1. Ένα σώμα m=1 kg εκτελεί γ.α.τ. και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σεσυνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα.

α. Να βρείτε τη σταθερά D και την ολική ενέργεια του ταλαντωτή.β. Να γράψετε τις εξισώσεις x=f(t) και υ=f(t)γ. Ποιες χρονικές στιγμές το σώμα έχει στιγμιαία υ = 0 ;

δ. Ποιες χρονικές στιγμές είναι υ και F ομόρροπα; ( )2π = 10

Λύση:

α. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι: η περίοδος είναι Τ=1 s άρα: 2πω 2π rad / sΤ

= =

Επόμένως: D= m.ω2 ⇔ D=40 Ν/m

Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή βρίσκεται από τη σχέση: 21Ε = DA2

Όμως από το διάγραμμα φαίνεται ότι:αmax=8 rad/s2 δηλ. ω2·Α=8 rad/s2 ⇔ (40 Ν/m)·Α=8 rad/s2 ⇔ A=0,2m

Άρα: 21Ε = 40 0,2 J Ε = 0,80J2

⋅ ⇔

β. Από το διάγραμμα προκύπτει ότι: α=8·ημ π2 t

2 π +

S.I.

H επιτάχυνση προηγείται της ταχύτητας κατά π/2 rad και της απομάκρυνσηςκατά π rad. Άρα:

υ=0,4π·ημ ( )2 tπ και x=0,2·ημ π2 t

2 π −

(S.I.)

γ. Η ταχύτητα είναι μηδέν στις ακραίες θέσεις στις οποίες είναι αmax. Aυτό συμβαί-νει τις στιγμές:

0, 0,5s, 1s, 1,5sδ. Η δύναμη επαναφοράς είναι ομόρροπη με την επιτάχυνση και η φορά τους είναι

προς τη Θ.Ι.T. . Άρα όποτε ο ταλαντωτής κινείται προς τη Θ.Ι.T. είναι υ και Fομόρροπα. Aυτό συμβαίνει στα χρονικά διαστήματα:

0 - 0,25s, 0,5s - 0,75s, 1s - 1,25s, 1,5s - 1,75s

2. To σώμα του σχήματος έχει μάζα m=2 kgκαι ισορροπεί στερεωμένο στο άκρο ιδα-νικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράςk=200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου εί-ναι ακλόνητο στερεωμένο. Το σώμα εκτρέ-πεται από τη Θ.Ι του φέρνοντάς το στηθέση φ.μ. του ελατηρίου. Δίνουμε στο

σώμα αρχική ταχύτητα 0υ = 3 m/s , προςτα κάτω θεωρώντας τη χρονική στιγμήαυτή t=0 και y>0.α. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t).β. Να υπολογήσετε την μέγιστη ενέργεια του ελατηρίου;γ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα αποκτά τη μέγιστη ταχύτητά του για

δεύτερη φορά μετά τη στιγμή t=0;δ. Να βρείτε τότε την συνισταμένη δύναμη που ενεργεί στον ταλαντωτή.Δίνεται:g=10 m/s2

Λύση:

α. Θ.I.: ελ 1 1B = F mg = k y y = 0,1m⇔ ⋅ ⇔

Από τη θεωρία η σχέση απομάκρυνσης - χρόνου, είναι: y=Aημ(ωt+φ0)Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε.T. για την γ.α.τ. από αρχική θέση μέχρι τη θέση μέγιστηςαπομάκρυνσης:

αρχ αρχ ολU K Ε+ = ⇔ D K2 2 21 0

1 1 1Dy + mυ = DA A=0,2m

2 2 2=→ .

Η γωνιακή συχνότητα είναι: D Kω = = 10rad/sm m

=

( ) t 00 0 0 0y 0,1m

1 πy = Aημ ωt + φ 0,1 = 0,2ημφ ημφ = ημφ = ημ

2 6=

=→ ⇔ ⇔

Άρα: 0 0π 5πφ = rad ή φ = rad6 6

Επειδή για t=0 είναι y>0 η αρχική ταχύτητα είναι υ= 0υ0 < .

Επομένως: 05πφ = rad6

Τελικά: 5πy = 0,2ημ 10t + S.I.

6

β. ( )22ΕΛ,max max 1

1 1U = K x = K y + A = 9J

2 2⋅

γ. Η ταχύτητα αποκτά τη μέγιστη τιμή της στη Θ.Ι, άρα:

5π 5π 5π0 = 0,2 ημ 10t + 0 = ημ 10t + 10t +

6 6 6k

⋅ ⇔ ⇒ = π

• κ=0 Απορρ., • ( )η5π π πκ 1: 10t π 10t t s 16 6 60

= + = ⇒ = ⇒ =

• ( )η5π 7πκ = 2 : 10t + = 2π t = s 26 60

⇔

δ. ολF D y 0= − ⋅ =

3. Σύστημα ελατήριο k=200 N/m - σώμα μάζας m=2 kg κάνει γ.α.τ. και ηmax κινητική του ενέργεια είναι: maxK = 4 Jα. Να υπολογιστούν το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης.β. Φέρουμε το σύστημα σ’ένα μέσο που ασκεί δύναμη τριβής της μορφής

(S.I.)= − 4F υ

π. Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης μετά από χρόνο

5Τln2 και την ενέργεια που έχει χάσει το σύστημα μέχρι τότε.

Δίνεται ότι bΛ =2m

, η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι περίπου

ίση με την ιδιοπερίοδο και 4e = 0,045− .

Λύση:α. Από τη θεωρία είναι γνωστό ότι: Umax=Kmax

Άρα: 2 21 1 ND A 4 J 200 A 4 J

2 2 m⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ A = 0, 2 m

Η γωνιακή συχνότητα είναι:D Kω = = 10 rad/sm m

=

Η περίοδος είναι: 2πT = =

ωπ/5 s

β. Είναι: Λ Τ n25 0A = A e 5− ⋅ ⋅⋅ όπου 1b 4 1Λ = = = s

2m π 2 2 π−

⋅ ⋅

Άρα:1 π

n2π 5

5A = 0,2 e− ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⇔5

n25

0,2A = 0,2 e m = m = 0,1m

2−⋅

( )

( )

2 2 2 2απωλ 0 5 0 5 απωλ 0 5

2 2απωλ

1 1 1Ε = Ε E = DA DA Ε = D A A2 2 2

1Ε = 200 0,2 0,1 J 3J2

− − ⇔ − ⇔

− =

4. Οριζόντιος δίσκος εκτελεί γ.α.τ. σε κατακόρυφη διεύθυνση, με πλάτοςA = 0,25 m και περίοδος T=2 s. Όταν ο δίσκος βρίσκεται στην κατώτατηθέση της τροχιάς, τοποθετούμε πάνω του μικρό σώμα μάζας 2kg.α. Αν θεωρήσουμε ότι το σύστημα διατηρεί σταθερό πλάτος και περίοδο,

να βρεθεί η σχέση της δύναμης που δέχεται το σώμα από το δίσκο σεσχέση με την απομάκρυνση y και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παρά-σταση.

β. Αν η περίοδος παραμείνει σταθερή, για ποια μέγιστη τιμή του πλάτουςτο σώμα οριακά τείνει να εγκαταλείψει το δίσκο;

γ. Αν μεταβάλλουμε τη συχνότητα της ταλάντωσης, για ποια μέγιστη συ-χνότητα μόλις που χάνεται η επαφή σώματος - δίσκου, αν το πλάτοςείναι Α=0,25 m;

Δίνεται: π2 = 10 και g = 10 m/s2

Λύση:α. Στο σώμα στην τυχαία θέση δέχεται τις

δυνάμεις F από το δίσκο και το βάρος του

Β .

Για το σώμα σε τυχαία θέση ισχύει:

F D yΣ = − ⋅ ⇔ F mg D y− = − ⋅ ⇔ 2F mg mω y= − ⇔

2

2

4F mg m y

π= − ⇔

ΤF = 2 - 2 y 0,25 m y 0,25 m⋅ − ≤ ≤

β. Όσο βρίσκεται σε επαφή το σώμα με το δί-σκο, είναι: F > 0Όμως όταν τείνει να εγκαταλείψει το σώματον δίσκο, οριακά γίνεται: F = 0Επομένως: 2 2y 0 y 1 m− ≥ ⇔ ≤

Άρα: maxy = 1 m

γ. 2 2 2F 0 mg mω y 0 g 4π f y 0≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ⋅ ≥

2 2 22

gg 4π f y f

4π y≥ ⋅ ⇔ ≥

⋅Το χάσιμο επαφής γίνεται στη θέση y = A , άρα:

2max max2

gf f = 1Hz

4π A= ⇒

⋅

5. Το σώμα του σχήματος ισορροπεί με τη βοήθεια τηςδύναμης F=20 N. Tη χρονική στιγμή t=0 η δύναμη Fκαταργείται. Δίνονται:Κ=200 N/m, m=2 kg g=10 m/s2.α. Να γράψετε την χρονική εξίσωση της δυναμικής ε-

νέργειας της ταλάντωσης; Θεωρείστε ότι για t=0 εί-ναι x>0.

β. Ποιο είναι το έργο της δύναμης επαναφοράς από τηστιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή που το σώμα αποκτά μέ-γιστη ταχύτητα;

γ. Ποια είναι η σχέση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με τονχρόνο Fελ=f(t);

δ. Σε ποιες θέσεις το σώμα αποκτά ταχύτητα μέτρου υmax/2; Ποιες στιγμέςκατά τη κάθοδο γίνεται αυτό;

ε. Ποιος ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος;

Λύση:

α. Αρχικά για την ισορροπία, με την επίδραση της δύναμης F, στη θέση (1) ισχύει:ΣF=0 ⇔ mg - Fελ - F = 0 ⇔ Fελ = 0 ⇔ Δl=0

άρα το ελατήριο είναι στη θέση φυσικού μήκους (Θ.Φ.Μ.)Αφήνεται το σώμα να εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση γύρω από τηθέση ισορροπίας της ταλάντωσης (Θ.Ι. θέση 2) όπου:

ΣF=0 ⇔ mg - Kx1=0 ⇔ mg=Kx1 ⇔ x1=0,1 mΆρα και το πλάτος θα είναι Α=x1=0,1 m και

D=K ⇔ mω2=K ⇔ ω=10 r/sΕπειδή τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στη θέση x= A (x>0) η αρχική φάση

είναι: 0πφ = rad2

Δηλαδή: x=0,1ημπ

10t +2

S.I.

Άρα: D=K2 21 πU = D x U =1 ημ 10t +

2 2 ⋅ → ⋅

S.I.

β. υmax=ω .Α=1 m/sΕφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για να υπολογίσουμε το έργο της ολικής δύναμης Fεπαν.

WFεπαν=ΔΚ⇔ 2 2F(επαν) max F(επαν) F(επαν)

1 1W mυ 0 W = 2 1 J W =1J

2 2= − ⇔ ⋅ ⇔

γ. ΣF = -Dx⇔ Fελ -mg = - Kx⇔ Fελ= mg -Kx ⇔ Fελ=20-20ημπ

10t +2

S.I.

δ. Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε. Τ.

ολU+Κ Ε= ⇔

2 2D K2 2 2 2max max

1 1 1υ υ1 1 1 3

D x + m = DA K x + m = KA x = ± m2 2 2 2 4 20

= → ⇔

Ισχύει: υ=υmaxσυνπ

10t +2

Αλλά: υ=-υmax/2 (προς τα κάτω η φορά είναι αρνητική)

Άρα:

π10t + (1)π 1 2συν 10t +

π2 210t + (2)

2

π = κπ+ = − ⇒ π = κπ−

22

32

23

κ=0 κ=1(1) t = s (2) t = sπ 5π60 60

→ →

Σημείωση

Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και αν λύναμε την εξίσωση: x=0,1ημπ

10t +2

για3 3

x= m, x= m20 20

−

ε. Δp Δp= D xFΔt Δt

⇔ = − ⋅∑ . Άρα:max

ΔpK A 20 N

Δt = ⋅ =

6. Κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις.Ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναιL=10-2H. Η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτήείναι: q=10-2 συνωt S.I.και ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής του φορτίουείναι 1C/s. Να βρεθούν:α. η περίοδος του φαινομένου η χωρητικότητα του

πυκνωτή και ο ρυθμός μεταβολής της ενέργει-ας του πηνίου τη χρονική στιγμή t=5π.10-3s.

β. Να επαληθεύσετε ποιοτικά το αποτέλεσμα του ερωτήματος (α) με τηβοήθεια του διαγράμματος της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου τουπηνίου σε σχέση με το χρόνο.

γ. Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του μαγνητικού

πεδίου του πηνίου;Λύση:

α. max

Δq Δq= i = I

Δt Δt⇒

όμως: Ι=Q·ω 2

Ι 1ω = ω = rad/s = 100 rad/sQ 10−⇔ ⇔

Άρα: 2π 2π πω T sΤ ω 50

= ⇔ = =

2

1 1ω = C = C = 10 FLωLC

2−⇒ ⇔

L C CL L V =V V =q/CP =VB B BL L C

ΔU ΔU ΔU= P = V V

Δt Δt Δt→ ⋅ → = ⋅ →i i i

BΔU q

Δt C= ⋅i , αλλά είναι: q=10-2 συν(100.5π.10-3) = 0,άρα: BΔU

0Δt

=

β. 2 2 2 2 3 2B

1 1U L 10 1 100t = 5 10 100t S.I.

2 2− −= ⋅ = ⋅ ⋅ηµ ⋅ ⋅ηµi

Η στιγμιαία ισχύς ισούται αριθμητικά με τηνκλίση της καμπύλης στο διάγραμμα ενέργει-ας – χρόνου UB=f(t).Επειδή τη χρονική στιγμή t = 5π. 10–3 s πουαντιστοιχεί στη στιγμή Τ/4, η κλίση της κα-μπύλης είναι μηδέν συμπεραίνουμε ότι και ηισχύς είναι μηδέν.

γ. PL=VL· i =Vc·i= ( )Q Q Ι Q Ισυνω Ιημω συνω ημω ημ2ωC C 2C

t t t t t⋅ ⋅− = − −⋅ ⋅ =

Άρα: L,maxQ Ι

P2C

⋅= =

2

2

10 1J = 0,5J

2 10

−

−⋅

⋅

7.α. Να βρείτε την ενέργεια του ιδανικού πηνίουκαι του πυκνωτή στο διπλανό κύκλωμα,όταν ο διακόπτης Δ είναι κλειστός.

β. Ο διακόπτης ανοίγει τη στιγμή t=0. Ποιοςοπλισμός θα φορτιστεί πρώτα θετικά; Πόσοείναι το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή;

γ. Να γράψετε τις εξισώσεις q, i με το χρόνο t.δ. Πόσο είναι το φορτίο του πυκνωτή όταν

UE=UB; Πότε θα γίνει αυτό για 2η φορά;

Δίνονται: R=20Ω, Ε=40V, L=10-2 H, C=4 μFΛύση:α. Σχεδιάζουμε το ρεύμα στο κύκλωμα όπως φαίνεται στο σχήμα. Από το νόμο του

Ohm έχουμε: 40VEI = = = 2Α

r + R 20Ω

H ενέργεια του πηνίου είναι:

UΒ=1

2L·Ι2⇒ UΒ=

1

210-2·22 J⇒ UΒ=0,02 J

Η τάση του πυκνωτή είναι: VC=VΚΛ=VπηνΑλλά Vπην=0 γιατί το πηνίο είναι ιδανικό.

Άρα: VC=0

Επομένως ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος και UE=0.

β. Όταν ανοίξει ο διακόπτης το κύκλωμα L-Cκάνει ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τη στιγμή t=0o πυκνωτής δεν έχει ενέργεια, ενώ το πηνίοδιαρρέεται από ρεύμα I=2AΤα ηλεκτρόνια στο κύκλωμα τη στιγμή t=0κινούνται, όπως φαίνεται στο σχήμα. Άρα θαφορτιστεί πρώτα θετικά ο δεξιός οπλισμός τουπυκνωτή.Το μέγιστο φορτίο Q του πυκνωτή είναι:

ω 1

LCII Q ω Q Q I LC

ω

== ⋅ ⇒ = → = ⇒ 8 -4Q = 2 4 10 C 4 10 C−⋅ = ⋅

γ. Επειδή τη στιγμή t=0 είναι q=0 και i=Ι, ισχύουν oι γενικές εξισώσεις:

q=Q · (συνωt+φ) και i= – Ι·ημ(ωt+φ)

και όχι αυτές με τη μορφή που ξέρουμε από τη θεωρία.Για t=0 είναι i=Ι και παίρνουμε:

Ι= – Ι·ημφ ή ημφ= – 1 ή φ= – π/2

Άρα: i= – Ι·ημ(ωt - π/2) ⇒ ι = 2 · συν(5000t) S.I.

q=Q·συν(ωt - π/2) ⇒ q=4·10-4 ημ(5000t) S.I.

δ. Από Α.Δ.Ε. έχουμε: UE+UB=Εολ

Άρα: UΕ=1

2Εολ ⇔

2q

2C=

1

2

2Q

2C ⇔ q= -4Q

= ±2 2 10 C2

± ⋅

Στην εξίσωση του φορτίου αντικαθιστούμε -4q = 2 2 10 C⋅ και παίρνουμε τη 2ηλύση.

-4 -4 22 2 10 4 10 ημ(5000t) ημ(5000t) =

2⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ ⇒

π5000t = 2kπ +

4π

5000t = 2kπ + π -4

Για k=0 έχουμε: 1 2t s, t sπ 3π

20000 20000= =

8. Σώμα κάνει φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και η απομάκρυνση με το

χρόνο είναι: ⋅⋅ ⋅-ln8 tx = 0,4 e συν(ωt)Αν σε χρόνο t=2Τ το πλάτος ελαττώνεται κατά 50%, να βρείτε:α. την σταθερά Λ και την περίοδο Τ της φθίνουσας ταλάντωσης,β. τον χρόνο υποδιπλασιασμού του πλάτους,γ. τον χρόνο υποδιπλασιασμού της ενέργειας.

Λύση:α. Από τη θεωρία τo πλάτος σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται από την εξίσωση:

Α = A0e-Λt (1)Συγκρίνοντας τη σχέση αυτή με αυτή που δίνει η άσκηση είναι:A0=0,4 m και Λ= ln8 s-1 Λ= 3. ln2 s-1

Αντικαθιστώντας t=2T έχουμε:

3

- n8 2T - n8 2T 10,2 = 0,4 e e - n8 2T = - n2

21

n2 2T = n2 n2 2T = n2 T = s6

3

⋅ ⋅⋅ ⇔ = ⇒ ⋅ ⇒

⋅ ⇒ ⋅ ⇒

l l l l

l l l l

β. Ο χρόνος υποδιπλασιασμού του πλάτους βάσει της εκφώνησης είναι:Τ1/2=2Τ=1/3 s

γ. Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή δίνεται από την εξίσωση:2Λt

n 0E = E e (1)−⋅

όπου: 20 0

1E = D A

2⋅ και t=n.T

Για n 0= / 2Ε Ε από τη σχέση (1) προκύπτει:

1 1-2Λt -2Λt00

1= E e = e

2 2

Ε⇒ ⇒ 1 1

n2n2 2Λt t =

2Λ=− − ⇒ l

l =1/6 s

9. Δίνεται για το κύκλωμα C=20 mF, = 1L H

9,

R1=25 Ω, R2=100 Ω. Αρχικά ο πυκνωτήςβρίσκεται σε τάση 20V. Κλείνουμε το δια-κόπτη και αρχίζει φθίνουσα ηλεκτρική τα-λάντωση. Κάποια στιγμή που το φορτίο τουπυκνωτή γίνεται μηδέν για 1η φορά, η έντα-ση του ηλεκτρικού ρεύματος γίνεται 6Α. Ναβρεθεί η θερμότητα που εκλύθηκε σε κάθεαντίσταση μέχρι τότε.

Λύση:

Η αρχική ενέργεια του πυκνωτή είναι: 2E,max

1U = CV

2

Με αντικατάσταση έχουμε: -3 2E,max E,max

1U = 20 10 20 J U = 4J

2⋅ ⋅ ⇒

Όταν είναι: q=0, τότε Ι=6Α

Άρα: 2 2B,max B,max B,max

1 1 1U = Li U = 6 J U = 2J

2 2 9⇒ ⇒

Η απώλεια ενέργειας είναι η θερμότητα που εκλύθηκε στις αντιστάσεις.

Άρα: UE,max - UB,max=QR,ολ ή QR,ολ = 2 J

Επειδή οι αντιστάσεις διαρρέονται από κοινό ρεύμα, ο λόγος των θερμοτήτων ισού-ται με το λόγο των αντιστάσεων.

21 1 1

22 22

Q ΣΙ R ΔΤ RQ RΣΙ R ΔΤ

⋅ ⋅= = ⇒

⋅ ⋅ Δηλαδή: 1 1 1 1

2 2 2 2

1 2

Q R Q Q25 1= = =

Q R Q 100 Q 4

Aλλα : Q + Q = 2J

⇔ ⇔

Οπότε παίρνουμε: Q1=0,4 J και Q2=1,6 J

10. Σώμα μάζας m=4 kg εκτελεί εξαναγκασμένηταλάντωση πλάτους Α=0,4 m, στερεωμένοστο άκρο ελατηρίου σταθεράς K = 400 N/m ,υπό την επίδραση εξωτερικής περιοδικής

δύναμης με συχνότητα Δ3

f = Hzπ . Το σώμα

για t = 0 βρισκόταν στην θέση ισορροπίαςτου, ξεκινώντας κατά τη θετική φορά.α. Να γραφεί η εξίσωση της ταλάντωσης

που πραγματοποιεί το σύστημα και ναυπολογιστεί η ολική της ενέργεια.

β. Αυξάνουμε τη συχνότητα του διεγέρτη

σε ΄ 4f = Hz

πΔ . Τι θα συμβεί με το πλάτος της ταλάντωσης και γιατί;

γ. Πόση θα έπρεπε να ήταν η μάζα m1 του σώματος στο αρχικό πείραμα,για να παρουσίαζε το σύστημα μέγιστη ικανότητα απορρόφησης ε-νέργειας από το διεγέρτη;

Θεωρείστε ότι η σταθερά απόσβεσης b του συστήματος είναι πολύ μικρή.Λύση:α. Το σύστημα έχει συχνότητα ταλάντωσης την fΔ, άρα:

2 f 6 rad / s∆ω = π ⋅ = , Α=0,4 m και φ0=0.

Άρα: x 0,2 (6t) S.I.= ⋅ηµ

και2 2 2DA m

E 11,52 J2 2ΟΛ

ω Α= = =

β. H ιδιοσυχνότητα είναι: 01 10

f Hz2 m

Κ= =

π π

Έτσι, επειδή η f ΄∆ είναι πιο κοντά στην 0f απ’

ότι η ( )΄0f f f f∆ ∆ ∆< < , το νέο πλάτος Α΄ θα εί-

ναι μεγαλύτερο του Α.

γ. Θα πρέπει να έχουμε συντονισμό, δηλαδή:

01

1f f f

2 m∆ ∆Κ= ⇒ = ⇒

π 1m 4Kg=

ΣημειώσειςΠροσέξτε ότι εδώ είναι 2D m= ω και όχι D = K, όπως θα συνέβαινε στην ελεύ-θερη ταλάντωση.Επειδή το b είναι πολύ μικρό, θεωρήσαμε ότι έχουμε συντινισμό ακριβώς όταν

0f f∆ = .

11. Υλικό σημείο εκτελεί δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότη-τας, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:

x1= ⋅ −

π3 ημ 10t

3 και x2=1.ημ +

π10t

6 x1, x2 σε cm και t σε s.

α. Να βρείτε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης.β. Να βρείτε την ενέργεια του υλικού σημείου που εκτελεί τη συνισταμέ-

νη ταλάντωση αν m=1 kg.γ. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν x=1 cm.

Λύση:α. Η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο ταλαντώσεων είναι: Δφ=φ2 − φ1=+π/2 rad

Η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης είναι:

x=Α΄.ημπ

10t +θ3

− Το πλάτος Α΄ και η θ της συνισταμένης ταλάντωσης υπολογίζονται από τις σχέ-σεις:

( )2 2 πA΄ 3 +1 + 2 3 1 συν cm 2 cm

2 = ⋅ ⋅ ⋅ =

και

π1 ημ

1 π2εφθ = = θ = radπ 633 +1 συν2

⋅ ⇒ ⋅

Τελικά: x=2.ημπ π

10t - +3 6

(x σε cm, t σε s)

β. Η ενέργεια του υλικού σημείου είναι: 2 2 2ολ

1 1E = D Α΄ = mω Α΄

2 2⋅ ⋅

Με αντικατάσταση παίρνουμε:

( )22 2 -2ολ ολ

1E = 1 10 2 10 J E = 2 10 J

2−⋅ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅

γ. Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε. Τ.

ολU+Κ Ε= ⇔

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1D x + mυ = DA΄ D x + mυ = DA΄

2 2 2

ω x + υ = ω A υ = 3 m/s

⇔ ⇔

⇔

12. Η κίνηση ενός σωματιδίου περιγράφεται από την εξίσωση:

( ) ( )⋅ ⋅y = 8 συν 2t ημ 202t ( )σε cm, t σε sy

α. Αναγνωρείστε το είδος της κίνησης και αναφέρετε τις προϋποθέσειςπου πρέπει να ισχύουν για τις δύο συνιστώσες κινήσεις.

β. Γράψτε τις εξισώσεις των δύο κινήσεων που είναι οι συνιστώσες τηςκίνησης που δίνεται.

γ. Πόσες φορές σε χρόνο t =2πs μεγιστοποιείται το πλάτος της συνιστα-μένης κίνησης;

Λύση

α. Είναι διακρότημα. Θα πρέπει οι δύο ταλαντώσεις να έχουν:• ίδια διεύθυνση,• ίδιο πλάτος,• να εξελίσσονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και• οι συχνότητές τους να διαφέρουν πολύ λίγο.

β. Από τη θεωρία είναι: 1 2 1 2ω -ω ω + ωy = 2A συν t ημ t

2 2 ⋅ ⋅

Άρα: 2A = 8cm A = 4cm⇒

1 2

1

1 2 2

ω ω= 2rad/s ω = 204 rad/s2

ω + ω ω = 200 rad/s= 202rad/s

2

− ⇒

και ( )1y 4 ημ 204t= ⋅ , ( )2y = 4 ημ 200t⋅ ( )1 2y , y σε cm, t σε s

γ. Η συχνότητα του διακροτήματος είναι: δ 1 22

f = f f = Hzπ

−

Άρα σε t = 2πs το πλάτος μεγιστοποιείται:

δ

t 2πΝ Ν Ν 4Τ π / 2

= ⇒ = ⇒ = φορές.

1. To διάγραμμα υ=f(t) για ένα σώμα μάζας m=2 Kg που κάνει γ.α.τ. φαίνεταιστο σχήμα.

α. Να βρείτε: τη σταθερά D, να γράψετε τις εξισώσεις y=f(t) και α=f(t).β. Ποια στιγμή είναι U=K για 3η φορά;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

2. Μικρό σώμα μάζας 1m 1kg= εκτελεί γ.α.τ. σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στε-ρεωμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=100 N/m, έχοντας μέ-γιστη ταχύτητα 2 m/s. Τη στιγμή ακριβώς που το σώμα 1m βρίσκεται σε

ακραία θέση, προσκολλάται πάνω του δεύτερο σώμα 2m 2kg= .α. Πόσο είναι το πλάτος της νέας ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα mολ;

β. Ποιος είναι ο λόγος 2

1

TT

των περιόδων των δύο ταλαντώσεων;

γ. Ποιά η επί τοις εκατό μείωση της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

3. Το σώμα μάζας m=1Kg ισορροπεί όπως φαίνεται στοσχήμα και τα κατακόρυφα ελατήρια με σταθερέςK1=120N/m, K2=80 N/m θεωρούνται ιδανικά. Όταν τοσώμα ισορροπεί το πρώτο ελατήριο είναι επιμηκυμένοκαι το δεύτερο συσπειρωμένο

α. Να δείξετε ότι αν η μάζα απομακρυνθεί κατά 0,2 mπάνω από τη Θ.I. της κατά τη διεύθυνση του κατακό-ρυφου άξονα και αφεθεί ελεύθερη, θα εκτελέσει γ.α.τ.και να υπολογίσετε την περίοδό της.

β. Να βρείτε την μέγιστη δυναμική ενέργεια του κάθεελατηρίου.

γ. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής τουσώματος στις ακραίες θέσεις.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

4. Ένας δίσκος μάζας m1=2Kg συνδέεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελα-τηρίου Κ= 400 Ν/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε ορο-φή. Ένα σώμα μάζας m2=m1 τοποθετείται πάνω στο δίσκο και τη στιγμήt0=0 το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Τη στιγμή t0=0 θεωρούμετην απομάκρυνση θετική. Δίνεται g=10m/s2.α. Να βρεθούν το πλάτος και η περίοδος της κίνησης.β. Να γράψετε τη σχέση x=f(t).γ. Να βρείτε την μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

5. Ένα σώμα μάζας m=10 Kg συνδέεται στοάκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ.Το σύστημα κάνει γ.α.τ. πλάτους 0,2 m καιστο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα φάσης- χρόνου.α. Να υπολογίσετε τη σταθερά Κ του ελα-

τηρίου.β. Να γράψετε τις εξισώσεις y= f(t) και

υ= f(t).γ. Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για να γίνει μέγιστη η ταχύτητα του

σώματος.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

6. Σε ιδανικό κύκλωμα L - C, το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται

από τη σχέση: 3i 2 10 ημ1000t−= ⋅ S.I.

ενώ το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,25 H.Να βρείτε:α. την εξίσωση του φορτίου στους οπλισμούς του πυκνωτή σε σχέση με

το χρόνο.β. την τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή.

γ. το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή τη στιγμή που -3i 10 A= .δ. τη χρονική στιγμή που γίνεται UE=UB για 2η φορα.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................