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59

La ecuación de la curva normal

viene dada por la expresión

Los valores de x están distribuidos

normalmente con promedio µ y una

varianza σ2

]2/)(exp[ 2

1 )(

22 σµ πσ

−−= xxf

),( 2σµNx ≈

Distribución normal

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60

Función de densidad de probabilidad normal para distintos valores de µ2 y σ2.

Distribución normal

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61

� La desviación estándar, σσσσ, mide la distancia desde la media, µµµµ, hasta el punto de inflexión de la curva.

���� Un 95% de los valores están comprendidos en el interyalo µµµµ ± 1,9600σσσσ.

���� Un 99% de los valores están comprendidos en el intervalo µµµµ ± 2,576σσσσ.

���� Un 99,7% de Ios valores están comprendidos en el intervalo µµµµ ± 3,290σσσσ.

Distribución normal

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62

Estandarización de variables

Planillas de cálculo, tablas

σ

µ− =

x z

 

  

 −=

2 exp

2

1 )(

2 z

zf π

Distribución normal

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63

Intervalos de confianza

Para una distribución normal el 95 % de los datos cae dentro de los límites z=-1,96 a z=1,96 (µµµµ± 1,96σσσσ)

Los promedios de las muestras tambien se

distribuyen normalmente

Existe un 95 % de probabilidad de que (estimador de µµµµ) este comprendido en ese rango

X

n

σ µ 96.1±

Distribución normal

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64

El teorema del límite central proporciona el fundamento estadístico que permite esperar dicha tendencia de los datos experimentales.

“Aún cuando la población original no esté distribuida normalmente, tiende a la distribución normal cuando aumenta n” (valores medios)

Teorema del límite central.

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65

Para muestras grandes (n>30), los límites de confianza de la media vienen dados por :

nzσµ ±

Donde z depende del nivel de confianza requerido

Para el 95%, z = 1.96

Para el 99%, z = 2.58 Para el 99.7%, z = 2.97

Distribución normal

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66

Para muestras pequeñas (n

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67

Distribución t de Student.

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68

No existen diferencias significativas entre nuestras

observaciones y una referencia o entre conjuntos de datos

Hipótesis Nula (H0) Hipótesis Alternativa (H1)

Si existen diferencias significativas entre nuestras

observaciones y una referencia o entre conjuntos de datos

¿Las diferencias entre nuestras observaciones y una referencia o entre conjuntos de datos son de naturaleza química (por ejemplo) o estadística?

Sistemática a seguir: Comprobación de hipótesis

Validez

Tests Estadísticos

Una decisión no es estrictamente verdadera, sino que, NO puede demostrarse su falsedad

(probabilidades)

Hipótesis estadísticas.

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69

Tipos de errores en el analisis inferencial de datos

Decisión Tomada

Aceptar H0 Rechazar H0

Resultado verdadero

H0 verdadera

No existe error

Tipo I (falso positivo, αααα)

H0 falsa Tipo II (falso negativo, ββββ)

No existe error

La implementación de los procedimientos estadísticos tienen por objetivo minimizar los errores αααα y ββββ

αααα : β β β β αααα : β β β β αααα : β β β β : n

Tipos de errores en el análisis inferencial.

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70

Comparación de una media con un valor determinado n < 30

Suposiciones: Distribución Aproximadamente Normal

Hipótesis: Nula: H0: µ = µ = µ = µ = µµµµ0000

Alternativa: H1,

dos colas: µ µ µ µ ≠≠≠≠ µµµµ0000

una cola: µ µ µ µ < µ< µ< µ< µ0 0 0 0 y µ >µ >µ >µ > µµµµ0000

Test estadístico: Distribución t con (n-1) grados de libertad

Decisiones:

H1: µ µ µ µ ≠≠≠≠ µµµµ0000 (test dos colas) -tαααα /2, n-1 < t < -tαααα /2, n-1 H0 aceptada

H1: µ µ µ µ µ > µ > µµµµ0000 (test una cola) t < tαααα , n-1 H0 aceptada

ns

x t 0

µ− =

Hipótesis estadísticas.

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71

Hipótesis estadísticas.

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72

Excel

Hipótesis estadísticas.

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73

Suposiciones: Dos muestras independientes (1 y 2) de Distribución Aproximadamente Normal

Hipótesis: Nula: H0: µ = µ = µ = µ = µµµµ0000

Alternativa: H1,

dos colas: µ µ µ µ ≠≠≠≠ µµµµ0000

una cola: µ µ µ µ < µ< µ< µ< µ0 0 0 0 y µ >µ >µ >µ > µµµµ0000

Test estadístico: Depende de que la relación (varianza mayor / varianza menor) sea menor o mayor de 3. (también test F: si Fcalculado >

Fcritico : varianzas diferentes).

Comparación de dos muestras n < 30

Hipótesis estadísticas.

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74

21

21

11

nn s

xx t

p +

− = ( ) ( )

2

11

21

2

22

2

11

−+

−+− =

nn

snsn s p

2

2

2

1

2

1

21

n

s

n

s

xx t

+

− = ( )

( ) ( ) 11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

21

2

1

− +

−

+ =

n

ns

n

ns

nsns df

Varianzas iguales

Varianzas distintas

Relación de varianzas

Hipótesis estadísticas.

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75

2_

1_

Varianza

Varianza Fcal =

Varianzas iguales

Varianzas distintas

Prueba F

2_

1_

Varianza

Varianza Fcal =

crítcal FF <

crítcal FF >

Hipótesis estadísticas.

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76

Decisiones:

Tener en cuenta los “nuevos” grados de libertad (df)

H1: µ µ µ µ ≠≠≠≠ µµµµ0000(test dos colas) -tαααα/2, df < t < tαααα/2, df H0 aceptada

H1: µ µ µ µ µ > µ > µµµµ0000(test una cola) t < tαααα, df H0 aceptada

Hipótesis estadísticas.

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77

Minitab

Hipótesis estadísticas.

Escribir

78

Excel

Hipótesis estadísticas.

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79

Suposiciones: D, (D = tratamiento 1 – tratamiento 2)se distribuye aproximadamente en forma normal

Hipótesis: Nula: H0: µµµµD = = = = 0000

Alternativa: H1,

dos colas: µµµµD ≠≠≠≠ 0000

una cola: µµµµD < 0< 0< 0< 0 y µµµµD >>>> 0000

Test estadístico:

Decisiones:

H1: µµµµD ≠≠≠≠ 0000 (test dos colas) -tαααα /2, df < t < -tαααα /2, df H0 aceptada

H1: µµµµD < 0< 0< 0< 0 (test una cola) t > -tαααα , df H0 aceptada

H1: µµµµD >>>> 0000 (test una cola) t < tαααα , df H0 aceptada

Comparación de medias de dos muestras apareadas

ns

D t

D

=

Hipótesis estadísticas.

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80

Excel

Hipótesis estadísticas.

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81

Minitab

Hipótesis estadísticas.

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82

En el trabajo analítico suelen presentarse a menudo comparaciones en las que intervienen más de dos medias.

Ejemplos

Comparar la concentración media de proteína en una solución para muestras almacenadas en condiciones diferentes

Comparar los resultados medios obtenidos de la concentración de un mensurando utilizando diferentes métodos

Comparar la media de los resultados en una valoración obtenidos por diferentes operadores que usan los mismos aparatos

Determinar una varianza de muestreo

ANOVA.

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83

ANOVA se utiliza para “analizar medidas que dependen de varios tipos de efectos que actuan

simultáneamente con el doble fin de decidir cuales de ellos son importantes y de poder estimarlos”

(Scheffé, 1953)

Compara medias de diversos conjuntos, a través de sus varianzas

ANOVA.

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84

Es posible separar la variación debida al error aleatorio de cualquier otra variación provocada al cambiar el factor de control. Podemos así evidenciar si una modificación del factor de control genera diferenci