Ηλίας Σκαρδανάς - users.sch.grusers.sch.gr/elscardan/Usefully/mt.pdf ·...

Ηλίας Σκαρδανάς Μαθηματικός

Τυπολόγιο Μαθηματικών. Ηλίας Σκαρδανάς

3

1 Σταθερές

1.1 3,141592653589793238462643π = K

1.2 e 2,718281828459045235360287= K 1lim 1ν

ν→∞

= + ν

1.3 e 23,14069 2632779269006π = K 1.4

e 22, 45915771836104547342715π = K 1.5

ee 15,15426 2241479264190= K 1.6 2 1.4142135623730950488= K 1.7 3 1.7320508075688772935= K 1.8 5 2, 2360679774997896964= K 1.9 e 1,6487212707001281468= K 1.10 1,772453860905516027298167π = K 1.11 log 2 0,3010299956639811952137389= K 1.12 log 3 0, 4771212547196624372950279= K 1.13 log e 0, 43429448190325182765= K 1.14 log 0, 4971498726941338543512683π = K 1.15 ln 2 0,693147180559945309417232= K 1.16 ln 3 1,098612288668109691395245= K 1.17 ln10 2,302585092994045684017991= K 1.18 ln 1,144729886π = K

1.19 0,577215664901532860606512γ = K 1 1 1lim 1 ln2 3ν→∞

+ + + + − ν ν L (Euler)

1.20 g 9,81; Επιτάχυνση της βαρύτητας.

2 Μαθηματική Λογική.

2.1 Πίνακες Αλήθειας.

p q p p q∧ p q∨ p q∨ p q⇒ p q⇔ Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α Α ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Ψ ψ Α Α Ψ Α Α Α Ψ ψ ψ Α Ψ ψ ψ Α Α

2.2 Ιδιότητες

2.2.1 p p=

2.2.2 ( ) ( )p q q p⇒ ⇔ ⇒ . Αντιθετοαντιστροφή.

Ηλίας Σκαρδανάς. Τυπολόγιο Μαθηματικών.

4

3 Σύνολα.

3.1 [ ]x xορσ

Α ⊆ Β ⇔ ∈ Α ⇒ ∈Β

3.2 ( ) [ ]x x x x x xορσ

Α ⊂ Β ⇔ ∈ Α ⇒ ∈Β ∧ ∃ ∈Β∴ ∉ Α ⇔ Α ⊆ Β ∧ ∃ ∈Β∴ ∉ Α

3.3 ορσ

Α ⊇ Β ⇔ Β ⊆ Α

3.4 ( ) ( )ορσ

Α = Β⇔ Α ⊆ Β ∧ Β ⊆ Α

3.5 : x x xορσ

Α ∩ Β = ∴ ∈ Α ∧ ∈Β

3.6 : x x xορσ

Α ∪ Β = ∴ ∈ Α ∨ ∈Β

3.7 : x x xορσ

Α¬Β = ∴ ∈ Α ∧ ∉Β

3.8 c : x U x U Aορσ

Α = ∈ ∴ ∉Β = ¬

3.9 ( ) ( ):ορσ

Α + Β = Α¬Β ∪ Β¬Α&

3.10 , UΑ ∩∅ = ∅ ∀Α ⊆ 3.11 A A, UΑ ∩ = ∀Α ⊆ 3.12 U A, UΑ ∩ = ∀Α ⊆ 3.13 A B B A, A U B U∩ = ∩ ∀ ⊆ ∧ ∀ ⊆ 3.14 ( ) ( )A B A B , A U B U U∩ ∩ Γ = ∩ ∩ Γ ∀ ⊆ ∧ ∀ ⊆ ∧ ∀Γ ⊆ 3.15 A, UΑ ∪∅ = ∀Α ⊆ 3.16 A A, UΑ ∪ = ∀Α ⊆ 3.17 U U, UΑ ∪ = ∀Α ⊆ 3.18 A B B A, A U B U∪ = ∪ ∀ ⊆ ∧ ∀ ⊆ 3.19 ( ) ( )A B A B , A U B U U∪ ∪ Γ = ∪ ∪ Γ ∀ ⊆ ∧ ∀ ⊆ ∧ ∀Γ ⊆

3.20 ( ) ( ) ( )A B A B , A U B U U∪ ∩ Γ = ∪ ∩ Α ∪ Γ ∀ ⊆ ∧ ∀ ⊆ ∧ ∀Γ ⊆

3.21 ( ) ( ) ( )A B A B , A U B U U∩ ∪ Γ = ∩ ∪ Α ∩ Γ ∀ ⊆ ∧ ∀ ⊆ ∧ ∀Γ ⊆

4 Συμβολισμοί

4.1 ( )

i i 1 2 3i 1 i 1 1

x x : x x x xν

νορσ= = ν

= = + + + +∑ ∑ L

4.2 i i ii 1 i 1 i

x x xν κ ν

= = =κ

= +∑ ∑ ∑ , 1 < κ < ν

4.3 i ii 1 i 1

x xν ν

= =

λ = λ ⋅∑ ∑

4.4 ( )i i i ii 1 i 1 i 1

x y x yν ν ν

= = =

+ = +∑ ∑ ∑

4.5 i 1

x xν

=

= ν ⋅∑


5

4.6 ij iji 1 j 1 i 1 j 1

x : xµ µν ν

ορσ= = = =

=

∑∑ ∑ ∑

4.7 ij iji 1 j 1 j 1 i 1

x xµ µν ν

= = = =

=∑∑ ∑∑

5 Διωνυμικοί Συντελεστές

5.1 Ορισμοί

5.1.1 *! : 1 2 3 ,ορσ

ν = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ν ∀ν ∈L ¥

5.1.2 0!: 1ορσ=

5.1.3 ( )

!:! !ορσ

ν ν= κ κ ν − κ

5.2 Ιδιότητες , ,µ ν κ∈¥

5.2.1 ν ν

= κ ν − κ

5.2.2 1

1 1ν ν ν +

+ = κ κ + κ +

5.2.3 20 1 2 3

νν ν ν ν ν + + + + + = ν

L ή 0

2ν

ν

κ=

ν = κ

∑

5.2.4 ( )1 00 1 2 3

νν ν ν ν ν − + − + + − = ν

L ή ( )0

1 0ν

κ

κ=

ν − = κ

∑

5.2.5 1220 2 4 6

2

ν−

ν ν ν ν ν + + + + + =ν

L , όπου 2ν

το ακέραιο μέρος του

2ν .

ή 2

1

02

2

ν

ν−

κ=

ν = κ

∑

5.2.6 121 3 5 7

ν−ν ν ν ν ν + + + + + = κ

L , όπου : ό

1 :άν αν ν περιττ ς

κ = ν − αν ν ρτιος

5.2.7 2 2 2 2 2 2

0 1 2 3ν ν ν ν ν ν

+ + + + + = ν ν L ή

2

0

2ν

κ=

ν ν = κ ν

∑

5.2.8 0 1 1 2 2 0µ ν µ ν µ ν µ ν µ + ν

+ + + + = κ κ − κ − κ κ K ή

0

ν

λ=

µ ν µ + ν = λ κ − λ κ

∑


6

6 Άλγεβρα

6.1 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

6.1.1 ( )2 2 22α + β = α + αβ + β .

6.1.2 ( )2 2 22α −β = α − αβ + β .

6.1.3 ( )3 3 2 2 33 3α + β = α + α β + αβ + β .

6.1.4 ( ) ( )3 3 3 3α + β = α + β + αβ α + β .

6.1.5 ( )3 3 2 2 33 3α −β = α − α β + αβ −β .

6.1.6 ( ) ( )3 3 3 3α −β = α −β − αβ α −β .

6.1.7 ( )2 2 2 2 2 2 2α + β + γ = α + β + γ + αβ + βγ + γα .

6.1.8 ( ) ( )( )( )3 3 3 3 3α + β + γ = α + β + γ + α + β β + γ γ + α .

6.1.9 ( )( ) 2 2α + β α −β = α −β .

6.1.10 ( ) ( ) ( )2x x x x− α −β = − α + β + αβ .

6.1.11 ( )( )1 2 3 2 2 1ν ν ν− ν− ν− ν− ν−α − β = α −β α + α β + α β + + αβ + βL , ∀ν ∈¥ .

6.1.12 ( )( )1 2 3 2 2 1ν ν ν− ν− ν− ν− ν−α + β = α + β α − α β + α β − − αβ + βL , ό∀ν ∈ ∴ν περιττ ς¥

6.1.13 ( )( )3 3 3 2 2 23α + β + γ − αβγ = α + β + γ α + β + γ − αβ −βγ − γα .

6.1.14 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3 3 132

α + β + γ − αβγ = α + β + γ α −β + β − γ + γ − α . Ταυτότητα Euler.

6.1.15 ( )0

νν ν−κ κ

κ=

ν α + β = α β κ

∑ .

6.1.16 ( ) ( )0

1ν

ν κ ν−κ κ

κ=

ν α −β = − α β κ

∑ . Διωνυμικός τύπος του Νεύτωνα.

6.2 Χρήσιμες Ανισότητες.

6.2.1 2x 0, x≥ ∀ ∈¡ .

6.2.2 2 2 2 , ,α + β ≥ ± αβ ∀α β∈¡ .

6.2.3 2 2 , ,α + β ≥ ±αβ ∀α β∈¡ .

6.2.4 2 2 2 , , ,α + β + γ ≥ αβ + βγ + γα ∀α β γ ∈¡

6.2.5 ( )1 1 , 1ν+ α ≥ + να α > − ∀ν ∈¡ . Ανισότητα Bernoulli.


7

6.3 Απόλυτη τιμή.

6.3.1 x x 0

x :x x 0ορσ

αν ≥= − αν <

.

6.3.2 0,α ≥ ∀α ∈¡ .

6.3.3 22 2 ,α = α = α ∀α ∈¡ .

6.3.4 ,− α ≤ α ≤ α ∀α ∈¡ .

6.3.5 x x= α ⇔ = ±α .

6.3.6 x x≤ ε ⇔ −ε ≤ ≤ ε .

6.3.7 ( )x 0 x ή x≥ α ≥ ⇔ ≥ α ≤ −α .

6.3.8 , ,α ⋅β = α ⋅ β ∀α β∈¡ .

6.3.9 *, ,αα

= ∀α ∈ ∀β∈β β

¡ ¡ .

6.3.10 , ,α − β ≤ α ± β ≤ α + β ∀α β∈¡ .

6.4 Τριώνυμο Δευτέρου Βαθμού. ( ) 2x x x , 0π = α + β + γ α ≠

6.4.1 2 4∆ = β − αγ . Διακρίνουσα.

6.4.2 ( )( ) ( )( )

0 x έ έ ί .0 x έ ί ή ί ή .0 x έ ύ έ ί ά .

∆ < ⇔ Το π δεν χει πραγµατικ ς ρ ζες∆ = ⇔ Το π χει µ α πραγµατικ ρ ζα διπλ∆ > ⇔ Το π χει δ ο πραγµατικ ς ρ ζες νισες

6.4.3 2

1,24

2 2−β ± β − αγ −β ± ∆

ρ = =α α

, αν βέβαια 0∆ ≥ .

6.4.4 ( ) ( ) ( )1 2x x xπ = α − ρ − ρ .

6.4.5 1 2S β= ρ + ρ = −

α .

6.4.6 1 2P γ= ρ ⋅ρ =

α .

6.4.7 ( ) 2x x Sx Pπ = − + .

6.4.8 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

0 x 0, x .0 x 0, x , 00 x 0, x , , . x 0, x ,

∆ < ⇔ α ⋅π > ∀ ∈∆ = ⇔ α ⋅π > ∀ ∈ ¬ ρ π ρ =∆ > ⇔ α ⋅ π > ∀ ∈ −∞ ρ ∪ ρ +∞ α ⋅ π < ∀ ∈ ρ ρ

¡¡ .


8

7 Ειδικοί Κλάδοι.

7.1 Αριθμητική Πρόοδος. 7.1.1 1 , 1,2,3,ν+ να = α + ω ν = K

7.1.2 ( )1 1 , 1, 2,3,να = α + ν − ⋅ω ν = K

7.1.3 ( )112 1

2 2ν

ν

α + α νΣ = ⋅ν = ⋅ α + ν − ⋅ω .

7.1.4 α,β,γ διαδοχικοί όροι α.π. 2⇔ β = α + γ .

7.2 Γεωμετρική Πρόοδος 7.2.1 1 , 1,2,3,ν+ να = α ⋅λ ν = K

7.2.2 11 , 1,2,3,ν−

να = α ⋅λ ν = K

7.2.3

( )11

1

11

1 1

1

ν

ν

ν

α λ −α λ − α = αν λ ≠ λ − λ −Σ =

ν ⋅α αν λ =

.

7.2.4 Αν 1λ < τότε 1

1∞

αΣ =

− λ .

7.2.5 α,β,γ διαδοχικοί όροι γ.π. 2⇔ β = α ⋅ γ .

7.3 Αρμονική Πρόοδος.

7.3.1 1

1 1ν+ ν

= + ωα α

.

7.3.2 α,β,γ διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου 2αγ⇔ β =

α + γ .

7.4 Λογάριθμοι.

7.4.1 ( )log x y log x log y, x 0, y 0α α α⋅ = + ∀ > ∀ > .

7.4.2 xlog log x log y, x 0, y 0yα α α

= − ∀ > ∀ >

.

7.4.3 ( )log x log x , x 0,να α= ν ⋅ ∀ > ∀ν ∈¥ .

7.4.4 10log x log x= .

7.4.5 eln x log x= .

7.4.6 log x

log xlog

βα

β

=α

.


9

7.5 Συνδυαστική. 7.5.1 Μεταθέσεις των ν στοιχείων: !νΜ = ν .

7.5.2 Διατάξεις των μ στοιχείων σε ν θέσεις: ( )

!!

µν

µ∆ =

µ − ν .

7.5.3 Διατάξεις των μ στοιχείων σε ν θέσεις με επανάληψη: µ ννΕ = µ .

7.5.4 Συνδυασμοί των μ στοιχείων ανά ν. ( )

!! !

µ µ= ν ν µ − ν

.

7.6 Στατιστική.

7.6.1 ii 1

κ

=

ν = ν∑ ν: μέγεθος, νi: συχνότητες.

7.6.2 iif , 1, 2, ,ν= ν = κ

νL fi: σχετικές συχνότητες.

7.6.3 1 2i

i 1

x x x 1x : xν

ν

ορσ =

+ + += =

ν ν ∑L Μέση τιμή.

7.6.4 i i i ii 1 i 1

1x x f xκ κ

= =

= ν =ν ∑ ∑

7.6.5 t

t t 1

x 2t 1: x x 2t

2+ορσ

αν ν = −Μ = +

αν ν =

Διάμεσος.

7.6.6 i i i ii 1 i 1

1r : x x f x xκ κ

ορσ = =

= ν − = −ν ∑ ∑ Μέση απόλυτη απόκλιση.

7.6.7 ( )22i

i 1

1S : x xν

ορσ =

= −ν ∑ Διακύμανση (μέση τετραγωνική απόκλιση).

7.6.8 ( )22 2 2i i i i

i 1 i 1

1 1S : x x x xκ κ

ορσ = =

= ν − = ν −ν ν∑ ∑

7.6.9 2i i

i 1

1S x xκ

=

= ν −ν ∑ Τυπική απόκλιση.


10

7.7 Πιθανότητες. Ω: Δειγματικός χώρος 7.7.1

ορσω∈Ω ⇔ ω: απλό ή στοιχειώδες ενδεχόμενο.

7.7.2 0 p( ) 1≤ ω ≤ Πιθανότητα του στοιχειώδους ενδεχομένου.

7.7.3 1 2, , , κΑ = ω ω ω ⊆ ΩK Ενδεχόμενο Α.

7.7.4 ( ) ( ) ( )1 2p(A) : p p p κορσ= ω + ω + + ωL Πιθανότητα ενδεχομένου Α ⊆ Ω .

7.7.5 p( ) 0∅ = Αδύνατο ενδεχόμενο.

7.7.6 ( )ii 1

p( ) p 1ν

=

Ω = ω =∑ Βέβαιο γεγονός. ν: ο πληθάριθμος του Ω.

7.7.7 Αν ( ) ( ) ( )1 2p p p νω = ω = = ωL Ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα.

7.7.8 Αν i , i 1,2, ,ω = νL ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα τότε ( ) ( )( )

N Ap A

N=

Ω .

7.7.9 ( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B∪ = + − ∩

7.7.10 ( )A B p A B 0∩ = ∅ ⇒ ∩ = Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα.

7.7.11 ( ) ( )cp A 1 p A= −

7.7.12 ( ) ( ) ( )cp A B p A p A B∩ = − ∩

8 Τριγωνομετρία

8.1 Τριγωνομετρικός κύκλος.

8.1.1 Ορισμοί:

:

:

::

ηµω = ΟΡ

συν ω = ΟΠ

εϕω = ΑΣ

σϕω = ΒΤ

8.1.2 grrad

rad gr180 200

ο

ο

βαµ= =

π

8.1.3 Πρόσημα τριγωνομετρικών αριθμών:

Τεταρτημόριο 1ο 2ο 3ο 4ο Ημίτονο + ↑ + ↓ − ↓ − ↑

Συνημίτονο + ↓ − ↓ − ↑ + ↑ Εφαπτομένη + ↑ − ↑ + ↑ − ↑

Συνεφαπτομένη + ↓ − ↓ + ↓ − ↓

ω

σφ( )

εφ( )ημ( )

συν( )

Ρ

Π

Σ

ΤΒ

ΟΑ

Μ


11

8.2 Βασικά τόξα.

x (ακτίνια) 0

6π

4π

3π

2π π

32π 2π

x (μοίρες) 0ο 30ο 45ο 60ο 90ο 180ο 270ο 360ο

xηµ 0 12

22

32

1 0 1− 1

xσυν 1 32

22

12

0 1− 0 1

xεϕ 0 33

1 3 ∞ 0 ∞ 0

xσϕ ∞ 3 1 33

0 ∞ 0 ∞

Βλέπε πίνακα στο τέλος του τυπολογίου.

8.3 Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο

8.4 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες.

8.4.1 2 2x 1ηµ συν+ =

8.4.2 xxx

ηµεϕ

συν= .

8.4.3 xxx

συνσϕ

ηµ= .

8.4.4 x x 1εϕ σϕ⋅ =

8.5 Άθροισμα ή διαφορά τόξων.

8.5.1 ( )ηµ α + β = ηµ α ⋅συνβ + συν α ⋅ηµβ

8.5.2 ( )ηµ α −β = ηµα ⋅συνβ − συν α ⋅ηµβ

8.5.3 ( )συν α + β = συν α ⋅συνβ − ηµ α ⋅ηµβ

8.5.4 ( )συν α −β = συν α ⋅συνβ + ηµ α ⋅ηµβ

x θ− 2π

θ− 2π

θ+ π θ− π θ+ 32π

θ+ 2π θ+

xηµ ηµ θ− συν θ συν θ ηµ θ ηµ θ− συν θ− ηµ θ xσυν συν θ ηµ θ ηµ θ− συν θ− συν θ− ηµ θ συν θ

xεϕ εϕθ− σϕθ σϕθ− εϕθ− εϕθ σϕθ− εϕθ xσϕ σϕθ− εϕθ εϕθ− σϕθ− σϕθ εϕθ− σϕθ


12

8.5.5 ( )1εϕα + εϕβ

εϕ α + β =− εϕα ⋅εϕβ

8.5.6 ( )1εϕα − εϕβ

εϕ α −β =+ εϕα ⋅εϕβ

8.5.7 ( ) 1σϕα ⋅σϕβ −σϕ α + β =

σϕα + σϕβ

8.5.8 ( ) 1σϕα ⋅σϕβ +σϕ α −β =

σϕα − σϕβ

8.6 Πολλαπλασίου τόξου. 8.6.1 2 2ηµ α = ⋅ηµα ⋅συν α

8.6.2 2 2 2 22 1 2 2 1συν α = συν α − ηµ α = − ηµ α = συν α −

8.6.3 222

1⋅ εϕα

εϕ α =− εϕ α

8.6.4 2 12

2σϕ α −

σϕ α =⋅σϕα

8.6.5 33 3 4ηµ α = ⋅ηµα − ⋅ηµ α

8.6.6 33 4 3συν α = ⋅συν α − ⋅συν α

8.6.7 3

233

1 3⋅ εϕα − εϕ α

εϕ α =− ⋅εϕ α

8.6.8 3

233

3 1σϕ α − ⋅σϕα

σϕ α =⋅σϕ α −

8.7 Εκφράσεις με βάση το συνημίτονο του διπλάσιου τόξου.

8.7.1 1 22

− συν αηµα = ±

8.7.2 1 22

+ συν ασυν α = ±

8.7.3 1 21 2

− συν αεϕα = ±

+ συν α

8.7.4 1 21 2

+ συν ασϕα = ±

− συν α

8.8 Εκφράσεις με βάση την εφαπτομένη του τόξου.

8.8.1 2

21εϕ α

ηµα = ±+ εϕ α

8.8.2 2

211

− εϕ ασυν α = ±

+ εϕ α


13

8.8.3 222

1⋅ εϕα

ηµ α =+ εϕ α

8.8.4 2

2121

− εϕ ασυν α =

+ εϕ α

8.8.5 212

2− εϕ α

σϕ α =⋅εϕα

8.9 Μετασχηματισμοί

8.9.1 ( ) ( )12

ηµα ⋅συνβ = ηµ α + β + ηµ α −β

8.9.2 ( ) ( )12

συν α ⋅συνβ = συν α + β + συν α − β

8.9.3 ( ) ( )12

ηµα ⋅ηµβ = συν α −β − συν α + β

8.9.4 22 2

α + β α −βηµα + ηµβ = ⋅ηµ ⋅συν

8.9.5 22 2

α −β α + βηµα − ηµβ = ⋅ηµ ⋅συν

8.9.6 22 2

α + β α −βσυν α + συνβ = ⋅συν ⋅συν

8.9.7 22 2

α + β α −βσυν α − συνβ = ⋅ηµ ⋅ηµ

8.10 Ταυτότητες για στοιχεία τριγώνου. 8.10.1 εϕ Α + εϕΒ + εϕΓ = εϕ Α⋅εϕΒ⋅εϕΓ

8.10.2 42 2 2Α Β Γ

ηµ Α + ηµΒ + ηµΓ = ⋅συν ⋅συν ⋅συν

8.10.3 1 42 2 2Α Β Γ

συν Α + συν Β + συν Γ = + ⋅ηµ ⋅ηµ ⋅ηµ

8.10.4 2 2 2 4ηµ Α + ηµ Β + ηµ Γ = ⋅ηµ Α ⋅ηµΒ⋅ηµΓ 8.10.5 2 2 2 1 4συν Α + συν Β + συν Γ = − ⋅συν Α⋅συν Β⋅συν Γ

8.10.6 2 2 2 2 2 2Α Β Γ Α Β Γ

σϕ + σϕ + σϕ = σϕ ⋅σϕ ⋅σϕ

8.10.7 1σϕ Α ⋅σϕΒ + σϕΒ⋅σϕΓ + σϕΓ ⋅σϕ Α =

8.10.8 12 2 2 2 2 2Α Β Β Γ Γ Α

εϕ ⋅εϕ + εϕ ⋅εϕ + εϕ ⋅εϕ =

8.10.9 2Rα β γ= = =

ηµ Α ηµ Β ηµΓ Νόμος ημιτόνων.


14

8.10.10

2 2 2

2 2 2

2 2 2

222

α = β + γ − βγ ⋅συν Αβ = γ + α − γα ⋅συν Βγ = α + β − αβ⋅συν Γ

Νόμος συνημιτόνων.

8.11 Τριγωνομετρικές Εξισώσεις.

8.11.1 ( )x 2

xx 2 1

= κπ + αηµ = ηµα ⇔ = κ + π − α

, κ∈¢ .

8.11.2 x x 2 ,συν = συν α ⇔ = κπ ± α κ∈¢ . 8.11.3 x x ,εϕ = εϕα ⇔ = κπ + α κ∈¢ . 8.11.4 x x ,σϕ = σϕα ⇔ = κπ + α κ∈¢

9 Μιγαδικοί Αριθμοί.

9.1 Θεμελίωση.

9.1.1 Δεχόμαστε την ύπαρξη μη πραγματικού αριθμού 2i i 1∴ = − . Φανταστική Μονάδα.

9.1.2 : x i , xορσ

Ι = ⋅ ∀ ∈¡ . Σύνολο Φανταστικών Αριθμών.

9.1.3 : z x y i , x , yορσ= = + ⋅ ∈ ∈£ ¡ ¡ . Σύνολο Μιγαδικών Αριθμών.

9.1.4 ( )

( )

x : Re z ό έ zz z x yi

y : Im z ό έ z

= Πραγµατικ µ ρος του∈ ⇔ = + ⇔ και = Φανταστικ µ ρος του

£

9.1.5 Βασική Ισότητα. Αν 1 1 1

2 2 2

z x y iz x y i

= + ∈ = + ∈

££

τότε ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

x x Re z Re zz z

y y Im z Im zορσ

= = = ⇔ και ⇔ και = =

9.1.6 Συζυγής του z. Αν z z x yi∈ ⇔ = +£ τότε z x yi= − ∈£ .


15

9.2 Πράξεις Μιγαδικών Αριθμών.

9.2.1 Πρόσθεση στο £ : ( ) ( )1 1 11 2 1 2 1 2

2 2 2

z x y iz z x x y y i

z x y i= +

⇒ + = + + + = +

9.2.2 ( ) ( ) ( )1 2 1 2Re z z Re z Re z+ = + και ( ) ( ) ( )1 2 1 2Im z z Im z Im z+ = +

9.2.3 Ουδέτερο Στοιχείο (Μηδενικός): 0 0 0i= + 9.2.4 Συμμετρικό Στοιχείο (Αντίθετος): z x yi z x yi= + ⇔ − = − − ( )z z− − =

9.2.5 Αφαίρεση στο £ : ( ) ( )1 1 11 2 1 2 1 2

2 2 2

z x y iz z x x y y i

z x y i= +

⇒ − = − + − = +

9.2.6 ( ) ( ) ( )1 2 1 2Re z z Re z Re z− = − και ( ) ( ) ( )1 2 1 2Im z z Im z Im z− = −

9.2.7 Πολλαπλασιασμός στο £ : ( ) ( )1 1 11 2 1 2 1 2 1 2 2 1

2 2 2

z x y iz z x x y y x y x y i

z x y i= +

⇒ = − + + = +

9.2.8 Ουδέτερο Στοιχείο (Μοναδιαίος): 1 1 0i= +

9.2.9 Συμμετρικό Στοιχείο (Αντίστροφος): 12 2 2 2

x yz x yi 0 z ix y x y

−= + ≠ ⇔ = −+ +

9.2.10 Διαίρεση στο £ : 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1* 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

z x y i z x x y y x y x y iz x y i z x y x y

= + ∈ + −⇒ = + = + ∈ + +

££

9.2.11 Τετραγωνική Ρίζα μιγαδικού αριθμού z: 2w w z∈ ∴ =£ . Ο προσδιορισμός της ανάγεται σε λύση συστήματος 2x2.

9.3 Ιδιότητες Συζυγών Μιγαδικών.

9.3.1 ( )z z , z= ∀ ∈£

9.3.2 ( )z z 2 Re z , z+ = ∀ ∈£

9.3.3 ( )z z 2Im z i , z− = ⋅ ∀ ∈£

9.3.4 ( ) ( )2 2z z Re z Im z , z⋅ = + ∀ ∈£

9.3.5 1 2 1 2 1 2z z z z , z , z+ = + ∀ ∈£

9.3.6 1 2 1 2z z z z z z , z , 1,2, ,ν ν κ+ + + = + + + ∀ ∈ κ = νL L £ K

9.3.7 1 2 1 2 1 2z z z z , z , z− = − ∀ ∈£

9.3.8 1 2 1 2 1 2z z z z , z , z⋅ = ⋅ ∀ ∈£

9.3.9 1 2 1 2z z z z z z , z , 1,2, ,ν ν κ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∀ ∈ κ = νK K £ K

9.3.10 *1 11 2

2 2

z z , z , zz z

= ∀ ∈ ∀ ∈

£ £


16

9.4 Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού.

9.4.1 ( ) ( )2 2z : Re z Im z , z= + ∀ ∈£ .

9.4.2 z z z z= − = = −

9.4.3 2z z z , z= ⋅ ∀ ∈£ .

9.4.4 z 0 z 0= ⇔ =

9.4.5 2 2z z z= ⇔ ∈¡

9.4.6 2 2z z z I= − ⇔ ∈

9.4.7 1 2 1 2 1 2z z z z , z , z⋅ = ⋅ ∀ ∈£

9.4.8 1 *11 2

2 2

zz , z , zz z

= ∀ ∈ ∀ ∈£ £ .

9.4.9 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z , z , z− ≤ + ≤ + ∀ ∈£ .

9.4.10 ( )( ) ( )( )2 2 2 21 2 1 2

ό Lagrangeή

z z z zΤαυτ τητα τουΠροϕαν ς

⋅ = ⋅ ⇔ α + β γ + δ = αγ + βδ αδ −βγ144444442444444431442443

. 1

2

z iz i

= α + βΑν = γ + δ


17

9.5 Γεωμετρική παράσταση Μιγαδικού Αριθμού. (Μιγαδικό Επίπεδο) 9.5.1 z z x yi∈ ⇔ = +£ . Γεωμετρική εικόνα του z:

Τετμημένη: Πραγματικό μέρος. (Πραγματικός Άξων) Τεταγμένη: Φανταστικό Μέρος. (Φανταστικός Άξων) z = ρ

( ) ( )z x, y M OM ,↔ ↔ ↔ ↔ ρ ωuuuur

9.5.2 z z x yi∈ ⇔ = +£ . Συμμετρίες στο Μιγαδικό Επίπεδο. z ↔ Μ z N↔ z− ↔ Σ z− ↔ Λ

9.5.3 Εικόνες αθροίσματος και διαφοράς

1z M↔ 2z N↔ 1 2z z+ ↔ Σ 1 2z z− ↔ Τ 1 2z z OT MN− = =

uuur uuuur

ω

Im(z)

Re(z)

ρy

xO

Μ(z)

ω

Im(z)

Re(z)

ρ

-y

-x

Σ(-z) N(z)

Λ(-z) y

xO

Μ(z)

T(z1-z2)

Λ(-z2)

Σ(z1+z2)

y2

x2

y1

x1O

Μ(z1)

N(z2)


18

9.6 Τριγωνομετρική Μορφή Μιγαδικού Αριθμού. 9.6.1 Θεωρώντας την γωνία ω του σχήματος της §9.5.1 προσανατολισμένη κατά τη

θετική φορά (Αρχική πλευρά η Ox και τελική ο ΟΜ) έχουμε: ( )z i= ρ συν ω+ ηµ ω

9.6.2 Αν [ )0, 2ω∈ π τότε Arg(z) = ω αλλιώς arg(z) 2 Arg(z)= κπ + .

9.6.3 ( ) ( )z z arg z i arg z= συν + ⋅ηµ

9.6.4 ( ) ( )z iν ν= ρ συν νω + ηµ νω . Τύπος του de Moivre.

10 Ανάλυση

10.1 Όρια. Ορισμοί.

10.1.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )o

o ox xlim f x 0 0 f x , x x , x→ ορσ

= ⇔ ∀ε > ∃δ ≡ δ ε > ∴ ∈ − ε + ε ∀ ∈ − δ + δ l l l

10.1.2 ( ) ( ) ( ) ( )o

o ox xlim f x 0 M 0 f x x x , x→ ορσ

= +∞ ⇔ ∀Μ > ∃δ ≡ δ > ∴ > Μ ∀ ∈ − δ + δ

10.1.3 ( ) ( ) ( ) ( )o

o ox xlim f x 0 M 0 f x x x , x→ ορσ

= −∞ ⇔ ∀Μ > ∃δ ≡ δ > ∴ < −Μ ∀ ∈ − δ + δ

10.1.4 ( ) ( ) ( ) ( )o o 0xlim f x 0 x x 0 f x , x x→+∞ ορσ

= ⇔ ∀ε > ∃ ≡ ε > ∴ ∈ − ε + ε ∀ > l l l

10.1.5 ( ) ( ) ( )o o 0xlim f x M 0 x x M 0 f x M x x→+∞ ορσ

= +∞ ⇔ ∀ > ∃ ≡ > ∴ > ∀ >

10.1.6 ( ) ( ) ( )o o 0xlim f x M 0 x x M 0 f x M x x→+∞ ορσ

= −∞ ⇔ ∀ > ∃ ≡ > ∴ < − ∀ >

10.1.7 ( ) ( ) ( ) ( )o o 0xlim f x 0 x x 0 f x , x x→−∞ ορσ

= ⇔ ∀ε > ∃ ≡ ε > ∴ ∈ − ε + ε ∀ < − l l l

10.1.8 ( ) ( ) ( )o o 0xlim f x M 0 x x M 0 f x M x x→−∞ ορσ

= +∞ ⇔ ∀ > ∃ ≡ > ∴ > ∀ < −

10.1.9 ( ) ( ) ( )o o 0xlim f x M 0 x x M 0 f x M x x→−∞ ορσ

= −∞ ⇔ ∀ > ∃ ≡ > ∴ < − ∀ < −

10.1.10 ( ) ( )L Lxlim f x L f x xσ σ→σ ορσ

= ⇔ ∀Π ∃Π ∴ ∈Π ∀ ∈Π όπου

( )ή ήσ∈ σ = +∞ σ = −∞ ⇔ σ∈ %¡ ¡ , ( )L ή L ή L L∈ = +∞ = −∞ ⇔ ∈ %¡ ¡ και με

Πx συμβολίζουμε μια περιοχή του x.

10.2 Όρια. Ιδιότητες.

10.2.1 ( ) ( )x xlim f x lim f x 0

→σ →σ= ⇔ − = l l

10.2.2 ( ) ( )x xlim f x lim f x

→σ →σ= ⇔ − = − l l

10.2.3 ( ) ( )x

3lim f x f x

2 2→σ= ⇔ < <

l ll

10.2.4 ( ) ( )x xlim f x lim f x

→σ →σλ = λ


19

10.3 Όρια. Πράξεις.

10.3.1 ( ) ( ) ( ) ( )x x xlim f x g x lim f x limg x

→σ →σ →σ+ = + Αν υπάρχουν τα όρια των f και g στο σ∈ %¡

10.3.2 ( ) ( ) ( ) ( )x x xlim f x g x lim f x lim g x

→σ →σ →σ− = − Αν υπάρχουν τα όρια των f και g στο σ∈ %¡

10.3.3 ( ) ( ) ( ) ( )x x xlim f x g x lim f x limg x

→σ →σ →σ⋅ = ⋅ Αν υπάρχουν τα όρια των f και g στο σ∈ %¡

10.3.4 ( )( )

( )( )

xx

x

lim f xf xlim

g x limg x→σ

→σ→σ

=

Αν υπάρχουν τα όρια των f και g στο σ∈ %¡ και ορίζονται

καλώς τα κλάσματα.

10.3.5 ( ) ( )x xlim f x limf xν ν

→σ →σ= Αν υπάρχει το όριο της f στο σ∈ %¡ και ορίζονται καλώς οι

ρίζες.

10.4 Παράγωγοι. Ορισμοί.

10.4.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )o

o o o

x x h 0o

f x f x f x h f xf x : lim lim

x x hο → →

− + −′ = ≡

−. Παράγωγος Αριθμός της f στο xo.

10.4.2 f | ∆ παραγωγίσιμη στο oxορσ

∈ ∆ ⇔

( ) ( ) ( ) ( )o oo

f x f x0 0 f x x 0 x x

x xο

ορσ

−′⇔ ∀ε > ∃δ ≡ δ ε > ∴ − < ε ∀ ∈ ∆ µε < − < δ

− κατά

Cauchy. 10.4.3 f | ∆ παραγωγίσιμη στο Δ ( ) of x xοορσ

′⇔ ∃ ∀ ∈ ∆ .

10.4.4 Αν f | ∆ παραγωγίσιμη στο Δ τότε η συνάρτηση ( )f : : x f x′ ′∆ → →¡ λέγεται παράγωγος συνάρτηση της f.

10.4.5 [ ]f : f ′′′ ′=

10.5 Παράγωγοι. Πράξεις.

10.5.1 [ ]f g f g′ ′ ′+ = +

10.5.2 [ ]f g f g′ ′ ′− = −

10.5.3 [ ]f g f g f g′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅

10.5.4 2f f g f gg g

′ ′ ′ ⋅ − ⋅=

10.5.5 [ ] ( ) ( )( ) ( )o o of g x f g x g x′ ′ ′= ⋅o


20

10.6 Παράγωγοι. Βασικές συναρτήσεις.

10.6.1 [ ]c 0′ =

10.6.2 [ ]x 1′ =

10.6.3 1x x , 2ν ν−′ = ν ⋅ ν ∈ ∴ν ≥ ¥

10.6.4 *1x , x2 x +

′ = ∈ ¡

10.6.5 *

1

1x , x , 2x

ν+ν ν−

′ = ∈ ν ∈ ∴ν ≥ ν ⋅¡ ¥

10.6.6 1 *x x , x ,α α−+

′ = α ⋅ ∈ α ∈ ¡ ¡

10.6.7 x xe , x′ = α ∈ ¡

10.6.8 x x *ln a , x , +′ α = α ⋅ ∈ α ∈ ¡ ¡

10.6.9 [ ] *1ln x , xx +

′ = ∈¡

10.6.10 [ ] * *1log x , x , 1x lnα + +

′ = ∈ α ∈ ∴α ≠⋅ α

¡ ¡

10.6.11 [ ]x x′ηµ = συν

10.6.12 [ ]x x′συν = −ηµ

10.6.13 [ ] 21x

x′εϕ =

συν

10.6.14 [ ] 21x

x′σϕ = −

ηµ

10.6.15 [ ]2

1x1 x

′τοξηµ =−

10.6.16 [ ]2

1x1 x

′τοξσυν = −−

10.6.17 [ ] 21x

1 x′τοξεϕ =

+

10.6.18 [ ] 21x

1 x′τοξσϕ = −

+


21

10.7 Παράγωγοι. Σύνθετες συναρτήσεις.

10.7.1 ( ) ( ) ( )f x f x f x′ ′ηµ = ⋅συν

10.7.2 ( ) ( ) ( )f x f x f x′ ′συν = − ⋅ηµ

10.7.3 ( ) ( )( )2

f xf x

f x′′εϕ = συν

10.7.4 ( ) ( )( )2

f xf x

f x′′σϕ = − ηµ

10.7.5 ( ) ( )( )

f xf x

2 f x

′′ =

10.7.6 ( ) ( )( )

f xln f x

f x′′ =

10.7.7 ( ) ( ) ( )f x f xe f x e′ ′= ⋅

10.8 Παράγωγοι. Θεωρήματα.

10.8.1 Θεώρημα Rolle. [ ]( )

( ) ( )( ) ( )

f | , : ήf | , : ί , f 0f f

α β συνεχ ς ′α β παραγωγ σιµη ⇒ ∃ξ∈ α β ∴ ξ = α = β

10.8.2 Θεώρημα Lagrange (Θ.Μ.Τ.). [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )f | , : ή f f

, ff | , : ί

α β συνεχ ς β − α ′⇒ ∃ξ∈ α β ∴ ξ = α β παραγωγ σιµη β − α

10.8.3 Θεώρημα Cauchy. [ ]( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

g gf ,g | , : ίf ,g | , : ί f f f

,g x 0 x , g g g

α ≠ β και α β συνεχε ς ′α β παραγωγ σιµες ⇒ ξ β − α ∃ξ∈ α β ∴ = ′ ′≠ ∀ ∈ α β ξ β − α

10.8.4 Θεώρημα του Taylor. [ ][ ]( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2f | , : ί

f | , : ή , f f f f2

f | , : ί

α β παραγωγ σιµηβ − α ′ ′ ′′α β συνεχ ς ⇒ ∃ξ∈ α β ∴ β = α + β − α α + ξ

′ α β παραγωγ σιµη


22

10.9 Ολοκληρώματα. Ορισμένα ολοκληρώματα.

10.9.1 ( )1

f x dx : lim fνβ

ακ=

β − α β − α = ⋅ α + κ ν ν ∑∫

10.9.2 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dxβ β β

α α α+ = + ∫ ∫ ∫

10.9.3 ( ) ( )f x dx f x dxβ β

α αλ = λ∫ ∫

10.9.4 ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dxβ γ β

α α γ= +∫ ∫ ∫

10.9.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,min f f x dx max fβ

α β α βα⋅ β − α ≤ ≤ ⋅ β − α∫

10.9.6 ( )f x dx 0α

α=∫

10.9.7 ( ) ( )f x dx f x dxα β

β α= −∫ ∫

10.9.8 ( ) ( ) ( )f x dx f fβ

α′ = β − α∫

10.9.9 ( ) ( )xf t dt f x

α

′ = ∫

10.9.10 ( )( ) ( )( ) ( )g x

f t dt f g x g xα

′ ′= ⋅ ∫

10.9.11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dxβ ββ

αα α′ ′= ⋅ − ∫ ∫

10.9.12 ( )( ) ( ) ( )( )

( )g

gf g x g x dx f y dy

β β

α α′⋅ =∫ ∫

10.9.13 ( )1f f x dxβ

α= ⋅

β − α ∫


23

10.10 Ολοκληρώματα. Αόριστα Ολοκληρώματα.

10.10.1 ( ) ( )f x dx f x c′ = +∫

10.10.2 1dx x c= +∫

10.10.3 1dx ln x cx

= +∫

10.10.4 1xx dx c1

α+α = +

α +∫

10.10.5 xdx x cηµ = −συν +∫

10.10.6 xdx x cσυν = ηµ +∫

10.10.7 21 dx x c

x= −σϕ +

ηµ∫

10.10.8 21 dx x c

x= εϕ +

συν∫

10.10.9 x xe dx e c= +∫

10.10.10 x

xdx clnα

α = +α∫

11 Γεωμετρία.

11.1 Λόγοι 11.1.1 Θεώρημα Θαλή:

ΑΒ ΒΓ Γ∆= =

′ ′ ′ ′ ′ ′Α Β Β Γ Γ ∆

(ε)4

(ε)3

(ε)2

(ε)1

(η)2(η)1

Δ'

Γ'

Β'

A

Δ

Α'B

Γ


24

11.1.2 Όμοια Τρίγωνα: 11.1.2.1 Ορισμός:

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆοµ ορσ

′Α = Α

′Β = Β′ ′ ′ΑΒΓ ≈ Α Β Γ ⇔ ′Γ = Γ

ΑΒ ΒΓ ΓΑ = = ′ ′ ′ ′ ′ ′ Α Β Β Γ Γ Α

V V

11.1.2.2 Α’ Κριτήριο: ˆ ˆ

ˆ ˆ οµ

′Α = Α ′ ′ ′⇒ ΑΒΓ ≈ Α Β Γ′Β = Β

V V (ισχύουν κυκλικά.)

11.1.2.3 Β’ Κριτήριο: ˆ ˆ οµ

ΑΒ ΒΓ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Α Β Β Γ ⇒ ΑΒΓ ≈ Α Β Γ′Β = Β

V V (ισχύουν κυκλικά.)

11.1.2.4 Γ’ Κριτήριο: οµ

ΑΒ ΒΓ ΓΑ ′ ′ ′= = ⇒ ΑΒΓ ≈ Α Β Γ′ ′ ′ ′ ′ ′Α Β Β Γ Γ Α

V V

11.1.3 Ίσα Τρίγωνα: 11.1.3.1 Ορισμός:

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆορσ

′Α = Α

′Β = Β ′Γ = Γ′ ′ ′ΑΒΓ = Α Β Γ ⇔

′ ′ΑΒ = Α Β ′ ′ΒΓ = Β Γ

′ ′ΓΑ = Γ Α

11.1.3.2 Α’ Κριτήριο: ′ ′ΑΒ = Α Β

′ ′ ′ ′ ′ΒΓ = Β Γ ⇒ ΑΒΓ = Α Β Γ′ ′ΓΑ = Γ Α

.

11.1.3.3 Β’ Κριτήριο: ˆ ˆ

′ ′ΑΒ = Α Β′ ′ ′ ′ ′ΒΓ = Β Γ ⇒ ΑΒΓ = Α Β Γ′Β = Β

(ισχύουν κυκλικά.)

11.1.3.4 Γ’ Κριτήριο: ˆ ˆ

ˆ ˆ

′ ′ΑΒ = Α Β ′ ′ ′ ′Α = Α ⇒ ΑΒΓ = Α Β Γ′Β = Β

(ισχύουν κυκλικά.)

Γ'

A

B Γ

Α'

Β'

Γ'

A

B Γ

Α'

Β'


25

11.2 Μετρικές Σχέσεις σε ορθογώνια τρίγωνα.

11.2.1 οµ οµ

ΑΒΓ ≈ ∆ΒΑ ≈ ∆ΑΓV V V

αΑ∆ = υ

11.2.2 2β = α ⋅Γ∆ και 2γ = α ⋅Β∆ .

11.2.3 2 2 2α = β + γ Πυθαγόρειο Θεώρημα.

11.2.4 2αυ = Β∆ ⋅∆Γ .

11.2.5 αβ⋅ γ = α ⋅ υ

11.2.6 2 2 21 1 1

α

+ =β γ υ

11.2.7 Αν ( )ˆ ˆ60 30ο οΒ = ⇔ Γ = τότε 2α

αγ = µ = ΒΜ = ΜΓ = .

υα μαR

ΜΔ Κ=

A

ΓB


26

11.3 Μετρικές Σχέσεις σε τυχαία τρίγωνα.

11.3.1 : , : , :α = ΒΓ β = ΑΓ γ = ΑΒ Πλευρές.

:αυ = Α∆ Ύψος. :αµ = ΑΜ Διάμεσος. :αδ = ΑΝ Εσωτερική Διχοτόμος. :α∆ = ΑΕ Εξωτερική Διχοτόμος.

( ),Ο ρ Εγγεγραμμένος Κύκλος.

( ), RΚ Περιγεγραμμένος Κύκλος.

11.3.2 :2

α + β + γτ = Ημιπερίμετρος

11.3.3 ΝΒ ΕΒ ΑΒ= =

ΝΓ ΕΓ ΑΓ Θεώρημα διχοτόμων.

11.3.3.1 αγΒΝ =

β + γ Πόρισμα Ι θεωρήματος διχοτόμων.

11.3.3.2 αβΝΓ =

β + γ Πόρισμα ΙΙ θεωρήματος διχοτόμων.

11.3.3.3 αγΕΒ =

β − γ Πόρισμα ΙΙΙ θεωρήματος διχοτόμων.

11.3.3.4 αβΕΓ =

β − γ Πόρισμα ΙV θεωρήματος διχοτόμων.

11.3.4 Τα Ε και Ν λέγονται αρμονικά συζυγή των Β και Γ. Τα Β και Γ λέγονται αρμονικά συζυγή των Ε και Ν.

11.3.5 Τα Ε,Β,Ν,Γ λέγονται αρμονική τετράδα.

υα μα

δα

ρ

RΔα

Ε

Ο

Ν ΜΔ

Κ

A

ΓB


27

11.3.6 2 2 2

2 2 2

ˆ 90 2ˆ 90 2

ο

ο

Β < ⇒ ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ − ⋅ΒΓ ⋅Β∆

Β > ⇒ ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ + ⋅ΒΓ ⋅Β∆ Εκτεταμένο Πυθαγόρειο Θεώρημα.

11.3.7 2 2 2

2γ + α −β

Β∆ =α

11.3.8 2

2 2 222α

αβ + γ = ⋅µ + . 1ο Θεώρημα Διαμέσων.

11.3.9 2 2 2β − γ = ⋅α ⋅Μ∆ 2ο Θεώρημα Διαμέσων.

11.3.10 2 2 2

2 2 24α

β + γ − αµ = Πόρισμα θεωρήματος διαμέσων.

11.3.11 1 1 1 1α β γ

+ + =υ υ υ ρ

11.3.12 12

Ε = α ⋅ υ Εμβαδόν.

11.3.13 ( ) ( )( )Ε = τ⋅ τ − α ⋅ τ −β τ − γ Τύπος του Ήρωνα.

11.3.14 ( ) ( ) ( )2

α

τ ⋅ τ − α ⋅ τ −β ⋅ τ − γυ =

α

11.3.15 Ε = τ⋅ρ

11.3.16 4R

α ⋅β⋅ γΕ =

11.4 Πολύγωνα. 11.4.1 Ορθογώνιο:

Περίμετρος 2 2Π = α + β

Εμβαδόν Ε = α ⋅β

11.4.2 Παραλληλόγραμμο:

Περίμετρος 2 2Π = α + β

Εμβαδόν Ε = β⋅ υ = α ⋅β⋅ηµω

11.4.3 Τραπέζιο:

Διάμεσος 2

α + βδ =

Περίμετρος υ υΠ = α + β + +

συνω συνϕ

Εμβαδόν E2

α + β= ⋅υ = δ ⋅ υ

β

α

ω

β

αυ

φω

α

υ

β

μΝΜ


28

11.4.4 Ρόμβος: Περίμετρος 4Π = ⋅α

Εμβαδόν 1 2

2δ ⋅δ

Ε = = α ⋅ υ

11.5 Κανονικά Πολύγωνα 11.5.1 Κανονικό Τρίγωνο (Ισόπλευρο):

Πλευρά 3 R 3λ =

Απόστημα 3R2

α =

Κεντρική γωνία 360ˆ 1203

οοω = =

Γωνία ˆ ˆ180 60ο οϕ = − ω =

Ύψος 3 33 R2 2

λ ⋅⋅υ = =

Εμβαδόν 2 23

3 3 3R4 4

Ε = = λ ⋅

11.5.2 Κανονικό Τετράπλευρο (Τετράγωνο): Πλευρά 4 R 2λ =

Απόστημα 42R

2α = ⋅

Κεντρική γωνία 360ˆ 904

οοω = =

Γωνία ˆ ˆ180 90ο οϕ = − ω =

Εμβαδόν 2 24 2RΕ = λ =

δ1

δ2

υ

A

B Δ

Γ

ω

φ

λ3

α3R

A

ΓB

Κ

ω

φ

λ4

α4R

Γ

Δ

B

A


29

11.5.3 Κανονικό Εξάγωνο: Πλευρά 6 Rλ =


2α =

Κεντρική γωνία o

o360ˆ 606

ω = =

Γωνία o oˆ ˆ180 120ϕ = − ω =

Εμβαδόν 2 3 3E R2

= ⋅

11.5.4 Κανονικό Οκτάγωνο:

Πλευρά 8 R 2 2λ = −

Απόστημα 82 2R

2+

α =


o360ˆ 458

ω = =

Γωνία o oˆ ˆ180 135ϕ = − ω =

Εμβαδόν 2E 2R 2=

11.5.5 Κανονικό Δεκάγωνο:

Πλευρά 10

5 1R2−

λ =

Απόστημα 10

10 2 5R4+

α =

Κεντρική γωνία

oo360ˆ 36

10ω = =

Γωνία o oˆ ˆ180 144ϕ = − ω =

Εμβαδόν 2 5 10 2 5E R

4−

=

11.5.6 Κανονικό Δωδεκάγωνο:

Πλευρά 12 R 2 3λ = −

Απόστημα 122 3R

2+

α =

ω

φ

λ6 α6

R

Δ

Ε

Ζ

Γ

Α

KΒ

φ

ω

λ8α8

R

Θ

B

Ζ

ΔΓ

Η

E

A

φ

ωR

λ10α10

Α5

Α4

Α6

Α7

Α10

Α8

Α1

Α9

KΑ3

Α2

φ

ω

R

λ12

α12Α4

Α10Α2

Α8

Α6

Α12

Α7

Α9

Α11Α1

Α5

Α3K


30


o360ˆ 3012

ω = =

Γωνία o oˆ ˆ180 150ϕ = − ω = Εμβαδόν 2E 3R=

11.5.7 Κανονικό ν-γωνο:

Κεντρική γωνία

rad360 2ˆο π

ω = =ν ν

Πλευρά 1802R

ο

νλ = ⋅ηµν


ο

να = ⋅συνν

22 2R

4ν

ν

λ+ α =

Γωνία rad2 2ˆ 180 2ον − ν −

ϕ = ⋅ = ⋅ πν ν

Περίμετρος 1802 R

ο

νΠ = ν ⋅λ = ν ⋅ηµν

Εμβαδόν 2 360R

2 2

ο

ν ν

ν νΕ = α λ = ⋅ ⋅ηµ

ν

ων

φν

λναν

R

Αν

Α2

Αν-2

Α4Α3

Αν-1

A1

Κ


31

11.5.8 Κανονικό ν-γωνο και 2ν-γωνο: 11.5.8.1 2ˆ ˆ2ν νω = ω

11.5.8.2 22 180ον νϕ = + ϕ

11.5.8.3 ( )2

2 22R

4ν

ν ν

λ− α + = λ

11.5.9 Κύκλος: Μήκος κύκλου (Περιφέρεια): L 2 R= π

Εμβαδόν κύκλου (Δίσκου): 2RΕ = π

11.5.10 Κυκλικός τομέας – τμήμα:

Μήκος τόξου: » oABS L R

180ϕ

ϕ= = π

» oS L R180ω Γ∆

ω= = π

Εμβαδόν Κυκλικού Τομέα:

»2

.R

360ϕ οΚ ΑΒ

ϕΕ = Ε = π

»2

.R

360ω οΚ Γ∆

ωΕ = Ε = π

Εμβαδόν Κυκλικού Τμήματος: 2o

1 R2 180ΑΒ

ϕ Ε = − ηµϕ

.

11.5.11 Έλλειψη: 1 2ΜΕ + ΜΕ = ΑΒ

Περίμετρος:

2 2

2 2ΑΒ Γ∆ Π ≅ π +

Εμβαδόν: 4

ΑΒ⋅Γ∆Ε = π

φν

ων

φ2ν

ω2ν

λ2ν

α2ν

R λναν

Αν

Α1

Α3

Α2Α12

Α23

Aν1

Κ

R

φ ω

SωSφ

Κ

Δ

Β

Α

Γ

r1 r2

Δ

Γ

A BE1 E2

Μ


32

11.5.12 Ορθογώνιο Παραλληλεπίπεδο: Επιφάνεια: ( )2Ε = ⋅ αβ + βγ + γα

Όγκος: V = α ⋅β ⋅ γ

11.5.13 Πλάγιο Παραλλλεπίπεδο:

Επιφάνεια: ( )2 α β γΕ = α ⋅υ + β⋅ υ + γ ⋅υ

Ύψος υ = γ ⋅ηµθ

Όγκος: V S α= ⋅ υ = α ⋅ υ ⋅ υ

11.5.14 Πρίσμα: Ύψος: υ = λ ⋅ηµϕ

Επιφάνεια: Το άθροισμα των εμβαδών των εδρών.

Όγκος: V S= ⋅ υ

11.5.15 Πυραμίδα:

Επιφάνεια: i ii 1

1S2

ν

=

Ε = + α υ∑

Όγκος: 1V S3

= ⋅ ⋅υ

11.5.16 Κανονική Πυραμίδα:

Επιφάνεια: h2 2ν ν

Ε = ⋅λ ⋅ υ = ⋅λ ⋅ηµϕ

Ύψος: h = υ⋅ηµϕ

Όγκος: 1 S h3

⋅ ⋅

βα

γ

Sθ βα

γυ

υα

υβυγ

Sφ

λλ

υ

Sα1

α2α3

α4υυ1

Ο

Sφ

λ

μ

hυ

α

Ο


33

11.5.17 Κύλινδρος: Εμβαδόν Βάσης: 2S = πρ

Παράπλευρη Επιφάνεια: 2πΕ = πρυ

Ολική Επιφάνεια: ( )2Ε = πρ ρ + υ

Όγκος: 2V = πρ ⋅ υ

11.5.18 Πλάγιος Κύλινδρος:

Ύψος: υ = λ ⋅ηµθ

Εμβαδόν Βάσης: 2βΕ = πρ

Παράπλευρη επιφάνεια: 2 2π

υΕ = πρλ = πρ

ηµθ

Όγκος: 2V = πρ ⋅ υ

11.5.19 Ορθός Κώνος:

Ύψος: υ = λ ⋅ηµθ

Εμβαδόν Bάσης: 2RβΕ = π

Εμβαδόν Κωνικής Επιφάνειας:

2 2RR R Rπ

π υΕ = π λ = = π + υ

ηµθ

Όγκος: 21V R3

= π ⋅υ

11.5.20 Κόλουρος Κώνος:

Ύψος: ( )22 Rυ = λ ⋅ηµθ = υ + − ρ

Εμβαδόν βάσεων: ( )2 2RΕ = π + ρ

Εμβαδόν κωνικής Επιφάνειας: ( )RπΕ = π + ρ λ

Όγκος: ( )2 21V R R3

= πυ + ρ + ρ

11.5.21 Σφαίρα: Εμβαδόν Επιφάνειας: 24 RΕ = π

Όγκος: 34V R3

= π

Sρ

υ

θ

λ υ

ρ

θR

υ λ

θR

λυ

ρ

R


34

11.5.22 Σφαιρικό Τμήμα:

Ακτίνα Βάσης: ( )h 2R hρ = −

Εμβαδόν Σφαιρικής Επιφάνειας: 2 RhΕ = π

Όγκος: ( )21V h 3R h3

= π −

12 Αναλυτική Γεωμετρία. Διανύσματα.

12.1 Γενικά. 12.1.1 Χαρακτηριστικά Διανύσματος xr :

α. Διεύθυνση. β. Φορά και γ. Μέτρο. Συμβολίζεται με xr

12.1.2 Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα λέγονται αυτά που έχουν την ίδια διεύθυνση.

12.1.3 Ομόρροπα λέγονται τα συγγραμμικά διανύσματα που έχουν την ίδια φορά. α ↑↑ β

rr 12.1.4 Αντίρροπα λέγονται τα συγγραμμικά διανύσματα που έχουν

αντίθετες φορές. β ↑↓ γr r

12.1.5 Ίσα λέγονται τα διανύσματα που είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα.

12.1.6 Αντίθετα λέγονται τα διανύσματα που είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα.

12.1.7 Γωνία δύο διανυσμάτων αr και βr

λέγεται η προσανατολισμένη γωνία τους ·( ),α βrr

(όπως στο σχήμα). ·( )0 , 360ο≤ α β <

rr

·( ) ·( ), 360 ,οβ α = − α βr rr r

·( ), 0οα ↑↑ β ⇔ α β =r rr r και ·( ), 180οα ↑↓ β ⇔ α β =

r rr r

R

R-h

h ρ

R

α

βγ

Ο Α

Β

α

β

(a,ß)


35

12.2 Πρόσθεση διανυσμάτων.

12.2.1 Το άθροισμα α + βuuuuur

των διανυσμάτων αr και βr

ορίζεται σαν το διάνυσμα που έχει, αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του δεύτερου, αν αυτά γίνουν διαδοχικά.

12.2.2 Ιδιότητες αθροίσματος:

12.2.2.1 , , Vα + β = β + α ∀α β∈r r rr r r Αντιμεταθετική.

12.2.2.2 ( ) ( ) , , , Vα + β + γ = α + β + γ ∀α β γ ∈r r rr r r r r r Προσεταιριστική.

12.2.2.3 0 V 0 0 , V∃ ∈ ∴ α + = + α = α ∀α ∈r r rr r r r Ουδέτερο στοιχείο (Μηδενικό

διάνυσμα). Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται ότι έχει οποιαδήποτε διεύθυνση, οποιαδήποτε φορά και μηδενικό μέτρο.

12.2.2.4 ( ) ( ) ( )V , V 0∀α ∈ ∃ −α ∈ ∴α + −α = −α + α =rr r r r r r Συμμετρικό στοιχείο (Αντίθετο

του αr διάνυσμα. 12.3 Αφαίρεση διανυσμάτων.

12.3.1 ( ):ορσ

α −β = α + −βr rr r

12.4 Πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό.

12.4.1

0 0

0

0ορσ

β = αν λ =β = λ ⋅α ⇔ β ↑↑ α και β = λ ⋅ α αν λ >β ↑↓ α και β = λ ⋅ α αν λ <

r r

r r rr r r

r rr r

12.4.2 Ιδιότητες:

12.4.2.1 ( ) , , , Vλ ⋅ α + β = λ ⋅α + λ ⋅β ∀λ ∈ ∀α β∈r r rr r r¡ Επιμεριστική Ι

12.4.2.2 ( ) , , , Vλ + µ ⋅α = λ ⋅α + µ ⋅α ∀λ µ ∈ ∀α ∈r r r r¡ Επιμεριστική ΙΙ

Ο

α

β

α-β-β


36

12.5 Συστήματα Αναφοράς.

12.5.1 Άξονας ( ), iΟr

. Το ζεύγος που αποτελείται από το σημείο Ο και το διάνυσμα ir

ορίζουν

την ευθεία που περνά από το Ο και είναι παράλληλη με το διάνυσμα irπου λέγεται

άξονας ( ), iΟr

. To irείναι το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα.

12.5.2 Αν ( ), i x x iΜ ∈ Ο ⇒ ∃ ∈ ∴ΟΜ = ⋅uuuurr r

¡ . Το x λέγεται τετμημένη του σημείου Μ. ( )xΜ

12.5.3 Σύστημα αξόνων ( ), i , jΟr r

. Αν i jr r

P τότε

ορίζονται δύο άξονες ( ), iΟr

και ( ), jΟr

που

τέμνονται στο Ο. (Ορίζουν ένα επίπεδο). Οι δύο άξονες αποτελούν ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων.

12.5.3.1 Αν τότε το σύστημα λέγεται κανονικό.

12.5.3.2 Αν i j⊥r r

τότε το σύστημα λέγεται ορθογώνιο.

12.5.3.3 Αν i j⊥r r

και i j=r r

τότε το σύστημα

λέγεται ορθοκανονικό.

12.5.4 Αν Μ σημείο του επιπέδου ( ), i , jΟr r

τότε

x, y x i y j∃ ∈ ∴ΟΜ = ⋅ + ⋅uuuur r r

¡ . Το x λέγεται τετμημένη του Μ και το y λέγεται τεταγμένη του Μ και αποτελούν τις συντεταγμένες του Μ.

12.5.5 Συντεταγμένες διανύσματος αr , είναι οι

συντεταγμένες του πέρατος Α, του διανύσματος, αν η αρχή του συμπέσει με τη αρχή των αξόνων.

xy

α

α

α = ΟΑ =

uuurr

12.5.6 Απόσταση Σημείων:

( ) ( ) ( )2 2B A B A,d x x y yΑ Β = − + −

12.5.7 Μέτρο διανύσματος:

( ) ( ) ( )2 2B A B Ad , x x y yΑΒ = Α Β = − + −

uuur

x

y

Ο

Μ

y

y

x

Μ

αyα

xαΟ

Α


37

12.6 Χρήσιμες Προτάσεις.

12.6.1 ΑΒ = ΟΒ − ΟΑuuur uuur uuur

12.6.2 x x

ABy y

β α

β α

− = −

uuur

12.6.3 2

ΟΑ + ΟΒΟΜ =

uuur uuuruuuur

12.6.4 Κλίση AB

y yx x

β α

β α

−λ =

−uuur

12.6.5 x y

0x y

α α

β β

α β ⇔ =rr P

12.6.6 Α, Β, Σ, συνευθειακά , 1⇔ ∃λ ∈ λ ≠ − ∴ΑΣ = λ ⋅ΣΒuuur uuur

¡ 12.6.7 Α, Β, Σ, συνευθειακά

, 11

ΟΑ + λ ⋅ΟΒ⇔ ∃λ ∈ λ ≠ − ∴ΟΣ =

+ λ

uuur uuuruuur¡

12.6.8 Το 0κ ⋅α + λ ⋅β µε κ + λ ≠rr λέγεται γραμμικός συνδυασμός των αr και β

r. Αν

αr Pβ

r τότε τα αr ,β

r, 0γ = κ ⋅α + λ ⋅β µε κ + λ ≠

rr r λέγονται γραμμικώς εξαρτημένα και είναι συνεπίπεδα.

12.6.9 αr P 0 0 , : β∧ κ ⋅α + λ ⋅β = ⇒ κ = λ = ⇔ α β

r r rr r γραμμικώς ανεξάρτητα.

12.6.10 G: βαρύκεντρο του τριγώνου G G G 0ΑΒΓ ⇔ Α + Β + Γ =V uuur uuur uuur r

12.6.11 12.6.12 Εμβαδόν Τριγώνου:

x y 11 x y 12

x y 1

α α

β β

γ γ

Ε = ⋅

Ο

Α ΒΜ

yβ

xβΟ

Β

Α

xα

yα

yβ

xβΟ

Β

Α

xα

yα

yγ

xγxβ

yβ

xα

yα

Ο x

A

B

Γ

x'

y

y'


38

12.7 Εσωτερικό γινόμενο.

12.7.1 Ορισμός: ·( ), 0 0

:0 0 0

ορσ

α ⋅ β ⋅συν α β αν α ≠ ∧ β ≠α ⋅β = αν α = ∨ β =

r r r r rr r rrrr r rr

.

12.7.2 Ιδιότητες:

12.7.2.1 , , Vα ⋅β = β⋅α ∀α β∈r r rr r r

12.7.2.2 22α = αr r

12.7.2.3 x x y yα β α βα ⋅β = +rr

12.7.2.4 ( ) ( ) ( ) , , , Vλα ⋅β = α ⋅ λβ = λ α ⋅β ∀λ ∈ ∀α β∈r r r rr r r r¡

12.7.2.5 ( ) , , ,α ⋅ β + γ = α ⋅β + α ⋅ γ ∀α β γ ∈r r rr r r r r r r ¡

12.7.2.6 *0 , , V V 0α ⋅β = ⇔ α ⊥ β ∀α β∈ ≡ ¬r r r rr r r

12.7.2.7 1α βα ⊥ β ⇔ λ λ = −rr

rr , όπου αλ r και β

λr οι συντελεστές διεύθυνσης των ,α βrr .

12.7.2.8 , , Vα ⋅β ≤ α ⋅ β ∀α β∈r r rr r r

12.7.2.9 αα ⋅β = α ⋅προβ βrr rr r

12.7.2.10 ·( ) 2 2 2 2

x x y y,

x y x yα αβ β

α α β β

+α ⋅βσυν α β = =

α ⋅ β + ⋅ +

r rr r

r rr r

rrrrrr

13 Αναλυτική Γεωμετρία. Κωνικές Τομές.

13.1 Ευθεία.

13.1.1 Παράλληλη με τον άξονα x’x: ( )1 1: y yε =

13.1.2 Παράλληλη με τον άξονα yy’: ( )2 1: x xε =

13.1.3 Πλάγια: ( ) ( )0 0: y y x xε − = λ ⋅ − , όπου λ = εϕω η κλίση της ευθείας

ω

(ε)

(ε1)

(ε2)

yy'

x'xx1

y1

x0

y0


39

13.1.4 Οριζόμενη από δύο σημεία Α, Β.: ( )y y

y y x xx x

β αα α

β α

−− = ⋅ −

− ή

x y 1x y 1 0x y 1

α α

β β

=

13.1.5 Οριζόμενη από τις συντεταγμένες επί την αρχή: x y 1+ =α β

13.1.6 Γενική μορφή: x y 0Α⋅ + Β⋅ + Γ = με , , 0Α Β Γ ∈ ∴ α + β ≠¡

13.1.7 Απόσταση d σημείου M(x1,y1) από ευθεία (ε) x y 0Α + Β + Γ = :

( ) 1 12 2

x yd , Α + Β + ΓΜ ε =

Α + Β

13.2 Κύκλος.

(ε)

(η)

α

y1

x1

y2

x2

y0

x0

y

x

-α

α

-α αΟ

K

B

ΜA

(0,β)

(α,0)xβ

yβ

xα

yα

Ο x

A

B

x'

y

y'


40

13.2.1 Κύκλος (Ο,α) με κέντρο την αρχή των αξόνων: 2 2 2x y+ = α

13.2.2 Εφαπτομένη (η): 21 1x x y y⋅ + ⋅ = α

13.2.3 Κύκλος (Κ,α) με κέντρο τυχαίο σημείο: ( ) ( )2 2 20 0x x y y− + − = α

13.2.4 Εφαπτομένη (ε): ( ) ( ) ( )( ) 20 1 0 0 1 0x x x x y y y y− − + − − = α

13.3 Παραβολή.

13.3.1 Ορισμοί: ( ) ( )d , x x d ,′Μ = Μ δ Ε : Εστία της παραβολής. (δ) : Διευθετούσα της παραβολής. Ο : Κορυφή της παραβολής.

13.3.2 Εξίσωση: 2y 2px= , p 0> 13.3.3 Αν η παραβολή έχει άξονα

συμμετρίας τον yy’ η εξίσωση γίνεται: 2x 2py=

13.3.4 Εξίσωση της εφαπτομένης σε σημείο Α(x1,y1) της παραβολής:

( )1 1y y p x x⋅ = ⋅ +

13.3.5 Παρατηρήσεις: 13.3.5.1 Αν p 0< τότε η παραβολή 2y 2px= βρίσκεται στο 2ο και 3ο τεταρτημόριο και η

διευθετούσα της στο 1ο και 4ο τεταρτημόριο. 13.3.5.2 Αν p 0< τότε η παραβολή 2x 2py= βρίσκεται στο 3ο και 4ο τεταρτημόριο και η

διευθετούσα της στο 1ο και 2ο τεταρτημόριο.

(δ)

Μx,y)

Δ(-p/2,0) Οx'

y

y'

E(p/2,0)


41

13.4 Έλλειψη. 13.4.1 Ορισμοί: 2′ΜΕ + ΜΕ = α σταθερό

Ε, Ε’: Εστίες της έλλειψης. Α,Α’,Β,Β’: Κορυφές της έλλειψης. ΑΑ’: Μεγάλος άξονας της έλλειψης. ΒΒ’: Μικρός άξονας της έλλειψης. ΕΕ’: Εστιακή απόσταση της έλλειψης.

''

ΕΕε =

ΑΑ : εκκεντρότητα της έλλειψης.

Όμοιες λέγονται οι ελλείψεις που έχουν ίσες εκκεντρότητες. 13.4.2 Παρατηρήσεις: 13.4.2.1 Αν το Μ συμπέσει με το Β παρατηρείται ότι ′ΒΕ = ΒΕ ⇒ ΒΕ = α

13.4.2.2 Αν 2′ΕΕ = γ τότε 1′ΕΕ γ

ε = = <′ΑΑ α

13.4.3 Εξίσωση: 2 2

2 2x y 1+ =α β

, όπου 2 2 2β = α − γ

13.4.3.1 2′ΒΒ = β 13.4.3.2 β < α 13.4.3.3 0 0ε → ⇔ γ → η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος (Ο,α) 13.4.3.4 1 0ε → ⇔ γ → α ⇔ β → η έλλειψη γίνεται πιο «στενόμακρη»

13.4.4 Εξίσωση της εφαπτομένης σε σημείο Ν(x1,y1) της έλλειψης: 1 12 2

x x y y 1⋅ ⋅+ =

α β

13.5 Υπερβολή.

13.5.1 Ορισμοί: 2′ΜΕ − ΜΕ = α σταθερή. Α,Α’: Κορυφές της υπερβολής. ΕΕ’: Εστιακή απόσταση της υπερβολής.

'ΕΕε =

ΑΑ Εκκεντρότητα της υπερβολής.

ΑΑ’: Κύριος ή Πρωτεύων άξονας της υπερβολής.

13.5.2 Παρατήρηση: Αν ' 2ΕΕ = γ τότε ' 1'

ΕΕ γε = = >

ΑΑ α

13.5.3 Εξίσωση: 2 2

2 2x y 1− =α β

όπου 2 2 2β = γ − α

13.5.4 Οι ευθείες (ε1) y xβ= ⋅

α και (ε2) y xβ

= − ⋅α

λέγονται ασύμπτωτες της υπερβολής.

13.5.5 Η υπερβολή με κορυφές τα Β και Β’ λέγεται συζυγής της πρώτης και ο πρωτεύων άξονας της λέγεται δευτερεύων άξονας της πρώτης..

Β'(0,-β)

Β(0,β)

E(γ,0)Ε'(-γ,0)Α'(-α,0) Α(α,0)

Μ(x,y)


42

13.5.6 Το ορθογώνιο με κορυφές ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , ,α β −α β −α −β α −β λέγεται ορθογώνιο βάσης.

13.5.7 Αν α = β τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελούς.

13.5.8 Η (ε): 2

x α=

γ λέγεται διευθετούσα της υπερβολής.

13.5.9 Εξίσωση της εφαπτομένης σε σημείο Ν(x1,y1) της υπερβολής: 1 12 2

x x y y 1⋅ ⋅− =

α β.


43

ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ωο ωrad ημω συνω εφω σφω

0ο 0 0 1 0 ∞

15ο 12π ( )1 6 2

4− ( )1 6 2

4+ 2 3− 2 3+

30ο 6π 1

2 3

2 3

3 3

45ο 4π 2

2 2

2 1 1

60ο 3π 3

2 1

2 3 3

3

75ο 512

π ( )1 6 24

+ ( )1 6 24

− 2 3+ 2 3−

90ο 2π 1 0 ±∞ 0

105ο 712

π ( )1 6 24

+ ( )1 6 24

− − 2 3− − 2 3− +

120ο 23π 3

2 1

2− 3− 3

3−

135ο 34π 2

2 2

2− 1− 1−

150ο 56π 1

2 3

2− 3

3− 3−

165ο 1112

π ( )1 6 24

− ( )1 6 24

− + 2 3− + 2 3− −

180ο π π 0 1− 0


44

ωο ωrad ημω συνω εφω σφω

195ο 1312

π ( )1 6 24

− − ( )1 6 24

− + 2 3− 2 3+

210ο 76π 1

2− 3

2− 3

3 3

225ο 54π 2

2− 2

2− 1 1

240ο 43π 3

2− 1

2− 3 3

3

255ο 1712

π ( )1 6 24

− + ( )1 6 24

− − 2 3+ 2 3−

270ο 32π 1− 0 ±∞ 0

285ο 1912

π ( )1 6 24

− + ( )1 6 24

− 2 3− − 2 3− +

300ο 53π 3

2− 1

2 3− 3

3−

315ο 74π 2

2− 2

2 1− 1−

330ο 116π 1

2− 3

2 3

3− 3−

345ο 2312

π ( )1 6 24

− − ( )1 6 24

+ 2 3− + 2 3− −

360ο 2π 0 1 0 ±∞


45


46


48

Ηλίας Σκαρδανάς - users.sch.grusers.sch.gr/elscardan/Usefully/mt.pdf ·...

Documents

Transcript of Ηλίας Σκαρδανάς - users.sch.grusers.sch.gr/elscardan/Usefully/mt.pdf ·...