Post on 25-Jan-2016
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LÍMITES Y SUS PROPIEDADES
1
LIC. SUJEY HERRERA RAMOS
2
DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real:
Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:
cxLxf
)(lim
Lxfentoncescx )(,0
CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES
4
PROPIEDADES DE UN LÍMITE
Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.
bbcx
lim cx
cx
lim
nn
cxcx
lim
5
Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:
33lim2
x
4lim4
x
x
42lim 22
2
x
x
6
Teorema 1.2:Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes:
1. Múltiplo Escalar:
2. Suma o Diferencia
3. Producto:
Lxfcx
)(lim Kxgcx
)(lim
bLxfbcx
)(lim
KLxgxfcx
)()(lim
LKxgxfcx
)()(lim
7
4. Cociente:
5. Potencias:
0,)(
)(lim
KquesiempreK
L
xg
xfcx
nn
cxLxf
)(lim
8
Ejemplo: Límite de un Polinomio
3lim4lim)34(2
2
2
2
2 xxx
xxlím
19
316
3)2(4
3lim)lim(4
2
2
2
2
xx
x
9
Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real:
Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos
)()(lim cpxpcx
)(
)()()(lim
cq
cpcrxr
cx
10
Ejemplo: Límite de una Función racional
Como el denominador no es 0 cuando x=1
1
22
1
x
xxlímx
22
411
2112
1
xlím
11
Teorema 1.4:Límite de una Función radical
Si n es un entero positivo:
• Para toda c si n es impar• c > si n es par
nn
cxcx
lim
12
Teorema 1.5 Límite de una Función Compuesta
Si f y g son funciones tales que: y
Entonces:
Lxgcx
)(lim )()(lim LfxfLx
)())(lim())((lim Lfxgfxgfcxcx
13
Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas
Sea c un número real: csenxsen
cx
)(lim cx
cxcos)cos(lim
cxcx
tan)tan(lim
cxcx
cot)cot(lim
cxcx
sec)sec(lim
cxcx
csc)csc(lim
14
Ejemplos
00tan)tan(lim0
xx
)cos(coslimlim)cos(lim xxxxxxx
00)(limlim 22
0
2
0
xsenxsen
xx
CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O
UNILATERALES
16
Definición de Continuidad
Continuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen:
)()(lim
)(lim
)(
cfxf
existexf
definidaestacf
cx
cx
17
Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo.
Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes.
18
Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.
xxf
1)(
Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido
19
Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.
xxf
1)(
Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido
20
Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.
xseny Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞)
21
Ejemplo límite Lateral
04lim 2
2
x
x
Encontrar el límite de cuando x se aproxima a -2 por la derecha
24)( xxf
22
Teorema 1.10 Existencia de un límite
LxfyLxfcxcx
)(lim)(lim
Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:
23
Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado
)()(lim)()(lim bfxfyafxfbxax
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el Intervalo abierto (a,b)n
La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b
24
Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado
Analizar la continuidad de
Se concluye que f es continua en [-1,1]
21)( xxf
)1(01lim 2
1
fx
x
)1(01lim 2
1fx
x
Continua por la derecha
Continua por la izquierda
25
Teorema 1.11 Propiedades de la Continuidad
Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes también son continuas en c:
Múltiplo escalar: bf
Suma o Diferencia: f ± g
Producto: fg
Cociente: f , si g(c) ≠ 0 g
LÍMITES INFINITOS
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Definición de Límites Infinitos
Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión
cxxf
)(lim
cxxf
)(lim
Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica
28
1
1lim1 xx
1
1lim1 xx
Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica
29
21 )1(
1lim
xx
Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica
30
21 )1(
1lim
xx
31
Teorema 1.15 Propiedades de los Límites Infinitos
Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que:
Suma o Diferencia:
Producto:
)(lim xfcx
Lxgcx
)(lim
)()(lim xgxfcx
0,)()(lim
,)()(lim
)()(lim
Lxgxf
oLxgxf
xgxf
cx
cx
cx
32
Cociente:
0)(
)(lim xf
xgcx
33
Ejemplo: Cálculo de Límites
Calcular los siguientes límites
20
20
0
20
11lim
1lim
11lim
11lim
x
x
x
x
x
x
x