Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

174
www.mathjazz.com www.mathjazz.com συναρτήσεις Σελίδα 1 Ÿ Ù Εισαγωγικό μάθημα Σκοπός και στόχος του εισαγωγικού μαθήματος 1. Να ξέρεις τα βασικά αριθμοσύνολα. 2. Να ξέρεις την έννοια του διαστήματος και τις αλγεβρικές (ανισοτικές) σχέσεις που καθορίζουν τα στοιχεία κάθε μορφής διαστήματος. 3. Να ξέρεις την έννοια μη φραγμένου διαστήματος και τις αλγεβρικές (ανισοτικές) σχέσεις που καθορίζουν τα στοιχεία κάθε μορφής διαστήματος. Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του. Οι Βασικές έννοιες 1. Αριθμοσύνολα ¾ Οι φυσικοί αριθμοί είναι το σύνολο Õ {0, 1, 2, 3,...} = . ¾ Οι ακέραιοι αριθμοί είναι το σύνολο Ÿ {..., 3, 2, 1, 0,1, 2, 3, ...} = . ¾ Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή α β , όπου α , β ακέραιοι με β 0 . Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με . Είναι , δηλαδή, α / α, β ακέραιοι με β 0 β = . ¾ Άρρητοι λέγονται οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί , για παράδειγμα ο 5 , ο e, το π, ο 3 7 , ο 5 2 10 + κ. λ. π. Το σύνολο των αρρήτων αριθμών συμβολίζεται με ¿. Είναι , δηλαδή, ¿ {x = / x } =- . ¾ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους =¿ . Τα στοιχεία του παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών. x΄ x π e 3 5 4 3 2 1 0 1 2 3 5 4 Για τα σύνολα Õ, Ÿ, και ισχύει : Õ Ÿ . Τα σύνολα Õ {0} , Ÿ {0} , {0} και {0} τα συμβολίζουμε συντομότερα με Õ * , Ÿ * , * και * αντιστοίχως . Μελετάμε και μαθαίνουμε!
  • Upload

    -
  • Category

    Education

  • view

    29.653
  • download

    0

Transcript of Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

Page 1: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 1 

– Ÿ Ù

Εισαγωγικό μάθημα

Σκοπός και στόχος του εισαγωγικού μαθήματος 1. Να ξέρεις τα βασικά αριθμοσύνολα. 2. Να ξέρεις την έννοια του διαστήματος και τις αλγεβρικές (ανισοτικές) σχέσεις που

καθορίζουν τα στοιχεία κάθε μορφής διαστήματος. 3. Να ξέρεις την έννοια μη φραγμένου διαστήματος και τις αλγεβρικές (ανισοτικές)

σχέσεις που καθορίζουν τα στοιχεία κάθε μορφής διαστήματος.

Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του. Οι Βασικές έννοιες

1. Αριθμοσύνολα

Οι φυσικοί αριθμοί είναι το σύνολο Õ {0, 1, 2, 3, ...}= .

Οι ακέραιοι αριθμοί είναι το σύνολο Ÿ {..., 3, 2, 1,0,1,2,3, ...}= − − − .

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή αβ

, όπου α,

β ακέραιοι με β 0≠ . Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με –.

Είναι, δηλαδή, – α / α,β ακέραιοι με β 0β

⎧ ⎫= ≠⎨ ⎬⎩ ⎭

.

Άρρητοι λέγονται οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, για παράδειγμα ο 5 , ο e, το π, ο 3 7 ,

ο 52 10+ κ.λ.π. Το σύνολο των αρρήτων αριθμών συμβολίζεται με ¿. Είναι, δηλαδή, ¿

{x= ∈—/ x∉– }=—-–. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών

Το σύνολο — των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς – και τους άρρητους —=¿ ∪–.

Τα στοιχεία του — παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών.

x΄ x

π e 3

5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −5 −4

• Για τα σύνολα Õ, Ÿ, – και — ισχύει: Õ ⊆Ÿ ⊆ – ⊆ —.

• Τα σύνολα Õ {0}− , Ÿ {0}− , – {0}− και — {0}− τα συμβολίζουμε συντομότερα με Õ*, Ÿ*, –* και —* αντιστοίχως.

Μελετάμε και μαθαίνουμε!

Tom Raik
Highlight
Μάθε να ξεχωρίζεις τα σύνολα των φυσικών, των ακεραίων, των ρητών και των αρρήτων καθώς κα τωνπραγματικών. Κατάλαβε ότι οι φυσικοί και οι ακέραιοι έχουν επόμενο, κάτι που δεν μπορούμε να πούμε για τους πραγματικούς, τους ρητούς και τους άρρητους.
Tom Raik
Highlight
φυσικοί είναι αυτοί που μπορούμε να τους μετρήσουμε με τα δάκτυλά μος. Κάθε φυσικός αριθμός διάφορος του μηδενός έχει επόμενο και προηγούμενο.
Tom Raik
Highlight
οι ακέραιοι έχουν προηγούμενο και επόμενο. Αν ν τυχαίος ακέραιος, τότε ο ν-1 είναι ο πρηγούμενος και ν+1 ο επόμενος. Οι ακέραιοι διακρίνονται σε άρτιους (μορφή: ν=2ρ, ρ τυχαίος ακέραιος) και σε περιττούς (μορφή: ν=2ρ+1 ή ω=2ρ-1, ρ τυχαίος ακέραιος)
Tom Raik
Highlight
ρητός είναι κάθε αριθμός που μπορεί να γραφεί σαν κλάσμα με όρους (αριθμητή και παρονομαστή) ακέραιους αριθμούς. Πρόσεξε ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι το μηδέν.
Tom Raik
Highlight
ένας αριθμός θα είναι υποχρεωτικά ή ρητός ή άρρητος
Tom Raik
Highlight
οι πραγνατικοί περιέχουν όλους τους γνωστούς μας αριθμούς
Tom Raik
Highlight
η συμπαγής ευθεί των πραγματικών αριθμών
Page 2: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 2 

a

a

a

a

β

β

β

β

Προσοχή!

2. Διαστήματα πραγματικών αριθμών

Αν α,β∈— με α β< , τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α, β καθένα από τα παρακάτω σύνολα:

(α, β)={x∈—/α<x<β}: ανοικτό διάστημα.

[α, β]={x∈—/α£x£β}: κλειστό διάστημα.

[α, β)={x∈—/α£x<β}: κλειστό - ανοικτό διάστημα.

(α, β]={x∈—/α<x£β}: ανοικτό - κλειστό διάστημα.

(α,β)

[α,β)

(α,β]

[α,β]

Αν α∈—, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα:

(α, ) {x /x α}+∞ = ∈ >— [α, ) {x /x α}+∞ = ∈ ≥— ( ,α) {x /x α}−∞ = ∈ <— ( ,α] {x /x α}−∞ = ∈ ≤—

Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο — το συμβολίζουμε με ( , )−∞ + ∞ .

Τα σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονται εσωτερικά σημεία του Δ.

B. Μεθοδεύσεις και Λυμένα Θέματα Θέμα 1ον Να γραφούν υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων τα σύνολα:

i. 1A x / 1x

⎧ ⎫= ∈ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭

— , ii. 1B x / 2 1x

⎧ ⎫= ∈ − <⎨ ⎬⎩ ⎭

— .

Λύση

Θυμήσου ότι στις ρητές ανισώσεις δεν κάνουμε (γενικά) απαλοιφή παρονομαστών, επειδή δεν γνωρίζουμε το πρόσημό τους, αλλά, φέρνουμε τους όρους στο 1ο μέλος, κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και επιλύουμε την ανίσωση που προκύπτει.

a

a

a

a

Tom Raik
Highlight
πάντα ανοικτό άκρο όταν αυτό είναι το +άπειρο ή το -άπειρο
Tom Raik
Highlight
στα εσωτερικά σημεία δεν συμπεριλαμβάνονται τα άκρα
Tom Raik
Highlight
πρόσεχε μην κάνεις το λάθος και κάνεις απαλοιφή παρονομαστών όταν δεν γνωρίζεις το πρόσημο (των παρονομαστών)
Tom Raik
Highlight
μάθε καλά τις μορφές των διαστημάτων
Page 3: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 3 

i. Είναι: 1 11 1 0x x≤ ⇔ − ≤

1 x 0x−

⇔ ≤ 2 21 x x 0 x x(x 1) 0x−

⇔ ⋅ ≤ ⋅ ⇔ − ≥ και

x 0≠ x 0⇔ < ή x 1≥ . Άρα A ( ,0) [1, )= −∞ ∪ +∞ .

ii. Είναι: 1 12 1 1 2 1x x− < ⇔ − < − < 11 3

x⇔ < < και επειδή έχουμε θετικές παραστάσεις,

αντιστρέφουμε και αλλάζουμε τη φορά και έχουμε 11 x3

> > . Άρα 1B , 13

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Για εξάσκηση λύσε τα ακόλουθα θέματα

Διαστήματα πραγματικών αριθμών Θέμα 1 Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:

1A x / 2x

⎧ ⎫= ∈ ≥⎨ ⎬⎩ ⎭

— .

Θέμα 2 Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:

1A x / 4 3x 1

⎧ ⎫= ∈ − >⎨ ⎬−⎩ ⎭

— .

Θέμα 3 Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:

1A x /1 2x

⎧ ⎫= ∈ < ≤⎨ ⎬⎩ ⎭

— .

Θέμα 4 Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:

1A x /2 4 5x 1

⎧ ⎫= ∈ ≤ − <⎨ ⎬−⎩ ⎭

— .

Θέμα 5 Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:

2

1A x /1 4x

⎧ ⎫= ∈ < ≤⎨ ⎬⎩ ⎭

— .

Θέμα 6 Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:

1A x /2 4 5x 1

⎧ ⎫= ∈ ≤ − <⎨ ⎬−⎩ ⎭

— .

Θέμα 7 Να γραφεί υπό μορφή διαστήματος ή ένωσης διαστημάτων το σύνολο:

1A x / x 1 10 και 3x

⎧ ⎫= ∈ − ≤ >⎨ ⎬⎩ ⎭

Page 4: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 4 

Μάθημα 1ον «Συνάρτηση – Πεδίο ορισμού – Σύνολο τιμών – Ισότητα συναρτήσεων»

Σκοπός και στόχος του μαθήματος 1. Να ξέρεις τον ορισμό της συνάρτησης με πεδίο ορισμού το μη κενό

υποσύνολο Α του R.

2. Να ξέρεις τους δυο μαθηματικούς ορισμούς για να αποτελεί μια σχέση του Α στο R συνάρτηση.

3. Να ξέρεις ότι μια συνάρτηση είναι μια σχέση η οποία σχετίζει κάθε στοιχείο του Α (πρότυπο) με έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό y (εικόνα του x).

4. Να ξέρεις να ξεχωρίζεις την ανεξάρτητη μεταβλητή από την εξαρτημένη.

5. Να ξέρεις ότι αν τα 1 2f (x ),f (x ) A∈ τότε και 1 2f (f (x )) f (f (x ))=

6. Να ξέρεις να διατυπώνεις με άνεση τους τύπους: Πεδίο ορισμού: A {x= ∈— : f (x)∈—} ≠ ∅ .

Σύνολο τιμών: y : / η εξίσωση y f (x) ως προς x

f (A)έχει τουλάχιστον μια ρίζα x A

∈ =⎧ ⎫

= ⎨ ⎬∈⎩ ⎭

— :

7. Να ξέρεις να υπολογίζεις το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών απλών συναρτήσεων.

8. Να ξέρεις να γράφεις το πεδίο ορισμού σαν διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

9. Να ξέρεις ποιες είναι οι συνθήκες ώστε δυο συναρτήσεις f,g να είναι ίσες.

10. Να ξέρεις ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της f ένα το πολύ κοινό σημείο.

Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του.

Page 5: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 5 

Α. Θεωρητικές έννοιες του μαθήματος Ορισμός της πραγματικής συνάρτησης με πεδίο ορισμού το Α Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του —. Καλούμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α κάθε διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία σε κάθε στοιχείο x A∈ , το οποίο το καλούμε πρότυπο, αντιστοιχίζουμε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό y, τον οποίο τον καλούμε εικόνα του x Ο ορισμός που δώσαμε είναι ο ορισμός της πραγματικής συνάρτησης (δηλαδή οι εικόνες y είναι πραγματικοί αριθμοί), πραγματικής μεταβλητής, δηλαδή τα πρότυπα x ανήκουν στο πεδίο ορισμού Α που είναι επίσης υποσύνολο του —. Σχόλιο Ο αριθμός y ονομάζεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f (x) , δηλαδή y f (x)= .

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: f : A → — και x f (x)→ ή y f (x)= , x A∈ . Μαθηματικός ορισμός 1 Για κάθε 1 2x ,x ∈Α≠∅ με 1 2x x= συνεπάγεται ότι 1 2f (x ) f (x )= Μαθηματικός ορισμός 2 (ισοδύναμος του 1) για κάθε 1 2x ,x ∈Α≠∅ με 1 2f (x ) f (x )≠ συνεπάγεται ότι 1 2x x≠ . Πρόσεξε Έστω η συνάρτηση f : A → — . Αν τα 1 2f (x ),f (x ) A∈ και =1 2f (x ) f (x )τότε και 1 2f (f (x )) f (f (x ))= . Ο Τύπος της συνάρτησης

Παραδείγματα συναρτησιακών σχέσεων

Η ανεξάρτητη και η εξαρτημένη μεταβλητή

Το γράμμα x, που παριστάνει το οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή. Το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή.

Tom Raik
Highlight
Μαθαίνουμε τον ορισμό και προσέχουμε να τον διατυπώνουμε με ακρίβεια.
Tom Raik
Highlight
είτε γράψουμε y είτε f(x) εννοούμε το ίδιο, εννοούμε την εικόνα του x μέσω του νόμου f.
Tom Raik
Highlight
Σε ίσα πρότυπα αντιστοιχούν ίσες εικόνες, γιατί αν σε ίσα πρότυπα αντιστοιχούσαμε διαφορετικές εικόνες, δεν θα είχαμε συνάρτηση. Τον ορισμό τον μαθαίνουμε πολύ καλά. Θα τον χρειαστούμε πολλές φορές. Προσέχουμε δε να μην τον μπερδεύουμε με τον ορισμό της 1-1 συνάρτησης που είναι το αντίστροφο.
Tom Raik
Highlight
Διαφορετικές εικόνες προέρχονται από διαφορετικά πρότυπα, γιατί αν διαφορετικές εικόνες προέρχονταν από ίσα πρότυπα δεν θα είχαμε συνάρτηση. Τον ορισμό τον μαθαίνουμε πολύ καλά. Θα τον χρειαστούμε πολλές φορές. Προσέχουμε δε να μην τον μπερδεύουμε με τον ορισμό της 1-1 συνάρτησης που είναι το αντίστροφο.
Tom Raik
Highlight
το f(f(x)) έχει νόημα μόνον όταν το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης
Tom Raik
Highlight
ο τύπος της συνάρτησης λέγεται και συναρτησιακός τύπος και έχει νόημα για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f
Tom Raik
Highlight
η ανεξάρτητη μεταβλήτή παίρνει τιμές από το πεδίο ορισμού, ενώ η εξαρτημένη από το σύνολο τιμών
Page 6: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 6 

Κύρια στοιχεία της συνάρτησης Για να οριστεί μια πραγματική συνάρτηση f, αρκεί να δοθούν δύο στοιχεία της:

• το πεδίο ορισμού της (το σύνολο των προτύπων της), • η τιμή της f (x) (ο νόμοςf), για κάθε x του πεδίου ορισμού της. Τι δημιουργεί μια συνάρτηση Κάθε πραγματική συνάρτηση f απεικονίζει το πεδίου ορισμού της Α στο σύνολο τιμών της f(A) και δημιουργεί ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών της μορφής , όπου x A∈ και f (x)∈— η εικόνα του x.

Το γράφημα Το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (x,f (x)) καλείται γράφημα της συνάρτησης και καθορίζει πλήρως τη συνάρτηση. Το πεδίο ορισμού

Το πεδίο ορισμού (domain) Α της συνάρτησης f συμβολίζεται και με fD ή fA και είναι το σύνολο όλων των προτύπων.

• Στη περίπτωση που δίνεται μόνον ο τύπος με τον οποίο εκφράζεται το f (x) , τότε το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών x, για τους οποίους το f (x) έχει νόημα στο —, δηλαδή:

fD {x= ∈— : f (x)∈—} ≠ ∅ .

Το σύνολο τιμών

Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f (εικόνες) σε όλα τα x A∈ , λέγεται σύνολο τιμών (range) της f και συμβολίζεται με f (A) . Είναι

y : η εξίσωση y f (x) ως προς xf (A) .

έχει τουλάχιστον μια ρίζα x A∈ =⎧ ⎫

= ⎨ ⎬∈⎩ ⎭

— :

Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f : A → — εργαζόμαστε ως εξής:

• Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού fD της συνάρτησης (αν δεν δίνεται).

• Λύνουμε τον τύπο της συνάρτησης f ως προς x, δηλαδή επιλύουμε τη σχέση y f (x)= ως προς x και καταλήγουμε στη σχέση x g(y)= , δηλαδή εκφράζουμε το x συναρτήσει του y.

• Επειδή fx D∈ , απαιτούμε fg(y) D∈ , οπότε βρίσκουμε το σύνολο τιμών ff (D ) .

f

f (A) A

Tom Raik
Highlight
για να οριστεί μια συνάρτηση αρκεί να δοθούν το πεδίο ορισμού και ο νόμος της συνάρτησης οπότε η συνάρτηση είναι πλήρως καθορισμένη
Tom Raik
Highlight
Τα πρώτα στοιχεία των διατεταγμένων ζευγών καθορίζουν το πεδίο ορισμού, ενώ τα δεύτερα στοιχεία καθορίζουν το σύνολο τιμών.
Tom Raik
Highlight
μαθαίνουμε τον ορισμό
Tom Raik
Highlight
Μαθαίνουμε καλά τον σχετικό τύπο
Tom Raik
Highlight
μαθαίνουμε καλά τον ορισμό και την αντίστοιχη μεθοδολογία
Tom Raik
Highlight
η απεικόνιση του γραφήματος σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, μας δίνει τη γραφική παράσταση της f
Page 7: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 7 

x

y

Ο

Γ

A B

O x

y

Cf

Α

O x

y

C

Προσοχή!

Όταν λέμε ότι «Η πραγματική συνάρτηση f είναι ορισμένη σ’ ένα σύνολο Β», θα εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Στην περίπτωση αυτή με f (B) συμβολίζουμε το σύνολο των τιμών της f σε κάθε x B∈ . Είναι

{ }f (B) y : η εξίσωση y f (x) ως προς x έχει τουλάχιστον μια ρίζα x B= = ∈

• Θα ασχοληθούμε

μόνο με συναρτήσεις που έχουν για πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

Ισότητα συναρτήσεων Δυο συναρτήσεις f ,g είναι ίσες όταν καθορίζουν το ίδιο σύνολο διατεταγμένων ζευγών. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει οι δυο συναρτήσεις να έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και για τα ίδια x A∈ να έχουμε ίσες αντίστοιχες εικόνες, άρα:

f g= όταν:

• έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και • για κάθε x A∈ ισχύει f (x) g(x)= . Έστω τώρα f, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β. Αν για κάθε x Γ∈ ισχύει f (x) g(x)= , τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο σύνολο Γ. Δυο συναρτήσεις f ,g με αντίστοιχα πεδία ορισμού f gA , A που δεν είναι ίσες, πιθανόν να είναι ίσες σε κάποιο υποσύνολο του f gA A∩ , όπως φαίνεται στο σχήμα.

Γραφική παράσταση Έστω f μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο. Η f δημιουργεί ένα πλήθος διατεταγμένων ζευγών της μορφής (x, f(x)) που καθορίζουν πλήρως τη συνάρτηση. Το σύνολο των σημείων M(x,y) για τα οποία ισχύει y f (x)= , δηλαδή το σύνολο των σημείων M(x, f (x)) , x A∈ , λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται με fC .

• Η εξίσωση, y f (x)= επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της

fC . Επομένως, η y f (x)= είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.

• Επειδή κάθε x A∈ αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο yŒ—, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τετμημένη. Αυτό σημαίνει ότι:

“κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της f το πολύ ένα κοινό σημείο”

Για τον λόγο αυτό ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης.

y x

f f (A) A

Tom Raik
Highlight
1. Δυο συναρτήσεις που έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού είναι κατ'ανάγκη άνισες. 2. Δυο συναρτήσεις που έχουν ίδια πεδία ορισμού και ίδια σύνολα τιμών δεν είναι κατ'ανάγκη ίσες. 3. Δυο συναρτήσεις που είναι ίσες έχουν ίδια πεδία ορισμού και ίδια σύνολα τιμών.
Tom Raik
Highlight
Η γραφική παράσταση είναι η φωτογραφία της συνάρτησης. Κάθε σημείο (x,y) που ανήκει στη γραφική παράσταση οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση y=f(x) και αντίστροφα κάθε σημείο (x,y) που οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση y=f(x) ανήκει στη γραφική παράσταση.
Tom Raik
Highlight
να μην λές ότι έχουν ίσους τύπους γιατί είναι λάθος
Page 8: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 8 

Β. Μεθοδολογίες Βασικό χαρακτηριστικό της έννοιας «πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α» είναι:

«σε ΚΑΘΕ στοιχείο xŒΑ αντιστοιχεί ΕΝΑΣ ΜΟΝΑΔΙΚΟΣ πραγματικός αριθμός yŒ—», που σημαίνει ότι δεν θα πρέπει σε ένα στοιχείο του Α να αντιστοιχίζονται δυο ή περισσότεροι

πραγματικοί αριθμοί, άρα τα κοινά πρότυπα εφόσον υπάρχουν πρέπει να έχουν ίσες εικόνες! Μέθοδος 1 «τα κοινά πρότυπα έχουν ίσες εικόνες!» Σε ένα xŒΑ ένα yŒ—» Θέμα 2

Εξετάστε αν ο τύπος -2x , x 0

f (x)3 x , x 0

≤⎧⎪= ⎨≥⎪⎩

ορίζει συνάρτηση.

Λύση Ο κάθε κλάδος της f για κάθε x 0≠ ορίζει προφανώς συνάρτηση. Θα πρέπει οι δυο κλάδοι της σχέσης για x 0= να δίνουν το ίδιο f (0) . Ο πρώτος τύπος για x=0 δίνει f (0) 2 0 0= − ⋅ = .

Ο δεύτερος τύπος για x=0 δίνει f (0) 3 0 0= ⋅ = . Οπότε ο τύπος f ορίζει συνάρτηση με πεδίο ορισμού το fA = — . Θέμα 3

Να βρεθεί ο ακέραιος κ ώστε να ορίζει συνάρτηση η σχέση 2

2 2

3x 1, x 2 2f (x)

x 1, 3 x⎧ + ≤ κ − κ +

= ⎨+ κ − κ + ≤⎩

.

Προσοχή! Η παράμετρος είναι στο πεδίο ορισμού οπότε: 1. Θέτουμε το δεξιό άκρο του προηγούμενου διαστήματος μικρότερο ή ίσο του αριστερού άκρου

του επόμενου διαστήματος. 2. Λύνουμε την ανίσωση. 3. Ελέγχουμε τις τιμές που βρήκαμε. Λύση Για να ορίζει η δοσμένη σχέση συνάρτηση θα πρέπει οι δυο τύποι:

ή να μην ορίζονται για κοινά x, οπότε θα ισχύει 2 23 2 2κ − κ + > κ − κ + ⇔ 2 1 0κ − < ⇔

( 1,1)κ∈ − και επειδή κ∈Z θα έχουμε τελικά 0κ = , οπότε έχουμε 2

3x 1 x 2f (x)

x 1 x 3+ ≤⎧

= ⎨ + ≥⎩, σχέση

που αποτελεί συνάρτηση. ή για όσα κοινά x ορίζονται θα πρέπει να έχουμε κοινά y, δηλαδή θα πρέπει οι λύσεις

της εξίσωσης 2 23 2 2κ − κ + = κ − κ + να μας δίνουν x που έχουν και με τους δυο τύπους ίσα y. Αν λοιπόν 2 23 2 2κ − κ + = κ − κ + ⇔ 2 1κ = ⇔ 1κ = − ή 1κ = .

Για 1κ = − έχουμε 2

3x 1 x 5f (x)

x 1 x 5+ ≤⎧

= ⎨ + ≥⎩ . Η σχέση αυτή δεν ορίζει συνάρτηση γιατί για x 5= ο

πρώτος τύπος μας δίνει f (5) 16= και ο δεύτερος f (5) 26=

Για 1κ = έχουμε 2

3x 1 x 3f (x)

x 1 x 3+ ≤⎧

= ⎨ + ≥⎩. Η σχέση αυτή ορίζει συνάρτηση γιατί για x 3= ο

πρώτος τύπος μας δίνει f (3) 10= και ο δεύτερος f (3) 10= , άρα η τιμή 1κ = είναι δεκτή.

Tom Raik
Highlight
Μελετώ και μαθαίνω. Λύνω και ξαναλύνω μέχρι να τα μάθω.
Tom Raik
Highlight
Θα σε δυσκολέψει λίγο το θέμα αυτό.
Page 9: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 9 

Μέθοδος 2 «Πότε μια σχέση ορίζει συνάρτηση;» Έστω μια σχέση της μορφής Q(x, y)=0 , x, y∈— . Για να βρούμε για ποιες τιμές του x έχει νόημα, λύνουμε τη σχέση ως προς y και καταλήγουμε ότι y f (x)= . Στη συνέχεια επειδή y f(x)∈ ⇔ ∈— — , σχέση η οποία, εφόσον κρατηθούν οι ισοδυναμίες στις πράξεις, μας οδηγεί στην εύρεση των x, δηλαδή βρίσκουμε ένα σύνολο Α, για κάθε x του οποίου ορίζεται η σχέση. Θέμα 4 Έστω η σχέση 3x y 10+ = , x,y∈— . Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα. Β. Δείξτε ότι η σχέση ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x, της οποίας να βρεθεί ο τύπος. Προσοχή! Για να δείξουμε ότι η σχέση αυτή ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x και εξαρτημένη το y, θα εργαζόμαστε ως εξής: • ή θεωρούμε 1 2x , x A∈ τέτοια ώστε 1 2y y≠ , οπότε με μια σειρά πράξεων καταλήγουμε

στη σχέση 1 2x x≠ , • ή θεωρούμε 1 2x , x A∈ τέτοια ώστε 1 2x x= , οπότε συνθετικά με μια σειρά πράξεων

καταλήγουμε στη σχέση 1 2y y= . Λύση Έχουμε 3 3x y 10 y 10 x+ = ⇔ = − , x,y∈— .

Α. Αναζητούμε τα x∈— για τα οποία y∈— ⇔ 3y ∈— ⇔ (10 x)− ∈— ⇔ x∈—, δηλαδή x ( , )∈ −∞ +∞ . Β. Έστω 1 2x ,x ( , )∈ −∞ +∞ με αντίστοιχες τιμές 1 2y ,y τέτοιες ώστε:

3 31 2 1 2y y y y≠ ⇒ ≠ ⇒ 1 210 x 10 x− ≠ − ⇒ 1 2x x≠ , οπότε η σχέση ορίζει συνάρτηση f με πεδίο

ορισμού το —. Έχουμε 3y 10 x= − , οπότε για x 10> ⇒ y 0< , ενώ για x 10 y 0≤ ⇒ ≥ , άρα:

3

3

x 10 x 10f (x)

1 x x 10

⎧− − αν >⎪= ⎨− αν ≤⎪⎩

.

Θέμα 5 Έστω η σχέση 2x y 10+ = , x, y∈— με ανεξάρτητη μεταβλητή την x και εξαρτημένη μεταβλητή την y. Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα. Β. Δείξτε ότι η σχέση αυτή δεν ορίζει συνάρτηση. Προσοχή! Για να δείξουμε ότι η σχέση αυτή δεν ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x και εξαρτημένη το y, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x∈A το οποίο σχετίζεται με τουλάχιστον δυο 1 2y , y ∈— . Συνήθως το τελευταίο το δείχνουμε με αντιπαράδειγμα.

Tom Raik
Highlight
σε ένα x αντιστοιχεί ένα y
Tom Raik
Highlight
πολύ καλό θέμα, διάβασέ το
Page 10: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 10 

Λύση Έχουμε 2 2x y 10 y 10 x+ = ⇔ = − , x,y∈— . Α. Αναζητούμε τα x∈— για τα οποία y∈— ⇔ 2y 0≥ για κάθε y∈— ⇔ 10 x 0 x 10− ≥ ⇔ ≤ , οπότε η σχέση αυτή ορίζεται για κάθε x ( ,10]∈ −∞ , δηλαδή το πεδίο ορισμού της είναι το A ( ,10]= −∞ .

Β. Για να αποτελεί μια σχέση συνάρτηση πρέπει το κάθε x∈A να σχετίζεται με ένα μοναδικό y∈—.

Είναι 2y 10 x= − ⇔ 10 x

y

10 x

⎧ −⎪

= ⎨⎪− −⎩

ή , οπότε για το ίδιο x ( , 10]∈ −∞ έχουμε δυο τιμές για τη

μεταβλητή y, που σημαίνει ότι η σχέση δεν ορίζει συνάρτηση. Μπορούμε επίσης να αποδείξουμε ότι δεν είναι συνάρτηση και με ένα αντιπαράδειγμα: Έστω 1 2x ,x A∈ με αντίστοιχες εικόνες 1y 3= − , 2y 3= , οπότε: 1 2y y≠ .

Όμως 2 21 2y y 9= = ⇔ 1 210 x 10 x− = − ⇔ 1 2x x 1= = , που σημαίνει ότι η σχέση δεν είναι

συνάρτηση Μέθοδος 3 «Πως βρίσκουμε το Πεδίο Ορισμού» Για να βρούμε το πεδίου ορισμού μιας πραγματικής συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:

Αν είναι γνωστή η γραφική παράσταση fC , τότε το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της fC , δηλαδή είναι το σύνολο των σημείων του άξονα x x′ που είναι οι προβολές των σημείων της γραφικής παράστασης πάνω σ' αυτόν.

Αν για τη συνάρτηση f γνωρίζουμε τον τύπο της y f (x)= , τότε το πεδίο ορισμού της είναι συμβατικά το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών x, για τους οποίους το f (x) έχει νόημα στο —, δηλαδή: fD {x= ∈— : f (x)∈—}.

Να γράφεις πάντα το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης σαν διάστημα ή σαν ένωση διαστημάτων!!! Μελέτησε και μάθε πως βρίσκουμε τα πεδία ορισμού βασικών μορφών συναρτήσεων

Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το —, δηλαδή κάθε συνάρτηση με τύπο 1 1

1 1 0f (x) x x ... xν ν−ν ν−= α + α + + α + α , *ν∈Õ , έχει Π.Ο το σύνολο —, (εφόσον δεν υπάρχει

άλλος περιορισμός).

Cf

O

y

x Α

Tom Raik
Highlight
να γράφεις πάντα το πεδίο ορισμού σαν διάστημα ή σαν ένωση διαστημάτων
Tom Raik
Highlight
διάβασε και μάθε πολύ καλά όλες τις περιπτώσεις
Page 11: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 11 

Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν παρονομαστές, πρέπει να τους έχουν

όλους διάφορους του μηδενός, δηλαδή η συνάρτηση με τύπο g(x)f (x)h(x)

= έχει Π.Ο το

σύνολο { }f g hD x /x D D και h(x) 0= ∈ ∈ ∩ ≠—

Να ξέρεις λοιπόν ότι πάντα οι παρονομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός.

Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν ριζικά, πρέπει να έχουν όλα τα υπόρριζα μη αρνητικά, δηλαδή η συνάρτηση με τύπο f (x) g(x)ν= , {0,1}ν∈ −Õ - με 2ν ≥ έχει Π.Ο το

σύνολο { }f gD x /x D και g(x) 0 = ∈ ∈ ≥R

Να ξέρεις λοιπόν ότι πάντα τα υπόρριζα πρέπει να είναι μη αρνητικά. Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν λογάριθμοι, πρέπει να έχουν τις

παραστάσεις που λογαριθμίζονται θετικούς αριθμούς, δηλαδή η συνάρτηση με τύπο f (x) lng(x)= έχει Π.Ο το σύνολο { }f gD x /x D και g(x) 0 = ∈ ∈ >—

Να ξέρεις λοιπόν ότι λογάριθμο έχουν μόνον οι θετικοί αριθμοί.

Σε συναρτήσεις που ο τύπος τους έχει την εκθετική μορφή ( )h(x)f (x) g(x)= , πρέπει η βάση να είναι θετικός αριθμός και διάφορος του 1, δηλαδή η συνάρτηση με τύπο

( )h(x) h(x) lng(x)f (x) g(x) e ⋅= = έχει Π.Ο το σύνολο

{ }f g hD x /x D D με g(x) 0 και g(x) 1= ∈ ∈ ∩ > ≠—

Να ξέρεις ότι σε μια συνάρτηση που έχει εκθετική μορφή, η βάση πρέπει να είναι θετικός αριθμός και διάφορη του 1. Πρόσεξε Αν δεν είσαι σίγουρος ότι η συνάρτηση είναι εκθετική τότε αρκεί να απαιτήσεις ότι g(x)>0, δηλαδή στη περίπτωση αυτή έχουμε:

{ }f g hD x /x D D με g(x) 0 = ∈ ∈ ∩ >—

Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν ημίτονα ή συνημίτονα, δεν υπάρχουν

περιορισμοί για τα τόξα, δηλαδή οι συναρτήσεις που ο τύπος τους έχει την μορφή

( )f (x) g(x)= ημ ή ( )f (x) g(x)= συν έχουν Π.Ο το σύνολο { }f gD x /x D= ∈ ∈R .

Να ξέρεις λοιπόν ότι τα ημx και συνx ορίζονται για κάθε x∈—.

Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν εφαπτόμενες, πρέπει τα τόξα να είναι

διάφορα του 2π

κπ + , κ∈Ÿ , δηλαδή η συνάρτηση με τύπο ( )f (x) g(x)= εϕ έχει Π.Ο το

σύνολο f gD x /x D με g(x) και κ2π⎧ ⎫= ∈ ∈ ≠ κπ + ∈⎨ ⎬

⎩ ⎭— Ÿ

Να ξέρεις λοιπόν ότι η εφx ορίζεται για τόξα x με x2π

≠ κπ + .

Tom Raik
Highlight
όλοι οι παρονομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός
Tom Raik
Highlight
τα υπόρριζα πρέπει να είναι μη αρνητικά
Tom Raik
Highlight
λογάριθμο έχουν μόνο οι θετικοί αριθμοί
Page 12: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 12 

Σε συναρτήσεις που στον τύπο τους υπάρχουν συνεφαπτόμενες, πρέπει τα τόξα να είναι διάφορα του κπ , κ∈Ÿ , δηλαδή οι συναρτήσεις που ο τύπος τους έχει την μορφή

( )f (x) g(x)= σϕ έχει Π.Ο το σύνολο { }f gD x /x D με g(x) και κ= ∈ ∈ ≠ κπ ∈— Ÿ Να ξέρεις λοιπόν ότι η σφx ορίζεται για τόξα x με x ≠ κπ .

Ρίζες και πρόσημο τριωνύμου Έστω το τριώνυμο 2x xα +β + γ , 0α ≠ , αν:

0Δ > , έχει δυο άνισες ρίζες τις εξής:

1x2

−β − Δ=

α, 2x

2−β + Δ

και είναι:

• ομόσημο του α όταν το x παίρνει τιμές έξω από το διάστημα των ριζών, δηλαδή 1x x< ή

2x x> , • ετερόσημο του α όταν το x παίρνει τιμές μέσα στο διάστημα των ριζών, δηλαδή 1 2x x x< < .

0Δ = , έχει μια διπλή ρίζα την 0x2β

= −α

και είναι:

• ομόσημο του α για κάθε x∈— με x2β

≠ −α

,

• για x2−β

το τριώνυμο ισούται με μηδέν.

0Δ < δεν έχει ρίζες και είναι: • ομόσημο του α για κάθε x∈— .

Μελέτησε πάρα πολύ καλά και αναλυτικά τα ακόλουθα θέματα

Θέμα 6

Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:

Α. 2x 3x 2f (x)

x− +

= ,

Β. 2

2

x x 6g(x)x 1

− + +=

−.

Λύση Α. H συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύουν: 2x 3x 2 0− + ≥ και x 0≠ . Το τριώνυμο 2x 3x 2− + έχει διακρίνουσα, 2( 3) 4 1 2 9 8 1 0Δ = − − ⋅ ⋅ = − = > οπότε έχει ρίζες τους

αριθμούς ( 3) 1 12 1

− − −=

⋅ ή ( 3) 1 2

2 1− − +

=⋅

και 1 0α = > . Οπότε η ανίσωση 2x 3x 2 0− + ≥

αληθεύει, όταν τριώνυμο είναι ομόσημο του 1 0α = > , που συμβαίνει όταν και μόνο όταν x 1≤ ή x 2≥ . Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A ( ,0) (0, 1] [2, )= −∞ ∪ ∪ +∞ . Β. H συνάρτηση g ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους

Tom Raik
Highlight
αν μελετήσεις αναλυτικά τα λυμένα θέματα θα καλύψεις σημαντικά τμήματα από προαπαι-τούμενες γνώσεις των περασμένων χρόνων
Tom Raik
Highlight
επανάληψη στο πρόσημο τριωνύμου
Page 13: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 13 

ισχύουν: 2x x 6 0− + + ≥ και 2x 1 0− ≠ . Το τριώνυμο 2x x 6− + + έχει διακρίνουσα 21 4 ( 1) 6 1 24 25 0Δ = − ⋅ − ⋅ = + = > και ρίζες τους

αριθμούς 1 25 32 ( 1)− −

=⋅ −

ή 1 25 22 ( 1)− +

= −⋅ −

και 1 0α = − < . Οπότε η ανίσωση 2x x 6 0− + + ≥

αληθεύει, όταν τριώνυμο είναι ετερόσημο του 1 0α = − < , που συμβαίνει όταν και μόνο όταν 2 x 3− ≤ ≤ .

Έχουμε επίσης 2x 1 0 (x 1)(x 1) 0− ≠ ⇔ − + ≠ ⇔ x 1≠ και x 1≠ − . Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A [ 2, -1) ( 1, 1) (1, 2]= − ∪ − ∪ .

Θέμα 7

Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:

Α. 2

2

x ln 3g(x)x 4x 4

+=

+ +,

Β. 2

2

x x 2f (x)x e+ +

=+

.

Λύση Α. H συνάρτηση g ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύουν: 2x 4x 4 0+ + ≥ και 2x 4x 4 0+ + ≠ , οπότε τελικά όταν 2x 4x 4 0+ + > . Το τριώνυμο 2x 4x 4− + έχει διακρίνουσα 24 4 1 4 16 16 0Δ = − ⋅ ⋅ = − = και 1 0α = > οπότε έχει μια

διπλή ρίζα που είναι ο αριθμός 4 22 1−

= −⋅

1 0α = > . Θέλουμε 2x 4x 4 0+ + > δηλαδή να είναι

ομόσημο του συντελεστή 1 0α = > , άρα x 2≠ − . Επομένως, το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο A ( , 2) ( 2, )= −∞ − ∪ − +∞ . Β. H συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύουν: 2x x 2 0+ + ≥ και 2x e 0+ ≠ . Το τριώνυμο όμως 2x x 2+ + έχει διακρίνουσα 21 4 1 2 1 8 7 0Δ = − ⋅ ⋅ = − = − < και 1 0α = > . Οπότε ισχύει 2x x 2 0+ + > για κάθε x∈— . Έχουμε επίσης 2x 0≥ για κάθε x∈— και e 0> , οπότε 2x e e+ ≥ για κάθε x∈— , οπότε 2x e 0+ ≠ x∈— . Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι όλο το — , δηλαδή A = — .

Θέμα 8

Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους: A. f (x) 1 ln x= − , B. xg(x) ln(e 1)= − . Λύση A. Το h(x) έχει νόημα για h(x) 0≥ , οπότε η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύουν: 1 ln x 0− ≥ και x 0> . 1 ln x 0 ln x 1− ≥ ⇔ ≤ ln x lne⇔ ≤ ⇔ 0 x e< ≤ . Επομένως, το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A (0, e]= . B. Το ln(g(x)) έχει νόημα για g(x) 0> , οπότε η συνάρτηση g ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει: xe 1 0− > ⇔ xe 1> ⇔ x 0e e> . Η τελευταία

Tom Raik
Highlight
Tom Raik
Highlight
επανάληψη στο πρόσημο τριωνύμου
Page 14: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 14 

σχέση ισχύει αν και μόνο αν x 0> . Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το A (0, )= +∞ . Θέμα 9 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τους ακόλουθους τύπους: A. f (x) 1 x= − ,

Β. g(x) x 3 6= − − . Λύση

Με 0θ ≥ ισχύουν οι ανισότητες: Αν x ≤ θ ⇔ x−θ ≤ ≤ θ , Αν x ≥ θ ⇔ x ≤ −θ ή x ≥ θ . A. Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει: 1 x 0 x 1 1 x 1− ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το A [ 1, 1]= − .

Β. Η συνάρτηση g ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους x 3 6 0− − ≥ ⇔ ή x 3 6 x 3 6 x 9− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ x 3 6 x 3− ≤ − ⇔ ≤ − . Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το A ( , -3] [9, + )= −∞ ∪ ∞

Θέμα 10

Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους: A. f (x) 1 x= − ημ ,

B. g(x) 1 x= + συν . Λύση Επανέλαβε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των βασικών τόξων. Μάθε να επιλύεις τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις. Θυμήσου ότι: 1 x 1− ≤ ημ ≤ και 1 x 1− ≤ συν ≤ . A. Η συνάρτηση f με τύπο f (x) 1 x= − ημ ορίζεται, όταν 1 x 0− ημ ≥ . 1 x 0− ημ ≥ ⇔ 1 x≥ ημ , που ισχύει γιατί 1 x 1− ≤ ημ ≤ για κάθε x∈— , άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A = — .

B. Η συνάρτηση g με τύπο g(x) 1 x= + συν ορίζεται όταν 1 x 0− συν ≥ . 1 x 0− συν ≥ ⇔1 x≥ συν , που ισχύει γιατί 1 x 1− ≤ συν ≤ για κάθε x∈— , άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A = — Θέμα 11 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με τύπο xf (x) (2 x)= + . Λύση Θυμήσου ότι η συνάρτηση ( )h(x)f (x) g(x)= απαιτεί g(x) 0> . Η συνάρτηση f ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει: 2 x 0 x 2+ > ⇔ > − .

Μελετάμε και μαθαίνουμε!

Tom Raik
Highlight
επανάληψη στα απόλυτα
Tom Raik
Highlight
−1≤ ημx≤1 και −1≤ συνx≤1
Page 15: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 15 

Μελετάμε και μαθαίνουμε!

Επομένως το πεδίο ορισμού είναι A [ 1,2] [3, )= − ∪ +∞ .

Θέμα 12

Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:

A. 1 xf (x) ln1 x−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

, B. 2x 1g(x) 1x 2−

= −−

.

Λύση Μάθε να επιλύεις ρητές ανισώσεις. Θυμήσου ότι στις ρητές ανισώσεις δεν κάνουμε (γενικά) απαλοιφή παρονομαστών επειδή δεν ξέρουμε το πρόσημο των παρονομαστών .

A. Η συνάρτηση με τύπο 1 xf (x) ln1 x−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

ορίζεται, όταν 1 x 0 x 1+ ≠ ⇔ ≠ − και 1 x 01 x−

> ⇔+

2 21 x (1 x) 0 (1 x) (1 x) (1 x) 01 x−

⇔ ⋅ + > ⋅ + ⇔ − ⋅ + >+

⇔ 1 x 1− < < , οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο ( 1, 1)Α = − .

Β. Η συνάρτηση με τύπο 2x 1g(x) 1x 2−

= −−

ορίζεται, όταν x 2 0 x 2− ≠ ⇔ ≠ και

2x 1 (2x 1) (x 2)1 0 0x 2 x 2− − − −

− ≥ ⇔ ≥ ⇔− −

2 2x 1 (x 2) 0 (x 2) (x 1) (x 2) 0x 2+

⇔ ⋅ − ≥ ⋅ − ⇔ + ⋅ − ≥−

⇔ x 1≤ − ή x 2≥ . Θέμα 13 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τους ακόλουθους τύπους: A. f (x) x 3 2 x 5= − − −

Β. 2g(x) x 5 x 4= − + . Λύση A. Η συνάρτηση f ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει: x 3 2 x 5 0 x 3 2 x 5 .− − − ≥ ⇔ − ≥ −

Θυμήσου τη μέθοδο του τετραγωνισμού και ότι για να υψώσουμε και τα δυο μέλη μιας ισότητας ή μιας ανισότητας στο τετράγωνο πρέπει να έχουμε μέλη ομόσημα, οπότε έχουμε:

( )22x 3 2 x 5− ≥ − ⇔ ( )22x 3 2 x 5 0− − − ≥ ⇔

( ) ( )(x 3 2(x 5) (x 3 2(x 5) 0− − − ⋅ − + − ≥ ⇔

( ) ( ) 13x 7 3x 13 0 x , 73

⎡ ⎤− + ⋅ − ≥ ⇔ ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦.

Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το 13A , 73

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦.

Β. Η συνάρτηση g ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους 2x 5 x 4 0− + ≥ ⇔ 2x 5 x 4 0− + ≥ .

Tom Raik
Highlight
επανάληψη στις ρητές ανισώσεις
Tom Raik
Highlight
επανάληψη στα απόλυτα
Page 16: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 16 

Μελετάμε και μαθαίνουμε!

Μελετάμε και μαθαίνουμε!

Μπορούμε με κατάλληλη αντικατάσταση να επιλύσουμε ευκολότερα μια εξίσωση ή μια ανίσωση, οπότε αν θέσουμε x y 0= ≥ έχουμε: 2y 5y 4 0− + ≥ ⇔ 0 y 1≤ ≤ ή y 4≥ , οπότε x 1 1 x 1≤ ⇔ − ≤ ≤ ή x 4≥ ⇔ x 4≤ − ή x 4≥ . Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης θα είναι το A ( , -4] [ 1,1] [4, + )= −∞ ∪ − ∪ ∞ .

Θέμα 14 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f (x) x 3 2 x 6 1= − − − + . Λύση Θυμήσου ότι ο γενικός τρόπος επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων που περιέχουν απόλυτες τιμές είναι να διακρίνεις περιπτώσεις για το πρόσημο των παραστάσεων που είναι στα απόλυτα. Αυτό διευκολύνεται καταρτίζοντας πίνακα προσήμων.

Η συνάρτηση f ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει: x 3 2 x 6 1 0− − − + ≥ (Α).

Με τη βοήθεια του πίνακα προσήμων θα επιλύσουμε την ανίσωση (Α):

Για x 3< η (Α) παίρνει τη μορφή:

( ) ( )x 3 2 x 6 1 0− + − − + + ≥ ⇔

x 3 2x 12 1 0 x 8 0 x 8− + + − + ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ που είναι αδύνατη.

Για 3 x 6≤ < η (Α) παίρνει τη μορφή:

( ) ( )x 3 2 x 6 1 0− − − + + ≥ ⇔ x 3 2x 12 1 0− + − + ≥ ⇔

143x 14 0 x3

⇔ − ≥ ⇔ ≥ , άρα 14x ,63

⎡ ⎞∈ ⎟⎢⎣ ⎠.

Για x 6≥ η (Α) παίρνει τη μορφή:

( ) ( )x 3 2 x 6 1 0− − − + ≥ ⇔ x 3 2x 12 1 0− − + + ≥ ⇔

x 10 0 x 10⇔ − + ≥ ⇔ ≤ , άρα [ ]x 6,10∈ . Επομένως το πεδίο ορισμού είναι 14A , 103

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦.

Θέμα 15 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f με 3 2f (x) x 4x x 6= − + + . Λύση

x-3 - + +

x-6 - - +

x 3− -x+3 x-3 x-3

x 6− -x+6 -x+6 x-6

-∞ 3 6 +∞

0

0

Tom Raik
Highlight
επανάληψη στα απόλυτα
Tom Raik
Highlight
σχήμα horner
Page 17: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 17 

0

0 0 0 0

0

-1 2

3 +∞

Η συνάρτηση f ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει: 3 2x 4x x 6 0− + + ≥ (Α).

Παραγοντοποιούμε με τη βοήθεια του σχήματος Horner το πολυώνυμο 3 2x 4x x 6− + + , το οποίο έχει ρίζα 0x 1= − και έχουμε: 3 2 2x 4x x 6 (x 1)(x 5x 6)− + + = + − + = (x 1)(x 2)(x 3)= + − − ,

οπότε η (Α) γίνεται:

(x 1)(x 2)(x 3) 0+ − − ≥ , την οποία θα την επιλύσουμε αφού βρούμε το πρόσημο κάθε παράγοντά της.

x+1 _ + + +

x-2 _ _ + +

x-3 _ _ _ +

(x 1)(x 2)(x 3)+ − − _ + _ +

Από τον πίνακα προσήμων των όρων της (Α), έχουμε ότι οι λύσεις της είναι κάθε x [ 1,2] [3, )∈ − ∪ +∞ . Επομένως το πεδίο ορισμού είναι A [ 1,2] [3, )= − ∪ +∞ .

Θέμα 16 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους: A. ( )x xf (x) ln (e 2)(e 1)= + −

Β. x

x

2 4g(x)2 8−

=−

Λύση A. Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει: x x(e 2)(e 1) 0+ − > , που σημαίνει ότι οι όροι xe 2+ και xe 1− είναι ομόσημοι. Επειδή όμως

xe 2 0+ > , θα είναι υποχρεωτικά xe 1 0− > ⇔ xe 1> ⇔ x 0e e> ⇔ x 0> . Επομένως το πεδίο ορισμού είναι A (0, )= +∞ .

Β. Η συνάρτηση g ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύει:

x x 32 8 0 2 2 x 3− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ και x

x

2 4 02 8−

≥−

⇔ ( ) ( )x 2 2x xx

2 4 2 8 0 2 82 8−

⋅ − ≥ ⋅ −−

⇔ ( ) ( )x x2 4 2 8 0− ⋅ − ≥ .

Θέτουμε x2 y 0= > και έχουμε να επιλύσουμε την ισοδύναμη ανίσωση ( ) ( )y 4 y 8 0− ⋅ − ≥ ⇔ y 4≤ ή

y 8≥ . Άρα x x 22 4 2 2 x 2≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ή x x 32 8 2 2≥ ⇔ ≥ ⇔ x 3⇔ ≥ . Επομένως το πεδίο ορισμού είναι A ( ,2] [3, )= −∞ ∪ +∞ .

Θέμα 17 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τους τύπους: Α. ( )5 5 52log x 1 log x log 6f (x) ln 5 5 5+= − − ,

Β. lnx ln3g(x) 3 x 18= + − .

1 -4 1 6

-1 5 -6 -1

1 -5 6 0

-∞

Tom Raik
Highlight
εκθετικές ανισώσεις
Tom Raik
Highlight
λογαριθμικές ανισώσεις
Page 18: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 18 

Μελετάμε και μαθαίνουμε!

Λύση

Πρέπει να γνωρίζουμε ότι logα θα = θ , οπότε: 5log x5 x= και 5log 65 6= . Επίσης πρέπει να ξέρουμε ότι ισχύει

log logβ αα = β οπότε lnx ln33 x= . Α. Η συνάρτηση f ορίζεται για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύουν: x 0> και 5 5 52log x 1 log x log 65 5 5 0+− − > (Α). Η (Α) γίνεται: ( )5 5 5

2log x log x log 65 5 5 5 0− ⋅ − > ⇔2x 5x 6 0− − > ⇔ x 1< − ή x 6> .

Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι A (6, )= +∞ .

Β. Η συνάρτηση g ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς x∈— για τους οποίους ισχύουν: x 0> και lnx ln33 x 18 0+ − > (Β). Η (Β) γίνεται: lnx lnx3 3 18 0+ − > ⇔ lnx2 3 18⋅ > ⇔ lnx3 9> ⇔

lnx 23 3> ⇔ ln x 2> ⇔ 2ln x lne> ⇔ 2x e> .

Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι 2A (e , )= +∞ .

Μέθοδος 4 «Πως βρίσκουμε το Σύνολο Τιμών» Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας πραγματικής συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:

A. «Πως βρίσκουμε το Σύνολο Τιμών»

Αν είναι γνωστή η γραφική παράσταση fC , τότε το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f (A) των τεταγμένων των σημείων της fC , δηλαδή είναι το σύνολο των σημείων του άξονα y y′ που είναι οι προβολές των σημείων της γραφικής παράστασης πάνω σ' αυτόν.

Αν για τη συνάρτηση f γνωρίζουμε τον τύπο της y f (x)= , τότε:

1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Α (αν δεν δίνεται).

2. Λύνουμε τον τύπο της συνάρτησης f ως προς x, δηλαδή επιλύουμε τη σχέση y f (x)= ως προς x και καταλήγουμε στη σχέση x g(y)= , δηλαδή εκφράζουμε το x συναρτήσει του y. Προσέχουμε πολύ ώστε κατά την διάρκεια της επίλυσης να θέτουμε τις συνθήκες εκείνες (περιορισμοί για να διατηρούνται οι ισοδυναμίες μεταξύ των διαδοχικών πράξεων) που πρέπει να ικανοποιεί το y, ώστε να έχει νόημα η διαδικασία της επίλυσης.

3. Επειδή x A∈ , απαιτούμε g(y) A∈ , οπότε βρίσκουμε και άλλες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί το y , οπότε συναληθεύοντας όλες τις συνθήκες που προέρχονται από την όλη διαδικασία, βρίσκουμε το σύνολο τιμών f (A) .

4. Αν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου, τότε βρίσκουμε το σύνολο τιμών κάθε κλάδου, οπότε η ένωση των επιμέρους συνόλων αποτελούν το σύνολο τιμών της συνάρτησης. Αν για παράδειγμα έχουμε:

Cf

O

y

x

f (Α)

Tom Raik
Highlight
μελετάμε όλες τις περιπτώσεις και όλα τα λυμένα θέματα
Page 19: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 19 

Προσοχή!

Προσοχή!

1

2

g(x) αν x Af (x)

h(x) αν x A∈⎧

= ⎨ ∈⎩, τότε πρώτα βρίσκουμε τα 1f (A ) , 2f (A ) και στη συνέχεια θα έχουμε

1 2f (A) f (A ) f (A )= ∪ . 5. Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι το σύνολο τιμών είναι ένα δοσμένο σύνολο Β, εργαζόμαστε

ως εξής: i. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α, ii. Δείχνουμε με ισοδυναμίες ότι η σχέση f (x) B∈ , δηλαδή y f (A)∈ είναι αληθής για κάθε x A∈ .

Γενικά, αν δουλεύουμε με τον τύπο y f (x)= για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας πραγματικής συνάρτησης f όταν το πεδίο ορισμού fD είναι το ευρύτερο υποσύνολο που ορίζει ο τύπος, τότε οι περιορισμοί για τα x που προέρχονται από το fD , δεν μας δίνουν ποτέ περιορισμούς για τα y!!! Θέμα 18 Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο f (x) 2x 1= − . Λύση Έχουμε, fA = — . Λύνουμε την εξίσωση y f (x)= ως προς x. Οι περιορισμοί για το y, αν υπάρξουν, δίνουν το σύνολο τιμών.

y f (x)= ⇔ y 2x 1= − ⇔y 1x

2−

= . Επειδή x∈ ⇔— y 1 y2−

∈ ⇔ ∈— — , οπότε f (A) = — .

Θέμα 19 Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο f (x) 2 x 1= − − . Λύση

1. Πρέπει f (x)∈— x 1 0⇔ − ≥ ⇔ , x 1≥ άρα fD [1, )= +∞ .

2. y 2 x 1 x 1 2 y= − − ⇔ − = − .

Όταν θέλουμε να υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας ισότητας ή ανισότητας σε άρτια δύναμη, πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι τα δυο μέλη είναι ομόσημα!

Επειδή λοιπόν x 1 0− ≥ θα είναι και 2 y 0− ≥ . Οπότε έχουμε 2x 1 (2 y)− = − με y 2≤ ⇔ 2x 1 (2 y)= + − με y 2≤ .

3. fx D x 1∈ ⇔ ≥ ⇔ 2 21 (2 y) 1 (2 y) 0+ − ≥ ⇔ − ≥ , σχέση που ισχύει για κάθε y , άρα τελικά

ff (D ) ( , 2]= −∞ . Θέμα 20

Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο x 1f (x)x 1−

=+

.

Λύση Έχουμε, x 1 0 x 1+ ≠ ⇔ ≠ − . Επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι το ( ) ( )A , -1 1, += −∞ ∪ − ∞ . Λύνουμε την εξίσωση y f (x)= ως προς x. Οι περιορισμοί για το y, αν υπάρξουν, δίνουν το σύνολο τιμών.

x 1y f (x) y y (x 1) x 1x 1−

= ⇔ = ⇔ ⋅ + = − ⇔+

Page 20: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 20 

Προσοχή!

yx y x 1 yx x 1 y x(y 1) 1 y⇔ + = − ⇔ − = − − ⇔ − = − − (1). Θέλουμε να λύσουμε την (1) ως προς x, οπότε θα διαιρέσουμε με το y 1− και επειδή η διαίρεση με το 0 είναι μη επιτρεπτή πράξη, πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις.

Αν y 1 0 y 1− = ⇔ = , από την (1) έχουμε: 0 x 2⋅ = − , αδύνατο, οπότε από την (1) έχουμε 1 yxy 1− −

=−

με

y 1≠ . Άρα f (A) ( ,1) (1, )= −∞ ∪ +∞ . Θέμα 21

Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο 2

2

x 9f (x)x 5x 6

−=

− +.

Λύση

1. Πρέπει f (x)∈— ⇔ 2x 5x 6 0− + ≠ ⇔

(x 3)(x 2) 0⇔ − − ≠ ⇔ x 3≠ και x 2≠ , άρα

fD ( , 2) (2,3) (3, )= −∞ ∪ ∪ +∞ .

2. (x 3)(x 3) x 3y y(x 3)(x 2) x 2− + +

= ⇔ = ⇔− − −

y(x 2) x 3 yx 2y x 3− = + ⇔ − = + ⇔

yx x 2y 3 (y 1)x 2y 3− = + ⇔ − = + . Θέλουμε να λύσουμε ως προς x, οπότε θα διαιρέσουμε με το y 1− και επειδή η διαίρεση με το 0 είναι μη επιτρεπτή πράξη, πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις.

2α. Αν y 1 0 y 1− = ⇔ = ⇔ 0 x 5⋅ = , αδύνατον, άρα y 1 0− ≠ ⇔ y 1≠ .

2β. Αφού y 1 0− ≠ έχουμε ότι 2y 3xy 1+

=−

.

3. f2y 3x D x 2,3 2y 1+

∈ ⇔ ≠ ⇔ ≠−

και 2y 3 3y 1+

≠−

.

3α. 2y 3 2y 1+

≠ ⇔−

2y 3 2y 2 3 2+ ≠ − ⇔ ≠ , που ισχύει.

3β. 2y 3 3 2y 3 3y 3y 1+

≠ ⇔ + ≠ − ⇔−

y 6 y 6− ≠ − ⇔ ≠ άρα, ff (D ) ( ,1) (1,6) (6, )= −∞ ∪ ∪ +∞ .

Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης δουλέψαμε με τον απλοποιημένο τύπο της x 3yx 2+

=−

.

Ο τύπος αυτός δεν ορίζεται για x 2= , ενώ ορίζεται για x 3= , δηλαδή αν βάλουμε στη θέση του x το

2 δεν θα μας δώσει y, ενώ αν βάλουμε στη θέση του x το 3, θα μας δώσει. Η σχέση 2y 3xy 1+

=−

είναι

ισοδύναμη της σχέσης x 3yx 2+

=−

, οπότε η σχέση 2y 3 2y 1+

≠−

δεν θα μας δώσει περιορισμό για

το y ενώ η σχέση 2y 3 3y 1+

≠−

θα μας δώσει περιορισμό για το y.

Θέμα 22 Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο ( )xf (x) ln e 1= + .

Tom Raik
Highlight
να το μελετήσεις καλά
Page 21: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 21 

Προσοχή!

Λύση Είναι xe 1 0+ > για κάθε x∈— , A = — . Λύνουμε την εξίσωση y f (x)= ως προς x. Οι περιορισμοί για το y, αν υπάρξουν, δίνουν το σύνολο τιμών.

( )x y x x yy f (x) y ln e 1 e e 1 e e 1= ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = − (1).

Επειδή το πρώτο μέλος της (1) είναι xe 0> ⇔ y y y 0e 1 0 e 1 e e y 0− > ⇔ > ⇔ > ⇔ > , οπότε λύνοντας την (1) ως προς x, έχουμε ( )yx ln e 1= − , με

y 0> , άρα το σύνολο τιμών της f είναι ( )f (A) 0, += ∞ . • Στα προηγούμενα θέματα καταλήξαμε να επιλύσουμε πρωτοβάθμια εξίσωση ως προς x. Στη συνέχεια ακολουθεί ένα θέμα στο οποίο καταλήγουμε σε δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς x. Θέμα 23

Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο 2

2

x 1f (x)x 5x 6

+=

− +.

Λύση

1. f (x)∈ ⇔— 2x 5x 6 0− + ≠ ⇔

(x 3)(x 2) 0− − ≠ ⇔ x 3≠ και x 2≠ , άρα

fD ( , 2) (2,3) (3, )= −∞ ∪ ∪ +∞ . 2. Ο τύπος της συνάρτησης δεν επιδέχεται απλοποίηση, οπότε έχουμε τα εξής:

22 2

2

x 1y y(x 5x 6) x 1x 5x 6

+= ⇔ − + = + ⇔

− +

2 2yx 5yx 6y x 1 0− + − − = ⇔ 2(y 1)x 5yx (6y 1) 0⇔ − − + − = (Ε).

Η (Ε) φαίνεται σαν δευτεροβάθμια, αλλά αυτό συμβαίνει μόνον όταν y 1 0− ≠ . Για τον λόγο αυτό θα εξετάσουμε δυο περιπτώσεις. i) Αν y 1 0 y 1− = ⇔ = η (Ε) γίνεται:

5x 5 0 x 1− + = ⇔ = , επειδή τώρα fx 1 D= ∈ ⇔ fy 1 f (D )⇔ = ∈ . ii) Αν y 1 0 y 1− ≠ ⇔ ≠ τότε η (Ε) είναι δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς x . Για οποιοδήποτε y (εικόνα) που ψάχνουμε να βρούμε η δευτεροβάθμια εξίσωση που προκύπτει έχει λύσεις τα αντίστοιχα x (πρότυπα) που είναι πραγματικοί αριθμοί, διότι ανήκουν στο

fD ⊆ — , άρα έχει 0Δ ≥ , οπότε: 225y 4(y 1)(6y 1) 0− − − ≥ ⇔ 2 225y 24y 4y 24y 4 0− + + − ≥ ⇔ 2y 28y 4 0+ − ≥ .

Το τριώνυμο 2y 28y 4+ − έχει διακρίνουσα 2 228 4( 4) 784 16 800 2.400 2.20′Δ = − − = + = = = και

ρίζες τα 1 2y , y , όπου 128 20 2y 14 10 2

2− −

= = − − , 228 20 2y 14 10 2

2− +

= = − + , οπότε

y 14 10 2≤ − − ή y 14 10 2≥ − + . 3. Οι περιορισμοί x 3≠ και x 2≠ , είναι εκείνοι που καθορίζουν ότι το πεδίο ορισμού είναι το ευρύτερο υποσύνολο του — που καθορίζει ο τύπος της συνάρτησης f, άρα δεν μας δίνουν άλλους περιορισμούς για τα y, οπότε έχουμε ότι:

Tom Raik
Highlight
εξειδικευμένο θέμα
Page 22: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 22 

ff (D ) ( , 14 2] [ 14 2, ) {1}= −∞ − − ∪ − + +∞ ∪ = ( , 14 2] [ 14 2, )−∞ − − ∪ − + +∞ . Θέμα 24

Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο 2 xf (x)2 x+ ημ

=− ημ

.

Λύση

1. Πρέπει f (x)∈— 2 x 0 x 2⇔ −ημ ≠ ⇔ ημ ≠ , που ισχύει για κάθε x, άρα fD = —.

2. 2 xy y(2 x) 2 x2 x+ ημ

= ⇔ − ημ = + ημ ⇔− ημ

2y y x 2 x⇔ − ημ = + ημ . Επειδή ο τύπος δεν μπορεί να λυθεί ως προς x, θα τον λύσουμε ως προς ημx, οπότε: y x x 2y 2ημ + ημ = − ⇔ y x x 2y 2 (y 1) x 2y 2ημ + ημ = − ⇔ + ημ = − (E). Θέλουμε να λύσουμε ως προς ημx, οπότε θα διαιρέσουμε με το y 1+ και επειδή η διαίρεση με το 0 είναι μη επιτρεπτή πράξη, πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις. i. Αν y 1 0 y 1+ = ⇔ = − , τότε η (Ε) δίνει 0 x 4⋅ ημ = − , αδύνατον, άρα y 1 0 y 1+ ≠ ⇔ ≠ − . (1)

ii. Αφού y 1 0+ ≠ , λύνουμε την (Ε) ως προς ημx και έχουμε 2y 2xy 1−

ημ =+

. Ξέρουμε ότι

1 x 1− ≤ ημ ≤ ⇔ 2y 21 1y 1−

⇔ − ≤ ≤+

. Έχουμε λοιπόν να λύσουμε το ανισωτικό σύστημα: 2y 21y 1−

− ≤+

και 2y 2 1y 1−

≤+

.

α. 2y 2 2y 21 1 0y 1 y 1− −

− ≤ ⇔ + ≥ ⇔+ +

2y 2 y 1 0y 1− + +

⇔ ≥ ⇔+

3y 1 0y 1−

⇔ ≥ ⇔+

y 1< − ή 1y3

≥ . (2)

β. 2y 2 2y 2 2y 2 y 11 1 0 0y 1 y 1 y 1− − − − −

≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔+ + +

y 3 0y 1−

⇔ ≤ ⇔+

1 y 3− < ≤ . (3)

Από (1) , (2) και (3) συνάγουμε ότι 1 y 33≤ ≤ .

3. Περιορισμοί για το x δεν έχουμε, οπότε f1f (D ) , 33⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

B. «Πως βρίσκουμε το Σύνολο τιμών συνάρτησης πολλαπλού τύπου;» Όταν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου, τότε βρίσκουμε το σύνολο τιμών κάθε κλάδου, οπότε η ένωση των επιμέρους συνόλων αποτελούν το σύνολο τιμών της συνάρτησης.

Αν για παράδειγμα έχουμε 1

2

g(x) αν x Af (x)

h(x) αν x A∈⎧

= ⎨ ∈⎩, τότε πρώτα θα βρούμε τα 1f (A ) , 2f (A ) και

στη συνέχεια θα έχουμε 1 2f (A) f (A ) f (A )= ∪ .

Tom Raik
Highlight
εξειδικευμένο θέμα με δυσκολία στην αλγεβρική επίλυση συστήματος ρητών ανισώσεων
Tom Raik
Highlight
να μελετηθεί η τεχνική γιατί θα μας χρειασθεί στις 1-1 και τις αντίστροφες
Page 23: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 23 

Θέμα 25

Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο 3x 1 , x 1

f (x)ln x , x 1

− + <⎧= ⎨ ≥⎩

.

Λύση Έχουμε f (x) 3x 1= − + , με 1x A ( , 1)∈ = −∞ και f (x) ln x= με 2x A [1, + )∈ = ∞ .

3x 1 , x 1f (x)

ln x , x 1− + <⎧

= ⇔⎨ ≥⎩

y 3x 1 , x 1y ln x , x 1= − + <⎧

⇔⎨ = ≥⎩

y

y 1x , x 13

x e , x 1

− +⎧ = <⎪ ⇔⎨⎪ = ≥⎩

y 0y

y 1 y 1 313

e ee 1

− +⎧ − + << ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ≥⎩⎪ ≥⎩

y 2y 0> −⎧

⇔⎨ ≥⎩1

2

f (A ) ( 2, + ).

f (A ) [1, + )= − ∞⎧

⎨ = ∞⎩

Οπότε το σύνολο τιμών είναι:

1 2f (A) f (A ) f (A ) ( 2, + )= ∪ = − ∞ .

Γ. «Πως αποδεικνύουμε ότι το Σύνολο τιμών είναι ένα δοσμένο σύνολο Β;» Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι το σύνολο τιμών είναι ένα δοσμένο σύνολο Β, εργαζόμαστε ως εξής: i. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α, ii. Δείχνουμε με ισοδυναμίες ότι η σχέση f (x) B∈ , δηλαδή y A∈ είναι αληθής για κάθε x A∈ . Θέμα 26 Δείξτε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με τύπο 2f (x) x 4x 3= − + είναι το [ )B 1, += − ∞ . Λύση Έχουμε A = — . Αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει f (x) 1≥ − για κάθε x A∈ ή ισοδύναμα 2x 4x 3 1− + ≥ − για κάθε x∈— .

2 2 2x 4x 3 1 x 4x 4 0 (x 2) 0− + ≥ − ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ σχέση που ισχύει για κάθε x∈— . Μέθοδος 5 Συναρτησιακές Σχέσεις που ισχύουν για κάθε xŒ—. Θέμα 27 Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις f : →— — με την ιδιότητα 2f (x) x x f(x 1) x− ≤ ≤ − + για κάθε x∈—. Πρόσεξε Από τη δοσμένη σχέση 2f (x) x x f(x 1) x− ≤ ≤ − + , x∈—, πρέπει να βρούμε μια συνάρτηση h ώστε για κάθε x∈— να ισχύει: f (x) h(x)≤ και f (x) h(x)≥ . Λύση

Έχουμε 2

22

f (x) x x (1)f (x) x x f (x 1) x

x f (x 1) x (2)⎧ − ≤

− ≤ ≤ − + ⇔ ⎨≤ − +⎩

.

Tom Raik
Highlight
μελετησέ το πολύ καλά
Tom Raik
Highlight
μελέτησε τη τεχνική
Tom Raik
Highlight
εξειδικευμένα θέματα
Page 24: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 24 

Η σχέση (1) 2f (x) x x⇔ ≤ + (3).

Η σχέση (2) 2f (x 1) x x⇔ − ≥ − . Η σχέση αυτή ισχύει για κάθε x∈—, άρα θα ισχύει και για το x 1+ , οπότε έχουμε: ( ) 2f (x 1) 1 (x 1) (x 1)+ − ≥ + − + ⇔ 2f (x) x 2x 1 x 1≥ + + − − ⇔ 2f (x) x x≥ + (4).

Από τις (3) και (4) έχουμε: 2 2x x f (x) x x+ ≤ ≤ + ⇔ 2f (x) x x= + , x∈—.

Θέμα 28 Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις f : →— — με την ιδιότητα f (x y) f (x) f (y)− = ⋅ για κάθε x, y∈—. Πρόσεξε Όταν από σχέσεις της μορφής f (x y) ...± = αναζητάμε το f (x) , θα βρίσκουμε το f(0). Λύση Η σχέση f (x y) f (x) f (y)− = ⋅ ισχύει για κάθε x, y∈—. Για x y 0= = έχουμε:

2f (0 0) f (0) f (0) f (0) f (0)− = ⋅ ⇔ = ⇔ ( )f (0) 1 f (0) 0− = ⇔ f (0) 0= ή f (0) 1= . • Έστω f (0) 0= . Η σχέση f (x y) f (x) f (y)− = ⋅ για y 0= μας δίνει: f (x 0) f (x) f (0)− = ⋅ ⇔ f (x) 0= , για κάθε x∈—.

• Έστω f (0) 1= . Η σχέση f (x y) f (x) f (y)− = ⋅ για xy2

= μας δίνει: x xf x f (x) f2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⋅ ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2x x xf f (x) f

2 2−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x xf f (x) f2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )xf 1 f (x) 02

⎛ ⎞ − = ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

xf 02

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

ή f (x) 1= , για κάθε x∈—.

Η αρχική σχέση f (x y) f (x) f (y)− = ⋅ για x y= δίνει f (x x) f (x) f (x)− = ⋅ ⇔ 2f (0) f (x)= ⇔ 21 f (x)= , άρα f (x) 0≠ , οπότε τελικά έχουμε f (x) 1= , για κάθε x∈—. Τελικά οι λύσεις της

άσκησης είναι οι συναρτήσεις: f (x) 0= , για κάθε x∈— ή f (x) 1= , για κάθε x∈—. Θέμα 29 Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις *f : →— — με την ιδιότητα 2 2f (x y) f (x) f (y) x y⋅ = ⋅ − − για κάθε x, y∈—*. Πρόσεξε Όταν από σχέσεις της μορφής f (x y) ......⋅ = αναζητάμε το f (x) , θα βρίσκουμε το f(1) Λύση Η σχέση 2 2f (x y) f (x) f (y) x y⋅ = ⋅ − − ισχύει για κάθε x,y∈— , οπότε για x y 1= = έχουμε:

2 2 2f (1 1) f (1) f (1) 1 1 f(1) f (1) 2⋅ = ⋅ − − ⇔ = − ⇔ 2f (1) f (1) 2 0− − = f (1) 2⇔ = ή f (1) 1= − .

• Αν f (1) 2= τότε θέτουμε στην αρχική y 1= και έχουμε: 2 2f (x 1) f (x) f (1) x 1⋅ = ⋅ − − ⇔ 2 2f (x) 2f (x) x 1= − − ⇔ 2f (x) x 1= + , x∈— (1).

Θα εξετάσουμε αν η σχέση (1) είναι αποδεκτή.

Tom Raik
Highlight
να μελετηθεί πολύ καλά
Tom Raik
Highlight
να μελετηθεί πολύ καλά
Page 25: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 25 

Στη σχέση (1) αν βάλουμε όπου x το xy έχουμε 2f (xy) (xy) 1= + .

Αν στην αρχική σχέση βάλουμε όπου f (x) το 2x 1+ και όπου f (y) το 2y 1+ έχουμε: 2 2 2 2 2 2f (x y) f (x) f (y) x y (x 1)(y 1) x y⋅ = ⋅ − − = + + − − = 2 2 2 2 2 2x y x y 1 x y+ + + − − ⇔ 2f (x y) (xy) 1⋅ = +

, οπότε η συνάρτηση 2f (x) x 1= + , x∈— , είναι δεκτή γιατί επαληθεύει και την αρχική σχέση. • Αν f (1) 1= − τότε θέτουμε στην αρχική y 1= και έχουμε:

2 2f (x 1) f (x) f (1) x 1⋅ = ⋅ − − ⇔ 2 2f (x) f (x) x 1= − − − ⇔ 22f (x) x 1= − − ⇔ ( )21f (x) x 12

= − + , x∈— .

Στη σχέση αυτή αν βάλουμε όπου x το xy έχουμε ( )21f (xy) (xy) 12

= − + .

Αν στην αρχική σχέση βάλουμε όπου f (x) το ( )21 x 12

− + και όπου f (y) το ( )21 y 12

− + έχουμε:

2 2f (x y) f (x) f (y) x y⋅ = ⋅ − − =

2 2 2 21 1(x 1) (y 1) x y2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⋅ − + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 2 2 2 2 21 x y x y 1 x y4

+ + + − − = 2 2 2 2 2 21 1 1 1 4 4x y x y x y4 4 4 4 4 4

+ + + − − = 2 2 2 21 3 3 1x y x y4 4 4 4

− − +

( )21 (xy) 12

≠ − + .

Η συνάρτηση ( )21f (x) x 12

= − + , x∈— δεν είναι δεκτή γιατί δεν επαληθεύει την αρχική σχέση.

Θέμα 30 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισμού το — οι οποίες να ικανοποιούν τη σχέση f (x) g(y) x y⋅ = + για κάθε x, y∈—. Λύση Έστω ότι υπάρχουν συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισμού το — οι οποίες να ικανοποιούν για κάθε x, y∈— τη σχέση f (x) g(y) x y⋅ = + . Για x 0= και y 1= έχουμε: f (0) g(1) 0 1 f (0) g(1) 1⋅ = + ⇔ ⋅ = (1). Για x 1= και y 0= έχουμε: f (1) g(0) 1 0 f (1) g(0) 1⋅ = + ⇔ ⋅ = (2). Για x 0= και y 0= έχουμε: f (0) g(0) 0 0 f (0) g(0) 0⋅ = + ⇔ ⋅ = (3). Οι σχέσεις (1) και (2) μας δίνουν f (0) g(1) f (1) g(0) 1⋅ ⋅ ⋅ = ⇔

(3)

f (0) g(0) f (1) g(1) 1 0 1⋅ ⋅ ⋅ = ⇔ = , άτοπο. Άρα δεν υπάρχουν συναρτήσεις f , g οι οποίες να ικανοποιούν σχέση f (x) g(y) x y⋅ = + για κάθε x, y∈—. Θέμα 31 Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f : →— — βαθμού 3ν ≥ , με την ιδιότητα xf (x) (x 3)f (x 1)= − + για κάθε x∈—. Αν επί πλέον f (2005) 2004 2003 2002= ⋅ ⋅ , τότε δείξτε ότι:

Tom Raik
Highlight
δύσκολο
Tom Raik
Highlight
πολύ δύσκολο
Page 26: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 26 

Προσοχή!

Α. Οι αριθμοί 1, 2, 3 είναι ρίζες του πολυωνύμου f (x) . Β. f (x) (x 1)(x 2)(x 3)= − − − , για κάθε x∈—. Λύση Α. Για x 0= έχουμε: 0 f (0) (0 3)f (0 1) f (1) 0⋅ = − + ⇔ = . Για x 1= έχουμε: 1 f (1) (1 3)f (1 1)⋅ = − + ⇔ 1 0 2 f (2) f (2) 0⋅ = − ⋅ ⇔ = . Για x 3= έχουμε: 3 f (3) (3 3)f (3 1) f (3) 0⋅ = − + ⇔ = . Β. Αφού οι αριθμοί 1, 2, 3 είναι ρίζες του πολυωνύμου θα έχουμε: f (x) (x 1)(x 2)(x 3)P(x)= − − − , για κάθε x∈—. Είναι: f (x 1) (x 1 1)(x 1 2)(x 1 3)P(x 1)+ = + − + − + − + ⇔ f (x 1) x(x 1)(x 2)P(x 1)+ = − − + , οπότε η δοσμένη σχέση παίρνει τη μορφή: x(x 1)(x 2)(x 3)P(x)− − − = (x 3)x(x 1)(x 2)P(x 1)= − − − + ⇔ P(x 1) P(x)+ = , για κάθε x∈—. Από τη σχέση αυτή διαδοχικά για x 0,1,2, ...,= ν με ν∈ Õ* έχουμε P( ) ... P(2) P(1) P(0) kν = = = = = . Το πολυώνυμο Q(x) P(x) k= − έχει άπειρες λύσεις που είναι οι φυσικοί αριθμοί 0,1, 2, ..., , ...ν άρα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, οπότε: Q(x) 0 P(x) k 0 P(x) k= ⇔ − = ⇔ = για κάθε x∈—, συνεπώς: f (x) (x 1)(x 2)(x 3)k= − − − και επειδή f (2005) 2004 2003 2002= ⋅ ⋅ έχουμε 2004 2003 2002 2004 2003 2002 k k 1⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ = , οπότε f (x) (x 1)(x 2)(x 3)= − − − . Μέθοδος 5 «Πως αποδεικνύουμε την ισότητα μεταξύ δυο συναρτήσεων»

Δυο πραγματικές συναρτήσεις f, g είναι ίσες, όταν:

• έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α

και • για κάθε x A∈ ισχύει f (x) g(x)= (δεν λέμε έχουν τον ίδιο τύπο γιατί δεν είναι σωστό)

Δυο συναρτήσεις f ,g με αντίστοιχα πεδία ορισμού f gA , A που δεν είναι ίσες, πιθανόν να είναι ίσες σε κάποιο υποσύνολο του f gA A∩ .

Tom Raik
Highlight
μελέτησε τα θέματα 32 και 33
Page 27: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 27 

Θέμα 32

Έστω οι συναρτήσεις: 3

2

x xf (x)x 1+

=+

και g(x) x= . Να εξετασθεί αν f g= ;

Λύση

Οι συναρτήσεις f και g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο A = — (ισχύει 2x 1 0+ > για κάθε x∈— , οπότε και 2x 1 0+ ≠ για κάθε x∈— ).

Είναι 3 2

2 2

x x x(x 1)f (x) x g(x)x 1 x 1+ +

= = = =+ +

.

Άρα ισχύει f (x) g(x)= για κάθε x A∈ , οπότε οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες. Θέμα 33

Έστω οι συναρτήσεις: 2x 1f (x)

x 1−

=−

και 2x xg(x)x+

= . Να εξετασθεί αν υπάρχει σύνολο Γ για κάθε

στοιχείο του οποίου να είναι f g= ; Λύση Οι δυο συναρτήσεις έχουν αντίστοιχα πεδία ορισμού τα σύνολα fA {1}= −— και gB {0}= −— , άρα δεν είναι ίσες. Στο σύνολο f gΓ = Α ∩Β {0, 1}= −R ορίζονται και οι δύο.

Έχουμε: 2x 1 (x 1)(x 1)f (x) x 1

x 1 x 1− − +

= = = +− −

και 2x x x(x 1)g(x) x 1x x+ +

= = = + , οπότε f (x) g(x)= για

κάθε x Γ∈ . Προτεινόμενες ασκήσεις Τα κοινά πρότυπα έχουν ίσες εικόνες Θέμα 8 Εξετάστε αν ορίζει συνάρτηση ο τύπος:

2x +1 , x 0f (x)

3x , x 0⎧ ≤

= ⎨συν ≥⎩

.

Θέμα 9 Εξετάστε αν ορίζει συνάρτηση ο τύπος:

32x +1 , x 0f (x)

3x , x 0⎧ ≤

= ⎨ημ ≥⎩

.

Θέμα 10 Να βρεθεί οι τιμές του πραγματικού κ ώστε η σχέση

2 4

3 1

3 x 1 x 3f (x) 3 x 1 3 x

κ

κ κ+

⎧ + ≤⎪= ⎨+ ≤⎪⎩

να ορίζει συνάρτηση.

Θέμα 11 Να βρεθεί οι τιμές του πραγματικού κ ώστε η σχέση

Page 28: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 28 

2

2

x 5 x 4f (x)

x 4 x

⎧ + κ ≤⎪= ⎨+ κ ≤⎪⎩

να ορίζει συνάρτηση.

Μια σχέση f (x,y) 0= ορίζει συνάρτηση Θέμα 12 Έστω η σχέση:

2 3x 2y 9− = , x, y∈—. Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα. Β. Εξετάστε αν η σχέση ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x. Θέμα 13 Έστω η σχέση:

2 2x y 9+ = , x, y∈—. Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα η σχέση. Β. Εξετάστε αν η σχέση ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x. Στη περίπτωση

που ορίζει συνάρτηση να βρεθεί ο τύπος της. Θέμα 14 Έστω η σχέση:

2x(x 5)y x 4(1 y)− = + − , x, y∈—. Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα. Β. Εξετάστε αν η σχέση αυτή ορίζει συνάρτηση με ανεξάρτητη μεταβλητή το x. Γ. Δείξτε ότι η εξαρτημένη μεταβλητή y παίρνει όλες τις τιμές της από το σύνολο

4( , 4] , +9⎡ ⎞−∞ − ∪ ∞⎟⎢⎣ ⎠

.

Πεδίο Ορισμού Θέμα 15 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:

i. 2

x 3f (x)x 4x 12

−=

+ − , ii. 3 2

x 2g(x)x x 2x

+=

+ −.

Θέμα 16 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους: i. 2f (x) ln(9 x )= − ,

ii. g(x) 1 x= − .

Θέμα 17

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων;

i. 2

ln(x 2)f (x)x 3x 2

+=

− +,

ii. xf (x) (1 x)= − .

Page 29: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 29 

Θέμα 18 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπο:

i. 2xf (x) (1 x)= − , ii. xf (x) ln(1 e )= − .

Θέμα 19 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπο:

i. 9 xf (x)2 x

−=

−,

ii. 3 xf (x) ln3 x−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

.

Θέμα 20 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπο:

i. 2

xf (x)x 5x 4

=− + −

, ii. x xf (x)ln x 1ημ

=−

.

Θέμα 21 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων με τύπους: i. ( )2lnx 1 ln x 2f (x) ln e e 2e+= − − ,

ii. lnx ln5g(x) 5 x 50= + − . Θέμα 22 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπο:

i. xe 1f (x)x−

= , ii. xg(x)1 ln x

=−

.

Θέμα 23 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους:

i. x 1f (x)x 2+

=−

, ii. 2 3f (x) x 4 x 1= − + + .

Θέμα 24 Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, 1]. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i. f (x2) ii. f (x - 4) iii. f (lnx) . Θέμα 25 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με 2f (x) x 2x= − + , όταν το σύνολο τιμών της είναι το f (A) [ 3, 1]= − . Θέμα 26 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με 3 2f (x) x 3x 3x 9= − + − + , όταν το σύνολο τιμών της είναι το f (A) [0, 9]= . Θέμα 27

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με 4x 12f (x)x 2+

=+

, όταν το σύνολο τιμών

της είναι το f (A) [5, 6]= . Θέμα 28

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με 2

2

x 5x 6f (x)x 5x 6− +

=− +

, όταν το σύνολο τιμών

της είναι το ( ]f (A) , 1= −∞ .

Page 30: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 30 

Θέμα 29 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με 2f (x) x 4x 4= λ − + για τις διάφορες τιμές του λ∈— . Θέμα 30 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με ( )2f (x) ln x= λ − λ + λ για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ∈— . Θέμα 32

Να βρεθεί το πεδίο ορισμού fA της συνάρτησης f με 2

x 1f (x)x 2x 1

−=λ − +

για τις διάφορες

τιμές της παραμέτρου λ∈— . Θέμα 33 Να προσδιορισθούν οι τιμές της παραμέτρου λ∈— ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f

με 2

2

x 1f (x)x 2x 1

+=λ − +

, να είναι fA = — .

Τιμή συνάρτησης στο x0 Σχέσεις μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης Απλοποίηση τύπου Θέμα 34 Δίνεται η συνάρτηση f με 2f (x) x x 1= + + . Να προσδιορισθούν οι τιμές:

f (0) , f ( 1)− , f6π⎛ ⎞ημ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Θέμα 35

Δίνεται η συνάρτηση f με 2x 1 x 0

f (x)2x 1 x 0⎧ + αν ≤

= ⎨+ αν >⎩

. Να προσδιορισθούν οι τιμές:

f ( 1)− , f (1) , f2π⎛ ⎞συν⎜ ⎟

⎝ ⎠, f ( 1)λ − .

Θέμα 36

Δίνεται η συνάρτηση f με 1 x ρητ ς

f (x)0 x ρρητος

αν⎧= ⎨ αν⎩

ό

ά. Να προσδιορισθούν οι τιμές:

f ( 1)− , f (1) , f2π⎛ ⎞συν⎜ ⎟

⎝ ⎠, f ( 1)λ − .

Θέμα 37 Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) x= α +β , ,α β∈— και x∈— . Να αποδειχθεί ότι για x∈— ισχύει ότι f (x 2) f (x) 2f (x 1)+ + = + . Θέμα 38

Δίνεται η συνάρτηση f με 2x 1f (x)

x 1−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

, x 1≠ − .

Να αποδειχθεί ότι για x 0≠ ισχύει ότι 1f f (x)x

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Θέμα 39

Δίνεται η συνάρτηση f με 3x 1f (x)2x 3

+=

−, 3x

2≠ .

Να αποδειχθεί ότι ( )f f (x) x= .

Page 31: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 31 

Θέμα 40

Δίνεται οι συναρτήσεις f , g με x xe ef (x)

2

−+= και

x xe eg(x)2

−−= . Για κάθε , βα ∈— .

Να αποδειχθούν οι σχέσεις: i. ( )f f ( )f ( ) g( )g( )α + β = α β + α β . ii. ( )g g( )f ( ) g( )f ( )α + β = α β + β α . Θέμα 41 Να εκφρασθούν οι τύποι των συναρτήσεων χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής:

i. 2x 1f (x)

x 1−

=+

, ii. f (x) x 4 x 1= + + − .

Θέμα 42 Να εκφρασθούν οι τύποι των συναρτήσεων χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής: i. x x x xf (x) e e 3 3 3 e= − + − − + , ii. f (x) ln x 2 2 x ln x 3= − + − + + . Θέμα 43 Να απλοποιηθούν οι τύποι των συναρτήσεων: i. { }f (x) max 2x 1, -2x-7= + , ii. { }2 2h(x) max 2x 2x 1, x 8x 4= + + + − .

iii. { }g(x) min 2x 1, -2x-7= + , v. { }2 2q(x) min 2x 2x 1, x 8x 4= + + + − . Θέμα 44 Να απλοποιηθούν οι τύποι των συναρτήσεων:

i. ( )lnxf (x) ln x e= ⋅ , ii. x 1 xf (x) lnx 1 x

⎛ ⎞+ −= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

.

Σύνολο Τιμών Θέμα 45 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους: i. f (x) x 5= − , x [ 3, 3]∈ − , ii. 2f (x) x 1= + , x [1, 5]∈ . Θέμα 46 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:

i. x 1f (x) 2x 3−

= −+

, ii. 2

2

x 9g(x)x 5x 6

−=

− +.

Θέμα 47 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους: i. f (x) 2 x 1= + + ,

ii. x 1 x 1

g(x)2x 3 x 1+ αν ≤⎧

= ⎨− + αν >⎩.

iii. 2h(x) 2 x 1= − + ,

v. 2

2

x 1q(x)x x 1

+=

+ +.

Θέμα 48 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:

i. 1 xf (x)1 x− ημ

=+ ημ

, ii. 2 xg(x)2 x+ συν

=− συν

.

Θέμα 49 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:

Page 32: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 32 

i. f (x) 2x 1= − , x 7≤ , ii. 2g(x) 2x= − , x 0≥ . Θέμα 50 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:

i. 2x 1f (x)x 1−

=+

, ii. xg(x) ln(e 1)= + .

Θέμα 51 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:

i. x

x

e 1f (x)e 1−

=+

, ii. 2x

2x

e 1g(x)e 1

+=

−.

Θέμα 52 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους: i. f (x) 4 2 x 2= − − ,

ii. 2x 1 x 1

g(x)ln x 1 x 1− + αν ≤⎧

= ⎨ + αν >⎩.

Θέμα 53

Δείξτε ότι η συνάρτηση f με τύπο f(x)=x2 −3x −4 έχει σύνολο τιμών το 25 , +4

⎡ ⎞− ∞⎟⎢⎣ ⎠.

Θέμα 54

Δείξτε ότι η συνάρτηση f με τύπο 2

2

x x 1f (x)x x 1

− +=

+ + έχει σύνολο τιμών το

1 , 33⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Θέμα 55 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους: i. xf (x) e 5= − , ii. ( )f (x) ln x 1= + . Θέμα 56 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:

i. 3 xf (x) lnx 1−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

, ii. x

x

e 2f (x)e 1−

=+

.

Θέμα 57 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων με τύπους:

i. 2x xf (x) 3 8 3 6= − ⋅ + , ii. x x

x x

e ef (x)e e

−=

+.

Θέμα 58

Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου λ∈— ώστε η συνάρτηση f με 2

xf (x)x 1λ

=+

να έχει σύνολο

τιμών το f (A) [ 1, 1]= − . Θέμα 59

Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου λ∈— ώστε η συνάρτηση f με 2

2

xf (x)x x 1

+ λ=

+ λ + να έχει σύνολο

τιμών το f (A) [ 1, 1]= − . Ισότητα συναρτήσεων Θέμα 60 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g= . Στις περιπτώσεις που είναι f g≠ να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του — στο οποίο ισχύει f (x) g(x)= .

Page 33: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 33 

i. 2f (x) x= και 2g(x) ( x)=

ii. 2

2

x 1f (x)x | x |

−=

+ και 1g(x) 1

| x |= −

iii. x 1f (x)x 1−

=−

και g(x) x 1= + .

Θέμα 61 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x + 1. α. Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με τη συνάρτηση f.

2

1x - 1f (x)x - 1

= 3

2 2

x 1f (x)x - x 1

+=

+

( )2

3f (x) x 1= + 4

1f (x) x 1x

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

x 15f (x) lne += ln(x 1)

6f (x) e +=

β. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. Θέμα 62 Δίνονται οι συναρτήσεις:

1x - 1f (x)

x 1=

+ 2

x 1f (x)x 1−

=+

3

11 - xf (x)11 x

=+

2

4 2

(x - 1)f (x)x - 1

=

5 2

x 1f (x)x 1−

=−

6x 1f (x)

x 1 - x 1−

=− +

α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού καθεμιάς συνάρτησης. β. Να εξετάσετε αν υπάρχουν ζεύγη ίσων συναρτήσεων. γ. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. Θέμα 63

Δίνονται οι συναρτήσεις 2

2

2x 2αx αg(x)2 (x - 1)+ +

= , α∈R και x 1f (x)x - 1+

= , x > 0.

α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g β. Για ποια τιμή του α ισχύει f = g; Θέμα 64 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g= . Στις περιπτώσεις που είναι f g≠ να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του — στο οποίο ισχύει f (x) g(x)= .

i. 2f (x) x 3x 2= − + , g(x) x 1 x 2= − ⋅ − .

Page 34: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 34 

ii. ( ) ( )f (x) x 1 2 x= − − , g(x) x 1 2 x= − ⋅ − . Θέμα 65 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g= . Στις περιπτώσεις που είναι f g≠ να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του — στο οποίο ισχύει f (x) g(x)= .

i. 1 xf (x) ln

x−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ , ( )g(x) ln 1 x ln x= − − .

ii. f (x) x 2 x 1= − + , g(x) x 1= − . Θέμα 66

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g έτσι ώστε για κάθε x∈— να ισχύει η σχέση f (x) g(x)1 f (x) 1 g(x)

=+ +

. Να

αποδείξετε ότι f g= . Επιλεγμένα Θέματα Θέμα 67 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — η οποία για κάθε x, y∈— ικανοποιεί τη σχέση f (x y) f (x) f (y) x y+ ≥ + ≥ + . Να αποδείξετε ότι: i. Η γραφική παράστασης της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ii. f ( x) f (x)− = − για κάθε x∈—. iii. f (x) x= για κάθε x∈—. Θέμα 68 Έστω η συνάρτηση g με g(x) x 2= λ + − λ , λ∈—. i. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από σταθερό

σημείο για κάθε τιμή της παραμέτρου λ∈—.

ii. Αν επί πλέον ορίσουμε και τη συνάρτηση f με 2f (x)x

= , να αποδειχθεί ότι:

α. Οι γραφικές παραστάσεις fC και gC έχουν κοινά σημεία για κάθε τιμή της παραμέτρου

λ∈—. β. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου λ∈— για τις οποίες η fC εφάπτεται της gC . Θέμα 69 Έστω η συνάρτηση g με τύπο:

3 2 2 2 2g(x) x ( 3 1)x (2 2)x 3 3 2,= λ + λ + λ + + λ −λ + − λ − λ − λ∈—. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από δυο σταθερά σημεία για κάθε τιμή της παραμέτρου λ∈—. Θέμα 70

Έστω η συνάρτηση g με 2

2

x 2 xg(x)x 2x 3+ α +β

=+ +

α, β∈—. Να βρεθούν οι αριθμοί α, β∈—, ώστε η

συνάρτηση g να έχει σύνολο τιμών το διάστημα [ )1, 1− . Θέμα 71 Έστω η συνάρτηση f πεδίο ορισμού το [ ]A 0, 4= και τύπο

f (x) 8 x 4 4 x 8 x 4 4 x= − + − + − − − . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή. Θέμα 72 Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f με την ιδιότητα f (x y) f (x) f (y) 2xy 1+ = + = − για κάθε x, y∈—. Αν f (0) 91= , να αποδείξετε ότι 2f (x) x x 1= − + .

Page 35: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 35 

Φύλλο Εργασίας

Α. Εξηγείστε τα ακόλουθα:

1.

2.

Β.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Γ.

1.

2.

3. 4. 5.

Page 36: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 36 

Δ.

Page 37: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 37 

Ασκήσεις που πρέπει όλοι να κάνετε για τη θεμελίωση του 1ου μαθήματος

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. 10.

Page 38: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 38 

Page 39: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 39 

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

Page 40: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 40 

a=0

O x

y

Μάθημα 2ον «Γραφική παράσταση»

Σκοπός και στόχος του μαθήματος 1. Να ξέρεις να κάνεις τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων και

αντίστροφα να αναγνωρίζεις από τη γραφική παράσταση, την βασική εκείνη συνάρτηση που της αντιστοιχεί.

2. Να ξέρεις ποιες είναι οι βασικές συμμετρίες ενός σημείου σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

3. Να ξέρεις να σχεδιάζεις τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f− και f όταν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση της f.

4. Να ξέρεις να αναγνωρίζεις τη θέση της γραφικής παράστασης σε σχέση με τους άξονες (πάνω, κάτω, κοινά σημεία με τον x x′ και τον y y′ )

5. Να ξέρεις να βρίσκεις τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων 2 συναρτήσεων.

6. Να ξέρεις πως αποδεικνύουμε ότι όλες οι γραφικές παραστάσεις μιας μονοπαραμετρικής οικογένειας συναρτήσεων διέρχονται από σταθερό σημείο

Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του.

A. «Γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων»

Η πολυωνυμική συνάρτηση ( ) =f x αx + β έχει γραφική παράσταση ευθεία, η μορφή της οποίας εξαρτιέται από το α.

Η πολυωνυμική συνάρτηση 2( ) =f x αx , 0≠α , έχει γραφική παράσταση «παραβολή», η μορφή της οποίας εξαρτιέται από το α.

a>0

O x

y

a<0

O x

y

O x

y

α>0

x O

y

α<0

Tom Raik
Highlight
μαθαίνουμε τις γραφικές παραστάσεις όλων των βασικών συναρτήσεων
Tom Raik
Highlight
γνήσια αύξουσα
Tom Raik
Highlight
γνήσια φθίνουσα
Tom Raik
Highlight
σταθερή
Tom Raik
Highlight
για x<0 γνήσια φθίνουσα για x>0 γνήσια αύξουσα η γραφική παράσταση πάνω από τον x΄x
Tom Raik
Highlight
για x<0 γνήσια αύξουσα για x>0 γνήσια φθίνουσα η γραφική παράσταση κάτω από τον x΄x
Page 41: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 41 

Η πολυωνυμική συνάρτηση 3( ) =f x αx , 0≠α , έχει την ακόλουθη γραφική παράσταση η μορφή της οποίας εξαρτιέται από το α.

Η ρητή συνάρτηση ( ) = αf xx

, 0≠α , έχει γραφική παράσταση «υπερβολή», η μορφή

της οποίας εξαρτιέται από το α.

Η συνάρτηση ( ) =f x x , ≥x 0 έχει γραφική παράσταση της ακόλουθης μορφής:

Η συνάρτηση ( ) =f x x , έχει γραφική παράσταση της ακόλουθης μορφής:

Επειδή x , x 0

g(x), x 0x

⎧ − <⎪= ⎨ ≥⎪⎩, η γραφική παράσταση

της y | x |= αποτελείται από δύο κλάδους.

Ο ένας είναι η γραφική παράσταση της y x= και ο άλλος η συμμετρική της ως προς τον άξονα y y′ .

Η εκθετική συνάρτηση ( ) = xf x α , 0 1< ≠α , έχει την ακόλουθη γραφική παράσταση η μορφή της οποίας εξαρτιέται από το α.

Η λογαριθμική συνάρτηση ( ) log= αf x x , 0 1< ≠α , έχει την ακόλουθη γραφική παράσταση η μορφή της οποίας εξαρτιέται από το α.

y x=

O x

y

O x

y

α>0

O x

y

α<0

O x

y

α>0

O x

y

α<0

y x= | |

O x

y

Tom Raik
Highlight
γνήσια αύξουσα
Tom Raik
Highlight
γνήσια φθίνουσα
Tom Raik
Highlight
ο άξονας x΄x είναι οριζόντια ασύμπτωτη ο άξονας y΄y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη
Tom Raik
Highlight
ο άξονας x΄x είναι οριζόντια ασύμπτωτη ο άξονας y΄y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη
Tom Raik
Highlight
επειδή x≥0 και y≥0 η γραφική παράσταση βρίσκεται στη 1η γωνία των αξόνων γνήσια αύξουσα
Tom Raik
Highlight
επειδή y≥0 η γραφική παράσταση βρίσκεται στη 1η και 2η γωνία των αξόνων για x<0 γνήσια φθίνουσα για x>0 γνήσια αύξουσα
Page 42: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 42 

3π/2 π/2 −π/2 O

y=εφx

y

x

Οι τριγωνικές συναρτήσεις

f (x) x= ημ

O

y=ημx

2π π

1

−1

y

x

f (x) x= συν

f (x) x= εϕ

B. «Ποιες είναι οι βασικές συμμετρίες ενός σημείου σε ένα σύστημα συντεταγμένων»

Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και το σημείο M(x,y) .

Το σημείο N( x,y)− είναι συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα των τεταγμένων y y′ .

Το σημείο P(x, y)− είναι συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα των τετμημένων x x′ .

Το σημείο Q( x, y)− − είναι συμμετρικό του Μ ως προς την αρχή των αξόνων O(0,0) .

Το σημείο T(y,x) είναι συμμετρικό του Μ ως προς την διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων που έχει εξίσωση y x= .

α

1

1 O x

y

α>1

O x

y

0<α<1

α 1

1

α

1

1 O x

y

α>1

α

1

1 O x

y

0<α<1

O

y=συνx

2π π

1

−1

y

x

y=x

O

x

y

M(x, y)

P(x, y)−

N( x, y)−

Q( x, y)− −

T(y, x)

Tom Raik
Highlight
γνήσια αύξουσα, τέμνει τον y΄y στο (0,1) οριζόντια ασύμπτωτη ο x΄x
Tom Raik
Highlight
γνήσια αύξουσα τέμνει τον x΄x στο (1,0 κατακόρυφη ασύμπτωτη ο y΄y
Tom Raik
Highlight
γνήσια φθίνουσα τέμνει τον x΄x στο (1,0 κατακόρυφη ασύμπτωτη ο y΄y
Tom Raik
Highlight
γνήσια φθίνουσα τέμνει τον y΄y στο (0,1) οριζόντια ασύμπτωτη ο x΄x
Tom Raik
Highlight
μάθε τις συμμετρίες
Page 43: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 43 

yx

=1

y

x=

1| |

O

x

y

O

y

x

y=f (x)y=| f (x)|

Γ. «Πως βρίσκουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f− και f » Όταν δίνεται η γραφική παράσταση fC , μιας συνάρτησης f μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f− και | f | .

Η γραφική παράστασης της συνάρτησης −f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα x x′ , της γραφικής παράστασης της f, γιατί αποτελείται από τα σημεία M (x, f (x))′ − που είναι συμμετρικά των M(x,f (x)) , ως προς τον άξονα x x′ .

Η γραφική παράσταση της | |f αποτελείται από τα τμήματα της fC που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x′ και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x x′ , των τμημάτων της fC που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν.

Θέμα 34 Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση με τύπο f (x) x |= | .

Λύση

Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το — και τύπο

x , x 0f (x)

x , x 0− <⎧

= ⎨ ≥⎩.

Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτηση φ(x) x= και έπειτα την f (x) |φ(x) |= .

Θέμα 35

Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση με τύπο 1g(x)x

= .

Λύση

Η συνάρτηση g ορίζεται για κάθε x 0≠ , οπότε έχει πεδίο ορισμού το —*=(-∞, 0) « (0, +∞) και τύπο

y=|x| y=x

O

x

y

O

y

x

Μ΄(x,−f (x))

y=f (x)

y=−f (x)

Μ(x,f (x))

Tom Raik
Highlight
μελετάμε και μαθαίνουμε
Page 44: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 44 

1 , x 0xg(x)

1 , x 0x

⎧− <⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩

.

Αρχικά παριστάνουμε γραφικά τη συνάρτηση 1φ(x)x

= και έπειτα

την g(x) |φ(x) |= . Θέμα 36

Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση με τύπο 1h(x)x 1

=−

.

Λύση

Η συνάρτηση g ορίζεται για κάθε x 1≠ , οπότε έχει πεδίο ορισμού το Α=(-∞,1)«(1,+∞) και τύπο:

1 , x 1x 1h(x)1 , x 1

x 1

⎧− <⎪⎪ −= ⎨⎪ >⎪⎩ −

.

Επειδή h(x) g(x 1)= − , η γραφική παράσταση της h προκύπτει, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της g κατά μία μονάδα προς τα δεξιά.

Δ1. «Πως βρίσκουμε τη θέση της γραφικής παράστασης σε σχέση με τους άξονες»

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α και fC η γραφική της παράσταση.

• Αν θέλουμε να βρούμε για ποια x η fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x′ , θα επιλύουμε την ανίσωση f (x) 0> και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A∈ .

• Αν θέλουμε να βρούμε για ποια x η fC βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x′ , θα επιλύουμε την ανίσωση f (x) 0< και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A∈ .

• Αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία που έχει η fC με τον άξονα x x′ (τέμνει ή εφάπτεται), θα επιλύουμε την εξίσωση f (x) 0= και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A∈ .

• Αν θέλουμε να βρούμε το (μοναδικό) κοινό σημείο της fC με τον άξονα y y′ , θα βρίσκουμε το f (0) (εφόσον 0 A)∈ , οπότε το κοινό σημείο θα είναι ( )0,f (0) .

Θέμα 37 Έστω η συνάρτηση f με f (x) 2 ln(x 1)= − + . Να βρεθούν τα κοινά σημεία της fC με τους άξονες.

Λύση

Είναι x 1 0 x 1+ > ⇔ > − , άρα η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A ( 1, + )= − ∞ .

y

x=

−1

1| |

1

1

y

x=

1| |

O x

y

Page 45: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 45 

Για να βρούμε τα κοινά σημεία της fC με τον άξονα x x′ , αρκεί να λύσω την εξίσωση f (x) 0= με x A ( 1, + )∈ = − ∞ .

Για να βρούμε το (μοναδικό) κοινό σημείο της fC με τον άξονα y y′ , αρκεί 0 A∈ , οπότε το κοινό σημείο είναι το ( )0, f(0) .

Έχουμε λοιπόν f (x) 0 2 ln(x 1) 0= ⇔ − + = ⇔ 2 2ln(x 1) 2 x 1 e x e 1+ = ⇔ + = ⇔ = − , άρα η fC τέμνει τον άξονα x x′ στο σημείο ( )2e 1, 0−

Έχουμε 0 A ( 1, + )∈ = − ∞ , οπότε f (0) 2 ln1 2= − = , άρα η fC τέμνει τον άξονα y y′ στο σημείο ( )0, 2 .

Δ2. «Πως βρίσκουμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων 2 συναρτήσεων»

Έστω δυο συναρτήσεις f ,g με αντίστοιχα πεδία ορισμού A,B και γραφικές παραστάσεις fC και gC .

• Αν θέλουμε να βρούμε για ποια x η fC βρίσκεται πάνω από τη gC , θα επιλύουμε την ανίσωση f (x) g(x) 0 f(x) g(x)− > ⇔ > και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A B∈ ∩ .

Αν θέλουμε να βρούμε για ποια x η fC βρίσκεται κάτω από τη gC , θα επιλύουμε την ανίσωση f (x) g(x) 0 f(x) g(x)− < ⇔ < και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A B∈ ∩ .

• Αν θέλουμε να βρούμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων fC και gC θα επιλύουμε την εξίσωση f (x) g(x) 0 f(x) g(x)− = ⇔ = και θα επιλέγουμε τις λύσεις της x για τις οποίες ισχύει x A B∈ ∩ . Αν x μια τέτοια λύση τότε το σημείο (x,f (x)) είναι ένα κοινό σημείο των fC και gC .

Θέμα 38 Έστω οι συναρτήσεις f, g με τύπους 2f (x) x x= − και g(x) 3x 3= − . Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των δυο συναρτήσεων.

Λύση

Για να βρούμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των δυο συναρτήσεων, θα σχηματίσουμε τη συνάρτηση h(x) f (x) g(x)= − , f gx A A∈ ∩ και θα μελετήσουμε το πρόσημό της.

f gA A= = — , άρα f gA A∩ = — .

( ) ( )2 2h(x) f (x) g(x) x x 3x 3 x 4x 3= − = − − − = − + ⇔

( ) ( )h(x) x 3 x 1= − ⋅ − , x∈— .

• ( ) ( )h(x) 0 x , 1 3, +> ⇔ ∈ −∞ ∪ ∞ ,

• ( )h(x) 0 x 1, 3< ⇔ ∈ ,

Tom Raik
Highlight
επιλύουμε την ανίσωση f(x)>g(x)
Tom Raik
Highlight
επιλύουμε την ανίσωση f(x)<g(x)
Tom Raik
Highlight
επιλύουμε την εξίσωση f(x)=g(x)
Page 46: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 46 

• h(x) 0 x 1= ⇔ = ή x 3= , επομένως:

Η fC βρίσκεται πάνω από τη gC για κάθε ( ) ( )x , 1 3, +∈ −∞ ∪ ∞ ,

Η fC βρίσκεται κάτω από τη gC για κάθε ( )x 1, 3∈ ,

Η fC έχει 2 κοινά σημεία με τη gC , τα ( )1, 0 και ( )3, 6 . Δ3. «Πως δείχνουμε ότι όλες οι γραφικές παραστάσεις μιας μονοπαραμετρικής οικογένειας συναρτήσεων διέρχονται από σταθερό σημείο»

Έστω η μονοπαραμετρική οικογένεια συναρτήσεων f με y f ( ,x)= λ , όπου λ∈— παράμετρος, για την οποία θέλουμε να δείξουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις fC

λ όλων των συναρτήσεων

(για κάθε λ∈— ) διέρχονται από σταθερό σημείο, έστω το ( )0 0x , y με 0 0y f (x )= .

Οι fCλ

διέρχονται από το σταθερό σημείο ( )0 0x , y αν και μόνο αν ισχύει 0 0y f (x )= για κάθε λ∈— .

Για να αποδείξουμε ότι ισχύει το ζητούμενο εργαζόμαστε ως εξής:

1ος Τρόπος

Φέρνουμε την εξίσωση 0 0y f (x )= στη μορφή 0 0y f (x ) 0− = και στη συνέχεια θεωρούμε το πρώτο μέλος σαν πολυώνυμο με μεταβλητή το λ, το οποίο το διατάσσουμε κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του λ. Επειδή το πολυώνυμο αυτό ισούται με το μηδέν για κάθε τιμή της μεταβλητής του λ∈— , θα είναι το μηδενικό, άρα εξισώνοντας τους συντελεστές με το μηδέν, καταλήγουμε σε σύστημα με αγνώστους τα 0x και 0y οπότε βρίσκουμε το ζητούμενο.

2ος Τρόπος Επειδή η εξίσωση 0 0y f (x )= επαληθεύεται για κάθε τιμή του λ∈— , δίνουμε δυο αυθαίρετες τιμές στο λ και επιλύοντας ως προς 0x και 0y το σύστημα που προκύπτει, δείχνουμε ότι οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις των δυο συγκεκριμένων συναρτήσεων διέρχονται από το σημείο ( )0 0x , y . Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι η δοσμένη σχέση y f ( ,x)= λ επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου ( )0 0x , y , οπότε τελικά έχουμε αποδείξει ότι οι fC

λ διέρχονται από το σταθερό σημείο

( )0 0x , y για κάθε λ∈— . Θέμα 39

Δίνεται η παραμετρική οικογένεια των συναρτήσεων f με τύπο 2f (x) ( 1)x 2( 1)x 5= λ − + λ + + λ + , λ∈— . Να δείξετε ότι όταν η παράμετρος λ διατρέχει το —,

οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων διέρχονται από σταθερό σημείο, το οποίο και να βρεθεί.

Λύση

• 1ος τρόπος

Tom Raik
Highlight
μάθε και τους δυο τρόπους
Page 47: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 47 

Έστω ότι οι fCλ

διέρχονται από το σταθερό σημείο ( )0 0x , y . Αυτό σημαίνει ότι για κάθε

λ∈— ισχύει 0 0y f (x )= , άρα: 2

0 0 0y ( 1)x 2( 1)x 5= λ − + λ + + λ + ⇔ 2

0 0 0( 1)x 2( 1)x 5 y 0λ − + λ + + λ + − = ⇔

( ) ( )2 20 0 0 0 0x 2x 1 x 2x 5 y 0+ + λ + − + + − = (1).

Η (1) ισούται με 0 για κάθε λ∈— , οπότε το πολυώνυμο του πρώτου μέλους είναι το μηδενικό, άρα:

20 0

20 0 0

x 2x 1 0

x 2x 5 y 0

⎧ + + =⎪ και ⇔⎨⎪− + + − =⎩

( )20

20 0 0

x 1 0

x 2x 5 y 0

⎧ + =⎪

και ⇔⎨⎪− + + − =⎩

0 0

0 0

x 1 x 1

1 2 5 y 0 y 2

= − = −⎧ ⎧⎪ ⎪και ⇔ και⎨ ⎨⎪ ⎪− − + − = =⎩ ⎩

.

Συμπέρασμα, οι γραφικές παραστάσεις fCλ

όλων των συναρτήσεων διέρχονται από το

σταθερό σημείο ( )1, 2− .

• 2ος τρόπος

Για 0λ = έχουμε: 2f (x) x 2x 5= − + + .

Για 1λ = − έχουμε: 2f (x) 2x 4= − + .

Αν υπάρχει κοινό σημείο ( )0 0x , y των γραφικών παραστάσεων των δυο συναρτήσεων θα ισχύει:

2 2 20 0 0 0 0 0

2 20 0 0 0

y x 2x 5 x 2x 5 2x 4

y 2x 4 y 2x 4

⎧ ⎧= − + + − + + = − +⎪ ⎪και ⇔ και ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪= − + = − +⎩ ⎩

20 0

20 0

x 2x 1 0

y 2x 4

⎧ + + =⎪ και ⇔⎨⎪ = − +⎩

0

0

x 1

y 2

= −⎧⎪ και⎨⎪ =⎩

, οπότε οι γραφικές παραστάσεις fC των συναρτήσεων

2f (x) x 2x 5= − + + και 2f (x) 2x 4= − + διέρχονται από το σημείο ( )1, 2− .

Στη συνέχεια πρέπει να δείξουμε ότι από το σημείο ( )1, 2− διέρχονται οι γραφικές παραστάσεις όλων των συναρτήσεων.

Για να το δείξουμε, αρκεί η εξίσωση 2f (x) ( 1)x 2( 1)x 5= λ − + λ + + λ + να επαληθεύεται για x 1= − και y 2= .

Έχουμε: 22 ( 1)( 1) 2( 1)( 1) 5= λ − − + λ + − + λ + ⇔

2 1 2 2 5 2 2= λ − − λ − + λ + ⇔ = , άρα ισχύει, οπότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων διέρχονται όλες από το σταθερό σημείο ( )1, 2− .

Page 48: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 48 

Προτεινόμενες ασκήσεις Θέμα 73 Από τα παρακάτω διαγράμματα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το διάγραμμα

Α.

B.

Γ.

Δ.

Θέμα 74 Για ποιες τιμές του x∈— η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x′ , όταν:

i. 2f (x) x 4x 3= − + , ii. 1 xf (x)1 x+

=−

, iii. xf (x) e 1= − .

Θέμα 75 Για ποιες τιμές του x∈— η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν:

i. 3f (x) x 2x 1= + + και g(x) x 1= +

ii. 3f (x) x x 2= + − και 2g(x) x x 2= + − . Θέμα 76 Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

i. | x |f (x) 1x

= + , ii. g(x) x | x |= , iii. x 3 , x 1

h(x)x 1 , x 1

− + <⎧= ⎨ + ≥⎩

, iv. q(x) | ln x |= .

Και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της συνάρτησης σε καθεμιά περίπτωση. Θέμα 77 Να βρεθεί το πλήθος των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)=x6 +x4 +x2 +1 με τον άξονα x΄x.

Page 49: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 49 

Θέμα 78 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι:

Θέμα 79 Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:

i. | x 1 | | x 1 |f (x)2

+ + −= , ii. ημx | ημx |f (x)

2+

= , x [0,2π]∈ .

Από τη γραφική παράσταση της f να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της σε καθεμιά περίπτωση. Θέμα 80 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x+2 και g(x)=2 . Τότε ισχύει Α. f (x) > g (x) για x ≥ 0 B. f (x) < g (x) για x ≥ 0 Γ. (x) = g (x) για x = 0 Δ. f (x)>g(x)+2 για x ∈ (0, 4) E. κανένα από τα παραπάνω Θέμα 81 Να βρεθεί το σύνολο των τετμημένων των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 2f (x)=x -3x -x+3 τέμνει τον άξονα x΄x. Θέμα 82 Δίνονται οι συναρτήσεις 3f (x) = x και g(x)=2-x . Να βρεθούν οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών τους παραστάσεων. Θέμα 83 Έστω η συνάρτηση f (x) = x (x - 2), x ∈ [0, 2]. α. Να αποδείξετε ότι f (x) ≤ 0 για κάθε x ∈ Df. β. Να αποδείξετε ότι f (x) = (x - 1)2 - 1 και στη συνέχεια δείξτε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το

διάστημα [- 1, 0]. γ. Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της f.

δ. Να βρείτε τις τιμές του x όταν οι τιμές του y = 0 και όταν y = 34

.

Θέμα 84 Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f αποτελείται από τα δύο ημικύκλια του σχήματος. α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. β. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

i. y = y f (x)=

ii. y = - f (x) iii. y = f (x - 2)

4 3

1

2 1 O

iii)y

x

ii) 2

2 1 O

x

y

1

2 1 O

i) y

x

Page 50: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 50 

Θέμα 85 Η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να λύσετε τις εξισώσεις:

i. f (x) = 0, ii. f (x) = 2, iii. f (x) = - 2

δ. Να λύσετε τις ανισώσεις: i. f (x) > 0, ii. f (x) < 0, iii. f (x) ≤ 2 iv. f (x) < - 2

Θέμα 86 Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της

συνάρτησης g. β. Να βρείτε τον τύπο της g όταν x ∈ [3, 6]. γ. Για ποιες τιμές του x ισχύει g (x) = - 1; δ. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει:

i. - 2 < g (x) < 0 ii. g (x) ≥ 0

Θέμα 87 Έστω η συνάρτηση f (x) = x (x - 2), x ∈ [0, 2]. α. Να αποδείξετε ότι f (x) ≤ 0 για κάθε x ∈ Df. β. Να αποδείξετε ότι f (x) = (x - 1)2 - 1 και στη συνέχεια να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι

το διάστημα [ 1,0]− .

γ. Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της f.

δ. Να βρείτε τις τιμές του x όταν οι τιμές του y = 0 και όταν 3y4

= .

Θέμα 88

Δίνεται η συνάρτηση 1

lnxf (x) x= .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να αποδείξετε ότι f (x) e= για κάθε x του πεδίου ορισμού της.

γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.

Page 51: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 51 

Θέμα 89 Έστω η συνάρτηση f (x) = x2 - 3x + 2. α. Να βρείτε τις τιμές f (1), f (0), f (-3), f (2) β. Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες γ. Να βρείτε τις τιμές f (t), f (xt), f (x + h), x, t, h ∈—. Θέμα 90 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x-1, x∈[- 2, 3]. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

α. f1 (x) = f (x) + 1, β. f2 (x) = 2f (x) γ. f3 (x) = - f (x), δ. f4 (x) = f (x)

Θέμα 91 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των συναρτήσεων f και g, όταν:

1. f (x) x= και g(x) x= . 2. f (x) x= και 2g(x) x= .

Θέμα 92 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των συναρτήσεων f και g, όταν:

1. xf (x) e= και 2xg(x) e= . 2. 1f (x)x

= και 2

1g(x)x

= .

Θέμα 93 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των συναρτήσεων f και g, όταν:

1. xf (x) 2= και xg(x) 3= . 2. 1f (x)x

= και 2

1g(x)x

= .

Θέμα 94 Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων fC με τους άξονες x x′ και

y y′ , όταν:

1. 2

2

x 4f (x)x 9−

=−

, 2. f (x) 2x x= + . 3. 2x 2xf (x)x 1−

=−

,

4. ( )f (x) ln x 1= + . 5. x xf (x) 9 3 12= + − , 6. ( )f (x) 1 ln x 1= − − .

7. 1xf (x) e 1= − . 8. xf (x) xe x= − .

Θέμα 95 Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτη-σης f με πεδίο ορισμού το [2, 4]. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: α. g (x) = f (x) + 1 β. h (x) = - f (x)

γ. φ (x) = f (x) .

Page 52: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 52 

φύλλο εργασίας

1.

2.

3.

4.

5. Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων;

6. Ποια συνθήκη ισχύει, όταν η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω (ή κάτω) από την γραφική παράσταση της g;

7. Πως βρίσκουμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με:

Τον άξονα των x Τον άξονα των y

8. Πως βρίσκουμε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων για παράδειγμα των f(x)=lnx και g(x)=ln2x

9. Πότε μια γραμμή C, σχεδιασμένη σε ένα σύστημα αξόνων μπορεί να είναι γραφική παράσταση μιας συνάρτησης;

Tom Raik
Highlight
να γίνει
Page 53: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 68 

Δ

Ο x2 x1

f (x1)

f (x2)

x

y

Μάθημα 4ον «Μονοτονία»

Σκοπός και στόχος του μαθήματος 1. Να ξέρεις τους ορισμούς της γνήσιας αύξουσας, της γνήσιας φθίνουσας

συνάρτησης και της σταθερής σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. 2. Να διακρίνεις από τη γραφική παράσταση τη μονοτονία. 3. Να αποδεικνύεις με σύνθεση τη μονοτονία μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα

Δ. 4. Να διακρίνεις πότε δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις τη τεχνική της σύνθεσης

οπότε να χρησιμοποιείς τη τεχνική της αποσύνθεσης για τη μονοτονία 5. Να ξέρεις το λόγο μεταβολής και τη τεχνική για τη μονοτονία. 6. Να ξέρεις να λύνεις εξισώσεις και ανισώσεις χρησιμοποιώντας τη μονοτονία

και να ξεχωρίζεις πότε μια εξίσωση ή ανίσωση δεν μπορεί να λυθεί με αλγεβρικές μεθόδους οπότε να βρίσκεις τις προφανείς λύσεις της.

7. Να ξέρεις τους ορισμούς για τα ολικά ακρότατα και τις τεχνικές εύρεσής τους.

Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του. Μονοτονία συνάρτησης

Μια πραγματική συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού

της, όταν: για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )< ή ισοδύναμα για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )> .

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ,

γράφουμε f∧↑

Γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν: για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )> ή ισοδύναμα για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )< .

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα

διάστημα Δ, γράφουμε f∨

↓ στο Δ.

Αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ, όταν: για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )≤ ή ισοδύναμα για κάθε 1 2x ,x Δ∈ 1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )≥ .

Δ Ο x2 x1 x

y

f (x2)

f (x1)

Tom Raik
Highlight
σε άνισα πρότυπα αντιστοιχούν αντίστροφα άνισες εικόνες, δηλαδή στο μικρότερο πρότυπο αντιστοιχεί μεγαλύτερη εικόνα
Tom Raik
Highlight
σε άνισα πρότυπα αντιστοιχούν όμοια άνισες εικόνες, δηλαδή στο μικρότερο πρότυπο αντιστοιχεί μικρότερη εικόνα
Page 54: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 69 

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f ↑ Δ.

Φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ, όταν: για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )≥ ή ισοδύναμα για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )≤ .

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f ↓ στο Δ.

Γνησίως μονότονη σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι γνησίως μονότονη σ’ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως μονότονη.

Μονότονη σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν η f είναι αύξουσα ή φθίνουσα στο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι μονότονη σ’ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι μονότονη. Για παράδειγμα, η συνάρτηση 2f (x) x= :

• είναι γνησίως αύξουσα στο [0, )+∞ , αφού για 1 20 x x≤ < έχουμε: 2 2

1 2x x< ⇔ 1 2f (x ) f (x )< .

• είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ,0]−∞ , αφού για 1 2x x 0< ≤ έχουμε:

2 10 x x≤ − < − ⇔ 2 22 10 x x≤ < ⇔ 1 2f (x ) f(x )> .

Μια πραγματική συνάρτηση f καλείται σταθερή στο πεδίο ορισμού της Α, αν για κάθε

x A∈ ισχύει f (x) c= , όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μέθοδοι

Α. «Πως μελετάμε τη μονοτονία συνάρτησης;» Α. Για να μελετήσουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης f αφού βρούμε το πεδίο ορισμού της Α, αν

δεν δίνεται, εργαζόμαστε ως εξής:

1ος Τρόπος (κατασκευαστικός) Θεωρούμε δυο τυχαία 1 2x ,x A∈ με 1 2x x< και προχωρώντας κατασκευαστικά δημιουργούμε τα

1f (x ) και 2f (x ) καταλήγοντας σε μια ανίσωση της μορφής: • 1 2f (x ) f (x )< , οπότε f γνήσια αύξουσα, ή • 1 2f (x ) f (x )≤ , οπότε f αύξουσα, ή • 1 2f (x ) f (x )> , οπότε f γνήσια φθίνουσα, ή • 1 2f (x ) f (x )≥ , οπότε f φθίνουσα, ή • 1 2f (x ) f (x )= , οπότε f σταθερή.

O x

y=x2

y

Tom Raik
Highlight
όλα τα πρότυπα έχουν την ίδια εικόνα
Tom Raik
Highlight
ή συνθετικός. Δεν το χρησιμοποιούμε στις ρητές συναρτήσεις και γενικά σε όσες ο τύπος τους είναι κλάσμα, γιατί όταν διαιρούμε άνισα δεν παίρνουμε κατ'ανάγκη άνισα
Page 55: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 70 

Θέμα 48ον Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με τύπο 3f (x) x x 2= + + Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι fA = — . Έστω 1 2 fx ,x A∈ = — με 1 2x x< (1). Από την (1) υψώνοντας στο κύβο (περιττή δύναμη) έχουμε 3 3

1 2x x< (2). Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:

3 31 1 2 2x x x x+ < +

3 31 1 2 2x x 2 x x 2+ + < + +

1 2f (x ) f (x )< , Άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο fA = — . Θέμα 49ον Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e−= Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι fA [0, + )= ∞ . Έστω 1 2 fx ,x A [0, + )∈ = ∞ με 1 2x x< (1).

Από την (1) 1 2 1 2x x x x< ⇔ − > − (2).

Επειδή η συνάρτηση xy e= είναι γνήσια αύξουσα από την (2) έχουμε 1 2x xe e− −> ⇔ 1 2f (x ) f (x )> , επομένως η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο fA [0, + )= ∞ . Θέμα 50ον Έστω η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e 2x 1= + − . i. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f. ii. Να βρεθεί το f (0) . iii. Να βρεθούν εκείνα τα fx A∈ για τα οποία η γραφική παράσταση fC είναι: α. Πάνω από τον άξονα x x′ , β. Κάτω από τον άξονα x x′ .

Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι fA = — . i. Έστω 1 2 fx ,x A∈ = — με 1 2x x< (1). Από την (1) έχουμε:

1 2x xe e< (2) γιατί η συνάρτηση xy e= είναι γνήσια αύξουσα και

1 2 1 22x 2x 2x 1 2x 1< ⇔ − < − (3). Προσθέτοντας κατά μέλη τις (2) και (3) έχουμε:

1 2x x1 1e 2x 1 e 2x 1+ − < + −

1 2f (x ) f (x )< , Άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο fA = — . ii. 0f (0) e 2 0 1 1 1 0= + ⋅ − = − = . iii. Επειδή αποδείξαμε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα και f (0) 0= έχουμε τα ακόλουθα: α. Αν x 0 f (x) f (0) f (x) 0< ⇔ < ⇔ < . β. Αν x 0 f (x) f (0) f (x) 0> ⇔ > ⇔ > .

Page 56: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 71 

Συμπέρασμα: Για κάθε x ( , 0)∈ −∞ η fC είναι κάτω από τον x x′ . Για κάθε x (0, + )∈ ∞ η fC είναι πάνω από τον x x′ .

2ος Τρόπος (αποσυνθετικός)

Θεωρούμε δυο τυχαία 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )< και με ισοδυναμίες αποσυνθέτουμε τον τύπο της f οπότε καταλήγουμε σε μια ανίσωση της μορφής:

• 1 2x x< , οπότε f γνήσια αύξουσα, ή • 1 2x x> , οπότε f γνήσια φθίνουσα ή

θεωρούμε δυο τυχαία 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )≤ και με ισοδυναμίες αποσυνθέτουμε τον τύπο της f οπότε καταλήγουμε σε μια ανίσωση της μορφής:

• 1 2x x< , οπότε f αύξουσα, ή • 1 2x x> , οπότε f φθίνουσα.

Θέμα 51ον

Δίνεται η συνάρτησηf με f(x)= 1 xln1 x−+

. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία.

Λύση: Πρόσεξε ιδιαίτερα τη τεχνική της λύσης!!! Έστω 1 2x ,x A∈ . Υποθέτουμε ότι 1 2f (x ) f (x )< και θα δείξουμε με ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ ότι ή 1 2x x< ή

1 2x x> , οπότε λόγω των ισοδυναμιών θα εξάγουμε το κατάλληλο συμπέρασμα για τη μονοτονία. Η f ορίζεται για τις τιμές του x για τις οποίες είναι: 1 x 01 x−

>+

(1-x)(1+x)> 0 1- x2> 0 x2<1 1 x 1− < < . Επομένως Αf = (-1, 1).

Για κάθε x1, x2 ∈ Af έχουμε:

f(x1) < f(x2) 1 2

1 2

1 x 1 xln ln

1 x 1 x⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −

<⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ (η συνάρτηση y=lnx

∧↑ )

1 2

1 2

1 x 1 x1 x 1 x− −

<+ +

(1). Είναι 1 + x1 > 0 και 1 + x2 > 0 οπότε κάνοντας απαλοιφή παρονομαστών στην

(1) έχουμε: (1- x1)(1 + x2)<(1-x2)(1+x1) ⇔ 1 + x2- x1- x1x2< 1 + x1- x2- x1x2 ⇔ 2x2<2 x1 x2< x1,

επομένως λόγω των ισοδυναμιών έχουμε αποδείξει ότι για κάθε 1 2x ,x A∈ με 1 2 1 2x x f (x ) f (x )> ⇔ < , άρα η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο Αf = (-1, 1).

3ος Τρόπος (λόγος μεταβολής)

Έστω 1 2x ,x A∈ με 1 2x x≠ . Σχηματίζουμε το λόγο (ή πηλίκο) μεταβολής της συνάρτησης

f , δηλαδή το κλάσμα: 1 2

1 2

f (x ) f (x )x x−

λ =−

, 1 2x x≠ .

Αν 0λ > η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Αν 0λ < η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. Αν 0λ ≥ η f είναι αύξουσα στο Α. Αν 0λ ≤ η f είναι φθίνουσα στο Α.

Tom Raik
Highlight
χρησιμοποιείστε τον σίγουρα στις ρητές συναρτήσεις ή σε αυτές που καταλήγουν σε τέτοιες, όπως το θέμα 51
Tom Raik
Highlight
να γνωρίζουμε τι είναι λόγος ή πηλίκο μεταβολής και τη τεχνική της μεθόδου
Page 57: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 72 

Προσοχή!

Αν 0λ = τότε η f είναι σταθερή στο Α. Δουλεύοντας με το λόγο (ή πηλίκο) μεταβολής της συνάρτησης f , δηλαδή το κλάσμα:

1 2

1 2

f (x ) f (x )x x−

λ =−

όταν γίνουν οι αντικαταστάσεις, πάντα στον αριθμητή εμφανίζεται ο

παράγοντας 1 2x x− , ο οποίος στη συνέχεια απλοποιείται, δηλαδή

( )1 2 1 21 2

1 2

x x g(x , x )g(x , x )

x x−

λ = =−

, οπότε πλέον μελετάμε το πρόσημο του 1 2g(x ,x )

Θέμα 52ον Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με τύπο f (x) x 2= + . Λύση Η f ορίζεται για τις τιμές του x για τις οποίες είναι: x 2 0 x 2+ ≥ ⇔ ≥ − , επομένως Αf =[-2, +∞). Έστω 1 2 fx ,x A∈ με 1 2x x≠ . Σχηματίζουμε το λόγο (ή πηλίκο) μεταβολής της συνάρτησης f , δηλαδή το κλάσμα:

1 2

1 2

f (x ) f (x )x x−

λ = =−

1 2

1 2

x 2 x 2x x+ − +

= =−

( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

x 2 x 2 x 2 x 2

x x x 2 x 2

+ − + ⋅ + + +=

− + + +

( ) ( )( ) ( )

2 2

1 2

1 2 1 2

x 2 x 2

x x x 2 x 2

+ − += =

− + + +

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2 1 2

x 2 x 2

x x x 2 x 2

+ − +=

− + + +

( ) ( )1 2

1 2 1 2

x xx x x 2 x 2

−= =

− + + + 1 2

1 0x 2 x 2

>+ + +

, οπότε η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο

Αf =[-2, +∞).

Β. «Πως λύνουμε μια ανίσωση ή μια εξίσωση με χρήση της μονοτονίας;»

1η Περίπτωση Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής f (g(x)) f (h(x))< , x∈Δ , εργαζόμαστε ως εξής: • Μελετάμε τη μονοτονία της συνάρτησης f για x∈Δ . • Αν f γνήσια αύξουσα τότε g(x) h(x)< , x∈Δ κ.λ.π. • Αν f γνήσια φθίνουσα τότε g(x) h(x)> , x∈Δ κ.λ.π. Όμοια για τις περιπτώσεις f (g(x)) f (h(x))≤ ή f (g(x)) f (h(x))> ή f (g(x)) f (h(x))≥ . Θέμα 53ον Έστω η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e 2x= + . Να λυθεί η ανίσωση 2 2f (2x 3x 3) f (x x)− + < + .

Tom Raik
Highlight
πολύ σημαντικό κομμάτι της ύλης. Διάβασε και μάθε το καλά
Page 58: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 73 

Λύση Για να λύσουμε την ανίσωση θα μελετήσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης f . Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού fA = — . Έστω 1 2 fx ,x A∈ = — με 1 2x x< (1). Από την (1) έχουμε: 1 2x xe e< (2) γιατί η συνάρτηση xy e= είναι γνήσια αύξουσα. Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:

1 2x x1 1e x 1 e x+ < + ⇔ 1 2f (x ) f (x )< ,

Άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο fA = — . Αφού η f είναι γνήσια αύξουσα στο fA = — , θα έχουμε

2 2 2 2f (2x 3x 3) f (x x) 2x 3x 3 x x− + < + ⇔ − + < + ⇔ 2x 4x 3 0 (x 1) (x 3) 0 1 x 3− + < ⇔ − ⋅ − < ⇔ < < , οπότε η ανίσωση έχει λύσεις όλα τα x (1, 3)∈ .

2η Περίπτωση Για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής g(x) h(x)= , g hx A A∈ ∩ , η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους, θα εργαζόμαστε ως εξής: i. Βρίσκουμε τις προφανείς λύσεις της εξίσωσης g(x) h(x)= , g hx A A∈ ∩ . ii. Φέρνουμε όλους τους όρους της εξίσωσης g(x) h(x)= στο α! μέλος και σχηματίζουμε τη

συνάρτηση f (x) g(x) h(x)= − , g hx A A∈ ∩ , την οποία τη μελετάμε ως προς τη μονοτονία. iii. Τέλος δείχνουμε, χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματα της μονοτονίας, ότι οι προφανείς λύσεις της

εξίσωσης είναι και οι μοναδικές! Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής g(x) h(x)< ή g(x) h(x)≤ ή g(x) h(x)> ή g(x) h(x)≥ ,

g hx A A∈ ∩ , η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους, θα εργαζόμαστε ακριβώς όμοια. Θέμα 54ον Να λυθεί η εξίσωση 5 x ln x 2− = + . Λύση Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση, η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους, θα φέρουμε όλους τους όρους στο α! μέλος και θα σχηματίσουμε μια συνάρτηση την οποία θα μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία. Στη συνέχεια θα βρούμε τις προφανείς λύσεις της εξίσωσης οι οποίες θα είναι και μοναδικές! Σχηματίζουμε τη συνάρτηση f (x) 5 x ln x 2= − − − . Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού fA (0, 5]= .

Έστω 1 2 fx ,x A (0, 5]∈ = με 1 2x x< (1) 1 2x x⇔ − > − 1 2 1 25 x 5 x 5 x 5 x⇔ − > − ⇔ − > − .(2) Από την (1) επειδή η συνάρτηση y ln x= είναι γνήσια αύξουσα συνεπάγεται

1 2 1 2ln x ln x ln x ln x< ⇔ − > − ⇔ 1 2ln x 2 ln x 2− − > − − .(3) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (2) και (3) έχουμε:

1 1 2 2 1 25 x ln x 2 5 x ln x 2 f (x ) f (x )− − − > − − − ⇔ > , οπότε η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα.

Παρατηρούμε ότι f (1) 5 1 ln1 2 0= − − − = . Έχουμε: Για x 1 f (x) f (1) f (x) 0> ⇔ < ⇔ < .

Page 59: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 74 

C f

f (x0)

f (x)

Ox

y

x0 x

y=−x2+1 1

O x

y

y=|x−1|

1 O x

y

Για x 1 f (x) f (1) f (x) 0< ⇔ > ⇔ > . Επομένως για κάθε x 1≠ είναι f (x) 0≠ και f (1) 0= , άρα η εξίσωση 5 x ln x 2− − = έχει μοναδική λύση την x 1= . Ακρότατα συνάρτησης

Μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:

• Παρουσιάζει στο 0x A∈ (ολικό) μέγιστο, το 0f (x ) , όταν

0f (x) f (x )≤ για κάθε x A∈ .

• Παρουσιάζει στο 0x A∈ (ολικό) ελάχιστο, το 0f (x ) , όταν

0f (x) f (x )≥ για κάθε x A∈ .

Παραδείγματα

Η συνάρτηση 2f (x) x 1= − + παρουσιάζει μέγιστο στο

0x 0= , το f (0) 1= , αφού f (x) f (0)≤ για κάθε x∈— .

Η συνάρτηση f (x) | x 1 |= − παρουσιάζει ελάχιστο στο

0x 1= , το f (1) 0= , αφού f (x) f (1)≥ για κάθε x∈— .

C f

f (x0) f (x)

O x

y

x0 x

Tom Raik
Highlight
να μάθεις καλά τους ορισμούς
Page 60: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 75 

O

y=ημx

2π 5π/2 3π/2 −π/2

π/2 π

1

−1

y

x

O x

y

y=x3

Η συνάρτηση f (x) ημx= παρουσιάζει μέγιστο, το y 1= , σε

καθένα από τα σημεία π2kπ2

+ , k∈Ÿ και ελάχιστο, το

y 1= − , σε καθένα από τα σημεία π2kπ2

− , k Z∈ , αφού

1 ημx 1− ≤ ≤ για κάθε x R∈ .

Η συνάρτηση 3f (x) x= δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, αφού είναι γνησίως αύξουσα.

Όπως είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα, άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.

Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά) ακρότατα της f.

Μέθοδοι

«Πως μελετάμε ως προς τα ακρότατα μια συνάρτηση;»

Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα εργαζόμαστε ως εξής:

1η Περίπτωση Αν είναι γνωστή η γραφική παράσταση fC της f, τότε: • Εντοπίζουμε το κατώτερο σημείο της, αν υπάρχει, έστω το

( )0 0x , f(x ) , οπότε η τεταγμένη του σημείου αυτού αποτελεί το ελάχιστο της συνάρτησης, δηλαδή min 0y f (x )= .

0 minf (x ) y= (Ελάχιστο)

• Εντοπίζουμε το ανώτερο σημείο της, αν υπάρχει, έστω το ( )0 0x , f(x ) , οπότε η τεταγμένη του σημείου αυτού αποτελεί το μέγιστο της συνάρτησης, δηλαδή max 0y f (x )= .

0 maxf (x ) y= (Μέγιστο)

Page 61: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 76 

Προσοχή!

Προσοχή!

Στο ακόλουθο σχήμα έχουμε: max 1y f (x )= ,

min 2y f (x )= .

1 maxf(x ) y=

1x

min 2y f (x )=

2x

Μέγιστο

Ελάχιστο

2η Περίπτωση

Αν είναι γνωστός ο τύπος της συνάρτησης, τότε βρίσκουμε το σύνολο τιμών της και από τη μορφή που έχει, βγάζουμε αντίστοιχα συμπεράσματα για τα ακρότατα. Ενδεικτικά, αν αυτό είναι της μορφής: • 1 2y , y⎡ ⎤⎣ ⎦ τότε 1 miny y= και 2 maxy y= , • )1 2y , y⎡⎣ ή )1y , +∞⎡⎣ τότε 1 miny y= , • ( 1 2y , y ⎤⎦ ή ( 2, y−∞ ⎤⎦ τότε 2 maxy y= , • ( )1 2y , y ή ( ), +−∞ ∞ ή ( )1y , +∞ ή ( )2, y−∞ τότε δεν έχει ακρότατα.

Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f μπορούμε να εργασθούμε με έναν από τους επόμενους τρόπους:

1ος τρόπος. Σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράψαμε στο μάθημα 1.

2ος τρόπος. Βρίσκουμε τη μονοτονία της συνάρτησης. Ενδεικτικά έχουμε:

• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ]α, β , τότε minf (α) y= και maxf (β) y= ,

• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο [ )α, β , τότε minf (α) y= και δεν υπάρχει maxy ,

• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο ( )α, β , ή στο ( ), +−∞ ∞ , ή στο ( )α, +∞ ή στο ( ), β−∞ τότε δεν υπάρχουν τα miny και maxy ,

• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο ( ]α, β , τότε δεν υπάρχει miny και maxf (β) y= ,

• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ]α, β , τότε minf (β) y= και maxf (α) y= ,

• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ )α, β , τότε δεν υπάρχει miny και maxf (α) y= ,

• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ]α, β , τότε minf (β) y= και δεν υπάρχει maxy .

• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( )α, β , ή στο ( ), +−∞ ∞ , ή στο ( )α, +∞ ή στο ( ), β−∞ τότε δεν υπάρχουν τα miny και maxy .

Tom Raik
Highlight
μάθε να χρησιμοποιείς τη μονοτονία για τα ακρότατα και το σύνολο τιμών
Page 62: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 77 

Γνωρίζουμε από προηγούμενες τάξεις ότι για τη δευτεροβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση με τύπο

2f (x) αx βx= + + γ , με α 0≠ και x∈— , ισχύουν τα εξής:

Αν α 0> , τότε: • η συνάρτηση είναι:

γνήσια φθίνουσα στο β,

2α⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦

και

γνήσια αύξουσα στο β , +

2α⎡ ⎞− ∞⎟⎢⎣ ⎠

,

• έχει σύνολο τιμών το Δ , +4α

⎡ ⎞− ∞⎟⎢⎣ ⎠, όπου 2β -4αγΔ = ,

• για 0βx

2α= − παρουσιάζει ελάχιστο το min

βy f2α 4α

Δ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

, όπου 2β -4αγΔ = .

Αν α<0 , τότε:

• η συνάρτηση είναι:

γνήσια αύξουσα στο β,

2α⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦

και

γνήσια φθίνουσα στο β , +

2α⎡ ⎞− ∞⎟⎢⎣ ⎠

,

• έχει σύνολο τιμών το Δ- , -4α

⎛ ⎤∞⎜ ⎥⎝ ⎦, όπου 2β -4αγΔ = ,

• για 0βx

2α= − παρουσιάζει μέγιστο το max

βy f2α 4α

Δ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

, όπου 2β -4αγΔ = .

3η Περίπτωση

Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα Α, έχει ελάχιστο τον αριθμό

0y ∈— θα αποδεικνύουμε ότι: • Για κάθε x A∈ ισχύει η ανίσωση 0f (x) y≥ , • Υπάρχει 0x A∈ τέτοιο ώστε να ισχύει 0 0f (x ) y= .

Θέμα 55 Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο f (x) 1 x 2= − − . Λύση

1. Πρέπει f (x)∈— x 2 0⇔ − ≥ ⇔ , x 2≥ άρα fD [2, )= +∞ .

2. y 1 x 2 x 2 1 y= − − ⇔ − = − .

Tom Raik
Highlight
Μάθε το καλά γιατί θα σου χρειασθεί
Page 63: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 78 

Επειδή λοιπόν x 2 0− ≥ θα είναι και 1 y 0− ≥ . Οπότε έχουμε 2x 2 (1 y)− = − με y 1≤ ⇔ 2x 2 (1 y)= + − με y 2≤ .

3. fx D x 2∈ ⇔ ≥ ⇔ 2 22 (1 y) 2 (1 y) 0+ − ≥ ⇔ − ≥ , σχέση που ισχύει για κάθε y , άρα τελικά

ff (D ) ( , 1]= −∞ .

4. Συμπέρασμα: Η συνάρτηση f δεν έχει ελάχιστο, ενώ έχει μέγιστο με maxy 1= . Θέμα 56 Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο f (x) x 1= − αν 4 x 3− ≤ ≤ . Λύση Για κάθε 1 2x ,x [ 4, 3]∈ − με 1 2x x< ⇔ 1 2x 1 x 1− < − ⇔ 1 2f (x ) f (x )< , άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο A [ 4, 3]= − , οπότε [ ] [ ]f (A) f ( 4), f(3) 5, 2= − = − . Άρα miny 5= − και maxy 2= . Θέμα 57 Να μελετηθεί η συνάρτηση f με 2f (x) x 4x 3= − + , x∈— , ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Λύση

Έχουμε: 0

2 2

α=1>0 β 4x 2

2α 2 1β 4α=( 4) 4 1 3 4

⎧⎪ −⎪ = − = − =⎨ ⋅⎪Δ = − − − ⋅ ⋅ =⎪⎩

, άρα:

• η συνάρτηση είναι: γνήσια φθίνουσα στο ( ], 2−∞ και γνήσια αύξουσα στο [ )2, +∞ ,

• έχει σύνολο τιμών το [ )1, +∞

• για 0x 2= έχει ελάχιστο το min4y 1

4 1= − = −

⋅.

Θέμα 58

Αν 2x 1 10 x 0

f (x)x 1 0 x 10

⎧ + αν − ≤ ≤⎪= ⎨+ αν ≤ ≤⎪⎩

.

Να δείξετε ότι ο τύπος ορίζει συνάρτηση η οποία να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Λύση

Έστω 21f (x) x 1= + , [ ]1x A 10, 0∈ = − και 2f (x) x 1= + , [ ]2x A 0, 10∈ = .

Οι τύποι για κάθε x 0≠ ορίζουν συνάρτηση γιατί σε κάθε x αντιστοιχίζεται ένα μοναδικό y∈— . Θα πρέπει όμως για να ορίζεται τελικά συνάρτηση να ισχύει 1 2f (0) f (0)= .

Πράγματι 1f (0) 1= και 2f (0) 1= , οπότε ο τύπος 2x 1 10 x 0

f (x)x 1 0 x 10

⎧ + αν − ≤ ≤⎪= ⎨+ αν ≤ ≤⎪⎩

ορίζει συνάρτηση.

Η συνάρτηση 2y x 1= + έχει:

Page 64: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 79 

0

2

α=1>0 βx 0

2αβ 4α= 4 1 1 4

⎧⎪⎪ = − =⎨⎪Δ = − − ⋅ ⋅ = −⎪⎩

,

άρα είναι γνήσια φθίνουσα στο ( ], 0−∞ και γνήσια αύξουσα στο [ )0, +∞ , οπότε και ο

περιορισμός της στο [ ]1A 10, 0= − είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση, άρα

[ ] [ ]1 1f (A ) f (0), f(10) 1, 101= = .

Η συνάρτηση y x 1= + έχει πεδίο ορισμού το [ )1, +− ∞ και είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση γιατί για κάθε [ )1 2x , x 1, +∈ − ∞ με 1 2x x< ⇔

1 2x 1 x 1+ < + ⇔

1 2x 1 x 1+ < + ⇔

1 2f (x ) f (x )< , οπότε και ο περιορισμός της στο [ ]2A 0, 10= είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση,

άρα [ ]2 2f (A ) f (0), f(10) 1, 11⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ .

Συμπέρασμα:

Η συνάρτηση 2x 1 10 x 0

f (x)x 1 0 x 10

⎧ + αν − ≤ ≤⎪= ⎨+ αν ≤ ≤⎪⎩

είναι:

• γνήσια φθίνουσα στο [ ]1A 10, 0= − και γνήσια αύξουσα στο [ ]2A 0, 10= , • έχει σύνολο τιμών το

[ ] [ ]f (A) 1, 101 1, 11 1, 101⎡ ⎤= ∪ =⎣ ⎦ ,

• έχει miny 1= και maxy 101= . Θέμα 59

Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο 2 xf (x)2 x+ ημ

=− ημ

.

Λύση

Αποδείξαμε στο λυμένο Θέμα 24 στη σελίδα 22 είναι το f1f (D ) ,33⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, οπότε έχει min1y3

= και

maxy 3= . Θέμα 60

Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο 2

2

x 1f (x)x 5x 6

+=

− +.

Λύση Αποδείξαμε στο λυμένο Θέμα 23 στη σελίδα 21 είναι το ff (D ) ( , 14 2] [ 14 2, )= −∞ − − ∪ − + +∞ , οπότε δεν έχει ακρότατα.

Page 65: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 80 

y

5

2

1

-3 -2 -1 5 x

Θέμα 61 Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο x 1f (x) e− −= , [ ]x 2, 101∈ Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι [ ]fA 2, 101= .

Έστω [ ]1 2 fx , x A 2, 101∈ = με 1 2x x< (1).

Από την (1) 1 2 1 2x 1 x x 1 x 1− < − ⇔ − − > − − (2).

Επειδή η συνάρτηση xy e= είναι γνήσια αύξουσα από την (2) έχουμε 1 2x 1 x 1e e− − − −> ⇔

1 2f (x ) f (x )< , επομένως η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο [ ]fA 2, 101= , άρα έχει 2 1

miny f (2) e e−= = = και 101 1 10maxy e e−= = .

Προτεινόμενες Ασκήσεις Μονοτονία συνάρτησης Θέμα 127

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες i. f (x) 1 x= − ii. f (x) 2ln(x 2) 1= − − iii. 1 xf (x) 3e 1−= + iv. 2f (x) (x 1) 1= − − , x 1≤ . Θέμα 128 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α, β] με α, β > 0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα [- β, - α]. Θέμα 129 Η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f φαίνεται στο σχήμα. Από αυτό να βρείτε: i. το πεδίο ορισμού της f, ii. το σύνολο τιμών της f, iii. το διάστημα και το είδος μονοτονίας της f, iv. τα ακρότατα της f, v. τον τύπο της f, αν είναι γνωστό ότι:

στο διάστημα [- 1, 0) είναι υπερβολή της μορφής αyx

=

και στο διάστημα [0, 2) είναι παραβολή της μορφής y = αx2.

Θέμα 130

i. Για κάθε α > 0, να δείξετε ότι 1 2α

α + ≥ .

ii. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης 1f (x) xx

= + με x > 0.

Page 66: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 81 

Θέμα 131 Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες παίρνουν θετικές τιμές

για κάθε x∈Δ και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες στο Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 1 1f g+ είναι

γνησίως φθίνουσα στο Δ. Θέμα 132 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως μονότονες και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες). i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων fof και gog.

iii. Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης ( )f (x) ln ln x= , x > 1.

Θέμα 133

Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συνάρτηση f με f (x) 1 x= − ημ , x∈[0, 2π].

Θέμα 134 Έστω η συνάρτηση f(x)=x(x-2), x ∈ [0, 2]. i. Να αποδείξετε ότι f (x) ≤ 0 για κάθε x ∈ Df=[0, 2]. ii. Να αποδείξετε ότι f(x)=(x-1)2 -1 και στη συνέχεια να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το

διάστημα [ 1,0]− .

iii. Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της f.

v. Να βρείτε τις τιμές του x όταν y=0 και όταν 3y4

= .

Θέμα 135

i. Να λυθεί η εξίσωση eln xx

= , x 0> .

ii. Να λυθεί η ανίσωση eln xx

> , x 0> .

Θέμα 136 i. Να λυθεί η εξίσωση ln x 1 x= − . ii. Να λυθεί η ανίσωση ln x 1 x> − . Θέμα 137

i. Να λυθεί η εξίσωση xln x 2e x 1 2e+ + − = . ii. Να λυθεί η ανίσωση xln x 2e x 1 2e+ + − < . Θέμα 138

i. Να λυθεί η εξίσωση 10 x ln x 3− − = . ii. Να λυθεί η ανίσωση 10 x ln x 3− − < . Θέμα 139 Να λυθούν οι εξισώσεις: i. x ln x 1+ = , ii. 3x ln x 3+ = .

Page 67: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 82 

Θέμα 140 Να λυθούν οι εξισώσεις: i. x2 x 11+ = , ii. x x x6 8 10+ = . Θέμα 141

Αν 0 < α < β , να αποδειχθεί η ανισότητα: e e lnα β β− <

α.

Θέμα 142

Αν α < β , να αποδειχθεί η ανισότητα: e eβ αα −β < − . Θέμα 143

Αν 0 < α < β , να αποδειχθεί η ανισότητα: ln αβ − α >

β.

Θέμα 144

Αν 0 < α < β , να αποδειχθεί η ανισότητα: eβ−αα<

β.

Θέμα 145

Έστω η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e x= + . Να λυθεί η ανίσωση 2 2f (2x x 3) f (x 3x)− + < + . Θέμα 146

Έστω η συνάρτηση f με τύπο f (x) 4 x ln x= − − . Να λυθεί η ανίσωση f (3 x) f (6 2x)− < − . Θέμα 147

Έστω η συνάρτηση f με τύπο f (x) x ln x= + . Να λυθεί η ανίσωση 2f (x 1) f (4x 2)+ < − . Θέμα 148 Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο — και ισχύει f (x) 0> για κάθε x∈— , να

δειχθεί ότι η συνάρτηση με τύπο 2f (x) 3g(x)3f (x)

−= είναι γνήσια φθίνουσα στο — .

Θέμα 149 Δίνονται οι συναρτήσεις

x 5 3f (x) e x x x 1= + + + − και 3g(x) 2 x x ln x= − − − . i. Να αποδείξετε ότι είναι γνήσια μονότονες. ii. Να λυθούν οι ανισώσεις f (x) 0> και g(x) 0> . Θέμα 150 Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — και ισχύει 0 f (x) 1< < για κάθε x∈— , να

δειχθεί ότι η συνάρτηση g με τύπο 2

f (x)g(x)1 f (x)

=+

είναι γνήσια αύξουσα στο — .

Θέμα 151

i. Να λυθεί η ανίσωση x x x

x x5 3 4

x

3 4ln e e5

++< − .

ii. Να λυθεί η εξίσωση 2e ln(x e)x= −

Page 68: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 83 

Θέμα 152 Η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — και για κάθε x∈— ισχύει (f f f f f )(x) x= . Να δειχθεί ότι f (x) x= για κάθε x∈— . Θέμα 153

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e x 1= + − .

i. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση στο —.

ii. Δείξτε ότι f (0) 0= .

iii. Να μελετήσετε τη θέση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σε σχέση με τον άξονα των τετμημένων x x′ .

iv. Αφού πρώτα αποδείξετε ότι για κάθε x∈— ισχύει ότι 2x 2x 1≥ − , στη συνέχεια δείξτε ότι 2f (x ) f (2x 1) 0− − ≥ για κάθε x∈—.

Θέμα 154 Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο —. Αν υπάρχει πραγματικός αριθμός α τέτοιος ώστε να ισχύει f ( ) 0α = , να δειχθεί ότι f ( 3) f ( 4) 0α − ⋅ α + < . Θέμα 155 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f ,g,h που έχουν πεδίο ορισμού το —. Αν οι συναρτήσεις f και h είναι γνήσιες αύξουσες στο — και για κάθε x∈— ισχύει f (x) g(x) h(x)< < , δείξτε ότι: (f f )(x) (g g)(x) (h h)(x)< < για κάθε x∈— . Θέμα 156 Έστω η πραγματική συνάρτηση f που έχει πεδίο ορισμού το —. Αν για κάθε x∈— και για κάθε y 0> ισχύει f (x) f (x y)< + , δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα. Θέμα 157

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο xf (x) ( 1)x 2 1= α + α − − α + με 0 1< α ≠ . i. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. ii. Να λυθεί η εξίσωση f (x) 0= . Θέμα 158 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f ,g οι οποίες έχουν πεδίο ορισμού το —. Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — και ισχύει f (x) g(x)< για κάθε x∈— , να δειχθεί ότι είναι και (f f )(x) (g g)(x)< για κάθε x∈— . Θέμα 159 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f ,g οι οποίες έχουν πεδίο ορισμού το —. Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο — και ισχύει f (x) g(x)< για κάθε x∈— , να δειχθεί ότι είναι και (f g)(x) (g f )(x)< για κάθε x∈— . Θέμα 160 Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει γνήσια αύξουσα συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — για την οποία να ισχύει f (x) 2e x x= − για κάθε x 0< και η οποία να είναι γνήσια αύξουσα στο —. Θέμα 161 Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει γνήσια μονότονη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — για την οποία να ισχύει f (f (x)) x 0+ = για κάθε x∈— .

Page 69: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 84 

Θέμα 162 Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — και ισχύει f (x) 0> για κάθε x∈— , να δειχθεί

ότι η συνάρτηση g με τύπο f (x)g(x)1 f (x)

=+

είναι γνήσια αύξουσα στο — .

Ακρότατα συνάρτησης Θέμα 163 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους: i. f (x) 3x 1= − + , x [ 2, 2]∈ − . ii. 2g(x) 3x 12x 7= − + − . Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 164 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους: i. 2f (x) x 3x 2= − + .

ii. 2g(x) x 4x 8= − + . Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 165 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους:

i. ( )2f (x) ln 1 x 1= + + .

ii. x 4g(x)x 3+

=−

, x [ 2, 2] [4, 8]∈ − ∪ .

Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 166 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους: i. 2f (x) x 4 x 2= συν + συν − . ii. g(x) x 3 x 2= ημ − συν + , x [ , 4π]∈ −π . Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 167 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους:

i. x 1 1 x 2

f (x)2x 1 3 x 4+ αν − ≤ ≤⎧

= ⎨ − αν ≤ ≤⎩.

ii. 2

2

x 1 1 x 2g(x)

x x 1 2 x 4⎧ + αν − ≤ ≤

= ⎨+ − αν < ≤⎩

.

Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 168 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους:

Page 70: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 85 

i. 2

2

x x 1f (x)x x 1

− +=

+ +.

ii. 2

2

x 1g(x)x 2x 1

+=

+ +.

Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 169

Έστω η συνάρτηση f με f (x) 1 x 4= λ − + + . Να βρεθούν οι τιμές του λ∈— αν miny 2= . Θέμα 170

Έστω η συνάρτηση f με 2f (x) x 1= λ − + . Να βρεθούν οι τιμές του λ∈— αν maxy 4= . Θέμα 171

Έστω η συνάρτηση f με 2

2

x x 1f (x)x x 1+ λ +

=+ μ +

.

Να βρεθούν οι τιμές των , μλ ∈— αν miny 2= και maxy 2= . Θέμα 172

Έστω η συνάρτηση f με 2

4xf (x)x

+ μ=

+ λ, 0λ > .

Να βρεθούν οι τιμές των , μλ ∈— αν miny 1= − και maxy 4= . Θέμα 173

Έστω η συνάρτηση f με 2

2

x xf (x)x 1+ λ + μ

=+

.

Να βρεθούν οι τιμές των , μλ ∈— αν min maxy y 0+ = .

Page 71: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 86 

Φύλλο εργασίας 1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Page 72: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 87 

9.

Page 73: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 68 

Δ

Ο x2 x1

f (x1)

f (x2)

x

y

Μάθημα 4ον «Μονοτονία»

Σκοπός και στόχος του μαθήματος 1. Να ξέρεις τους ορισμούς της γνήσιας αύξουσας, της γνήσιας φθίνουσας

συνάρτησης και της σταθερής σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της. 2. Να διακρίνεις από τη γραφική παράσταση τη μονοτονία. 3. Να αποδεικνύεις με σύνθεση τη μονοτονία μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα

Δ. 4. Να διακρίνεις πότε δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις τη τεχνική της σύνθεσης

οπότε να χρησιμοποιείς τη τεχνική της αποσύνθεσης για τη μονοτονία 5. Να ξέρεις το λόγο μεταβολής και τη τεχνική για τη μονοτονία. 6. Να ξέρεις να λύνεις εξισώσεις και ανισώσεις χρησιμοποιώντας τη μονοτονία

και να ξεχωρίζεις πότε μια εξίσωση ή ανίσωση δεν μπορεί να λυθεί με αλγεβρικές μεθόδους οπότε να βρίσκεις τις προφανείς λύσεις της.

7. Να ξέρεις τους ορισμούς για τα ολικά ακρότατα και τις τεχνικές εύρεσής τους.

Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του. Μονοτονία συνάρτησης

Μια πραγματική συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού

της, όταν: για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )< ή ισοδύναμα για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )> .

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ,

γράφουμε f∧↑

Γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν: για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )> ή ισοδύναμα για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )< .

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα

διάστημα Δ, γράφουμε f∨

↓ στο Δ.

Αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ, όταν: για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )≤ ή ισοδύναμα για κάθε 1 2x ,x Δ∈ 1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )≥ .

Δ Ο x2 x1 x

y

f (x2)

f (x1)

Tom Raik
Highlight
σε άνισα πρότυπα αντιστοιχούν αντίστροφα άνισες εικόνες, δηλαδή στο μικρότερο πρότυπο αντιστοιχεί μεγαλύτερη εικόνα
Tom Raik
Highlight
σε άνισα πρότυπα αντιστοιχούν όμοια άνισες εικόνες, δηλαδή στο μικρότερο πρότυπο αντιστοιχεί μικρότερη εικόνα
Page 74: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 69 

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f ↑ Δ.

Φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ, όταν: για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )≥ ή ισοδύναμα για κάθε 1 2x ,x Δ∈ με 1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )≤ .

Για να δηλώσουμε ότι η f είναι φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f ↓ στο Δ.

Γνησίως μονότονη σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι γνησίως μονότονη σ’ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως μονότονη.

Μονότονη σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν η f είναι αύξουσα ή φθίνουσα στο Δ. Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι μονότονη σ’ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι μονότονη. Για παράδειγμα, η συνάρτηση 2f (x) x= :

• είναι γνησίως αύξουσα στο [0, )+∞ , αφού για 1 20 x x≤ < έχουμε: 2 2

1 2x x< ⇔ 1 2f (x ) f (x )< .

• είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ,0]−∞ , αφού για 1 2x x 0< ≤ έχουμε:

2 10 x x≤ − < − ⇔ 2 22 10 x x≤ < ⇔ 1 2f (x ) f(x )> .

Μια πραγματική συνάρτηση f καλείται σταθερή στο πεδίο ορισμού της Α, αν για κάθε

x A∈ ισχύει f (x) c= , όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μέθοδοι

Α. «Πως μελετάμε τη μονοτονία συνάρτησης;» Α. Για να μελετήσουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης f αφού βρούμε το πεδίο ορισμού της Α, αν

δεν δίνεται, εργαζόμαστε ως εξής:

1ος Τρόπος (κατασκευαστικός) Θεωρούμε δυο τυχαία 1 2x ,x A∈ με 1 2x x< και προχωρώντας κατασκευαστικά δημιουργούμε τα

1f (x ) και 2f (x ) καταλήγοντας σε μια ανίσωση της μορφής: • 1 2f (x ) f (x )< , οπότε f γνήσια αύξουσα, ή • 1 2f (x ) f (x )≤ , οπότε f αύξουσα, ή • 1 2f (x ) f (x )> , οπότε f γνήσια φθίνουσα, ή • 1 2f (x ) f (x )≥ , οπότε f φθίνουσα, ή • 1 2f (x ) f (x )= , οπότε f σταθερή.

O x

y=x2

y

Tom Raik
Highlight
όλα τα πρότυπα έχουν την ίδια εικόνα
Tom Raik
Highlight
ή συνθετικός. Δεν το χρησιμοποιούμε στις ρητές συναρτήσεις και γενικά σε όσες ο τύπος τους είναι κλάσμα, γιατί όταν διαιρούμε άνισα δεν παίρνουμε κατ'ανάγκη άνισα
Page 75: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 70 

Θέμα 48ον Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με τύπο 3f (x) x x 2= + + Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι fA = — . Έστω 1 2 fx ,x A∈ = — με 1 2x x< (1). Από την (1) υψώνοντας στο κύβο (περιττή δύναμη) έχουμε 3 3

1 2x x< (2). Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:

3 31 1 2 2x x x x+ < +

3 31 1 2 2x x 2 x x 2+ + < + +

1 2f (x ) f (x )< , Άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο fA = — . Θέμα 49ον Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e−= Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι fA [0, + )= ∞ . Έστω 1 2 fx ,x A [0, + )∈ = ∞ με 1 2x x< (1).

Από την (1) 1 2 1 2x x x x< ⇔ − > − (2).

Επειδή η συνάρτηση xy e= είναι γνήσια αύξουσα από την (2) έχουμε 1 2x xe e− −> ⇔ 1 2f (x ) f (x )> , επομένως η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο fA [0, + )= ∞ . Θέμα 50ον Έστω η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e 2x 1= + − . i. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f. ii. Να βρεθεί το f (0) . iii. Να βρεθούν εκείνα τα fx A∈ για τα οποία η γραφική παράσταση fC είναι: α. Πάνω από τον άξονα x x′ , β. Κάτω από τον άξονα x x′ .

Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι fA = — . i. Έστω 1 2 fx ,x A∈ = — με 1 2x x< (1). Από την (1) έχουμε:

1 2x xe e< (2) γιατί η συνάρτηση xy e= είναι γνήσια αύξουσα και

1 2 1 22x 2x 2x 1 2x 1< ⇔ − < − (3). Προσθέτοντας κατά μέλη τις (2) και (3) έχουμε:

1 2x x1 1e 2x 1 e 2x 1+ − < + −

1 2f (x ) f (x )< , Άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο fA = — . ii. 0f (0) e 2 0 1 1 1 0= + ⋅ − = − = . iii. Επειδή αποδείξαμε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα και f (0) 0= έχουμε τα ακόλουθα: α. Αν x 0 f (x) f (0) f (x) 0< ⇔ < ⇔ < . β. Αν x 0 f (x) f (0) f (x) 0> ⇔ > ⇔ > .

Page 76: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 71 

Συμπέρασμα: Για κάθε x ( , 0)∈ −∞ η fC είναι κάτω από τον x x′ . Για κάθε x (0, + )∈ ∞ η fC είναι πάνω από τον x x′ .

2ος Τρόπος (αποσυνθετικός)

Θεωρούμε δυο τυχαία 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )< και με ισοδυναμίες αποσυνθέτουμε τον τύπο της f οπότε καταλήγουμε σε μια ανίσωση της μορφής:

• 1 2x x< , οπότε f γνήσια αύξουσα, ή • 1 2x x> , οπότε f γνήσια φθίνουσα ή

θεωρούμε δυο τυχαία 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )≤ και με ισοδυναμίες αποσυνθέτουμε τον τύπο της f οπότε καταλήγουμε σε μια ανίσωση της μορφής:

• 1 2x x< , οπότε f αύξουσα, ή • 1 2x x> , οπότε f φθίνουσα.

Θέμα 51ον

Δίνεται η συνάρτησηf με f(x)= 1 xln1 x−+

. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία.

Λύση: Πρόσεξε ιδιαίτερα τη τεχνική της λύσης!!! Έστω 1 2x ,x A∈ . Υποθέτουμε ότι 1 2f (x ) f (x )< και θα δείξουμε με ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ ότι ή 1 2x x< ή

1 2x x> , οπότε λόγω των ισοδυναμιών θα εξάγουμε το κατάλληλο συμπέρασμα για τη μονοτονία. Η f ορίζεται για τις τιμές του x για τις οποίες είναι: 1 x 01 x−

>+

(1-x)(1+x)> 0 1- x2> 0 x2<1 1 x 1− < < . Επομένως Αf = (-1, 1).

Για κάθε x1, x2 ∈ Af έχουμε:

f(x1) < f(x2) 1 2

1 2

1 x 1 xln ln

1 x 1 x⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −

<⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔ (η συνάρτηση y=lnx

∧↑ )

1 2

1 2

1 x 1 x1 x 1 x− −

<+ +

(1). Είναι 1 + x1 > 0 και 1 + x2 > 0 οπότε κάνοντας απαλοιφή παρονομαστών στην

(1) έχουμε: (1- x1)(1 + x2)<(1-x2)(1+x1) ⇔ 1 + x2- x1- x1x2< 1 + x1- x2- x1x2 ⇔ 2x2<2 x1 x2< x1,

επομένως λόγω των ισοδυναμιών έχουμε αποδείξει ότι για κάθε 1 2x ,x A∈ με 1 2 1 2x x f (x ) f (x )> ⇔ < , άρα η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο Αf = (-1, 1).

3ος Τρόπος (λόγος μεταβολής)

Έστω 1 2x ,x A∈ με 1 2x x≠ . Σχηματίζουμε το λόγο (ή πηλίκο) μεταβολής της συνάρτησης

f , δηλαδή το κλάσμα: 1 2

1 2

f (x ) f (x )x x−

λ =−

, 1 2x x≠ .

Αν 0λ > η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Αν 0λ < η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Α. Αν 0λ ≥ η f είναι αύξουσα στο Α. Αν 0λ ≤ η f είναι φθίνουσα στο Α.

Tom Raik
Highlight
χρησιμοποιείστε τον σίγουρα στις ρητές συναρτήσεις ή σε αυτές που καταλήγουν σε τέτοιες, όπως το θέμα 51
Tom Raik
Highlight
να γνωρίζουμε τι είναι λόγος ή πηλίκο μεταβολής και τη τεχνική της μεθόδου
Page 77: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 72 

Προσοχή!

Αν 0λ = τότε η f είναι σταθερή στο Α. Δουλεύοντας με το λόγο (ή πηλίκο) μεταβολής της συνάρτησης f , δηλαδή το κλάσμα:

1 2

1 2

f (x ) f (x )x x−

λ =−

όταν γίνουν οι αντικαταστάσεις, πάντα στον αριθμητή εμφανίζεται ο

παράγοντας 1 2x x− , ο οποίος στη συνέχεια απλοποιείται, δηλαδή

( )1 2 1 21 2

1 2

x x g(x , x )g(x , x )

x x−

λ = =−

, οπότε πλέον μελετάμε το πρόσημο του 1 2g(x ,x )

Θέμα 52ον Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f με τύπο f (x) x 2= + . Λύση Η f ορίζεται για τις τιμές του x για τις οποίες είναι: x 2 0 x 2+ ≥ ⇔ ≥ − , επομένως Αf =[-2, +∞). Έστω 1 2 fx ,x A∈ με 1 2x x≠ . Σχηματίζουμε το λόγο (ή πηλίκο) μεταβολής της συνάρτησης f , δηλαδή το κλάσμα:

1 2

1 2

f (x ) f (x )x x−

λ = =−

1 2

1 2

x 2 x 2x x+ − +

= =−

( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

x 2 x 2 x 2 x 2

x x x 2 x 2

+ − + ⋅ + + +=

− + + +

( ) ( )( ) ( )

2 2

1 2

1 2 1 2

x 2 x 2

x x x 2 x 2

+ − += =

− + + +

( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2 1 2

x 2 x 2

x x x 2 x 2

+ − +=

− + + +

( ) ( )1 2

1 2 1 2

x xx x x 2 x 2

−= =

− + + + 1 2

1 0x 2 x 2

>+ + +

, οπότε η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο

Αf =[-2, +∞).

Β. «Πως λύνουμε μια ανίσωση ή μια εξίσωση με χρήση της μονοτονίας;»

1η Περίπτωση Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής f (g(x)) f (h(x))< , x∈Δ , εργαζόμαστε ως εξής: • Μελετάμε τη μονοτονία της συνάρτησης f για x∈Δ . • Αν f γνήσια αύξουσα τότε g(x) h(x)< , x∈Δ κ.λ.π. • Αν f γνήσια φθίνουσα τότε g(x) h(x)> , x∈Δ κ.λ.π. Όμοια για τις περιπτώσεις f (g(x)) f (h(x))≤ ή f (g(x)) f (h(x))> ή f (g(x)) f (h(x))≥ . Θέμα 53ον Έστω η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e 2x= + . Να λυθεί η ανίσωση 2 2f (2x 3x 3) f (x x)− + < + .

Tom Raik
Highlight
πολύ σημαντικό κομμάτι της ύλης. Διάβασε και μάθε το καλά
Page 78: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 73 

Λύση Για να λύσουμε την ανίσωση θα μελετήσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης f . Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού fA = — . Έστω 1 2 fx ,x A∈ = — με 1 2x x< (1). Από την (1) έχουμε: 1 2x xe e< (2) γιατί η συνάρτηση xy e= είναι γνήσια αύξουσα. Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε:

1 2x x1 1e x 1 e x+ < + ⇔ 1 2f (x ) f (x )< ,

Άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο fA = — . Αφού η f είναι γνήσια αύξουσα στο fA = — , θα έχουμε

2 2 2 2f (2x 3x 3) f (x x) 2x 3x 3 x x− + < + ⇔ − + < + ⇔ 2x 4x 3 0 (x 1) (x 3) 0 1 x 3− + < ⇔ − ⋅ − < ⇔ < < , οπότε η ανίσωση έχει λύσεις όλα τα x (1, 3)∈ .

2η Περίπτωση Για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής g(x) h(x)= , g hx A A∈ ∩ , η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους, θα εργαζόμαστε ως εξής: i. Βρίσκουμε τις προφανείς λύσεις της εξίσωσης g(x) h(x)= , g hx A A∈ ∩ . ii. Φέρνουμε όλους τους όρους της εξίσωσης g(x) h(x)= στο α! μέλος και σχηματίζουμε τη

συνάρτηση f (x) g(x) h(x)= − , g hx A A∈ ∩ , την οποία τη μελετάμε ως προς τη μονοτονία. iii. Τέλος δείχνουμε, χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματα της μονοτονίας, ότι οι προφανείς λύσεις της

εξίσωσης είναι και οι μοναδικές! Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής g(x) h(x)< ή g(x) h(x)≤ ή g(x) h(x)> ή g(x) h(x)≥ ,

g hx A A∈ ∩ , η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους, θα εργαζόμαστε ακριβώς όμοια. Θέμα 54ον Να λυθεί η εξίσωση 5 x ln x 2− = + . Λύση Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση, η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους, θα φέρουμε όλους τους όρους στο α! μέλος και θα σχηματίσουμε μια συνάρτηση την οποία θα μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία. Στη συνέχεια θα βρούμε τις προφανείς λύσεις της εξίσωσης οι οποίες θα είναι και μοναδικές! Σχηματίζουμε τη συνάρτηση f (x) 5 x ln x 2= − − − . Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού fA (0, 5]= .

Έστω 1 2 fx ,x A (0, 5]∈ = με 1 2x x< (1) 1 2x x⇔ − > − 1 2 1 25 x 5 x 5 x 5 x⇔ − > − ⇔ − > − .(2) Από την (1) επειδή η συνάρτηση y ln x= είναι γνήσια αύξουσα συνεπάγεται

1 2 1 2ln x ln x ln x ln x< ⇔ − > − ⇔ 1 2ln x 2 ln x 2− − > − − .(3) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (2) και (3) έχουμε:

1 1 2 2 1 25 x ln x 2 5 x ln x 2 f (x ) f (x )− − − > − − − ⇔ > , οπότε η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα.

Παρατηρούμε ότι f (1) 5 1 ln1 2 0= − − − = . Έχουμε: Για x 1 f (x) f (1) f (x) 0> ⇔ < ⇔ < .

Page 79: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 74 

C f

f (x0)

f (x)

Ox

y

x0 x

y=−x2+1 1

O x

y

y=|x−1|

1 O x

y

Για x 1 f (x) f (1) f (x) 0< ⇔ > ⇔ > . Επομένως για κάθε x 1≠ είναι f (x) 0≠ και f (1) 0= , άρα η εξίσωση 5 x ln x 2− − = έχει μοναδική λύση την x 1= . Ακρότατα συνάρτησης

Μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:

• Παρουσιάζει στο 0x A∈ (ολικό) μέγιστο, το 0f (x ) , όταν

0f (x) f (x )≤ για κάθε x A∈ .

• Παρουσιάζει στο 0x A∈ (ολικό) ελάχιστο, το 0f (x ) , όταν

0f (x) f (x )≥ για κάθε x A∈ .

Παραδείγματα

Η συνάρτηση 2f (x) x 1= − + παρουσιάζει μέγιστο στο

0x 0= , το f (0) 1= , αφού f (x) f (0)≤ για κάθε x∈— .

Η συνάρτηση f (x) | x 1 |= − παρουσιάζει ελάχιστο στο

0x 1= , το f (1) 0= , αφού f (x) f (1)≥ για κάθε x∈— .

C f

f (x0) f (x)

O x

y

x0 x

Tom Raik
Highlight
να μάθεις καλά τους ορισμούς
Page 80: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 75 

O

y=ημx

2π 5π/2 3π/2 −π/2

π/2 π

1

−1

y

x

O x

y

y=x3

Η συνάρτηση f (x) ημx= παρουσιάζει μέγιστο, το y 1= , σε

καθένα από τα σημεία π2kπ2

+ , k∈Ÿ και ελάχιστο, το

y 1= − , σε καθένα από τα σημεία π2kπ2

− , k Z∈ , αφού

1 ημx 1− ≤ ≤ για κάθε x R∈ .

Η συνάρτηση 3f (x) x= δεν παρουσιάζει ούτε μέγιστο, ούτε ελάχιστο, αφού είναι γνησίως αύξουσα.

Όπως είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα, άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.

Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης f λέγονται (ολικά) ακρότατα της f.

Μέθοδοι

«Πως μελετάμε ως προς τα ακρότατα μια συνάρτηση;»

Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα εργαζόμαστε ως εξής:

1η Περίπτωση Αν είναι γνωστή η γραφική παράσταση fC της f, τότε: • Εντοπίζουμε το κατώτερο σημείο της, αν υπάρχει, έστω το

( )0 0x , f(x ) , οπότε η τεταγμένη του σημείου αυτού αποτελεί το ελάχιστο της συνάρτησης, δηλαδή min 0y f (x )= .

0 minf (x ) y= (Ελάχιστο)

• Εντοπίζουμε το ανώτερο σημείο της, αν υπάρχει, έστω το ( )0 0x , f(x ) , οπότε η τεταγμένη του σημείου αυτού αποτελεί το μέγιστο της συνάρτησης, δηλαδή max 0y f (x )= .

0 maxf (x ) y= (Μέγιστο)

Page 81: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 76 

Προσοχή!

Προσοχή!

Στο ακόλουθο σχήμα έχουμε: max 1y f (x )= ,

min 2y f (x )= .

1 maxf(x ) y=

1x

min 2y f (x )=

2x

Μέγιστο

Ελάχιστο

2η Περίπτωση

Αν είναι γνωστός ο τύπος της συνάρτησης, τότε βρίσκουμε το σύνολο τιμών της και από τη μορφή που έχει, βγάζουμε αντίστοιχα συμπεράσματα για τα ακρότατα. Ενδεικτικά, αν αυτό είναι της μορφής: • 1 2y , y⎡ ⎤⎣ ⎦ τότε 1 miny y= και 2 maxy y= , • )1 2y , y⎡⎣ ή )1y , +∞⎡⎣ τότε 1 miny y= , • ( 1 2y , y ⎤⎦ ή ( 2, y−∞ ⎤⎦ τότε 2 maxy y= , • ( )1 2y , y ή ( ), +−∞ ∞ ή ( )1y , +∞ ή ( )2, y−∞ τότε δεν έχει ακρότατα.

Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f μπορούμε να εργασθούμε με έναν από τους επόμενους τρόπους:

1ος τρόπος. Σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράψαμε στο μάθημα 1.

2ος τρόπος. Βρίσκουμε τη μονοτονία της συνάρτησης. Ενδεικτικά έχουμε:

• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ]α, β , τότε minf (α) y= και maxf (β) y= ,

• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο [ )α, β , τότε minf (α) y= και δεν υπάρχει maxy ,

• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο ( )α, β , ή στο ( ), +−∞ ∞ , ή στο ( )α, +∞ ή στο ( ), β−∞ τότε δεν υπάρχουν τα miny και maxy ,

• Αν f είναι γνησίως αύξουσα στο ( ]α, β , τότε δεν υπάρχει miny και maxf (β) y= ,

• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ]α, β , τότε minf (β) y= και maxf (α) y= ,

• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ )α, β , τότε δεν υπάρχει miny και maxf (α) y= ,

• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ]α, β , τότε minf (β) y= και δεν υπάρχει maxy .

• Αν f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( )α, β , ή στο ( ), +−∞ ∞ , ή στο ( )α, +∞ ή στο ( ), β−∞ τότε δεν υπάρχουν τα miny και maxy .

Tom Raik
Highlight
μάθε να χρησιμοποιείς τη μονοτονία για τα ακρότατα και το σύνολο τιμών
Page 82: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 77 

Γνωρίζουμε από προηγούμενες τάξεις ότι για τη δευτεροβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση με τύπο

2f (x) αx βx= + + γ , με α 0≠ και x∈— , ισχύουν τα εξής:

Αν α 0> , τότε: • η συνάρτηση είναι:

γνήσια φθίνουσα στο β,

2α⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦

και

γνήσια αύξουσα στο β , +

2α⎡ ⎞− ∞⎟⎢⎣ ⎠

,

• έχει σύνολο τιμών το Δ , +4α

⎡ ⎞− ∞⎟⎢⎣ ⎠, όπου 2β -4αγΔ = ,

• για 0βx

2α= − παρουσιάζει ελάχιστο το min

βy f2α 4α

Δ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

, όπου 2β -4αγΔ = .

Αν α<0 , τότε:

• η συνάρτηση είναι:

γνήσια αύξουσα στο β,

2α⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦

και

γνήσια φθίνουσα στο β , +

2α⎡ ⎞− ∞⎟⎢⎣ ⎠

,

• έχει σύνολο τιμών το Δ- , -4α

⎛ ⎤∞⎜ ⎥⎝ ⎦, όπου 2β -4αγΔ = ,

• για 0βx

2α= − παρουσιάζει μέγιστο το max

βy f2α 4α

Δ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

, όπου 2β -4αγΔ = .

3η Περίπτωση

Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα Α, έχει ελάχιστο τον αριθμό

0y ∈— θα αποδεικνύουμε ότι: • Για κάθε x A∈ ισχύει η ανίσωση 0f (x) y≥ , • Υπάρχει 0x A∈ τέτοιο ώστε να ισχύει 0 0f (x ) y= .

Θέμα 55 Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο f (x) 1 x 2= − − . Λύση

1. Πρέπει f (x)∈— x 2 0⇔ − ≥ ⇔ , x 2≥ άρα fD [2, )= +∞ .

2. y 1 x 2 x 2 1 y= − − ⇔ − = − .

Tom Raik
Highlight
Μάθε το καλά γιατί θα σου χρειασθεί
Page 83: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 78 

Επειδή λοιπόν x 2 0− ≥ θα είναι και 1 y 0− ≥ . Οπότε έχουμε 2x 2 (1 y)− = − με y 1≤ ⇔ 2x 2 (1 y)= + − με y 2≤ .

3. fx D x 2∈ ⇔ ≥ ⇔ 2 22 (1 y) 2 (1 y) 0+ − ≥ ⇔ − ≥ , σχέση που ισχύει για κάθε y , άρα τελικά

ff (D ) ( , 1]= −∞ .

4. Συμπέρασμα: Η συνάρτηση f δεν έχει ελάχιστο, ενώ έχει μέγιστο με maxy 1= . Θέμα 56 Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο f (x) x 1= − αν 4 x 3− ≤ ≤ . Λύση Για κάθε 1 2x ,x [ 4, 3]∈ − με 1 2x x< ⇔ 1 2x 1 x 1− < − ⇔ 1 2f (x ) f (x )< , άρα η f είναι γνήσια αύξουσα στο A [ 4, 3]= − , οπότε [ ] [ ]f (A) f ( 4), f(3) 5, 2= − = − . Άρα miny 5= − και maxy 2= . Θέμα 57 Να μελετηθεί η συνάρτηση f με 2f (x) x 4x 3= − + , x∈— , ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Λύση

Έχουμε: 0

2 2

α=1>0 β 4x 2

2α 2 1β 4α=( 4) 4 1 3 4

⎧⎪ −⎪ = − = − =⎨ ⋅⎪Δ = − − − ⋅ ⋅ =⎪⎩

, άρα:

• η συνάρτηση είναι: γνήσια φθίνουσα στο ( ], 2−∞ και γνήσια αύξουσα στο [ )2, +∞ ,

• έχει σύνολο τιμών το [ )1, +∞

• για 0x 2= έχει ελάχιστο το min4y 1

4 1= − = −

⋅.

Θέμα 58

Αν 2x 1 10 x 0

f (x)x 1 0 x 10

⎧ + αν − ≤ ≤⎪= ⎨+ αν ≤ ≤⎪⎩

.

Να δείξετε ότι ο τύπος ορίζει συνάρτηση η οποία να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Λύση

Έστω 21f (x) x 1= + , [ ]1x A 10, 0∈ = − και 2f (x) x 1= + , [ ]2x A 0, 10∈ = .

Οι τύποι για κάθε x 0≠ ορίζουν συνάρτηση γιατί σε κάθε x αντιστοιχίζεται ένα μοναδικό y∈— . Θα πρέπει όμως για να ορίζεται τελικά συνάρτηση να ισχύει 1 2f (0) f (0)= .

Πράγματι 1f (0) 1= και 2f (0) 1= , οπότε ο τύπος 2x 1 10 x 0

f (x)x 1 0 x 10

⎧ + αν − ≤ ≤⎪= ⎨+ αν ≤ ≤⎪⎩

ορίζει συνάρτηση.

Η συνάρτηση 2y x 1= + έχει:

Page 84: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 79 

0

2

α=1>0 βx 0

2αβ 4α= 4 1 1 4

⎧⎪⎪ = − =⎨⎪Δ = − − ⋅ ⋅ = −⎪⎩

,

άρα είναι γνήσια φθίνουσα στο ( ], 0−∞ και γνήσια αύξουσα στο [ )0, +∞ , οπότε και ο

περιορισμός της στο [ ]1A 10, 0= − είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση, άρα

[ ] [ ]1 1f (A ) f (0), f(10) 1, 101= = .

Η συνάρτηση y x 1= + έχει πεδίο ορισμού το [ )1, +− ∞ και είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση γιατί για κάθε [ )1 2x , x 1, +∈ − ∞ με 1 2x x< ⇔

1 2x 1 x 1+ < + ⇔

1 2x 1 x 1+ < + ⇔

1 2f (x ) f (x )< , οπότε και ο περιορισμός της στο [ ]2A 0, 10= είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση,

άρα [ ]2 2f (A ) f (0), f(10) 1, 11⎡ ⎤= = ⎣ ⎦ .

Συμπέρασμα:

Η συνάρτηση 2x 1 10 x 0

f (x)x 1 0 x 10

⎧ + αν − ≤ ≤⎪= ⎨+ αν ≤ ≤⎪⎩

είναι:

• γνήσια φθίνουσα στο [ ]1A 10, 0= − και γνήσια αύξουσα στο [ ]2A 0, 10= , • έχει σύνολο τιμών το

[ ] [ ]f (A) 1, 101 1, 11 1, 101⎡ ⎤= ∪ =⎣ ⎦ ,

• έχει miny 1= και maxy 101= . Θέμα 59

Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο 2 xf (x)2 x+ ημ

=− ημ

.

Λύση

Αποδείξαμε στο λυμένο Θέμα 24 στη σελίδα 22 είναι το f1f (D ) ,33⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

, οπότε έχει min1y3

= και

maxy 3= . Θέμα 60

Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο 2

2

x 1f (x)x 5x 6

+=

− +.

Λύση Αποδείξαμε στο λυμένο Θέμα 23 στη σελίδα 21 είναι το ff (D ) ( , 14 2] [ 14 2, )= −∞ − − ∪ − + +∞ , οπότε δεν έχει ακρότατα.

Page 85: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 80 

y

5

2

1

-3 -2 -1 5 x

Θέμα 61 Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f με τύπο x 1f (x) e− −= , [ ]x 2, 101∈ Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι [ ]fA 2, 101= .

Έστω [ ]1 2 fx , x A 2, 101∈ = με 1 2x x< (1).

Από την (1) 1 2 1 2x 1 x x 1 x 1− < − ⇔ − − > − − (2).

Επειδή η συνάρτηση xy e= είναι γνήσια αύξουσα από την (2) έχουμε 1 2x 1 x 1e e− − − −> ⇔

1 2f (x ) f (x )< , επομένως η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο [ ]fA 2, 101= , άρα έχει 2 1

miny f (2) e e−= = = και 101 1 10maxy e e−= = .

Προτεινόμενες Ασκήσεις Μονοτονία συνάρτησης Θέμα 127

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες i. f (x) 1 x= − ii. f (x) 2ln(x 2) 1= − − iii. 1 xf (x) 3e 1−= + iv. 2f (x) (x 1) 1= − − , x 1≤ . Θέμα 128 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α, β] με α, β > 0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα [- β, - α]. Θέμα 129 Η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f φαίνεται στο σχήμα. Από αυτό να βρείτε: i. το πεδίο ορισμού της f, ii. το σύνολο τιμών της f, iii. το διάστημα και το είδος μονοτονίας της f, iv. τα ακρότατα της f, v. τον τύπο της f, αν είναι γνωστό ότι:

στο διάστημα [- 1, 0) είναι υπερβολή της μορφής αyx

=

και στο διάστημα [0, 2) είναι παραβολή της μορφής y = αx2.

Θέμα 130

i. Για κάθε α > 0, να δείξετε ότι 1 2α

α + ≥ .

ii. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης 1f (x) xx

= + με x > 0.

Page 86: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 81 

Θέμα 131 Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες παίρνουν θετικές τιμές

για κάθε x∈Δ και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες στο Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 1 1f g+ είναι

γνησίως φθίνουσα στο Δ. Θέμα 132 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως μονότονες και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες). i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα. ii. Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων fof και gog.

iii. Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης ( )f (x) ln ln x= , x > 1.

Θέμα 133

Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συνάρτηση f με f (x) 1 x= − ημ , x∈[0, 2π].

Θέμα 134 Έστω η συνάρτηση f(x)=x(x-2), x ∈ [0, 2]. i. Να αποδείξετε ότι f (x) ≤ 0 για κάθε x ∈ Df=[0, 2]. ii. Να αποδείξετε ότι f(x)=(x-1)2 -1 και στη συνέχεια να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το

διάστημα [ 1,0]− .

iii. Να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση της f.

v. Να βρείτε τις τιμές του x όταν y=0 και όταν 3y4

= .

Θέμα 135

i. Να λυθεί η εξίσωση eln xx

= , x 0> .

ii. Να λυθεί η ανίσωση eln xx

> , x 0> .

Θέμα 136 i. Να λυθεί η εξίσωση ln x 1 x= − . ii. Να λυθεί η ανίσωση ln x 1 x> − . Θέμα 137

i. Να λυθεί η εξίσωση xln x 2e x 1 2e+ + − = . ii. Να λυθεί η ανίσωση xln x 2e x 1 2e+ + − < . Θέμα 138

i. Να λυθεί η εξίσωση 10 x ln x 3− − = . ii. Να λυθεί η ανίσωση 10 x ln x 3− − < . Θέμα 139 Να λυθούν οι εξισώσεις: i. x ln x 1+ = , ii. 3x ln x 3+ = .

Page 87: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 82 

Θέμα 140 Να λυθούν οι εξισώσεις: i. x2 x 11+ = , ii. x x x6 8 10+ = . Θέμα 141

Αν 0 < α < β , να αποδειχθεί η ανισότητα: e e lnα β β− <

α.

Θέμα 142

Αν α < β , να αποδειχθεί η ανισότητα: e eβ αα −β < − . Θέμα 143

Αν 0 < α < β , να αποδειχθεί η ανισότητα: ln αβ − α >

β.

Θέμα 144

Αν 0 < α < β , να αποδειχθεί η ανισότητα: eβ−αα<

β.

Θέμα 145

Έστω η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e x= + . Να λυθεί η ανίσωση 2 2f (2x x 3) f (x 3x)− + < + . Θέμα 146

Έστω η συνάρτηση f με τύπο f (x) 4 x ln x= − − . Να λυθεί η ανίσωση f (3 x) f (6 2x)− < − . Θέμα 147

Έστω η συνάρτηση f με τύπο f (x) x ln x= + . Να λυθεί η ανίσωση 2f (x 1) f (4x 2)+ < − . Θέμα 148 Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο — και ισχύει f (x) 0> για κάθε x∈— , να

δειχθεί ότι η συνάρτηση με τύπο 2f (x) 3g(x)3f (x)

−= είναι γνήσια φθίνουσα στο — .

Θέμα 149 Δίνονται οι συναρτήσεις

x 5 3f (x) e x x x 1= + + + − και 3g(x) 2 x x ln x= − − − . i. Να αποδείξετε ότι είναι γνήσια μονότονες. ii. Να λυθούν οι ανισώσεις f (x) 0> και g(x) 0> . Θέμα 150 Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — και ισχύει 0 f (x) 1< < για κάθε x∈— , να

δειχθεί ότι η συνάρτηση g με τύπο 2

f (x)g(x)1 f (x)

=+

είναι γνήσια αύξουσα στο — .

Θέμα 151

i. Να λυθεί η ανίσωση x x x

x x5 3 4

x

3 4ln e e5

++< − .

ii. Να λυθεί η εξίσωση 2e ln(x e)x= −

Page 88: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 83 

Θέμα 152 Η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — και για κάθε x∈— ισχύει (f f f f f )(x) x= . Να δειχθεί ότι f (x) x= για κάθε x∈— . Θέμα 153

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e x 1= + − .

i. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση στο —.

ii. Δείξτε ότι f (0) 0= .

iii. Να μελετήσετε τη θέση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σε σχέση με τον άξονα των τετμημένων x x′ .

iv. Αφού πρώτα αποδείξετε ότι για κάθε x∈— ισχύει ότι 2x 2x 1≥ − , στη συνέχεια δείξτε ότι 2f (x ) f (2x 1) 0− − ≥ για κάθε x∈—.

Θέμα 154 Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο —. Αν υπάρχει πραγματικός αριθμός α τέτοιος ώστε να ισχύει f ( ) 0α = , να δειχθεί ότι f ( 3) f ( 4) 0α − ⋅ α + < . Θέμα 155 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f ,g,h που έχουν πεδίο ορισμού το —. Αν οι συναρτήσεις f και h είναι γνήσιες αύξουσες στο — και για κάθε x∈— ισχύει f (x) g(x) h(x)< < , δείξτε ότι: (f f )(x) (g g)(x) (h h)(x)< < για κάθε x∈— . Θέμα 156 Έστω η πραγματική συνάρτηση f που έχει πεδίο ορισμού το —. Αν για κάθε x∈— και για κάθε y 0> ισχύει f (x) f (x y)< + , δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα. Θέμα 157

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο xf (x) ( 1)x 2 1= α + α − − α + με 0 1< α ≠ . i. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. ii. Να λυθεί η εξίσωση f (x) 0= . Θέμα 158 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f ,g οι οποίες έχουν πεδίο ορισμού το —. Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — και ισχύει f (x) g(x)< για κάθε x∈— , να δειχθεί ότι είναι και (f f )(x) (g g)(x)< για κάθε x∈— . Θέμα 159 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f ,g οι οποίες έχουν πεδίο ορισμού το —. Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο — και ισχύει f (x) g(x)< για κάθε x∈— , να δειχθεί ότι είναι και (f g)(x) (g f )(x)< για κάθε x∈— . Θέμα 160 Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει γνήσια αύξουσα συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — για την οποία να ισχύει f (x) 2e x x= − για κάθε x 0< και η οποία να είναι γνήσια αύξουσα στο —. Θέμα 161 Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει γνήσια μονότονη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — για την οποία να ισχύει f (f (x)) x 0+ = για κάθε x∈— .

Page 89: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 84 

Θέμα 162 Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — και ισχύει f (x) 0> για κάθε x∈— , να δειχθεί

ότι η συνάρτηση g με τύπο f (x)g(x)1 f (x)

=+

είναι γνήσια αύξουσα στο — .

Ακρότατα συνάρτησης Θέμα 163 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους: i. f (x) 3x 1= − + , x [ 2, 2]∈ − . ii. 2g(x) 3x 12x 7= − + − . Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 164 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους: i. 2f (x) x 3x 2= − + .

ii. 2g(x) x 4x 8= − + . Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 165 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους:

i. ( )2f (x) ln 1 x 1= + + .

ii. x 4g(x)x 3+

=−

, x [ 2, 2] [4, 8]∈ − ∪ .

Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 166 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους: i. 2f (x) x 4 x 2= συν + συν − . ii. g(x) x 3 x 2= ημ − συν + , x [ , 4π]∈ −π . Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 167 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους:

i. x 1 1 x 2

f (x)2x 1 3 x 4+ αν − ≤ ≤⎧

= ⎨ − αν ≤ ≤⎩.

ii. 2

2

x 1 1 x 2g(x)

x x 1 2 x 4⎧ + αν − ≤ ≤

= ⎨+ − αν < ≤⎩

.

Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 168 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους:

Page 90: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 85 

i. 2

2

x x 1f (x)x x 1

− +=

+ +.

ii. 2

2

x 1g(x)x 2x 1

+=

+ +.

Να βρεθούν τα ακρότατα των συναρτήσεων καθώς και οι αντίστοιχες θέσεις που παρουσιάζονται αυτά. Θέμα 169

Έστω η συνάρτηση f με f (x) 1 x 4= λ − + + . Να βρεθούν οι τιμές του λ∈— αν miny 2= . Θέμα 170

Έστω η συνάρτηση f με 2f (x) x 1= λ − + . Να βρεθούν οι τιμές του λ∈— αν maxy 4= . Θέμα 171

Έστω η συνάρτηση f με 2

2

x x 1f (x)x x 1+ λ +

=+ μ +

.

Να βρεθούν οι τιμές των , μλ ∈— αν miny 2= και maxy 2= . Θέμα 172

Έστω η συνάρτηση f με 2

4xf (x)x

+ μ=

+ λ, 0λ > .

Να βρεθούν οι τιμές των , μλ ∈— αν miny 1= − και maxy 4= . Θέμα 173

Έστω η συνάρτηση f με 2

2

x xf (x)x 1+ λ + μ

=+

.

Να βρεθούν οι τιμές των , μλ ∈— αν min maxy y 0+ = .

Page 91: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 86 

Φύλλο εργασίας 1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Page 92: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 87 

9.

Page 93: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 88 

Προσοχή!

Μάθημα 5ον «Άρτια – Περιττή - Περιοδική»

Σκοπός και στόχος του μαθήματος 1. Να ξέρεις τους ορισμούς της άρτιας, της περιττής και της περιοδικής

συνάρτησης. 2. Να διακρίνεις από τη γραφική παράσταση αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή

περιττή. Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του. Άρτια Συνάρτηση Μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το μη κενό σύνολο Α ⊆ — καλείται άρτια, όταν για κάθε x A∈ ισχύει: • x A− ∈ και • f ( x) f (x)− = .

• Το πεδίο ορισμού κάθε άρτιας συνάρτησης είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το 0. Έτσι αποκλείεται, για παράδειγμα, να είναι ( 5, 7)Α = − ή ( 5, 5]Α = − ή ( , 1) (1, + )Α = −∞ ∪ ∞ κ.λ.π.

• Η γραφική παράσταση κάθε άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y′ . Για παράδειγμα άρτιες συναρτήσεις είναι:

Η συνάρτηση 2f (x) x= , α 0≠ , x∈— , γιατί: για κάθε x x∈ ⇒ − ∈— — και

2 2f ( x) (-x) x f (x)− = = = .

Η συνάρτηση 6 4 2f (x) x 3x x 1= + + + , x∈— γιατί: για κάθε x x∈ ⇒ − ∈— — και

6 4 2f ( x) ( x) 3( x) ( x) 1− = − + − + − + = . 6 4 2x 3x x 1 f (x)= + + + = .

Η συνάρτηση f (x) συνx= , x∈— γιατί:

για κάθε x x∈ ⇒ − ∈— — και f ( x) συν(-x) συνx f (x)− = = =

Περιττή Συνάρτηση Μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το μη κενό σύνολο Α ⊆ — καλείται άρτια, όταν για κάθε x A∈ ισχύει: • x A− ∈ και • f ( x) f (x)− = − .

Tom Raik
Highlight
να ξέρεις τον ορισμό και ότι η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον y΄y
Tom Raik
Highlight
να ξέρεις τον ορισμό και ότι η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Επίσης αν η συνάρτηση ορίζεται για x=0 τότε f(0)=0 που σημαίνει ότι η γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων
Page 94: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 89 

Προσοχή!

• Το πεδίο ορισμού κάθε περιττής συνάρτησης είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το 0. Έτσι αποκλείεται, για παράδειγμα, να είναι ( 5, 7)Α = − ή ( 5, 5]Α = − ή ( , 1) (1, + )Α = −∞ ∪ ∞ κ.λ.π.

• Η γραφική παράσταση κάθε περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων (0, 0) .

• Αν μια περιττή συνάρτηση ορίζεται στο x 0= , δηλαδή 0 A∈ , τότε f (0) 0= , δηλαδή η γραφική παράσταση κάθε περιττής συνάρτησης εφόσον ορίζεται στο x 0= , διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Για παράδειγμα περιττές συναρτήσεις είναι:

Η συνάρτηση 3f (x) x= , α 0≠ , x∈— , γιατί: για κάθε x x∈ ⇒ − ∈— — και

3 3f ( x) (-x) x f (x)− = = − = − .

Η συνάρτηση 5 3f (x) x 3x x= + + , x∈— γιατί: για κάθε x x∈ ⇒ − ∈— — και

5 3 5 3f ( x) ( x ) 3( x) ( x) x 3x x− = − + − + − = − − − = ( )5 3x 3x x f (x)= − + + = − .

Η συνάρτηση f (x) ημx= , x∈— γιατί: για κάθε x x∈ ⇒ − ∈— — και f ( x) ημx(-x) ημx f (x)− = = − = − .

Περιοδική Συνάρτηση

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α καλείται περιοδική, τότε και μόνον τότε, όταν υπάρχει σταθερός πραγματικός αριθμός T 0≠ τέτοιος ώστε να ισχύουν:

1. Για κάθε xŒA fi -xŒA

2. Να ισχύει f (x T) f (x T)− = + για κάθε xŒA. Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις f (x) ημx= και f (x) συνx= είναι περιοδικές με περίοδο T 2π= , ενώ η συνάρτηση f (x) εφx= είναι περιοδική με περίοδο T π= . Μέθοδοι

Α1. «Πως δείχνουμε ότι μια συνάρτηση είναι άρτια» Για να αποδείξουμε ότι μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το μη κενό σύνολο Α ⊆ —είναι άρτια, εργαζόμαστε ως εξής:

Αν γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης, τότε: • Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης και δείχνουμε ότι για κάθε x A∈ ⇔ x A− ∈ . • Δείχνουμε ότι για κάθε x A∈ ⇔ f ( x) f (x)− = .

Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, εξασφαλίζουμε ότι η γραφική

παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον y y′ .

Tom Raik
Highlight
μάθε τον ορισμό
Tom Raik
Highlight
μάθε τις βασικές περιόδους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Tom Raik
Highlight
μελέτησε και μάθε τα λυμένα θέματα
Page 95: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 90 

Α2. «Πως δείχνουμε ότι μια συνάρτηση είναι περιττή»

Για να αποδείξουμε ότι μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το μη κενό σύνολο Α ⊆ —είναι περιττή, εργαζόμαστε ως εξής:

Αν γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης, τότε: • Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης και δείχνουμε ότι για κάθε x A x A∈ ⇔ − ∈ . • Δείχνουμε ότι για κάθε x A∈ ⇔ f ( x) f (x)− = − . Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, εξασφαλίζουμε ότι η γραφική

παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων O(0, 0) . Θέμα 62 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με τύπο f (x) x 3x= + συν είναι άρτια. Λύση Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α=—, οπότε για κάθε x A x A∈ ⇔ − ∈ .

( )f ( x) x 3x x 3x f (x)− = − + συν − = + συν = , άρα άρτια. Θέμα 63 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με τύπο 3f (x) x 3x= + ημ είναι άρτια. Λύση Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α=—, οπότε για κάθε x A x A∈ ⇔ − ∈ .

( )3 3f ( x) ( x) ( 3x) x 3x f (x)− = − + ημ − = − + ημ = − , άρα περιττή. Θέμα 64 Να εξετάσετε ποια από τα ακόλουθα διαγράμματα είναι γραφική παράσταση είτε άρτιας είτε περιττής συνάρτησης. Α.

Β.

Γ.

Δ.

Λύση Α: άρτια, επειδή έχει άξονα συμμετρίας τον y y′ . Β: ούτε άρτια ούτε περιττή. Γ: περιττή, επειδή έχει κέντρο συμμετρίας το O(0, 0) . Δ: άρτια, επειδή έχει άξονα συμμετρίας τον y y′ .

Page 96: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 91 

Θέμα 65

Λύση

Θέμα 66

Λύση

Θέμα 67

Λύση

Page 97: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 92 

Θέμα 68

Λύση

Θέμα 69

Λύση

Προτεινόμενες Ασκήσεις Άρτιες και Περιττές συναρτήσεις Θέμα 174 Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις:

Page 98: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 93 

i. x

x

1 ef (x)1 e−

=+

,

ii. x x

x x

e ef (x)e e

+=

−,

iii. ( )2

2

ln 1 xf (x)

x 9 1

−=

− +,

iv. 2 2f (x) x 3x 2 x 3x 2= + + + − + ,

v. 2 2f (x) x 3x 2 x 3x 2= + + − − + . Θέμα 175 Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις:

i. 1 xf (x) ln1 x−

=+

,

ii.

2

2

2

2

x 2x 7 x 0x x 2f (x)

x 2x 7 x 0x x 2

⎧ − +αν ≤⎪⎪ + += ⎨

− +⎪ αν ≥⎪⎩ + +

,

iii. x x x x 0

f (x)x x x x 0− ημ συν αν ≤⎧

= ⎨ημ συν − αν ≥⎩,

iv. 3x 5 x 1

f (x)3x 5 x 1

− + αν < −⎧= ⎨− − αν >⎩

,

v. ( )2f (x) ln x 1 x= + + .

Θέμα 176 Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις:

i. 2

2

x 1 xf (x) lnx 1 x

+ −=

+ +, ii.

x xf (x)

x x+

=−

,

iii. x 1 x 1

f (x)x 1 x 1− − +

=− + +

, iv. x ( x)

2f (x)x 2 x 2

π⎛ ⎞συν − συν π −⎜ ⎟⎝ ⎠=

+ − −,

v. x 3 x x 3

f (x)x 3 x x 3− +

= + +− +

.

Θέμα 177 Να αποδειχθούν οι επόμενες προτάσεις: i. Το άθροισμα δυο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. ii. Το άθροισμα δυο περιττών συναρτήσεων είναι περιττή συνάρτηση. Θέμα 178 Να αποδειχθούν οι επόμενες προτάσεις: i. Το γινόμενο δυο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. ii. Το πηλίκο δυο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. iii. Το γινόμενο δυο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. v. Το πηλίκο δυο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. Θέμα 179 Να αποδειχθούν οι επόμενες προτάσεις: i. Το γινόμενο μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης είναι περιττή συνάρτηση. ii. Το πηλίκο μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης είναι περιττή συνάρτηση.

Page 99: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 94 

Θέμα 180 Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α που έχει την ιδιότητα: αν x A x A∈ ⇒ − ∈ . Να αποδειχθούν οι επόμενες προτάσεις: i. Η συνάρτηση [ ]g(x) f (x) f ( x)= κ + − , *κ∈— ,

ii. Η συνάρτηση [ ]h(x) f (x) f ( x)= κ + − , *κ∈— , iii. Κάθε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α που έχει την ιδιότητα: αν x A x A∈ ⇒ − ∈ ,

είναι άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. Θέμα 181 Να βρεθεί συνάρτηση που είναι ταυτόχρονα άρτια και περιττή. Θέμα 182 Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή η συνάρτηση f της οποίας το πεδίο ορισμού Α είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το 0 και για κάθε x A∈ ισχύει η σχέση: i. 3f (x) f ( x) 2 x+ − = ημ , ii. 5f (x) 2f ( x) 7 x+ − = συν , iii. 3 2xf (x) 2f ( x) x 2x x 2− − = − + − ,

v. x

x

e 1xf (x) (x 1)f ( x)e 1−

+ + − =+

.

Θέμα 183 Να εξετάσετε αν είναι άρτια ή περιττή η συνάρτηση f της οποίας το πεδίο ορισμού Α είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το 0 και για κάθε x, y A∈ ισχύει η σχέση: i. f (x y) f (x) f (y)− = − , ii. f (x y) f (x y)+ = − , iii. f (x y) f (x y) 2f (x)f (y)+ + − = , v. f (x y) f (x) f (y)⋅ = + , vi. 2 2f (x y) f (x y) f (x) f (y)+ ⋅ − = − ,

vii. f (x) f (y)f (x y)1 f (x) f (y)

++ =

− ⋅.

Θέμα 184

Θέμα 185

Page 100: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                       Σελίδα 95 

Φύλλο εργασίας 1.

2.

3.

4.

Page 101: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 96 

Μάθημα 7ον «Συνάρτηση "1-1" και αντίστροφη»

Σκοπός και στόχος του μαθήματος 1. Να ξέρεις τους ορισμούς της «1-1» συνάρτησης και να μην τους μπερδεύεις με τους

μαθηματικούς ορισμούς της συνάρτησης. 2. Να διακρίνεις από τη γραφική παράσταση όταν μια συνάρτηση είναι «1-1». 3. Να ξέρεις ότι μια γνήσια μονότονη συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ είναι και «1-1»,

χωρίς να ισχύει το αντίστροφο. 4. Να ξέρεις (όλους τους τρόπους) να αποδεικνύεις ότι μία πραγματική συνάρτηση f με

πεδίο ορισμού το Α είναι συνάρτηση «1-1». 5. Να ξέρεις να λύνεις εξισώσεις της μορφής f (g(x)) f (h(x))= . 6. Να ξέρεις να αποδεικνύεις πότε μια δίκλαδη συνάρτηση της μορφής

1 1

2 2

f (x) x Af (x)

f (x) x Aαν ∈⎧

= ⎨ αν ∈⎩ είναι «1-1».

7. Να ξέρεις να ορίζεις την αντίστροφη συνάρτηση, να βρίσκεις το πεδίο ορισμού της, το σύνολο τιμών της και τον τύπο της.

8. Να ξέρεις ότι οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις που είναι συμμετρικές καμπύλες ως προς την ευθεία y=x, δηλαδή τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

9. Να ξέρεις ότι η αντίστροφη συνάρτηση 1f − έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f. 10. Να ξέρεις την εκθετική και τη λογαριθμική συνάρτηση που είναι η μια αντίστροφη της

άλλης. 11. Να ξέρεις να βρίσκεις τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο αντίστροφων

συναρτήσεων. 12. Να ξέρεις τις τρεις περιπτώσεις «σύνθεσης και 1-1». Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του.

Page 102: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 97 

Προσοχή!

x

y

συνάρτηση 1-1

O

O x2 x1

B A

x

y

συνάρτηση όχι 1-1

Συνάρτηση «1-1»

Μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται συνάρτηση «1 1− » (ένα προς ένα), όταν:

για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με 1 2x x≠ συνεπάγεται ότι 1 2f (x ) f (x )≠ , δηλαδή «δυο οποιαδήποτε διαφορετικά πρότυπα 1 2x ,x A∈ έχουν πάντοτε διαφορετικές εικόνες, 1 2f (x ) f (x )≠ ».

Ισοδύναμος ορισμός

Μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται συνάρτηση «1 1− » (ένα προς ένα), όταν:

όταν για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= συνεπάγεται ότι 1 2x x= , δηλαδή «δυο οποιεσδήποτε ίσες εικόνες 1 2f (x ) f (x )= προέρχονται πάντοτε από ίσα πρότυπα, 1 2x x= ».

• Από το ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι 1 1− , αν και μόνο αν:

Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f (x) y= έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.

Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.

Μονοτονία και «1-1» Έστω μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Αν η f είναι γνήσια αύξουσα θα ισχύει:

για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με:

1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )< ή ισοδύναμα

1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )> , δηλαδή έχουμε για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με 1 2x x≠ συνεπάγεται ότι 1 2f (x ) f (x )≠ , άρα «1-1».

Tom Raik
Highlight
Μαθαίνουμε και τους δυο ορισμούς και δεν τους μπερδεύουμε με τους ορισμούς της συνάρτησης
Tom Raik
Highlight
πρόσεξε να ξεχωρίζεις από τη γραφική παράσταση αν μια συνάρτηση είναι 1-1 ή όχι
Page 103: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 98 

O x

y

y=g(x)

Προσοχή!

Αν η f είναι γνήσια φθίνουσα θα ισχύει:

για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με:

1 2x x< ισχύει 1 2f (x ) f (x )> ή ισοδύναμα

1 2x x> ισχύει 1 2f (x ) f (x )< , δηλαδή έχουμε για οποιαδήποτε 1 2x ,x A∈ με 1 2x x≠ συνεπάγεται ότι 1 2f (x ) f (x )≠ , άρα «1-1».

Επομένως,

αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε είναι συνάρτηση "1 1"− στο Α.

Έτσι, οι συναρτήσεις

1f (x) αx β= + , α 0≠ , 32f (x) αx= , α 0≠ ,

x3f (x) α= , 0 α 1< ≠ , 4 αf (x) log x= , 0 α 1< ≠ ,

είναι συναρτήσεις «1-1».

To το αντίστροφο της πρότασης δεν ισχύει, δηλαδή:

Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1 1− αλλά δεν είναι γνησίως

μονότονες, όπως για παράδειγμα η συνάρτηση x , x 0

g(x) 1 , x 0x

≤⎧⎪= ⎨

>⎪⎩

.

Μέθοδοι

«Πως δείχνουμε ότι μια συνάρτηση είναι «1-1»»

Α. Για να δείξουμε ότι μία πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι συνάρτηση «1-1» εφαρμόζουμε έναν από τους παρακάτω τρόπους:

• 1ος τρόπος (συνθετικά) Θεωρούμε δυο τυχαία στοιχεία 1 2 1 2x ,x A με x x∈ ≠ και με μία σειρά πράξεων δημιουργούμε τις παραστάσεις 1f (x ) και 2f (x ) δείχνοντας ταυτόχρονα ότι 1 2f (x ) f (x )≠ . • 2ος τρόπος Θεωρούμε δυο τυχαία στοιχεία 1 2x ,x A∈ με 1 2f(x ) f (x )= και δείχνουμε ότι η υπόθεση 1 2f(x ) f (x )= συνεπάγεται αποκλειστικά ότι 1 2x x= . Πολλές φορές ξεκινώντας από την σχέση 1 2f(x ) f (x )= καταλήγουμε σε μια σχέση της μορφής 1 2 1 2(x x ) h(x ,x ) 0− ⋅ = . Σε αυτή την περίπτωση πρέπει οπωσδήποτε να δείξουμε ότι 1 2h(x ,x ) 0≠ για να είναι 1 2x x= . • 3ος τρόπος Θεωρούμε ένα τυχαίο y∈— και δείχνουμε ότι η εξίσωση f (x) y= , με άγνωστο το x, έχει ακριβώς μία λύση στο Α. Συνήθως με αυτόν τον τρόπο ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με εκείνη της εύρεσης του συνόλου τιμών μιας πραγματικής συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α.

Tom Raik
Highlight
μάθε ότι αν μια συνάρτηση είναι (πρόσεξε) γνήσια μονότονη σε διάστημα τότε στο διάστημα αυτό είναι 1-1. Πρόσεξε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει
Tom Raik
Highlight
μαθαίνουμε τις τεχνικές
Page 104: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 99 

f (x2)

f (x1)

x2 x1 O x

y

x=

1 y

• 4ος τρόπος (γραφικά) Από την γραφική παράσταση της f και το σύνολο τιμών της f, δηλαδή για κάθε f (A)λ∈ η ευθεία y = λ τέμνει την γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο. • 5ος τρόπος (με τη μονοτονία) Δείχνουμε ότι η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι γνησίως μονότονη στο Α, άρα «1-1».

Β. Για να δείξουμε ότι μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α δεν είναι «1-1», συνήθως βρίσκουμε δύο ορισμένα 1 2 1 2x ,x A με x x∈ ≠ για τα οποία όμως ισχύει 1 2f(x ) f (x )= .

Γ. Αν μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι «1 1− », τότε και κάθε «περιορισμός» της στο 1A A⊆ είναι συνάρτηση «1 1− ». Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Μελέτησε τα λυμένα Θέματα. Θέμα 70

Έστω η συνάρτηση 1f (x)x

= . Να εξετασθεί αν είναι «1-1».

Λύση

Είναι x 0≠ , οπότε έχει πεδίο ορισμού το A ( , 0) (0, + )= −∞ ∪ ∞ .

Για κάθε 1 2x ,x 0≠ , με 1 2x x≠ συνεπάγεται 1 2

1 1x x

≠ οπότε τελικά

1 2f (x ) f (x )≠ . Άρα συνάρτηση 1f (x)x

= είναι συνάρτηση «1 1− » (ένα

προς ένα). Θέμα 71

Έστω η συνάρτηση f (x) x= α +β , με 0α ≠ . Να εξετασθεί αν είναι «1-1».

Λύση

Η f έχει πεδίο ορισμού το A = — .

Αν 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= , τότε έχουμε διαδοχικά:

1 2αx β αx β+ = + ⇒ 1 2αx αx= ⇒ 1 2x x= .

Άρα συνάρτηση f (x) x= α +β , με 0α ≠ είναι συνάρτηση «1 1− » (ένα προς ένα).

O x x2 x1

f (x1) f (x2)

a>0

y

O x

y

x2 x1

f (x2) f (x1)

α<0

Θέμα 72

Έστω η συνάρτηση f (x) β= . Να εξετασθεί αν είναι «1-1».

Λύση

Page 105: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 100 

−1 1

1

y=x2

O x

y

Η συνάρτηση f (x) β= δεν είναι συνάρτηση 1-1 αφού 1 2f (x ) f (x ) β= = για οποιαδήποτε 1 2x ,x ∈— . Θέμα 73

Έστω η συνάρτηση 2f (x) x= . Να εξετασθεί αν είναι «1-1».

Λύση

Η συνάρτηση 2f (x) x= δεν είναι συνάρτηση 1 1− , αφού f ( 1) f (1) 1− = = αν και είναι 1 1− ≠ . Θέμα 74

Δείξτε ότι η συνάρτηση f με 3f (x) 2x 1= + είναι «1-1».

Λύση

Η f έχει πεδίο ορισμού το A = — .

Αν 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= , τότε έχουμε διαδοχικά: 3 3 3 3 3 3

1 2 1 2 1 2 1 22x 1 2x 1 2x 2x x x x x+ = + ⇔ = ⇔ = ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1». Θέμα 75

Δείξτε ότι η συνάρτηση f με 3f (x) x x 1= + + είναι «1-1».

Λύση

Η f έχει πεδίο ορισμού το A = — .

Αν 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= , τότε έχουμε διαδοχικά:

3 3 3 31 1 2 2 1 1 2 2x x 1 x x 1 x x x x+ + = + + ⇔ + = + ⇔ ( ) ( )3 3

1 2 1 2x x x x 0− + − = ⇔

( ) ( ) ( )2 21 2 1 1 2 2 1 2x x x x x x x x 0− ⋅ + ⋅ + + − = ⇔ ( ) ( )2 2

1 2 1 1 2 2x x x x x x 1 0 (1)− ⋅ + ⋅ + + = ⇔

1 2

2 21 1 2 2

x x 0 (2) ήx x x x 1 0 (3)

− =

+ ⋅ + + =

.

Η (1) 1 2x x⇔ =

Η (2) αν θεωρηθεί δευτεροβάθμια εξίσωση με άγνωστο το 1x (αντίστοιχα το 2x ) έχει διακρίνουσα:

( )2 2 22 2 2x 4 x 1 3x 4 0− + = − − < , άρα αδύνατη.

Επομένως η (1) δίνει μοναδική λύση 1 2x x= , επομένως η συνάρτηση f είναι «1-1». Θέμα 76

Δείξτε ότι η συνάρτηση f με x 1f (x)x 1+

=−

είναι «1-1».

Λύση

O x

y

x2

β

x1

Page 106: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 101 

Η f έχει πεδίο ορισμού το ( ) ( )A , 1 1, += −∞ ∪ ∞ .

Αν 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= , τότε έχουμε διαδοχικά:

1 2

1 2

x 1 x 1x 1 x 1+ +

= ⇔− −

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1x 1 x 1 x 1 x 1+ ⋅ − = + ⋅ − ⇔

1 2 1 2 1 2 2 1x x x x 1 x x x x 1− + − = − + − ⇔

1 2 1 22x 2x x x− = − ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1».

Δ. Οι πράξεις «άθροισμα, γινόμενο, …» δυο πραγματικών συναρτήσεων f ,g με πεδίο ορισμού

το Α, οι οποίες είναι «1 1− », δεν είναι πάντοτε συνάρτηση «1-1».

Ε. Αν η συνάρτηση f είναι πολλαπλού τύπου τότε η f είναι «1 - 1», όταν: • Κάθε «κλάδος» της είναι «1-1». • Δείχνουμε ότι δεν υπάρχουν κοινά y για διαφορετικά x, ή ότι τα σύνολα τιμών των «κλάδων»

είναι ανά δυο «ξένα» σύνολα, δηλαδή δεν έχουν ανά δύο κοινά στοιχεία.

Έτσι για να δείξουμε ότι μια δίκλαδη συνάρτηση της μορφής 1 1

2 2

f (x) x Af (x)

f (x) x Aαν ∈⎧

= ⎨ αν ∈⎩ είναι

«1-1», εργαζόμαστε ως εξής:

• Δείχνουμε ότι για 1x A∈ ο κλάδος 1f (x) είναι συνάρτηση «1-1». • Δείχνουμε ότι για 2x A∈ ο κλάδος 2f (x) είναι συνάρτηση «1-1».

• Δείχνουμε ότι το σύστημα 1 1

2 2

y f (x) , x Ay f (x) , x A= ∈⎧

⎨ = ∈⎩ είναι αδύνατο ή ότι τα σύνολα τιμών των δυο

«κλάδων» είναι ανά δυο «ξένα» σύνολα, δηλαδή ότι ( ) ( )1 1 2 2f A f A∩ = ∅ . Μελέτησε το λυμένο Θέμα. Θέμα 77

Έστω η συνάρτηση f με τύπο 2

3x 1 , x 0f (x)

x 1 , x 1− ≤⎧

= ⎨ + ≥⎩. Να εξετασθεί αν είναι «1-1».

Λύση Έστω οι συναρτήσεις 1f (x) 3x 1= − , ( ]1x A , 0∈ = −∞ και

22f (x) x 1= + , [ )2x A 1, +∈ = ∞ .

Έχουμε ( ][ )

1 1

2 2

f (x) , x A , 0f (x)

f (x) , x A 1, +⎧ ∈ = −∞⎪= ⎨ ∈ = ∞⎪⎩

.

• Αν 1 2 1x ,x A∈ με:

1 2 1 2 1 2x x 3x 3x 3x 1 3x 1< ⇔ < ⇔ − < − ⇔

1 1 1 2f (x ) f (x )< , άρα η 1f είναι γνήσια αύξουσα στο 1A , οπότε η 1f είναι «1-1» στο 1A .

Page 107: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 102 

Επίσης, αφού η 1f είναι γνήσια αύξουσα στο 1A έχουμε για κάθε 1 1x 0 f (x) f (0)≤ ⇔ ≤ ⇔ 1f (x) 1≤ − .

• Αν 1 2 2x ,x A∈ με: 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2x x x x x 1 x 1< ⇔ < ⇔ + < + ⇔

2 1 2 2f (x ) f (x )< , άρα η 2f είναι γνήσια αύξουσα στο 2A , οπότε η 2f είναι «1-1» στο 2A .

Επίσης, αφού η 2f είναι γνήσια αύξουσα στο 2A έχουμε για κάθε 2 2x 1 f (x) f (1)≥ ⇔ ≥ ⇔ 2f (x) 2≥ .

• Οπότε το σύστημα 2

y 3x 1 , x 0y x 1 , x 1= − ≤⎧

⎨ = + ≥⎩ είναι ισοδύναμο με το

y 1 , x 0y 2 , x 1≤ − ≤⎧

⎨ ≥ ≥⎩ που είναι

αδύνατο, άρα τελικά η συνάρτηση f είναι «1-1) στο Α.

ΣΤ. Λύση εξίσωσης της μορφής ( ) ( )g h(x) g f (x)= . Για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής ( ) ( )g h(x) g f (x)= , h f gx A A και h(x), f(x) A∈ ∩ ∈ , η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με αλγεβρικές μεθόδους, θα εργαζόμαστε ως εξής: i. Δείχνουμε ότι η συνάρτηση g είναι 1-1. ii. Επειδή η συνάρτηση g είναι 1-1 συμπεραίνουμε ότι h(x) f (x)= , οπότε επιλύουμε αυτή. Μελέτησε το λυμένο θέμα. Θέμα 78

Να λυθεί η εξίσωση:

( ) ( )5 3x 1 x 1 x 1e x 3 e x 3 e x 0− − −+ − + + − + + = .

Λύση

( ) ( )5 3x 1 x 1 x 1e x 3 e x 3 e x 0− − −+ − + + − + + = ⇔

( ) ( )5 3x 1 x 1 x 1e x 3 e x 3 e x 3 3− − −+ − + + − + + − = − ⇔

( ) ( ) ( )5 3x 1 x 1 x 1e x 3 e x 3 e x 3 3 0− − −+ − + + − + + − + = (1).

Έστω η συνάρτηση 5 3f (x) x x x 3= + + + , x∈— .

Παρατηρούμε ότι: 5 3f ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 3 0− = − + − + − + = , οπότε f ( 1) 0− = (2).

Η σχέση (1) λόγω της (2) παίρνει τη μορφή ( )x 1f e x 3 f ( 1)− + − = − (3).

Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1, δείχνοντας ότι είναι γνήσια μονότονη.

Για κάθε 1 2x ,x ∈— με 1 2x x< (4) έχουμε: 5 5

1 2x x< (5) και 3 31 2x x< (6).

Page 108: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 103 

O x x

y=f (x)

y

f ( y) x− =1

−f 1

f f(A) A

y=f(x)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (4), (5), (6) έχουμε: 5 3 5 3

1 1 2 2 2 2x x x x x x+ + < + + ⇒ 5 3 5 31 1 2 2 2 2x x x 3 x x x 3+ + + < + + + ⇒

1 2f (x ) f (x )< , άρα γνήσια αύξουσα, οπότε και 1-1.

Από την (3) έχουμε:

( )x 1 x 1f e x 3 f ( 1) e x 3 1− −+ − = − ⇔ + − = − ⇔ ( )x 1e x 1 1− + − = (7).

Έστω η συνάρτηση x 1g(x) e x 1−= + − , x∈— .

Παρατηρούμε ότι: 0g(1) e 1 1 1= + − = (8).

Η σχέση (7) λόγω της (8) παίρνει τη μορφή ( )g x g(1)= (9).

Για κάθε 1 2x ,x ∈— με 1 2x x< έχουμε 1 2x 1 x 1− < − , οπότε και 1 2x 1 x 1e e− −< . Προσθέτοντας κατά μέλη τις έχουμε: 1 2x 1 x 1

1 2e x 1 e x 1− −+ − < + − ⇒ 1 2g(x ) g(x )< , άρα η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα, άρα 1-1, οπότε από την (9) έχουμε:

( )g x g(1) x 1= ⇔ = . Αντίστροφη Συνάρτηση

Έστω μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι 1 1− , τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, f (A) , της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει f (x) y= .

Επομένως ορίζεται μια νέα πραγματική συνάρτηση g

με πεδίο ορισμού το f (A) με την οποία κάθε y f (A)∈ αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x A∈ για το οποίο ισχύει f (x) y= .

Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι:

• έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f (A) της f,

• έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και

• ισχύει η ισοδυναμία: f (x) y g(y) x= ⇔ = .

Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το x στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y στο x και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με

1f − .

Επομένως έχουμε: 1f (x) y f (y) x−= ⇔ =

Tom Raik
Highlight
μαθαίνουμε τα πάντα για την αντίστροφη
Page 109: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 104 

Προσοχή!

οπότε:

1

1

f (f (x)) x , x A

f (f (y)) y , y f (A)

⎧ = ∈⎪ και⎨⎪ = ∈⎩

, δηλαδή

ισχύει ότι ( )

( )

1

1

f f (x) x , x A

f f (y) y , y f (A)

⎧ = ∈⎪⎪ και⎨⎪ = ∈⎪⎩

.

Γραφική παράσταση αντίστροφης συνάρτησης.

Έστω μία «ένα προς ένα» πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και σύνολο τιμών το f (A). Εφόσον η f είναι «ένα προς ένα» υπάρχει η 1f − και είναι και αυτή «ένα προς ένα» με πεδίο ορισμού το f (A) και σύνολο τιμών το Α.

Έστω C και C′ οι γραφικές τους παραστάσεις. Επειδή 1f (x) y f (y) x−= ⇔ = (1) σε κάθε σημείο (α, β) της γραφικής παράστασης C αντιστοιχεί ακριβώς ένα σημείο (β,α ) της

γραφικής παράστασης C′ και αυτό γιατί από την (1) έχουμε: f(α)=β, τότε 1f (β) α− = . Αυτό σημαίνει ότι το σημείο (β,α ) βρίσκεται στη

γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης 1f − , δηλαδή το ( , α)β είναι σημείο της C′ που παριστάνει γραφικά την 1f − . Τα σημεία όμως (α, β) και (β, α) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y x= , δηλαδή ως προς τη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων. Έτσι, αν κάποιο σημείο (α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση της f, τότε το συμμετρικό του σημείο (β, α)

ως προς την ευθεία με εξίσωση y=x ανήκει στη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης 1f − . Αλλά και αντίστροφα, αν ένα σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 1f − , τότε

το συμμετρικό του ως προς την ευθεία y=x ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

Επομένως: Οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις που είναι συμμετρικές καμπύλες ως προς την ευθεία y = x, δηλαδή τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

Αν μια πραγματική συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη, έχει πεδίο ορισμού το Α, σύνολο τιμών το f (A)

και είναι γνήσια μονότονη στο Α, τότε η αντίστροφη συνάρτηση 1f − είναι και αυτή γνήσια μονότονη στο f (A) και έχει με την f το ίδιο είδος μονοτονίας.

Στο σχήμα βλέπουμε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο Α και η 1f − είναι επίσης γνήσια αύξουσα στο f (A) .

Tom Raik
Highlight
μαθαίνουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις δυο αντιστρόφων συναρτήσεων είναι καμπύλες συμμετρικές ψς προς τη διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων (y=x)
Page 110: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 105 

y=ax

y

1

1 y=logax

O x

α>1

y=ax

y=logax

1

1

O x

y0<α<1

Η εκθετική συνάρτηση έχει για αντίστροφη συνάρτηση τη λογαριθμική.

Έστω η εκθετική συνάρτηση xf (x) = α . Όπως είναι γνωστό η συνάρτηση αυτή είναι 1 1− με πεδίο ορισμού το — και σύνολο τιμών το (0, )+∞ . Επομένως ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση 1f − της f. Η συνάρτηση αυτή, σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως,

• έχει πεδίο ορισμού το (0, )+∞

• έχει σύνολο τιμών το — και

• αντιστοιχίζει κάθε y (0, )∈ +∞ στο μοναδικό x∈— για το οποίο ισχύει x yα = .

Επειδή όμως x y x log yαα = ⇔ = θα είναι 1f (y) log y−α= . Επομένως, η αντίστροφη της

εκθετικής συνάρτησης xf (x) = α , 0 1< α ≠ , είναι η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log xα= .

Συνεπώς

x

log x

log x , xκαι

x , x (0, + )α

α⎧ α = ∈⎪⎨⎪ α = ∈ ∞⎩

.

Μέθοδοι

Α. «Πως βρίσκουμε την Αντίστροφη Συνάρτηση»

Για να προσδιορίσουμε την αντίστροφη ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνάρτηση «ένα προς ένα». (Αν δεν είναι «ένα προς ένα» δεν

υπάρχει η 1f − ) • Προσδιορίζουμε το σύνολο τιμών της f (A) , το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της 1f − . • Βρίσκουμε τον τύπο της, αν φυσικά αυτό είναι δυνατό, λύνοντας ως προς x τον τύπο της και

καταλήγουμε σε σχέση της μορφής 1x f (y)−= . • Επειδή συνηθίζεται η ανεξάρτητη μεταβλητή να συμβολίζεται με x και η εξαρτημένη με y,

κάνουμε αλλαγή στις μεταβλητές , θέτοντας όπου x το y και όπου y το x, οπότε προκύπτει ότι η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι η -1y f (x)= .

Σε πολλές περιπτώσεις, ενώ ξέρουμε ότι υπάρχει η 1f − δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της. Αυτό συμβαίνει γιατί η εξίσωση y f (x)= δεν μπορεί να λυθεί αλγεβρικά ως προς x, είναι όμως πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε ότι υπάρχει η αντίστροφη 1f − μιας συνάρτησης f, έστω και αν δεν έχουμε

Tom Raik
Highlight
μάθε ότι η μια είναι αντίστροφη της άλλης
Tom Raik
Highlight
μελέτησε και μάθε όλες τις περιπτώσεις
Page 111: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 106 

τον τύπο της. Έτσι, μπορούμε π.χ. να γράψουμε 1f (f (x)) x, x A− = ∈ , αν είναι γνωστό ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση 1f − . Μελέτησε τα λυμένα Θέματα. Θέμα 79 Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f με x 1f (x) e += . Λύση Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = — .

Αν 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= , τότε έχουμε διαδοχικά: 1 2x 1 x 1

1 2 1 2e e x 1 x 1 x x+ += ⇔ + = + ⇔ = , επομένως η συνάρτηση f είναι «1-1», οπότε αντιστρέψιμη. Έχουμε x 1y e += , x∈— . Επειδή x 1e 0+ > , έχουμε και y 0> (1), οπότε:

( )x 1ln y ln e ln y x 1 x ln y 1+= ⇔ = + ⇔ = − (2). Κάνοντας αλλαγή των μεταβλητών στις σχέσεις (1) και (2) έχουμε: y ln x 1= − , x 0> , άρα 1f (x) ln x 1− = − , x 0> . Θέμα 80

Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f με x 1f (x)x 1−

=+

Λύση Έχουμε, x 1 0 x 1+ ≠ ⇔ ≠ − . Επομένως το πεδίο ορισμού της f είναι το ( ) ( )A , -1 1, += −∞ ∪ − ∞ .

Αν 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= , τότε έχουμε διαδοχικά:

1 2

1 2

x 1 x 1x 1 x 1− −

= ⇔+ +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1x 1 x 1 x 1 x 1+ ⋅ − = + ⋅ − ⇔

1 2 1 2 1 2 2 1x x x x 1 x x x x 1− + − = − + − ⇔

1 2 1 22x 2x x x− = − ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1», οπότε αντιστρέψιμη. x 1y f (x) y y (x 1) x 1x 1−

= ⇔ = ⇔ ⋅ + = − ⇔+

yx y x 1 yx x 1 y x(y 1) 1 y⇔ + = − ⇔ − = − − ⇔ − = − − (1). Αν y 1 0 y 1− = ⇔ = , από την (1) έχουμε: 0 x 2⋅ = − , αδύνατο, οπότε από την (1) έχουμε:

1 yxy 1− −

=−

με y 1≠ (2).

Με αλλαγή των μεταβλητών στις σχέσεις (2) έχουμε: 1 xyx 1− −

=−

με x 1≠ , άρα 1 1 xf (x)x 1

− − −=

− με

x 1≠ . Θέμα 81 Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f με τύπο ( )xf (x) ln e 1= + . Λύση Είναι xe 1 0+ > για κάθε x∈— , A = — .

Page 112: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 107 

Αν 1 2x ,x A∈ με 1 2f (x ) f (x )= , τότε έχουμε διαδοχικά:

( ) ( )1 2 1 2x x x xln e 1 ln e 1 e 1 e 1+ = + ⇔ + = + ⇔ 1 2x x1 2e e x x= ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1»,

οπότε αντιστρέψιμη. ( )x y x x yy f (x) y ln e 1 e e 1 e e 1= ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = − (1).

Επειδή το πρώτο μέλος της (1) είναι xe 0> ⇔ y y y 0e 1 0 e 1 e e y 0− > ⇔ > ⇔ > ⇔ > , οπότε λύνοντας την (1) ως προς x, έχουμε ( )yx ln e 1= − , με

y 0> (2). Κάνοντας αλλαγή των μεταβλητών στις σχέσεις (2) έχουμε: ( )xy ln e 1= − , με x 0> ,

άρα ( )1 xf (x) ln e 1− = − , με x 0> . Θέμα 82

Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f με τύπο 2

3x 1 , x 0f (x)

x 1 , x 1− ≤⎧

= ⎨ + ≥⎩.

Λύση Δείξαμε στο θέμα 65 ότι η συνάρτηση είναι «1-1». Έστω οι συναρτήσεις 1f (x) 3x 1= − , ( ]1x A , 0∈ = −∞ και

22f (x) x 1= + , [ )2x A 1, +∈ = ∞ .

Έχουμε ( ][ )

1 1

2 2

f (x) , x A , 0f (x)

f (x) , x A 1, +⎧ ∈ = −∞⎪= ⎨ ∈ = ∞⎪⎩

.

• Αν 1 2 1x ,x A∈ με:

1 2 1 2 1 2x x 3x 3x 3x 1 3x 1< ⇔ < ⇔ − < − ⇔

1 1 1 2f (x ) f (x )< , άρα η 1f είναι γνήσια αύξουσα στο 1A , οπότε η 1f είναι «1-1» στο 1A .

Επίσης, αφού η 1f είναι γνήσια αύξουσα στο 1A έχουμε για κάθε 1 1x 0 f (x) f (0)≤ ⇔ ≤ ⇔ 1f (x) 1≤ − .

• Αν 1 2 2x ,x A∈ με: 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2x x x x x 1 x 1< ⇔ < ⇔ + < + ⇔

2 1 2 2f (x ) f (x )< , άρα η 2f είναι γνήσια αύξουσα στο 2A , οπότε η 2f είναι «1-1» στο 2A .

Επίσης, αφού η 2f είναι γνήσια αύξουσα στο 2A έχουμε για κάθε 2 2x 1 f (x) f (1)≥ ⇔ ≥ ⇔ 2f (x) 2≥ .

• Οπότε το σύστημα 2

y 3x 1 , x 0y x 1 , x 1= − ≤⎧

⎨ = + ≥⎩ είναι ισοδύναμο με το

y 1 , x 0y 2 , x 1≤ − ≤⎧

⎨ ≥ ≥⎩ που είναι

αδύνατο, άρα τελικά η συνάρτηση f είναι «1-1) στο Α.

Θέμα 83 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το —. Αν για κάθε x∈— ισχύει ότι

3f (x) f (x) x 0+ − = , τότε: i. Να δειχθεί ότι η f είναι «1-1». ii. Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f.

Page 113: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 108 

Λύση i. Έστω 1 2x ,x ∈— με 1 2f (x ) f (x )= (1) , οπότε και

3 31 2f (x ) f (x )= (2).

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) οπότε: 3 3

1 1 2 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )+ = + (3). Έχουμε ότι:

31 1 1f (x ) f (x ) x 0+ − = (4) και 3

2 2 2f (x ) f (x ) x 0+ − = (5). Από την (4) 3

1 1 1x f (x ) f (x )⇔ = + (6) Από την (5) 3

2 2 2x f (x ) f (x )⇔ = + (7) Από (6) και (7) λόγω της (3) έχουμε 1 2x x= , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1», οπότε υπάρχει 1f − . ii. Αν θέσουμε y f (x)= , έχουμε:

3 3f (x) f (x) x 0 y y x 0+ − = ⇔ + − = ⇔ 3 2x y y x y(y 1)= + ⇔ = + (8). Επειδή x∈— από την (8) έχουμε: 2y(y 1) y+ ∈ ⇔ ∈— — (9).

Κάνοντας αλλαγή στις μεταβλητές στις (8) και (9) έχουμε: 2y x(x 1)= + , x∈— , άρα 1 2f (x) x(x 1)− = + , x∈— .

Θέμα 84 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το —. Αν για κάθε x∈— ισχύει ότι

3 xf (x) f (x) e 0+ − = , τότε: i. Να δειχθεί ότι η f είναι «1-1». ii. Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f. Λύση i. Αν 1 2x ,x ∈— με 1 2f (x ) f (x )= (1), είναι και 3 3

1 2f (x ) f (x )= (2). Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1)

και (2) οπότε: 3 31 1 2 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )+ = + (3).

Έχουμε ότι: 1x31 1f (x ) f (x ) e 0+ − = (4) και 2x3

2 2f (x ) f (x ) e 0+ − = (5). Από την (4) 1x 3

1 1e f (x ) f (x )⇔ = + (6) Από την (5) 2x 3

2 2e f (x ) f (x )⇔ = + (7) Από (6) και (7) λόγω της (3) έχουμε:

1 2x x1 2e e x x= ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι «1-1».

ii. Αν θέσουμε y f (x)= , έχουμε: 3 x 3 xf (x) f (x) e 0 y y e 0+ − = ⇔ + − = ⇔ x 3 x 2e y y e y(y 1)= + ⇔ = + (8).

Επειδή xe 0> από την (8) έχουμε 2y(y 1) 0 y 0+ > ⇔ > . Λύνουμε την (8) ως προς x οπότε: ( ) ( ) ( )x 2 2ln e ln y(y 1) x ln y(y 1)= + ⇔ = + , y 0> (9).

Κάνοντας αλλαγή στις μεταβλητές στις σχέσεις (9) έχουμε: ( )1 2f (x) ln x(x 1)− = + , x 0> .

Page 114: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 109 

Β. Κοινά σημεία των fC και 1fC −

Οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινά σημεία, αν, και μόνο αν, το ακόλουθο σύστημα έχει λύση.

1

y f (x) , x A (S)

y f (x) , x f(A)−

= ∈⎧⇔⎨ = ∈⎩

1

1f (x) f (x) , x A

(S )y f (x) , x f(A)

−⎧ = ∈⎨

= ∈⎩ ή

1

21

f (x) f (x) , x A(S )

y f (x) , x f(A)

⎧ = ∈⎨

= ∈⎩

Τα συστήματα (S1) και (S2) είναι πολλές φορές αρκετά δύσκολο να λυθούν, επειδή η εξίσωση 1f (x) f (x)−= είναι δύσκολη ή ακόμη δεν λύνεται. Στη περίπτωση αυτή εργαζόμαστε ως εξής:

1

y f (x) , x A (S)

y f (x) , x f(A)−

= ∈⎧⇔⎨ = ∈⎩

1

y f (x) , x Af (y) f (f (x)) , y A−

= ∈⎧⇔⎨ = ∈⎩

y f (x) (1) , x Ax f (y) (2) , y A= ∈⎧

⎨ = ∈⎩.

Το τελευταίο σύστημα το επιλύουμε αφαιρώντας αρχικά κατά μέλη τις δυο εξισώσεις (1) και (2), οπότε καταλήγουμε σε εξίσωση της μορφής

y x x, y A (3)(y x) g(x,y) 0

g(x,y) 0 x,y A (4)

= ∈⎧⎪− ⋅ = ⇔ ⎨⎪ = ∈⎩

ή .

Στη συνέχεια επιλύουμε τα δυο συστήματα που προκύπτουν και τα οποία έχουν τη μορφή:

4

y f (x) , x,y A (S )

y x= ∈⎧

⎨ =⎩ και

5

y f (x) , x,y A (S )

g(x, y) 0= ∈⎧

⎨ =⎩.

Μελέτησε τα λυμένα Θέματα. Θέμα 85 Έστω η συνάρτηση f με 3f (x) x x 1= + + . i. Να δείξετε ότι είναι αντιστρέψιμη. ii. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων fC και 1f

C − . Λύση Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = — . Δείξαμε στο θέμα 63 ότι η f είναι «1-1».

Έχουμε: ( )

( )3

3

xx και x x 1 y

x 1

⎧ ∈⎪∈ ⇔ ⇔ + + ∈ ⇔ ∈⎨⎪ + ∈⎩

— — —

,

άρα το σύνολο τιμών της f είναι το f (A) = — .

Tom Raik
Highlight
μελέτησέ το καλά
Page 115: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 110 

Συμπέρασμα: Υπάρχει η 1f − και ορίζεται στο f (A) = — . Πρόσεξε!!! Αν θέσουμε y f (x)= , έχουμε:

3 3f (x) x x 1 y x x 1= + + ⇔ = + + , x∈— και y∈— . 3y x x 1= + + , x∈— και y∈— (*).

Η σχέση 3y x x 1= + + δεν είναι δυνατόν με αλγεβρικές μεθόδους να λυθεί ως προς x, άρα δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της 1f − , οπότε δεν μπορούμε να επιλύσουμε την εξίσωση 1f (x) f (x)−= . Κάνοντας αλλαγή των μεταβλητών στις σχέσεις (*) έχουμε: 3x y y 1= + + , x∈— και y∈— . Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινά σημεία, αν, και μόνο αν, το ακόλουθο σύστημα (S) έχει λύση.

(S): 3

3

y x x 1 , x A (1)x y y 1 , x f (A) (2)

⎧ = + + ∈ =⎨

= + + ∈ =⎩

—.

Αφαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (1) και (2), έχουμε: ( ) ( )3 3y x x x 1 y y 1− = + + − + + ⇔

( ) ( )3 3y x x y x y− = − + − ⇔

( ) ( ) ( )2 2y x x y x xy y x y− = − + + + − ⇔

( ) ( )2 2y x x y x xy y 1− = − + + + ⇔

( ) ( ) ( )2 2y x x y x xy y 1 0− − − + + + = ⇔

( ) ( ) ( )2 2y x y x x xy y 1 0− + − + + + = ⇔

( ) ( )2 2y x x xy y 2 0− + + + = ⇔2 2

y x 0 (3)

x xy y 2 0 (4)

− =⎧⎪⎨⎪ + + + =⎩

ή

Στη συνέχεια επιλύουμε τα δυο συστήματα που προκύπτουν και τα οποία έχουν τη μορφή: 3

1

y x x 1 , x (S )

y x , y⎧ = + + ∈⎨

= ∈⎩

— και

3

22 2

y x x 1 , x (S )

x xy y 2 0 , x⎧ = + + ∈⎨

+ + + = ∈⎩

—.

Το (S1):

3 x 1x x x 1 , x

y 1y x , y= −⎧ = + + ∈ ⎧

⇔⎨ ⎨ = −= ∈ ⎩⎩

—.

Το (S2) είναι αδύνατο, γιατί η 2 2x xy y 2 0 + + + = , αν θεωρηθεί εξίσωση ως προς x, έχει διακρίνουσα 2 2 2y 4(y 2) 3y 8 0Δ = − + = − − < .

Άρα το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων fC και 1f

C − είναι το ( 1, 1)− − . Θέμα 86 Αν f μια αντιστρέψιμη πραγματική συνάρτηση στο A , τότε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f(C ) και 1f

(C )− των συναρτήσεων f και 1f − , εφόσον υπάρχουν, είναι:

Page 116: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 111 

• ή σημεία που ανήκουν στην ευθεία εξίσωση y x= , • ή σημεία συμμετρικά ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία y x= . Απόδειξη Έστω ότι οι γραφικές παραστάσεις f(C ) και 1f

(C )− των συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινό το σημείο 1 2M(x ,x ) . Αφού 1 2 f(x ,x ) C∈ , θα είναι 2 1x f (x )= (1) και αφού 11 2 f

(x ,x ) C −∈ , θα είναι 12 1x f (x )−= ⇔

1 2x f (x )= (2). Το ζεύγος 2 1 f(x ,x ) C∈ γιατί λόγω της (2) είναι 2 1f (x ) x= . Το ίδιο ζεύγος 12 1 f

(x , x ) C −∈ γιατί λόγω

της (1) 2 1x f (x )= 11 2x f (x )−⇔ = .

Άρα όταν οι γραφικές παραστάσεις f(C ) και 1f

(C )− των συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινό το σημείο 1 2M(x ,x ) , τότε έχουν κοινό και το σημείο 2 1N(x ,x ) .

• Αν 1 2x x= τότε 1 1 1 1M(x ,x ) N(x ,x )≡ , οπότε το κοινό τους σημείο βρίσκεται στην ευθεία y x= που είναι η διχοτόμος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

• Αν 1 2x x≠ τότε οι γραφικές παραστάσεις f(C ) και 1f(C )− των συναρτήσεων f και 1f − όταν

έχουν κοινό το σημείο 1 2M(x ,x ) , έχουν κοινό και το σημείο 2 1N(x ,x ) , που σημαίνει ότι τα κοινά σημεία τους είναι συμμετρικά σημεία ως προς την ευθεία με εξίσωση y x= που είναι η διχοτόμος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

Θέμα 87 Έστω f μια αντιστρέψιμη πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α. Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα, τότε οι εξισώσεις 1f (x) f (x)− = και f (x) x= , x A f(A)∈ ∩ είναι ισοδύναμες. Απόδειξη Η απόδειξη του θέματος θα γίνει με την εξής τεχνική: Θα δείξουμε ότι

κάθε ρίζα της εξίσωσης 1f (x) f (x)− = x A f(A)∈ ∩ είναι και ρίζα της εξίσωσης f (x) x= , και αντίστροφα

κάθε ρίζα της εξίσωσης f (x) x= , x A f(A)∈ ∩ είναι και ρίζα της εξίσωσης 1f (x) f (x)− = . • Έστω 0x A f(A)∈ ∩ μια ρίζα της εξίσωσης 1f (x) f (x)− = , άρα

10 0f (x ) f (x )− = ⇒ ( ) ( )1

0 0f f (x ) f f (x )− = ⇒ ( )0 0x f f (x )= (1).

Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι το 0x είναι ρίζα και της εξίσωσης f (x) x= , δηλαδή θα δείξουμε ότι 0 0f (x ) x= . Έστω ότι 0 0f (x ) x≠ .

Αν ( )(1)

0 0 0 0 0 0f (x ) x f f (x ) f (x ) x f (x )< ⇒ < ⇒ < , άτοπο.

Αν ( )(1)

0 0 0 0 0 0f (x ) x f f (x ) f (x ) x f (x )> ⇒ > ⇒ > , άτοπο. Άρα 0 0f (x ) x=

Page 117: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 112 

Προσοχή!

• Έστω 0x A f(A)∈ ∩ μια ρίζα της εξίσωσης f (x) x= , άρα:

(2)1 1

0 0 0 0 0 0f (x ) x (2) x f (x ) f (x ) f (x )− −= ⇒ = ⇒ = , οπότε το 0x είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης 1f (x) f (x)− = .

Γνωρίζουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινά σημεία, αν, και μόνο αν, το ακόλουθο σύστημα έχει λύση.

1

y f (x) , x Ay f (x) , x f(A)−

= ∈⎧⇔⎨ = ∈⎩

1f (x) f (x) , x A

y f (x) , x f(A)

−⎧ = ∈⎨

= ∈⎩.

Αν λοιπόν η f είναι γνήσια αύξουσα, το σύστημα αυτό λόγω του Β είναι ισοδύναμο με το:

f (x) x , x Ay f (x) , x f(A)

= ∈⎧⎨ = ∈⎩

ή 1

f (x) x , x Ay f (x) , x f(A)−

= ∈⎧⎨ = ∈⎩

.

Συμπέρασμα: Αν μια συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα (και μόνο) για να βρούμε τα κοινά σημεία των f(C ) και 1f

(C )− αρκεί να λύσουμε ένα από τα συστήματα:

y x , x Ay f (x) , x f(A)

= ∈⎧⎨ = ∈⎩

ή 1

y x , x Ay f (x) , x f(A)−

= ∈⎧⎨ = ∈⎩

.

Σύνθεση και «1-1»

Θέμα 88 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ . «Αν η συνάρτηση f είναι «1-1» στο Α και η συνάρτηση g είναι «1-1» στο f (A) τότε η g f είναι «1-1» στο D». Απόδειξη Έστω 1 2x ,x D∈ με

( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔

( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔ (επειδή g «1-1»)

1 2f (x ) f (x )= ⇔ (επειδή f «1-1»)

1 2x x= , άρα η g f είναι «1-1» στο D. Θέμα 89 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ . «Αν η συνάρτηση g f είναι «1-1» στο D τότε η f είναι «1 1− » στο Α. Απόδειξη

Tom Raik
Highlight
δεν το λέει το σχολικό βιβλίο, άρα για να το χρησιμοποιήσεις πρέπει να το αποδείξεις
Tom Raik
Highlight
θα μάθεις και τις τρεις περιπτώσεις
Page 118: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 113 

Έστω 1 2x ,x A∈ με

1 2f (x ) f (x )= (επειδή g συνάρτηση έχουμε) ( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔ ( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔ (επειδή g f «1-1»)

1 2x x= , άρα η f είναι «1-1» στο Α. Θέμα 90 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ . «Αν η συνάρτηση g f είναι «1-1» στο D τότε η g είναι «1 1− » στο f (A)∩B. Απόδειξη Έστω 1 2y ,y f (A) B∈ ∩ με 1 2g(y ) g(y )= (1). Επειδή 1 2y ,y f (A) B∈ ∩ , υπάρχουν 1 2x ,x A∈ τέτοια ώστε να είναι 1 1y f (x )= και 2 2y f (x )= , οπότε η (1) γίνεται:

( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔ ( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )= ⇔ (επειδή g f «1-1»)

1 2x x= , άρα η g είναι «1-1» στο f (A) B∩ . Προτεινόμενες ασκήσεις Συνάρτηση «1-1» Θέμα 186 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− . i. f (x) 3x 2= − ii. f (x) ln(1 x)= − iii. 2f (x) x 1= + vi. xf (x) e 1−= + Θέμα 187 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− .

i. f (x) (x 1)(x 2) 1= − − + ii. x

x

e 1f (x)e 1−

=+

iii. 3f (x) 1 x= − iv. f (x) | x 1 |= − Θέμα 188 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− .

i. x 1f (x) lnx 1−

=+

ii. f (x) 2 x 1= + +

iii. 2x 1f (x)

x 1+

=+

vi. 1 1 x

xf (x) 1 e+ −

= −

Θέμα 189 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− . i. f (x) x 1 ln x= − + ii. ( ) x 1f (x) ln x 1 e x 1−= − + + −

iii. 3f (x) x 1 x= + + vi. f (x) x x= − συν , x [0, π]∈ Θέμα 190 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− . i. 3f (x) x 7x= − , ii. 2f (x) ln x x 1= + συν +

iii. 2x xf (x) e −= , vi. 2f (x) x x= − .

Page 119: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 114 

Θέμα 191 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι "1 1"− .

i. 3x 2 1 x 2

f (x)5x 2 2 x 4

+ αν − ≤ ≤⎧= ⎨ − αν ≤ ≤⎩

ii. xe x x 0

f (x)x x x 0

⎧ − αν <⎪= ⎨− αν ≥⎪⎩

iii. x 1e 1 x 1

f (x)ln x x 1

−⎧ − αν >= ⎨

αν ≤⎩

Θέμα 192 Αν για τη συνάρτηση f ισχύει για κάθε x∈— ότι f (f (x)) x f (x)= + , να δειχθεί ότι είναι 1-1. Θέμα 193 Αν για τη συνάρτηση f ισχύει για κάθε x∈— ότι f (f (x)) 3x 2f (x)= + , να δειχθεί ότι είναι 1-1. Θέμα 194 Αν η συνάρτηση f είναι 1-1 και για τη συνάρτηση g ισχύει για κάθε x∈— ότι

3g(x) f (x) f (x) 1= + + , τότε: α. Να δειχθεί ότι συνάρτηση g είναι 1-1. β. Να βρεθεί ο αριθμός κ∈— όταν για κάθε x∈— ισχύει ότι: g(3 x) g(x 2) g( x 1)− ⋅ − = κ + .

Θέμα 195

Αν υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε να ισχύει x 1f (f (x))x 1+

=−

, για κάθε x {1}∈ −— , να δειχθεί

ότι η συνάρτηση f είναι 1-1. Θέμα 196 Αν υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε για κάθε x 0≥ να ισχύει f (x) 0> και f (f (x)) x xf (x),= + να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι 1-1. Θέμα 197 Αν υπάρχει συνάρτηση f η οποία να είναι 1-1 και τέτοια ώστε για κάθε x∈— να ισχύει (f f )(x 1) f (2x 3)− = − , να δειχθεί ότι f (x) 2x 1= − . Θέμα 198

Θεωρούμε τη πραγματική συνάρτηση f με τύπο 5f (x) x x 1= + − . Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1. Θέμα 199

Θεωρούμε τη πραγματική συνάρτηση f με τύπο 2

2x 1f (x)x 1

+=

+

α. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) = λ , για τις διάφορες τιμές του λ∈— . β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι 1-1. γ. Να βρείτε το σύνολο των τιμών της f. Θέμα 200 Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το —, τέτοια ώστε να ισχύει:

2 3f (x) f (x) 1 x+ + = για κάθε x∈— . Να δείξετε ότι είναι «1 – 1». Αντίστροφη συνάρτηση Θέμα 201

Δίνεται η συνάρτηση x 2f (x) 3e 5−= − . Να δειχτεί ότι η f είναι «1 – 1» και να ορισθεί η 1f − .

Page 120: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 115 

Θέμα 202

Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) 1 x 2= − − . Να δειχτεί ότι η f είναι «1 – 1» και να ορισθεί η 1f − . Θέμα 203

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: x

x

3f (x)1 3

=+

. Να δειχτεί ότι η f είναι «1 – 1» και να ορισθεί η 1f − .

Θέμα 204 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x) 1 3 x= − − . α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β. Να λυθεί η εξίσωση: 1f (x) f (x)− = . Θέμα 205

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: 1 xf (x) ln1 x+

=−

. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να

βρείτε την 1f − . Θέμα 206 Δίνεται η συνάρτηση x 2f (x) 3e 5−= − . Να δειχτεί ότι η f είναι «1 – 1» και να ορισθεί η 1f − . Θέμα 207 Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) 1 x 2= − − . α. Να δειχτεί ότι η f είναι 1 – 1. β. Να ορισθεί η 1f − . Θέμα 208

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: 2 x 13x 1 ,

f (x)x 13x 2 ,

αν ≥⎧ += ⎨ αν <−⎩

.

α. Να δειχτεί ότι η f είναι 1 – 1 β. Να ορισθεί η 1f − . Θέμα 209 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:

x x 3f (x)

x 3 2 x 3+ α αν ≤⎧

= ⎨α + − α αν >⎩.

α. Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου α∈R, ώστε η συνάρτηση f να είναι 1 – 1. β. Στη συνέχεια να ορισθεί η 1f − . Θέμα 210 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x) 1 x 3= − − . α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β. Να λυθεί η εξίσωση 1f (x) f (x)− = . Θέμα 211 Δίνεται η συνάρτηση 3 3f (x) x x= + − α , α∈—. i. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. ii. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των fC και 1f

C − . Θέμα 212

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 1 xf (x) ln1 x−

=+

. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί

η 1f − .

Page 121: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 116 

Θέμα 213 Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το —, έχει την ιδιότητα (f f )(x) f (x) x= + , για κάθε x∈— . Δείξτε ότι: α. Η f(x) είναι αντιστρέψιμη, β. f (0) 0= , γ. 1f (x) f (x) x− = − . Θέμα 214 Δίνεται η πραγματική συνάρτηση f , τέτοια ώστε να ισχύει: 32f (x) f ( x) x x+ − = + για κάθε x∈—. α. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. β. Να βρείτε τον τύπο της f. γ. Να δείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξουσα στο —. δ. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη. ε. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1f − . Θέμα 215

Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g με f (x) 1 ln x= − και x

x

eg(x)e 1

=+

.

i. Δείξτε ότι είναι αντιστρέψιμες. ii. Ορίστε τις συναρτήσεις: f g , 1 1f g− − , 1 1g f− − . Θέμα 216 Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — με (f f f )(x) (f f )(x) x 1= + − , για κάθε x∈—. Να αποδειχθεί ότι: i. Ορίζεται η 1f − . ii. 1f (x) (f f )(x) f (x) 1− = − + , για κάθε x∈— και 1f (1) 1− = . Θέμα 217 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το — με (f f g f )(x) x+ = για κάθε x∈—. Να αποδειχθεί ότι: i. Η f αντιστρέφεται στο —, ii. Ισχύει ότι 1f (x) f (x) g(x)− = + για κάθε x∈—. Θέμα 218 Να λυθεί η εξίσωση

2 2x 2 3 x 2 x 2 3 x(2 x 1) 2 x 1 (2 x 3) 4.2 x 3++ + + + + = + + + + + . Θέμα 219 Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g : R R→ και για κάθε x∈— ισχύει ότι: (f g)(x) x 1= + . i. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη. ii. Να λυθεί η εξίσωση x x 1 x 2g(4 2 4) g(2 4)+ +− + = − .

Page 122: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 117 

Φύλλο εργασίας

1. Εξηγείστε i.

ii.

2.

3.

4.

5.

6.

Page 123: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 118 

7. Να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση της f (x) 2x 1= − με x (0,2)∈ . 8. 9.

10.

11.

Page 124: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 119 

Προσοχή!

Προσοχή!

Προσοχή!

Προσοχή!

Μάθημα 7ον «Εξειδικευμένα Θέματα»

Σκοπός και στόχος του μαθήματος 1. Να ξέρεις τον ορισμό και της τεχνικές (μεθόδους) για τη φραγμένη συνάρτηση 2. Να ξέρεις τα βασικά θέματα περί μονοτονίας στις πράξεις μεταξύ μονότονων

συναρτήσεων 3. Να ξέρεις τα βασικά θέματα για τη σύνθεση μονότονων συναρτήσεων. Ας δούμε στη συνέχεια το μάθημα στην ανάπτυξή του. Φραγμένη συνάρτηση. Έστω μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α.

Αν υπάρχει m∈— τέτοιο ώστε για κάθε x A∈ να ισχύει f (x) m≥ , τότε η συνάρτηση f καλείται κάτω φραγμένη με ένα κάτω φράγμα τον αριθμό m∈—.

Αν μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α έχει για κάτω φράγμα τον αριθμό m∈—, τότε οποιοσδήποτε αριθμός s μικρότερος ή ίσος του m

αποτελεί επίσης ένα κάτω φράγμα της συνάρτησης f, διότι: Για κάθε x A∈ ισχύει f (x) m≥ και επειδή m s≥ , έχουμε f (x) s≥ για κάθε x A∈ , άρα ο αριθμός s αποτελεί επίσης ένα κάτω φράγμα της συνάρτησης f. Για το λόγο αυτό πολλές φορές χρειαζόμαστε να υπολογίσουμε το μέγιστο κάτω φράγμα!

Αν υπάρχει Μ∈— τέτοιο ώστε για κάθε x A∈ να ισχύει f (x) M≥ , τότε η συνάρτηση f καλείται άνω φραγμένη με ένα άνω φράγμα τον αριθμό Μ∈—.

Αν μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α έχει για άνω φράγμα τον αριθμό Μ∈—, τότε οποιοσδήποτε αριθμός S μεγαλύτερος ή ίσος του

S αποτελεί επίσης ένα άνω φράγμα της συνάρτησης f, διότι: Για κάθε x A∈ ισχύει f (x) M≤ και επειδή m S≤ , έχουμε f (x) S≤ για κάθε x A∈ , άρα ο αριθμός S αποτελεί επίσης ένα άνω φράγμα της συνάρτησης f. Για το λόγο αυτό πολλές φορές χρειαζόμαστε να υπολογίσουμε το ελάχιστο άνω φράγμα!

Αν υπάρχουν m,Μ∈— τέτοιοι ώστε για κάθε x A∈ να ισχύει m f(x) M≤ ≤ , τότε η συνάρτηση f καλείται φραγμένη με ένα κάτω φράγμα τον αριθμό m∈— και ένα άνω φράγμα τον αριθμό Μ∈—.

Αν μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι φραγμένη, με ένα κάτω φράγμα τον αριθμό m∈— και ένα άνω φράγμα τον αριθμό Μ∈— και

καλέσουμε τον μέγιστο αριθμό των m και M με θ, δηλαδή θέσουμε { }max m , Mθ = , ( 0θ ≥ ), έχουμε τα εξής:

Page 125: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 120 

Για κάθε x A∈ ισχύει m f(x) M≤ ≤ και επειδή ισχύει m m−θ ≤ − ≤ και M M≤ ≤ θ , έχουμε τελικά

ότι f (x) f (x)−θ ≤ ≤ θ⇔ ≤ θ , για κάθε x A∈ , άρα έχουμε τον ισοδύναμο ορισμό:

Αν υπάρχει θ∈— με 0θ ≥ , τέτοιο ώστε για κάθε x A∈ να ισχύει f (x) ≤ θ , τότε η συνάρτηση f καλείται φραγμένη με ένα κάτω φράγμα τον αριθμό –θ 0≤ και ένα άνω φράγμα τον αριθμό θ

0≥ . Έστω μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και σύνολο τιμών το f (A) . Αν το σύνολο τιμών είναι σύνολο που δεν περιέχει διάστημα με άκρο το +• ή το -•, δηλαδή είναι σύνολο φραγμένο είτε άνω είτε κάτω είτε ταυτόχρονα άνω και κάτω, τότε η συνάρτηση είναι αντίστοιχα άνω φραγμένη είτε κάτω φραγμένη, είτε φραγμένη. Ενδεικτικά παραθέτουμε μερικές από τις περιπτώσεις:

Αν ( )f (A) m, M= , η συνάρτηση έχει (μέγιστο) κάτω φράγμα το m∈— και (ελάχιστο)

άνω φράγμα το Μ∈—. Αν [ ]f (A) m, M= , η συνάρτηση έχει (μέγιστο) κάτω φράγμα αλλά και ολικό ελάχιστο το

m∈— και (ελάχιστο) άνω φράγμα αλλά και ολικά μέγιστο το Μ∈—. Αν [ )f (A) m, M= , η συνάρτηση έχει (μέγιστο) κάτω φράγμα αλλά και ολικό ελάχιστο το

m∈— και (ελάχιστο) άνω φράγμα το Μ∈—. Αν ( ]f (A) m, M= , η συνάρτηση έχει (μέγιστο) κάτω φράγμα το m∈— και (ελάχιστο)

άνω φράγμα αλλά και ολικά μέγιστο το Μ∈—. Αν ( )f (A) m, += ∞ , η συνάρτηση έχει (μέγιστο) κάτω φράγμα το m∈—.

Αν [ )f (A) m, += ∞ , η συνάρτηση έχει (μέγιστο) κάτω φράγμα αλλά και ολικό ελάχιστο

το m∈—. Αν ( )f (A) , M= −∞ , η συνάρτηση έχει (ελάχιστο) άνω φράγμα είναι το Μ∈—.

Αν ( ]f (A) - , M = ∞ , η συνάρτηση έχει (ελάχιστο) άνω φράγμα αλλά και ολικά μέγιστο το

Μ∈—. Ανάλογα και οι άλλες περιπτώσεις. Μέθοδοι στη φραγμένη συνάρτηση Έστω μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και σύνολο τιμών το f(A).

Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι κάτω φραγμένη: • ή θα βρίσκουμε ένα m∈— τέτοιο ώστε για κάθε x A∈ να ισχύει f (x) m≥ , • ή θα δείχνουμε ότι το σύνολο τιμών της είναι σύνολο που δεν έχει για άκρο το -•, δηλαδή

ενδεικτικά είναι της μορφής ( )f (A) m, += ∞ ή [ )f (A) m, += ∞ .

Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι άνω φραγμένη: • ή θα βρίσκουμε ένα Μ∈— τέτοιο ώστε για κάθε x A∈ να ισχύει f (x) M≤ ,

Page 126: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 121 

• ή θα δείχνουμε ότι το σύνολο τιμών της είναι σύνολο που δεν έχει για άκρο το +•, δηλαδή

ενδεικτικά είναι της μορφής ( )f (A) , M= −∞ ή ( ]f (A) , M= −∞ .

Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι φραγμένη: • ή θα βρίσκουμε δυο m,Μ∈— τέτοιους ώστε για κάθε x A∈ να ισχύει m f(x) M≤ ≤ , • ή θα βρίσκουμε ένα θετικό αριθμό θ τέτοιον ώστε για κάθε x A∈ να ισχύει f (x) ≤ θ , • ή θα δείχνουμε ότι το σύνολο τιμών της είναι σύνολο που δεν έχει για άκρα το -• και το +•,

δηλαδή ενδεικτικά είναι της μορφής ( )f (A) m, M= ή ( ]f (A) m, M= ή [ )f (A) m, M= ή

[ ]f (A) m, M= . Μελέτησε τα λυμένα Θέματα. Θέμα 91

Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f με τύπο 2 xf (x)2 x+ ημ

=− ημ

είναι φραγμένη.

Λύση

Πρέπει f (x)∈— 2 x 0 x 2⇔ −ημ ≠ ⇔ ημ ≠ , που ισχύει για κάθε x∈—, άρα A = —.

1ος Τρόπος

( )2 x2 xf (x)

2 x 2 x+ ημ+ ημ

= =− ημ + −ημ

(1).

Από τις γνωστές ιδιότητες των απολύτων τιμών α +β ≤ α + β και α − β ≤ α + β καθώς και

από τη σχέση x 1ημ ≤ έχουμε τα ακόλουθα:

2 x 2 x 2 1 3+ ημ ≤ + ημ ≤ + = , άρα 2 x 3+ ημ ≤ (2)

( )2 x 2 x 2 x 2 1 1+ −ημ ≥ − −ημ = − ημ ≥ − = , άρα ( )2 x 1+ −ημ ≥ (3).

Γνωρίζουμε ότι ένα κλάσμα μεγαλώνει όταν: είτε του μεγαλώσουμε τον αριθμητή, είτε του μικρύνουμε τον παρανομαστή, είτε πραγματοποιήσουμε και τα δυο ταυτόχρονα, οπότε η σχέση (1) λόγω των (2) και (3) γίνεται:

( )2 x 3f (x) 3

12 x+ ημ

= ≤ = ⇔+ −ημ

3 f (x) 3− ≤ ≤ για κάθε x∈—, οπότε η συνάρτηση f είναι φραγμένη με ένα κάτω φράγμα το m=-3 και ένα φράγμα το Μ=3.

2ος Τρόπος Γνωρίζουμε από το θέμα 26 σελίδα 23 ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι το

1f (A) , 33⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

,

Page 127: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 122 

οπότε η συνάρτηση είναι φραγμένη με (μέγιστο) κάτω φράγμα, αλλά και ολικά ελάχιστο το 1m3

=

και (ελάχιστο) άνω φράγμα αλλά και ολικά μέγιστο το M 3= . Θέμα 92

Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f με τύπο 3

4

x 2x xf (x)x 1− + ημ

=+

είναι φραγμένη.

Λύση Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το Α=—.

33

4 4

x 2x xx 2x xf (x)x 1 x 1

− + ημ− + ημ= = ⇔

+ +

( ) 33

4 4

x 2 x x x 2 x xf (x)

x 1 x 1+ − + ημ + + ημ

= ≤ ⇒+ +

3

4

x 2 x 1f (x)

x 1+ +

≤+

(1).

• Αν x 1≤ τότε η (1) μας δίνει:

1 2 1f (x) f (x) 41

+ +≤ ⇒ ≤ , για x 1≤ .

• Αν x 1> τότε η (1) μας δίνει:

4 4 4 4

4 4

x 2 x x 4 xf (x) f (x) 4

x x+ +

≤ = ⇒ ≤ , για x 1> .

Άρα ισχύει ότι f (x) 4 4 f (x) 4≤ ⇔ − ≤ ≤ για κάθε x∈—, οπότε η συνάρτηση f είναι φραγμένη με ένα κάτω φράγμα το m=-4 και ένα άνω φράγμα το M=4. Θέμα 93 Δίνονται οι πραγματικές συναρτήσεις f,g με πεδίο ορισμού το —, για τις οποίες ισχύει ότι

g(x)f (x)1 g(x)

=+

. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι φραγμένη.

Λύση g(x) 1 g(x) 1g(x)f (x)

1 g(x) 1 g(x) 1 g(x)+ −

= = = =+ + +

1 g(x) 1 11 11 g(x) 1 g(x) 1 g(x)+

= − = − ≤+ + +

, άρα

f (x) 1 1 f (x) 1≤ ⇔ − ≤ ≤ για κάθε x∈—, οπότε η συνάρτηση f είναι φραγμένη με ένα κάτω φράγμα το m=-1 και ένα άνω φράγμα το M=1.

Page 128: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 123 

Προτεινόμενες ασκήσεις στη Φραγμένη Συνάρτηση Θέμα 220

Να αποδειχθεί ότι είναι φραγμένη η συνάρτηση f με τύπο x

2 2x

x ef (x)x e 2

+=

+ +.

Θέμα 221 Να αποδειχθεί ότι είναι φραγμένες οι ακόλουθες συναρτήσεις και να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τις ακρότατες τιμές.

i. 2

2

x x 2f (x)x x 1+ +

=+ +

,

ii. 2

4x 3g(x)x 1+

=+

,

iii. 2

2

x 1h(x)x 2

+=

+.

Θέμα 222

Να αποδειχθεί ότι είναι φραγμένη η συνάρτηση 2

2

x 2x 25f (x)x 2x 25

− +=

+ + και να δείξετε ότι έχει ακρότατες

τιμές οι οποίες να προσδιορισθούν. Θέμα 223 Έστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει για κάθε x∈— η σχέση xf (x) f (1 x) x+ − = .

i. Να βρεθεί o τύπος της συνάρτησης f. ii. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι φραγμένη και να προσδιορίσετε τις ακρότατες τιμές της. Θέμα 224

Να αποδειχθεί ότι είναι φραγμένη η συνάρτηση 2

2

x 2x x 2f (x)x 1

ημ − συν +=

+.

Θέμα 225

Να αποδειχθεί ότι είναι φραγμένη η συνάρτηση 2

2

x 2x x 2f (x)x 1

ημ − συν +=

+.

Θέμα 226 Δυο συναρτήσεις f,g έχουν πεδίο ορισμού το — και για κάθε x∈— συνδέονται με τη σχέση

2 2f (x) g (x) 1+ = .

i. Να αποδειχθεί ότι είναι φραγμένες οι συναρτήσεις f,g. ii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g⋅ είναι φραγμένη. Θέμα 227

Να αποδειχθεί ότι είναι φραγμένη η συνάρτηση x x

x x

e e xf (x)e e

− + ημ=

+.

Βασικά Θέματα στη Μονοτονία. Τα επόμενα θέματα είναι βασικές ιδιότητες των μονότονων συναρτήσεων τις οποίες καλό είναι να τις ξέρεις σαν θεωρία!!!

Page 129: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 124 

Θέμα 94 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g ορισμένες στο Α. Αν f , g γνήσια αύξουσες στο Α, τότε η συνάρτηση f g+ είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Απόδειξη

Αφού f , g γνήσια αύξουσες στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι : 1 2

1 2

f (x ) f (x )

g(x ) g(x )

<⎧⎪ και ⇔⎨⎪ <⎩

( ) ( )1 1 2 2 1 2f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) f g (x ) f g (x )+ < + ⇔ + < + άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει

( ) ( )1 2f g (x ) f g (x )+ < + , επομένως η συνάρτηση f g+ είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Θέμα 95 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g ορισμένες στο Α. Αν f , g γνήσια φθίνουσες στο Α, τότε η συνάρτηση f g+ είναι γνήσια φθίνουσα στο Α. Απόδειξη

Αφού f , g γνήσια φθίνουσες στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι : 1 2

1 2

f (x ) f (x )

g(x ) g(x )

>⎧⎪ και ⇔⎨⎪ >⎩

( ) ( )1 2f g (x ) f g (x )⇔ + < + , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ( ) ( )1 2f g (x ) f g (x )+ > + , επομένως η συνάρτηση f g+ είναι γνήσια φθίνουσα στο Α. Θέμα 96 Α. Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g ορισμένες στο Α. Αν f , g αύξουσες στο Α, τότε η συνάρτηση f g+ είναι αύξουσα στο Α. Απόδειξη Όμοια του Θέματος 94. Β. Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g ορισμένες στο Α. Αν f , g φθίνουσες στο Α, τότε η συνάρτηση f g+ είναι φθίνουσα στο Α. Απόδειξη Όμοια του Θέματος 95. Θέμα 97 Αν η πραγματική συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο Α, τότε η συνάρτηση f− είναι γνήσια φθίνουσα στο Α. Απόδειξη Αφού f γνήσια αύξουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι:

1 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )< ⇔ − > − , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει 1 2( f )(x ) ( f )(x )− > − , επομένως η συνάρτηση f− είναι γνήσια φθίνουσα στο Α. Θέμα 98 Αν η πραγματική συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο Α, τότε η συνάρτηση f− είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Απόδειξη Αφού f γνήσια φθίνουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι:

Page 130: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 125 

1 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )> ⇔ − < − , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει 1 2( f )(x ) ( f )(x )− < − ,

επομένως η συνάρτηση f− είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Θέμα 99 Αν η πραγματική συνάρτηση f είναι αύξουσα στο Α, τότε η συνάρτηση f− είναι φθίνουσα στο Α. Απόδειξη Όμοια του Θέματος 97. Θέμα 100 Αν η πραγματική συνάρτηση f είναι φθίνουσα στο Α, τότε η συνάρτηση f− είναι αύξουσα στο Α. Απόδειξη Όμοια του Θέματος 98. Θέμα 101 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g ορισμένες στο Α με f (x) 0> και g(x) 0> . Αν f , g γνήσια αύξουσες στο Α, τότε η συνάρτηση f g⋅ είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Απόδειξη

Αφού f , g γνήσια αύξουσες στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι : 1 2

1 2

f (x ) f (x )

g(x ) g(x )

<⎧⎪ και ⇔⎨⎪ <⎩

( ) ( )1 1 2 2 1 2f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) f g (x ) f g (x )⋅ < ⋅ ⇔ ⋅ < ⋅ , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει

( ) ( )1 2f g (x ) f g (x )⋅ < ⋅ , επομένως η συνάρτηση f g⋅ είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Θέμα 102 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g ορισμένες στο Α με f (x) 0> και g(x) 0> . Αν f , g γνήσια φθίνουσες στο Α, τότε η συνάρτηση f g⋅ είναι γνήσια φθίνουσα στο Α. Απόδειξη

Αφού f , g γνήσια φθίνουσες στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι : 1 2

1 2

f (x ) f (x )

g(x ) g(x )

>⎧⎪ και ⇔⎨⎪ >⎩

( ) ( )1 2f g (x ) f g (x )⇔ ⋅ < ⋅ , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ( ) ( )1 2f g (x ) f g (x )⋅ > ⋅ , επομένως η συνάρτηση f g⋅ είναι γνήσια φθίνουσα στο Α. Θέμα 103 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g ορισμένες στο Α με f (x) 0> και g(x) 0> . Αν f , g αύξουσες στο Α, τότε η συνάρτηση f g⋅ είναι αύξουσα στο Α. Απόδειξη Όμοια του Θέματος 101. Θέμα 104 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g ορισμένες στο Α με f (x) 0> και g(x) 0> . Αν f , g φθίνουσες στο Α, τότε η συνάρτηση f g⋅ είναι φθίνουσα στο Α. Απόδειξη Όμοια του Θέματος 102.

Page 131: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 126 

Θέμα 105 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α με f (x) 0> για κάθε x A∈ . Αν f γνήσια αύξουσα

στο Α, τότε η συνάρτηση 1f

είναι γνήσια φθίνουσα στο Α.

Απόδειξη Αφού f γνήσια αύξουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι :

1 21 2

1 1f (x ) f (x )f (x ) f (x )

< ⇔ > , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει 1 21 1(x ) (x )f f

⎛ ⎞ ⎛ ⎞>⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

επομένως η συνάρτηση 1f

είναι γνήσια φθίνουσα στο Α.

Θέμα 106 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α με f (x) 0< για κάθε x A∈ . Αν f γνήσια αύξουσα

στο Α, τότε η συνάρτηση 1f

είναι γνήσια φθίνουσα στο Α.

Απόδειξη Αφού f γνήσια αύξουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι :

1 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )< ⇔ − > − , 1 2 1 2

1 1 1 1f (x ) f (x ) f (x ) f (x )

− < − ⇔ > , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με

1 2x x< ισχύει 1 21 1(x ) (x )f f

⎛ ⎞ ⎛ ⎞>⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, επομένως η συνάρτηση 1f

είναι γνήσια φθίνουσα στο Α.

Θέμα 107 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α με f (x) 0> για κάθε x A∈ . Αν f αύξουσα στο Α,

τότε η συνάρτηση 1f

είναι φθίνουσα στο Α.

Απόδειξη Απόδειξη όμοια του Θέματος 105. Θέμα 108 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α με f (x) 0< για κάθε x A∈ . Αν f αύξουσα στο Α,

τότε η συνάρτηση 1f

είναι φθίνουσα στο Α.

Απόδειξη Απόδειξη όμοια του Θέματος 106. Θέμα 109 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α με f (x) 0> για κάθε x A∈ . Αν f γνήσια αύξουσα στο Α, τότε η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Απόδειξη Αφού f γνήσια αύξουσα στο Α και με θετικές τιμές, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι :

1 2f (x ) f (x )< ⇔

( ) ( )1 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )⇔ < ⇔ < , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει

1 2( f )(x ) ( f )(x )< , επομένως η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο Α.

Page 132: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 127 

Θέμα 110 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α με f (x) 0> για κάθε x A∈ . Αν f γνήσια φθίνουσα στο Α, τότε η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο Α. Απόδειξη Αφού f γνήσια φθίνουσα στο Α και με θετικές τιμές, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι :

1 2f (x ) f (x )> ⇔

( ) ( )1 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )⇔ > ⇔ > , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει

1 2( f )(x ) ( f )(x )> , επομένως η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Θέμα 111 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α με f (x) 0> για κάθε x A∈ . Αν f αύξουσα στο Α, τότε η συνάρτηση f είναι αύξουσα στο Α. Απόδειξη Όμοια του Θέματος 109. Θέμα 112 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α με f (x) 0> για κάθε x A∈ . Αν f φθίνουσα στο Α, τότε η συνάρτηση f είναι φθίνουσα στο Α. Απόδειξη Όμοια του Θέματος 110. Θέμα 113 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α και λ∈— με 0λ > . Αν f γνήσια αύξουσα στο Α, τότε η συνάρτηση fλ ⋅ είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Απόδειξη Αφού f γνήσια αύξουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι :

1 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )< ⇔ λ ⋅ < λ ⋅ , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ( ) ( )1 2f (x ) f (x )λ ⋅ < λ ⋅ , επομένως η συνάρτηση fλ ⋅ είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Θέμα 114 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α και λ∈— με 0λ < . Αν f γνήσια αύξουσα στο Α, τότε η συνάρτηση fλ ⋅ είναι γνήσια φθίνουσα στο Α. Απόδειξη Αφού f γνήσια αύξουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι :

1 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )< ⇔ λ ⋅ > λ ⋅ , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ( ) ( )1 2f (x ) f (x )λ ⋅ > λ ⋅ , επομένως η συνάρτηση fλ ⋅ είναι γνήσια φθίνουσα στο Α. Θέμα 115 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α και λ∈— με 0λ > . Αν f γνήσια φθίνουσα στο Α, τότε η συνάρτηση fλ ⋅ είναι γνήσια φθίνουσα στο Α. Απόδειξη Αφού f γνήσια φθίνουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι :

1 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )> ⇔ λ ⋅ > λ ⋅ , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ( ) ( )1 2f (x ) f (x )λ ⋅ > λ ⋅ , επομένως η συνάρτηση fλ ⋅ είναι γνήσια φθίνουσα στο Α.

Page 133: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 128 

Θέμα 116 Έστω η πραγματική συνάρτηση f ορισμένη στο Α και λ∈— με 0λ < . Αν f γνήσια φθίνουσα στο Α, τότε η συνάρτηση fλ ⋅ είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Απόδειξη Αφού f γνήσια φθίνουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι :

1 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )> ⇔ λ ⋅ < λ ⋅ , άρα για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ( ) ( )1 2f (x ) f (x )λ ⋅ < λ ⋅ , επομένως η συνάρτηση fλ ⋅ είναι γνήσια αύξουσα στο Α. 3Γ. Μονοτονία και Σύνθεση. Θέμα 117 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠ ∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ . «Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο Α και η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα στο f (A) τότε η g f είναι γνήσια αύξουσα στο D». Απόδειξη Αφού f γνήσια αύξουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι : 1 2f (x ) f (x )< . Όμως η συνάρτηση g είναι αύξουσα στο f (A) , άρα 1 2g(f (x )) g(f (x ))< ⇔

( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )< , άρα η g f είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Θέμα 118 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠ ∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ . «Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο Α και η συνάρτηση g είναι γνήσια φθίνουσα στο f (A) , τότε η g f είναι γνήσια αύξουσα στο D». Απόδειξη Αφού f γνήσια φθίνουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι : 1 2f (x ) f (x )> . Όμως η συνάρτηση g είναι φθίνουσα στο f (A) , άρα 1 2g(f (x )) g(f (x ))< ⇔ ( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )< , άρα η g f είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Από τα θέματα 104 και 105 συμπεραίνουμε ότι η g f είναι γνήσια αύξουσα όταν και οι δυο συναρτήσεις f και g είναι είτε γνήσια αύξουσες είτε γνήσια φθίνουσες. Θέμα 119 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠ ∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ . «Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο Α και η συνάρτηση g είναι γνήσια φθίνουσα στο f (A) , τότε η g f είναι γνήσια φθίνουσα στο D». Απόδειξη Αφού f γνήσια αύξουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι : 1 2f (x ) f (x )< . Όμως η συνάρτηση g είναι φθίνουσα στο f (A) , άρα 1 2g(f (x )) g(f (x ))> ⇔

( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )> , άρα g f γνήσια φθίνουσα D. Θέμα 120 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠ ∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ . «Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο Α και η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα στο f (A) , τότε η g f είναι γνήσια φθίνουσα στο D».

Page 134: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 129 

Απόδειξη Αφού f γνήσια φθίνουσα στο Α, για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2x x< ισχύει ότι : 1 2f (x ) f (x )> . Όμως η συνάρτηση g είναι αύξουσα στο f (A) , άρα 1 2g(f (x )) g(f (x ))> ⇔

( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )> , άρα g f γνήσια φθίνουσα D. Από τα θέματα 106 και 107 συμπεραίνουμε ότι η g f είναι γνήσια φθίνουσα όταν η μια από τις συναρτήσεις f και g είναι είτε γνήσια αύξουσα και η άλλη γνήσια φθίνουσα. Θέμα 121 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B⊆ , ορίζεται η g f και έχει και αυτή πεδίο ορισμού το Α. «Αν η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα στο f (A) και η συνάρτηση g f είναι γνήσια αύξουσα στο Α, τότε η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο A ». Απόδειξη Πρόσεξε ιδιαίτερα τη τεχνική της απόδειξης! Έστω 1 2x , x A∈ με 1 2f (x ) f (x )< . Θα δείξουμε με ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ ότι 1 2x x< . Έχουμε 1 2f (x ) f (x )< και επειδή η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα ( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )⇔ < ⇔

( ) ( )1 2g f (x ) g f (x )⇔ < και επειδή η συνάρτηση g f είναι γνήσια αύξουσα 1 2x x⇔ < , επομένως λόγω των ισοδυναμιών έχουμε αποδείξει ότι για κάθε 1 2x , x A∈ με 1 2 1 2x x f (x ) f (x )< ⇔ < , άρα η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο Α. Θέμα 122 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B⊆ , ορίζεται η g f και έχει και αυτή πεδίο ορισμού το Α. «Αν η συνάρτηση g είναι γνήσια φθίνουσα στο f (A) και η συνάρτηση g f είναι γνήσια φθίνουσα στο Α, τότε η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο Α». Απόδειξη Όμοια με του Θέματος 121. Θέμα 123 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠ ∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ . «Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο Α και η συνάρτηση g f είναι γνήσια αύξουσα στο D, τότε η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα στο f (A) B∩ ». Απόδειξη Πρόσεξε ιδιαίτερα τη τεχνική της απόδειξης! Έστω 1 2y , y f (A) B∈ ∩ με 1 2g(y ) g(y )< . Θα δείξουμε με ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ ότι 1 2y y< . Έχουμε 1 2g(y ) g(y )< (1). Αφού 1 2y , y f (A) B∈ ∩ , δηλαδή τα 1 2y , y αποτελούν τιμές για την f, συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν

1 2x , x A∈ με 1 1y f (x )= και 2 2y f (x )= , οπότε η σχέση (1) γίνεται:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2g f (x ) g f (x ) g f (x ) g f (x )< ⇔ < και επει-δή η g f είναι γνήσια αύξουσα έχουμε

1 2x x< (2). Η f είναι γνήσια αύξουσα στο Α, άρα από τη (2) 1 2 1 2f (x ) f (x ) y y⇔ < ⇔ < . Επομένως λόγω των ισοδυναμιών έχουμε αποδείξει ότι για κάθε 1 2y , y f (A) B∈ ∩ με 1 2 1 2y y g(y ) g(y )< ⇔ < , άρα η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα στο f (A) B∩ . Θέμα 124 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με αντίστοιχα πεδία ορισμού Α και Β. Με την προϋπόθεση ότι f (A) B∩ ≠ ∅ ορίζεται η g f και έχει πεδίο ορισμού το { }D x A : f(x) B= ∈ ∈ .

Page 135: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 130 

«Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο Α και η συνάρτηση g f είναι γνήσια φθίνουσα στο D, τότε η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα στο f (A) B∩ ». Απόδειξη Πρόσεξε ιδιαίτερα τη τεχνική της απόδειξης! Έστω 1 2y , y f (A) B∈ ∩ με 1 2g(y ) g(y )< . Θα δείξουμε με ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ ότι 1 2y y< . Έχουμε 1 2g(y ) g(y )< (1). Αφού 1 2y , y f (A) B∈ ∩ , δηλαδή τα 1 2y , y αποτελούν τιμές για την f, συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν

1 2x , x A∈ με 1 1y f (x )= και 2 2y f (x )= , οπότε η σχέση (1) γίνεται:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2g f (x ) g f (x ) g f (x ) g f (x )< ⇔ < και επει-δή η g f είναι γνήσια φθίνουσα έχουμε

1 2x x> (2). Η f είναι γνήσια φθίνουσα στο Α, άρα από τη (2) 1 2 1 2f (x ) f (x ) y y⇔ < ⇔ < . Επομένως λόγω των ισοδυναμιών έχουμε αποδείξει ότι για κάθε 1 2y , y f (A) B∈ ∩ με 1 2 1 2y y g(y ) g(y )< ⇔ < , άρα η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα στο f (A) B∩ . 4Γ. Λυμένα θέματα. Θέματα που η λύση τους στηρίζεται στα θέματα 94-124. Θέμα 125 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους 3f (x) x x 2= + + και g(x) ln x= . i. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις f , g . ii. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση h με τύπο 3h(x) ln x x x 2= + + + . iii. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση q με τύπο 3q(x) ln x ln x 2= + + . Λύση i. Αποδείξαμε στο λυμένο Θέμα 48 (σελίδα 70) ότι η συνάρτηση με τύπο 3f (x) x x 2= + + , είναι

γνήσια αύξουσα στο fA = — . Επίσης γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση με τύπο g(x) ln x= είναι γνήσια αύξουσα στο gA (0, + )= ∞ .

ii. Παρατηρούμε ότι ( ) ( )3h(x) ln x x x 2= + + + ⇔

h(x) g(x) f (x)= + , με f gx A A (0, + )∈ ∩ = ∞ . Οι συναρτήσεις f , g είναι γνήσια αύξουσες στο f gA A (0, + )∩ = ∞ , οπότε σύμφωνα με το Θέμα 94 (σελίδα 124) είναι και f g+ , δηλαδή η h είναι γνήσια αύξουσα στο f gA A (0, + )∩ = ∞ .

iii. Παρατηρούμε ότι 3f (ln x) ln x ln x 2= + + , άρα f (ln x) q(x) q f g= ⇔ = , x (0, + )∈ ∞ . Η συνάρτηση g(x) ln x= είναι γνήσια αύξουσα στο gA (0, + )= ∞ και έχει σύνολο τιμών

gg(A ) = — . Η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο g fg(A ) A= =— , οπότε σύμφωνα με το Θέμα 117 (σελίδα 128) και η συνάρτηση q f g= είναι γνήσια αύξουσα στο

{ }g fD x A : g(x) A (0, + )= ∈ ∈ = ∞ . Θέμα 126 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους 3f (x) x x 2= + + και xg(x) e x= + . i. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις f , g .

Page 136: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 131 

ii. Αν για τη συνάρτηση h ισχύει για κάθε x∈— ότι 3 xh (x) h(x) 2 e x+ + = + , να μελετηθεί ως προς

τη μονοτονία η συνάρτηση h. Λύση i. Αποδείξαμε στο λυμένο Θέμα 48 (σελίδα 70) ότι η συνάρτηση με τύπο 3f (x) x x 2= + + , είναι

γνήσια αύξουσα στο fA = — . Η συνάρτηση με τύπο xg(x) e x= + έχει πεδίο ορισμού το gA = — .

Έστω 1 2 gx , x A∈ = — με 1 2x x< (1). Από την (1) έχουμε:

1 2x xe e< (2) γιατί η συνάρτηση xy e= είναι γνήσια αύξουσα και προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε: 1 2x x

1 1e x e x+ < + ⇔ 1 2g(x ) g(x )< , επομένως η g είναι γνήσια αύξουσα στο gA = — .

ii. Παρατηρούμε ότι ( ) ( )3f h(x) h(x) h(x) 2= + + ⇔

( ) 3f h (x) h (x) h(x) 2= + + (3).

Είναι 3 xh (x) h(x) 2 e x+ + = + , για κάθε x∈— , οπότε 3h (x) h(x) 2 g(x)+ + = , για κάθε x∈— .(4) Από (3) και (4) έχουμε ( )f h (x) g(x)= , για κάθε x∈— , άρα f h g= . Η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα στο — , άρα και η συνάρτηση f h είναι γνήσια αύξουσα στο — και επειδή και η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — , συμπεραίνουμε από το Θέμα 121 σελίδα 121 ότι και η συνάρτηση h είναι γνήσια αύξουσα στο — .

Θέμα 127 Έστω οι συναρτήσεις f , g με τύπους 3f (x) x x 2= + + και xg(x) e x= + . i. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις f , g . ii. Αν για τη συνάρτηση h ισχύει για κάθε x∈— ότι 3 xh(x x 2) e x+ + = + , να μελετηθεί ως προς τη

μονοτονία η συνάρτηση h. Λύση i. Σύμφωνα με το προηγούμενο θέμα οι συναρτήσεις f , g είναι γνήσια αύξουσες — . ii. Παρατηρούμε ότι ( )h f (x) g(x)=

Η συνάρτηση g είναι γνήσια αύξουσα στο — , άρα και η συνάρτηση h f είναι γνήσια αύξουσα στο — και επειδή και η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — , συμπεραίνουμε από το Θέμα 123 σελίδα 130 ότι και η συνάρτηση h είναι γνήσια αύξουσα στο — .

Page 137: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 132 

Επιλεγμένα Θέματα Θέμα 220 Έστω η περιττή πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — η οποία για κάθε x∈—* ικανοποιεί τη σχέση 2(x 1)f (x) 2x+ ≤ . i. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. ii. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Θέμα 221 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — η οποία για κάθε x, y∈— ικανοποιεί τη σχέση f (x y) f (x) f (y) x y+ ≥ + ≥ + . Να αποδείξετε ότι: i. Η γραφική παράστασης της συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ii. f ( x) f (x)− = − για κάθε x∈—. iii. f (x) x= για κάθε x∈—. Θέμα 222 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με x xf (x) 2 3= + και x xg(x) 9 4= − . i. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων fC και gC των f και g.

ii. Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των f και g. Θέμα 223 Έστω η συνάρτηση g με g(x) x 2= λ + − λ , λ∈—. i. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από σταθερό

σημείο για κάθε τιμή της παραμέτρου λ∈—.

ii. Αν επί πλέον ορίσουμε και τη συνάρτηση f με 2f (x)x

= , να αποδειχθεί ότι:

α. Οι γραφικές παραστάσεις fC και gC έχουν κοινά σημεία για κάθε τιμή της παραμέτρου

λ∈—. β. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου λ∈— για τις οποίες η fC εφάπτεται της gC . Θέμα 224 Έστω η συνάρτηση g με τύπο:

3 2 2 2 2g(x) x ( 3 1)x (2 2)x 3 3 2,= λ + λ + λ + + λ − λ + − λ − λ − λ∈—. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από δυο σταθερά σημεία για κάθε τιμή της παραμέτρου λ∈—. Θέμα 225 Έστω η πραγματική συνάρτηση f πεδίο ορισμού το — η οποία για κάθε x∈— έχει την ιδιότητα: ( ) 2 2f f (x) x (2 1)x= − α − + α , όπου α∈— σταθερός αριθμός. Να αποδείξετε ότι

υπάρχει μοναδικός αριθμός ξ∈— τέτοιος ώστε f ( )ξ = ξ . Θέμα 226

Έστω η συνάρτηση g με 2

2

x 2 xg(x)x 2x 3+ α + β

=+ +

α, β∈—. Να βρεθούν οι αριθμοί α, β∈—, ώστε η

συνάρτηση g να έχει σύνολο τιμών το διάστημα [ )1, 1− . Θέμα 227 Έστω η πραγματική συνάρτηση f πεδίο ορισμού το — η οποία για κάθε x∈— έχει την ιδιότητα: f (x) f (x 1) f (x 2) 0+ + + + = . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιοδική.

Page 138: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 133 

Θέμα 228 Έστω η συνάρτηση f πεδίο ορισμού το [ ]A 0, 4= και τύπο

f (x) 8 x 4 4 x 8 x 4 4 x= − + − + − − − . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή. Θέμα 229 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με x xf (x) 20 9= + και x xg(x) 15 16= + . i. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων fC και gC των f και g.

ii. Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων fC και gC των f και g. Θέμα 230 Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f με την ιδιότητα f (x y) f (x) f (y) 2xy 1+ = + = − για κάθε x, y∈—. Αν f (0) 91= , να αποδείξετε ότι 2f (x) x x 1= − + . Θέμα 231 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το —, η οποία για κάθε x∈— ικανοποιεί

τη σχέση ( )f f ... f (x) 3x 2ν−ϕορ ς

= −έ

, όπου ν∈Ù*. Να αποδείξετε ότι f (1) 1= .

Θέμα 232 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο:

2

2

x x x xf (x)

x x x x⎧ + ημ − συν αν ≤ −π

= ⎨− ημ − συν αν ≥ −π⎩

, έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x 0= .

Θέμα 233

Έστω η συνάρτηση f με 2

xf (x)x 1

=+

. Να αποδείξετε ότι ( ) 2

xf f ... f (x)( 1)x 1ν−ϕορ ς

=ν + +έ

για

κάθε ν∈Ù*. Θέμα 234 i. Αποδείξτε ότι το πολυώνυμο 2Q(x) x 6x 4= − − είναι παράγοντας του πολυωνύμου

4 3 2P(x) 4x 33x 52x 48x 56= − + − − . ii. Να υπολογίσετε το άθροισμα των τετμημένων των κοινών σημείων των γραφικών

παραστάσεων των συναρτήσεων με τύπους 2f (x) 2x 6x 4= − + και 3g(x) 3 x 8= + . Θέμα 235 Έστω η γνήσια αύξουσα πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το —. Αν για κάθε x∈—

υπάρχει ν∈Ù* τέτοιος ώστε ( )f f ... f (x) xν−ϕορ ς

, να αποδείξετε ότι f (x) x= , x∈—.

Θέμα 236 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το —*, η οποία για κάθε x∈—* ικανοποιεί τη σχέση ( )f f (x) f (x)⋅ = α , όπου α∈—*. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f.

Θέμα 237 Να λυθούν οι εξισώσεις: i. ( )2x x x 3 2e e x 3 x x− +− = + − − .

ii. ( ) ( )2 2ln x x 1 x ln x 2 1+ + + = + + . Θέμα 238 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το —, η οποία για κάθε x∈— ικανοποιεί τη σχέση 1f (x) f (x) x−+ = . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

Page 139: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 134 

Θέμα 239 Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το — και είναι γνήσια

μονότονες, να αποδείξετε ότι ( ) 1 1 1f g g f− − −= . Θέμα 240 Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το — και είναι γνήσια

μονότονες, να αποδείξετε ότι ( ) 1 1 1f g g f− − −= . Θέμα 241 Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το —, η οποία για κάθε x, y∈— ικανοποιεί τη σχέση ( )f x y f (x) x f (x y)⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα, να

αποδειχθεί ότι f (x) x= , x∈—. Θέμα 242 Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με x x xf (x) 9 16 25= + + και x x xg(x) 12 15 20= + + . i. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f , g είναι γνήσια αύξουσες. ii. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων fC και gC των f και g. Θέμα 243 Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισμού το — οι οποίες για κάθε x∈—, ικανοποιούν τις σχέσεις 2f (2x 3) g(8x 1) 2(6x 7)+ + + = + και f (1 2x) g( 8x 7) 7− − − − = . Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f , g είναι αντίστροφες. Θέμα 244 Δίνεται ο θετικός αριθμός α και η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — με την ιδιότητα ( ) 2 2f f (x) x xα ⋅ = − α + α για κάθε x∈—. Να αποδείξετε ότι:

i. f ( )α = α . ii. Η πραγματική συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το — με 2 2g(x) x x f (x)α⋅ = − ⋅ + α , για κάθε

x∈—, δεν είναι αντιστρέψιμη. Συνδυαστικά Θέματα Θέμα 245 Έστω ο πραγματικός αριθμός λ∈— καθώς και η μονοπαραμετρική οικογένεια των συναρτήσεων fλ με 2f (x) x (2 3)x 1 3λ = λ + λ − + − λ . Α. Αποδείξετε ότι για κάθε λ∈— οι γραφικές παραστάσεις fC

λ διέρχονται από δυο σταθερά

σημεία Α και Β τα οποία να βρείτε. Β. Έστω οι μιγάδες 1 2z , z που έχουν στο μιγαδικό επίπεδο εικόνες τα σημεία Α και Β. i. Αν z τυχαίος μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει 1 2z z z z− = − , να βρείτε τον γεωμετρικό

τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών αριθμών z . ii. Αν 0z ο μιγαδικός του προηγουμένου ερωτήματος που έχει το ελάχιστο μέτρο, να βρεθεί το 0z .

iii. Αν ισχύει 02 10f z 0

13λ

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, να βρεθεί ο λ∈— .

Γ. Για την τιμή του λ∈— που βρέθηκε στο Βiii : i. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης fλ . ii. Αν xg(x) e 1= + να ορισθεί η συνάρτηση f gλ . iii. Να λυθεί η εξίσωση (f g)(x) 0λ = .

Page 140: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 135 

Θέμα 246 Έστω η συνάρτηση f με 2 xf (x) ( 2 2)= λ − λ + , λ∈— . Α. Να βρεθούν οι τιμές του λ∈— ώστε η f να ορίζει εκθετική συνάρτηση. Β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Γ. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z . i. Αν f ( z ) f ( z 1 )= + , να βρείτε το Re(z) . ii. Αν ισχύει f ( z ) f ( z 1 )< + , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ των μιγαδικών

αριθμών z . Θέμα 247 Έστω η συνάρτηση f με ( )f (x) ln ln(x)= . Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της A και το σύνολο τιμών της f (A) . B. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1. Γ. Βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση 1f − της f . Δ. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z 1≠ για τους οποίους ορίζεται η συνάρτηση ( )g( z ) ln ln z 1= − . i. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών αριθμών z . ii. Αν g( z ) 1≤ , να βρεθεί το χωρίο που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z . Θέμα 248 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x) ln x x 1= + − , x 0> . Α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. Β. Δείξτε ότι είναι 1 1− . Γ. Να λυθεί η εξίσωση f (x) 0= . Δ. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z x yi= + , με z 4 3i≠ − − για τον οποίο ισχύει η σχέση:

ln z 4 3i 1 z 4 3i+ + = − + + . i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ του z . ii. Να βρεθεί το max z καθώς και το min z . iii. Αν w 2 i= + , να βρεθεί το max z w− καθώς και το min z w− . Θέμα 249 Δίνεται o μιγαδικός αριθμός z 100≠ − και z 1≠ − για τον οποίο ισχύει η σχέση: log z 100 1 log z 1+ = + + . Α. Να βρεθεί το z .

Β. Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( )x x xz 4 z 2 z− + − = .

Γ. Έστω η συνάρτηση f με xf (x) log x 10= + , x 0> . i. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα. ii. Να λυθεί η εξίσωση f (x 1) x 12− = − + , με x 1> .

iii. Να λυθεί η ανίσωση x x x

x x10 6 8

x

6 8log 10 1010

++< − .

Θέμα 250 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο exf (x) e= . Α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1 1− . Β. Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση 1f − της f . Γ. Να κάνετε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, μια πρόχειρη γραφική παράσταση των

συναρτήσεων f και 1f − .

Δ. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z iee

λλ= + , λ∈— .

i. Να βρεθεί η καμπύλη 1C στην οποία ανήκουν οι εικόνες (z)Μ του μιγαδικού z .

Page 141: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 136 

ii. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ew e iμ= + μ , μ∈— . Να βρεθεί η καμπύλη 2C στην οποία ανήκουν οι εικόνες (w)Ν του μιγαδικού w .

iii. Δείξτε ότι οι καμπύλες 1C και 2C , έχουν στο μιγαδικό επίπεδο άξονα συμμετρίας την καμπύλη στην οποία ανήκουν οι εικόνες (q)Σ των μιγαδικών αριθμών της μορφής q i= μ + μ ⋅ , μ∈— .

Θέμα 251 Έστω ο μιγαδικός αριθμός z με 2z e≠ − και z 1≠ − . Α. Δείξτε ότι έχουν νόημα στο — οι παραστάσεις 2ln z e+ και ln z 1+ .

Β. Αν ισχύει 2ln z e 1 ln z 1+ = + + , βρείτε το μέτρο z του μιγάδα z .

Γ. Έστω η συνάρτηση f με τύπο xf (x) ln x ln z 1= + − , *x +∈— . i. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x x′ . ii. Να βρείτε τη σχετική θέση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σε σχέση με τον άξονα

x x′ . iii. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται. iv. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την γραφική παράσταση της 1f − . Θέμα 256

Έστω ο μιγαδικός αριθμός z x yi= + , με x, y∈— . Αν 3 5w 2 i z i z2 2

⎛ ⎞= + − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

, τότε:

Α. Να βρεθούν τα ( ) ( )Re w , Im w . Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ που είναι οι εικόνες των w . Γ. Να δειχθεί ότι w x 2y 5= − . Δ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ν που είναι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών

z x iy= + , για τους οποίους ισχύει w 5= .

Ε. Έστω x1 1y e2 2

= − + . Θεωρούμε τη συνάρτηση 1f (x) w5

= .

i. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x x′ . ii. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής.

Page 142: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 137 

Υποδειγματικά λυμένα διαγωνίσματα Διαγώνισμα 1ον

Θέμα 1 Ζήτημα Α Έστω μια συνάρτηση f με τύπο y f (x)= και πεδίο ορισμού το Α. Αν με fC συμβολίσουμε την γραφική της παράσταση, τότε δώστε μια συνθήκη για να ισχύουν τα εξής: i. Η γραφική παράσταση fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα των τετμημένων x x′ .

ii. Η γραφική παράσταση fC βρίσκεται αριστερά του άξονα των τεταγμένων y y′ . iii. Η γραφική παράσταση fC κόβει τον άξονα των τετμημένων x x′ . iv. Η γραφική παράσταση fC κόβει τον άξονα των τεταγμένων y y′ .

2,5 μονάδες το κάθε ερώτημα Ζήτημα Β Έστω η συνάρτηση f με τύπο y f (x)= η οποία έχει πεδίο ορισμού το A ≠ ∅ και σύνολο τιμών το f (A) , καθώς και η συνάρτηση g με τύπο y g(x)= , πεδίο ορισμού το B ≠ ∅ και σύνολο τιμών το g(B) . Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λάθος (Λ).

1. Αν f g= τότε f (A) g(B)= . Σ – Λ 2. Αν A B= και f (A) g(B)= τότε f g= . Σ – Λ 3. f f (x)(x)

g g(x)⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

για κάθε x A B∈ ∩ . Σ – Λ

4. Αν ισχύει B f(A)∩ ≠∅ τότε ορίζεται η g f . Σ – Λ 5. Αν 2f (x) x= και g(x) x= , τότε f g= . Σ – Λ

6. Αν f γνήσια αύξουσα στο Α τότε f (2) f (3)> . Σ – Λ 7. Αν f γνήσια φθίνουσα στο Α και f ( ) f ( )α > β τότε α < β . Σ – Λ 8. Αν f γνήσια φθίνουσα στο Α και f ( ) 0α = τότε f (x) 0≠ για κάθε x ≠ α . Σ – Λ 9. Αν f γνήσια αύξουσα στο Α και f ( ) 0α = τότε f (x) 0> για κάθε x > α . Σ – Λ 10. Αν f γνήσια φθίνουσα στο Α και f ( ) 0α = τότε f (x) 0> για κάθε x > α . Σ – Λ

1,5 μονάδα κάθε ερώτημα Θέμα 2

Ζήτημα Α

Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους αντίστοιχα 2x +2 , x 1

f (x)x 3 , x 2

⎧ ≤= ⎨

− + ≥⎩ και

3x -1 , x 3g(x)

2x 4, x 2⎧ ≥

= ⎨+ ≤⎩

.

A.. Υπολογίστε τους αριθμούς: i. 1f ( 1), f (2), f (e), f (e )−− .

ii. 1g( 1), g(3), g(e), g(e )−− . iii. (f g)( 1)− , (g f )( 1)− .

Page 143: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 138 

iv. (f g)(0)+ , (f g)(2)− , ( f )(1) , f (4)g

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2 μονάδες το κάθε ερώτημα B. Εξετάστε αν ορίζονται τα ακόλουθα:

f ( 2)g

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠,

g (3)f

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, (f g)( 5) . 2 μονάδες

Ζήτημα Β

Έστω η συνάρτηση 2x 3x 2h(x)

x 1+ +

=+

.

i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. Μονάδες 2,5

ii. Απλοποιήσετε τον τύπο της. Μονάδες 2,5

iii. Έστω η συνάρτηση ( )f (x) ln h(x)= . α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

Μονάδες 2,5 β. Εξετάστε αν υπάρχουν κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους

άξονες x x′ και y y′ . Μονάδες 3,5

γ. Αν g(x) x 2= + , να ορίσετε τη συνάρτηση f g . Μονάδες 4

Θέμα 3

Ζήτημα Α Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g με αντίστοιχους τύπους f (x) x x= ημ + συν και 2g(x) 4 x= − . i. Βρείτε τα πεδία ορισμού fΑ και gΑ των f και g .

Μονάδες 2,5

ii. Δείξτε ότι ( )g f f4 4π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Μονάδες 2,5 iii. Δείξτε ότι 2 f (x) 2− < < .

Μονάδες 2,5 iv. Ορίστε τη συνάρτηση g f .

Μονάδες 2,5 v. Λύστε την εξίσωση (g f )(x) 2= , x∈— .

Μονάδες 2,5 Ζήτημα B Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g,h . Αν xg(x) e= , 2(g f )(x) x 2= + , και x(h g)(x) 1 e= − , τότε: i. Nα βρεθεί η συνάρτηση f.

Μονάδες 3 ii. Nα βρεθεί η συνάρτηση g.

Μονάδες 3 iii. Να βρεθεί η συνάρτηση f h .

Μονάδες 3 iv. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f h με τον άξονα x x′ .

Μονάδες 3,5

Page 144: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 139 

Θέμα 4 Ζήτημα Α Η συνάρτηση f έχει για κάθε x, y∈— την ιδιότητα: f (x y) 2f(x y) f (x) f (y) 4y 1+ − − + + = + . Δείξτε ότι: i. f (0) 1= .

Μονάδες 2,5 ii. f (2x) 2f(x) 4x 3+ = + , x∈—.

Μονάδες 2,5 iii. 2f (2x) f (x) f ( x) 4x= + − + , x∈—.

Μονάδες 2,5 iv. 5f (x) f ( x) 4x 6+ − = + , x∈—.

Μονάδες 2,5 v. f (x) x 1= + , x∈—.

Μονάδες 2,5 Ζήτημα B Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e x 1= + − .

i. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση στο —.

Μονάδες 2,5

ii. Δείξτε ότι f (0) 0= .

Μονάδες 2,5

iii. Να μελετήσετε τη θέση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σε σχέση με τον άξονα των τετμημένων x x′ .

Μονάδες 2,5

iv. Αφού πρώτα αποδείξετε ότι για κάθε x∈— ισχύει ότι 2x 2x 1≥ − , στη συνέχεια αποδείξτε ότι 2f (x ) f (2x 1) 0− − ≥ για κάθε x∈—.

Μονάδες 5

Λύση του 1ου διαγωνίσματος

Θέμα 1ον Ζήτημα Α i. Για κάθε x A∈ ισχύει f (x) 0< . ii. Για κάθε x A∈ ισχύει x 0< . iii. Υπάρχει τουλάχιστον ένα 0x A∈ για το οποίο ισχύει f (x) 0= . iv. 0 A∈ . Ζήτημα B 1. f g= ⇔ f gA A= (ίσα πεδία ορισμού) και f (x) g(x)= για κάθε x που ανήκει στο κοινό πεδίο

ορισμού τους, οπότε και f (A) g(B)= , άρα (Σ). 2. A B= και f (A) g(B)= , αλλά δεν ξέρουμε αν f (x) g(x)= για κάθε x που ανήκει στο κοινό πεδίο

ορισμού τους , οπότε (Λ).

Page 145: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 140 

3. Το πεδίο ορισμού της f (x)g

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

απαιτεί να είναι x A B∈ ∩ , αλλά και τέτοια ώστε g(x) 0≠ , οπότε

(Λ). 4. Η σχέση B f (A)∩ ≠∅ μας εξασφαλίζει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο μεταξύ του

συνόλου τιμών της f (η οποία επιδρά πρώτη) και του πεδίου ορισμού της g (η οποία επιδρά δεύτερη), άρα ορίζεται η g f , οπότε (Σ).

5. 2 x x 0f (x) x x

x x 0− αν <⎧

= = = ⎨ αν ≥⎩ και g(x) x= , άρα f g≠ , οπότε (Λ).

6. Αφού 2 3< και f γνήσια αύξουσα θα είναι f (2) f (3)< , άρα (Λ). 7. Εφόσον η f γνήσια φθίνουσα στο Α θα είναι α < β , γιατί αν α ≥ β τότε και f ( ) f ( )α ≤ β , άτοπο,

οπότε (Σ). 8. Η f είναι γνήσια φθίνουσα στο Α και f ( ) 0α = , οπότε:

Για κάθε x < α θα είναι f (x) f ( )> α ⇔ f (x) 0> ⇔ f (x) 0≠ . Για κάθε x > α θα είναι f (x) f ( ) f (x) 0 f (x) 0< α ⇔ < ⇔ ≠ . Οπότε f (x) 0≠ για κάθε x ≠ α , άρα (Σ).

9. Αν f γνήσια αύξουσα στο Α και f ( ) 0α = τότε για κάθε x > α θα είναι f (x) f ( ) f (x) 0> α ⇔ > και αντίστροφα, οπότε (Σ).

10. Αν f γνήσια φθίνουσα στο Α και f ( ) 0α = τότε για κάθε x > α θα είναι f (x) f ( ) f (x) 0< α ⇔ < και αντίστροφα, οπότε (Λ).

Θέμα 2ον

Ζήτημα Α Αi. 1 2f ( 1) 3, f (2) 1, f (e) e 3, f (e ) e 2− −− = = = − + = + . Αii. g( 1) 2, g(3) 26, g(e) − = = δεν ορίζεται ,

1 1g(e ) 2e 4− −= + . Αiii. (f g)( 1) f (g( 1)) f (2) 1− = − = = , (g f )( 1) g(f ( 1)) g(3) 26− = − = = . Αiv. (f g)(0) f (0) g(0) 2 4 6+ = + = + = , (f g)(2) f (2) g(2) 1 8 7− = − = − = − .

( f )(1) f (1) 3= = , f f (4) 1 1(4)g g(4) 63 63

⎛ ⎞ −= = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

B. Το f ( 2)g

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ δεν ορίζεται γιατί g( 2) 0− = ,

το g (3)f

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

δεν ορίζεται γιατί f (3) 0= ,

το (f g)( 5) δεν ορίζεται γιατί δεν ορίζεται το g( 5) καθόσον 2 5 3< < .

Ζήτημα Β i. hA ( , 1) ( 1, )= −∞ − ∪ − +∞

ii. 2x 3x 2 (x 1)(x 2)h(x)

x 1 x 1+ + + +

= = ⇔+ +

f (x) x 2= + , x 1≠ − . iiiα. Έχουμε: ( )f (x) ln h(x) ln(x 2)= = + , οπότε το πεδίο ορισμού της προσδιορίζεται από τις

συνθήκες: x 1≠ − και x 2 0 x 2+ > ⇔ > − ,

Page 146: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 141 

άρα fA ( 2, 1) ( 1, )= − − ∪ − +∞ . iiiβ. f (x) 0 ln(x 2) 0 ln(x 2) ln1= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ x 2 1 x 1+ = ⇔ = − , όμως f1 A− ∉ , άρα δεν υπάρχουν κοινά σημεία με τον x x′ . f0 A∈ , άρα η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει με τον άξονα y y′ κοινό το σημείο

(0, ln 2) . iiiγ. gA [ 2, )= − +∞ , οπότε f g g fD {x A : g(x) A }= ∈ ∈ , άρα x 2≥ − (1) και x 2 2+ ≥ − που ισχύει αλλά

και x 2 1+ ≠ − που επίσης ισχύει, άρα f gD [ 2, )= − +∞ και (f g)(x) f (g(x)) ln(g(x) 2)= = + ⇔

(f g)(x) ln( x 2 2)= + + , x [ 2, )∈ − +∞ .

Θέμα 3ον Ζήτημα Α i. fA = — και gA [ 2,2]= − .

ii. 2 2f 24 4 4 2 2π π π⎛ ⎞ = ημ + συν = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠,

( ) ( )g f g f g 24 4

⎛ ⎞π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )24 2 4 2 2 f

4π⎛ ⎞− = − = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

iii. 1 x 1− ≤ ημ ≤ και 1 x 1− ≤ συν ≤ , οπότε προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: 2 x x 2 2 f(x) 2− ≤ ημ + συν ≤ ⇔ − ≤ ≤ .

Το xημ και το xσυν όμως δεν παίρνουν ταυτόχρονα τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές τους έχουμε τελικά ότι 2 f (x) 2− < < .

iv. g f f gD {x A : f (x) A }= ∈ ∈ , άρα x∈— και 2 f (x) 2− ≤ ≤ που ισχύει λόγω του Γ, άρα g fD = — .

( ) ( )g f (x) g f (x)= = 2 24 f (x) 4 ( x x)− = − ημ + συν = 2 24 ( x 2 x x x) 3 2 x x= − ημ + ημ συν + συν = − ημ συν ⇔ ( )g f (x) 3 2x= − ημ , x∈— .

v. (g f )(x) 2 3 2x 2 3 2x 4= ⇔ − ημ = ⇔ − ημ = ⇔

2x 1ημ = − , οπότε 2x 22π

= κπ − ⇔ x4π

= κπ − , κ∈Ÿ .

Ζήτημα B i. 2(g f )(x) x 2= + ⇔ 2g(f (x)) x 2= + (1) και εφόσον xg(x) e= ⇔ f (x)g(f (x)) e= (2). Από (1) και

(2) έχουμε f (x) 2e x 2= + ⇔ 2f (x) ln(x 2)= + , με fΔ = — .

ii. x x(h g)(x) 1 e (h(g(x)) 1 e= − ⇔ = − , όμως xg(x) e= , οπότε (h(g(x)) 1 g(x)= − ⇔

h(x) 1 x= − με h ( ,1]Δ = −∞ .

iii. { }f h h fx : h(x)Δ = ∈Δ ∈Δ , οπότε hx x 1∈Δ ⇔ ≤ και fh(x)∈Δ ⇔ 1 x− ∈— , άρα f h ( ,1]Δ = −∞. Οπότε (f h)(x) f (h(x))= = ( )( )2ln h(x) 2+ =

( )ln 1 x 2− + = ( )ln 3 x− , x 1≤ . iv. Αναζητάμε τις λύσεις της εξίσωσης (f h)(x) 0= , f hx∈Δ .

Οπότε (f h)(x) 0= ⇔ ( )ln 3 x ln1− = ⇔ 3 x 1− = ⇔ x 2= που απορρίπτεται γιατί f h2∉Δ .

Page 147: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 142 

Θέμα 4ον Ζήτημα Α i. Η σχέση f (x y) 2f(x y) f (x) f (y) 4y 1+ − − + + = + για x y 0= = μας δίνει:

f (0 0) 2f(0 0) f (0) f (0)+ − − + + = 4 0 1 f(0) 1= ⋅ + ⇔ = (A). ii. Η σχέση f (x y) 2f(x y) f (x) f (y) 4y 1+ − − + + = + για y x= μας δίνει

f (x x) 2f (x x) f (x) f (x) 4x 1+ − − + + = + ⇔

(A)

f (2x) 2f (0) 2f (x) 4x 1− + = + ⇔ f (2x) 2f(x) 4x 3+ = + , x∈—.

iii. Η σχέση f (x y) 2f(x y) f (x) f (y) 4y 1+ − − + + = + για y x= − μας δίνει

f (x x) 2f (x x) f (x) f ( x) 4x 1− − + + + − = − + ⇔(A)

f (0) 2f (2x) f (x) f ( x) 4x 1− + + − = − + ⇔2f(2x) f (x) f ( x) 4x= + − + , x∈—.

iv. Λύνοντας τις δυο σχέσεις που αποδείξαμε στα ii και iii ως προς f (2x) έχουμε: f (2x) 2f (x) 4x 3= − + + και

[ ]1f (2x) f (x) f ( x) 4x2

= + − + .

Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη έχουμε:

[ ]12f (x) 4x 3 f (x) f ( x) 4x2

− + + = + − + ⇔ 4f(x) 8x 6 f(x) f ( x) 4x− + + = + − + ⇔ , x∈—.

v. Θέτοντας στη σχέση 5f (x) f ( x) 4x 6+ − = + (1) όπου x το x− έχουμε: 5f ( x) f (x) 4x 6− + = − + (2). Λύνουμε την (1) ως προς f ( x)− και έχουμε f ( x) 5f(x) 4x 6− = − + + (3). Θέτουμε την (3) στη (2) οπότε: [ ]5 5f (x) 4x 6 f (x) 4x 6− + + + = − + ⇔

25f (x) 20x 30 f(x) 4x 6− + + + = − + ⇔ 24f(x) 24x 24 f(x) x 1− = − − ⇔ = + x∈—. Ζήτημα B i. Οι συναρτήσεις xg(x) e , x= ∈— και h(x) x 1, x= − ∈— είναι γνήσια αύξουσες στο —, οπότε η

συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο — σαν άθροισμα γνήσιων αυξουσών συναρτήσεων. ii. 0f (0) e 0 1 1 1 0= + − = − = . iii. Επειδή η f είναι γνήσια αύξουσα έχουμε για κάθε x 0 f (x) f (0)> ⇔ > ⇔ f (x) 0> , που σημαίνει

ότι για x 0> η γραφική παράσταση της f είναι πάνω από τον άξονα x x′ . iv. Για κάθε x∈— ισχύει:

2 2 2(x 1) 0 x 2x 1 0 x 2x 1− ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ − . Επειδή f γνήσια αύξουσα και για κάθε x∈— ισχύει: 2x 2x 1≥ − ⇔ 2f (x ) f (2x 1)≥ − ⇔

2f (x ) f (2x 1) 0− − ≥ για κάθε x∈— .

Page 148: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 143 

y

y x=

1f(x)x

=

y x= −

x Ο

Διαγώνισμα 2ον

Θέμα 1

Ζήτημα Α Εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λάθος (Λ). i. Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στο — και υπάρχει α∈— για το οποίο f ( ) 0α = , τότε

f ( 1) f ( 1) 0α− ⋅ α + < . Σ – Λ ii. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι συνάρτηση 1-1 και υπάρχει σημείο α∈Α για το

οποίο ισχύει f ( ) 0α = τότε f (x) 0≠ για κάθε x ≠ α . Σ – Λ

iii. Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α, σύνολο τιμών το f (A) και είναι αντιστρέψιμη στο

Α, τότε ( )1f f (x) x− = , για κάθε x A∈ . Σ – Λ iv. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z x 2i= + , x∈— . H συνάρτηση με τύπο f (x) ln z e= + έχει πεδίο

ορισμού το — για κάθε τιμή του z. Σ – Λ v. Έστω οι συναρτήσεις f ,g . Αν ορίζονται οι συναρτήσεις: 1f − , 1g− , f g και ( ) 1f g − , τότε ισχύει

( ) 1 1 1f g f g− − −= . Σ – Λ 2 μονάδες το κάθε ερώτημα

Ζήτημα B

Έστω η πραγματική συνάρτηση f με τύπο 1f (x)x

= , x 0≠ .

Στο σχήμα δίνεται η γραφική της παράσταση. Απαντήστε στα ακόλουθα ερωτήματα. i. Ερμηνεύστε τις συμμετρίες που παρουσιάζει η γραφική παράσταση ( )fC

της συνάρτησης f ως προς τις ευθείες y x= και y x= − , καθώς και ως προς την αρχή των αξόνων O(0,0) .

ii. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη. Βρείτε την γραφική παράσταση ( )1fC − της

συνάρτησης 1f − . iii. Βρείτε το πλήθος των κοινών σημείων των ( )fC και ( )1f

C − .

iv. Εξετάστε αν η συνάρτηση f είναι ολικά μονότονη. v. Ερμηνεύστε γιατί, αν και η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στα υποδιαστήματα ( ), 0−∞ και

(0, )+∞ , τα κοινά σημεία των ( )fC και ( )1fC − δεν ανήκουν στη διχοτόμο y x= − .

3 μονάδες το κάθε ερώτημα

Θέμα 2 Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι όλοι σωστοί. Εξηγήστε τους δίνοντας κατάλληλους ισχυρούς συλλογισμούς.

Page 149: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 144 

i. Αν f γνήσια φθίνουσα συνάρτηση στο — και g γνήσια αύξουσα συνάρτηση στο — , τότε η συνάρτηση h g f= − είναι γνήσια αύξουσα στο — .

Μονάδες 4

ii. Αν f μια αντιστρέψιμη συνάρτηση στο A , τότε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f(C ) και 1f

(C )− των συναρτήσεων f και 1f − , εφόσον υπάρχουν, είναι: ή σημεία που ανήκουν στην ευθεία εξίσωση y x= ,

ή σημεία συμμετρικά ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία y x= . Μονάδες 8

iii. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει η σχέση xf (e ) x 1= + , για κάθε x∈— , τότε η συνάρτηση f έχει τύπο f (x) ln x 1= + , πεδίο ορισμού το A (0, )= +∞ και είναι 1-1.

Μονάδες 6

iv. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z x yi= + , x,y∈— , καθώς και ο κύκλος (C) που στο μιγαδικό επίπεδο έχει κέντρο το σημείο K(2, 1)− και ακτίνα 1ρ = . Η συνάρτηση f με τύπο

( )f (x) ln ln z 2 i= − + ορίζεται στο — για κάθε μιγαδικό αριθμό που έχει εικόνα το οποιοδήποτε σημείο που είναι εξωτερικό του κυκλικού δίσκου που ορίζει ο κύκλος (C) .

Μονάδες 7

Θέμα 3 Ζήτημα Α Έστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει η σχέση 2f (x) ln(x 1) 1+ − = , για κάθε x 1> . i. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1. ii. Δείξτε ότι η αντίστροφη συνάρτηση 1f − της f έχει τύπο

21 1 xf (x) 1 e− −= + και πεδίο ορισμού το — .

iii. Υπολογίστε τον αριθμό f (1 e)+ .

4 μονάδες το κάθε ερώτημα Ζήτημα B Έστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει η σχέση f (f (x)) x 2f(x)+ = , για κάθε x∈— , καθώς και f (3) 5= .

i. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1.

Μονάδες 3

ii. Δείξτε ότι για την 1f − ισχύει η σχέση 1f (x) f (x) 2x− = − + , για κάθε x∈— . Μονάδες 4

iii. Δείξτε ότι 1f (3) 1− = . Μονάδες 2

iv. Δείξτε ότι η εξίσωση 1f (x) 5− = έχει λύση x 7= . Μονάδες 4

Page 150: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 145 

y

Ο 1-1 x

Cg

Θέμα 4

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με x

x

e 1f (x)e 1−

=+

και 1 xg(x) ln1 x+⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

i. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των δυο συναρτήσεων.

Μονάδες 3

ii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Μονάδες 4

iii. Να ορίσετε τη σύνθεση της συνάρτησης g με την f. Μονάδες 6

iv. Να αποδείξετε ότι 1f (x) g(x)− = για κάθε x ( 1,1)∈ − . Μονάδες 4

v. Να λύσετε την ανίσωση ( )2 1f (x 3) f 1 f (0)−− < + . Μονάδες 4

vi. Στο ακόλουθο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g. Σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων μια πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης f.

Μονάδες 4

Λύση του 2ου διαγωνίσματος

Θέμα 1ον Ζήτημα Α

i. (Σ) γιατί: f

1 1 f ( 1) f ( ) f ( 1)∨↓

α − < α < α + ⇔ α− > α > α + ⇒ f ( 1) 0 f ( 1)α− > > α+ ⇔ f ( 1) f ( 1) 0α− ⋅ α + < .

ii. (Σ) γιατί η συνάρτηση f είναι 1-1 άρα δεν υπάρχει άλλο x∈Α για το οποίο να είναι f (x) 0= , οπότε f (x) 0≠ για κάθε x ≠ α .

iii. (Λ) γιατί το σωστό είναι ότι ( )1f f (x) x− = για κάθε x f (A)∈ εφόσον η συνάρτηση που επιδρά

πρώτη είναι η 1f − και η οποία έχει πεδίο ορισμού το f (A) . iv. (Σ) γιατί: Το μέτρο κάθε μιγαδικού είναι μη αρνητικός αριθμός, άρα

z e 0 x 2i e 0+ ≥ ⇔ + + ≥ ⇔ (x e) 2i 0+ + ≥ ⇔ 2 2 2(x e) 2 0 (x e) 4 0+ + ≥ ⇔ + + ≥ . Η ισότητα θα ίσχυε μόνον όταν x e 0 x e+ = ⇔ = − και 4 0= , άτοπο, άρα z e 0+ > για κάθε x∈— . Η συνάρτηση f (x) ln z e= + έχει νόημα όταν z e 0+ > που συμβαίνει για κάθε x∈— .

v. (Λ) γιατί αν ήταν σωστό θα έπρεπε να ισχύει ( ) ( )( ) ( )( )( )1 1 1f g f g (x) f g f g(x) x− − −= = , για

κάθε f gx D∈ που δεν ισχύει. Το σωστό είναι ότι ( ) 1 1 1f g g f− − −= .

Ζήτημα Β

Page 151: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 146 

x

y

y x=

Ο

1f(x)x

=

y x= −

i. Η συνάρτηση 1f (x)x

= δημιουργεί διατεταγμένα ζεύγη της μορφής (x,y) με x y 1⋅ = .

Γνωρίζουμε ότι κάθε σημείο N(y,x) είναι συμμετρικό του σημείου M(x,y)ως προς τη διχοτόμο y x= . Του σημείου N(y,x) οι συντεταγμένες έχουν γινόμενο y x 1⋅ = , άρα βρίσκεται στη γραφική παράσταση της ( )fC , οπότε η ευθεία y x= είναι άξονας συμμετρίας της ( )fC .

Γνωρίζουμε ότι κάθε σημείο ( y, x)Λ − − είναι συμμετρικό του σημείου M(x,y)ως προς τη διχοτόμο y x= − . Του σημείου N( y, x)− − οι συντεταγμένες έχουν γινόμενο ( y) ( x) 1− ⋅ − = , άρα βρίσκεται στη γραφική παράσταση της ( )fC , οπότε η ευθεία y x= − είναι άξονας συμμετρίας της ( )fC .

Γνωρίζουμε ότι κάθε σημείο ( x, y)Ρ − − είναι συμμετρικό του σημείου M(x,y)ως προς την αρχή των αξόνων O(0,0) . Του σημείου ( x, y)Ρ − − οι συντεταγμένες έχουν γινόμενο ( x) ( y) 1− ⋅ − = , άρα βρίσκεται στη γραφική παράσταση της ( )fC , οπότε η αρχή των αξόνων O(0,0) είναι κέντρο συμμετρίας της

( )fC . ii. Η συνάρτηση f είναι προφανές από την γραφική της παράσταση ότι

είναι 1-1, άρα αντιστρέψιμη.

Έχουμε: 1y x y 1x

= ⇔ ⋅ = , με x 0≠ .

Aν y 0= , θα είχαμε x y 0⋅ = , άτοπο, άρα y 0≠ , οπότε 1xy

= .

Είναι x 0≠ , άρα πρέπει και 1 0y≠ , που ισχύει, άρα τελικά 1 1f (x)

x− = με

x 0≠ , άρα 1f (x) f (x)−= , οπότε η γραφική παράσταση ( )1fC − της συνάρτησης 1f − είναι ίδια με

της f . iii. Τα κοινά σημεία σε πλήθος των ( )fC και ( )1f

C − είναι άπειρα, μιας και 1f (x) f (x)−= .

iv. Η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα στα υποδιαστήματα ( ), 0−∞ και (0, )+∞ , αλλά ολικά δεν είναι γνήσια φθίνουσα γιατί:

Έστω ότι παίρνουμε ένα ( )1x ,0∈ −∞ , οπότε θα έχουμε 1f (x ) 0< . Έστω τώρα ότι παίρνουμε και ένα ( )2x ,0∈ −∞ , οπότε θα έχουμε 2f (x ) 0> . Άρα για 1 2x x< έχουμε 1 2f (x ) f (x )< και όχι

1 2f (x ) f (x )> , άρα δεν είναι γνήσια φθίνουσα, οπότε δεν είναι γνήσια μονότονη.

v. Αν οι γραφικές παραστάσεις ( )fC και ( )1fC − είχαν κοινά σημεία που ανήκαν στη διχοτόμο

y x= − , τότε η εξίσωση f (x) x= − θα είχε τουλάχιστον μια λύση x 0≠ .

Όμως 21f (x) x x x 1x

= − ⇔ = − ⇔ = − , αδύνατη.

Θέμα 2ον

i. Η f γνήσια φθίνουσα συνάρτηση στο — , άρα η -f γνήσια αύξουσα στο — . Είναι και g γνήσια αύξουσα συνάρτηση στο — , τότε η συνάρτηση h g f g ( f )= − = + − είναι γνήσια αύξουσα στο — .

ii. Έστω ότι οι γραφικές παραστάσεις f(C ) και 1f(C )− των συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινό το

σημείο 1 2M(x ,x ) . Αφού 1 2 f(x ,x ) C∈ , θα είναι 2 1x f (x )= (1). Αφού 11 2 f

(x ,x ) C −∈ , θα είναι:

Page 152: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 147 

1 11 2 1 2 1 2f (x ) x f (f (x )) f (x ) x f (x )− −= ⇔ = ⇔ = (2).

Το ζεύγος 2 1 f(x ,x ) C∈ γιατί λόγω της (2) είναι 2 1f (x ) x= . Το ίδιο ζεύγος 12 1 f

(x , x ) C −∈ γιατί λόγω της (1) 2 1x f (x )= 1 1 12 1 2 1f (x ) f (f (x ) f (x ) x− − −⇔ = ⇔ = .

Άρα όταν οι γραφικές παραστάσεις f(C ) και 1f

(C )− των συναρτήσεων f και 1f − έχουν κοινό το σημείο 1 2M(x ,x ) , τότε έχουν κοινό και το σημείο 2 1N(x ,x ) .

Αν 1 2x x= τότε 1 1 1 1M(x ,x ) N(x ,x )≡ , οπότε το κοινό τους σημείο βρίσκεται στην ευθεία y x= που είναι η διχοτόμος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

Αν 1 2x x≠ τότε οι γραφικές παραστάσεις f(C ) και 1f(C )− των συναρτήσεων f και 1f − όταν

έχουν κοινό το σημείο 1 2M(x ,x ) , έχουν κοινό και το σημείο 2 1N(x ,x ) , που σημαίνει ότι τα κοινά σημεία τους είναι συμμετρικά σημεία ως προς την ευθεία με εξίσωση y x= που είναι η διχοτόμος της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων.

iii. Θέτουμε xe u= , u 0> , οπότε x lnu= και έχουμε xf (e ) x 1= + f (u) lnu 1⇔ = + , u 0> , άρα η συνάρτηση f έχει τύπο f (x) ln x 1= + , πεδίο ορισμού A (0, )= +∞ . Έστω 1 2x , x A (0, )∈ = +∞ με 1 2f (x ) f (x )= ⇔ 1 2ln x 1 ln x 1+ = + ⇔ 1 2 1 2ln x ln x x x= ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι και 1-1.

iv. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z x yi= + . Η συνάρτηση ( )f (x) ln ln z 2 i= − + ορίζεται στο — εφόσον z 2 i 0− + ≠ , που σημαίνει ότι

z 2 i≠ − και όταν ( )ln ln z 2 i 0 ln z 2 i ln1− + > ⇔ − + > ⇔

z 2 i 1 z (2 i) 1− + > ⇔ − − > που σημαίνει ότι οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού z θα βρίσκονται εξωτερικά του κυκλικού δίσκου που ορίζει ο κύκλος (C) που έχει κέντρο το σημείο K(2, 1)− και ακτίνα 1ρ = . Για τα σημεία αυτά ισχύει ότι z 2 i≠ − , μιας και ο μιγάδας 2 i− έχει για εικόνα το κέντρο του κύκλου (C) .

Θέμα 3ον Ζήτημα Α i. Έστω 1 2x ,x (1, )∈ +∞ με

2 21 2 1 2f (x ) f (x ) f (x ) f (x )= ⇒ = ⇒

1 21 ln(x 1) 1 ln(x 1)− − = − − ⇒

1 2ln(x 1) ln(x 1)− = − ⇒ 1 2 1 2x 1 x 1 x x− = − ⇒ = , άρα η συνάρτηση f είναι 1-1. ii. Η σχέση 2f (x) ln(x 1) 1+ − = ισχύει για κάθε x 1> , οπότε 2f (x) 1 ln(x 1)= − − (1).

Επειδή 2f (x) 0≥ από την (1) έχουμε ότι θα είναι και 1 ln(x 1) 0− − ≥ ⇔ ln(x 1) 1− ≤ ⇔ ln(x 1) lne− ≤ ⇔ x 1 e x 1 e− ≤ ⇔ ≤ + , οπότε 1 x 1 e< ≤ + (2). Η (1) μας δίνει:

22 1 f (x)ln(x 1) 1 f (x) x 1 e −− = − ⇔ − = 21 f (x)x 1 e −⇔ = + (3).

Θέτουμε στη σχέση (2) την (3) και έχουμε: 21 f (x)1 x 1 e 1 1 e 1 e−< ≤ + ⇔ < + ≤ + ⇔

21 f (x) 10 e e−< ≤ ⇔

21 f (x) 1 2 2e e 1 f (x) 1 f (x) 0− ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ που ισχύ-ει για κάθε 1 x 1 e< ≤ + . Από την (3) έχουμε 21 1 xf (x) 1 e− −= + με πεδίο ορισμού το — .

iii. Από την 21 1 xf (x) 1 e− −= + για x 0= έχουμε 1 1 0 1f (0) 1 e f (0) 1 e− − −= + ⇔ = + , άρα f (1 e) 0+ = .

Page 153: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 148 

Ζήτημα Β i. Από την αρχική σχέση f (f (x)) x 2f(x)+ = έχουμε: f (f (x)) 2f (x) x= − (4). Έστω 1 2x ,x ∈— με

1 2f (x ) f (x )= ⇔ ( ) ( )1 2f f (x ) f f (x )= , οπότε λόγω της (4) έχουμε:

1 1 2 2 1 22f (x ) x 2f(x ) x x x− = − ⇔ = , άρα η συνάρτηση f είναι 1-1. ii. Στη σχέση f (f (x)) x 2f(x)+ = θέτουμε στη θέση του x το 1f (x)− και έχουμε:

1 1 1f (f (f (x))) f (x) 2f (f (x))− − −+ = ⇔ 1 1f (x) f (x) 2x f (x) f (x) 2x− −+ = ⇔ = − + .

iii. Στη σχέση 1f (x) f (x) 2x− = − + θέτουμε όπου x το 3 και έχουμε: f (3) 5

1 1f (3) f (3) 2 3 f (3) f (3) 6=

− −= − + ⋅ ⇔ = − + ⇔ 1 1f (3) 5 6 f (3) 1− −= − + ⇔ = .

iv. 1 1f (x) 5 f (f (x)) f (5) x f (5).− −= ⇔ = ⇔ = Άρα αρκεί να δείξουμε ότι f (5) 7.= Έχουμε 5 f (3) f (5) f (f (3))= ⇔ = (5). Από την (4) για x 3= έχουμε f (f (3)) 2f(3) 3= − (6).

Η (5) λόγω της (6) μας δίνει f (3) 5

f (5) 2f (3)) 3=

= − ⇔ f (5) 2 5 3 f (5) 7= ⋅ − ⇔ = .

Θέμα 4

i. Για να ορίζεται η συνάρτηση f με x

x

e 1f (x)e 1−

=+

πρέπει και αρκεί x1 e 0+ ≠ που ισχύει για κάθε

x∈— , οπότε το πεδίο ορισμού της είναι το A = — .

Για να ορίζεται η συνάρτηση g με 1 xg(x) ln1 x+⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

πρέπει και αρκεί να ισχύουν ταυτόχρονα οι

σχέσεις 1 x 0− ≠ και 1 x 01 x+

>−

που είναι ισοδύναμες με την 1 x 0 (1 x)(1 x) 01 x+

> ⇔ + − >−

που

ισχύει για κάθε x ( 1,1)∈ − , οπότε το πεδίο ορισμού της είναι το B ( 1,1)= − .

ii. Έστω 1 2x ,x A∈ με 1 2x x≠ . Σχηματίζουμε το λόγο μεταβολής λ για την συνάρτηση f στις θέσεις

1 2x ,x A∈ . 1 2

1 2

x x

x x1 2

1 2 1 2

e 1 e 1f (x ) f (x ) e 1 e 1

x x x x

− −−− + +λ = = =

− −

1 2 2 1

1 1

x x x x

x x

1 2

(e 1)(e 1) (e 1)(e 1)(e 1)(e 1)

x x

− + − − ++ + =

−1 2 1 2 2 1 2 1

1 1

x x x x x x x x

x x1 2

(e e e e 1) (e e e e 1)(x x )(e 1)(e 1)

+ − − − + − −=

− + +

1 2

1 1

x x

x x1 2

2(e e )(x x )(e 1)(e 1)

−=

− + +

1 2

1 1

x x

x x1 2

e e 2(x x ) (e 1)(e 1)

−⋅

− + +.

Είναι γνωστό ότι η συνάρτηση g με xg(x) e= είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση, οπότε 1 2x x

1 2

e e 0(x x )

−>

−(1) και 1xe 1 0+ > (2) καθώς και 2xe 1 0+ > (3), οπότε ένεκα των (1), (2) και (3)

έχουμε σαν συμπέρασμα ότι 0λ > , οπότε η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

Page 154: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 149 

x

y

y=x

Ο 1-1

Cg

Cf

iii. Αν Δ το πεδίο ορισμού της f g τότε αυτό ορίζεται σαν { }x B : g(x) AΔ = ∈ ∈ .

x B 1 x 1∈ ⇔ − < < ενώ 1 xg(x) A ln1 x−⎛ ⎞∈ ⇔ ∈⎜ ⎟+⎝ ⎠

— που ισχύει, άρα ( 1,1)Δ = − .

Ο τύπος της f g ορίζεται ως εξής: ( )1 xln

g(x) 1 x

g(x) 1 xln1 x

e 1 e 1(f g)(x) f g(x)e 1

e 1

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

+⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

− −= = = =

++

1 x 1 x 1 x1 2x1 x 1 x x1 x 1 x 1 x 211 x 1 x

+ + − +−

− −= = =+ + + −

+− −

, άρα

(f g)(x) x= , x ( 1,1)∈Δ = − . Παρατήρηση: πρέπει να γνωρίζουμε ότι lnxe x= , για κάθε x 0> . iv. Η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, άρα 1-1, οπότε αντιστρέφεται.

Έχουμεx

x

e 1f (x)e 1−

=+

, x∈— x

x

e 1ye 1−

⇔ = ⇔+

x x xy e y e 1 (1 y)e y 1⋅ + = − ⇔ − = + (4). Αν y 1 0 y 1− = ⇔ = η (4) γίνεται x0 e 2⋅ = αδύνατο, άρα y 1≠ .

Αφού y 1≠ η (4) μας δίνει x 1 ye1 y+

=−

, y 1≠ .

Για κάθε x∈— είναι xe 0> ⇔ 1 y 0 (1 y)(1 y) 0 y ( 1,1)1 y+

> ⇔ + − > ⇔ ∈ −−

, άρα η αντίστροφη της f είναι η 1 1 xf (x) ln1 x

− +⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠,

x ( 1,1)∈ − , οπότε αποδείξαμε ότι 1f (x) g(x)− = .

v. f ↑̂ οπότε: ( ) ^2 1f (x 3) f 1 f (0)

↑−− < + ⇔

2 1 2 1 0x 3 1 f (0) x 3 1 ln1 0

− +⎛ ⎞− < + ⇔ − < + ⇔⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 2x 3 1 ln1 x 4 0− < + ⇔ − < ⇔ (x 2)(x 2) 0 2 x 2− + < ⇔ − < < .

vi. Στο σχήμα δίνεται με συμπαγή (μπλε) γραμμή η γραφική

παράσταση gC της συνάρτησης g. Με διακεκομμένη (κόκκινη γραμμή) είναι η γραφική παράσταση

fC της συνάρτησης f η οποία είναι συμμετρική καμπύλη της gC ως προς τη διχοτόμο y x= , γιατί οι συναρτήσεις είναι, η μία αντίστροφη της άλλης.

Page 155: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 150 

Διαγωνίσματα προς λύση Διαγώνισμα 1ον

Θέμα 1 Ζήτημα Α Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το —. Απαντήστε σύντομα στις παρακάτω ερωτήσεις. α. Πότε η f είναι αντιστρέψιμη ;

Μονάδες 3 β. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της 1f − ;

Μονάδες 3 γ. Τι γνωρίζετε για τις γραφικές παραστάσεις των f και 1f − ;

Μονάδες 3 δ. Πότε οι συναρτήσεις 1f f − και 1f f− είναι ίσες;

Μονάδες 3 ε. Αν η f είναι γνησίως μονότονη στο Α, αναφέρατε τι γνωρίζετε για τη μονοτονία της 1f − .

Μονάδες 3 Ζήτημα Β Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, η οποία είναι γνησίως μονότονη στο Α. Οι παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστές ή λάθος. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα Σ αν αυτή είναι σωστή , ή το γράμμα Λ αν αυτή είναι λάθος. α. Αν 1,2 A∈ ώστε f (1) 2= και f (2) 1= τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.

Μονάδες 2 β. Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y x= στο σημείο (1,1) , τότε και η γραφική

παράσταση της 1f − τέμνει την y x= στο ίδιο σημείο. Μονάδες 2

γ. Αν f (x) 0≠ για κάθε x που ανήκει στο Α τότε η 1f − δεν ορίζεται στο 0. Μονάδες 2

δ. Αν για κάποιο 0x ∈Α ισχύει 10 0x f (x )−< και 0 0f (x ) x< τότε η f πρέπει να είναι γνησίως

αύξουσα. Μονάδες 2

Θέμα 2

Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f ,g με πεδίο ορισμού το —, για τις οποίες δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης της g με την f, δηλαδή η fog είναι 1-1. α. Να δείξετε ότι η g είναι 1-1.

Μονάδες 7 β. Αν για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό x ισχύει: g(f (ln x) 1) g(x 2)+ = + , να δείξετε ότι

xf (x) e 1= + , x∈— . Μονάδες 18

Page 156: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 151 

Θέμα 3

Δίνεται η συνάρτηση 1 xf (x) ln1 x−

=+

.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f .

Μονάδες 5 β. Να δείξετε ότι ορίζετε η 1f − την οποία να ορίσετε.

Μονάδες 7 γ. Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f και 1f − είναι περιττές.

Μονάδες 7 δ. Να δείξετε ότι γενικά ισχύει:

«Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και 1-1 τότε και η συνάρτηση 1f − είναι περιττή». Μονάδες 6

Θέμα 4 α. Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — και με f (0) 1= .

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2

2f (x)g(x)1 f (x)

=+

, x∈— , έχει μέγιστη τιμή το 1.

Μονάδες 7

β. Να βρείτε δύο συναρτήσεις f , ώστε η συνάρτηση x

2x

2e(x) 20031 e

ϕ = ++

, x∈— , να είναι ίση με

την συνάρτηση h(x) g(x) 2003= + , x∈— , όπου g η συνάρτηση του α. Μονάδες 10

γ. Να βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης x

2x

2e(x) 20031 e

ϕ = ++

.

Μονάδες 8

Διαγώνισμα 2ον

Θέμα 1 Ζήτημα Α Έστω μια συνάρτηση f με τύπο y f (x)= και πεδίο ορισμού το Α. Αν με fC συμβολίσουμε την γραφική της παράσταση, τότε δώστε μια συνθήκη για να ισχύουν τα εξής: i. Η γραφική παράσταση fC βρίσκεται πάνω από τον άξονα των τετμημένων x x′ .

ii. Η γραφική παράσταση fC βρίσκεται αριστερά του άξονα των τεταγμένων y y′ . iii. Η γραφική παράσταση fC κόβει τον άξονα των τετμημένων x x′ . iv. Η γραφική παράσταση fC κόβει τον άξονα των τεταγμένων y y′ .

2,5 μονάδες το κάθε ερώτημα

Page 157: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 152 

Ζήτημα Β Έστω η συνάρτηση f με τύπο y f (x)= η οποία έχει πεδίο ορισμού το A ≠ ∅ και σύνολο τιμών το f (A) , καθώς και η συνάρτηση g με τύπο y g(x)= , πεδίο ορισμού το B ≠ ∅ και σύνολο τιμών το g(B) . Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λάθος (Λ) 1. Αν f g= τότε f (A) g(B)= . Σ – Λ 2. Αν A B= και f (A) g(B)= τότε f g= . Σ – Λ

3. f f (x)(x)g g(x)

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ για κάθε x A B∈ ∩ . Σ – Λ

4. Αν ισχύει B f(A)∩ ≠∅ τότε ορίζεται η g f . Σ – Λ 5. Αν 2f (x) x= και g(x) x= , τότε f g= . Σ – Λ 6. Αν f γνήσια αύξουσα στο Α τότε f (2) f (3)> . Σ – Λ 7. Αν f γνήσια φθίνουσα στο Α και f ( ) f ( )α > β τότε α < β . Σ – Λ 8. Αν f γνήσια φθίνουσα στο Α και f ( ) 0α = τότε f (x) 0≠ για κάθε x ≠ α . Σ – Λ 9. Αν f γνήσια αύξουσα στο Α και f ( ) 0α = τότε f (x) 0> για κάθε x > α . Σ – Λ 10. Αν f γνήσια φθίνουσα στο Α και f ( ) 0α = τότε f (x) 0> για κάθε x > α . Σ – Λ

1,5 μονάδα κάθε ερώτημα

Θέμα 2 Ζήτημα Α

Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με τύπους αντίστοιχα 2x +2 , x 1

f (x)x 3 , x 2

⎧ ≤= ⎨

− + ≥⎩ και

3x -1 , x 3g(x)

2x 4, x 2⎧ ≥

= ⎨+ ≤⎩

.

A.. Υπολογίστε τους αριθμούς: i. 1f ( 1), f (2), f (e), f (e )−− .

ii. 1g( 1), g(3), g(e), g(e )−− . iii. (f g)( 1)− , (g f )( 1)− .

iv. (f g)(0)+ , (f g)(2)− , ( f )(1) , f (4)g

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2 μονάδες το κάθε ερώτημα

Page 158: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 153 

B. Εξετάστε αν ορίζονται τα ακόλουθα:

f ( 2)g

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠,

g (3)f

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, (f g)( 5) . 2 μονάδες

Ζήτημα Β

Έστω η συνάρτηση 2x 3x 2h(x)

x 1+ +

=+

.

i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Μονάδες 2,5 ii. Απλοποιήσετε τον τύπο της.

Μονάδες 2,5 iii. Έστω η συνάρτηση ( )f (x) ln h(x)= .

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

Μονάδες 2,5 β. Εξετάστε αν υπάρχουν κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους

άξονες x x′ και y y′ . Μονάδες 3,5

γ. Αν g(x) x 2= + , να ορίσετε τη συνάρτηση f g . Μονάδες 4

Θέμα 3

Ζήτημα Α Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g με αντίστοιχους τύπους f (x) x x= ημ + συν και 2g(x) 4 x= − . i. Βρείτε τα πεδία ορισμού fΑ και gΑ των f και g .

Μονάδες 2,5

ii. Δείξτε ότι ( )g f f4 4π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Μονάδες 2,5 iii. Δείξτε ότι 2 f (x) 2− < < .

Μονάδες 2,5 iv. Ορίστε τη συνάρτηση g f .

Μονάδες 2,5 v. Λύστε την εξίσωση (g f )(x) 2= , x∈— .

Μονάδες 2,5 Ζήτημα B Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g,h . Αν xg(x) e= , 2(g f )(x) x 2= + , και x(h g)(x) 1 e= − , τότε: i. Nα βρεθεί η συνάρτηση f.

Μονάδες 3

Page 159: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 154 

ii. Nα βρεθεί η συνάρτηση g. Μονάδες 3

iii. Να βρεθεί η συνάρτηση f h .

Μονάδες 3 iv. Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f h με τον άξονα x x′ .

Μονάδες 3,5

Θέμα 4 Ζήτημα Α Η συνάρτηση f έχει για κάθε x, y∈— την ιδιότητα: f (x y) 2f(x y) f (x) f (y) 4y 1+ − − + + = + . Δείξτε ότι: i. f (0) 1= .

Μονάδες 2,5 ii. f (2x) 2f(x) 4x 3+ = + , x∈—.

Μονάδες 2,5 iii. 2f (2x) f (x) f ( x) 4x= + − + , x∈—.

Μονάδες 2,5 iv. 5f (x) f ( x) 4x 6+ − = + , x∈—.

Μονάδες 2,5 v. f (x) x 1= + , x∈—.

Μονάδες 2,5 Ζήτημα B Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο xf (x) e x 1= + − .

i. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση στο —.

Μονάδες 2,5

ii. Δείξτε ότι f (0) 0= .

Μονάδες 2,5

iii. Να μελετήσετε τη θέση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f σε σχέση με τον άξονα των τετμημένων x x′ .

Μονάδες 2,5

iv. Αφού πρώτα αποδείξετε ότι για κάθε x∈— ισχύει ότι 2x 2x 1≥ − , στη συνέχεια αποδείξτε ότι 2f (x ) f (2x 1) 0− − ≥ για κάθε x∈—.

Μονάδες 5

Διαγώνισμα 3ον

Θέμα 1 Ζήτημα Α Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

Page 160: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 155 

i. 3 10 xg(x)x 3

− −=

ii. p(x) 2x 1 4= − − .

iii. f (x) 1 4 x= − −

iv. 1 xh(x) ln1 x−

=+

v. 2x x

x

e e 1q(x) ln2e 1− +

=−

.

3 μονάδες το κάθε ερώτημα Ζήτημα Β Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα να λυθεί η εξίσωση: 2(f f )(x 4x) (f f )(x 4)+ = +

Μονάδες 10

Θέμα 2 Ζήτημα Α Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g= . Στις περιπτώσεις που είναι f g≠ , να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του — για να μπορεί να είναι f g= .

α. 2f (x) x= και ( )2g(x) x= .

β. 2

2

x 1f (x)x x

−=

+ και 1g(x) 1

x= − .

γ. x 1f (x)x 1−

=−

και g(x) x 1= − .

δ. 2f (x) ln( x 1 x)= + − και 2g(x) ln( x 1 x)= + + . 3 μονάδες το κάθε ερώτημα

Ζήτημα Β Αν για κάθε x∈— ισχύει ότι ( ) x 1f g (x) e 3+= + και είναι f (x) x 3= + , να βρεθεί η συνάρτηση g .

Μονάδες 13 Θέμα 3

Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους x 2f (x)x 3+

=−

και x 3g(x)x 2+

=−

.

i. Να ορισθεί η συνάρτηση f g . ii. Να ορισθεί η συνάρτηση 1g− . iii. Να ορισθεί η συνάρτηση 1f − . iv. Να ορισθεί η συνάρτηση 1 1g f− − . v. Να ορισθεί η συνάρτηση ( ) ( )1 1f g g f− − .

5 μονάδες το κάθε ερώτημα

Θέμα 4 Ζήτημα Α Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με: x x 1f (x) 4 2 += − και x 2g(x) 2 8+= − .

Page 161: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 156 

i. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των fC και gC . Μονάδες 5

ii. Να βρεθούν τα διαστήματα, στα οποία η fC είναι πάνω από τη gC . Μονάδες 5

Ζήτημα Β Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει για κάθε x∈— ότι x 2x xf (e 1) e 2e 2− = − + . i. Να βρεθεί η συνάρτηση f.

Μονάδες 5 ii. Δείξτε ότι f (x 2) f (x 2) 8x+ − − = για κάθε x∈—.

Μονάδες 5 iii. Για τις διάφορες πραγματικές τιμές της παραμέτρου λ∈—, να βρεθούν τα κοινά σημεία της

γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας με εξίσωση y x 1= λ − . Μονάδες 5

Διαγώνισμα 4ον

Θέμα 1 Ζήτημα Α 1. Για τη συνάρτηση f (x) ln x= , x 0> , ισχύει για κάθε x,y 0> ότι f (x y) f (x) f (y)⋅ = + .

Σ - Λ

2. Για τη συνάρτηση xf (x) e= , x∈— , ισχύει για κάθε x,y∈— ότι f (x y) f (x) f (y)+ = ⋅ .

Σ - Λ

3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x′ .

Σ - Λ

4. Η συνάρτηση x

x

e 2f (x)e 4+

=+

είναι φραγμένη.

3 μονάδες το κάθε ερώτημα Ζήτημα Β

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2

24

xf (x) x 2x 1

= + ημ ++

είναι φραγμένη.

Μονάδες 13

Θέμα 2 Ζήτημα Α Έστω η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — η οποία πληρεί τη σχέση ( ) 2f f f f f (x) x 3x 4= − + , για κάθε x∈—. Να αποδειχθεί ότι ( )f f f (2) 2= .

Μονάδες 12,5

Page 162: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 157 

Ζήτημα Β Να λυθεί η εξίσωση x 2 2e ln(x 1) x 2x 1 0− + − + − − = .

Μονάδες 12,5

Θέμα 3 Ζήτημα Α Να λυθεί η εξίσωση 15 9 3x x x 3+ + = .

Μονάδες 12,5 Ζήτημα Β

Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης 1 xf (x) ln1 x−

=+

.

Μονάδες 12,5

Θέμα 4 Ζήτημα Α Έστω η γνησίως φθίνουσα πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — με 0 f (x) 1< < για κάθε x∈—.

i. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση g με 2

f (x)g(x)1 f (x)

=+

Μονάδες 5 ii. Να λυθεί η ανίσωση 3 xg(x e ) g(x 1)+ < −

Μονάδες 5 Ζήτημα Β Δίνεται η πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το — για την οποία ισχύει για κάθε x∈— ότι ( )f f (x) x= .

i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται.

Μονάδες 5 ii. Ορίζουμε τη συνάρτηση g με g(x) x f (x)= + , x∈—. α. Να αποδείξετε ότι ( )g f (x) g(x)= , x∈—.

Μονάδες 5 β. Αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα, να αποδείξετε ότι f (x) x= , x∈—.

Μονάδες 5

Page 163: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 1 

Θέματα για όσους θέλουν να προετοιμαστούν πολύ καλά για τις εξετάσεις

1η κατηγορία: Συναρτήσεις

Εκφώνηση

Υπόδειξη

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Page 164: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com

www.mathjazz.com   ­   συναρτήσεις                                                                                                                    Σελίδα 2 

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Page 165: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com  

Mathjazz, τα μαθηματικά του υποψήφιου  Σελίδα 1  

  Έλεγχος γνώσεων στα βασικά θέματα του 1ου κεφαλαίου  

Θέμα 1 1.

2.

στήλη 1

στήλη 2

3.

4.

5.

6.

7.

στήλη 1

στήλη 2

Page 166: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com  

Mathjazz, τα μαθηματικά του υποψήφιου  Σελίδα 2  

8.

9.

10.

 

Οι απαντήσεις

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Page 167: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com  

Mathjazz, τα μαθηματικά του υποψήφιου  Σελίδα 3  

  Θέμα 2 1.

2.

3.

 

4.

5.

Οι απαντήσεις 1.

Page 168: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com  

Mathjazz, τα μαθηματικά του υποψήφιου  Σελίδα 4  

2. 3.

4.

5.

Page 169: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com  

Mathjazz, τα μαθηματικά του υποψήφιου  Σελίδα 5  

  Θέμα 3 1.

 

 2.

 

3.

4.

5.

Page 170: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com  

Mathjazz, τα μαθηματικά του υποψήφιου  Σελίδα 6  

Οι απαντήσεις

1. α. Λ, β. Λ, γ. Λ, δ. Σ, ε. Λ

2. α. Λ, β. Λ, γ. Λ, δ. Σ

3. α. Σ, β. Σ, γ. Λ, δ. Σ

4.

 

5.

Page 171: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com  

Mathjazz, τα μαθηματικά του υποψήφιου  Σελίδα 7  

  

Θέμα 4

1.  

   

2.

 

3.

 

     

Page 172: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com  

Mathjazz, τα μαθηματικά του υποψήφιου  Σελίδα 8  

Οι απαντήσεις

1.

  

2.

 

  

3.

Page 173: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com  

Mathjazz, τα μαθηματικά του υποψήφιου  Σελίδα 9  

  Θέμα 5

1.

 

  

2.

 

Οι απαντήσεις

1.

  

Page 174: Ανάλυση έως αντίστροφη από το θωμά ραϊκόφτσαλη

www.mathjazz.com  

Mathjazz, τα μαθηματικά του υποψήφιου  Σελίδα 10  

2.