βαρυτικού πεδίου Στην επιφάνεια: 2Γ

Γ0

RMG g =

Σε ύψος h: Γ2

Γ

Mg = G(R + h)

∆υναµικό βαρυτικού πεδίου Γ

Γ

MV = -GR + h

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ∆ΙΟ

Νόµος Biot Savart 02

µ ΙdldB = ηµθ4πr

0µ ΙΒ 2πr

=

2rΙµ

B 0=

F = B q uηµφ

∆ύναµη Laplace F = BIlηµφ

Μ.Π. ευθύγραµµου ευµατοφόρουαγωγού απείρου µήκους

Μ.Π. στο κέντρο κυκλικούρευµατοφόρου αγωγού

∆ύναµη Lorenz σε κινούµενοηλεκτρικό φορτίο



Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣΤ Ο Φ Ω Σ

Θεµελιώδηςεξίσωσηκυµατικής

fc λ= Ενέργειαφωτονίου

Ε = hf

∆είκτης διάθλασηςo οc λn = και n = c λ

ΝόµοςSnell 2 1

1 2

n ηµθ = n ηµθ

ΝόµοςBrewster 2

ρ1

n = εφθn

Ενέργεια σύνδεσης 2ΒΕ = ∆Μ c⋅

Νόµος ραδιενέργειας -λtoN = N e

Ενέργεια αντίδρασης (Q)( ) 2

A B Γ ∆

A + BQ = M M M M cQ > 0 εξωθερµηQ < 0 ενδοθερµη

→ Γ + ∆+ − − ⋅

→→

ΑΤΟΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

i fΕ - Ε = hf

21 eE = - Kc r

Επιτρεπόµενες τροχιές 2n 1r = n r , n = 1,2,...,∞

Επιτρεπόµενες τιµές ενέργειας 1n 2

EE = n

Ενέργεια ιονισµού 1 ιον ιον 1E - E = Ε = -Ε∞ Ε

Ενέργεια εκπεµπόµενουφωτονίου σε αποδιέγερσηΟλική ενέργειαηλεκτρονίου



i f

imin

min

Κ - K = hfchf = K hf = ev h = evλ

hcλ = ev

ΑΤΟΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

Ισοδυναµία µάζας - ενέργειας 2E = mc

Έλλειµµα µάζας p n π∆Μ = Ζm + Nm - M

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣΥΝ ΕΧΗ ΡΕΥΜ ΑΤΑ

1ος κανόνας Kirchhoff (για κόµβο) 1 2 νΙ = Ι + Ι + ... + Ι

2ος κανόνας Kirchhoff (για βρόχο) ΣΕ + ΣΙ R = 0⋅

Συνθήκη γέφυρας Wheastsone x 2

1 3

R R= R R

ΕΠΑΓΩ ΓΗ

Νόµος Faraday επ.∆ΦE = - N∆t

⋅

ττιµη(σστιγµιαιΒuIEεπ =

)Ι - Βω(Ι21 Ε

ΒωΙ21 Ε

22

21επ

2επ

=

=

1 ∆Βε = - S2π r ∆t

⋅ ⋅⋅

Επαγωγική τάση σεκινούµενη ράβδο

Ελάχιστο µήκος κύµατοςακτίνων χ

Επαγωγική τάση σεπεριστρεφόµενη ράβδο

Ηλεκτρικό πεδίο πουπαράγεται από τη χρονικήµεταβολή του µαγνητικού



ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

Κύκλωµα R

o o

εν.

εν.

ο οεν. εν.

2 2R εν. R εν.

V = V ηµωt I = I ηµωtVVR = R =

I IΙ V= V = 2 2

W = I R t, P = I R

⋅ ⋅

Ι

⋅ ⋅ ⋅

o o

εν.L

εν.

2L L

V = V ηµωt Ι = Ι ηµ(ωt - π/2)Vz = = L ωI1W = L I , P = 02

⋅ ⋅

⋅

⋅

o o

εν.C

εν.

2C C C

V = V ηµωt Ι = Ι ηµ(ωt + π/2)V 1z = = I C ω1W = C V , P = 02

⋅ ⋅

⋅

⋅

o o

2 2εν.L

εν.

L C

R L C

εν. εν.2εν.

2εν.εν. εν. εν.

V = V ηµωt Ι = Ι ηµ(ωt - θ)

V 1z = = R + (L ω - )I C ωz - zεφθ =

RW = W + W + WP = V συνθ

P = Ι RVI = P = V RR

⋅ ⋅

⋅⋅

⋅ Ι ⋅

⋅

⋅ Ι ⋅

Κύκλωµα L

Vo

Io

Κύκλωµα C

Vo

Io

Vo Io

Κύκλωµα R-L-C



Συντονισµός R-L-C L C1z = z Lω = z = R

C ω⋅

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Σχέση περιόδου συχνότητας1T = f

Αποµάκρυνση 0x = x ηµωt⋅

Ταχύτητα 0 0 0υ = υ συνωt µε υ =ω x⋅ ⋅

Επιτάχυνση 2 20 0 0α = α ηµωt µε α = ω x α = ω x− ⋅ ⋅ − ⋅

∆ύναµη02

2

F = m αF = m α ηµωt

F = m ω x

F = D x µε D = m ω

⋅− ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅

Περίοδος22π mD = m 2π

Τ D ⋅ Τ =

Περίοδος απλού εκκρεµούςlT = 2πg

Ενέργεια Κινητική 21K m υ2

= ⋅

∆υναµική 21U D x2

= ⋅

Ολική

2 2ολ max max 0 0

2∆ ολ

2Κ ολ

1 1E K U D x m υ2 2

E E ηµω tΕ E συνω t

= = = ⋅ = ⋅

= ⋅= ⋅



1

2

2 2

y = α ηµωty γ ηµ(ωt + θ)

y = β ηµ(ωt + φ)βηµφµε γ= α +β +2αβσυνφ και εφθ=

α + βσυνφ

⋅ = ⋅ ⋅

Σύνθεση ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και διαφορετικής συχνότητας(διακρότηµα αν 1 2ω ω≅ )

1

2

δ 1 2

y = α ηµωt∆ιακροτηµα:

y = β ηµ(ωt + φ)V = V - V

⋅ ⋅

Σύνθεση ταλαντώσεωνίδιας διεύθυνσης καισυχνότητας



ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

A1

ΤΟΜΟ

πυρήνας

ηλεκτρόνια (e-)

πρωτόνια (p+)

ΑΤΟΜΟ

ΚΑΤΙΟΝ

ΑΝΙΟΝ

-e-

+e-

ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΟΥ∆ΕΤΕΡΟΤΗΤΑ: ΑΡΙΘΜΟΣ p+ = ΑΡΙΘΜΟΣ e-

ΑΖ Σ

+ 0ΜΑΖΙΚΟΣ

ΑΡΙΘΜΟΣΣ(p + n )

+ΑΤΟΜΙΚΟΣ

ΑΡΙΘΜΟΣΑριθµος p

Ατοµικότητες κυριότερων στοιχείων στις συνήθεις συνθήκες(P=1atm, θ=250C)Μονοατοµικά: Μέταλλα, Ευγενή∆ιατοµικά: Η2, Ο2, Ν2, F2, Cl2, Br2, J2Τριατοµικά: Ο3Τετρατοµικά: P4

A2 Φυσικές Μεταβολές

αέριο

υγρό

στερεό

υγροποίηση

πήξη

εξαέρωση

τήξη

εξάχνωση θέρµανση

Τα σώµατα περιέχουν ως δοµικά σωµατίδια: άτοµα, µόρια ή ιόντα

νετρόνια (n0)



A3 Μορφές ύλης

µίγµατα

οµογενήουσίες

διαλύµα

ετερογεν

ενώσεις

στοιχεία

Σώµατα

Τα σώµατα περιέχουν ως δοµικά σωµατίδια: άτοµα, µόρια ή ιόνταA4

Μονάδες περιεκτικότητας διαλυµάτωνΠεριεκτικότητα % κατά βάρος w/w(% κ.β.): εκφράζει τα gδιαλυµένης ουσίας σε κάθε 100g διαλύµατοςΠεριεκτικότητα % κατ όγκο w/v(% κ.ο.): εκφράζει τα g διαλυµένηςουσίας σε κάθε 100ml διαλύµατοςΠεριεκτικότητα % κατ όγκο v/v: π.χ. αέρας 20% κ.ο. Ο2100ltαέρα 20lt Ο2Molarity ή µοριακή συγκέντρωση (Μ): εκφράζει τα mol διαλ.

σωµατιδίων σε κάθε 1lt διαλύµατος, δηλ. (l)

nM = V

molality ή µοριακότητα κατά βάρος (m):εκφράζει τα mol διαλ. σωµατιδίων σε κάθε

1000g διαλύτη [1 1

m 1000 n 1000molality= =M m m

⋅ ⋅⋅

]

Συγκέντρωση διαλύµατος: ουσιας

δ/τος

nc =

V

A5

Κύριος ΚβαντικόςΑριθµός (n)

1 2 3 4 5 6 7

Κύρια στοιβάδα K L M N O P QΜέγιστος αριθµός e- 2 8 18 32 32 18 8

Εξωτερική στοιβάδα ≤ 8e- (πλην Η = 2e-)Προτελευταία στοιβάδα ≤ 18e-



A6Εκατοστιαία κατά βάρος περιεκτικότητα µίγµατος σ ένασυστατικό Α:

%κ.β. = µιγµ.

Amm

⋅100

Εκατοστιαία κατ όγκο περιεκτικότητα µίγµατος σ ένασυστατικό Α:

%κ.ο. = µιγµ.

AVV

⋅100 = Α

ολ

nn ⋅100

A7ΙΟΝΤΙΚΟΣ +Na F

××× ×• ×××

ΧΗΜΙΚΟΙ ∆ΕΣΜΟΙ ΟΜΟΙΟΠΟΛΙΚΟΣ H Cl×•••

•••• ή H - Cl

ΗΜΙΠΟΛΙΚΟΣ H NH

HH×

•

•×

•×

××→ +

ΗΛΕΚΤΡΟΑΡΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ: F > O > N, C l> Br > S > C, J > H

A8 Κυριότεροι αριθµοί οξείδωσης ορισµένων στοιχείων

Μέταλλα ΑµέταλλαΝα, Κ, Ag +1Mg, Cα, Bα, Zn +2Al +3Cu, Hg +2, +1Pb, Sn +2, +4Fe +2, +3Cr +2, +3, +6Mn +2, +4, +7

H +1F, Cl, Br, J-1O -2S -2, +4, +6N, P +3, +5C +4



Κυριότερες ρίζες

• Τα ιόντα των ριζών (πολυατοµικά ιόντα) έχουν φορτίο αρνητικό(πλην του ιόντος ΝΗ+

4) και ίσο µε το σθένος των αντίστοιχων ριζών.

Μοριακός Τύπος Ανόργανης Ένωσης: yxAΘ Θ+y ΜΕΤΑΛΛΟ

NH 4+

Α-x ΑΜΕΤΑΛΛΟ η CNΟΞΥΓΟΝΟΥΧΟΣ ΡΙΖΑ

-

A9 Κατηγορίες οξέων - βάσεων - οξειδίων - αλάτων

ΟΞΕΑ HxA

ΒΑΣΕΙΣ Μ(ΟΗ)x

ΟΞΕΙ∆ΙΑ ΣxΟy

+4NH αµµώνιο -

3HCO όξινη ανθρακική ∆ισθενείς

ΟΗ- υδροξύλιο -4HSO όξινη θειική --

3CO ανθρακικήCN- κυάνιο ClO- υποχλωριώδης --

4SO θειϊκήHS- όξινη θειούχος -

2ClO χλωριώδης --3SO θειώδης

ΝΟ -2 νιτρώδης -

3ClO χλωρική --72OCr διχρωµική

ΝΟ -3 νιτρική -

4ClO υπερχλωρική Τρισθενής

MnΟ -4 υπερµαγγανική

---4PO φωσφορική

όξινα π.χ. SΟ3βασικά π.χ. CαOεπαµφορτερίζοντα π.χ. Al2O3ουδέτερα π.χ. CO

υδροξυλιούχες π.χ.Cα(OH)2µη υδροξυλιούχες π.χ. ΝH3µονοπροτικές π.χ. ΚΟΗπολυπροτικές π.χ. Βα(OH)2

µη οξυγονούχα π.χ. H2Sοξυγονούχα π.χ. H2SO4µονοπροτικά π.χ. HClπολυπροτικά π.χ. H3PO4



σύµπλοκα π.χ. Fe4[Fe(CN)6]3διπλά π.χ. K2SO4⋅Al2(SO4)3⋅24H2O

µικτά π.χ. ΚΝαCO3

βασικά π.χ. Mg(OH)Clαπλά όξινα π.χ. ΝαΗSO4

ουδέτερα π.χ. Να2SO4

ένυδρα π.χ. CuSO4⋅5H2O

άνυδρα π.χ. CuSO4

οξυγονούχα π.χ. Fe(NO3)2

µη οξυγονούχα π.χ. (NΗ4)2S

ΑΛΑΤΑ MxAy

A10 Χηµικές αντιδράσεις:

Σύνθεση: i) στοιχείο + οξυγόνο → οξείδιο2Σ + x

2Ο2 → Σ2Οx

ii) µέταλλο + αµέταλλο (≠Ο2) → άλαςxΜ + yA → MxAy

iii) υδρογόνο + αµέταλλο →x2Η2 + Α → ΗxA (εξαίρεση ΝΗ3, ΡΗ3, κ.λ.π.)

∆ιάσπαση: π.χ. CαCO3 → CαO + CO2



• Στη διπλή αντικατάσταση αντί του υποθετικού προϊόντος ΝΗ4ΟΗκαι των ασταθών προϊόντων H2CO3 και H2SO3 γράφουµεαντίστοιχα:

(NH3 + H2O) (CO2 + H2O) (SO2 + H2O)• Η διπλή αντικατάσταση γίνεται εφόσον κάποιο από τα προϊόνταείναι δυσδιάλυτη ένωση (αέριο↑ ή ίζηµα↓) ή ασθενής ηλεκτρολύτης:

Εξουδετέρωση: όξινο οξείδιο + βάση → άλας + Η2ΟSO3 + Bα(ΟΗ)2 → ΒαSO4 + Η2Ο

βασικό οξείδιο + οξύ → άλας + Η2ΟΝα2Ο + 2ΗCl → 2ΝαCl + Η2Ο

βασικό οξείδιο + όξινο οξείδιο → άλαςCαΟ + CO2 → CαCO3

οξύ + βάση → άλας + Η2ΟHCl + KOH → KCl + H2O

οξύ + ΝΗ3 → αµµωνιακό άλαςH2SO4 + 2NH3 → (NH4)2SO4

∆ιπλή αντικατάσταση: οξύ1 + άλας1 → οξύ2 + άλας2π.χ. 2HCl + Nα2S → H2S↑ + 2NαClβάση1 + άλας1 → βάση2 + άλας2π.χ. ΚΟΗ + ΝΗ4Cl → NH3 + H2O + KClάλας1 + άλας1 → άλας3 + άλας4π.χ. AgNO3 + NαJ → AgJ↓ + NαNO3

ευδιάλυτα στο νερό: HCl, HBr, HJ, SO2, NH3 (για νααπελευθερωθούν απαιτείται θέρµανση)

Αέρια δυσδιάλυτα στο νερό: H2S, CO2

υδροξείδια: όλα εκτός ΚΟΗ, ΝαΟΗ, Cα(ΟΗ)2, Βα(ΟΗ)2Ιζήµατα CαSO4, BαSO4, PbSO4, Ag2SO4

άλατα AgX, CuX, PbX2 (X = Cl, Br, J)θειούχα εκτός των Κ+, Να+, NH ,4

+ Cα+2, Βα+2, Mg+2

ανθρακικά και φωσφορικά, εκτός των Κ+, Να+, NH4+

Ασθενείς όλοι εκτός από τις βάσεις: ΚΟΗ, ΝαΟΗ, Cα(ΟΗ)2,Βα(ΟΗ)2ηλεκτρολύτες: και τα οξέα: HCl, HBr, HJ, HNO3, HClO4, H2SO4



A11 Χρήσιµοι τύποι µετατροπών ποσότητας ουσίας

αριθµ. mol µορίων = (g)

m

m V αριθµ. µοριων= =MB V N

Κανονικές συνθήκες o

m

P=1atmθ=25 CV 22, 4l lt

=

αριθµ. mol ατόµων = (g)m αριθµ. ατοµων=ΑB N

Αριθµός Avogadro Ν =

6,023⋅1023

1mol µορίων περιέχει δ mol ατόµων (δ = δείκτης του ατόµου τουστοιχείου στο µόριο της ουσίας).

Χρήσιµοι τύποι στα αέριαγια µια αέρια ουσία: PV = nRTγια αέριο µίγµα: PV = nολ RTγια µερική πίεση ενός συστατικού αερίου µίγµ.: P1V = n1RTγια µερικό όγκο ενός συστατικού αερίου µίγµ.: PV1 = n1RT

Αναλογία πιέσεων - όγκων - αριθ. MolPV

VV

nn

1

1

1

2

1

2= = P

PVV

nn

1 1 1

ï ë= =

Νόµος µερικών πιέσεων - Νόµος µερικών όγκωνP = P1 + P2 + ... + Pν V = V1 + V2 + ... + Vν

A12 Στοιχειοµετρία αντίδρασης

2ΝΟ + Ο2 → 2ΝΟ2 2mol 1mol 2mol(2⋅MBNO)g (1⋅MBO2)g (2⋅MBNO2)g2 όγκοι ΝΟ 1 όγκος Ο2 2 όγκοι ΝΟ2 (Ρ, Τ σταθερά) (2⋅22,4lt) (1⋅22,4lt) (2⋅22,4lt) (Κ.Σ)

Καταστατικήεξίσωση

R = 0,082 l atmmol K⋅

⋅Τ = 273 + θ1atm = 760mmHg



Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ

B1 ∆ιαµοριακές δυνάµεις Καταστάσης ύλης

B2

∆υνάµεις ιόντος διπόλου ∆υνάµεις διπόλου διπόλου (∆υνάµεις Van der Waals) ∆υνάµεις προσωρινού διπόλου µόνιµου διπόλου ∆υνάµεις προσωρινού διπόλου προσωρινού διπόλου ∆εσµός Η2 Νόµος Μερικών Πιέσεων

ολ A B

AA ολ A ολ A

ολ

P = P + P + ...nP = P = x P (x γραµµοµοριακο κλασµα)n

⋅

Θρµοχηµεία εξώθερµες αντιδράσεις 0∆Η <0 ενδόθερµες αντιδράσεις 0∆Η >0 αΑ+βΒ→γΓ+δ∆ / 0 0 0 0 0

αντιδρασης f(Γ) f(∆) f(Α) f(Β)=(γ∆Η δ∆Η ) - (α∆Η +β∆Η )∆Η +

0Β Α Β∆Η =Η(δεσµων) - Η(δεσµων) , όπου Η(δεσµών)Α και Η(δεσµών)Β

είναι το άθροισµα των ενθαλπιών δεσµών των αντιδρώντων και τωνπροϊόντων αντίστοιχα.Θρµιδοµετρίαq = m⋅c⋅∆Τ, όπου c: η ειδική θερµότητα του σώµατος.Επίσης C=m⋅c, όπου C: η θερµοχωρητικότητα του θερµιδοµέτρου.

∆υνάµειςLondon



3B

4B Νόµος Χηµικής Ισορροπίας

5B

Ταχύτητα αντίδρασης: ∆cu = ∆t

Καµπύλη αντίδρασης: γραφική απράσταση c = f(t)Νόµος της αντίδρασης α1Α1 + α2Α2 + ... + ανΑν →→→→ β1Β1 + β2Β2 + ... + βλΒλ:

1 2 x x x1 2 u = k[A ] [A ] ...[A ] , όπου x1 + x2 + ... + xν = τάξη αντίδρασης

Αν η παραπάνω αντίδραση είναι απλή, µε βάση το νόµο δράσηςτων µαζών, ο νόµος ταχύτητας είναι: ν1 2 αα α

1 2 u = k[A ] [A ] ...[A ]

α1Α1 + α2Α2 + ... + ανΑν →→→→ β1Β1 + β2Β2 + ... + βλΒλ1 2 λ

ν1 2

β β β1 2 λ

c αα α1 2 ν

[Β ] [Β ] ...[Β ]k = [A ] [A ] ...[A ]

1 2 λ

1 2 λ

ν1 2

1 2 ν

β β β

p ααΑ Α Α

P P ...Pk =

P P ...PαΒ Β Β

∆np ck = k (RT) , όπου ∆n = (γ+δ) (α+β) για την αΑ+βΒ→γΓ+δ∆

Απόδοση: Α

Βαθµός απόδοσης: α, όπού πραγµατικη ποσοτηταα = θεωρητικη ποσοτητα

Α = α⋅100

Οξείδωση - Αναγωγή ορισµός οξείδωσης αναγωγής ορισµός αριθµού οξείδωσης τρόποι υπολογισµού του ορισµός οξειδωτικού αναγωγικού σώµατος



ΟΞΕΙ∆ΩΤΙΚΟΑνάγεται

→←

Οξειδώνεται

ΑΝΑΓΩΓΙΚΟ

Ισχυρά F2 +2e →← 2F- Ασθενή

οξειδωτικά 2-2 8S O +2e →←

2-42SO αναγωγικά

H2O2 + 2H+(αq) +2e →← 2H2O

-4MnO + 8H+(αq) +5e →← Mn2++ 4H2O

Au3+ +3e →← Au

Cl2 +2e →← 2Cl-

2-2 7Cr O + 14H+(αq) +6e →← 2Cr3++ 7H2O

O2 + 4H+(αq) +4e →← 2H2O

Br2 +2e →← 2Br-

3NO− + 4H+(αq) +3e →← NO + 2H2O

3NO− + 2H+(αq) +e →← NO2 + H2O

Ag+ +e →← Ag

Fe3+ +e →← Fe2+

O2 + 2H+(αq) +2e →← H2O2

I2 +2e →← 2I-

Cu2+ +2e →← Cu

2-4SO + 2H+(αq) +2e →← 2-

3SO + H2O2H+ +2e →← H2

Pb2+ +2e →← Pb

Sn2+ +2e →← Sn

Fe2+ +2e →← Fe



2CO2(g) + 2H+(αq) +2e →← (COOH)2(αq)

Zn2+ +2e →← Zn

2H2O +2e →← H2 + 2OH-

Mg2+ +2e →← Mg

Na+ +e →← Na

Ca2+ +2e →← Ca

Ασθενή K+ +e →← K Ισχυρά

οξειδωτικά Li+ +e →← Li Αναγωγικά



ΟΡΓΑΝΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

1. Κυριότερες χαρακτηριστικές οµάδες

-COOH - CN• -CHO - OH• 2- NO• - X•καρβοξύλιο κυανοµάδα Αλδεϋδοµάδα υδροξύλιο νιτροµάδα αλογονοµάδα-COO - CO -• • - O -• • - ONO• - N•Εστεροµάδα κετονοµάδα αιθεροµάδα νιτρώδες

εστεροµάδααµινοµάδα

-• : σύνδεση µε C - σύνδεση µε C ή Η2. Κυριότερες οµόλογες σειρέςΟΜΟΛΟΓΗ ΣΕΙΡΑ Γενικός Μοριακός

ΤύποςΓενικός Τύπος

Αλκάνιαν 2ν+2C Η ν≥1

Αλκένιαν 2νC Η ν≥2

Αλκίνιαν 2ν-2C H ν≥2

Αλκαδιένιαν 2ν-2C H ν≥3

κορ. µονοσθενείςαλκοόλες

ν 2ν+2C Η O ν≥1 ν 2ν+1C OHΗ ν≥1

κορ. µονοκαρβονυλ.Αλδεϋδες

ν 2νC OΗ ν≥1 ν 2ν+1__C CH ΟΗ ν≥0

κορ. µονοκαρβονικάοξέα

ν 2ν 2C OΗ ν≥1 ν 2ν+1C COOHΗ ν≥0

Αλκυλαλογονίδιαν 2ν+1C XΗ ν≥1

κορ. µονοσθενήνιτρίλια

ν 2ν-1C NΗ ν≥2 ν 2ν+1C CNΗ ν≥1

κορ. µονοσθενείςαιθέρες

ν 2ν+2C OΗ ν≥2 ν 2ν+1 µ 2µ+1C OC HΗ ν≥1,µ≥1

κορ.µονοκαρβονυλικές

κετόνες

ν 2νC OΗ ν≥3 ν 2ν+1 µ 2µ+1C COC HΗ ν≥1µ≥1

Εστέρες κορ. µονοκ.οξέων

µε κορ. µονοσθ.

ν 2ν 2C OΗ ν≥2 ν 2ν+1 µ 2µ+1C COOC HΗ ν≥0µ≥1



αλκοόλεςκορ. Μονοςθενείς

αµίνεςν 2ν+3C NΗ ν≥1 ν 2ν+1 2C NHΗ ν≥1

ν 2ν+1 µ 2µ+1C NHC HΗ µ≥1

ν 2ν+1 µ 2µ+1C -N-C HΗ ω≥1

ω 2ω+1C Η

3. Ποιοτική ανάλυση

C, H Η2Ο (σταγονίδια)

θέρµανση µε CuO

CO2 CaCO3 ή BaCO3

Ca(OH)η Ba(OH)

2

2 →

Ποσοτική ανάλυση

H Η2Ο αύξηση µάζας προζυγισµένου αφυδατικού) θέρµανση µε

CuO C CO2 αύξηση µάζας προζυγισµένου

διαλύµατος ΚΟΗ)θέρµανση µε

CuO Ν Ν2 (συλλογή και µέτρηση σε

αζωτόµετρο)π. Η2ΝΟ3 S

250 - 350 οC H2SO4 BaSO4

BaCl2 →

O (Έµεσσος προσδιορισµός: από τη µάζα της προζυγισµένης ένωσης αφαιρού-νται οι µάζες των άλλων στοιχείων που

4. Κυριότεροι µέθοδοι προσδιορισµού ΜΒ• Από την πυκνότητα (ή τη µάζα και τον όγκο) αερίου:

ΚΣ(l) (g)ΚΣ

(g)

V m MBd (g/l)=22,4 MB 22,4

m P MBPV= RT d(g/l)=MB T R

=

⋅

⋅



• Από τη σχετική πυκνότητα αερίου ως προς άλλο αέριο Α ή ωςπρος τον αέρα:

A αερασχ σχ

A

MB MBd = , dMB 29

≈

• Από τις προσθετικές ιδιότητες µη ηλεκτρολυτικού διαλύµατος τουσώµατος:

b b f f0 1 1

P N m 1000 m 1000 m = , ∆θ =K , ∆θ =K , ΠV= RTmP MB m MB m MBN +MB

⋅ ⋅⋅ ⋅

5. Είδη ισοµέρειας Συνακτική ή επιπέδου

οµόλογης σειράς

αλυσίδας

θέσης διπλού ή τριπλού δεσµού

χαρακτηριστικής οµάδας

Στερεοϊσοµέρεια ή χώρου

εναντιοµέρεια

διαστερεοϊσοµέρειγεωµετρική ισοµέρεια

άλλες µορφες

6. Κυριότερα αλκύλια ΟΝΟΜΑ µεθύλιο αιθύλιο n-προπύλιο ισοπροπύλιο n-βουτύλιο ισοβουτύλιο δευτεροταγές βουτύλιο τριτοταγές βουτύλιο

ΤΥΠΟΣ CH3- CH3-CH2- CH3-CH2-CH2- CH3 CH3 CH3-CH2-CH2- CH3 CH3 CH3 CH3-CH2-CH- CH3-C-

CH

CH-CH2

CH

CH3

CH3



7. ΑλκάνιαΠαρασκευές από:

→αιθερας

→θNiαλκένια µε καταλυτική υδρογόνωση π.χ. C2H4 + H2 C2H6

ερυθρος P →

RX + H2 → RH + HX 4RX + LiAlH4 → 4RX + LiX + AlX3 RJ + HJ RH + J2

αναγωγή

αντίδραση Wurtz: 2RX + 2Na RR + 2NaX

→θ

CaOνατράσβεστο: RCOONa + NaOH RH + Na2CO3

RX

RCOONa µε

Χηµικές ιδιότητες

ν3 +12

Πυρόλυση π.χ. CH3CH2CH2CH3→CH4 + C3H6 Αντικατάσταση (αλογόνωση) Καύση π.χ. CνH2ν+2 + Ο2→νCO2 + (ν+1)Η2Ο Απανθράκωση:CνH2ν+2 +(ν+1)Χ2 νC+ (2ν+2)ΗΧαπλετο

φως →

8. ΑλκένιαΠαρασκευές από:

→θ

Ni

→θ

αλκοολη

→160 C

π.H SO

o

2 4

αλκάνια µε πυρόλυση αλκίνια ή αλκαδιένια µε µερική καταλυτική υδρογόνωση: CνH2ν-2 + Η2 CνH2ν RX µε αφυδρογόνωση π.χ.: C2H5Cl + NaOH C2H4 + NaCl + H2O ROH µε ισχυρή αφυδάτωση π.χ. C2H5OH C2H4 + H2O




3ν2

→600 Co

→H+

προσθήκη H2, X2, HX, H2O, H2SO4, HXO π.χ.

CH2=CHCH3+HCl→CH3CHClCH3(κύριο προϊόν) αλογόνωση π.χ. CH2=CHCH3+Cl2 CH2=CHCH2Cl+HCl

πολυµερισµός π.χ. νCH2= CH2 (-CH2-CH2-)ν

καύση π.χ. CνΗ2ν + Ο2 → νCO2 + νH2O

9. ΑλκίνιαΠαρασκευές από:

→θ

αλκοολη

→Ca(OH)

+2H O

2

2

1,1 ή 1,2-διαλογονίδια µε αφυδραλογόνωση π.χ.CH2JCH2J + 2KOH C2H2 + 2KJ + 2H2O CaC2 CH≡CH


→Hg, HgSO

H SO

4

42

→500o C

Fe

→NH Cl

CuCl

43ν-12

προσθήκη H2, X2, HX, H2O π.χ.

CH3C≡CH + H2O CH3COCH3

αντιδράσεις όξινου χαρακτήρα µε Κ, Νa, υδ. δ/µα AgNO3/NH3, CuCl/NH3

π.χ. RC≡CH + Na → RC≡CΝa + ½H2↑

πολυµερισµός π.χ. 3C2H2 C6H6

συµπύκνωση π.χ. 2C2H2 CH≡CCH=CH2

καύση π.χ. CνΗ2ν-2 + Ο2 → νCO2 + (ν-1)H2O

10. ΑλκαδιένιαΠαρασκευές από:

κατάλληλα διαλογονίδια µε αφυδραλογόνωση αλκάνια µε πυρόλυση




→Na

3ν-12

πολυµερισµός: ειδικά τα συζυγή διένια δίνουν τον 1,4-πολυµερισµό π.χ. νCH2=CH-CH=CH2 (-CH2-CH=CH-CH2-)ν καύση π.χ. CνΗ2ν-2 + Ο2 → νCO2 + (ν-1)H2O

11. Κορεσµένες µονοσθενείς αλκοόλεςΠαρασκευές από:

→H+

RX µε αντικατάσταση X (επίδραση AgOH): RX + AgOH → ROH + AgX↓ αλκένια µε προσθήκη Η2Ο

CνΗ2ν + Η2Ο CνH2ν+1ΟΗ καρβονυλικές ενώσεις

RCHO + H RCHOHRCOR + H R- C

R

HOH2

|

2

2

→′ →

′

φυσικούς εστέρες µε υδρόλυση

µε καταλυτική υδρογόνωση µε αναγωγή (µε Η2 εν τω




3ν2

→−

+

H O

H SO2 4

2

αντιδράσεις όξινου χαρακτήρα µε Κ, Νa: ROH + K → ROK + ½H2↑ αλογόνωση (µε ΗΧ, ΡΧ3, ΡΧ5, SOCl2) εστεροποίηση (οξύ+αλκοόλη → εστέρας+Η2Ο αφυδάτωση π.χ. C2H5OH C2H5OSO3H

RCH OH RCHO+H

RC

R

HOH RCOR +H

2C

Cu

| C

Cu

→

′

→ ′

32 02

32 02

o

o

RCH OH + |O| RCHO+H ORC

R

HOH + |O| RCOR +H O2

|

→

′

→ ′

2

2

καύση π.χ. CνΗ2ν+2Ο + Ο2 → νCO2 + (ν+1)H2O

160o

CH2SO

C2H4

+C2H5OH 140oC

H2SO4C2H5OC2H5

αφυδρογόνωση π.χ.

οξείδωση π.χ.



Χωρίς Απώλεια Μορίων

ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΠΡΟΣΕΞΕΙΣ ΤΗΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΠΟΥ ΘΑ ΕΠΙΛΕΞΕΙΣ ΩΣΤΕ ΝΑ ΣΕ Ο∆ΗΓΗΣΕΙΣΤΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΠΕ∆ΙΑ ΧΩΡΙΣ ΑΠΩΛΕΙΑ ΜΟΡΙΩΝ

Θεωρητική1ο Επιστηµονικό Πεδίο

5ο Επ. Πεδίο (µε επιλογή Αρχές Οικ.Θεωρίας)

2ο Επιστηµονικό Πεδίο3ο Επιστηµονικό Πεδίο4ο Επιστηµονικό Πεδίο5ο Επ. Πεδίο (µε επιλογή Αρχές Οικ.

Θεωρίας)

2ο Επιστηµονικό Πεδίο

4ο Επιστηµονικό Πεδίο

5ο Επ. Πεδίο (µε επιλογή Αρχές Οικ.

Θεωρίας)

Θετική

Τεχνολογική



Ι. Τα 5 ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΠΕ∆ΙΑ

Α. Ανθρωπιστικές, Νοµικές και Κοινωνικές Επιστήµες. (παλιά Γ΄ ∆έσµη)

Β. Θετικές Επιστήµες. Γ. Επιστήµες Υγείας. ∆. Τεχνολογικές Επιστήµες. Ε. Επιστήµες Οικονοµίας και ∆ιοίκησης.

Τα Επιστηµονικά Πεδία που έχουν άµεση σχέση µε τη ΘΕΤΙΚΗκαι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ περιλαµβάνουν τα εξήςτµήµατα:

Β. Θετικές Επιστήµες (µέρος της παλαιάς Α ∆έσµης): 1ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Θετικής ή Τεχνολογικής Κατεύθυνσης)

2Ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ (Θετικής ή Τεχνολογικής

Κατεύθυνσης) Αντίστοιχα µπορούν να αντικατασταθούν από i) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ και ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

(Γενική Παιδεία) ii) ΦΥΣΙΚΗ - ΒΙΟΛΟΓΙΑ (Γενική Παιδεία)

Περιλαµβάνονται τα εξής τµήµατα:α) Φυσικοµαθηµατικές Επιστήµες: Τµήµατα

Μαθηµατικών, Πληροφορικής (ή ΕπιστήµηςΥπολογιστών), Φυσικής, Χηµείας και Γεωλογίας.

β) Γεωπονοδασολογικές Επιστήµες: ΤµήµαταΓεωπονίας, ∆ασολογίας και συναφή τµήµατα.

ΕΧΕΙ ΩΣ



γ) Ψυχοπαιδαγωγικές Επιστήµες: ΤµήµαταΨυχολογίας, Παιδαγωγικά Τµήµατα ∆ηµοτικήςΕκπαίδευσης και Νηπιαγωγών, Εκπαίδευσης καιΑγωγής στην Προσχολική Ηλικία, Φυσικής Αγωγήςκαι Αθλητισµού, Οικιακής Οικονοµίας.

δ) Στρατιωτικές Σχολές: Ευελπίδων(Όπλα καιΣώµατα), Ναυτικών ∆οκίµων(Μάχιµοι καιΜηχανικοί), Ικάρων (Ιπτάµενοι και Μηχανικοί).

Στο πεδίο αυτό κατατάσσονται ακόµη τα ΤµήµαταΒρεφονηπιοκοµίας ΤΕΙ, τα Τµήµατα Μαθηµατικώνκαι Στατιστικής, Πληροφορικής, ΦυσικώνΕπιστηµών και Επιστηµών Αγωγής τουΠανεπιστηµίου Κύπρου.

Γ. Επιστήµες Υγείας (παλαιά Β ∆έσµη):1Ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ (Θετικής ή Τεχνολογικής

Κατεύθυνσης) 2Ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ (Θετικής ή Τεχνολογικής

Κατεύθυνσης) Αντίστοιχα µπορούν να αντικατασταθούν από

i) ΦΥΣΙΚΗ - ΒΙΟΛΟΓΙΑ (Γενική Παιδεία)ii) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ και ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

(Γενική Παιδεία)ΑΕΙ: Τµήµατα Ιατρικής , Οδοντοϊατρικής,

Νοσηλευτικής, Κτηνιατρικής, Φαρµακευτικής,Βιολογίας και ∆ιαιτολογίας των Πανεπιστηµίωνκαθώς και οι αντίστοιχες Στρατιωτικές Σχολές.

ΤΕΙ: Τµήµατα Ιατρικών Εργαστηρίων, Ραδιολογίας καιΑκτινολογίας, Οδοντοτεχνικής, Οπτικής,Φυσιοθεραπείας, Εργοθεραπείας, Νοσηλευτικής,

ΕΧΕΙ ΩΣ



Μαιευτικής, Επισκεπτών και Επισκεπτριών Υγείας,∆ηµόσιας Υγιεινής, Αισθητικής και Λογοθεραπείας.

IV. Τεχνολογικές Επιστήµες (µέρος της παλαιάς Α ∆έσµης): 1Ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Θετικής ή Τεχνολογικής Κατεύθυνσης)

2Ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ (Θετικής ή Τεχνολογικής

Κατεύθυνσης) Αντίστοιχα µπορούν να αντικατασταθούν από

i) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ και ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (Γενική Παιδεία)

ii) ΦΥΣΙΚΗ - ΒΙΟΛΟΓΙΑ (Γενική Παιδεία)

Περιλαµβάνονται τα εξής τµήµατα:

ΑΕΙ: Τµήµατα Πολιτικών Μηχανικών, Αγρονόµων,Τοπογράφων, Αρχιτεκτόνων και ΜηχανικώνΧωροταξίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης,Μηχανικών Περιβάλλοντος, ΜηχανολόγωνΜηχανικών, Μηχανικών και ΑεροναυπηγώνΜηχανικών, Μηχανολόγων ΜηχανικώνΒιοµηχανίας, Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής,Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και ΜηχανικώνΥπολογιστών, Ναυπηγών Μηχανικών, ΧηµικώνΜηχανικών, Μηχανικών Μεταλλείων -Μεταλλουργών, Μηχανικών Ορυκτών Πόρων,Ηλεκτρονικής και Μηχανικών υπολογιστών,Μηχανικών Παραγωγής και ∆ιοίκησης, καθώς καιοι Στρατιωτικές Σχολές Ευελπίδων, Ναυτικών∆οκίµων και Ικάρων και οι Σχολές Τεχνικών

ΕΧΕΙ ΩΣ



ΕΧΕΙ ΩΣ

Υπαξιωµατικών Αεροπορίας, Στρατού καιΝαυτικού (µόνο οι τεχνικοί).

ΤΕΙ: Περιλαµβάνει όλα τα τµήµατα που ανήκουν στιςΣχολές ΤΕχνολογικών Εφαρµογών των ΤΕΙ, ταΤµήµατα των Σχολών Τεχνολογίας, Γεωπονίας καιΤεχνολογίας Τροφίµων και ∆ιατροφής, καθώς καιτο Τµήµα Συνεταιριστικών Οργανώσεων καιΕκµεταλλεύσεων, Τεχνολογίας Τροφίµων, καθώςκαι τα Τµήµατα των Σχολών Γραφικών Τεχνών καιΚαλλιτεχνικών Σπουδών των ΤΕΙ.Περιλαµβάνονται επίσης οι Στρατιωτικές ΤεχνικέςΣχολές Υπαξιωµατικών.

V. Επιστήµες Οικονοµίας και ∆ιοίκησης (παλαιά ∆ ∆έσµη): 1Ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ:

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ(Μάθηµα Επιλογής)

2Ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ και ΣΤΟΙΧΕΙΑΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

(Μάθηµα Γενικής Παιδείας)

Περιλαµβάνονται τα εξής τµήµατα:ΑΕΙ: Περιλαµβάνει τα Τµήµατα Οικονοµικών

Επιστηµών (ή Οικονοµικής Επιστήµης), τοΟικονοµικό ΣΣΑΣ (Θεσσαλονίκης), Οργάνωσηςκαι ∆ιοίκησης Επιχειρήσεων, ΕπιχειρησιακήςΈρευνας και Marketing, ∆ιεθνών καιΕυρωπαϊκών Οικονοµικών και ΠολιτικώνΕπιστηµών, Αστικής και ΠεριφερειακήςΑνάπτυξης, Λογιστικής, Χρηµατοοικονοµικής καιτραπεζικής ∆ιοικητικής, Στατιστικής καιΑσφαλιστικής, Εφαρµοσµένης Πληροφορικής,



Ναυτιλιακών Επιστηµών, Ναυτιλίας καιΕπιχειρηµατικών Υπηρεσιών. Στο πεδίο αυτόπεριλαµβάνονται επίσης οι ΣχολέςΥπαξιωµατικών ∆ιοικητ. Αεροπορίας, ΜόνιµωνΥπαξιωµατικών του Στρατού και του Ναυτικού,Αξιωµατικών Αστυνοµίας και Αστυφυλάκων.Περιλαµβάνονται επίσης τα ΤµήµαταΟικονοµικών, ∆ηµόσιας ∆ιοίκησης Και ∆ιοίκησηςΕπιχειρήσεων του Πανεπιστηµίου Κρήτης.

ΤΕΙ: Οικονοµικές και ∆ιοικητικές Επιστήµες, Τµήµατα∆ιοίκησης Επιχειρήσεων, ΤουριστικώνΕπιχειρήσεων, Τουριστικών Επαγγελµάτων,Λογιστικής, Συνεταιριστικών Οργανώσεων καιΕκµεταλλεύσεων, Βιοµηχανικού σχεδιασµού καιΤηλεπληροφορικής.



ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΤΗΣ Β΄ ΚΑΙ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΒ΄ ΤΑΞΗ

Μαθήµατα που εξετάζονται µε κοινά θέµατα σε εθνικό επίπεδο καιυπολογίζονται για εισαγωγή σε ΑΕΙ ΤΕΙ

Μαθήµατα Γενικής Παιδείας1. Αρχαία Ελληνικά 4. Άλγεβρα2. Νεοελληνική Γλώσσα 5. Γεωµετρία3. Ιστορία 6. Φυσική

Μαθήµατα ΚατεύθυνσηςΘεωρητικήΚατεύθυνση

ΘετικήΚατεύθυνση

Τεχνολογική Κατεύθυνση

1. Αρχαία Ελληνικά 1. Μαθηµατικά 1. Μαθηµατικά2. Λατινικά 2. Φυσική 2. Φυσική3. Αρχές Φιλοσοφίας 3. Χηµεία 3. Τεχνολογία

ΕπικοινωνιώνΜαθήµατα που εξετάζονται σε επίπεδο σχολικής µονάδας (δεν

υπολογίζονται)1. Θρησκευτικά2. Νεοελληνική Λογοτεχνία3. Εισαγωγή στο ∆ίκαιο και στους Πολιτικούς Θεσµούς4. Χηµεία5. Βιολογία6. Ξένη Γλώσσα7. Ένα (1) µάθηµα επιλογήςΣτα µαθήµατα επιλογής προστίθεται και το µάθηµα: Πολιτική και ΚοινωνικήΟργάνωση στην Αρχαία Ελλάδα

Γ΄ ΤΑΞΗΜαθήµατα που εξετάζονται µε κοινά θέµατα σε εθνικό επίπεδο και

υπολογίζονται για εισαγωγή σε ΑΕΙ ΤΕΙΜαθήµατα Γενικής Παιδείας

1. Νεοελληνική Γλώσσα 4. Φυσική2. Ιστορία 5. Βιολογία3. Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής



Μαθήµατα ΚατεύθυνσηςΘεωρητικήΚατεύθυνση

ΘετικήΚατεύθυνση

Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΚύκλοςΤεχνολογίας καιΠαραγωγής

ΚύκλοςΠληροφορικής και

Υπηρεσιών1. ΑρχαίαΕλληνικά

1. Μαθηµατικά 1. Μαθηµατικά* 1. Μαθηµατικά*

2. Νεοελ.Λογοτεχνία

2. Φυσική 2. Φυσική* 2. Φυσική*

3. Λατινικά 3. Χηµεία 3. Χηµεία-Βιοχηµεία

3. ΑνάπτυξηΕφαρµογών σεΠρογραµ.Περιβάλλον

4. Ιστορία 4. Βιολογία 4. Ηλεκτρολογία 4. Αρχές Οργάν.και ∆ιοίκ.Επιχειρήσεων

Ειδικά το µάθηµα Αρχές Οικονοµικής Θεωρίας είναι µάθηµα επιλογής καιαυξηµένης βαρύτητας για υποψηφίους οικονοµικών σχολώνΜαθήµατα που εξετάζονται σε επίπεδο σχολικής µονάδας (δεν

υπολογίζονται)1. Θρησκευτικά2. Νεοελληνική Λογοτεχνία3. Ιστορία των Επιστηµών και της Τεχνολογίας4. Ξένη Γλώσσα5. Ένα (1) µάθηµα επιλογήςΣτα µαθήµατα επιλογής προστίθενται και τα µαθήµατα:1) Τεχνολογία και Ανάπτυξη, 2) Τεχνολογία Υπολογιστικών συστηµάτων* Τα Μαθηµατικά και η Φυσική της Τεχνολογικής και της ΘετικήςΚατεύθυνσης έχουν την ίδια διδακτέα και εξεταστέα ύλη και τα ίδιαδιδακτικά βιβλία

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣΗ εισαγωγή στα ΑΕΙ θα κρίνεται µόνο από τους βαθµούς στα

πανελλαδικώς εξεταζόµενα µαθήµατα, που είναι 9 για την Γ΄ Λυκείουκαι άλλα 9 για τη Β΄ Λυκείου, όµως ο βαθµός της Β΄ Λυκείου θαυπολογίζεται µόνο εφόσον είναι µεγαλύτερος από αυτόν της Γ΄ τάξης.Επιπλέον στοιχείο που καθορίζει αποφασιστικά την εισαγωγή στα ΑΕΙπαραµένει ο προφορικός βαθµός.



∆ιευκρινίζεται ότι ο µέσος όρος του προφορικού θαπολλαπλασιάζεται µε 0,3, ο µέσος όρος των γραπτών µε 0,7 και τοάθροισµα αυτών θα δίνει την βαθµολογία σε κάθε ένα από ταπανελλαδικώς εξεταζόµενα µαθήµατα.

Αν ο προφορικός βαθµός απέχει από τον γραπτό περισσότεροαπό 3 µονάδες, τότε ο προφορικός αναπροσαρµόζεται ώστε η διαφοράνα µην είναι µεγαλύτερη των 3 µονάδων.

∆ιαχωρίζεται η διαδικασία προαγωγής και απόλυσης τωνµαθητών από τη διαδικασία εισαγωγής στην Τριτοβάθµια

Εκπαίδευση.Προαγωγή και απόλυση• Για την προαγωγή και απόλυση των µαθητών, απαιτείται

γενικός µέσος όρος τουλάχιστον 9,5 (το οποίο στρογγυλοποιείταισε 10). Ο γενικός µέσος όρος προκύπτει από το σύνολο τωνγραπτώς εξεταζόµενων µαθηµάτων, συνυπολογιζοµένου και τουπροφορικού βαθµού. Ο µηχανισµός προσαρµογής προφορικήςκαι γραπτής βαθµολογίας µε τις τρεις και πέντε µονάδες (5µονάδες προσαρµογή γίνεται µόνο στην περίπτωση που οµαθητής δεν περνά την τάξη), ισχύει και για τα ενδοσχολικώς καιγια τα πανελλαδικώς εξεταζόµενα µαθήµατα.

Η πρόσβαση σε ΑΕΙ ΤΕΙΗ πρόσβαση στα ΑΕΙ / ΤΕΙ θα γίνεται µε βάση: α) τον γενικό µέσο

όρο (ΓΜΟ), που προκύπτει µόνον από τα πανελλαδικώς εξεταζόµεναµαθήµατα συµπεριλαµβανοµένης της γραπτής και προφορικήςβαθµολογίας και β) το βαθµό τον οποίο θα έχουν οι µαθητές σταµαθήµατα αυξηµένης βαρύτητας.• Για την εισαγωγή στην Τριτοβάθµια Εκπαίδευση, ο µέσος

όρος των µαθηµάτων που θα εξετάζονται σε εθνικό επίπεδοπολλαπλασιάζεται επί 8, ο βαθµός του πρώτου µαθήµατοςαυξηµένης βαρύτητας επί 1,3, του δεύτερου επί 0,7. Ο αριθµόςτων τελικών µορίων πολλαπλασιάζεται επί 10. Μέγιστος βαθµόςθα είναι τα 2.000 µόρια.

1ο παράδειγµα (σε όλα άριστες αποδόσεις)Μέσος όρος πανελλαδικώς εξεταζόµενων µαθηµάτων: 20 20x8=160Βαθµός πρώτου µαθήµατος αυξηµένης βαρύτητας: 20 20x1,3=26Βαθµός δεύτερου µαθήµατος αυξηµένης βαρύτητας: 20 20x0,7=14

Σύνολο: 200Τελικό σύνολο µορίων: 200x10=2000



2ο παράδειγµα (µε αντικατάσταση των µαθηµάτων αυξηµένηςβαρύτητας και άριστες αποδόσεις)Μέσος όρος πανελλαδικώς εξεταζόµενων µαθηµάτων: 20 20x8=160Μάθηµα που αντικαθιστά το 1ο αυξηµένης βαρύτητας: 20 20x0,9=18Μάθηµα που αντικαθιστά το 2ο αυξηµένης βαρύτητας: 20 20x0,4=08

Σύνολο: 186Τελικό σύνολο µορίων: 186x10=1860

3ο παράδειγµαΜέσος όρος Πανελλαδικώς εξεταζόµενων µαθηµάτων: 15 15x8=120Βαθµός πρώτου µαθήµατος αυξηµένης βαρύτητας: 16 16x1,3=20,8Βαθµός δεύτερου µαθήµατος αυξηµένης βαρύτητας: 17 17x0,7=11,9

Σύνολο: 152,7Τελικό σύνολο µορίων: 152,7x10=1572

• Ως προς την εξαγωγή του µέσου όρου τόσο τουΑπολυτηρίου όσο και αυτού που προκύπτει από τα πανελλαδικώςεξεταζόµενα µαθήµατα λαµβάνεται, υπόψη η επίδοση τωνµαθητών και στις δύο τάξεις (30% για τη Β΄ και 70% για τη Γ΄) υπότον όρο ότι ο ΓΜΟ της Β΄ τάξης είναι µεγαλύτερος από αυτόν τηςΓ΄ τάξης.

ΠαράδειγµαΑν Β είναι ο Μ.Ο. της Β΄ Λυκείου, Γ της Γ΄ Λυκείου και Β>Γ τότε ο

βαθµός του Απολυτηρίου θα είναι 10

Γ7 B3 ⋅+⋅ .

Αν Β≤ Γ τότε ο βαθµός του Απολυτηρίου είναι ο Γ.Όµοια προκύπτει και ο Μ.Ο. των πανελλαδικώς εξεταζόµενωνµαθηµάτων.

• Η επιλογή Τµηµάτων γίνεται από δύο επιστηµονικά πεδία,επίσης υπάρχει η δυνατότητα αντικατάστασης των µαθηµάτωναυξηµένης βαρύτητας από αντίστοιχα µαθήµατα Γενικής Παιδείαςµε παράλληλη µείωση των συντελεστών τους (0,9 για το πρώτοκαι 0,4 για το δεύτερο), αν ο µαθητής δεν έχει παρακολουθήσει ταπροβλεπόµενα µαθήµατα αυξηµένης βαρύτητας.

• Το Απολυτήριο του Ενιαίου Λυκείου εκδίδεται µία φορά καιδεν αλλάζει.

• Οι απόφοιτοι Λυκείου που θέλουν να βελτιώσουν τηβαθµολογία τους, µπορούν χωρίς περιορισµό ναεπαναλαµβάνουν τη γραπτή εξέτασή τους, στα πανελλαδικώς



εξεταζόµενα µαθήµατα της Γ΄ Λυκείου όσες φορές επιθυµούν. Οπροφορικός βαθµός παραµένει ο ίδιος. Σε κάθε περίπτωση, ωςβαθµολογία τους υπολογίζεται η τελευταία τους επίδοση. Επίσης,ο υποψήφιος µπορεί να διατηρήσει τη βαθµολογία του σταΠανελλαδικώς εξεταζόµενα µαθήµατα και να συµετέχει στηδιαδικασία επιλογής για την Τριτοβάθµια Εκπαίδευση σε ποσοστό10% του συνόλου των θέσεων ανά τµήµα. Οι επιτυχόντες σετµήµατα ΑΕΙ και ΤΕΙ, µπορούν να διατηρήσουν την εγγραφή τουςσε αυτά, ανεξαρτήτως της συµµετοχής τους στις εξετάσειςεπόµενων ετών ή τη συµπλήρωση µηχανογραφικού δελτίου.

• Οι µαθητές της Β΄ και Γ΄ Λυκείου οι οποίοι, λόγω ασθένειας ήανωτέρας βίας, δεν έλαβαν µέρος σε εξετάσεις του Ιουνίου, έχουντη δυνατότητα να εξεταστούν σε όσα µαθήµατα δεν προσήλθανσε ειδική εξεταστική περίοδο αµέσως µετά το τέλος τωνΠανελλαδικών Εξετάσεων.

Άλλες χρήσιµες πληροφορίεςΗ εξεταστέα και η διδακτέα ύλη ταυτίζονται και ανακοινώνονται ως

το τέλος Σεπτεµβρίου εκάστου έτους.• Τα θέµατα που τίθενται στις Πανελλαδικές Εξετάσεις

διαβαθµίζονται ως προς τον βαθµό δυσκολίας τους και οι µαθητέςθα γνωρίζουν τον συντελεστή βαρύτητας κάθε θέµατος.

• Τα θέµατα στα Μαθηµατικά και τη Φυσική για τους µαθητέςτης Θετικής και της Τεχνολογικής Κατεύθυνσης θα είναι κοινά.

• Οι διορθωτές βαθµολογητές υπογραµµίζουν τα λάθη τωνµαθητών πάνω στα γραπτά µε διαφορετικά χρώµατα. Σεπερίπτωση αναβαθµολόγησης, ο τρίτος βαθµολογητής δενγνωρίζει τη βαθµολογία των δύο προηγουµένων. Τελικός βαθµόςστην περίπτωση αναβαθµολόγησης, θα είναι ο µέσος όρος πουπροκύπτει από το βαθµό του τρίτου βαθµολογητή και τονπλησιέστερο προς αυτό το βαθµό των δύο προηγούµενων. Στηνπερίπτωση, όµως, κατά την οποία ο τρίτος βαθµός είναι ακριβώςο µέσος όρος των δύο πρώτων, ως τελικός βαθµός θα λαµβάνεταιο συγκεκριµένος µέσος όρος.

• Κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους πραγµατοποιείταιυποχρεωτικά µόνο ένα ωριαίο διαγώνισµα στο Α΄ τετράµηνο. Ηδιενέργεια ολιγόλεπτων τεστ αφήνεται στην κρίση τωνεκπαιδευτικών.



Τα εννέα βασικά σηµείαΤΙ ΙΣΧΥΕΙ

1 Ρόλοςαπολυτηρίου

Το απολυτήριο αποσυνδέεται πλήρως από τηνειςαγωγή στα ΑΕΙ.

2 Εισαγωγήστα ΑΕΙ

Για τον υπολογισµό µορίων λαµβάνονται υπόψη:α) ο µέσος όρος που προκύπτει µόνο από ταπανελλαδικώς εξεταζόµενα µαθήµατα (της Γ΄τάξης, και της Β΄ µόνο εφόσον είναι µεγαλύτερος)συµπεριλαµβανοµένης της γραπτής και τηςπροφορικής βαθµολογίας κατά 80%, β) ο βαθµόςστο πρώτο µάθηµα αυξηµένης βαρύτητας κατά13% και ο βαθµός στο δεύτερο µάθηµα κατά 7%.

3 Μαθήµατακαι τρόποςεξέτασης

Πανελλαδικές εξετάσεις σε εννέα µαθήµατα τωνδύο τάξεων και ενδοσχολικές εξετάσεις για ταυπόλοιπα. Τα τελευταία υπολογίζονται στηδιαµόρφωση του απολυτηρίου αλλά όχι στηνεισαγωγή στα ΑΕΙ.

4 Τι γίνεταιαν ο υποψήφιοςθέλει να βελτιώσειβαθµούς

Ο υποψήφιος έχει δικαίωµα να επαναλάβει τιςεξετάσεις όσες φορές επιθυµεί, διατηρώντας τονπροφορικό βαθµό του. Επίςης, µπορεί ναδιατηρήσει τη βαθµολογία του και να καταθέτεικάθε χρόνο το µηχανογραφικό, όµως τότεσυµµετέχει στη διαδικασία επιλογής για ΑΕΙ ΤΕΙσε ποσοστό 10% του συνόλου των θέσεων ανάΤµήµα.

5 Τι γίνεται ανκάποιος µπει σεΣχολή άλλη από αυτήτης επιλογής του

Το απολυτήριο εκδίδεται µία φορά και δεν αλλάζει.Ο υποψήφιος µπορεί και να εγγραφεί στη Σχολήόπου πέτυχε και να βελτιώνει συνεχώς βαθµούς,ώστε να µπει σε καλύτερη.

6 Τι γίνεται ανκάποιος µαθητήςΒ΄ - Γ΄ Λυκείου

Οι επαναληπτικές εξετάσεις γίνονται αµέσως µετάτις Πανελλαδικές και συνεπώς ο υποψήφιος πουπέτυχε δεν χάνει τη χρονιά του.



αρρωστήσει και δενµετάσχει στιςεξετάσεις Ιουνίου

7 Πώς διαµορφώνεταιη ύλη των µαθηµάτων

Η διδακτέα και η εξεταστέα ύλη ταυτίζονται καιανακοινώνονται µέχρι τέλος Σεπτεµβρίου.

8 Πώς γίνεταιη βαθµολόγησητων γραπτών

Καθένας από τους δύο βαθµολογητές δορθώνει µεδιαφορετικά χρώµατα. Ο αναβαθµολογητής δενγνωρίζει τις βαθµολογίες των δύο βαθµολογητώνκαι ο τελικός βαθµός προκύπτει από τον µέσο όροτου βαθµού του αναβοθµολογητή και τουπλησιέστερου προς αυτόν.

9 Ενδοσχολικάδιαγωνίσµατα

Ολιγόλεπτα τεστ, στην κρίση του διδάσκοντος.Ωριαία τεστ, µόνο ένα στο πρώτο τετράµηνο.



ΕΒ∆ΟΜΑ∆ΙΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ι. ΘΕΡΙΝΗ ΠΕΡΙΟ∆ΟΣ

∗ Έναρξη 12 Ιουνίου.∗ ∆ιάρκεια: 7 εβδοµάδες.

• ΑΛΓΕΒΡΑ 3 ώρες

• ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 2 ώρες

• ΦΥΣΙΚΗ 3 ώρες

• ΧΗΜΕΙΑ 2 ώρες

• ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ3 ώρες

• ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ2 ώρες

• ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ώρες

Σύνολο: 18 ώρες

∗ Η διδασκαλία γίνεται σε 4 πρωινά της εβδοµάδας, πρωινές ώρες.



ΙΙ. ΧΕΙΜΕΡΙΝΗ ΠΕΡΙΟ∆ΟΣ

∗ Έναρξη 10 Σεπτεµβρίου.∗ ∆ιάρκεια: έως τέλος Μαΐου.

• ΑΛΓΕΒΡΑ 2 ώρες

• ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 2 ώρες

• ΦΥΣΙΚΗ 2 ώρες

• ΧΗΜΕΙΑ 1 ώρες

• ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ2 ώρες

• ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ1ώρες

Σύνολο: 10 ώρες

∗ Η διδασκαλία γίνεται σε 2 ηµέρες της εβδοµάδας, ανάλογα µε τοπρόγραµµα του σχολείου του µαθητή.

∗ Σε επί πλέον κάθε 15µερο 3ωρα διαγωνίσµατα.



ΕΒ∆ΟΜΑ∆ΙΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Τα παρακάτω προγράµµατα καταρτίστηκαν σύµφωνα µε το νέοπρόγραµµα που εφαρµόζεται στα από 1-9-1999 και δηµοσιεύτηκε στηνεφηµερίδα της Κυβερνήσεως Αρ. Φύλλου 1057/1-12-1997.


ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

Γενικής Παιδείας Γενικής Παιδείας

• ΑΛΓΕΒΡΑ 2 ώρες • ΑΛΓΕΒΡΑ 2 ώρες

• ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 2 ώρες • ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 2 ώρες

• ΦΥΣΙΚΗ 2 ώρες • ΦΥΣΙΚΗ 2 ώρες

• ΧΗΜΕΙΑ 1 ώρα • ΧΗΜΕΙΑ 1 ώρα

• ΕΛΛΗΝΙΚΑ(ΑΡΧΑΙΑ - ΝΕΑ)

4 ώρες • ΕΛΛΗΝΙΚΑ(ΑΡΧΑΙΑ- ΝΕΑ)

4 ώρες

• ΒΙΟΛΟΓΙΑ 1 ώρα • ΒΙΟΛΟΓΙΑ 1 ώρα

Κατεύθυνσης Κατεύθυνσης

• ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ώρες • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ώρες

• ΦΥΣΙΚΗ 2 ώρες • ΦΥΣΙΚΗ 2 ώρες

• ΧΗΜΕΙΑ 1 ώρα • ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΕΠ/ΝΙΩΝ

1 ώρα

• ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ώρες • ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ώρες

Σύνολο: 21 ώρες Σύνολο: 21 ώρες

Προαιρετικά (επιπλέον χρόνο): * ΙΣΤΟΡΙΑ 1 ώρα




ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

• ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ(ΓΕΝ. ΠΑΙ∆. & ΚΑΤ.)

6ώρες • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

(ΓΕΝ. ΠΑΙ∆. & ΚΑΤ.)

6ώρες

• ΦΥΣΙΚΗ(ΓΕΝ. ΠΑΙ∆. & ΚΑΤ.)

3ώρες • ΦΥΣΙΚΗ


3ώρες

• ΧΗΜΕΙΑ(ΓΕΝ. ΠΑΙ∆. &

ΚΑΤ.)

2ώρες • ΧΗΜΕΙΑ

(ΓΕΝ. ΠΑΙ∆.)

1ώρα


3ώρες • ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

ΕΠ/ΝΙΩΝ

1 ώρα


3 ώρες


Προαιρετικά (επιπλέον χρόνο): * ΒΙΟΛΟΓΙΑ 1 ώρα * ΙΣΤΟΡΙΑ 1 ώρα

∗ Το πρόγραµµα καλύπτεται σε τρεις ή τέσσερις µετακινήσεις.∗ Επιπλέον 3ωρα διαγωνίσµατα κάθε 15θηµερο.∗ Επιπλέον µαθήµατα Βιολογίας - Ιστορίας (προαιρετικά).



ΕΒ∆ΟΜΑ∆ΙΑΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΓΙΑ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ


ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

• ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ(ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ & KΑΤΕΥΘ.)

7ώρες

• ΦΥΣΙΚΗ(ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ & ΚΑΤΕΥΘ.)

5ώρες

• ΒΙΟΛΟΓΙΑ(ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ & ΚΑΤΕΥΘ.)

2ώρες

• ΧΗΜΕΙΑ(ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ)

3ώρες

• ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ3

ώρεςΣύνολο: 20 ώρες

Επιλογή*ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ για όσους επιλέξουν 5ο Επιστ.Πεδίο

2ώρες

Προαιρετικά (επιπλέον χρόνο)* ΙΣΤΟΡΙΑ 1 ώρα



ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ

ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ

ΥΠΗΡΕΣΙΩΝΓενικής Παιδείας Γενικής Παιδείας

• ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ &ΣΤΟΙΧΕΙΑΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

3 ώρες • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

3 ώρες

• ΦΥΣΙΚΗ 1 ώρα • ΦΥΣΙΚΗ 2 ώρες

• ΒΙΟΛΟΓΙΑ 1 ώρα • ΒΙΟΛΟΓΙΑ 1 ώρα

• ΕΛΛΗΝΙΚΗΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ

3 ώρες • ΕΛΛΗΝΙΚΗΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ

3 ώρες

Κατεύθυνσης Κατεύθυνσης

• ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 4 ώρες • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 4 ώρες

• ΧΗΜΕΙΑ -ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ

3ώρες • ΦΥΣΙΚΗ 3

ώρες

• ΜΗΧΑΝΙΚΗ 3ώρες • ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦ/ΓΩΝ

ΣΕ ΠΡΟΓΡ/ΚΟ ΠΕΡ.

2ώρες

• ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ 2ώρες • ΤΕΧΝ. ΥΠ/ΚΩΝ ΣΥΣΤ.

& ΛΕΙΤ/ΚΑ ΣΥΣΤ.

2ώρες

• ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ &ΑΝΑΠΤΥΞΗ

1ώρα • ΑΡΧΕΣ ΟΡΓ. &

∆ΙΟΙΚ. ΕΠΙΧ. ΚΑΙΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

1ώρα

Σύνολο: 21 ώρες Σύνολο: 21 ώρεςΕπιλογή

*ΑΡΧΕΣ ΟΙΚ/ΚΗΣΘΕΩΡΙΑΣ

2ώρες

*ΑΡΧΕΣ ΟΙΚ/ΚΗΣΘΕΩΡΙΑΣ

2ώρες

για όσους επιλέξουν 5ο Επ.Πεδίο

Προαιρετικά (επιπλέον χρόνο) * ΙΣΤΟΡΙΑ 1 ώρα




ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

• ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ(ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ & ΚΑΤΕΥΘ.)

5ώρες

• ΦΥΣΙΚΗ(ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ & ΚΑΤΕΥΘ.)

3ώρες

• ΧΗΜΕΙΑ(ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ)

2ώρες

• ΒΙΟΛΟΓΙΑ(ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ & ΚΑΤΕΥΘ.)

2ώρες

• ΕΛΛΗΝΙΚΑ 2ώρες

Σύνολο: 14 ώρες*ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ για όσους επιλέξουν 5ο Επιστ. Πεδίο

2ώρες



ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ

ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ

ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

• ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ(ΓΕΝ. ΠΑΙ∆. & ΚΑΤ.)

5 ώρες • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ(ΓΕΝ. ΠΑΙ∆. & ΚΑΤ.)

5ώρες

• ΦΥΣΙΚΗ (Γ.Π)

• ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΑΤ.)

3ώρες • ΦΥΣΙΚΗ


3ώρες

• ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ 1ώρα • ΕΛΛΗΝΙΚΗ

ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ

2ώρες

• ΧΗΜΕΙΑ -ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ

2ώρες • ΑΝΑΠΤΥΞΗ

ΕΦ/ΓΩΝ ΣΕΠΡΟΓΡ/ΚΟ ΠΕΡ.

3

• ΒΙΟΛΟΓΙΑ 1 ώρα

• ΕΛΛΗΝΙΚΗΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ

2ώρες • ΒΙΟΛΟΓΙΑ ώρες

• ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ &ΑΝΑΠΤΥΞΗ

1ώρα • ΑΡΧΕΣ ΟΡΓ. &

∆ΙΟΙΚ. ΕΠΙΧ. ΚΑΙΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

1ώρα


*ΑΡΧΕΣΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣΘΕΩΡΙΑΣ

2ώρες

*ΑΡΧΕΣΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣΘΕΩΡΙΑΣ

2ώρες

για όσους επιλέξουν 5ο Επισ. Πεδίο

Προαιρετικά (επιπλέον χρόνο): * ΒΙΟΛΟΓΙΑ 1 ώρα

ΘΕΜΑΤΑ

ΖΗΤΗΜΑ 1ο Α1. Να γράψετε τον τύπο που δίνει το νιοστό όρο να µιας αριθµητικής προόδου ( )να ,

που έχει πρώτο όρο 1α και διαφορά ω. (Μονάδες 3)

Α2. Να γράψετε τη σχέση µεταξύ πραγµατικών αριθµών α, β, γ έτσι, ώστε οι αριθµοί

αυτοί, µε τη σειρά που σας δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου.

(Μονάδες 3)

Α3. Να αποδείξετε ότι το άθροισµα Sν των πρώτων ν όρων µιας γεωµετρικής προόδου

( )να , που έχει πρώτο όρο 1α και λόγο 1λ ≠ , είναι: 11S1

ν

νλ −= α ⋅λ −

.(Μονάδες 6,5)

Β1. Στη στήλη Α δίνεται ο πρώτος όρος 1α και η διαφορά ω τριών αριθµητικών

προόδων και στη Στήλη Β ο νιοστός όρος να τεσσάρων αριθµητικών προόδων. Να

γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον

αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στο σωστό νιοστό όρο.

Στήλη Α Στήλη Β

α. 1 1, 2α = ω = − 1. να = −ν

β. 1 0, 3α = ω = 2. 4 3να = ν −

γ. 1 1, 1α = − ω = − 3. 3 2να = − ν

4. 3 3να = ν −

(Μονάδες 6)

Β2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την

ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α) Οι αριθµοί –5,5,15 µε τη σειρά που σας δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι

αριθµητικής προόδου.

β) Ο εικοστός όρος της αριθµητικής προόδου 10,7,4,... είναι ίσος µε 20.

γ) Σε κάθε αριθµητική πρόοδο ( )να για τους όρους της 2 4 6, ,α α α ισχύει η

σχέση 4 2 62α = α +α . (Μονάδες 4,5)

Β3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Αν σε µια γεωµετρική πρόοδο ο πρώτος όρος είναι ίσος µε 1 και ο λόγος ίσος µε 2,

τότε το άθροισµα των πρώτων ν όρων της είναι ίσο µε:

Α. 2 12

ν − Β. 2 1ν − Γ. 12ν− ∆. 1 2ν− Ε. Κανένα από τα προηγούµενα.

(Μονάδες 2)

ΖΗΤΗΜΑ 2ο ∆ίνεται το πολυώνυµο ( ) ( )3 2x x 1 x 3x 2 6Ρ = α + β− − − β+ , όπου α, β πραγµατικοί αριθµοί.

α) Αν ο αριθµός 1 είναι ρίζα του πολυωνύµου ( )P x και το υπόλοιπο της διαίρεσης

του ( )P x µε το x 1+ είναι ίσο µε 2, τότε να δείξετε ότι 2α = και 4β = .

(Μονάδες 15)

β) Για τις τιµές των α και β του ερωτήµατος α), να λύσετε την εξίσωση ( )P x 0= .

(Μονάδες 10)

ΖΗΤΗΜΑ 3ο

∆ίνεται η συνάρτηση ( ) 2 2f x 2 x x 2 x 4 x= ηµ συν − ηµ − συν , όπου x πραγµατικός

αριθµός.

α) Να µετατρέψετε τη συνάρτηση f στη µορφή ( ) ( )f x 2x k= ρηµ + φ + , όπου ρ,φ,k

πραγµατικοί αριθµοί και 0ρ > . (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε για ποιες τιµές του x η συνάρτηση f παίρνει τη µέγιστη τιµή και ποια είναι

αυτή. (Μονάδες 6)

γ) Να λύσετε την εξίσωση ( )f x f x 24π − + =

στο διάστηµα [ ]0,π . (Μονάδες 10)

ΖΗΤΗΜΑ 4ο

Ένας πληθυσµός βακτηριδίων τριπλασιάζεται σε αριθµό κάθε ώρα.

Α. Αν αρχικά υπάρχουν 10 βακτηρίδια, να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων ύστερα

από 6 ώρες. (Μονάδες 9)

Β. Στο τέλος της έκτης ώρας ο πληθυσµός των βακτηριδίων ψεκάζεται µε µια ουσία, η

οποία σταµατά τον πολλαπλασιασµό τους και συγχρόνως προκαλεί την καταστροφή 33 10⋅ βακτηριδίων κάθε ώρα.

Β1. Να βρείτε το πλήθος των βακτηριδίων που αποµένουν 20 ώρες µετά τον

ψεκασµό. (Μονάδες 8)

Β2. Μετά από πόσες ώρες από τη στιγµή του ψεκασµού θα καταστραφούν όλα τα

βακτηρίδια; (Μονάδες 8)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΖΗΤΗΜΑ 1ο Α1. ( )1 1να = α + ν − ω

Α2. 2

α + γβ =

Α3. Θεωρία

Β1. α → 3 β → 4 γ → 1

Β2. α → Σ β → Λ γ → Σ

Β3. Β

ΖΗΤΗΜΑ 2ο

α) ( )( )

P 1 0 1 3 2 6 0 2 0 2 8 41 3 2 6 2 8 2 4 2 0 2P 1 0

= α +β− − − β+ = α −β+ = − β = − β = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −α +β− + − β+ = −α −β+ = α − + = α =− =

β) ( ) 3 2P x 2x 3x 3x 2 0= + − − =

2 3 3 2 1

2 5 22 5 2 0

− −

( )( )2 1x 1 2x 5x 2 0 x 1, x 2, x2

⇔ − + + = ⇔ = = − = −

ΖΗΤΗΜΑ 3ο

α)

( )

( )

( )

2

2 2 2

2 2 2

2

f x 2 x x 2 x 4 x

2x 2 x 2 x 2 x

2x 2 x x 2 x

2x 2 2 x2x 2 1 2x2x 2 1 2x2x 2x 3

2= ηµ συν − ηµ − συν

= ηµ − ηµ − συν − συν

= ηµ − ηµ +συν − συν

= ηµ − − συν= ηµ − − +συν= ηµ − − −συν= ηµ −συν −

Φέρνουµε την παράσταση ( )g x 2x 2x= ηµ −συν στη µορφή

( ) ( )g x 2x= ρηµ + φ όπου: ( )221 1 2ρ = + − = και φ τέτοια ώστε:

1 222

41 222

συνφ = = π ⇒ φ = −

ηµφ = − = −

.

Άρα ( )g x 2 2x4π = ηµ −

.

Έτσι η ( )f x 2 2x 34π = ηµ − −

β) Η f παίρνει την µέγιστη τιµή όταν 2x 1 2x4 4 2π π π ηµ − = ⇔ ηµ − = ηµ ⇔

3 32x 2 2x 2 x ,4 2 4 8π π π π− = κπ+ ⇔ = κπ+ ⇔ = κπ+ κ∈ µε maxf 2 3= −

γ) Η εξίσωση ( )f x f x 24π − + =

γίνεται

2 2x 3 2 2x 3 24 2 4

2 2x 3 2 2x 3 24 4

2x 2x 14 4

2x 2x 2x 2x 14 4 4 4

22 2x 1 2 2x 14 2

π π π ηµ − − − ηµ + − − = ⇔ π π ηµ − − − ηµ + + = ⇔

π π ηµ − −ηµ + = ⇔ π π π πηµ ⋅συν −ηµ ⋅συν −ηµ ⋅συν −ηµ ⋅συν = ⇔

π− ⋅συν ⋅ηµ = ⇔ − συν ⋅ = ⇔

[ ] [ ]

2 32x 2x2 4

333 xx2x 2 8845x 0, x 0, x8

πσυν = − ⇔ συν = συν ⇔

πππ == κπ±= κπ± ⇔ ⇔ π ∈ π ∈ π =

ΖΗΤΗΜΑ 4ο

Α. Έστω 1 10α = ο αριθµός των βακτηριδίων αρχικά. Τότε ύστερα από 1 ώρα ο

αριθµός των βακτηριδίων θα είναι 2 13 10 3α = ⋅α = ⋅ , ύστερα από 2 ώρες θα είναι

( ) 23 23 3 10 3 10 3α = ⋅α = ⋅ ⋅ = ⋅ οπότε συµπεραίνουµε ότι ο αριθµός των

βακτηριδίων αποτελεί Γεωµετρική Πρόοδο µε 1 10α = και 3λ = . Έτσι ύστερα

από 6 ώρες ο αριθµός των βακτηριδίων θα είναι: 6 67 1 10 3α = α ⋅λ = ⋅ βακτηρίδια.

Β. 1) Το πλήθος των βακτηριδίων µόλις γίνει ο ψεκασµός είναι 61 7 10 3β = α = ⋅ ,

1 ώρα µετά τον ψεκασµό θα είναι: 3 6 32 1 10 3 10 3 10 3β = β − ⋅ = ⋅ − ⋅ και 2

ώρες µετά τον ψεκασµό θα είναι: 3 6 33 2 10 3 10 3 2 10 3β = β − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ . Οπότε

παρατηρούµε ότι ο αριθµός των βακτηριδίων που αποµένουν µετά από ν

ώρες από τον ψεκασµό θα είναι ο ( )1ν + τάξης όρος Αριθµητικής Προόδου

µε 61 10 3β = ⋅ και 310 3ω = − ⋅ . Έτσι µετά από 20 ώρες από τον ψεκασµό θα

έχω: ( )6 3 3 3 321 1 2120 10 3 20 10 3 10 3 3 20 70 3β = β + ω = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⇒ β = ⋅

βακτηρίδια.

2) Έστω ότι όλα τα βακτηρίδια καταστρέφονται µετά από ν ώρες. Τότε θα

πρέπει ( )6 31 10 0 3 10 10 3 0ν+β = ⇔ β + ν ⋅ω = ⇔ ⋅ + ν ⋅ − ⋅ = ⇔

( )3 310 3 3 0 27⋅ − ν = ⇔ ν = . Άρα τα βακτηρίδια καταστρέφονται µετά από

27 ώρες.

Επιµέλεια: ΑΡΣΕΝΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΟΠΟΥΛΟΣ ΤΑΣΟΣ

ΣΤΕΦΑΝΙ∆ΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΡΟΥΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ

ΘΕΜΑ 1ο Α1. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε διάµεσο ΑΜ να αποδείξετε ότι το άθροισµα των τετραγώνων δύο πλευρών του ισούται µε το διπλάσιο του τετραγώνου της διαµέσου που περιέχεται µεταξύ των πλευρών αυτών, αυξηµένο κατά το µισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς, δηλαδή:

22Α

2222 ΒΓ+ΑΜ=ΑΓ+Β

Μονάδες 10 Α2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ να συµπληρώσετε τη σχέση: ΑΓ2 – ΑΒ2 = …………… ώστε να εκφράζει το δεύτερο θεώρηµα των διαµέσων.

Μονάδες 2,5 Β. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση για καθένα από τα ερωτήµατα Β1 και Β2. Β1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται: β = 8, γ = 6 και µα = 5. Η πλευρά α είναι ίση µε: Α. 7 Β. 4 Γ. 10 ∆. 9 Ε. 11

Μονάδες 6,5 Β2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται α = 4, β = 7, γ =5, Α∆ το ύψος και ΑΜ η διάµεσος. Η προβολή ∆Μ της διαµέσου ΑΜ πάνω στην πλευρά α είναι ίση µε: Α.4 Β.8 Γ. 8/3 ∆.5 Ε.3

Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 2ο

∆ίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ∆ µε ΑΒ//Γ∆, ΑΒ < Γ∆, ο∧∧=∆= 90A , ΑΒ = 4, Α∆ = 3, ΒΓ = 5.

Να υπολογίσετε: α) την προβολή της ΒΓ πάνω στη ∆Γ

Μονάδες 9 β) το εµβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓ∆

Μονάδες 9 γ) το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 3ο Σε κύκλο (Ο, R) είναι εγγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρά ΑΒ = 15. Να υπολογίσετε: α) την ακτίνα R του κύκλου

Μονάδες 6 β) το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου (Ο,R)

Μονάδες 6 γ) το εµβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ

Μονάδες 6 δ) το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον κύκλο και το ισόπλευρο τρίγωνο.

Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4ο ∆ίνεται κύκλος (Ο, R) και µια διάµετρος του ΑΒ. Από ένα σηµείο Μ του κύκλου, διαφορετικό των Α και Β, φέρουµε κάθετη στη διάµετρο ΑΒ, που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ζ και τη διάµετρο στο σηµείο ∆. Επί της ΑΒ θεωρούµε το ευθύγραµµο τµήµα ΟΓ = Ο∆ και φέρουµε τη ΜΓ, που τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Μ∆2 = Α∆⋅∆Β

Μονάδες 6 β) ΜΓ⋅ΓΕ = Μ∆⋅∆Ζ = R2 – Ο∆2

Μονάδες 6 γ) ΜΓ2 + Μ∆2 = 2(R2 + Ο∆2)

Μονάδες 5

δ) 22

22

RR2

Ο∆−Ο∆+=

∆ΖΜ∆+

ΓΕΜΓ

Μονάδες 8


ΘΕΜΑ 1ο Α1) Θεωρία (βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 218) Α2) ΑΓ2 – ΑΒ2 = 2⋅ΒΓ⋅Μ∆, όπου Μ∆ η προβολή της διαµέσου ΑΜ στη βάση ΒΓ.

Β1) Σωστό το Γ. (Από 2

22

222 α+µ=γ+β α άρα α = 10)

Β2) Σωστό το Ε. (Από ∆Μ⋅α=γ−β 222 άρα ∆Μ = 3) ΘΕΜΑ 2ο Φέρνουµε ΒΕ⊥Γ∆. α) Είναι ΒΕ = Α∆ = 3 (ΑΒΕ∆ ορθ. παρ/µο)

Πυθαγόρειο Θεώρηµα στο ∆ΒΕΓ :

ΕΓ2 = ΒΓ2 – ΒΕ2 = 52 – 32 = 16. Άρα ΕΓ = 4. β) Είναι ∆Ε = ΑΒ = 4 και ∆Γ = ∆Ε + ΕΓ = 4 + 4 = 8.

Ισχύει 182

3)84(2

)(E =⋅+=Α∆⋅∆Γ+ΑΒ=ΑΒΓ∆

γ) Είναι 123821

21 =⋅=ΒΕ⋅∆Γ=Ε∆ΒΓ

ΘΕΜΑ 3ο

α) Ισχύει ⇒=⇒=⇒=3

15R3R153Rλ3

35R3

315R 2 =⇒=⇒

β) Είναι ( ) π7535πRπE22 =⋅=⋅=κ

γ) Είναι 4

32254

3514

3λ 223 =⋅=⋅

=ΕΑΒΓ

δ) Είναι

−=−=Ε−Ε=Ε ΑΒΓκυκλου 4

33π754

3225π75x

ΘEMA 4ο

α) Επειδή ο∧=ΑΜΒ 90 (εγγεγραµµένη που βλέπει σε ηµικύκλιο) από µετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο έπεται:

Μ∆2 = Α∆⋅∆Β β) Είναι: ΜΓ⋅ΓΕ = ΓΑ⋅ΓΒ = (R + ΟΓ)(R – ΟΓ) = (R + Ο∆)(R – Ο∆) = R2 – Ο∆2 Μ∆⋅∆Ζ = ∆Α⋅∆Β = (R + Ο∆)(R – Ο∆) = R2 – Ο∆2 Οπότε τελικά ΜΓ⋅ΓΕ = Μ∆⋅∆Ζ = R2 – Ο∆2 γ) Από 1ο Θ. ∆ιαµέσων στο τρίγωνο Μ∆Γ:

22

2222 ∆Γ+ΜΟ=Μ∆+ΜΓ έτσι

( )2

2R22

222 Ο∆+=Μ∆+ΜΓ2

4R22

222 Ο∆+=Μ∆+ΜΓ⇔

( )2222 R2 Ο∆+=Μ∆+ΜΓ⇔ δ) Αξιοποιώντας τα ερωτήµατα (β) και (γ), αρκεί για το ερώτηµα (δ) να δείξω ότι:

⇔ΓΕ⋅ΜΓΜ∆+ΜΓ=

∆ΖΜ∆+

22

ΓΕΜΓ

⇔ΓΕ⋅ΜΓΜ∆+ΜΓ=

⋅⋅+⋅⇔

22

∆ΖΓΕΓΕΜ∆∆ΖΜΓ

⇔ΜΓΜ∆+ΜΓ=⋅+⋅⇔

22

∆ΖΓΕΜ∆∆ΖΜΓ

⇔∆Ζ⋅Μ∆+∆Ζ⋅ΜΓ=⋅⋅+⋅⇔ 222 ΜΓΓΕΜ∆∆ΖΜΓ ⇔∆Ζ⋅Μ∆=⋅⋅⇔ 2ΜΓΓΕΜ∆

∆Ζ⋅Μ∆=⋅⇔ ΜΓΓΕ που ισχύει από το (β).

Γ

Α

Β ∆ Μ

4 5

3

Α Β

Γ Ε ∆

Γ Β

Α

λ3

B A Ε

Ζ

Μ

Ο ∆ Γ

Θέµα 1ο Α.1. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(xo, yo) και ακτίνα ρ.

Μονάδες 2 Α.2. Πότε η εξίσωση 2 2x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο; Ποιο είναι το κέντρο του και ποια η ακτίνα του;

Μονάδες 4,5 Α.3. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη ε του κύκλου 2 2 2C: x + y = ρ σε ένα σηµείο του Α(x1, y1) έχει εξίσωση

21 1xx + yy = ρ .

Μονάδες 6 Β.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ∆ίνεται κύκλος 2 2x + y = 10 και το σηµείο του Μ(1, -3). Η εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Μ έχει εξίσωση:

Α. x + 3y = 10 Β. 5x - y = 8 Γ. x - 3y = 10 ∆. 3x + 2y = 3 Ε. 1 x + y = 52

Μονάδες 4 Β.2. Στη Στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις που παριστάνουν κύκλους και στη Στήλη Β τα κέντρα των κύκλων και οι ακτίνες τους. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή εξίσωση του κύκλου.

Στήλη Α Στήλη Β α. 2 2x + y - 6x + 4y - 3 = 0 1. Κ(0, -1), ρ = 2

β. 2 2x + (y + 1) = 4 2. Κ(3, -2), ρ = 1 3. Κ(3, -2), ρ = 4

Μονάδες 4 B.3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Το σηµείο (1, -1) ανήκει στον κύκλο 2 2x + y = 2 . β. Ο κύκλος 2 2x + y = 4 και η ευθεία y = 2x εφάπτονται. γ. η εξίσωση 2 2 2x + y + λ = 0 , όπου λ πραγµατικός αριθµός, είναι εξίσωση κύκλου.

Μονάδες 4,5 Θέµα 2ο Θεωρούµε του ακεραίους της µορφής α = 6k + υ µε 0 ≤ υ < 6 και k ακέραιος. Να δείξετε ότι: α) οι παραπάνω ακέραιοι α που δεν είναι πολλαπλάσια του 2 ή του 3 παίρνουν τη µορφή α = 6k + 1 ή τη µορφή α = 6k + 5, όπου k ακέραιος.

Μονάδες 10 β) το τετράγωνο κάθε ακεραίου αριθµού της µορφής του ερωτήµατος (α) µπορεί να πάρει τη µορφή: 2α = 3µ + 1 , όπου µ ακέραιος.

Μονάδες 10 γ) η διαφορά των τετραγώνων δύο ακεραίων του ερωτήµατος (α) είναι πολλαπλάσιο του 3.

Μονάδες 5 Θέµα 3ο Για τα διανύσµατα α, β ισχύουν οι σχέσεις 2α + 3β = (4, -2) και α - 3β = (-7, 8) .

α) Να δείξετε ότι α = (-1, 2) και β = (2, -2) . Μονάδες 7

β) Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός k, ώστε τα διανύσµατα kα + β και 2α + 3β να είναι κάθετα. Μονάδες 8

γ) Να αναλυθεί το διάνυσµα γ = (3, -1) σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο διάνυσµα α .

Μονάδες 10 Θέµα 4ο Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Oxy, η εξίσωση ευθείας (λ - 1)x + (λ + 1)y - λ - 3 = 0 , όπου λ πραγµατικός αριθµός, περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέµπει ένας περιστρεφόµενος φάρος Φ. α) Να βρείτε τις συντεταγµένες του φάρου Φ.

Μονάδες 8 β) Τρία πλοία βρίσκονται στα σηµεία Κ(2, 2), Λ(-1, 5)και Μ(1, 3). Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτινών που διέρχονται από τα πλοία Κ, Λ και Μ.

Μονάδες 4,5

γ) Να υπολογίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ.

Μονάδες 6 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ.

Μονάδες 6,5

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα 1ο Α.1. Ορισµός Α.2. 2 2A + B - 4Γ > 0

Το κέντρο του κύκλου είναι το Α ΒΚ - , -2 2

.

Η ακτίνα του κύκλου είναι η 2 2Α + Β - 4Γρ =

2.

Α.3. Θεωρία. Β.1. Γ. Β.2. α → 3 β → 1 Β.3. α → Σ β → Λ γ → Λ Θέµα 2ο α) Οι ακέραιοι της µορφής α = 6k + υ µε 0 ≤ υ < 6 και k ακέραιο είναι:

Για υ = 0: α = 6k = 2(3 k) = πολλαπλάσιο του 2. Για υ = 1: α = 6k + 1 = 2⋅3⋅k + 1 (ούτε πολλαπλάσιο του 2 ούτε του 3). Για υ = 2: α = 6k + 2 = 2(3 k + 1) = πολλαπλάσιο του 2. Για υ = 3: α = 6k + 3 = 3(2 k + 1) = πολλαπλάσιο του 3. Για υ = 4: α = 6k + 4 = 2(3 k + 2) = πολλαπλάσιο του 2. Για υ = 5: α = 6k + 5 = 6k + 4 + 1 = 2(3k + 2) + 1 (όχι πολλαπλάσιο του 2) ή α = 6k + 5 = 6k + 3 + 2 = 3(2k +

1) + 2 (όχι πολλαπλάσιο του 3). Άρα οι ακέραιοι της παραπάνω µορφής που δεν είναι πολλαπλάσια του 2 ή του 3 είναι οι: α = 6k + 1, α = 6k + 5 όπου k ακέραιος. β) i) α = 6k + 1

2 2 2α = (6k + 1) = 36k + 12 k + 1 = 2= 3(12k + 4k) +1 = 3µ + 1 όπου 2µ = 12k + 4k ∈ Ζ .

ii) α = 6k + 5 2 2 2α = (6k + 5) = 36k + 60 k + 25 =

2 236k + 60k + 24 + 1 = 3(12k + 20k + 8) + 1 = = 3µ + 1 όπου 2µ = 12k + 20k + 8 ∈ Ζ . γ) ∆ύο ακέραιοι β, γ του (α) ερωτήµατος λόγω του (β) ερωτήµατος έχουν τετράγωνα που γράφονται στη µορφή

21β = 3µ + 1, 2

2 1 2γ = 3µ + 1, µ ,µ ∈ Ζ .

Τότε 2 21 2 1 2 1 2β - γ = (3µ + 1) - (3µ + 1) = 3µ - 3µ = 3(µ - µ ) = 3λ = πολλαπλάσιο του 3 όπου 1 2λ = µ - µ ∈ Ζ .

Θέµα 3ο

α. Είναι ( )2α + 3β = (4, -2)

3α = (4, -2) + (-7, 8) α - 3β = (-7, 8)

+⇒ ⇒

1 3α = (-3, 6) α = (-3, 6) α = (-1, 2)3

⇒ ⇒ ⇒

α - 3β = (-7, 8) (-1,2) - 3β = (-7, 8) ⇒ ⇒

-3β = (-7, 8) - (-1, 2) -3β = (-6, 6) ⇒ ⇒ ⇒ 1β = - (-6, 6) β = (2, -2)3

⇒ ⇒

β. Είναι kα + β = k(-1, 2) + (2, -2) = (-k + 2, 2k - 2)

και 2α + 3β = (4, -2) από υπόθεση.

Άρα (kα + β) (2α + 3β) (kα + β) (2α + 3β) = 0 ⊥ ⇒ ⋅ ⇒ (-k + 2) 4 + (2k - 2) (-2) = 0 -4k + 8 -4k + 4 = 0 ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒

3 -8k = -12 k = 2

⇒ ⇒

γ. Έστω 1 2γ , γ οι συνιστώσες του γ . Είναι 1 2γ = γ + γ µε 1γ //α . Επειδή 1 2γ γ⊥ έχουµε 2γ α⊥ . Ισχύει 1 1 1γ = λα γ = λ(-1, 2) γ = (-λ, 2λ).⇒ ⇒ Πολλαπλασιάζουµε τη σχέση 1 2γ = γ + γ επί α και έχουµε 1 2 1α γ = α γ + α γ α γ = α γ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ αφού

2 2γ α α γ = 0.⊥ ⇒ ⋅ Άρα -1⋅3 + 2⋅(-1) = -1⋅(-λ) + 2⋅2λ ⇒ -5 = 5λ ⇒ λ = -1. Εποµένως 1γ = (1, -2) (αντίθετο του α ) και 2 1 2 2γ = γ - γ γ = (3, -1) - (1, -2) γ = (2, 1).⇒ ⇒

α

γ

1γ

2γ

Θέµα 4ο α) Για λ = 1 η (λ - 1)x + (λ + 1)y - λ - 3 = 0 (1) γίνεται 2y - 4 = 0 ⇔ y = 2 (2). Για λ = 0 η (λ - 1)x + (λ + 1)y - λ - 3 = 0 γίνεται -x + y - 3 = 0 (3).

Η (3)

(2) -x + 2 - 3 = 0 x = -1.⇒ ⇔ Άρα οι ευθείες των σχέσεων (2) και (3) τέµνονται στο Φ(-1, 2). Το σηµείο Φ επαληθεύει την εξίσωση (1) για κάθε λ∈R διότι (λ - 1)⋅(-1) + (λ + 1)⋅2 - λ - 3 = 0 ⇔ -λ + 1 + 2λ + 2 - λ - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 ισχύει. Άρα ο φάρος έχει συντεταγµένες (-1, 2). β) ΚΦ: επειδή yκ = yΦ = 2 είναι (ΛΦ) // xx, άρα η εξίσωση της ευθείας ΚΦ είναι y = 2. ΛΦ: επειδή xΛ = xΦ = -1 είναι ΛΦ // yy, άρα η εξίσωση της ευθείας ΛΦ είναι x = -1.

ΜΦ: ΜΦ3 - 2 1λ = = 1 + 1 2

. Άρα 1y - 2 = (x + 1) 2

⇔

2y - 4 = x + 1 x - 2y + 5 = 0.⇔ ⇔

γ) 2 - 4 + 5 3d(Κ, ΦΜ) = =

5 5

-1 -10 + 5 6d(Λ, ΦΜ) = = .5 5

Άρα το πλοίο Κ βρίσκεται πλησιέστερα στην ευθεία ΦΜ.

Λ

Μ

ΚΦ

-1 1 2

5

δ) Είναι ΛΦ = (-1 + 1, 2 - 5) = (0, -3)

→ και ΛΜ = (1 + 1, 3 - 5) = (2, -2).

→

Άρα 0 31 1 1ΛΦΜ = det ΛΦ , ΛΜ = | | = 6 = 3τ.µ.2 22 2 2

∆ → → − −

Θέµα 1ο Α. Να δείξετε ότι, σε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων Oxy, η εξίσωση του κύκλου C, µε κέντρο

( )0 0K x , y και ακτίνα ρ, είναι ( ) ( )2 2 20 0x - x + y - y = ρ

Μονάδες 12,5 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση για καθένα από τα ερωτήµατα Β1 και Β2. Β1. Το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ του κύκλου ( ) ( )2 2x - 2 + y + 1 = 4 είναι: α) Κ(2, -1), ρ = 4 β) Κ(2, -1), ρ = 2 γ) Κ(-2, 1), ρ = 2 δ) Κ(-2, 1), ρ = 4

Μονάδες 2,5 Β2. Το κέντρο του κύκλου ( ) ( )2 2x - 1 + y - 2 = 25 ανήκει στην ευθεία: α) y = x + 2 β) y = 2x - 1 γ) 2x + y = 5 δ) 3x + 2y = 7

Μονάδες 4 Β3. ∆ίνεται ο κύκλος C µε εξίσωση: 2 2x + y = 49. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα σηµεία της στήλης Ι και δίπλα τον αριθµό της στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Στήλη Ι Στήλη ΙΙ Α(0, 7) 1. εσωτερικό σηµείο του κύκλου C Β(3, 4) 2. σηµείο του κύκλου C Γ(7, -2) 3. εξωτερικό σηµείο του κύκλου C ∆(-7, 0)

Μονάδες 6 Θέµα 2ο Ένας γιατρός παίρνει δύο διαδοχικές µετρήσεις της αρτηριακής πίεσης ενός ασθενούς µε διαφορά λίγων λεπτών. Κατά την πρώτη µέτρηση η πίεση του ασθενούς βρέθηκε 15,6, ενώ κατά τη δεύτερη µέτρηση η πίεση βρέθηκε 14,4. Α. Υποθέτοντας ότι η πραγµατική τιµή της πίεσης βρίσκεται µεταξύ των δύο αυτών τιµών, να βρείτε ποια από τις δύο αυτές τιµές είναι προσέγγιση µε έλλειψη και ποια προσέγγιση µε υπέρβαση.

Μονάδες 5 Β. Αν θεωρήσουµε ως προσεγγιστική τιµή της πίεσης το µέσο όρο των δύο προηγούµενων τιµών, να βρείτε: α) την ακρίβεια της προσέγγισης,

Μονάδες 10 β) τη σχετική ακρίβεια της προσέγγισης.

Μονάδες 10 Θέµα 3ο Ένα προϊόν έχει αρχική τιµή 100.000 δρχ. α) Ποια είναι η τελική τιµή του προϊόντος, αν στην αρχική τιµή γίνει αύξηση 12% και στη συνέχεια έκπτωση 8%;

Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι η τελική τιµή πώλησης του προϊόντος δεν αλλάζει, αν στο προϊόν γίνει αρχικά έκπτωση 8% και στη συνέχεια έκπτωση 12% ή αν γίνει αρχικά έκπτωση 12% και στη συνέχεια έκπτωση 8%.

Μονάδες 9 γ) Να αποδείξετε ότι η τιµή πώλησης, στην περίπτωση που γίνεται έκπτωση 20% στην αρχική τιµή, είναι µικρότερη από την τιµή πώλησης που προκύπτει από το ερώτηµα β).

Μονάδες 9 Θέµα 4ο Τα σχέδια κατασκευής του υπόγειου σιδηρόδροµου (ΜΕΤΡΟ) µιας πόλης, σ’ ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων Oxy, περιλαµβάνουν: Τη γραµµή Γ1 µε διανυσµατική εξίσωση ( )1ε : r = 2i + j + λ i + 3j , λ∈R και τη γραµµή Γ2, που διέρχεται από το

σταθµό Σ(-3, 2) και είναι παράλληλη στο διάνυσµα u = (2, -1). α) Να βρεθεί η εξίσωση της γραµµής Γ1 στη µορφή Ax + By + Γ = 0.

Μονάδες 5 β) Να βρεθεί η εξίσωση της γραµµής Γ2 στην ίδια µορφή µε το ερώτηµα α).

Μονάδες 7 γ) Στο σηµείο Ο(0, 0) πρέπει να κατασκευαστεί ένας νέος σταθµός, που θα εξυπηρετεί µια συγκεκριµένη περιοχή. ∆εδοµένου ότι το κόστος κατασκευής ανά µονάδα µήκους γραµµής είναι το ίδιο για όλες τις περιοχές, µε ποια από τις γραµµές Γ1 και Γ2 πρέπει να συνδεθεί ο νέος σταθµός έτσι, ώστε η γραµµή σύνδεσής του να έχει το µικρότερο κόστος;

Μονάδες 13

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα 1ο Α. Θεωρία βιβλίου σελίδα 134. Β. Β1 → β Β2 → δ Β3 → Α - 2, Β - 1, Γ - 3, ∆ - 2 Θέµα 2ο Α. Επειδή η πραγµατική τιµή της πίεσης βρίσκεται µεταξύ των 14,4 και 15,6, η προσέγγιση µε έλλειψη είναι 14,4 και η προσέγγιση µε υπέρβαση είναι 15,6.

Β. Ο µέσος όρος των δύο προηγούµενων τιµών είναι 14,4 + 15,6 30 = = 15.2 2

Τότε παίρνουµε ως προσεγγιστική τιµή την α = 15. Αν x η πραγµατική τιµή της πίεσης τότε 14,4 x 15,6 14,4 - 15 x - 15 15,6 - 15 ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔

-0,6 x - 15 0,6 x - 15 0,6.⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ α) Η ακρίβεια της προσέγγισης είναι σ = 0,6.

β) Η σχετική ακρίβεια της προσέγγισης είναι σ 0,6 0,6ε = = = = 0,04α 15 15

ή ε = 4%.

Θέµα 3ο

α) 1ος τρόπος: Ο δείκτης εξέλιξης στην αύξηση είναι 0112ε = 1 + = 1,12100

ενώ στην έκπτωση είναι

128ε = 1 - = 0,92.100

Άρα από τον πολλαπλασιαστικό τύπο έχουµε 02 01 12ε = ε ε = 1,12 0,92 = 1,0304.⋅ ⋅ Οπότε η

τελική τιµή από τον τύπο 202

0

αε = α

γίνεται 2 02 0α = ε α = 100.000 1.0304 = 103.040 δρχ.⋅ ⋅

2ος τρόπος: Η τιµή του προϊόντος µε την πρώτη αύξηση 12% γίνεται

112α = 100.000 + 100.000 = 100.000 + 12.000 = 112.000 δρχ.100

Στη συνέχεια γίνεται στην τιµή αυτή έκπτωση

8%, άρα έχουµε τελική τιµή τελ8α = 112.000 - 112.000 = 112.000 - 8.960 = 103.040 δρχ.100

β) Στην πρώτη περίπτωση οι δείκτες εξέλιξης είναι 018ε = 1 - = 0,92100

και 1212ε = 1 - = 0,88100

οπότε ο

συνολικός δείκτης εξέλιξης θα είναι 02ε = 0,92 0,88 = 0,8096⋅ . Στη δεύτερη περίπτωση οι δείκτες εξέλιξης είναι

0112ε = 1 - = 0,88100

και 128ε = 1 - = 0,92100

οπότε ο συνολικός δείκτης εξέλιξης θα είναι

02ε = 0,88 0,92 = 0,8096⋅ . Άρα βλέπουµε ότι η τελική τιµή του προϊόντος θα είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις αφού έχουµε ίσους δείκτες εξέλιξης.

γ) 1ος τρόπος: Στην περίπτωση που έχουµε έκπτωση 20% ο δείκτης εξέλιξης είναι 0120ε = 1 - = 0,8100

′ . Από το β)

έχουµε ότι 02ε = 0,8096 . Άρα 01 02ε < ε′ οπότε η τιµή πώλησης θα είναι µικρότερη σε αυτή την περίπτωση. 2ος τρόπος: Από το β) έχουµε ότι 02ε = 0,8096 , άρα το ποσοστό µείωσης θα είναι

02t = ε - 1 100 = 0,8096 - 1 100 = -0,1904 100 = 19,04%.⋅ ⋅ ⋅ Άρα το ποσοστό µείωσης είναι µεγαλύτερο στη γ) περίπτωση οπότε έχουµε και τη µικρότερη τιµή πώλησης. Θέµα 4ο α) Η πρώτη γραµµή (Γ1) του ΜΕΤΡΟ σε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων Oxy έχει διανυσµατική εξίσωση

( )1ε : r = 2i + j + λ i + 3j , λ∈R. Άρα διέρχεται από σηµείο µε διάνυσµα θέσης 0r = 2i + j και είναι παράλληλη

στο διάνυσµα v = i + 3j . Έτσι έχει καρτεσιανή εξίσωση x - 2 y - 1 = 1 3

ή 3x - 6 = y - 1 ή 1ε : 3x - y - 5 = 0 .

β) Η δεύτερη γραµµή (Γ2) διέρχεται από το σηµείο Σ(-3, 2) και είναι παράλληλη στο διάνυσµα u(2, -1) . Άρα έχει

καρτεσιανή εξίσωση x - (-3) y - 2 = 2 -1

ή -x - 3 = 2y - 4 ή 2ε : x + 2y - 1 = 0 .

γ) Στην αρχή των αξόνων Ο(0, 0) του συστήµατος θα κατασκευαστεί σταθµός του ΜΕΤΡΟ. Αφού το κόστος κατασκευής (ανά µονάδα µήκους γραµµής) για τη σύνδεση µε τις δύο γραµµές είναι ίδιο συµφέρει να γίνει η σύνδεση µε τη γραµµή εκείνη που απέχει µικρότερη (κάθετη) απόσταση από το σηµείο Ο. Άρα θα βρούµε και θα συγκρίνουµε τις αποστάσεις του σηµείου Ο από τις ευθείες ε1, ε2 (που αντιστοιχούν στις γραµµές Γ1 και Γ2 αντίστοιχα). Είναι:

1 2 2

3 0 - 0 - 5 5d(O, ε ) = = 103 + (-1)

⋅ µονάδες µήκους.

2 2 2

0 + 2 0 - 1 1 2d(O, ε ) = = = 5 101 + 2

⋅ µονάδες µήκους.

Αφού 2 5 < 10 10

ή d(O, ε2) < d(O, ε1) µικρότερη απόσταση από το Ο έχει ε2 (δηλαδή η γραµµή Γ2) που

σηµαίνει ότι µας συµφέρει η σύνδεση του νέου σταθµού µε τη γραµµή Γ2.

O

Γ1

Γ2

1/2 5/3 1

2 1

-5

x

y

ΘΕΜΑ 1ο Για τις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σηµειακό φορτίο Q δηµιουργεί γύρω του ηλεκτρικό πεδίο. Σε απόσταση r απ' αυτό η ένταση του πεδίου έχει µέτρο Ε. Σε διπλάσια απόσταση 2r το µέτρο της έντασης του πεδίου: α. υποτετραπλασιάζεται β. διπλασιάζεται γ. είναι το ίδιο δ. τετραπλασιάζεται.

Μονάδες 3 2. Η αντίσταση ενός χάλκινου αγωγού σταθερής θερµοκρασίας εξαρτάται από: α. την τάση στα άκρα του β. την ένταση του ρεύµατος που τον διαρρέει γ. τις διαστάσεις του αγωγού δ. τη µάζα του αγωγού.

Μονάδες 3 3. Η δύναµη Laplace που ασκείται σε ρευµατοφόρο αγωγό από οµογενές µαγνητικό πεδίο δεν εξαρτάται από: α. το µήκος του αγωγού β. το βάρος του αγωγού γ. την ένταση του οµογενούς µαγνητικού πεδίου δ. την ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος.

Μονάδες 3 4. Ο ροοστάτης είναι µία διάταξη µε την οποία: α. ρυθµίζουµε την ένταση του ρεύµατος β. µετράµε την τάση γ. µετράµε την ένταση του ρεύµατος δ. µετράµε την αντίσταση ενός αγωγού.

Μονάδες 4 5. ∆ύο ίσες αντιστάσεις συνδέονται παράλληλα. Αν η τιµή κάθε αντίστασης είναι R η ισοδύναµη αντίσταση είναι: α. 2R β. 4R γ. R/2 δ. R

Μονάδες 4 6. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της στήλης Β, που αντιστοιχεί στο σωστό φυσικό µέγεθος.

Α Β

α. 2

| Q |rηλΚ

1. ∆ύναµη Laplace

β. ρsl

2. ∆υναµικό σε σηµείο ηλεκτρικού πεδίου

γ. I2R 3. Ισχύς που καταναλώνει αντιστάτης δ. BIl ηµφ 4. Ένταση ηλεκτρικού πεδίου που οφείλεται

σε σηµειακό ηλεκτρικό φορτίο 5. Αντίσταση ωµικού αγωγού

Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 2ο Α. Πυκνωτής χωρητικότητας C είναι φορτισµένος. Συνδέουµε τους οπλισµούς του αγώγιµα και ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται. ΄Οταν η τάση στους οπλισµούς του πυκνωτή γίνει ίση µε το µισό της αρχικής α) πόσες φορές ελαττώθηκε η ενέργεια του πυκνωτή;

Μονάδες 2 β) να δικαιολογήσετε την απάντησή σας

Μονάδες 8 Β. ΄Ενα κύκλωµα αποτελείται από πηγή µε στοιχεία Ε, r και αντιστάτη του οποίου η αντίσταση είναι R. Με βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας να αποδείξετε ότι η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα δίνεται από τη σχέση

EIR r

=+

.

Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 3ο Το παρακάτω σχήµα δείχνει την κατεύθυνση µιας δυναµικής γραµµής ενός οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου E .

ΓΒΑ

Το µέτρο Ε της έντασης του πεδίου είναι 10N/C. Τα δυναµικά των σηµείων Α και Β είναι 10 V και 8 V, αντίστοιχα. Στο σηµείο Α αφήνεται ένα θετικό ηλεκτρικό φορτίο q = 10-3C. Να υπολογιστεί: α) το µέτρο της δύναµης που ασκεί το πεδίο στο φορτίο q

Μονάδες 8 β) το έργο της δύναµης του πεδίου για τη µετακίνηση του φορτίου q από το σηµείο Α µέχρι το σηµείο Β

Μονάδες 8 γ) το δυναµικό του σηµείου Γ, αν το έργο της δύναµης του πεδίου, κατά τη µετακίνηση του φορτίου q από το σηµείο Α µέχρι το σηµείο Γ, είναι τετραπλάσιο από το έργο της δύναµης του πεδίου κατά τη µετακίνηση του φορτίου από το σηµείο Α µέχρι το σηµείο Β.

Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο ∆ίνεται το κύκλωµα του παρακάτω σχήµατος.

Ε, r

RΣ R2

A

R1

B

Ο αντιστάτης R1 έχει αντίσταση 60 Ω και το σωληνοειδές έχει αντίσταση RΣ = 20 Ω. Το σωληνοειδές έχει µήκος l =1m και 1000 σπείρες. Το κύκλωµα περιλαµβάνει επίσης τον αντιστάτη R2 µε αντίσταση 10 Ω και πηγή µε ηλεκτρεγερτική δύναµη Ε =120 V και εσωτερική αντίσταση r = 5 Ω. Να υπολογίσετε: α) την ισοδύναµη αντίσταση του τµήµατος ΑΒ του εξωτερικού κυκλώµατος

Μονάδες 6 β) την ένταση του ρεύµατος που διαρρέει την πηγή

Μονάδες 6 γ) την ισχύ που καταναλώνεται στον αντιστάτη R1

Μονάδες 6 δ) το µέτρο της έντασης του µαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του σωληνοειδούς.

Μονάδες 7

∆ίνεται 7µ 2Κ 10

A− Ν=


ΘΕΜΑ 1ο 1. α 2. γ 3. β 4. α 5. γ 6. α → 4, β → 5, γ → 3, δ → 1 ΘΕΜΑ 2ο Α. α) Η ενέργεια του πυκνωτή είναι 4 φορές µικρότερη σε σχέση µε την αρχική της τιµή.

β) Αρχικά ο πυκνωτής έχει ενέργεια 2o o

1U CV2

= (1)

Τελικά ο πυκνωτής έχει ενέργεια: 2 (1)

2oo o

1 V 1 1 1U C U C V U U2 2 4 2 4

= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

Β. Ε, r

I

R Η πηγή προσφέρει στο κύκλωµα EP E I= ⋅ (1)

Ο αντιστάτης R καταναλώνει ισχύ 2RP I R= ⋅ (2)

Ο αντιστάτης r καταναλώνει ισχύ 2rP I r= ⋅ (3)

Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας ισχύει:

( )(1)

2E R r (2),(3)

EP P P E I I R r IR r

= + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ =+

ΘΕΜΑ 3ο α) Το µέτρο της δύναµης δίνεται:

3 2NF E q F 10 10 C F 10 NC

− −= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

β) Το ζητούµενο έργο είναι: ( ) 3

A B A B A BW q V V W 2 10 Joule−→ →= ⋅ − ⇒ = ⋅

γ) ∆ίνεται ότι 3A A BW 4W 8 10 Joule−

→Γ →= = ⋅

Όµως ισχύει: ( ) ( ) AA A A

WW q V V V Vq

→Γ→Γ Γ Γ= ⋅ − ⇒ − = A

AWV V V 2Volt

q→Γ

Γ Γ⇒ = − ⇒ =

ΘΕΜΑ 4ο

Ε, r

I

I1

RΣ R2

ΛK

BA

R1

IΣ

α) Η ισοδύναµη αντίσταση 1,R Σ των αντιστάσεων 1R ,RΣ που συνδέονται παράλληλα είναι:

1,1, 1

1 1 1 R 15R R R Σ

Σ Σ

= + ⇒ = Ω .

Άρα η ζητούµενη ισοδύναµη αντίσταση του τµήµατος ΑΒ είναι: AB 1, 2 ABR R R R 25Σ= + ⇒ = Ω .

β) Η ισοδύναµη αντίσταση Rολ του κυκλώµατος είναι: ABR R r R 30ολ ολ= + ⇒ = Ω .

Άρα η ένταση Ι του ρεύµατος που διαρρέει την πηγή δίνεται: I 4ARολ

ΕΙ = ⇒ = .

γ) Είναι 1,V I R 60VoltΚΛ Σ= ⋅ = .

Όµως ισχύει: 11

VI 1AR

ΚΛ= = και VI 3AR

ΚΛΣ

Σ

= = .

Οπότε η ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση 1R είναι: 1 1

2R 1 1 RP I R P 60W= ⋅ ⇒ = .

δ) Στο εσωτερικό του σωληνοειδούς η ένταση B , δίνεται: µNB 4π Κ IΣ= ⋅ ⋅ ⋅l

όπου Ν = 1000σπείρες, l = 1m.

Άρα 4B 12π 10 T−= ⋅ .

ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Ένας ανεµιστήρας έχει απόδοση 0,9 και τροφοδοτείται µε ισχύ 200 Watt. Αυτό

σηµαίνει ότι: α) η ωφέλιµη ισχύς είναι 180 Watt β) οι απώλειες είναι 90 Watt γ) η ωφέλιµη ισχύς είναι 20 Watt δ) οι απώλειες είναι 10 Watt

Μονάδες 5 2. Ένας αλεξιπτωτιστής πέφτει από κάποιο ύψος προς τη γη. Τι από τα παρακάτω

ισχύει για τον αλεξιπτωτιστή; α) η διατήρηση της µηχανικής ενέργειας β) το θεώρηµα µεταβολής της κινητικής ενέργειας γ) η διατήρηση της δυναµικής ενέργειας δ) το έργο του βάρους είναι ίσο µε µηδέν.

Μονάδες 5 3. Σε ιδανικό ελατήριο προσφέρουµε ενέργεια Ε και προκαλούµε συσπείρωση του

φυσικού του µήκους κατά ∆L. Για να επιτύχουµε συσπείρωση του φυσικού του µήκους κατά 2∆L η ενέργεια που πρέπει να προσφέρουµε είναι: α) Ε β) 4Ε γ) 2Ε δ) Ε/2

Μονάδες 5 4. Σε κάθε µετωπική κρούση διατηρείται:

α) η ορµή και η κινητική ενέργεια β) η ορµή γ) η κινητική ενέργεια δ) η µηχανική ενέργεια.

Μονάδες 5 5. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της στήλης Α και δίπλα σε κάθε

γράµµα τον αριθµό της στήλης Β, που αντιστοιχεί στο σωστό µέγεθος. Α Β

α. Ορµή 1. Watt / s β. Ισχύς 2. Joule γ. Ένταση ηλεκτρικού πεδίου 3. N/C δ. Ενέργεια 4. Ν ε. Ρυθµός µεταβολής της ορµής 5. Watt 6. Kg . m / s

Μονάδες 5 Απαντήσεις 1 α, 2 β, 3 β, 4 β, 5 α 6, β 5, γ 3, δ 2, ε 4 ΘΕΜΑ 2ο

1. Με βάση τους ορισµούς της ορµής και της κινητικής ενέργειας να βρείτε τη

µεταξύ τους σχέση. Μονάδες 9

2. Στο σχήµα σηµειώνονται οι διαδροµές ΣΓΑ και Σ∆Α των µαζών m1 και m2

αντίστοιχα, µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης. 1m

2m

ΓΗΑ

Γ

Σ

∆ Αν σε ποια από τις δύο διαδροµές το έργο της βαρυτικής δύναµης είναι

µεγαλύτερο; Μονάδες 3

∆ικαιολογήστε την απάντησή σας. Μονάδες 5

3. Ραδιενεργός πυρήνας που ηρεµεί στιγµιαία στη θέση Ο διασπάται σε τρία

σωµατίδια. Τα δύο από αυτά έχουν ορµές και αµέσως µετά τη διάσπαση, όπως δείχνει το σχήµα.

AP YP

BP

XP

PΓ

x

Ποιο από τα διανύσµατα A BP , P , PΓ του σχήµατος αντιστοιχεί στην ορµή του

τρίτου σωµατιδίου;

Μονάδες 3 ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας.

Μονάδες 5 Απαντήσεις 1. Για σώµα µάζας m που κινείται µε ταχύτητα µέτρου υ, το µέτρο της ορµής του

είναι P m= υ (1).

Για την κινητική του ενέργεια είναι 2 2 2(1)

21 m Pm E .2 2m 2mκ κ κ

υΕ = υ ⇒ Ε = ⇒ =

2. Το έργο της βαρυτικής δύναµης για τη µάζα 1m είναι: 1 1 AW m (V V )Σ= − (1).

Το έργο της βαρυτικής δύναµης για τη µάζα 2m είναι: 2 2 AW m (V V )Σ= − (2). Αφού 1 2m m ,> από (1) και (2) συµπεραίνουµε ότι 1 2W W>

3. Σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα πρέπει ά

P P ,ολ ολπριν µετ

= και αφού

πριν την διάσπαση ο ραδιενεργούς πυρήνας ηρεµεί ( 0),υ = θα πρέπει ά

P 0.ολµετ

=

∆ηλαδή θα πρέπει το διανυσµατικό άθροισµα των ορµών των τριών σωµατιδίων αµέσως µετά τη διάσπαση να είναι ίσο µε µηδέν. Άρα το διάνυσµα που αντιστοιχεί στην ορµή του τρίτου σωµατιδίου είναι το BP , ώστε να ισχύει

YPX,YP

XP

ΘΕΜΑ 3ο

Στα άκρα Α, Γ της διαγωνίου ΑΓ τετραγώνου ΑΒΓ∆, πλευράς 0,1 m, βρίσκονται

ακλόνητα τα φορτία 9Aq 1 10 C−= + ⋅ και 9q 2 10 C.−

Γ = − ⋅ Να υπολογιστούν:

α) το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στο κέντρο του τετραγώνου

Μονάδες 7 β) το δυναµικό του ηλεκτρικού πεδίου στη κορυφή Β

Μονάδες 7 γ) η δυναµική ενέργεια του συστήµατος των δύο φορτίων

Μονάδες 6 δ) η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί για την µετακίνηση του ενός από

τα δύο φορτία σε άπειρη απόσταση.

Μονάδες 5 Απαντήσεις α) Η ζητούµενη ένταση ε στο κέντρο του τετραγώνου

βρίσκεται ως το διανυσµατικό άθροισµα των , .Α Γε ε

∆ηλαδή:

.Α Γ Α Γε = ε + ε ⇒ ε = ε + ε (1)

Όπου ισχύει:

2( ) ( ) .2

αΑΚ = ΑΓ =

X Y B X,Y BP P P 0 P P .+ + = ⇒ = −

Α Β

Γ∆

α

α

Κ Αε

Γε ε qΓ

qΑ

Ac 2

q 1800 N / C.(AK)Α Αε = Κ ⇒ ε =

Ac c2 2

q 2q 2 3600 N / C( ) (AK)

ΓΓ Αε = Κ = = Κ = ε =

ΚΓ

Άρα: (1) 5400 / Cb.⇒ ε = Ν

β) Το δυναµικό V στην κορυφή Β βρίσκεται ως το αλγεβρικό άθροισµα των

δυναµικών που οφείλονται στο καθένα ε φορτίο:

A cA c c A

q qV V V (q q ) V 90 VoltΓΓ Γ

Κ= + = Κ + Κ = + ⇒ = −α α α

γ) Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος των δύο φορτίων δίνεται από τη σχέση:

8Ac

q qE 9 2 10 Joule.( )

−Γδ δ

⋅= Κ ⇒ Ε = − ⋅ΑΓ

δ) Αν µεταφέρουµε το φορτίο qΓ στο άπειρο το έργο του ηλεκτροστατικού πεδίου

cFW θα είναι: c c c

8AF F C F

qW q(V V ) W q K W 9 2 10 Joule2

−Γ ∞ Γ= − ⇒ = ⇒ = − ⋅

α

Αφού το έργο cFW είναι αρνητικό, πρέπει να προσφέρουµε ενέργεια ίση σε

απόλυτη τιµή µε το έργο αυτό.

∆ηλαδή: 8E 9 2 10 Joule.−∆ΑΠ = ⋅

ΘΕΜΑ 4ο

Το ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου, σταθεράς K 100 N / m= είναι ακλόνητα

στερεωµένο όπως δείχνει το σχήµα.

2Σ

(Γ) 1Σ

∆x

Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου τοποθετείται σώµα 1,Σ µάζας 1m 1Kg,= χωρίς να

είναι συνδεδεµένο µε το ελατήριο, και προκαλείται συσπείρωση του ελατηρίου κατά

∆x. Το σώµα 1Σ αφήνεται ελεύθερο, οπότε αυτό κινείται κατά µήκος του λείου

οριζοντίου επιπέδου. Στο σηµείο Γ, το σώµα 1Σ έχει ταχύτητα 1 8 m / sυ = και

συγκρούεται µε σώµα 2 ,Σ µάζας 2m 3 Kg,= που ισορροπεί κατακόρυφα, δεµένο στην

άκρη αβαρούς και µη εκτατού νήµατος µήκους L 0,35 m,= του οποίου το άλλο άκρο

είναι σταθερά προσαρµοσµένο σε ακλόνητο σηµείο. Η κρούση των σωµάτων είναι

µετωπική και ελαστική. Να υπολογιστούν:

α) η παραµόρφωση του ελατηρίου

Μονάδες 5 β) οι ταχύτητες των σηµάτων 1Σ και 2Σ αµέσως µετά την κρούση

Μονάδες 7 γ) η ταχύτητα του σώµατος 2 ,Σ όταν το νήµα σχηµατίζει γωνία 90 µε την

κατακόρυφο

Μονάδες 6 δ) το µέτρο της συνολικής ώθησης που δέχεται το σώµα 2Σ αµέσως µετά την

κρούση και µέχρι το νήµα να σχηµατίζει µε την κατακόρυφο γωνία 90 .

Μονάδες 7

Απαντήσεις α) Κατά την κίνηση του 1Σ από την

αρχική του θέση (όπου προκαλείται συσπείρωση του ελατηρίου κατά ∆x), ως τη θέση Γ όπου από το 1Σ έχει ταχύτητα µέτρου 1 8 m / sυ = ισχύει η αρχή διατήρησης της µηχανικής ενέργειας:

2 2 1

1 1 11 1 mK x m x x 0,8 m2 2 K

⋅∆ = υ ⇒ ∆ = ⋅ υ ⇒ ∆ =

β) Πρόκειται για µετωπική ελαστική κρούση στην οποία πριν την κρούση το 2Σ ηρεµεί ( 0).υ = Άρα οι ταχύτητες των 1 2 1 2, ( ,′ ′Σ Σ υ υ αντίστοιχα) µετά την κρούση βρίσκονται από τις σχέσεις:

1 21 1 1

1 2

m m 4 m / s.m m

−′ ′υ = υ ⇒ υ = −+

∆ηλαδή η 1′υ έχει αντίθετη κατεύθυνση από την

1.υ

Γ

1Σ

∆x

0

0 x⋅∆

1υ

12 1 2

1 2

2m 4 m / s.m m

′ ′υ = υ ⇒ υ =+

γ) Κατά την κίνηση του 2Σ από την θέση (Γ) ως τη θέση (Ζ) εφαρµόζεται το

Θεώρηµα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας.

2Σ

(Γ)2υ

V(Z) L

L

2 2 2

2 2 2 2 21 1m V m m gL V 2gL2 2

′ ′− υ = − ⇒ = υ − ⇒ V 3 m /s.=

δ) Για να υπολογίσουµε το µέτρο της συνολικής ώθησης που δέχεται το 2Σ αµέσως µετά την κρούση και µέχρι το νήµα να σχηµατίζει µε την κατακόρυφο γωνία 90 , θα εφαρµόσουµε το θεώρηµα ώθησης – ορµής.

Έστω 2 2 2P m 12 Kg m / s′ ′= υ = ⋅ η ορµή του 2Σ αµέσως µετά τη κρούση και

2 2P m V 9 Kg m /sτελ = = ⋅ η ορµή του 2Σ στη θέση που σχηµατίζει γωνία 90 µε την κατακόρυφο. Σύµφωνα µε το θεώρηµα ισχύει:

2 22 2 2 2 2 2P P P ( P ) P Pτελ τελ τελ′ ′ ′Ω = − ⇒ Ω = + − ⇒ Ω = + ⇒ 15 sec.Ω = Ν ⋅

Μαυροµµάτης Παναγιώτης

Ξυλούρης Γιώργος

Παπαβασιλείου Νίκος

2P τελ

2P′

Ω

2P′−

ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1 - 3 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Από τους άκυκλους υδρογονάνθρακες µε µοριακούς τύπους: CH4, C2H2, C3H8, C5H12, C6H10, C8H16,

κορεσµένοι είναι οι: α. C2H2, C3H8, C6H10 β. CH4, C3H8, C6H10 γ. CH4, C3H8, C5H12 δ. CH4, C3H8, C8H16

Μονάδες 5 2. Η εµφάνιση της τρύπας του όζοντος οφείλεται κυρίως:

α. στο CH4 β. στους χλωροφθοράνθρακες (CFCs) γ. στο CO2 δ. στους υδρατµούς (Η2Ο)

Μονάδες 5 3. Η καταλυτική υδρογόνωση µιας κετόνης γίνεται σύµφωνα µε την αντίδραση

Ni2

RC O H

R '= + → ... Το προϊόν της αντίδρασης είναι:

α. αλδεΰδη (R-CH=O) β. αιθέρας (R-O-R΄)

γ. δευτεροταγής αλκοόλη (R

CH OHR '

− )

δ. πρωτοταγής αλκοόλη (RCH2-OH) Μονάδες 5

4. Να αντιστοιχήσετε σωστά σε κάθε γενικό µοριακό τύπο της Στήλης Ι µια ένωση της Στήλης ΙΙ, γράφοντας στο τετράδιό σας το κεφαλαίο γράµµα της Στήλης Ι και δίπλα τον αριθµό της Στήλης ΙΙ.

Στήλη Ι Στήλη ΙΙ Α. CνH2ν+2 1. HCH=O B. CνH2νO 2. CH4 Γ. CνH2ν-2 3. HCOOH ∆. CνH2ν+2Ο 4. CH≡CH 5. CH3OH

Μονάδες 8 5. Να γράψετε το παρακάτω κείµενο στο τετράδιό σας σωστά συµπληρωµένο:

Η σήψη της βιοµάζας, απουσία αέρα, έχει ως αποτέλεσµα το σχηµατισµό ενός αερίου, που ονοµάζεται ................. Το αέριο αυτό είναι µείγµα ................. (60%) και διοξείδιο του άνθρακα.

Μονάδες 2 ΘΕΜΑ 2ο 1. Να γράψετε τους συντακτικούς τύπους και τα ονόµατα όλων των αλκυλίων µε δύο και τρία άτοµα

άνθρακα. Μονάδες 9

2α. Να χαρακτηρίσετε καθεµία από τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστή ή λανθασµένη: i. η οργανική ένωση: 2 2|

3

CH C CH CH OCH

= − − = ονοµάζεται 2-µεθυλο-1-βουτεν-4-άλη.

ii. µε την προσθήκη HCl στο CH3CH=CH2 παράγεται η οργανική ένωση 3 3|CH CH CH

Cl− − .

Μονάδες 4 2β. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Μονάδες 4 3. Να γράψετε στο τετράδιο σας συµπληρωµένες τις χηµικές εξισώσεις των παρακάτω αντιδράσεων:

Α. HCl HCl2... CH CHCl ...+ +→ = →

Β. αλκοολικο3 2 2διαλυµαCH CH Cl ... ... NaCl H O+ → + +

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 3ο ∆ίνεται η οργανική ένωση µε µοριακό τύπο C4H8. α. Να γράψετε και να ονοµάσετε όλα τα άκυκλα συντακτικά ισοµερή που αντιστοιχούν σ’ αυτόν το

µοριακό τύπο. Μονάδες 9

β. Ποιο από τα ισοµερή αυτά, όταν αντιδρά πλήρως µε Η2 παρουσία Ni, δίνει την οργανική ένωση 2-µεθυλο-προπάνιο;

Μονάδες 6 γ. Να υπολογίσετε πόσα λίτρα Η2, µετρηµένα σε πρότυπες συνθήκες (STP), παρουσία Ni, απαιτούνται

για να αντιδράσουν πλήρως µε 14g της ένωσης C4H8. Μονάδες 10

∆ίνονται τα ατοµικά βάρη: C:12, H:1. ΘΕΜΑ 4ο Ποσότητα 10g οργανικής ένωσης του τύπου CνΗ2ν+1-ΟΗ (ένωση Α) καίγονται πλήρως µε την απαιτούµενη ποσότητα οξυγόνου. Τα καυσαέρια ψύχονται σε πρότυπες συνθήκες (STP), οπότε οι υδρατµοί υγροποιούνται και το αέριο που αποµένει καταλαµβάνει όγκο 11,2L σ’ αυτές τις συνθήκες. α. Να βρείτε το µοριακό τύπο της ένωσης Α.

Μονάδες 10 β. Να υπολογίσετε τη µάζα του Η2Ο (σε g) που έχει παραχθεί από την παραπάνω καύση.

Μονάδες 6 γ. Η ένωση Α οξειδώνεται κατάλληλα και προκύπτει η οργανική ένωση Β. Η ένωση Β αντιδρά µε

αντιδραστήριο Fehling, οπότε σχηµατίζετε ερυθρό ίζηµα και οργανική ένωση Γ. Να προσδιορίσετε τουε συντακτικούς τύπους των ενώσεων Α, Β και Γ και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Μονάδες 9 ∆ίνονται τα ατοµικά βάρη: C:12, H:1, Ο:16.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο 1. → γ 2. → β 3. → γ 4. A →2 B → 1 Γ → 4 ∆ → 5 5. Η σήψη της βιοµάζας, απουσία αέρα, έχει ως αποτέλεσµα το σχηµατισµό ενός αερίου, που ονοµάζεται βιοαέριο. Το αέριο αυτό είναι µείγµα µεθανίου (CH4) (60%) και διοξειδίου του άνθρακα. ΘΕΜΑ 2ο 1. ∆ύο άτοµα άνθρακα C: 3 2CH CH − αιθύλιο Τρία άτοµα C:

3 2 23 7

3 |

3

CH CH CH προπυλιοC H

CH CH ισοπροπυλιοCH

−−

−

2α,β i. Λανθασµένη Η σωστή ονοµασία είναι 3µέθυλο3βουτενάλη γιατί η αρίθµηση ξεκινά από το άκρο που είναι πιο κοντά στην χαρακτηριστική οµάδα και όχι από τον πολλαπλό δεσµό. ii. Σωστή Κατά την προσθήκη µορίου HCl σε αλκένιο, το Η του µορίου ενώνεται µε τον άνθρακα του διπλού δεσµού που έχει τα περισσότερα υδρογόνα (κανόνας Markonikov - «ο πλούσιος πλουσιότερος»). 3.α.

HCl HCl2 3 2HC CH CH CHCl CH CHCl

(αιθινιο) (χλωροαιθενιο) 1,1διχλωροαιθανιο

+ +≡ → = →

β.

αλκοολικο3 2 2 2 2διαλυµαCH CH Cl NaOH CH CH NaCl H O+ → = + +

ΘΕΜΑ 3ο α. Στον µοριακό τύπο C4H8, επειδή ανήκει στα αλκένια (CνH2ν) θα υπάρχουν συντακτικά ισοµερή αλυσίδας και θέσης του διπλού δεσµού.

3 2 2

4 8 3 3

3 2|

3

CH CH CH CH 1 βουτενιοC H CH CH CHCH 2 βουτενιο

CH C CH (2) µεθυλοπροπενιο

CH

=− = =

β. Είναι Ni3 2 2 3 3| |

3 3

CH C CH H CH C HCHCH CH

= + →

Το µεθυλοπροπένιο λόγω της προσθήκης στον διπλό δεσµό δίνει 2µεθυλοπροπάνιο

γ. 4 8C HMB 56= ,

4 8C H14n 0, 25mole56

= =

Ni4 8 2 4 10C H + H C H→

1mol 1mol 0,25mol ;=0,25mol άρα lt

m 2molV n V V 0,25mol 22,4 V 5,6lt H (stp)= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ΘΕΜΑ 4ο ΜΒαλκοόλης = 14ν + 18

2H OMB 18= 3ν

ν 2ν+1 2 2 22C H + νCO + (ν+1)ΗΟΗ Ο → Ο τα 14ν+18 g δίνουν ν⋅22,4lt CO2(stp) και (ν+1)18 g Η2Ο τα 10 g » 11,2lt ω = ; το αέριο που αποµένει µετά την υγροποίηση των υδρατµών είναι το CO2.

Συνεπώς 14ν+18 ν 22,4 10ν 7ν 9 ν 310 11,2

⋅= ⇒ = + ⇒ =

α) άρα ο Μ.Τ. της αλκοόλης είναι C3H7-OH (A) β) από την αντίδραση καύσης:

ν=3

210(ν+1) 18ω = g ω = 12g Η14ν+12

+ ⇒ Ο

γ) η ένωση (Α) θα είναι: i. CH3CH2CH2OH (1 προπανόλη) ή ii. 3 3|

CH C HCHOH

2-προπανόλη

οξειδώνοντας:

2

[O]3 2 2 3 2H OCH CH CH OH CH CH CH O−→ = προπανάλη

ή 2

[O]3 3 3 3H O| |

CH CHCH CH C CHOHOH

−→ προπανόνη

Επειδή όµως η (Β) αντιδρά µε αντιδραστήριο Fehling θα είναι αλδεΰδη άρα (Β): CΗ3CH2CH=Ο συνεπώς (Α): CΗ3CH2CH2ΟΗ Οξείδωση:

[O]3 2 3 2CH CH CH O CH CH COOH (Γ)= → προπανικό οξύ

ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1 – 3, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Σε καθαρό νερό διαλύεται γλυκόζη. Το διάλυµα που σχηµατίζεται παρουσιάζει σε σχέση µε το

νερό: α. µικρότερο σηµείο βρασµού β. ίδιο σηµείο βρασµού γ. µικρότερο σηµείο πήξης δ. µεγαλύτερο σηµείο πήξης

Μονάδες 5 2. Η ταχύτητα της αντίδρασης που περιγράφεται από τη χηµική εξίσωση: Α(s) + 2B(g) → Γ(g) αυξάνει

όταν: α. αυξηθεί η συγκέντρωση του Α β. ελαττωθεί η συγκέντρωση του Β γ. ελαττωθεί η συγκέντρωση του Γ δ. αυξηθεί η θερµοκρασία

Μονάδες 5 3. Ισοτονικά είναι τα διαλύµατα που έχουν την ίδια:

α. ωσµωτική πίεση β. συγκέντρωση γ. τάση ατµών δ. θερµοκρασία

Μονάδες 5 4. Να γράψετε τις παρακάτω προτάσεις στο τετράδιό σας σωστά συµπληρωµένες:

α. Ενέργεια ενεργοποίησης ονοµάζεται η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να έχουν τα συγκρουόµενα µόρια για να είναι η σύγκρουσή τους ______________ και συµβολίζεται µε Εα.

Μονάδες 2 β. Καταλύτης ονοµάζεται µια ουσία που ________________ την ταχύτητα µιας αντίδρασης χωρίς

ο ίδιος να καταναλώνεται ή να αλλοιώνεται χηµικά. Μονάδες 2

5. Για κάθε είδος διαµοριακών δυνάµεων της στήλης (Ι) να γράψετε στο τετράδιό σας το ζεύγος της στήλης (ΙΙ) που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Στήλη (Ι) Στήλη (ΙΙ) 1. ∆υνάµεις διασποράς α. Η2Ο – Η2Ο 2. ∆υνάµεις διπόλου – διπόλου β. J2 - J2 3. ∆εσµός υδρογόνου γ. HCl – HCl 4. ∆υνάµεις ιόντος – διπόλου δ. Br − – H2O ε. CH4 – H2O

Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 2ο 1. Υδατικό διάλυµα µη πτητικής ουσίας αραιώνεται µε καθαρό νερό. Πως θα µεταβληθεί η τάση

ατµών του διαλύµατος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 5

2. Για τη χηµική αντίδραση Α(g) + B(s) → Γ(g) δίνεται το διάγραµµα συγκέντρωσης – χρόνου:

t (s)

C(mol/L)

(1)

(3)(2)

α. Σε ποιο από τα σώµατα της αντίδρασης αντιστοιχεί η καµπύλη (2);

Μονάδα 1 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 4

β. Ποια από τις καµπύλες (1) ή (3) αντιστοιχεί στο ίδιο σώµα, αν η αντίδραση πραγµατοποιηθεί παρουσία καταλύτη;


Μονάδες 4 3. Σε δοχείο όγκου V και σε θερµοκρασία θ οC έχει αποκατασταθεί η ισορροπία:

0 ∆Η ,NH2H3N )g(3)g(2)g(2 <←→+

α. Πως θα µεταβληθεί η ποσότητα της αµµωνίας (ΝΗ3), αν ελαττώσουµε τον όγκο του δοχείου σε σταθερή θερµοκρασία;


Μονάδες 4 β. Πως θα µεταβληθεί η τιµή της Κc αν αυξηθεί η θερµοκρασία;


Μονάδες 4 ΘΕΜΑ 3ο Κατά τον σχηµατισµό 4 mol CO(g)_από τα στοιχεία του, σε πρότυπες συνθήκες, εκλύονται 444 KJ. α. Να υπολογιστεί η πρότυπη ενθαλπία σχηµατισµού ( )o

f∆Η του CO(g). Μονάδες 8

β. Να σχεδιαστεί ο θερµοχηµικός κύκλος της καύσης του C(s) σε δύο στάδια (πρώτα προς CO(g) και το CO(g) στη συνέχεια προς CO2 (g)).

Μονάδες 9 γ. Να υπολογιστεί η πρότυπη ενθαλπία καύσης ( )o

C∆Η του CO(g) σε CO2 (g). Μονάδες 8

∆ίνεται η πρότυπη ενθαλπία καύσης του C(s): ( )oC∆Η = -400 KJ/mol.

ΘΕΜΑ 4ο Σε κλειστό δοχείο σταθερού όγκου 10 L εισάγονται 0,25 mol φωσγενίου (COCl2), Στους 727 oC το φωσγένιο διασπάται, σύµφωνα µε τη χηµική εξίσωση:

)g(2)g()g(2 ClCOCOCl +←→

Στην κατάσταση χηµικής ισορροπίας περιέχονται στο δοχείο 0,125 mol χλωρίου (Cl2). α. Να υπολογιστεί η απόδοση της αντίδρασης.

Μονάδες 8 β. Να υπολογιστεί η σταθερά Kc της χηµικής ισορροπίας στους 727 oC.

Μονάδες 8 γ. Πόσα mol φωσγενίου πρέπει να προστεθούν στην κατάσταση χηµικής ισορροπίας στους 727 oC

ώστε, όταν αποκατασταθεί νέα χηµική ισορροπία στο δοχείο να περιέχονται 0,25 mol χλωρίου. Μονάδες 9


ΘΕΜΑ 1ο 1 – γ 2 – δ 3 – α 4α – αποτελεσµατική 4β – αυξάνει 5. 3 – α

1 – β 2 – γ 4 – δ 1 – ε

ΘΕΜΑ 2ο

1. nN

nPP o +=∆ , n mol διαλ. ουσίας, Ν mol διαλύτη.

Αραιώνω το διάλυµα σηµαίνει αυξάνω το Ν µε αποτέλεσµα να ελαττώνεται το ∆Ρ. Αλλά ∆Ρ = Ρο – Ρ, άρα αυξάνεται το Ρ δεδοµένου ότι το Ρο εξαρτάται µόνο από την θερµοκρασία.

2α. Η καµπύλη (2) αντιστοιχεί στο σώµα (Α). Το σώµα (Γ) είναι προϊόν και η συγκέντρωσή του αυξάνεται παρερχόµενου του χρόνου. Το σώµα (Β) είναι στέρεο και δεν µπορεί να χαραχθεί γι’ αυτό καµπύλη συγκέντρωσης - χρόνου.

β. Αν η αντίδραση πραγµατοποιηθεί παρουσία καταλύτη η ταχύτητά της θα αυξηθεί και συνεπώς η συγκέντρωση του (Α) θα µηδενισθεί σε µικρότερο χρόνο. Άρα η σωστή καµπύλη είναι η καµπύλη (1).

3α. Η ελάττωση του όγκου έχει σαν αποτέλεσµα την αύξηση της πίεσης οπότε η ισορροπία µετατοπίζεται προς την κατεύθυνση των λιγότερων αερίων mol, δηλαδή προς τα δεξιά, σύµφωνα µε αρχή Le Chatellier – van’tHoff. Συνεπώς η ποσότητα της ΝΗ3 αυξάνεται.

β. Η αύξηση θερµοκρασίας ευνοεί τις ενδόθερµες αντιδράσεις. Η συγκεκριµένη ισορροπία έχει ∆Η < 0, άρα είναι εξώθερµη και θα µετατοπιστεί προς τα αριστερά σύµφωνα µε την αρχή Le Chatellier – van’tHoff. Συνεπώς η Κc ελαττώνεται.

ΘΕΜΑ 3ο α. Σχηµατισµός CO από τα συστατικά του:

COOC )g(221

)s( →+ -x KJ 1 mol εκλύει x KJ 4 mol εκλύουν 444 KJ

KJ1114

444x ==

Άρα mol/KJ 111)CO( gof −=∆Η

β. 21

(s) 2(g)2C O CO∆Η+ →

+Ο2∆Η1

CΟ2

+21 Ο2

∆Η3

∆Η2 + ∆Η3 = ∆Η1 γ. ∆ίνονται: )g(2)g(2)s( COOC →+ ∆Η1= -400KJ

)g()g(221

)s( COOC →+ ∆Η2 = -111KJ

Ζητείται: )g(2)g(221

)g( COOCO →+ ∆Η = ;

Αντιστρέφω την ⇒ )g(221

)s()g( OCCO +→ 111KJ

Η παραµένει ⇒ )g(2)g(2)s( COOC →+ -400KJ

Προσθέτω κατά µέλη: )g(2)g(221

)g( COOCO →+ -289KJ

ΘΕΜΑ 4ο )g(2)g()g(2 Cl CO COCl +←→

Αρχ. Αντιδρούν Σχηµατίζονται Ισορ.

0,25 mol x mol x mol x mol (0.25- x) mol x mol x mol

mol 125.0x125,0n

2COCl =⇒=

α. 5010025,0

125,010025,0xA =⋅=⋅= απόδοση 50%

β. L 10mol 125,0

V125,0

V125,0

V125,0

]COCl[]Cl][CO[

K2

2c =

==L

mol 0125,0K c =⇒

γ. Στην ισορροπία που έχει ήδη αποκατασταθεί η σύσταση είναι: 0,125 mol COCl2, 0,125 mol CO, 0,125 mol Cl2. Έστω ότι προσθέτω ω mol COCl2. Η προσθήκη των ω mol COCl2 µετατοπίζει την ισορροπία ∆ΕΞΙΑ (Le Chatelier).

)g(2)g()g(2 Cl CO COCl +←→

Χ.Ι. Mol προσθ. Αντεδρ. Σχηµατ. Ισορ.

0,125 mol 0,125 mol 0,125 mol ω mol λ mol λ mol λ mol (0,125+ω-λ) (0,125+λ) (0,125+λ)

mol125,0125,025,025,0n΄

25,0n΄

2

2

Cl

Cl=λ⇒λ+=⇒

=

=

Εφ’ όσον η θερµοκρασία παραµένει σταθερή, η Kc θα έχει την ίδια τιµή. Οπότε:

⇒

=⇒=

Vω

V25,0

V25,0

0125,0]COCl[]Cl][CO[

K2

2c

5,0100125,025,025,0ω =ω⇒

⋅⋅=⇒

Άρα προστέθηκαν 0,5 mol COCl2.

ΚΕΙΜΕΝΟ

Πέµπτη 19 Νοεµβρίου 1942

Αγαπητή Κίττυ, Μάθαµε µε λύπη κι απογοήτευση ότι πολλοί άνθρωποι στράφηκαν εναντίον των Εβραίων.

Λένε πως ο αντισηµιτισµός έπληξε µερικούς κύκλους, που ποτέ άλλοτε δεν τον διανοήθηκαν. Όλοι µας στο κρησφύγετο είµαστε βαθιά συγκλονισµένοι. Η αιτία για το µίσος εναντίον των Εβραίων είναι κατανοητή, ακόµη κι ανθρώπινη κάµποσες φορές, αλλά είναι απαράδεκτη. Οι Χριστιανοί προσάπτουν στους Εβραίους την κατηγορία ότι µπροστά στους Γερµανούς λύνεται η γλώσσα τους, προδίδουν τους προστάτες τους και πολλοί Χριστιανοί, εξαιτίας τους, υφίστανται τη µοίρα και τα βάσανα τόσων και τόσων δικών µας.

Πάνω σ' αυτό, λογικά αναρωτιέται κανείς: γιατί, λοιπόν, γίνεται αυτός ο ατελείωτος κι οδυνηρός πόλεµος; Μας λένε συνέχεια ότι πολεµάµε όλοι µαζί για τη λευτεριά, για την αλήθεια και το δίκιο. Αν ο διαχωρισµός εκδηλώνεται πια στο αποκορύφωµα της µάχης, ο Εβραίος δε θα βγει άραγε, ακόµα µια φορά, κατώτερος από έναν άλλον; Θεέ µου! Τι θλιβερό που είναι να παραδέχεσαι το παλιό ρητό: "Η κακή πράξη ενός Χριστιανού φορτώνεται στον ίδιο. Η κακή πράξη ενός εβραίου φορτώνεται σ' όλους τους Εβραίους".

Ο Ντούσσελ, ο γιατρός που µοιράστηκε µαζί µου την καµαρούλα, έχει να µας πει ένα σωρό πράγµατα για τον έξω κόσµο, τώρα πια που πάψαµε ν' ανήκουµε σ' αυτόν. Οι ιστορίες του είναι θλιβερές. Πολλοί φίλοι εξαφανίστηκαν. Η τύχη τους µας τροµάζει. Κάθε βραδιά χτενίζουν την πόλη τα στρατιωτικά αυτοκίνητα µε τους πράσινους µουσαµάδες. Οι Γερµανοί χτυπούν όλες τις πόρτες και ψάχνουν για Εβραίους. Αν βρουν Εβραίους, φορτώνουν στα καµιόνια ολόκληρη την οικογένεια. Όσοι δεν κρύβονται υπογράφουν την καταδίκη τους. Οι Γερµανοί το κάνουν αυτό συστηµατικά µε τη λίστα στο χέρι, χτυπώντας εκείνη την πόρτα που θα βρουν να τους περιµένει πλούσια λεία. Άλλοτε πάλι, οι δυστυχισµένοι πληρώνουν λύτρα για κάθε κεφάλι. Το πράγµα είναι τραγικό. Το βράδυ βλέπω να περνάνε συχνά αυτές οι λιτανείες των ασθενών µε τα παιδιά τους να κλαίνε, να σέρνονται κάτω απ' τις διαταγές µερικών κτηνανθρώπων, που τους χτυπούν µε το µαστίγιο και τους βασανίζουν, ώσπου να πέσουν κάτω. ∆ε λυπούνται κανέναν, ούτε τους γέρους, ούτε τα µωρά, ούτε τις έγκυες γυναίκες, ούτε τους αρρώστους. Όλοι είναι κατάλληλοι για το ταξίδι προς το θάνατο.

Τι ωραία που είµαστε εδώ, στη σιγουριά και την ησυχία! Θα µπορούσαµε να κλείσουµε τα µάτια µπροστά σ’ αυτή την εξαθλίωση, αλλά υπάρχουν

αυτοί που µας ήταν αγαπητοί, που φοβόµαστε γι’ αυτούς το χειρότερο, χωρίς να µπορούµε να τους βοηθήσουµε.

Στο ζεστό µου κρεβάτι νιώθω ένα τίποτα, όταν σκέφτοµαι τις πιο αγαπηµένες µου φίλες, που αρπάχτηκαν άγρια και ρίχτηκαν σ’ αυτή την κόλαση. Τρόµος µε κυριεύει στην ιδέα πως οι άνθρωποι, οι τόσοι αγαπητοί µου, είναι παραδοµένοι αυτή τη στιγµή στα χέρια των πιο ανελέητων δηµίων του κόσµου.

Μόνο και µόνο γιατί είναι Εβραίοι. ∆ική σου, ΑΝΝΑ

(∆ιασκευή από Το Ηµερολόγιο της Άννας Φρανκ)

Α. Να αποδώσετε περιληπτικά, σε 80 - 100 λέξεις, το περιεχόµενο του κειµένου.

Μονάδες 25 Β1. Ποια στοιχεία της µορφής και του περιεχοµένου του κειµένου πιστοποιούν ότι αυτό ανήκει στο βιογραφικό είδος του ηµερολογίου;

Μονάδες 5 Β2. Με ποιον τρόπο αναπτύσσεται η τρίτη παράγραφος του κειµένου; Τι επιτυγχάνει η συγγραφέας µε τον τρόπο αυτό;

Μονάδες 5 Β3. "Στο ζεστό µου κρεβάτι νιώθω ένα τίποτα,...κόλαση": Γιατί νιώθει έτσι η συγγραφέας;

Μονάδες 5 Β4. Να γράψετε ένα συνώνυµο για καθεµιά από τις παρακάτω λέξεις της πρώτης (1ης) παραγράφου του κειµένου: διανοήθηκαν, συγκλονισµένοι, προδίδουν, µοίρα, βάσανα.

Μονάδες 5 Β5. α) "Οι Γερµανοί το κάνουν αυτό συστηµατικά...τραγικό": Να διακρίνετε το γεγονός από το σχόλιο στο τµήµα αυτό του κειµένου.

Μονάδες 2,5 β) "...τις πιο αγαπητές µου φίλες, που αρπάχτηκαν άγρια και ρίχτηκαν σ' αυτή την κόλαση": Γιατί στο σηµείο αυτό η συγγραφέας προτιµάει την παθητική σύνταξη αντί της ενεργητικής;

Μονάδες 2,5 Γ. Η συγγραφέας του κειµένου που σας δόθηκε υπήρξε θύµα του ρατσισµού κατά το ∆εύτερο Παγκόσµιο Πόλεµο. Και σήµερα όµως αντιµετωπίζουµε περιστατικά ρατσιστικής συµπεριφοράς στην καθηµερινή µας ζωή. Να γράψετε ένα κείµενο, στο οποίο να καταγγείλετε τέτοια περιστατικά και να προτείνετε τρόπους αντιµετώπισής τους. (500 - 600 λέξεις).

Μονάδες 50 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Α. Η Άννα Φρανκ στο ηµερολόγιό της αναφέρεται στο διωγµό που υφίσταται, στην εποχή που το γράφει, οι Εβραίοι. Αυτό το γεγονός, που η ίδια το θεωρεί απαράδεκτο, τη συγκλονίζει βαθύτατα. ∆εν µπορεί να φανταστεί κάποια λογική βάση σ’ αυτό το διωγµό. Η κατηγορία που αποδίδεται στους Εβραίους από τους Χριστιανούς είναι ότι οι τελευταίοι δεινοπαθούν εξαιτίας των πρώτων. Κυρίαρχο είναι, όµως, ότι η κακή πράξη ενός Εβραίου στιγµατίζει όλους τους οµοεθνείς του, πράγµα που δεν συµβαίνει µε την κακή πράξη ενός Χριστιανού. Στη συνέχεια, µέσα από τις διηγήσεις του γιατρού Ντούσσελ, η Άννα Φρανκ αποδίδει την τραγική διάσταση του διωγµού των Εβραίων, καθώς όλοι, γέροι, νήπια, έγκυες γυναίκες, άρρωστοι κ.τ.λ. πέφτουν θύµατα της βαναυσότητας των Γερµανών. Τέλος, επισηµαίνοντας ότι αυτή ζει µακριά απ’ όλα αυτά, τονίζει ότι ένα αίσθηµα τρόµου τη διακατέχει, σκεπτόµενη ότι τόσοι συνάνθρωποί της υποφέρουν. Β1. Στο κείµενο αναγράφεται συγκεκριµένη ηµεροµηνία και χρονολογία. Ο συντάκτης του απευθύνεται νοητά σε κάποιο προσφιλές πρόσωπο σε β ενικό. Επίσης, περιδιαβαίνει ελεύθερα κυρίως σε χρόνο ενεστώτα, στον κόσµο των στοχασµών γύρω από την τότε πραγµατικότητα - άρα ο χαρακτήρας του αποσπάσµατος είναι επικαιρικός - και καταγράφει βαθύτερα συναισθήµατα («νιώθω ένα τίποτα», «τρόµος µε κυριεύει») σε α΄ πρόσωπο ενικού ή πλυθηντικού κατά κανόνα («µάθαµε µε λύπη», «θα µπορούσαµε να κλείσουµε τα µάτια»). Όλα τα παραπάνω πιστοποιούν ότι το κείµενο ανήκει στο βιογραφικό είδος του ηµερολογίου.

Β2. Η τρίτη παράγραφος του κειµένου αναπτύσσεται παραγωγικά µε συγκεκριµένα παραδείγµατα (επιµέρους καθηµερινές ιστορίες) που αισθητοποιούν τόσο τη ρατσιστική απάνθρωπη αντιµετώπιση των Εβραίων από τους Γερµανούς κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσµίου Πολέµου όσο και τα συναισθήµατα θλίψης και τρόµου της συγγραφέως. Β3. Η συγγραφέας νιώθει ενοχές και µια αίσθηση µηδαµινότητας σκεφτόµενη τη δεινή τύχη αγαπηµένων της προσώπων και νοερά µε αυτούς συµπάσχοντας σε αντίθεση µε τη δική της δυνατότητα να έχει προστασία και ασφάλεια στο κρησφύγετο. Το ζεστό της κρεβάτι, η σιγουριά, η ησυχία βιώνονται από µέρους, της σε σχέση πάντα µε τα τότε ιστορικά δεδοµένα, ως ανεπίτρεπτες «πολυτέλειες» που αποτελούν ύβρη µπροστά στην εξαθλίωση και την κτηνώδη αντιµετώπιση χιλιάδων συνανθρώπων της. Επιπροσθέτως, βασανίζεται από τον πόνο που τη γεµίζει η σκέψη ότι αδυνατεί να βοηθήσει και να προσφέρει οτιδήποτε σε οικεία της πρόσωπα που φρικτά υποφέρουν και βασανίζονται. Β4. διανοήθηκαν ≈ σκέφτηκαν συγκλονισµένοι ≈ ταραγµένοι προδίδουν ≈ καταδίδουν µοίρα ≈ πεπρωµένο βάσανα ≈ δεινά, συµφορές Β5. α) Στο συγκεκριµένο αυτό τµήµα του κειµένου, σχόλιο αποτελεί η τελευταία ακριβώς πρόταση: «το πράγµα είναι τραγικό», αφού ολοφάνερα αποτελεί αξιολογική κρίση της ίδιας της συγγραφέως. β) Η παθητική σύνταξη εξαίρει περισσότερο την ίδια την πράξη, όταν µάλιστα το παθητικό αίτιο εύκολα εννοείται, σε αντίθεση µε την ενεργητική σύνταξη που τονίζει περισσότερο εµφατικά το υποκείµενο της ενέργειας. Έτσι, η τραγικότητα και η κτηνωδία, δίδονται εδώ µε την παθητική σύνταξη. Γ. Στις µέρες µας, σε παγκόσµιο επίπεδο, παρατηρείται τάση αναβίωσης ρατσιστικών ιδεολογιών και κινηµάτων. Ιδιαίτερα δε, στην «πολιτισµένη» δύση, το παραπάνω γεγονός λαµβάνει εκρηκτικά παθογενείς διαστάσεις. Ρατσισµός είναι η θεωρία που υποστηρίζει την κοινωνική ανισότητα µε βάση το δόγµα ότι υπάρχουν φυλές εγγενώς κατώτερες από άλλες. Βέβαια, ευρύτερα ρατσισµός είναι οι «διακρίσεις», δηλαδή η δυσµενής αντιµετώπιση ατόµων ή οµάδων που βασίζεται σε επιστηµονικά αστήρικτα στερεότυπα. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, ο ρατσισµός δεν περιορίζεται µόνο σε φυλετικό - εθνικό επίπεδο, αλλά παρουσιάζεται και σε κάθε έκφραση ζωής, έτσι ώστε να κάνουµε λόγο για, εν γένει, κοινωνικό ρατσισµό. Στην καθηµερινή µας ζωή καθόλου δύσκολο δεν είναι να εντοπίσει κανείς περιστατικά ρατσιστικής συµπεριφοράς. Μάλιστα εµείς οι ίδιοι, πολλές φορές, είµαστε φορείς της τελευταίας, είτε συνειδητά είτε ασυνείδητα. Συχνά θύµατα ρατσιστικής αντιµετώπισης, ή ακόµα και εκµετάλλευσης, πέφτουν µετανάστες από τριτοκοσµικές δοκιµαζόµενες χώρες, οι γυναίκες - στα πλαίσια πάντα της ανδροκρατούµενης νεοελληνικής κοινωνίας - και γενικότερα κάθε είδους «µειονότητες»: άτοµα µε ειδικές ανάγκες, οµοφυλόφιλοι, πρώην έγκλειστοι σε σωφρονιστικά ιδρύµατα, φορείς παθογόνων φαινοµένων, όπως χρήστες ναρκωτικών ουσιών, ή και ανίατων ασθενειών.

Παρόµοια περιθωριοποίηση συχνά υφίστανται άτοµα χαµηλότερου - σε σχέση µε το µέσο - κοινωνικού, µορφωτικού, οικονοµικού επιπέδου ή οµάδες µε διαφορετικές από τις επικρατούσες πολιτικές, θρησκευτικές ή άλλες αντιλήψεις. Η µισαλλοδοξία και ο φανατισµός έχουν εµφιλοχωρήσει, όσο κι αν φαίνεται περίεργο, ακόµα και στο χώρο του αθλητισµού ή και της µόδας. Μόνο η ανθρωποκεντρική παιδεία µπορεί σαφέστατα να βοηθήσει στην άρση ανάλογων ρατσιστικών φαινοµένων. Η εκπαίδευση ως θεσµός έχει λόγο ύπαρξης µόνο όταν στοχεύει στο πλάσιµο ολοκληρωµένων προσωπικοτήτων που σέβονται και αποδέχονται τη διαφορετικότητα, την ιδιαιτερότητα, τόσο σε επίπεδο λαών και πολιτισµών όσο και σε επίπεδο ατόµων. Η εδραίωση των ανθρωπιστικών ιδεωδών οπωσδήποτε θα επιφέρει και άρση της ξενοφοβίας που αποτελεί συχνά προστάδιο ρατσισµού. Η εθνική αυτοπεποίθηση µπορεί να τονωθεί µε πολλούς άλλους υγιείς τρόπους. Το δηµοκρατικό κράτος µε κοινωνικό πρόσωπο οφείλει να προστατεύσει και να µεριµνά για όλων των ειδών τις «µειονοτικές» οµάδες, εξασφαλίζοντας ίσες για όλους ευκαιρίες δίκαιη κατανοµή των αγαθών και ισονοµία. Τα χάσµατα θα αµβλυνθούν µόνο µέσω του διαλόγου και της καλοπροαίρετης, από µέρους όλων, διάθεσης. Φαινόµενα ρατσισµού πρέπει να καταδικάζονται και κυρώσεις να επιβάλλονται σε ρατσιστικές οργανώσεις αλλά και µεµονωµένες περιπτώσεις. Όλα τα παραπάνω θα επιτευχθούν µόνο µε τη συνδροµή των φορέων αγωγής και κοινωνικοποίησης, όπως είναι η οικογένεια, το σχολείο, τα Μ.Μ.Ε., οι πνευµατικοί και πολιτικοί ηγέτες, η Εκκλησία.

Μαντουβάλου Ηλιόχαρη Φλέγκας Κωνσταντίνος

ΚΕΙΜΕΝΟ Κωστής Παλαµάς, Ο ∆ωδεκάλογος του Γύφτου (απόσπασµα από τον Προφητικό) Μες τις παινεµένες χώρες, Χώρα παινεµένη, θα' ρθει κι η ώρα, και θα πέσεις, κι από σέν' απάνου η Φήµη* το στερνό το σάλπισµά της θα σαλπίσει σε βοριά κι ανατολή, νοτιά και δύση. Πάει το ψήλος σου, το χτίσµα σου συντρίµι. Θα' ρθει κι η ώρα. εσένα ήταν ο δρόµος σε βοριά κι ανατολή, νοτιά και δύση, σαν το δρόµο του ήλιου. γέρνεις.όµως το πρωί για σε δε θα γυρίσει. Και θα σβήσεις καθώς σβήνουνε λιβάδια από µάισσες* φυτρωµένα µε γητειές.* πιο αλαφρά του περασµού σου τα σηµάδια κι από τις δροσοσταλαµατιές.

θα σε κλαιν' τα κλαψοπούλια στ' αχνά βράδια και στα µνήµατα οι κλωνόγυρτες ιτιές. .......................................................................... Και θα φύγεις κι απ' το σάπιο το κορµί, ω Ψυχή* παραδαρµένη από το κρίµα, και δε θα' βρει το κορµί µια σπιθαµή µες στη γη για να την κάνει µνήµα, κι άθαφτο θα µείνει το ψοφίµι, να το φάνε τα σκυλιά και τα ερπετά, κι ο Καιρός µέσα στους γύρους του τη µνήµη κάποιου σκέλεθρου πανάθλιου θα βαστά. 'Οσο να σε λυπηθεί της αγάπης ο Θεός, και να ξηµερώσει µιαν αυγή, και να σε καλέσει ο λυτρωµός, ω Ψυχή παραδαρµένη από το κρίµα! Και θ' ακούσεις τη φωνή του λυτρωτή, θα γδυθείς της αµαρτίας το ντύµα, και ξανά κυβερνηµένη κι αλαφρή, θα σαλέψεις σαν τη χλόη, σαν το πουλί, σαν τον κόρφο τον γυναίκειο, σαν το κύµα, και µην έχοντας πιο κάτου άλλο σκαλί να κατρακυλήσεις πιο βαθιά στου Κακού τη σκάλα, - για τ' ανέβασµα ξανά που σε καλεί θα αιστανθείς να σου φυτρώσουν, ω χαρά! τα φτερά, τα φτερά τα πρωτινά σου τα µεγάλα! Φήµη. θεότητα των Ελλήνων και Ρωµαίων, προσωποποίηση των διαδόσεων και αγγελιοφόρος των νικών. µάισσες. µάγισσες. γητειά. µάγια. Ψυχή. εννοεί της χώρας. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Με δεδοµένο ότι στο έργο του Παλαµά παρουσιάζεται ολόκληρος ο ελληνισµός από την αρχαιότητα ως την εποχή του, να βρείτε: α) Σε ποια ιστορική περίοδο τοποθετεί ο ποιητής το σκηνικό του ποιήµατος; (Μονάδες 8) β) Τι απασχολεί τον ποιητή-προφήτη σχετικά µε τη χώρα του; (Μονάδες 7) 2. Ποιες θεµατικές ενότητες διακρίνετε στο ποίηµα; Να δώσετε τίτλο σε καθεµιά. (Μονάδες 20)

3. Να βρείτε στους πέντε (5) πρώτους στίχους του ποίηµατος τέσσερα (4) διαφορετικά σχήµατα λόγου. Τι επιτυγχάνει ο ποιητής µε τη χρήση του καθενός από αυτά; (Μονάδες 20) 4. Να αναπτύξετε σε 15-20 γραµµές το περιεχόµενο των παρακάτω στίχων: και µην έχοντας πιο κάτου άλλο σκαλί να κατρακυλήσεις πιο βαθιά στου Κακού τη σκάλα, - για τ' ανέβασµα ξανά που σε καλεί θα αιστανθείς να σου φυτρώσουν, ω χαρά! τα φτερά, τα φτερά τα πρωτινά σου τα µεγάλα! (Μονάδες 25) 5. Η προτροπή του Σικελιανού στο παρακάτω απόσπασµα και η προφητεία του Παλαµά έχουν ένα κοινό όραµα ελπίδας. Ποιο είναι αυτό και πώς πιστεύει ο κάθε ποιητής ότι µπορεί να γίνει πραγµατικότητα; 'Αγγελος Σικελιανός, Πνευµατικό Εµβατήριο (απόσπασµα) ..................................................................................................... «Οµπρός. βοηθάτε να σηκώσουµε τον ήλιο πάνω

απ΄την Ελλάδα. Οµπρός, βοηθάτε να σηκώσουµε τον ήλιο πάνω

απ' τον κόσµο! Τι, ιδέτε, εκόλλησεν η ρόδα του βαθιά στη λάσπη, κι α, ιδέτε, χώθηκε τ' αξόνι του βαθιά µες στο αίµα! Οµπρός, παιδιά, και δε βολεί µοναχός του ν' ανέβει

ο ήλιος. σπρώχτε µε γόνα και µε στήθος να τον βγάλουµε απ' τη λάσπη, σπρώχτε µε στήθος και µε γόνα, να τον βγάλουµε απ' το γαίµα*. '∆έστε, ακουµπάµε απάνω του οµοαίµατοι

αδερφοί του! Οµπρός, αδέρφια, και µας έζωσε µε τη φωτιά του, οµπρός, οµπρός, κ' η φλόγα του µας τύλιξε,

αδερφοί µου! Οµπρός, οι δηµιουργοί!... Την αχθοφόρα ορµή Σας στυλώστε µε κεφάλια και µε πόδια, µη βουλιάξει

ο ήλιος! ..................................................................................................... γαίµα. αίµα (Μονάδες 20)


1. α) Ο ποιητής - προφήτης τοποθετεί το σκηνικό του ποιήµατος στο Βυζάντιο και τα γεγονότα µετατρέπονται σε προφητείες. Ο εχθρός είναι προ των πυλών αλλά αυτοκράτορας, αυλικοί και λαός αδιαφορούν παραδοµένοι στη διαφθορά. β) Ο ποιητής - προφήτης, βαθιά πληγωµένος, ανησυχεί και αγωνιά για την έκπτωση της Πολιτείας. Αγανακτεί και προλέγει το χαµό της Χώρας, αφού οι πολίτες µένουν αδιάφοροι και αδρανείς, βυθισµένοι στη σήψη και τη διαφθορά! Ο πόνος που για τον ξεπεσµό και το κατάντηµα που βλέπει, φτάνει ως τα όρια της απελπισίας.

2. ∆ύο είναι οι θεµατικές ενότητες του αποσπάσµατος: Η πρώτη φτάνει ως και το στίχο 24 και η δεύτερη εκτείνεται από το στίχο 25 ως και το στίχο 41. Στην πρώτη ο ποιητής - προφήτης µε οδύνη αλλά και οργή προλέγει το «θάνατο» της Χώρας και τον ιστορικό αφανισµό της.

Ως εκ τούτου, θα µπορούσε να δοθεί ο εξής τίτλος: «Η τραγική και ολοκληρωτική πτώση της Χώρας». Στη δεύτερη θεµατική ενότητα, ο ποιητής προφητεύει µε αισιοδοξία την «ανάσταση», την αναγέννηση της Πολιτείας. Τίτλος:

«Η από το Θεό λύτρωση της Χώρας και η ανάκτηση του χαµένου µεγαλείου». 3. Προσωποποίηση της Χώρας (στ. 1-4): µ’ αυτήν θεµελιώνεται η χρήση του β’ ενικού προσώπου κι έλκεται το ενδιαφέρον του αναγνώστη από τον πρώτο κιόλας στίχο.

Μεταφορά (στ. 3 «και θα πέσεις»): άµεσα σχετιζόµενη µε την παραπάνω προσωποποίηση, η µεταφορά αυτή αισθητοποιεί καλύτερα την πτώση.

Παρήχηση του «σ» (στ. 4): µε αυτήν τονίζεται περισσότερο η ακουστική εικόνα του στίχου. Χιαστό (στ. 1-2):

Με το σχήµα αυτό εξαίρεται το πρότερο χαµένο µεγαλείο της Χώρας κι έτσι θα δοθεί πιο τραγική η διάσταση της πτώσης

στους παρακάτω στίχους. 4. Η Χώρα κατά τον ποιητή - προφήτη έχει αγγίξει το έσχατο σκαλί της έκπτωσης. Η παρακµή, η σήψη, η διαφθορά αφορούν τόσο την ηγεσία της χώρας όσο και το λαό της, σε κάθε έκφανση της ζωής. Κυριαρχούν - λαµβάνοντας υπόψη την ιστορική περίοδο, στα πλαίσια της οποίας γράφτηκε το ποίηµα - ο εφησυχασµός, το ψέµα, η πατριδοκαπηλεία, «η ζωή του µικρόψυχου υλισµού». Ενώ στους στίχους 35 ως και 37 δεν αφήνονται περιθώρια ανάκαµψης και η πτώση παρουσιάζεται οριστική και αµετάκλητη,

εντούτοις στο τέλος της δεύτερης ενότητας προφητεύεται η λύτρωση, η αναγέννηση, η ανάσταση της Χώρας. Ο ποιητής µε ενθουσιασµό, πίστη στις δυνατότητες του Έθνους αλλά και στο Θεό, µε σιγουριά διαισθάνεται την παλινόρθωση της πολιτείας. Η επανάληψη της λέξεως «φτερά» και η παρήχηση του «φ», στους στίχους 30,41 συνειρµικά παραπέµπουν σε εξαγνισµό και πλήρη κάθαρση. Ο Παλαµάς στους τελευταίους στίχους, ίσως σε µια έξαρση Μεγαλοϊδεατισµού, πιστεύει πως η χώρα θα φτάσει, όπως είχε

συµβεί και στο παρελθόν, στο ύψιστο σηµείο δύναµης, µεγαλείου και δόξας. 5. Παρόλο που τα δύο ποιήµατα έχουν γραφεί σε διαφορετικές εποχές, έχουν ένα κοινό όραµα ελπίδας: την επικράτηση αξιών που έχουν καταρρακωθεί, την επάνοδο της Ελλάδας - αλλά και όλου του κόσµου - στο δρόµο του πολιτισµού, της προόδου και του ανθρωπισµού. Ο Παλαµάς - ποιητής του καιρού του - περισσότερο φαίνεται να εναποθέτει τις ελπίδες αναγέννησης της Χώρας στο Θεό (δεν

είναι τυχαίο ότι στην εποχή του κυρίαρχη ήταν η πίστη ότι οι Έλληνες είναι ο περιούσιος λαός του Θεού). Από την άλλη µεριά, ο Α. Σικελιανός πιστεύει περισσότερο στη δύναµη των ίδιων των ανθρώπων - και του απλού λαού και

των διανοούµενων - και στο συντροφικό αγώνα τους. Το σίγουρο πάντως - κοινό και στα δύο αποσπάσµατα - είναι ότι η αλλαγή, η ανάσταση, η πραγµάτωση των υψηλών αξιών που

ο ήλιος συµβολίζει, θα επέλθει σταδιακά. Η ανιούσα πορεία, προϋποθέτει χρόνο, οµόνοια και κοινό µόχθο.

παινεµένες χώρες Χώρα παινεµένη

Μαντουβάλου Ηλιόχαρη Φλέγκας Κώστας

ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Κείµενο από το πρωτότυπο (701 - 718)

ΑΙ. [ Εµοί δέ σο~υ πράσσοντος ε[υτυχ~ως, πάτερ,

ο[υκ εστιν ο[υδέν κτ~ηµα τιµιώτερον. τί γάρ πατρός θάλλοντος ε[υκλείας τέκνοις αγαλµα µε~ιζον, η τί πρός παίδων πατρί; Μή νυν |εν @ηθος µο~υνον [εν σαυτ~?ω φόρει, ]ως φής σύ, κο[υδέν άλλο, το~υτ’ [ορθ~ως εχειν. |οστις γάρ α[υτός η φρονε~ιν µόνος δοκε~ι, η γλ~ωσσαν, |ην ο[υκ άλλος, η ψυχήν εχειν, ο#υτοι διαπτυχθέντες ωφθησαν κενοί. [ Αλλ’ ανδρα, κει τις @η σοφός, τό µανθάνειν πόλλ’ α[ισχρόν ο[υδέν καί τό µή τείνειν αγαν. ] Ορ~?ας παρά ]ρείθροισι χειµάρροις |οσα δένδρων ]υπείκει, κλ~ωνας ]ως [εκσ?ώζεται, τά δ’ [αντιτείνοντ’ α[υτόπρεµν’ [απόλλυται. Αυτως δέ ναός |οστις [εγκρατ~η πόδα τείνας ]υπείκει µηδέν, ]υπτίοις κάτω στρέψας τό λοοιπόν σέλµασιν ναυτίλλεται. [ Αλλ’ ε@ικε θυµ~?ω καί µετάστασιν δίδου.

Α. Από το απόσπασµα που σας δίνεται να µεταφράσετε τους στίχους 701-709. ([ Εµοί δέ σο~υ πράσσοντος ...

ωφθησαν κενοί). Μονάδες 30

Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις απαντήσεις των παρακάτω ερωτήσεων: 1. Τό µή τείνειν αγαν (στίχ. 711): Από πού είναι παρµένη η µεταφορική αυτή φράση και ποια είναι για τους αρχαίους Έλληνες η σηµασία της αντίληψης που εκφράζει;

Μονάδες 10 2. Να αποδώσετε µε δικά σας λόγια τις δύο εικόνες, µε τις οποίες ο Αίµων καταλήγει στην προτροπή προς τον πατέρα του «[αλλ’ ε@ικε θυµ~?ω καί µετάστασιν δίδου» (στίχ. 718).

Μονάδες 10 3. Στους στίχους 705-706 του κειµένου από το πρωτότυπο, ο Αίµων χρεώνει στον Κρέοντα µια µοιραία

µονοµέρεια σκέψης. Με βάση τα στοιχεία από το µεταφρασµένο κείµενο που ακολουθεί (στίχ. 194-210), να εξηγήσετε σε τι συνίσταται αυτή η µονοµέρεια του Κρέοντα ως προς τους δύο αδελφούς.

Μονάδες 10 Κείµενο από µετάφραση (στίχ. 194-210)

ΚΡ. Τον Ετεοκλή, που χάθηκε σαν ήρωας στη µάχη υπερασπίζοντας την πόλη του, τάφος να τον δεχτεί µε προσφορές τιµής, καθώς αρµόζει στους ήρωες νεκρούς. Τον αδερφό του πάλι, τον Πολυνείκη εννοώ, που χώρα πατρική και ντόπιους θεούς εξόριστος γυρνώντας θέλησε πέρα για πέρα να πυρπολήσει, δικό του αίµα θέλησε να πιει, δικούς του στη σκλαβιά να σύρει, αυτόν, λέω, στην πόλη τούτη βγήκε προσταγή κανείς να µη νεκροστολίσει, να µη θρηνήσει κανείς, να τον αφήσουν άθαφτο, κορµί ρηµάδι, τα σκυλιά να τον ξεσκίσουν και τα όρνια. Αυτή ‘ναι η θέλησή µου. ποτέ δε θα τιµήσω εγώ περισσότερο τους άδικους από τους δίκαιους. Νεκρό και ζωντανό το ίδιο θα τιµήσω αυτόν που µε της πόλης τα νερά πηγαίνει.

4. Να αποδώσετε µε συντοµία το περιεχόµενο των παρακάτω όρων που αναφέρονται στο δράµα: µύθος, πρόλογος, λογείο, κόθορνοι, χορηγία.

Μονάδες 10 5. Να γράψετε δύο οµόρριζα (απλά ή σύνθετα, της αρχαίας ή της νέας ελληνικής γλώσσας) για καθεµιά από τις παρακάτω λέξεις:

πράσσοντος, φρονε~ιν, γλ~ωσσαν, µανθάνειν, [εκσ?ώζεται. Μονάδες 10

6.α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο: αγαλµα µε~ιζον

Γενική Ενικού Αιτιατική Πληθυντικού

Μονάδες 5 6.β. Να γράψετε το τρίτο ενικό πρόσωπο της οριστικής µέλλοντα των παρακάτω τύπων στη φωνή που βρίσκονται: φρονε~ιν, πράσσοντος, εχειν, ]ορ~?ας, εστιν. Σηµείωση: Για το εχειν αρκεί ο ένας από τους δύο µέλλοντες.

Μονάδες 5 7. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις προτάσεις που ακολουθούν συµπληρώνοντας τον συντακτικό όρο που λείπει: τιµιώτερον (στ. 702) είναι ___________ στο κτ~ηµα. |οστις (στ. 707) είναι ___________ στο δοκε~ι. γλ~ωσσαν (σ. 708) είναι ___________ στο εχειν. δένδρων (στ. 713) είναι ___________ στο |οσα. [εγκρατ~η (στ. 715) είναι ___________ στο πόδα.

Μονάδες 10

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Για µένα, από τη δική σου την ευτυχία πατέρα δεν υπάρχει πολυτιµότερο πράγµα. Γιατί ποια χαρά είναι

µεγαλύτερη για τα παιδιά από τη δόξα του ευτυχισµένου πατέρα, ή ποια χαρά είναι µεγαλύτερη για τον πατέρα από την δόξα ευτυχισµένων παιδιών; Μην έχεις λοιπόν τώρα µόνο ένα τρόπο σκέψης, αυτό που λες εσύ ότι είναι σωστό και τίποτε άλλο. όσοι νοµίζουν ότι µόνο αυτοί ή σκέφτονται σωστά, ή µιλούν ή έχουν χαρακτήρα που κανείς άλλος δεν έχει, αυτοί όταν ανοιχτούν και εξεταστούν σε βάθος βρίσκονται (ότι είναι) άδειοι.

Β. 1. Η φράση αυτή, που έχει µεταφορική και αλληγορική σηµασία και συνειρµικά παραπέµπει στο δελφικό ρητό «µηδέν αγαν», είναι παρµένη από τις χορδές του τόξου ή των µουσικών οργάνων. Εκφράζει την κοινή για τους αρχαίους Έλληνες αντίληψη πως καθετί που ξεπερνά το µέτρο και φτάνει στην υπερβολή είναι επικίνδυνο. Σύµφωνα µε αυτή ο άνθρωπος - ή από τον φθόνο των θεών για την επιτυχία του ή από δικά του σφάλµατα - εξαιτίας της αλαζονείας του, οδηγείται στην ύβρη που προκαλεί την τραγική του συντριβή. Η «Ύβρις» - κορυφαία έννοια πάνω στην οποία κάθε τραγωδία βασίζεται - είναι, γενικότερα, η τάση του ήρωα

να ξεπερνά τα όρια (ετυµολογικά από την πρόθεση «]υπέρ») που θέτει η ανθρώπινη φύση του, να παραβιάζει την παγκόσµια ηθική τάξη και να συγκρούεται µε τους θεϊκούς νόµους. Κατά τον Αριστοτέλη η αρετή είναι η «µεσότητα», δηλαδή το µέτρο µεταξύ δύο υπερβολών. ‘Αρα,

καταδεικνύεται έτσι η αξία του µέτρου και της διαλλακτικότητας.

2. Και µε τις δύο εικόνες των στίχων 712-717 ο Αίµονας προσπαθεί να καταδείξει τη σηµασία του µέτρου και της διαλλακτικότητας. Οι εικόνες αυτές έρχονται ως επεξηγήσεις της φράσης «τό µή τείνειν αγαν». Στους στίχους 712-714 έχουµε την εικόνα των δέντρων που βρίσκονταν µέσα σε ορµητικούς χειµάρρους. Όσα

απ’ αυτά λυγίζουν τα κλωνάρια τους, σώζονται, ενώ αυτά που αντιστέκονται χάνονται. Στους στίχους 715-717 µας παρουσιάζεται η εικόνα ενός πλοίου που ταξιδεύει µε πολύ δυνατό άνεµο. Αξίζει

να σηµειωθεί ότι η εικόνα αυτή είναι πολύ οικεία στους Αθηναίους που έχουν µεγάλη ναυτική δύναµη. Όσα, λοιπόν, καράβια δεν χαλαρώνουν τα πανιά του πλοίου βυθίζονται. Αυτήν την εικόνα ο Αίµονας την αποδίδει και µε µια δόση ειρωνείας: λέγοντας δηλαδή ότι το πλοίο ταξιδεύει µε ανεστραµµένο το κατάστρωµά του, εννοεί ότι τελικά βυθίζεται. Οι παραπάνω µεταφορικές φυσικές εικόνες προοικονοµούν παραστατικά τη συντριβή του Κρέοντα αν δεν

υποχωρήσει στην οργή του.

3. Οι στίχοι 194-210 είναι απόσπασµα από τη ρήση του Κρέοντα στο πρώτο επεισόδιο και αποτελούν τη διαταγή του σχετικά µε τα δύο νεκρά αδέρφια, τον Ετεοκλή και τον Πολυνείκη. Ο Ετεοκλής αποφασίζεται να ταφεί µε τιµές ήρωα, επειδή υπερασπίστηκε την πατρίδα του, ενώ αντίθετα ο Πολυνείκης να στερηθεί την ταφή και τις τιµές που την συνοδεύουν, επειδή στράφηκε εναντίον της πατρίδας του. Ο Κρέοντας ολοφάνερα παραβιάζει το άγραφο ηθικό δίκαιο, σύµφωνα µε το οποίο ακόµα και οι προδότες έπρεπε να θάβονται, εκτός των τειχών της πόλης βέβαια. Η παραπάνω διάκριση συνιστά ακριβώς τη µονοµέρεια της σκέψης του Κρέοντα που θα αποβεί γι’ αυτόν µοιραία. Η τυφλή αφοσίωσή του στο κράτος, στη φιλοπατρία, στην πειθαρχία θα τον οδηγήσει στην τραγική του συντριβή. 4. Μύθος είναι ένα από τα «κατά ποιόν» µέρη της τραγωδίας, τα ουσιαστικότερα και εσωτερικά, δηλαδή, στοιχεία της. Σηµαίνει την υπόθεση του έργου, το «σενάριο». Τα θέµατα των τραγωδιών αντλούνται από τη µυθολογία αλλά και από την ιστορία. Πρόλογος είναι το πρώτο από τα «κατά πόσον» µέρη της τραγωδίας. Έχει επικό χαρακτήρα και τη µορφή

µονολόγου ή διαλόγου. Σηµαίνει τον πρώτο λόγο του ηθοποιού και µ’ αυτόν οι θεατές εισάγονται στην υπόθεση της τραγωδίας. Λογείο ήταν εξέδρα µπροστά στη σκηνή που αργότερα κάλυψε και µέρος της ορχήστρας πάνω στην οποία

µιλούσαν κι έπαιζαν οι ηθοποιοί. Κόθορνοι ήταν υψηλά υποδήµατα που φορούσαν οι ηθοποιοί. Χορηγία ήταν η τιµητική λειτουργία την οποία επωµιζόταν ένας εύπορος πολίτης, αφού αναλάµβανε τη

χρηµατοδότηση της προετοιµασίας - διδασκαλίας του χορού.

5. πράσσοντος: πολυπραγµοσύνη, έµπρακτος, πράγµα, άπραγος, πρακτικός, πράξη φρονε~ιν: εχέφρων, φρενοβλαβής, αφροσύνη, φρόνιµος γλ~ωσσαν: ευγλωττία, πολύγλωσσος, γλωσσοµαθής, υπογλώσσιο µανθάνειν: αµαθής, µάθηση, µάθηµα, µαθητής, µαθησιακός [εκσ?ώζεται: σώµα, σωστός, άσωτος, σωσίβιο, διάσωση, ναυαγοσώστης

6. α.

αγαλµα µε~ιζον Γενική Ενικού [αγάλµατος µείζονος

Αιτιατική Πληθυντικού [αγάλµατα µείζονα µείζω β. φρονήσει πράξει |εξει,σχήσει

οψεται εσται

7. τιµιώτερον: δύο είναι οι πιθανές ορθές συντάξεις. α) ο[υκ εστιν:ρήµα ο[υδεν: υποκείµενο του ρήµατος κτ~ηµα: κατηγορούµενο στο «ο[υδέν» τιµιώτερον: επιθετικός προσδιορισµός στο «κτήµα»

β) ο[υκ εστιν:ρήµα κτ~ηµα: υποκείµενο του ρήµατος ο[υδεν: επιθετικός προσδιορισµός στο «κτ~ηµα» τιµιώτερον: κατηγορούµενο στο «κτ~ηµα»

|οστις: υποκείµενο στο «δοκε~ι» γλ~ωσσαν: αντικείµενο στο «εχειν» δένδρων: γενική διαιρετική στο «|οσα» [εγκρατ~η: προληπτικό κατηγορούµενο στο «πόδα»

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ - ΙΣΤΟΡΙΑ ΟΜΑ∆Α Α΄ ΘΕΜΑ Α1 Α.1.1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. "Το Πνεύµα των Νόµων" (1748) ήταν έργο του: α. Βολταίρου β. Μοντεσκιέ γ. Ρουσσό δ. Κεναί

Μονάδες 2 Ποια µορφή πολιτεύµατος προτείνει ο συγγρα-φέας στο συγκεκριµένο έργο;

Μονάδες 3 Α.1.2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση. Στη γαλλική κοινωνία του 18ου αιώνα: α. Η τάξη των ευγενών ήταν οµοιογενής. β. Οι µεγαλοαστοί πλούτιζαν από το εµπόριο και τη βιοµηχανία. γ. Η οικονοµική ισχύς του κλήρου στηριζόταν στο φόρο της δεκάτης. δ. Η εκπαίδευση και η νοσοκοµειακή περίθαλψη βρίσκονταν στα χέρια των ευγενών. ε. Οι αγρότες αποτελούσαν το 80% του γαλλικού πληθυσµού. στ. Η Τρίτη Τάξη ήταν απαλλαγµένη από φόρους.

Μονάδες 6 Α.1.3. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της πρώτης στήλης και δίπλα τους αριθµούς των προτάσεων της δεύτερης στήλης, που το περιεχόµενό τους αντιστοιχεί σωστά σε αυτά. α. Φαναριώτες β. Προεστοί ή δηµογέροντες ή κοτσαµπάσηδες γ. έµποροι, πλοιοκτήτες, χρηµατοµεσίτες

1. ΄Ηταν υπόλογοι για την κατανοµή, είσπραξη και απόδοση των φόρων. 2. ∆ιορίζονταν οσποδάροι (ηγεµόνες) της Βλαχίας και της Μολδαβίας. 3. Έγιναν φορείς επαναστατικών ιδεών. 4. Αποτελούσαν ένα είδος διοικητικής και κοινωνικής αριστοκρατίας. 5. Συνδέθηκαν µε το ευρωπαϊκό κεφάλαιο (εµπορικό, τραπεζικό, ναυτιλιακό). 6. ΄Ηταν αιρετοί.

Μονάδες 6 Α.1.4. Να απαντήσετε στην ακόλουθη ερώτηση: Ποια ήταν τα στοιχεία που ευνοούσαν µια επαναστατική οργάνωση, όπως ήταν η Φιλική Εταιρεία;

Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Α2

Α.2.1. Να δώσετε µε συντοµία το περιεχόµενο των ακόλουθων όρων: α. Νεοελληνικός ∆ιαφωτισµός β. Ιερή Συµµαχία γ. Βιοµηχανική Επανάσταση

Μονάδες 9 Α.2.2. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Ο Ιωάννης Καποδίστριας εκλέχθηκε πρώτος Κυβερνήτης της Ελλάδας από την: α. Α΄ Εθνοσυνέλευση της Επιδαύρου (1821-1822) β. Β΄ Εθνοσυνέλευση του ΄Αστρους Κυνουρίας (1823). γ. Γ΄ Εθνοσυνέλευση της Τροιζήνας (1827). δ. ∆΄ Εθνοσυνέλευση του ΄Αργους (1829).

Μονάδες 2

Ποια ήταν η σηµασία της εκλογής του Καποδίστρια ως πρώτου Κυβερνήτη της Ελλάδας; Μονάδες 6

Α.2.3. Η σύναψη των "δανείων της Ανεξαρτησίας" (1824 και 1825) είχε θετικές και αρνητικές συνέπειες για τους Έλληνες. Να γράψετε µία θετική και µία αρνητική συνέπεια.

Μονάδες 8 ΟΜΑ∆Α Β΄

ΘΕΜΑ Β1 Β.1.1. Να διαβάσετε προσεκτικά τα κείµενα που ακολουθούν: Α. Από οικονοµική άποψη, τι χρειάζονται οι αποικίες; Αρχικά προσφέρουν ένα άσυλο και εργασία στους κατοίκους των φτωχών χωρών ή στους κατοίκους των χωρών που παρουσιάζουν υπερπληθυσµό. Αλλά υπάρχει κι ένας δεύτερος λόγος, που προσιδιάζει στους λαούς οι οποίοι διαθέτουν περίσσευµα από κεφάλαια ή από προϊόντα. Αυτός ο δεύτερος λόγος εναρµονίζεται περισσότερο µε τη σηµερινή πραγµατικότητα. Κύριοι, υπάρχει κι ένα άλλο σηµείο που πρέπει επίσης να θίξω? είναι η ανθρωπιστική και πολιτιστική πλευρά του θέµατος. Πρέπει να πούµε καθαρά ότι οι ανώτεροι φυλετικά λαοί έχουν καθήκον απέναντι στους κατώτερους λαούς να τους εκπολιτίσουν. (Λόγος του Ζυλ Φερύ, υπουργού Εξωτερικών της Γαλλίας, στη Βουλή στις 28 Ιουλίου 1885). Β. Αποδοκιµάζουµε την αποικιακή πολιτική γιατί σπαταλά τον πλούτο και τις δυνάµεις των χωρών που θα έπρεπε να αφιερωθούν στη βελτίωση της µοίρας των λαών. Την αποδοκιµάζουµε σαν την απαισιότερη συνέπεια του καπιταλιστικού συστήµατος, το οποίο εµποδίζει, στις χώρες που επικράτησε, την κατανάλωση µε τους χαµηλούς µισθούς που προσφέρει στους εργάτες, ενώ αντίθετα αναγκάζεται να δηµιουργεί σε µακρινές χώρες, µε την κατάκτηση και τη βία, καινούριες αγορές. Την αποδοκιµάζουµε τέλος, γιατί σε όλες τις αποικιακές επιχειρήσεις η καπιταλιστική έννοια της δικαιοσύνης συνοδεύεται από µια πλήρη διαφθορά. (Λόγος του Γάλλου πολιτικού Ζαν Ζορές). Ποια διαφορά θέσεων διαπιστώνετε στα παραπάνω κείµενα και µε ποια επιχειρήµατα διατυπώνεται αυτή η διαφορά;

Μονάδες 25

ΘΕΜΑ Β2 α. Ποιες ήταν οι αντιλήψεις του Ιωάννη Καποδίστρια για την εκπαίδευση (στοιχειώδη και πανεπιστηµιακή) και ποια κατεύθυνση πήρε η εκπαίδευση στην περίοδο της Αντιβασιλείας;

Μονάδες 10 β. Ποιά είναι, κατά την άποψή σας, τα θετικά και ποια τα αρνητικά στοιχεία του εκπαιδευτικού συστήµατος που εφάρµοσε η Αντιβασιλεία;

Μονάδες 15

Θέµα 1ο Α. α) ∆ίνεται η συνάρτηση F(x) = f(x) + g(x).Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι:

F (x) = f (x) + g (x).′ ′ ′ Μονάδες 8

β) Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων:

cf(x) , f(x) g(x)⋅ , f(x)g(x)

µε g(x)≠0, όπου c πραγµατική σταθερά.

Μονάδες 4,5 Β. α) Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της στήλης Α και δίπλα τον αριθµό της στήλης Β που αντιστοιχεί

στη σωστή απάντηση. Στήλη Α συνάρτηση

Στήλη Β πρώτη παράγωγος

α. x2 + 3 1. 1 - ηµx β. x + συνx 2. 3x2 - 8x γ. xηµx 3. 2x + 3 δ. x3 - 4x2 4. ηµx - xσυνx 5. 2x 6. 3x2 - 4x 7. ηµx + xσυνx

Μονάδες 8 β) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης xef(x) = , x 0

x≠ είναι:

Α: xe B:x x

2

e - xex

Γ:x x

2

e x + ex

,

∆:x x

2

e x - ex

Ε:x xxe - ex

.

Μονάδες 4,5 Θέµα 2ο A. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιµών της µεταβλητής Χ σωστά συµπληρωµένο.

Τιµές Μεταβλητής

xi

Συχνό-τητα

νi

Σχετική Συχνό-τητα

fi

Σχετική

Συχνό-τητα fi%

Αθροισ. Συχνότ.

Ni

xiνi

xi2

xi2νi

1 10 10 1 10 2 35 4 3 9

ΣΥΝΟΛΟ ν=50 1 100 Μονάδες 16

B. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο. Μονάδες 4

Γ. Να δείξετε ότι η διακύµανση είναι s2=0,49.

∆ίνεται ότι:

2k

i iki = 12 2

i ii = 1

x ν1s = x ν - ν ν

∑∑

Μονάδες 5 Θέµα 3ο Από 120 µαθητές ενός Λυκείου, 24 µαθητές συµµετέχουν στο διαγωνισµό της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας, 20 µαθητές συµµετέχουν στο διαγωνισµό της ΄Ενωσης Ελλήνων Φυσικών και 12 µαθητές συµµετέχουν και στους δύο διαγωνισµούς. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο µαθητής: Α. να συµµετέχει σ’ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισµούς;

Mονάδες 8 Β. να συµµετέχει µόνο σ’ έναν από τους δύο διαγωνισµούς;

Mονάδες 8 Γ. να µη συµµετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισµούς;

Mονάδες 9 Θέµα 4ο Στα σχολεία ενός ∆ήµου υπηρετούν συνολικά 100 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα:

Χρόνια υπηρεσίας [ - )

Σχετική Συχνότητα fi%

0- 5 10 5-10 15 10-15 12 15-20 15 20-25 18 25-30 18 30-35 12

Α. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας; Μονάδες 5

Β. Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί, όταν συµπληρώσει 35 χρόνια: α) πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν µέσα στα επόµενα 12,5 χρόνια; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 10 β) πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν µέσα στα επόµενα πέντε χρόνια, ώστε ο αριθµός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του ∆ήµου να παραµένει ο ίδιος; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 10

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα 1ο Α. α) Θεωρία σελίδα 31.

β) ( )c f(x) = c f (x)′ ′⋅ ⋅ , ( )f(x) g(x) = f (x) g(x) + f(x)g (x)′ ′ ′⋅ ⋅

2

f(x) f (x) g(x) - f(x) g (x) = g(x) g (x)

′ ′ ′ ⋅ ⋅

Β. α) α → 5, β → 1, γ → 7, δ → 2 β) ∆ Θέµα 2ο Α.

Τιµές Μεταβλητής

xi

Συχνό-τητα

νi

Σχετική Συχνό-τητα

fi

Σχετική Συχνό-τητα fi%

Αθροιστική Συχνότητα

Ni

xiνi

xi2

xi2νi

1 10 0,2 20 10 10 1 10 2 25 0,5 50 35 50 4 100 3 15 0,3 30 50 45 9 135

ΣΥΝΟΛΟ ν=50 1 100 105 245

Β. 105x = = 2,150

, επειδή η διάµεσος είναι ο µέσος όρος της 25ης και 26ης παρατήρησης, είναι 2 + 2δ = = 22

.

Γ. 2

2 1 105 1 11025s = 245 - = 245 - =50 50 50 50

1 24,5= (245 - 220,5) = = 0,49.50 50

Θέµα 3ο Θεωρούµε τα ενδεχόµενα: Μ: ο µαθητής συµµετέχει στον διαγωνισµό της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρίας. Φ: ο µαθητής συµµετέχει στον διαγωνισµό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών.

Τότε 24P(M) = 120

, 20P(Φ) = 120

και 12P(M Φ) = .120

∩

Είναι Α = Μ Φ.∪ Άρα η πιθανότητα για να συµµετέχει σ’ έναν τουλάχιστον διαγωνισµό είναι: P(A) = P(M Φ) = P(M) + P(Φ) - P(M Φ) =∪ ∩ 24 20 12 24 + 20 - 12 32 4 + - = = = 120 120 120 120 120 15

Είναι B = (M - Φ) (Φ - Μ).∪ Άρα η πιθανότητα για να συµµετέχει σ’ ένα από τους δύο διαγωνισµούς είναι:

[ ]P(B) = P (M - Φ) (Φ - Μ) =∪

Ω

Μ Φ

Μ - Φ Φ - Μ

Μ ∩ Φ

= P(M - Φ) + P(Φ - M) = P(M) - P(M Φ) + P(Φ) - P(Φ M) =∩ ∩

24 20 2 12= P(M) + P(Φ) - 2P(M Φ) = + - =120 120 120

⋅∩

(Μ - Φ) ∩ (Φ - Μ) = ∅

20 1= = .120 6

Είναι Γ = (Μ Φ) .′∪ Άρα η πιθανότητα να µη συµµετέχει σε κανένα διαγωνισµό είναι:

[ ]P(Γ) = P (M Φ) = 1 - P(M Φ) =′∪ ∪

4 11= 1 - P(A) = 1 - = .15 15

Θέµα 4ο Βρίσκουµε στον πίνακα την στήλη συχνοτήτων. fi% i

iν f %ν = 100⋅

[0-5) 10 10 [5-10) 15 15 [10-15) 12 12 [15-20) 15 15 [20-25) 18 18 [25-30) 18 18 [30-35) 12 12 A. Οι εκπαιδευτικοί µε 15 χρόνια τουλάχιστον υπηρεσία είναι 15 + 18 + 18+ 12 = 63. Β. α) Θέλουµε το πλήθος των εκπαιδευτικών που έχουν υπηρεσία τουλάχιστον 35 - 12,5 = 22,5 χρόνια. Θεωρούµε

ότι οι παρατηρήσεις είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες στην κάθε κλάση. Άρα από 22,5 έως 25 έχουµε 9 καθηγητές. Άρα το πλήθος των εκπαιδευτικών που θα συνταξιοδοτηθούν τα επόµενα 12,5 χρόνια είναι: 9 + 18 + 12 = 39. β) Πρέπει να προσληφθούν 12 εκπαιδευτικοί, διότι τόσοι είναι λόγω της τελευταίας κλάσης [30-35) οι εκπαιδευτικοί που θα συνταξιοδοτηθούν στα επόµενα 5 χρόνια.

ΘΕΜΑΤΑ

ΖΗΤΗΜΑ 1ο Α1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο 0x του πεδίου ορισµού της, να

γραφεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο

( )( )0 0A x ,f x . (Μονάδες 4)

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ’ ένα σηµείο 0x του

πεδίου ορισµού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. (Μονάδες 8,5)

Β1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την

ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0x , τότε η f΄ είναι πάντοτε συνεχής στο 0x .

β) Αν η f δεν είναι συνεχής στο 0x , τότε η f είναι παραγωγίσιµη στο 0x .

γ) Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο 0x , τότε η f΄ είναι συνεχής στο 0x .

(Μονάδες 4,5)

Β2. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της στήλης Α και δίπλα τον αριθµό της

στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτοµένη της κάθε συνάρτησης στο σηµείο 0x .

Στήλη Α

συναρτήσεις

Στήλη Β

εφαπτόµενες

α. ( ) 3f x 3x= , 0x 1= 1. y 2x= − + π

β. ( )f x 2x= ηµ , 0x2π= 2. 1y x 1

4= +

γ. ( )f x 3 x= , 0x 0= 3. y 9x 6= −

δ. ( )f x x= , 0x 4= 4. y 9x 5= − +

5. δεν υπάρχει

(Μονάδες 8)

ΖΗΤΗΜΑ 2ο

∆ίνεται η συνάρτηση ( ) 2z if z , zz 2i

+= ∈−

µε z 2i≠ − , όπου z ο συζυγής του z.

α. Να βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή των µιγαδικών αριθµών:

( )1w f 9 5i= − (Μονάδες 6)

( )2004

22w f 9 5i

3

= −

(Μονάδες 6)

β. Θεωρούµε τον πίνακα 1

1

w 02M0 w3

= −

όπου 1w το µέτρο του µιγαδικού

αριθµού 1w του ερωτήµατος α.

Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή πρόταση. Ο γραµµικός µετασχηµατισµός Τ µε πίνακα Μ είναι:

Α. στροφή µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και γωνία 4πθ =

Β. συµµετρία ως προς τον άξονα x x′

Γ. συµµετρία ως προς τον άξονα y y′

∆. συµµετρία ως προς την ευθεία y x=

Ε. οµοιοθεσία µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και λόγο 23

λ = . (Μονάδες 5)

γ. Αν Μ ο πίνακας του ερωτήµατος β, τότε να βρεθεί ο πίνακας Χ ώστε να ισχύει:

ΜΧ = Κ , όπου Κ είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στο γραµµικό µετασχηµατισµό

στροφής µε κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και γωνία 2πθ = . (Μονάδες 8)

ΖΗΤΗΜΑ 3ο

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [ ]0,1 και ισχύει ( )f x 0′ > για

κάθε ( )x 0,1∈ . Αν ( )f 0 2= και ( )f 1 4= , να δείξετε ότι:

α. Η ευθεία y 3= τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ’ ένα ακριβώς σηµείο µε

τετµηµένη ( )0x 0,1∈ . (Μονάδες 7)

β. Υπάρχει ( )1x 0,1∈ , τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

31 2 4f f f f5 5 5 5f x4

+ + += (Μονάδες 12)

γ. Υπάρχει ( )2x 0,1∈ , ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο

( )( )2 2M x ,f x να είναι παράλληλη στην ευθεία y 2x 2000= + . (Μονάδες 6)

ΖΗΤΗΜΑ 4ο

Τη χρονική στιγµή t 0= χορηγείται σ’ έναν ασθενή ένα φάρµακο. Η συγκέντρωση του

φαρµάκου στο αίµα του ασθενούς δίνεται τη συνάρτηση ( ) 2tf t , t 0t1

α= ≥ + β

, όπου α

και β είναι σταθεροί θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και ο χρόνος t µετράται σε ώρες. Η

µέγιστη τιµή της συγκέντρωσης είναι ίση µε 15 µονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες µετά τη

χορήγηση του φαρµάκου.

α. Να βρείτε τις τιµές των σταθερών α και β. (Μονάδες 15)

β. Με δεδοµένο ότι η δράση του φαρµάκου είναι αποτελεσµατική, όταν η τιµή της

συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση µε 12 µονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστηµα

που το φάρµακο δρα αποτελεσµατικά. (Μονάδες 10)


ΖΗΤΗΜΑ 1ο Α1. Η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο

( )0 ox , f (x )Α είναι η 0 0 0y f (x ) f (x )(x x )′− = −

Α2. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 217.

Β1. α Λ, β Λ, γ Σ

Β2. α 3, β 1, γ 5, δ 2

ΖΗΤΗΜΑ 2ο

α) 12(9 5i) i 18 10i i 18 9i 9 2 i (2 i)(3 i)w f (9 5i) 39 5i 2i 9 3i 9 3i 3 3 i (3 i)(3 i)

− + − + − − − −= − = = = = = =+ − + + + + −

(6 1) i( 2 3) 3 15 33 (5 5i) (1 i) (1 i)9 1 10 10 2

− + − − = − = − = −+

9 9 18 3 24 4 4 2

ρ = + = =

13 3 2 222 2 213 3 2 222 2 2

= συνθ= συνθ = συνθ α = ρ ⋅συνθ ⇒ ⇒ ⇒ β = ρ ⋅ηµθ −− = ηµθ= ηµθ − = ηµθ

4πθ = −

13 2w i

2 4 4π π = συν − + ηµ −

( )( ) ( )( )( ) ( )

2004 2004 2004

2 12 2 2 3 2w f (9 5i) w i

3 3 3 2 4 4

2004 2004i 501 i 5014 4

2 250 1 i 2 250 1

2 250 i 2 250 i 1

π π = ⋅ − = = ⋅ συν − + ηµ − = − π − π= συν + ηµ = συν π− ηµ =

= συν ⋅ + π + ηµ ⋅ + π =

= συν π⋅ + π + ηµ π⋅ + π = συνπ+ ηµπ = −

β. 13 2w

2= ρ =

3 2 0 1 02 20 13 3 20

2

Μ = ⇔Μ = − −

. Σωστή απάντηση η Β.

γ. Ο πίνακας που αντιστοιχεί στο γραµµικό µετασχηµατισµό στροφής µε κέντρο την

αρχή των αξόνων Ο και γωνία 2πθ = είναι

0 11 0

− Κ =

ΜΧ = Κ (1)

1 00 1 Μ = −

1 0

1 0.0 1

Μ = = − ≠−

Άρα ο πίνακας Μ είναι αντιστρέψιµος.

1 1 0 1 01 .0 1 0 11

− − Μ = = −−

Η (1) γίνεται 1 1 1− − −Μ ⋅ΜΧ = Μ Κ ⇔ Χ = Μ Κ

1 0 0 1 0 1

.0 1 1 0 1 0

− − Χ = ⋅ ⇔ Χ = − −

ΖΗΤΗΜΑ 3ο α) Παίρνουµε τη συνάρτηση h(x) f (x) 3.= − Η h είναι συνεχής στο [0,1] ως

διαφορά συνεχών και ισχύει:

h(0) f (0) 3 2 3 1

h(0) h(1) 0.h(1) f (1) 3 4 3 1

= − = − = − ⇒ ⋅ <= − = − =

Άρα ισχύει το θεώρηµα του Bolzano και υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x (0,1)∈

τέτοιο, ώστε 0 0 0h(x ) 0 f (x ) 3 0 f (x ) 3.= ⇔ − = ⇔ =

Παίρνουµε ( )h (x) f (x) 3 f (x) 0 h (x) 0′′ ′ ′= − = > ⇒ > για κάθε x (0,1).∈

Άρα η y 3= τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ’ ένα ακριβώς σηµείο.

β) 0 1

15

25

35

45

επειδή η f (x) 0′ > για κάθε x (0,1)∈ έχουµε f γνησίως αύξουσα στο (0,1) .

( ) ( ) ( ) ( )31 2 4f (0) f f f f f (1)5 5 5 5< < < < <

( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1f (0) f f (1)52f (0) f f (1)5 31 2 44f (0) f f f f 4f (1)5 5 5 53f (0) f f (1)54f (0) f f (1)5

⊕

< << < ⇒ < + + + < ⇒

< < < <

( ) ( ) ( ) ( )31 2 4f f f f5 5 5 5f (0) f (1)

4

+ + +< <

Άρα από το θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών υπάρχει ένα τουλάχιστον 1x (0,1)∈

τέτοιο, ώστε:

( ) ( ) ( ) ( )

1

31 2 4f f f f5 5 5 5f (x )4

+ + +=

γ) Επειδή η f είναι συνεχής στο [0,1] και παραγωγίσιµη στο (0,1) ισχύει το

θεώρηµα της µέσης τιµής άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον 2x (0,1)∈ τέτοιο ώστε

2 2f (1) f (0)f (x ) f (x ) 4 2 21 0−′ ′= ⇔ = − =−

Άρα η εφαπτοµένη της fC στο σηµείο ( )2 2M x , f (x ) είναι παράλληλη προς την

: y 2x 2000ε = + διότι έχουν ίδιο συντελεστή διευθύνσεως.

ΖΗΤΗΜΑ 4ο

α) max 2 2

22 2

2

2 2

6 2f (t) 15 f (6) 15 15 56 61 1

6 362 5 5 2 5 5 2 5 5 36

2 5 180 (1)

α α= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + + β β

⇔ α = + ⇔ α = + ⇔ αβ = β + ⋅ ⇔ β β ⇔ αβ = β +

Η f παραγωγίσιµη για t 0>

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 4 2 2 22

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

t 2t t 2 t t1 tf (t)

t t t1 1

t( t ) ( t )

( t ) ( t ) ( t )

α α αα + − α α + − α − β β β β β ′ = = = = β ++ + β β β

αβ − ααβ − α β α β − ββ= = =

β + β β + β +β

2 2 2

2 22 2 2

6( 6 )f (6) 0 0 6 0 60( 6 )

β = ± α β − β′ = ⇔ = ⇔β − = ⇔ ⇒ β =β >β +

Η (1) για 6β = δίνει 2 36 5 36 180 2 10 5⋅α ⋅ = ⋅ + ⇔ α = ⇔ α =

β) Πρέπει 2 2 2

2

2 21 2

t 5t 5tf (t) 12 2 12 12t 36 tt 11 3666

12t 180t 12 36 0 t 15t 36 0 t 12, t 3.

α≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔+ ++

⇔ − + ⋅ ≤ ⇔ − + ≤ ⇒ = =

3 12+ − + t [3,12]∈

Θέµα 1ο Α. α) Πότε ένας γεωµετρικός µετασχηµατισµός ονοµάζεται γραµµικός;

Μονάδες 2,5 β) Αν Μ(x, y) σηµείο επιπέδου, u (α, β) δεδοµένο διάνυσµα και Μ΄(x΄, y΄) η εικόνα του Μ στην παράλληλη µεταφορά κατά το διάνυσµα u , να βρείτε τα x΄, y΄ συναρτήσει των συντεταγµένων του σηµείου Μ και του διανύσµατος u .

Μονάδες 5 γ) Είναι η παράλληλη µεταφορά γραµµικός µετασχηµατισµός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Μονάδες 5 Β1. Να γράψετε στο τετράδιό σας το µετασχηµατισµό της στήλης Ι και δίπλα τον αριθµό της στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στον πίνακα του µετασχηµατισµού.

Στήλη Ι Στήλη ΙΙ Τ1: «συµµετρία ως προς τον άξονα x΄x» 1.

− 11

11

Τ2: «στροφή κατά γωνία π/2» 2.

−0110

3.

−1001

Μονάδες 3 Β2. Θεωρούµε τον γραµµικό µετασχηµατισµό Τ µε πίνακα Α = Α1Α2 – Α2Α1, όπου Α1, Α2 οι πίνακες των µετασχηµατισµών Τ1, Τ2 αντιστοίχως, του ερωτήµατος Β1. α) Να δείξετε ότι ο Τ είναι κανονικός µετασχηµατισµός.

Μονάδες 4,5 β) Να βρείτε την εικόνα της ευθείας ε: 2x – y + 5 = 0 µέσω του µετασχηµατισµού Τ.

Μονάδες 5 Θέµα 2ο

Α. ∆ίνεται ο µιγαδικός αριθµός 3i 2i 5 z

++= .

α) Να γράψετε τον z στη µορφή α + βi, α, β∈ R. Μονάδες 4

β) Να γράψετε τον z στην τριγωνοµετρική του µορφή. Μονάδες 5

Στις ερωτήσεις γ), δ) να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό του θέµατος και της κάθε ερώτησης και δίπλα να σηµειώσετε το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. γ) Αν θ = Argz, τότε ο µιγαδικός αριθµός iz έχει όρισµα:

Α. θ - 4π Β. θ

2π + Γ.

2π - θ ∆. π + θ

Μονάδες 3 δ) Το z4 είναι ίσο µε: Α. 4 Β. 4i Γ. –4i ∆. –4

Μονάδες 3

Β. Να βρεθούν τα σηµεία του επιπέδου, που είναι εικόνες των µιγαδικών z, για του οποίους ισχύει: 1. i - z1 - z =

Μονάδες 10 Θέµα 3ο

∆ίνεται η συνάρτηση f µε: ( )

≥++++

<<+=

5 x ,1)e 2(α e) 5 - xln(β α

5 x 0 , 16 8x - x f(x)

x- 522

2

Α. Να βρεθούν τα, f(x)lim- 5x→

, f(x)lim 5x +→

.

Μονάδες 6 Β. Να βρεθούν τα α, β ∈ R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο x0 = 5.

Μονάδες 10 Γ. Για τις τιµές των α, β του ερωτήµατος Β να βρείτε το f(x)lim

x +∞→.

Μονάδες 9

Θέµα 4ο Φάρµακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά. Έστω f(t) η συνάρτηση που περιγράφει τη συγκέντρωση του φαρµάκου στον οργανισµό του ασθενούς µετά από χρόνο t από τη χορήγησή του, όπου ≥t 0. Αν ο ρυθµός

µεταβολής της f(t) είναι 2 - 1 t

8+

α) Να βρείτε τη συνάρτηση f(t). Μονάδες 6

β) Σε ποια χρονική στιγµή t, µετά τη χορήγηση του φαρµάκου, η συγκέντρωσή του στον οργανισµό γίνεται µέγιστη;

Μονάδες 6 γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγµή t = 8 υπάρχει ακόµα επίδραση του φαρµάκου στον οργανισµό, ενώ πριν τη χρονική στιγµή t =10 η επίδρασή του στον οργανισµό έχει µηδενιστεί. (∆ίνεται 2,4 ln ≅ )

Μονάδες 13

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα 1ο Α. α) Θεωρία σελίδα 62 σχολικού βιβλίου.

β) Είναι β y yα x x

βα

yx

yx

u OM OM+=′+=′

⇒

+

=

′′

⇒+=′→→

γ) Όχι διότι

βα

+

=

′′

yx

1001

yx

που από τον ορισµό όπως στο α) δεν είναι γραµµικός µετασχηµατισµός.

Β1. Τ1 → 3 Τ2 → 2

Β2. α) Τ = Α1Α2 – Α2Α1,

−

=10

01 A1 ,

−=

0110

A2

=

−

−

−

−

= 10

01

0110

- 0110

10

01 T

=

=

02-2-0

0110

- 01-1-0

Ο γραµµικός µετασχηµατισµός Τ είναι κανονικός διότι 0 4- 0220

T ≠=−

−= .

β) ⇔

=

′′

⇔

−

−=

′′

2y-

-2x

yx

yx

0220

yx

(1)

2y- x

2x- y

2x- y2y- x

′=

′=

⇔

=′=′

⇔

Η 2x – y + 5 = 0 λόγω των (1) γίνεται: 0. 10 x y2- 0 5 2x y- =+′+′⇔=+′

+′ Άρα η εικόνα της 2x – y + 5 = 0

είναι η –2y + x + 10 = 0. Θέµα 2ο

Α. α) i - 1 1313i - 13

i3 - 23i - 2i 15i - 10

3i) - (2)i32(3i) - i)(2 (5

3i 2i 5 z 222

2==+==

++=

++= .

Άρα z = 1 – i .

β) Είναι .2 (-1) 1 z 22 =+= Οπότε =

µ=

=

=

4πiη -

4πσυν2 i

22 -

222 i

21 -

212 z

µ+

=

4π-iη

4π-συν2 είναι τριγωνοµετρική µορφή του z.

γ) → Β δ) → ∆

Β. 1ος τρόπος: ⇔=⇔=⇔= i - z 1 - z 1 i - z1 - z

1 i - z1 - z (θέτουµε z = x + yi, x, y ∈ R και ψάχνουµε να βρούµε πού

ανήκουν οι εικόνες Μ(x, y) των µιγαδικών z) ⇔+=+⇔+=+⇔ 1) -(y x y 1) -(x 1)i -(y x yi 1 -x 222222

x.y 1 2y - y x y 1 2x - x 2222 =⇔++=++⇔ Άρα οι εικόνες Μ των µιγαδικών z ανήκουν στη διχοτόµο της 1ης – 3ης γωνίας των αξόνων. Πρέπει .i z 0 i - z ≠⇔≠ Η εικόνα του i, δηλαδή το (0, 1) όµως δεν ανήκει στην y = x. Και επειδή από τις ισοδυναµίες ισχύει και το αντίστροφο, ο γεωµετρικός τόπος είναι όλη η ευθεία y = x. 2ος τρόπος: Η εξίσωση i - z 1 - z = παριστάνει την µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος µε άκρα τις εικόνες των µιγαδικών z1 = 1, z2 = i δηλαδή τη µεσοκάθετο του τµήµατος µε άκρα Α(1, 0), Β(0, 1). Επειδή αυτά είναι συµµετρικά ως προς τη διχοτόµο 1ης – 3ης γωνίας των αξόνων (δηλαδή την y = x) εκεί ανήκουν οι εικόνες των µιγαδικών z. Θέµα 3ο Α. 1 16 58 - 5 16) 8x - (xlim f(x)lim 22

5x5x - - =+⋅=+=

→→

[ ]=++++=++ →→

1)e 2(α e) 5 -)ln(x β (αlim f(x)lim x- 522

5x5x

[ ] 2 2α β α 1)e 2(α )lneβ (α 22022 +++=+++= . Β. Επίσης είναι f(5) = (α2 + β2)ln(5 – 5 + e) + 2(α + 1)e5-5 = α2 + β2 + 2α + 2 Για να είναι η f συνεχής στο x0 = 5 πρέπει να ισχύει

⇔==+→→

f(5) f(x)lim f(x)lim - 5x5x

⇔=+++⇔+++= 0 β 1 2α α 2 2α β α 1 2222

=

=⇔

=

=+⇔=++⇔

0 βκαι

1- α

0 βκαι

0 1 α 0 β 1) (α 22 αφού (α + 1)2 ≥ 0 και β2 ≥ 0.

Γ. Για α = -1, β = 0 ο τύπος της f(x) γίνεται

≥+<<+=

5 x αν e) 5 -ln(x 5 x 0 αν 16 8x - x f(x)

2

Για x → + ∞ είναι f(x) = ln(x – 5 + e). Άρα ∞+=+=+∞→+∞→

e)] 5 -[ln(x lim f(x)limxx

επειδή ∞+=++∞→

e) 5 - x(limx

.

Θέµα 4ο

Είναι 0 t 2, - 1 t

8 (t)f ≥+

=′ .

α) Η συνάρτηση f είναι η αρχική συνάρτηση της 2 - 1 t

8 (t)f+

=′ , άρα f(t) =8ln(t + 1) – 2t + c.

Τη χρονική στιγµή t = 0 δεν υπάρχει φάρµακο στο σώµα του ασθενούς δηλαδή 0. c 0 c 02 - 8ln1 0 f(0) =⇔=+⋅⇔= Άρα ). [0, t2t, - 1) 8ln(t f(t) ∞+∈+=

β) Για να βρούµε τη χρονική στιγµή t κατά την οποία η συγκέντρωση του φαρµάκου γίνεται µέγιστη, αρκεί να

βρούµε την τιµή του t για την οποία η f παίρνει τη µέγιστη τιµή της. Είναι .1 t 2t - 6

1 t1) 2(t - 8 2 -

1 t 8 (t)f

+=

++=

+=′

Λύνουµε την 3. t 0 2t - 6 0 (t)f01t

=⇔=⇔=′>+


<⇔>⇔>′>+


>⇔<⇔<′>+

Φτιάχνουµε τον πίνακα µεταβολών. Άρα τη χρονική στιγµή t = 3 χρονικές µονάδες η συκέντρωση είναι µέγιστη. γ) Η επίδραση στον οργανισµό τη χρονική στιγµή t = 8 είναι f(8) = 8ln9 - 2 ⋅8 = 8ln32 – 16 = 16ln3 – 16 = 16(ln3 – 1) > 0 , διότι 0. 1 - ln3 1 ln3 lne ln3 e 3 >⇔>⇔>⇔> Η επίδραση στον οργανισµό τη χρονική στιγµή t = 10 είναι f(10) = 8ln11 - 2 ⋅10 ≅ 8 ⋅2,4 – 20 = 19,2 – 20 < 0. Άρα λίγο πριν τη χρονική στιγµή t = 10 η συγκέντρωση µηδενίζεται.

0

0 3 + ∞ + -

t

f ΄(t) f(t)