Από τα Μαθηµατικά στη Φυσική Μέσω του Λογισµικού Ιχνηλασίας Tracker- Μία Μελέτη της Κυκλικής Κίνησης

Μιχάλης Πετρόπουλος MSc, Υποψήφιος Διδάκτορας ΕΑΠ

Εργαστήριο Φυσικής ΕΑΠ, Οµάδα Σωµατιδιακής και Αστροσωµατιδιακής Φυσικής

Περίληψη Η σχέση µεταξύ Φυσικής και Μαθηµατικών είναι αµφίδροµη και αλληλοεξαρτώµενη. Η Φυσική χρησιµοποιεί τα µαθηµατικά ως εργαλείο και τα µαθηµατικά εξελίσσονται µέσω των νέων αναγκών που δηµιουργούνται από τις έρευνες της Φυσικής. Αυτή η σχέση διαπιστώνεται ότι δηµιουργεί σοβαρά προβλήµατα στους µαθητές, οι οποίοι σε σηµαντικά ποσοστά αδυνατούν να συνδέσουν τις δύο επιστήµες και να κατανοήσουν τη χρήση των µαθηµατικών εξισώσεων στην περιγραφή των φυσικών φαινοµένων. Ιδιαίτερο πρόβληµα παρουσιάζεται στην ενότητα των αρµονικών συναρτήσεων, οι οποίες περιγράφουν ευρύ φάσµα φυσικών φαινοµένων και είναι αναγκαίες στην εµπέδωση των φυσικών εννοιών στις περισσότερες διδακτικές ενότητες στο Γυµνάσιο και το Λύκειο. Μέσω του λογισµικού ιχνηλασίας Tracker προτείνουµε την πρακτική προσέγγιση των δύο επιστηµών, περιορίζοντας τη χρήση εξισώσεων που λειτουργούν απωθητικά στους µαθητές. Τα αποτελέσµατα της εφαρµογής της πρότασής µας είναι ενθαρρυντικά, απαιτείται όµως µεγαλύτερης έκτασης αξιοποίηση της πρότασης ώστε τα συµπεράσµατα να γενικευθούν και να προταθούν ως εναλλακτικός τρόπος παρουσίασης στους µαθητές.

Λέξεις κλειδιά: ηµίτονο, συνηµίτονο, Tracker, ιχνηλασία, κυκλική κίνηση

Εισαγωγή «Ο φυσικός, στη µελέτη του για τα φυσικά φαινόµενα, έχει δύο µεθόδους για την επίτευξη προόδου: (1) τη µέθοδο του πειράµατος και της παρατήρησης, και (2) τη µέθοδο της µαθηµατικής λογικής» [1].

Η στενή σχέση µεταξύ φυσικής και µαθηµατικών έχει επαρκώς αναλυθεί τόσο στην ελληνική όσο και στην παγκόσµια βιβλιογραφία [2-7], τόσο σε εκπαιδευτικό όσο και σε φιλοσοφικό επίπεδο [8]. Τα µαθηµατικά απαιτούνται για την εξερεύνηση, περιγραφή και ερµηνεία των φυσικών φαινοµένων. Η θεµελιώδης διαφορά Φυσικής και Μαθηµατικών είναι ότι στη Φυσική ακόµα και µη αισθητές οντότητες του επιστητού µπορούν να διαπιστωθούν, ανιχνευθούν και µελετηθούν µε µεγάλη ακρίβεια έστω και εµµέσως, µέσω των αλληλεπιδράσεων µε τον υπόλοιπο κόσµο (π.χ. βαρυτικά και µαγνητικά πεδία, φωτόνια), ενώ στα µαθηµατικά οι έννοιες διατηρούνται σε ένα πιο αφαιρετικό επίπεδο και συλλαµβάνονται νοητικά [6, 9]. Υπάρχουν διαφορές τόσο στο περιεχόµενο όσο και στον τρόπο χρήσης των ίδιων µαθηµατικών εργαλείων µεταξύ φυσικής και µαθηµατικής επιστήµης, οδηγώντας σε διάκριση της γλώσσας των «µαθηµατικών στα µαθηµατικά» και των «µαθηµατικών στη φυσική» [10]. Όµως, η σηµασία της αλληλεπίδρασης µεταξύ των δύο επιστηµών µπορεί να συνοψιστεί στη γνωστή διατύπωση του Richard Feynman: «... είναι αδύνατο να ερµηνευθεί έντιµα η οµορφιά των νόµων της φύσης µε τρόπο κατανοητό από το κοινό, χωρίς αυτό να έχει κάποια βαθιά συναίσθηση των µαθηµατικών» [11].

Αυτή η στενή σχέση, όµως, διαπιστώνεται ότι είναι µία από τις βασικές αιτίες των δυσκολιών που συναντούν οι µαθητές στην κατανόηση των φυσικών εννοιών και της αδιαφορίας που αυτοί επιδεικνύουν προς το αντικείµενο της Φυσικής [12]. Υπάρχει

εκπεφρασµένη ενόχληση ότι η Φυσική ως διδακτικό αντικείµενο παρουσιάζει ιδιαίτερη µαθηµατικοποίηση [13,14], είναι περισσότερο µαθηµατική και ποσοτική παρά ποιοτική, γεγονός που ενοχλεί τους µαθητές και λειτουργεί απωθητικά [15-17]. Αφήνεται, έτσι, σε δεύτερο επίπεδο η κατανόηση των εννοιών, που θεωρούνται ως προαπαιτούµενο για να µπορεί ο µαθητής όχι µόνο να κάνει τη διεπιστηµονική µετάβαση από το ένα αντικείµενο στο άλλο, αντιλαµβανόµενος αφενός την αναγκαία και αποτελεσµατική αλληλεξάρτηση, αποσαφηνίζοντας αφετέρου την ακρίβεια και τα όρια των φυσικών νόµων [5, 18, 19]. Στην Ελλάδα η δυσχέρεια αυτή επιτείνεται και λόγω της λανθάνουσας αντιπαλότητας µεταξύ µαθηµατικών και φυσικών για τα «επιστηµονικά πρωτεία» [4]. Ως µια εκ των προτεινοµένων λύσεων για την αναστροφή του κλίµατος προτείνεται η χρήση εργαστηρίων, εικονικών ή µετωπικών, που θα δίνουν έµφαση στην ποιοτική µελέτη των φυσικών φαινοµένων και λιγότερο στο µαθηµατικό φορµαλισµό [20-22].

Οι αρµονικές συναρτήσεις, η Φυσική και οι µαθητές Η εφαρµογή των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων στη Φυσική είναι από τις πλέον συχνές µεταξύ των διαθέσιµων µαθηµατικών εργαλείων. Η διαπιστωµένη δυσκολία των µαθητών να συνδυάσουν µαθηµατικές εξισώσεις και εφαρµογή τους στα φυσικά φαινόµενα είναι εµφανής και στην περίπτωση των αρµονικών συναρτήσεων [23,24]. Οι Mikula & Feckler [25], µε σηµαντικές βιβλιογραφικές αναφορές και απεικονίσεις, δείχνουν το µέγεθος της αδυναµίας των µαθητών να συνδέσουν τριγωνοµετρικά µεγέθη µε φυσικά φαινόµενα. Ο Ozimek [26] καταλήγει στο συµπέρασµα ότι οι µαθητές κάνουν ελάχιστη µεταφορά γνώσης από τα µαθηµατικά προς τη Φυσική όταν ζητείται η εφαρµογή του ηµιτόνου και του συνηµιτόνου σε πρακτικά προβλήµατα µε την κλασική εξέταση της µεταφοράς, µέσω της απόδοσης σε εξετάσεις και tests, ενώ η ικανότητα αυτή αυξάνεται όταν ελέγχεται µε πιο σύγχρονες οπτικές, που αντιµετωπίζουν τη µεταφορά γνώσης ως µια δυναµική διαδικασία, η οποία εξαρτάται από πληθώρα παραγόντων. Παρά τη καταγεγραµµένη αδυναµία των µαθητών να κατανοήσουν τις αρµονικές συναρτήσεις και να τις συνδέσουν µε φυσικά φαινόµενα της καθηµερινής ζωής τους, η σχετική εκπαιδευτική έρευνα και βιβλιογραφία είναι αραιή ακόµα και σε διεθνές επίπεδο [27], ενώ στην Ελλάδα είναι ελάχιστη και προσανατολισµένη στο αναλυτικό πρόγραµµα σπουδών και στη λογική της µεθοδολογίας λύσης. Η διατριβή του Λιναρδάκη [28] απλώς επιβεβαιώνει τα διεθνή συµπεράσµατα σχετικά µε τις επιδόσεις των µαθητών στην τριγωνοµετρία και στις ελληνικές σχολικές αίθουσες.

Οι έλληνες µαθητές διδάσκονται από το γυµνάσιο τις βασικές αρµονικές συναρτήσεις. Στο σχολικό βιβλίο της Β’ Γυµνασίου περιέχεται ένα µικρό κεφάλαιο σχετικά µε την εφαπτοµένη, το ηµίτονο και το συνηµίτονο –ουσιαστικά διδάσκονται τριγωνοµετρικούς αριθµούς- ενώ οι προβλεπόµενες ώρες διδασκαλίας είναι µόλις δύο. Οι µαθητές συναντούν στη Β’ Λυκείου την έννοια της τριγωνοµετρικής συνάρτησης, εξαιρετικά συµπιεσµένα και στο τέλος της σχολικής χρονιάς πλέον, προσπαθώντας να κατανοήσουν πώς η στατική συµπεριφορά των τριγωνοµετρικών αριθµών ξαφνικά µετατρέπεται σε συνάρτηση. Οι µαθητές καλούνται να κατανοήσουν µια επιστήµη 1700 ετών µέσα λίγα λεπτά [29], ενώ οι µαθηµατικές έννοιες είναι ασύνδετες µε την καθηµερινότητα και τις υπόλοιπες επιστήµες [30]. Τα χρονικά και εκπαιδευτικά κενά στο αναλυτικό πρόγραµµα

δυσκολεύουν τους µαθητές, οι οποίοι καταλήγουν µηχανιστικά να απαντούν σε προβλεπόµενα και τετριµµένα θέµατα.

Οι µαθητές τυποποιηµένα διδάσκονται πώς να αναλύουν στοιχειωδώς διανύσµατα σε κεκλιµένο επίπεδο µε χρήση αρµονικών συναρτήσεων, χωρίς περαιτέρω εµβάθυνση και σύνδεση των φυσικών φαινοµένων µε τη τριγωνοµετρία. Η ανάγκη, όµως, µεταφοράς γνώσης από τα µαθηµατικά στη Φυσική είναι υπαρκτή, καθώς η διδακτέα ύλη τόσο στη Γ’ Γυµνασίου όσο, και κυρίως, στο Λύκειο, προαπαιτεί την κατανόηση των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων.

Το διδακτικό σενάριο Τη σύνδεση αυτή προσπαθήσαµε να κάνουµε µέσω πειραµατικής διαδικασίας και χρήση λογισµικού ιχνηλασίας Tracker. Οι διδασκόµενοι παρακολούθησαν ταυτόχρονα την εξέλιξη του φυσικού φαινοµένου και τις διαφορετικές γραφικές παραστάσεις της ίδιας κίνησης, συσχετίζοντας έτσι τη δυνατότητα απεικόνισης της, ενώ παράλληλα γίνονταν αµφίδροµες µεταβάσεις µεταξύ των κινήσεων και των γραφικών παραστάσεων. Τα προγράµµατα video analysis έχουν τη δυνατότητα αξιοποίησης απλών καθηµερινών υλικών, µε µόνες απαιτήσεις µια αξιόπιστη κάµερα εγγραφής –ακόµα κι ενός κινητού τηλεφώνου- κι έναν υπολογιστή µετρίων δυνατοτήτων. Τα πειράµατα αυτά έχουν κύρος µεταξύ των µαθητών, διότι τα εκτελούν οι ίδιοι, χωρίς τη χρήση εξεζητηµένων υλικών εργαστηρίου, που συχνότατα δίνουν την αίσθηση ότι δεν έχουν σχέση µε τον «πραγµατικό κόσµο», έχοντας άµεση αντίληψη των γεγονότων [31]. Το σενάριο εφαρµόστηκε σε µαθητές της Α’ και Β’ Λυκείου του Εσπερινού Λυκείου Αµαλιάδας. Πρόκειται για εργαζόµενους µαθητές σε χειρονακτικές εργασίες αυξηµένων απαιτήσεων, µεγάλης ηλικίας στην πλειονότητά τους, µε γνωσιακά κενά τόσο στο µαθηµατικό όσο και στο γλωσσικό τους υπόβαθρο, χωρίς ιδιαίτερη άνεση για σοβαρή µελέτη. Εµφανίζουν σχεδόν καθολική αδυναµία κατανόησης τόσο των συµβολισµών της Φυσικής και της σύνδεσης των µαθηµατικών της εκφράσεων µε τα φαινόµενα που περιγράφουν αυτές, όσο και των γραφικών απεικονίσεών τους. Όµως, πρόκειται για µαθητές µε εξαιρετικές τεχνικές ικανότητες και υψηλή αντιληπτική ικανότητα. Όπως φαίνεται και στην εικόνα 1, τα υλικά που χρησιµοποιήθηκαν είναι εξαιρετικά απλά: ένα παιδικό τρενάκι, κυκλικές δίχρωµες ράγες, ένα τρίποδο και µια οικονοµική κάµερα λήψης. Κι αυτό για να διευκολυνθεί η επίτευξη του στόχου µας, που ήταν η ποιοτική και άµεση σύνδεση της οµαλής κυκλικής κίνησης που εκτελείται σε ένα ευχάριστο παιδικό παιχνίδι, µε τις µαθηµατικές εκφράσεις του ηµιτόνου και του συνηµιτόνου. Μετά την ολοκλήρωση της συναρµολόγηση του παιχνιδιού από τους µαθητές ακολούθησε συζήτηση σχετικά µε το ποια πρέπει είναι η αρχή των αξόνων για τον προσδιορισµό της θέσης του κινητού κάθε στιγµή. Μετά από λίγες προτάσεις και ενδιαφέροντα διάλογο, συµφωνήθηκε ότι η πλέον κατάλληλη τοποθέτηση της αρχής των αξόνων είναι στο κέντρο της κυκλικής τροχιάς αποσαφηνίζοντας τη λογική της συγκεκριµένης επιλογής, λόγω συµµετρίας της κίνησης. Με µετροταινία υπολογίστηκε η ακτίνα της τροχιά από το εκτιµώµενο κέντρο µέχρι το µέσον του ηλεκτροκίνητου τρένου. Ακολούθησε συζήτηση σχετικά µε την κίνηση του τρένου πάνω στη κυκλική ράγα και απόπειρες ερµηνείας της από τους µαθητές, µε απλά ελληνικά και µακρυά από ορολογίες πολύπλοκες και άγνωστες προς την καθηµερινότητά τους.

Εικόνα 1: Τα υλικά που χρησιµοποιήθηκαν στο εκπαιδευτικό σενάριο

Μετά τις εισαγωγικές συζητήσεις ξεκίνησε η κινηµατογράφηση της κίνησης από τους ίδιους τους µαθητές (εικόνα 2). Η εµπειρία δεν ήταν πρωτόγνωρη για τους µαθητές µας, καθώς ήδη είχαν µε παρόµοια διαδικασία µελετήσει την κίνηση σώµατος σε κεκλιµένο επίπεδο [31]. Οι µαθητές χρονοµέτρησαν µε τα κινητά τους τηλέφωνα τον απαιτούµενο χρόνο για µια δεκάδα περιστροφών, ώστε να εξαχθεί µε το ελάχιστο δυνατό σφάλµα η περίοδος περιστροφής, και µε τη χρήση µετροταινιών προσδιορίστηκε η ακτίνα της τροχιάς.

 Εικόνα 2: οι µαθητές σε πλήρη δράση κατά την εκτέλεση του πειράµατος

Για καλύτερη και καθαρότερη ανάλυση τα “πειραµατικά όργανα” µεταφέρθηκαν πάνω σε πάγκο εργασίας και ξανακινηµατογραφήθηκε η διαδικασία. Έγιναν οι βασικές ενέργειες τοποθέτησης αρχής των αξόνων και βαθµονόµησής τους, η επιλογή τού σηµείου αυτόµατης ιχνηλασίας και οι γραφικές παραστάσεις που επιθυµούσαµε να προβληθούν στο σχετικό παράθυρο του λογισµικού. Στην εικόνα 3 απεικονίζονται τα αποτελέσµατα της ιχνηλασίας και στο άνω δεξιό παράθυρο οι γραφικές παραστάσεις της θέσης του κινητού µε το χρόνο για τους άξονες xx’ και yy’, όπου είναι εµφανής η γνωστή απεικόνιση των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων.

 Εικόνα 3. Ιχνηλασία της οµαλής κυκλικής κίνησης παιδικού τρένου, για κατανόηση της χρήσης του ηµιτόνου

και του συνηµιτόνου στη Φυσική.

Συζητήθηκε ακολούθως ξανά η επιλογή των αξόνων, η αρχή µέτρησης της µετατόπισης και σχολιάστηκε εκτενώς αν η ορθότητα και η λογική των γραφικών παραστάσεων της µετατόπισης στους άξονες xx’ και yy’ ανταποκρίνονται στο συγκεκριµένο φυσικό φαινόµενο, όπως αυτές παράγονται από το λογισµικό. Ιδιαίτερα αποτελεσµατική και χρήσιµη αποδείχθηκε η συµβολή των µεγαλυτέρων σε ηλικία µαθητών, οι οποίοι µε ευκολία, λόγω εµπειρίας, αντιλήφθηκαν τη λογική των γραφηµάτων και τη µετέφεραν στους υπολοίπους, βάσει του κοινού τους κώδικα επικοινωνίας, αναδεικνύοντας µερικά από τα πλεονεκτήµατα της οµαδοσυνεργατικής προσέγγισης [32,33]. Ακολούθησε η µετάβαση στο µαθηµατικό λογισµικό Graph®, δηµιουργώντας τις γραφικές παραστάσεις του ηµιτόνου και του συνηµιτόνου, χρησιµοποιώντας τις µετρήσεις που έκαναν οι µαθητές πριν την κινηµατογράφηση. Η απεικόνιση φαίνεται στην εικόνα 4.

Εικόνα 4. Οι γραφικές παραστάσεις του ηµιτόνου και του συνηµιτόνου της µετατόπισης του κινητού, σύµφωνα µε τις µετρήσεις των µαθητών, στο λογισµικό Graph®  

Η σύγκριση και ταύτιση των γραφηµάτων των εικόνων 3 και 4 έδωσε άµεσα αποτελέσµατα, καθώς οι µαθητές κατανόησαν τι εκφράζουν το ηµίτονο και το συνηµίτονο για τη Φυσική στη συγκεκριµένη πειραµατική διάταξη. Πέραν των ευµενών σχολίων, µε αυθόρµητη πρωτοβουλία µαθητών ακολούθησε εκτενής συζήτηση για τη διαφορά που υπάρχει µεταξύ των δύο γραφηµάτων και τη χρονική “µετατόπιση” που φαίνεται να τις χωρίζει, καθώς κατά τα λοιπά έχουν πλήρη οµοιότητα. Η συζήτηση επεκτάθηκε σε θέµατα φάσης και διαφοράς φάσης, αν και δεν ήταν στις προθέσεις µας, οδηγώντας µας σε αποτελέσµατα απρόσµενα θετικά, που µας εξέπληξαν.  

Συµπεράσµατα Η άχαρη µαθηµατικοποίηση της Φυσικής στη µέση εκπαίδευση, η ουσιαστική αποσύνδεσή της από απλά και καθηµερινά φαινόµενα, η εκτενής ύλη και η επιδερµική αντιµετώπισή της, µε έµφαση στην επίλυση σύνθετων και αδιάφορων προβληµάτων και λιγότερο στην κατανόηση εννοιών και όρων, έχουν ως δυσάρεστη συνέπεια την αδιαφορία, στην καλύτερη των περιπτώσεων, της πλειονότητας των µαθητών. Ταυτόχρονα, η τάση για «επιβολή» διακριτών ορίων µεταξύ των δύο επιστηµών, ιδίως στη µέση εκπαίδευση, λειτουργεί, τελικά, σε βάρος και των δύο.

Οι δυνατότητες των λογισµικών ιχνηλασίας να δηµιουργούν παράλληλα προς το κινηµατογραφηµένο πείραµα τις σχετικές γραφικές παραστάσεις διευκολύνουν τα µέγιστα σην επίτευξη στόχων σεναρίων, όπως αυτό που παρουσιάσαµε, όπου η ποιοτική κατανόηση των φυσικών εννοιών και των εργαλείων που χρησιµοποιεί η Φυσική, προηγείται της ποσοτικής προσέγγισης, ενώ παράλληλα οι µαθητές αντιλαµβάνονται ότι οι «αφηρηµένες» µαθηµατικές έννοιες που διδάχθηκαν ανταποκρίνονται σε µετρήσιµα και εφαρµόσιµα καθηµερινά φυσικά φαινόµενα. Η στόχευση στην ποιότητα της γνώσης και η ανάδειξη της στενής σχέσης µεταξύ των επιστηµονικών αντικειµένων είναι µια αναγκαιότητα που πρέπει, πλέον, να ληφθεί σοβαρά από τους σχεδιαστές των σχολικών προγραµµάτων, µειώνοντας όσο το δυνατόν την ακραία έµφαση υπέρ της ποσότητας. Ειδάλλως θα συνεχιστεί η απωθητική εικόνα που έχει σχηµατιστεί στην πλειονότητα των εµπλεκοµένων στην εκπαιδευτική διαδικασία στη µέση εκπαίδευση, αδικώντας την επιστήµη, τους εκπαιδευτικούς και τους µαθητές. Η εµπειρία, οι γνώσεις και τα εργαλεία υπάρχουν. Αποµένει η σοβαρή αναθεώρηση των προτεραιοτήτων ενός ακραία εξεταστικοκεντρικού εκπαιδευτικού συστήµατος.

Βιβλιογραφία [1] Dirac, P. A., M. (1939), The relation between Mathematics and Physics, διαθέσιμο  

online http://www.damtp.cam.ac.uk/events/strings02/dirac/ speach.html, προσπελά-­‐στηκε  στις  24/04/2016

[2] Τζανάκης, Κ. (1995). Η σχέση Μαθηµατικών και Φυσικής: Ιστροική Διάσταση και Εκπαιδευτική Πράξη. 12ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μαθηµατικής Παιδείας, Ηράκλειο, 12/11/1995, Διαθέσιµο on line: http://www.hms.gr/apothema/?s=sep&i=358, προσπελάστηκε 18/05/2016

[3] Sherin, B., L. (2001). How students understand Physics Equations. Cognition and Instruction, 19(4), 479-541

[4] Τζανάκης, Κ. (2004). Η διδακτική αξιοποίηση της ιστορικά πολύπλευρης και στενής σχέσης Μαθηµατικών και Φυσικής: Μερικά παραδείγµατα για τη Δευτεροβάθµια Εκπαίδευση. Ηµερίδα “Θέµατα Διδακτικής των Μαθηµατικών στο Γυµνάσιο και το Λύκειο”, Ιωάννινα, 21/01/2004. Διαθέσιµο on line: users.sch.gr/lkarak/tzanakis.doc, προσπελάστηκε 18/05/2016.

[5] Μανωλόπουλος, Μ. & Μανωλόπουλος, Β. (2010), Η παρουσία των Μαθηµατικών στα Γυµνασιακά Εγχειρίδια των Μαθηµατικών. 8ο Διήµερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηµατικών, Αθήνα, 16-17/05/2010. (Διαθέσιµο on line: http://users.sch.gr/mmanol/Didaktiki.htm, προσπελάστηκε 18/05/2016)

[6] Redfors, A., Hansson, L, Hansson, O, & Juter K. (2013). The role of mathematics in the teaching and learning of physics, ESERA 2013 Conf. Proc., 376 - 383

[7] Uhden,  O.  &  Pospeich,  G.  (2016).  Translating  between  mathematics  and  physics:  Analysis   of   student’s   difficulties.     Hamburg,     (Διαθέσιμο   on   line:  https://www.researchgate.net/publication/268422123,   προσπελάστηκε  08/05/2016)  

[8] Ευαγγελόπουλος, Γ. (2010). Μαθηµατικά και Φυσική, µια ιδιαίτερη σχέση – Με αφορµή σκέψεις του Κορνήλιου Καστοριάδη, Αθήνα: Ευρασία

[9] Θεοχάρης, Δ. (2012). Η σχέση αλληλεπίδρασης µεταξύ της φυσικής και των µαθηµατικών στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση. Δ.Ε., Αθήνα (Διαθέσιµο on line: http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_Theocharis%20Dionysios.pdf,προσπελάστηκε 18/05/2016)

[10] Redish, E.F. & Kuo, E. (2015). Language of physics, language of math: Disciplinary culture and dynamic epistemology, E. F. Redish and E. Kuo, Science & Education, 24:5-6, 561-590.

[11] Feynman, R. (2013). Ο χαρακτήρας του Φυσικού Νόµου. Μετάφραση Ε. Πιπίνη, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης

[12] Matthews, R. M. (1994). Science Teaching: The Role of History and Philosophy Of Science. New York: Routlledge.

[13] Williams C., Stanissteet M., Spall K., Boyes E., & Dickson D. (2003). Why are’t secondary students interested in Physics, Physics Education, 38(4), 324-329

[14] Ornek, F., Robinson, R.W., & Haugan, P.M. (2008). What Makes Physics Difficult?, International Journal of Environmental and Science Education, 3(1), 30-34

[15] Matthews M. R. (2011). Χρόνος για Φυσικές Επιστήµες, Εισαγωγή και επιστηµονική επιµέλεια Σέρογλου, Φ., Θεσσαλονίκη: Επίκεντρο

[16] Κανδεράκης, Ν. (2013). Σχολική φυσική και µαθηµατικά: τα προβλήµατα των προβληµάτων. Στο Πιερράτος, Θ., Αρτέµη, Σ., Πολάτογλου, Χ. & Κουµαράς, Π. (επιµ.) Πρακτικά Πανελλήνιου Συνεδρίου «Ποια Φυσική έχει νόηµα να διδάσκονται σήµερα τα παιδιά µας;», 9 – 10 Μαρτίου 2013, Θεσσαλονίκη, 77 - 84

[17] Πιερράτος, Θ. (2013). Η σχολική φυσική, τα µαθηµατικά και ο υπέροχος φυσικός κόσµος «εκεί έξω». Στο Πιερράτος, Θ., Αρτέµη, Σ., Πολάτογλου, Χ. & Κουµαράς, Π. (επιµ.) Πρακτικά Πανελλήνιου Συνεδρίου «Ποια Φυσική έχει νόηµα να διδάσκονται σήµερα τα παιδιά µας;», 9 – 10 Μαρτίου 2013, Θεσσαλονίκη, 153 - 155

[18] Brown, J. S., Collins, A., & Duguid, P. (1989). Situated Cognition and the Culture of Learning. Education Researcher, 18(1), 32 – 42

[19] Uhden, O. & Pospeich, G. (2015). Translating between mathematics and physics: Analysis of student’s difficulties. Sci & Educ, 24, 561 - 590 (Διαθέσιµο on line: https://www.researchgate.net/publication/268422123, προσπελάστηκε 08/05/2016)

[20] National Academy of Sciences. (1997). Science Teaching Reconsidered: A Handbook. Committee on Undergraduate Science Education,   National Academic Press. (Διαθέσιµο on line: http://www.nap.edu/catalog/5287/science-teaching-reconsidered-a-handbook, προσπελάστηκε στις 20/05/2016)

[21] Mohan, S. (2013). Students attitudes towards physics: concerns and soloutions. Indian Journal of Science, vol. 4, 10, 36 - 39

[22] Masood, S.M. (2014). K-12 Teaching and Physics Enrollment. Cornell University

Library. Διαθέσιµο on line: http://arxiv.org/abs/1403.5501, προσπελάστηκε 18/05/2016)

[23] Pepper, R.E., Chasteen, S.V., Pollock, S.J. & Perkins, K.K. (2012). Observations on student difficulties with mathematics in upper-division electricity and magnetism. PhysRev: ST Phys Ed. Rsrch, 8(1), Διαθέσιµο on line: http://journals.aps.org/ prper/abstract/10.1103/PhysRevSTPER.8.010111, προσπελάστηκε στις 20/05/2016)

[24] Tanel, R., & Tanael, Z. (2010). A study for Physics Teacher candidates to reduce the learning difficulties and misconceptions related to vectors. BPL, 18, 181017, 131 – 137

[25] Mikula, B.D., & Heckler, A. F. (2013). Student Difficulties with Trigonometric Vector Components Persist in Multiple Student Populations. Ph.  Ed.  Res.  Conference.  Διαθέσιμο   οnline   http://www.compadre.org/per/items/   detail.cfm?ID=13176,  προσπελάστηκε  στις  25/03/2016)

[26] Ozimek, D.J. (2004). Students Learning, Retention and Transfer from Trigonometry to Physics. Kansas State University, Manhattan, KS

[27] Weber, K. (2005). Students’ Understanding of Trigonometric Functions. Mathematics Education Research Journal, vol. 7, no. 3, 91 - 112

[28] Λιναρδάκης, Π., Η  διδασκαλία  της  τριγωνομετρίας  στο  λύκειο:  μία  έρευνα  υπό  το  πρίσμα  της  διδακτικής  μηχανικής,  Phd  Thesis,  Πανεπιστήμιο  Αιγαίου,  1999,  διαθέσιμο   online   http://phdtheses.ekt.gr/eadd/handle/10442/11738,  προσπελάστηκε  στις  24/03/2016

[29] Τσαπακίδης, Γ., & Ντιαγάντας, Κ. (2012). Εφαρµόζοντας τα µαθηµατικά της Δευτεροβάθµιας Εκπαίδευσης. 29ο Συνέδριο Μαθηµατικά: Θεωρία – Πράξη – Προεκτάσεις, Ελ. Μαθ. Εταιρεία, Καλαµάτα, 9 – 11 Νοεµβρίου 2012. (Διαθέσιµο online: http://www.ppschool.gr/school/material/projectnew.pdf, προσπελάστηκε στις 04/05/2016)

[30] Πετρόπουλος, Μ. (2016). Κατανόηση εξισώσεων κινηµατικής µε χρήση του λογισµικού ιχνηλασίας Tracker. Στο Γούσιας Φ. (επιµ.) Πρακτικά 3ου Συνεδρίου Νέου Παιδαγωγού, 293 - 302

[31] Ματσαγγούρας, Η. (2000). Η οµαδοσυνεργατική διδασκαλία: «Γιατί», «Πώς», «Πότε» και «για Ποιους». Διήµερο Επιστηµονικό Συµπόσιο: “Η εφαρµογή της οµαδοκεντρικής διδασκαλίας-Τάσεις και εφαρµογές”, Θεσσαλονίκη, 8-9 Δεκεµβρίου 2000. (Διαθέσιµο online: https://oiko.wordpress.com/2012/03/17/συγχρονεσ-διδακτικεσ-κατευθυνσεισ-ο/, προσπελάστηκε στις 04/05/2013)

[32] Κακανά, Μ.Δ. (2008). Η οµαδοσυνεργατική Διδασκαλία και Μάθηση. Θεσσαλονίκη: Κυριακίδης.