ΓενικάΓενικά ΜαθηµατικάΜαθηµατικάΕισαγωγήΕισαγωγή

∆ρ∆ρ ΓεώργιοςΓεώργιος ΜενεξέςΜενεξέςΑναπληρωτήςΑναπληρωτής ΚαθηγητήςΚαθηγητής

ΑριστοτέλειοΑριστοτέλειο ΠανεπιστήµιοΠανεπιστήµιο ΘεσσαλονίκηςΘεσσαλονίκης, , ΣχολήΣχολή ΓεωπονίαςΓεωπονίας, , ∆ασολογίας∆ασολογίαςκαικαι ΦυσικούΦυσικού ΠεριβάλλοντοςΠεριβάλλοντος, , ΤµήµαΤµήµα ΓεωπονίαςΓεωπονίας

ΕργαστήριοΕργαστήριο ΓεωργίαςΓεωργίας

*E*E--mail: mail: gmenexes@agro.auth.grgmenexes@agro.auth.gr

Quiz (0)Quiz (0)

ΕπανάληψηΕπανάληψη

ΣύνολαΣύνολα ΑριθµώνΑριθµών

ΣταθερέςΣταθερές

ΤαυτότητεςΤαυτότητες

ΤύποςΤύπος τουτου ∆ιωνύµου∆ιωνύµου

∆υνάµεις∆υνάµεις

ΡίζεςΡίζες (1)(1)

ΡίζεςΡίζες (2)(2)

ΛογάριθµοιΛογάριθµοι

ΡίζεςΡίζες ΑλγεβρικώνΑλγεβρικών ΕξισώσεωνΕξισώσεων

ΤριγωνοµετρίαΤριγωνοµετρία (1)(1)

ΤριγωνοµετρίαΤριγωνοµετρία (2)(2)

ΤριγωνοµετρίαΤριγωνοµετρία (3)(3)

ΤριγωνοµετρίαΤριγωνοµετρία (4)(4)

ΕπίπεδοΕπίπεδο ΤρίγωνοΤρίγωνο

ΚύκλοςΚύκλος

ΑντιστοιχίσειςΑντιστοιχίσεις -- ΑπεικονίσειςΑπεικονίσεις

ΜηΜη µονοσήµαντηµονοσήµαντη αντιστοίχισηαντιστοίχιση

ΜονοσήµαντηΜονοσήµαντη αντιστοίχισηαντιστοίχιση

ΑµφιµονοσήµαντηΑµφιµονοσήµαντη ΑντιστοίχισηΑντιστοίχιση

ΑµφιµονοσήµαντηΑµφιµονοσήµαντη ΑντιστοίχισηΑντιστοίχιση

ήή 11--11

ΑµφιµονοσήµαντηΑµφιµονοσήµαντη ΑντιστοίχισηΑντιστοίχιση

καικαι ΕπίΕπί

ΑντίστροφηΑντίστροφη ΑντιστοίχισηΑντιστοίχιση

Μία αντιστοίχιση-απεικόνιση f, µε σύνολο αφετηρίας το Α και άφιξης το Β,

µπορεί να αντιστραφεί, µόνον όταν η απεικόνιση f είναι αµφιµονοσήµαντη

(αµφιµονότιµη) και επί του Β (εξαντλεί το Β)

ΣυναρτήσειςΣυναρτήσεις

ΣυνάρτησηΣυνάρτηση

ΟΟ µηχανισµόςµηχανισµός ff πρέπειπρέπει......

�� ΝαΝα είναιείναι µονότιµοςµονότιµος ((όχιόχι υποχρεωτικάυποχρεωτικά

αµφιµονότιµοςαµφιµονότιµος))

�� ΝαΝα εξαντλούνταιεξαντλούνται όλαόλα τατα στοιχείαστοιχεία τουτου

πεδίουπεδίου ορισµούορισµού ΑΑ ((χωρίςχωρίς νανα είναιείναι

υποχρεωτικόυποχρεωτικό νανα εξαντλούνταιεξαντλούνται καικαι όλαόλα τατα

στοιχείαστοιχεία τουτου πεδίουπεδίου τιµώντιµών ΒΒ))

QuizQuiz (1)(1)

ΓραφικήΓραφική ΠαράστασηΠαράσταση ((ΙΙ))

ΓραφικήΓραφική ΠαράστασηΠαράσταση ((ΙΙΙΙ))

ΜαθηµατικήΜαθηµατική ΈκφρασηΈκφραση--ΤύποςΤύπος

ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης

f: A→B

y=f(x)=x2+5x+3

Y=F(X)=X2+5X+3

ΠραγµατικέςΠραγµατικές ΣυναρτήσειςΣυναρτήσεις, ,

µιαςµιας πραγµατικήςπραγµατικής

µεταβλητήςµεταβλητής

ΠολυωνυµικήΠολυωνυµική 11ουου βαθµούβαθµού: : ΕυθείαΕυθεία --

ΓραµµικήΓραµµική

Y=Y=αα00++αα11XX

Y=Y= αα11X+X+αα00

ΥΥ==a+bXa+bX

Y=Y=bX+abX+a

Y=Y=αΧαΧ++ββ ήή ΥΥ==ββ++αΧαΧ

W=g+zU

ΓραφικήΓραφική ΠαράστασηΠαράσταση

ΠολυωνυµικήΠολυωνυµική 11ουου βαθµούβαθµού

ΓεωµετρικήΓεωµετρική ΕρµηνείαΕρµηνεία συντελεστώνσυντελεστών

Συντελεστής του Χ (ανεξαρτήτως συµβόλου)

Σταθερός όρος (ανεξαρτήτως συµβόλου)

ΆσκησηΆσκηση (1)(1)

ΛύσηΛύση τηςτης ΆσκησηςΆσκησης ((ΙΙ))

ΛύσηΛύση τηςτης ΆσκησηςΆσκησης ((ΙΙΙΙ))

�� ΓιαΓια τηντην ευθείαευθεία εε::

ββ=5, =5, αα==--11

�� ΓιαΓια τηντην ευθείαευθεία εε’’::

ββ=1,4, =1,4, αα=0,4=0,4

�� ΣηµείοΣηµείο τοµήςτοµής (2,6 , 2,4)(2,6 , 2,4)

ΠολυωνυµικέςΠολυωνυµικές ΣυναρτήσειςΣυναρτήσεις

�� Y=Y=αα00++αα11XX++αα22ΧΧ2 2 ((22ουου βαθµούβαθµού))

�� Y=Y=αα00++αα11XX++αα22ΧΧ2 2 ++αα33ΧΧ

3 3 ((33ουου βαθµούβαθµού))

�� Y=Y=αα00++αα11XX++αα22ΧΧ2 2 ++αα33ΧΧ

33++αα44ΧΧ4 4 ((44ουου βαθµούβαθµού))

ΠολυωνυµικήΠολυωνυµική 22ουου βαθµούβαθµού: : ΠαραβολήΠαραβολή

ΠολυωνυµικήΠολυωνυµική 33ουου βαθµούβαθµού

ΠολυωνυµικήΠολυωνυµική 44ουου βαθµούβαθµού

ΡίζεςΡίζες ΠολυωνυµικώνΠολυωνυµικών ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (1)(1)

ΡίζεςΡίζες ΠολυωνυµικώνΠολυωνυµικών ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (2)(2)

ΣυνάρτησηΣυνάρτηση ΗµιτόνουΗµιτόνου

ΣυνάρτησηΣυνάρτηση ΣυνηµίτονουΣυνηµίτονου

ΣυνάρτησηΣυνάρτηση ΕφαπτοµένηςΕφαπτοµένης

ΣυνάρτησηΣυνάρτηση ΣυνεφαπτοµένηςΣυνεφαπτοµένης

ΛογαριθµικήΛογαριθµική ΣυνάρτησηΣυνάρτηση

ΕκθετικήΕκθετική ΣυνάρτησηΣυνάρτηση (1)(1)

ΕκθετικήΕκθετική ΣυνάρτησηΣυνάρτηση (2)(2)

ΕκθετικήΕκθετική ΣυνάρτησηΣυνάρτηση (3)(3)

ΠράξειςΠράξεις ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων

ΣύνθεσηΣύνθεση συναρτήσεωνσυναρτήσεων

ΑντίστροφεςΑντίστροφες ΣυναρτήσειςΣυναρτήσεις (1)(1)

ΑντίστροφεςΑντίστροφες ΣυναρτήσειςΣυναρτήσεις (2)(2)

ΖητούµεναΖητούµενα (1)(1)

�� ΠεριγραφήΠεριγραφή τηςτης γραφικήςγραφικής παράστασηςπαράστασης µιαςµιας

συνάρτησηςσυνάρτησης

�� ΕύρεσηΕύρεση πεδίουπεδίου ορισµούορισµού µιαςµιας συνάρτησηςσυνάρτησης

�� ΚατασκευήΚατασκευή γραφικήςγραφικής παράστασηςπαράστασης µιαςµιας

συνάρτησηςσυνάρτησης

�� ΜελέτηΜελέτη µονοτονίαςµονοτονίας µιαςµιας συνάρτησηςσυνάρτησης

Tip 1: Tip 1: ΓραφικήΓραφική ΠαράστασηΠαράσταση

Tip Tip 22: : ΕύρεσηΕύρεση ΠεδίουΠεδίου ΟρισµούΟρισµού

Tip 3: Tip 3: ΜονοτονίαΜονοτονία ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης

>0

ΣηµείοΣηµείο ΣυσσώρευσηςΣυσσώρευσης (1)(1)

ΣηµείοΣηµείο ΣυσσώρευσηςΣυσσώρευσης (2)(2)

ΌριοΌριο ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης (1)(1)

ΌριοΌριο ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης (2)(2)

ΌριοΌριο ΣυνάρτησηςΣυνάρτησης ((33))

ΠαράδειγµαΠαράδειγµα

ΆσκησηΆσκηση

???

???

ΠλευρικάΠλευρικά όριαόρια

ΓνωστάΓνωστά όριαόρια

ΙδιότητεςΙδιότητες ΟρίωνΟρίων

ΠροσοχήΠροσοχή!!!!!!

ΑπροσδιόριστεςΑπροσδιόριστες ΜορφέςΜορφές

ΣυνέχειαΣυνέχεια ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (1)(1)

ΣυνέχειαΣυνέχεια ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (2)(2)

ΣυνέχειαΣυνέχεια καικαι ΑσυνέχειαΑσυνέχεια ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων

ΣυνεχήςΣυνεχής ΣυνάρτησηΣυνάρτηση

ΣυνεχήςΣυνεχής ΣυνάρτησηΣυνάρτηση (2)(2)

ΑσυνεχήςΑσυνεχής ΣυνάρτησηΣυνάρτηση σεσε ΣηµείοΣηµείο (1)(1)

ΑσυνεχήςΑσυνεχής ΣυνάρτησηΣυνάρτηση σεσε ΣηµείοΣηµείο (2)(2)

ΑσυνέχειαΑσυνέχεια

ΜονοτονίαΜονοτονία ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (1)(1)

ΜονοτονίαΜονοτονία ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (2)(2)

ΑύξουσαΑύξουσα ΣυνάρτησηΣυνάρτηση

ΦραγµένεςΦραγµένες ΣυναρτήσειςΣυναρτήσεις (1)(1)

ΦραγµένεςΦραγµένες ΣυναρτήσειςΣυναρτήσεις (2)(2)

ΑκρόταταΑκρότατα ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (1)(1)

ΑκρόταταΑκρότατα ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (2)(2)

Minimum Minimum -- MaximumMaximum

QuizQuiz (2)(2)

ΆρτιαΆρτια ΣυνάρτησηΣυνάρτηση

ΠεριττήΠεριττή ΣυνάρτησηΣυνάρτηση

ΠαραδείγµαταΠαραδείγµατα γνωστώνγνωστών ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (1)(1)

ΠαραδείγµαταΠαραδείγµατα γνωστώνγνωστών ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (2)(2)

ΠαραδείγµαταΠαραδείγµατα γνωστώνγνωστών ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (3)(3)

ΠαραδείγµαταΠαραδείγµατα γνωστώνγνωστών ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων (4)(4)

ΠαραδείγµαταΠαραδείγµατα γνωστώνγνωστών ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων ((55))

ΓνωστέςΓνωστές ΣυναρτήσειςΣυναρτήσεις

συνέχειασυνέχεια......

ΖητούµεναΖητούµενα (2)(2)

�� ΕύρεσηΕύρεση ορίουορίου µιαςµιας συνάρτησηςσυνάρτησης ((αναν

υπάρχειυπάρχει))

�� ΜελέτηΜελέτη συνέχειαςσυνέχειας ήή ασυνέχειαςασυνέχειας µιαςµιας

συνάρτησηςσυνάρτησης

ΥπερβολικέςΥπερβολικές ΣυναρτήσειςΣυναρτήσεις

ΤριγωνοµετρικόςΤριγωνοµετρικός ΚύκλοςΚύκλος

ΑντίστροφεςΑντίστροφες ΥπερβολικέςΥπερβολικές ΣυναρτήσειςΣυναρτήσεις

ΠεπλεγµένεςΠεπλεγµένες ΣυναρτήσειςΣυναρτήσεις

F(x, y)=0

ΖητούµεναΖητούµενα (3)(3)

�� ΠολύΠολύ καλήκαλή γνώσηγνώση τουτου τριγωνοµετρικούτριγωνοµετρικού

κύκλουκύκλου

ΠαραµετρικέςΠαραµετρικές ΕξισώσειςΕξισώσεις (1)(1)

ΠαραµετρικέςΠαραµετρικές ΕξισώσειςΕξισώσεις (2)(2)

ΠαραµετρικέςΠαραµετρικές ΕξισώσειςΕξισώσεις (3)(3)

Quiz (3)Quiz (3)

Quiz (4)Quiz (4)

Quiz (5)Quiz (5)

ΠολικέςΠολικές ΣυντεταγµένεςΣυντεταγµένες (1)(1)

ΤοΤο πολικόπολικό σύστηµασύστηµα συντεταγµένωνσυντεταγµένων είναιείναι έναένα

διδιάστατοδιδιάστατο σύστηµασύστηµα συντεταγµένωνσυντεταγµένων στοστο οποίοοποίο ηη

θέσηθέση οποιουδήποτεοποιουδήποτε σηµείουσηµείου σεσε έναένα επίπεδοεπίπεδο

καθορίζεταικαθορίζεται απόαπό τηντην απόστασηαπόσταση τουτου σηµείουσηµείου

αυτούαυτού απόαπό έναένα αυθαίρετααυθαίρετα επιλεγµένοεπιλεγµένο σηµείοσηµείο

αναφοράςαναφοράς καικαι τητη γωνίαγωνία απόαπό µίαµία αυθαίρετααυθαίρετα

επιλεγµένηεπιλεγµένη κατεύθυνσηκατεύθυνση

ΠολικέςΠολικές ΣυντεταγµένεςΣυντεταγµένες (2)(2)

ΗΗ απόστασηαπόσταση ενόςενός σηµείουσηµείου απόαπό τοτο αυθαίρετααυθαίρετα επιλεγµένοεπιλεγµένο

σηµείοσηµείο αναφοράςαναφοράς ((γιαγια τοτο οποίοοποίο είθισταιείθισται νανα επιλέγεταιεπιλέγεται ηη αρχήαρχή

τωντων αξόνωναξόνων) ) ονοµάζεταιονοµάζεται ακτινικήακτινική συντεταγµένησυντεταγµένη ήή

απλώςαπλώς ακτίναακτίνα καικαι συµβολίζεταισυµβολίζεται συνήθωςσυνήθως µεµε τοτο λατινικόλατινικό

γράµµαγράµµα rr, , ενώενώ ηη γωνίαγωνία πουπου σχηµατίζεισχηµατίζει ηη ακτίναακτίνα τουτου σηµείουσηµείου

µεµε µίαµία αυθαίρετααυθαίρετα επιλεγµένηεπιλεγµένη διεύθυνσηδιεύθυνση ((συνήθωςσυνήθως έναςένας απόαπό

τουςτους δύοδύο κύριουςκύριους άξονεςάξονες συντεταγµένωνσυντεταγµένων) )

ονοµάζεταιονοµάζεται γωνιακήγωνιακή συντεταγµένησυντεταγµένη ήή αζιµούθιοαζιµούθιο καικαι

συµβολίζεταισυµβολίζεται συνήθωςσυνήθως µεµε τοτο ελληνικόελληνικό πεζόπεζό γράµµαγράµµα φφ ((ήή θθ))

ΠολικέςΠολικές ΣυντεταγµένεςΣυντεταγµένες (3)(3)

ΠολικέςΠολικές ΣυντεταγµένεςΣυντεταγµένες (4)(4)

r sin θ

ΠολικέςΠολικές ΣυντεταγµένεςΣυντεταγµένες (5)(5)

ΆσκησηΆσκηση

ΆσκησηΆσκηση

ΠολικέςΠολικές ΣυντεταγµένεςΣυντεταγµένες (5)(5)

ΠαραδείγµαταΠαραδείγµατα (1)(1)

ΠαραδείγµαταΠαραδείγµατα (2)(2)

ΖητούµεναΖητούµενα (4)(4)

�� ΜετατροπήΜετατροπή καρτεσιανώνκαρτεσιανών συντεταγµένωνσυντεταγµένων

σεσε πολικέςπολικές καικαι τοτο αντίστροφοαντίστροφο

ΠροσεχώςΠροσεχώς........

ΑσκήσειςΑσκήσεις

ΜελέτηΜελέτη ΓραφικήςΓραφικής ΠαράστασηςΠαράστασης

ΌριαΌρια ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων

ΣυνέχειαΣυνέχεια........

ΣυνέχειαΣυνέχεια......

ΣυνέχειαΣυνέχεια ΣυναρτήσεωνΣυναρτήσεων

ΣυνέχειαΣυνέχεια........

ΣυνέχειαΣυνέχεια......

ΣυνέχειαΣυνέχεια......

ΒιβλιογραφίαΒιβλιογραφία ((ΙΙ))

� Ανώτερα µαθηµατικά. Ιστοσελίδα του Καθηγητή ΧρόνηΜωϋσιάδη. Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/~cmoi/AdvMathsDas_gr.htm.

� Καριώτου, Γ. Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο. ΤΕΙΚεντρικής Μακεδονίας. Ανοιχτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα.

� ΓΚΙΜΙΣΗΣ, Β. Λυµένες Ασκήσεις. Εξ αποστάσεωςδιδακτική στήριξη.

� Μωϋσιάδης, Π. (2010). Πανεπιστηµιακές Παραδόσειςστα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.

� Αδάµ, Μ., Χατζάρας, Ι. και Ασηµάκης, Ν. (2015). Μαθηµατική Ανάλυση. ΣΕΑΒ 2015.

� netsuccess.gr. Λυµένες Ασκήσεις-Θεωρία. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ιστοσελίδα: http://www.netsuccess.gr/.

ΒιβλιογραφίαΒιβλιογραφία ((ΙΙΙΙ))

� Περσίδης, Σ. Μαθηµατικό Τυπολόγιο. ΕΣΠΙΕΚ∆ΟΤΙΚΗ.

� Τυπολόγιο Τριγωνοµετρίας. Φροντιστήριο Σύνολο. Ιστοσελίδα: http://www.frsinolo.com/skonakia.htm.

� Τυπολόγιο Μαθηµατικών. Ιστοσελίδα: http://www.amilla.ekp.gr/pdf/typologio.pdf.

� Όριο και Συνέχεια Συνάρτησης. Ιστοσελίδα: http://edu.eap.gr/pli/pli12/shmeiwseis/oria-synexeia.pdf.

� Παπασταµατίου, Κ. Μαθηµατικά Γ΄ ΛυκείουΚατεύθυνσης: Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια. Φροντιστήριο «ΑΙΧΜΗ».

ΒιβλιογραφίαΒιβλιογραφία ((ΙΙΙΙΙΙ))

� Μανωλόπουλος, Μ. (2011). Όριο Συνάρτησης: Προσεγγίσεις– Εννοιών – ∆υσκολίες. Αθήνα.

� Παπαϊωάννου, Σ. και Βογιατζή, ∆. (2015). Μαθηµατικά Ι. ΣΕΑΒ, 2015.

� Υπολογισµός ορίου συνάρτησης όταν x→±∞. Ιστοσελίδα: https://www.scribd.com/document/371895731/bibliomath-087-098.

� Τουµπής, Σ. και Γκιτζένης, Σ. (2015). Λογισµός συναρτήσεωνµιας µεταβλητής. Αθήνα:Σύνδεσµος Ελληνικών ΑκαδηµαϊκώνΒιβλιοθηκών. ∆ιαθέσιµο στο: http://hdl.handle.net/11419/2177.

� Μπράτσος, Α. και Στρατής, Ι. (2015). Μαθήµατα ανώτερωνµαθηµατικών. Αθήνα:Σύνδεσµος Ελληνικών ΑκαδηµαϊκώνΒιβλιοθηκών. ∆ιαθέσιµο στο: http://hdl.handle.net/11419/424.

� Μαθηµατικά για όλους/Γενικό τυπολόγιο. Ιστοσελίδα: el.wikibooks.org.