ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ <<1-1>>

Παρατηρήσεις

Αν η f είναι 1-1 τότε:

Για κάθε στοιχείο ψεf(A), η εξίσωση f(x)=ψ έχει ακριβώς μια λύση ως προς χ.

Δεν υπάρχουν διαφορετικά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

f με την ίδια τεταγμένη.

Για κάθε χ1,χ2εΑ ισχύει η ισοδυναμία f(x1)=f(x2)x1=x2 Αυτή η

ισοδυναμία είναι χρήσιμη για την λύση εξισώσεων.

Η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ μία λύση στο Α.

Πρόταση

Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι <<1-1>>. Προσοχή! Το αντίστροφο δεν

ισχύει. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1-1 και δεν είναι γνησίως μονότονες.

Π.χ [ x , x<0

f(x)=[

[ 1/x , x>0

Είναι 1-1, δεν είναι όμως γνησίως μονότονη.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΤΗ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΤΩΝ 1-1

1. Για να λυθούν εξισώσεις της μορφής f(x)=0 η γενικότερα f(x)=a aεR, η οποία δεν

λύνεται με τον κλασικό τρόπο κάνουμε τα εξής:

Με δοκιμές βρίσκουμε μια ρίζα της εξίσωσης.

Δείχνουμε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 οπότε η ρίζα που βρήκαμε

προηγούμενα είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης.

Π.χ Δίνεται η 1-1 συνάρτηση f:R->R με f(R)=R, τέτοια ώστε για κάθε χεR,

ισχύει: f3

(x)+f(x)=9x+3 (1) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=0.

Λύση: Εστω χοεR είναι ρίζα της εξίσωσης . δηλ. f(xo)=0. Η (1) γίνεται

f3

(xo)+f(xo)=9xo+3xo=-3/9 Αφού η f είναι 1-1, η ρίζα αυτή είναι μοναδική

2. Για να λυθεί μια εξίσωση της μορφής φ(χ)=ω(χ), η οποία δεν λύνεται με τον

κλασικό τρόπο, κάνουμε τα εξής:

Την μετασχηματίζουμε στην μορφή f(g(x))=f(h(x)).

Δείχνουμε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 οπότε ισχύει η ισοδυναμία

f(g(x))=f(h(x))g(x)=h(x)

Λύνουμε την εξίσωση g(x)=h(x).

Π.χ Δίνεται η 1-1 συνάρτηση f(x)=x3+2

x. Να λυθεί η εξίσωση χ

3(χ

3-1)= 2

x(1-2

χ2-χ) (1)

Λύση: χ3(χ

3-1)= 2

x(1-2

χ2-χ)=..........................................<=>χ

6+2

χ2=χ

3+2

χ

f(x2)=f(x)x

2=xx

2-x=0x(x-1)=0x=0 ή x=1