Distribución normal Escribir - cmap.upb.edu. 1SR8GNK19-7RRTQ4-13W/aa0_VMP2.pdfPDF filePara...

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  • Escribir

    59

    La ecuación de la curva normal

    viene dada por la expresión

    Los valores de x están distribuidos

    normalmente con promedio µ y una

    varianza σ2

    ]2/)(exp[ 2

    1 )(

    22 σµ πσ

    −−= xxf

    ),( 2σµNx ≈

    Distribución normal

  • Escribir

    60

    Función de densidad de probabilidad normal para distintos valores de µ2 y σ2.

    Distribución normal

  • Escribir

    61

    � La desviación estándar, σσσσ, mide la distancia desde la media, µµµµ, hasta el punto de inflexión de la curva.

    ���� Un 95% de los valores están comprendidos en el interyalo µµµµ ± 1,9600σσσσ.

    ���� Un 99% de los valores están comprendidos en el intervalo µµµµ ± 2,576σσσσ.

    ���� Un 99,7% de Ios valores están comprendidos en el intervalo µµµµ ± 3,290σσσσ.

    Distribución normal

  • Escribir

    62

    Estandarización de variables

    Planillas de cálculo, tablas

    σ

    µ− =

    x z

     

      

     −=

    2 exp

    2

    1 )(

    2 z

    zf π

    Distribución normal

  • Escribir

    63

    Intervalos de confianza

    Para una distribución normal el 95 % de los datos cae dentro de los límites z=-1,96 a z=1,96 (µµµµ± 1,96σσσσ)

    Los promedios de las muestras tambien se

    distribuyen normalmente

    Existe un 95 % de probabilidad de que (estimador de µµµµ) este comprendido en ese rango

    X

    n

    σ µ 96.1±

    Distribución normal

  • Escribir

    64

    El teorema del límite central proporciona el fundamento estadístico que permite esperar dicha tendencia de los datos experimentales.

    “Aún cuando la población original no esté distribuida normalmente, tiende a la distribución normal cuando aumenta n” (valores medios)

    Teorema del límite central.

  • Escribir

    65

    Para muestras grandes (n>30), los límites de confianza de la media vienen dados por :

    nzσµ ±

    Donde z depende del nivel de confianza requerido

    Para el 95%, z = 1.96

    Para el 99%, z = 2.58 Para el 99.7%, z = 2.97

    Distribución normal

  • Escribir

    66

    Para muestras pequeñas (n

  • Escribir

    67

    Distribución t de Student.

  • Escribir

    68

    No existen diferencias significativas entre nuestras

    observaciones y una referencia o entre conjuntos de datos

    Hipótesis Nula (H0) Hipótesis Alternativa (H1)

    Si existen diferencias significativas entre nuestras

    observaciones y una referencia o entre conjuntos de datos

    ¿Las diferencias entre nuestras observaciones y una referencia o entre conjuntos de datos son de naturaleza química (por ejemplo) o estadística?

    Sistemática a seguir: Comprobación de hipótesis

    Validez

    Tests Estadísticos

    Una decisión no es estrictamente verdadera, sino que, NO puede demostrarse su falsedad

    (probabilidades)

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    69

    Tipos de errores en el analisis inferencial de datos

    Decisión Tomada

    Aceptar H0 Rechazar H0

    Resultado verdadero

    H0 verdadera

    No existe error

    Tipo I (falso positivo, αααα)

    H0 falsa Tipo II (falso negativo, ββββ)

    No existe error

    La implementación de los procedimientos estadísticos tienen por objetivo minimizar los errores αααα y ββββ

    αααα : β β β β αααα : β β β β αααα : β β β β : n

    Tipos de errores en el análisis inferencial.

  • Escribir

    70

    Comparación de una media con un valor determinado n < 30

    Suposiciones: Distribución Aproximadamente Normal

    Hipótesis: Nula: H0: µ = µ = µ = µ = µµµµ0000

    Alternativa: H1,

    dos colas: µ µ µ µ ≠≠≠≠ µµµµ0000

    una cola: µ µ µ µ < µ< µ< µ< µ0 0 0 0 y µ >µ >µ >µ > µµµµ0000

    Test estadístico: Distribución t con (n-1) grados de libertad

    Decisiones:

    H1: µ µ µ µ ≠≠≠≠ µµµµ0000 (test dos colas) -tαααα /2, n-1 < t < -tαααα /2, n-1 H0 aceptada

    H1: µ µ µ µ µ > µ > µµµµ0000 (test una cola) t < tαααα , n-1 H0 aceptada

    ns

    x t 0

    µ− =

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    71

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    72

    Excel

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    73

    Suposiciones: Dos muestras independientes (1 y 2) de Distribución Aproximadamente Normal

    Hipótesis: Nula: H0: µ = µ = µ = µ = µµµµ0000

    Alternativa: H1,

    dos colas: µ µ µ µ ≠≠≠≠ µµµµ0000

    una cola: µ µ µ µ < µ< µ< µ< µ0 0 0 0 y µ >µ >µ >µ > µµµµ0000

    Test estadístico: Depende de que la relación (varianza mayor / varianza menor) sea menor o mayor de 3. (también test F: si Fcalculado >

    Fcritico : varianzas diferentes).

    Comparación de dos muestras n < 30

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    74

    21

    21

    11

    nn s

    xx t

    p +

    − = ( ) ( )

    2

    11

    21

    2

    22

    2

    11

    −+

    −+− =

    nn

    snsn s p

    2

    2

    2

    1

    2

    1

    21

    n

    s

    n

    s

    xx t

    +

    − = ( )

    ( ) ( ) 11 2

    2

    2

    2

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    2

    2

    21

    2

    1

    − +

    + =

    n

    ns

    n

    ns

    nsns df

    Varianzas iguales

    Varianzas distintas

    Relación de varianzas

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    75

    2_

    1_

    Varianza

    Varianza Fcal =

    Varianzas iguales

    Varianzas distintas

    Prueba F

    2_

    1_

    Varianza

    Varianza Fcal =

    crítcal FF <

    crítcal FF >

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    76

    Decisiones:

    Tener en cuenta los “nuevos” grados de libertad (df)

    H1: µ µ µ µ ≠≠≠≠ µµµµ0000(test dos colas) -tαααα/2, df < t < tαααα/2, df H0 aceptada

    H1: µ µ µ µ µ > µ > µµµµ0000(test una cola) t < tαααα, df H0 aceptada

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    77

    Minitab

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    78

    Excel

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    79

    Suposiciones: D, (D = tratamiento 1 – tratamiento 2)se distribuye aproximadamente en forma normal

    Hipótesis: Nula: H0: µµµµD = = = = 0000

    Alternativa: H1,

    dos colas: µµµµD ≠≠≠≠ 0000

    una cola: µµµµD < 0< 0< 0< 0 y µµµµD >>>> 0000

    Test estadístico:

    Decisiones:

    H1: µµµµD ≠≠≠≠ 0000 (test dos colas) -tαααα /2, df < t < -tαααα /2, df H0 aceptada

    H1: µµµµD < 0< 0< 0< 0 (test una cola) t > -tαααα , df H0 aceptada

    H1: µµµµD >>>> 0000 (test una cola) t < tαααα , df H0 aceptada

    Comparación de medias de dos muestras apareadas

    ns

    D t

    D

    =

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    80

    Excel

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    81

    Minitab

    Hipótesis estadísticas.

  • Escribir

    82

    En el trabajo analítico suelen presentarse a menudo comparaciones en las que intervienen más de dos medias.

    Ejemplos

    Comparar la concentración media de proteína en una solución para muestras almacenadas en condiciones diferentes

    Comparar los resultados medios obtenidos de la concentración de un mensurando utilizando diferentes métodos

    Comparar la media de los resultados en una valoración obtenidos por diferentes operadores que usan los mismos aparatos

    Determinar una varianza de muestreo

    ANOVA.

  • Escribir

    83

    ANOVA se utiliza para “analizar medidas que dependen de varios tipos de efectos que actuan

    simultáneamente con el doble fin de decidir cuales de ellos son importantes y de poder estimarlos”

    (Scheffé, 1953)

    Compara medias de diversos conjuntos, a través de sus varianzas

    ANOVA.

  • Escribir

    84

    Es posible separar la variación debida al error aleatorio de cualquier otra variación provocada al cambiar el factor de control. Podemos así evidenciar si una modificación del factor de control genera diferenci