v

LÍMITES Y SUS PROPIEDADES

1

LIC. SUJEY HERRERA RAMOS

2

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real:

Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:

cxLxf

)(lim

Lxfentoncescx )(,0

CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES

4

PROPIEDADES DE UN LÍMITE

Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.

bbcx

lim cx

cx

lim

nn

cxcx

lim

5

Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:

33lim2

x

4lim4

x

x

42lim 22

2

x

x

6

Teorema 1.2:Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes:

1. Múltiplo Escalar:

2. Suma o Diferencia

3. Producto:

Lxfcx

)(lim Kxgcx

)(lim

bLxfbcx

)(lim

KLxgxfcx

)()(lim

LKxgxfcx

)()(lim

7

4. Cociente:

5. Potencias:

0,)(

)(lim

KquesiempreK

L

xg

xfcx

nn

cxLxf

)(lim

8

Ejemplo: Límite de un Polinomio

3lim4lim)34(2

2

2

2

2 xxx

xxlím

19

316

3)2(4

3lim)lim(4

2

2

2

2

xx

x

9

Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real:

Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos

)()(lim cpxpcx

)(

)()()(lim

cq

cpcrxr

cx

10

Ejemplo: Límite de una Función racional

Como el denominador no es 0 cuando x=1

1

22

1

x

xxlímx

22

411

2112

1

xlím

11

Teorema 1.4:Límite de una Función radical

Si n es un entero positivo:

• Para toda c si n es impar• c > si n es par

nn

cxcx

lim

12

Teorema 1.5 Límite de una Función Compuesta

Si f y g son funciones tales que: y

Entonces:

Lxgcx

)(lim )()(lim LfxfLx

)())(lim())((lim Lfxgfxgfcxcx

13

Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas

Sea c un número real: csenxsen

cx

)(lim cx

cxcos)cos(lim

cxcx

tan)tan(lim

cxcx

cot)cot(lim

cxcx

sec)sec(lim

cxcx

csc)csc(lim

14

Ejemplos

00tan)tan(lim0

xx

)cos(coslimlim)cos(lim xxxxxxx

00)(limlim 22

0

2

0

xsenxsen

xx

CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O

UNILATERALES

16

Definición de Continuidad

Continuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen:

)()(lim

)(lim

)(

cfxf

existexf

definidaestacf

cx

cx

17

Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo.

Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes.

18

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.

xxf

1)(

Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

19

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.

xxf

1)(

Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido

20

Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.

xseny Aplicando el Teorema de funciones trigonométricas se concluye que f es continua en todo su dominio (-∞,∞)

21

Ejemplo límite Lateral

04lim 2

2

x

x

Encontrar el límite de cuando x se aproxima a -2 por la derecha

24)( xxf

22

Teorema 1.10 Existencia de un límite

LxfyLxfcxcx

)(lim)(lim

Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:

23

Definición de Continuidad en un Intervalo cerrado

)()(lim)()(lim bfxfyafxfbxax

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el Intervalo abierto (a,b)n

La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b

24

Ejemplo Continuidad en un Intervalo cerrado

Analizar la continuidad de

Se concluye que f es continua en [-1,1]

21)( xxf

)1(01lim 2

1

fx

x

)1(01lim 2

1fx

x

Continua por la derecha

Continua por la izquierda

25

Teorema 1.11 Propiedades de la Continuidad

Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes también son continuas en c:

Múltiplo escalar: bf

Suma o Diferencia: f ± g

Producto: fg

Cociente: f , si g(c) ≠ 0 g

LÍMITES INFINITOS

27

Definición de Límites Infinitos

Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente, en el propio c). La expresión

cxxf

)(lim

cxxf

)(lim

Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

28

1

1lim1 xx

1

1lim1 xx

Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

29

21 )1(

1lim

xx

Determinación de límites infinitos a partir de una Gráfica

30

21 )1(

1lim

xx

31

Teorema 1.15 Propiedades de los Límites Infinitos

Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que:

Suma o Diferencia:

Producto:

)(lim xfcx

Lxgcx

)(lim

)()(lim xgxfcx

0,)()(lim

,)()(lim

)()(lim

Lxgxf

oLxgxf

xgxf

cx

cx

cx

32

Cociente:

0)(

)(lim xf

xgcx

33

Ejemplo: Cálculo de Límites

Calcular los siguientes límites

20

20

0

20

11lim

1lim

11lim

11lim

x

x

x

x

x

x

x