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Límites trigonométricos Dr. Raúl Alva, 2019

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Límites trigonométricos

Dr. Raúl Alva, 2019

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Cuando la luz pasa a través de una rejilla muy estrecha, se desvía o difracta. El ángulo de la desviación tiene una función del tipo

(sen x)/x ¿Hay algún límite en esta desviación? Las funciones seno se encuentran entre −1 y 1

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-2π

-4π

Por ejemplo, y = (sen x)/x

lim (sen x)/x ~ 1 1

x 0

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1

a b cx

En el círculo unitario lim (sen x)/x = 1 Los segmentos a, b y c miden...

1

1

x 0

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sen x x tan xx

1

En función de x, a = sen x , b = x y c = tan x lim (sen x)/x = 1 ; Área Aa = base x altura/2 Área Aa: base = 1 , altura = sen x Aa = (sen x)/2

x 0

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1

2π: circunferencia

lim (sen x)/x = 1 Área Ab: Ao = π r2 , Ab: fracción x/2π Ab = π r2 x/2π

Ab = x/2

1

sen x x tan x

x 0

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1

lim (sen x)/x = 1 ; Área Ac = base x altura/2 Área Ac: base = tan x , altura = 1 Ac = (tan x)/2

1x 0

sen x x tan x

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Si x < π/2 , (sen x)/2 < x/2 < (tan x)/2 1 < lim x/(sen x) < lim (tan x)/(sen x) si y sólo si x ≠ 0 lim (tan x)/(sen x) = 1

x 0 x 0

x 0

x

π/2

π

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Si x < π/2 , (sen x)/2 < x/2 < (tan x)/2

1 < lim x/(sen x) < 1

lim x/(sen x) = 1

x 0

x 0

π/2

π

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1 < lim x/(sen x) < 1

lim (sen x)/x = 1

f(x) = (sen x)/x

x 0

x 0

1

2π-2π 4π-4π

xx