Tema 4: Variable aleatoria.

Métodos Estadísticos

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Definición de v.a.

Definición: Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio, es decir, una función real en el espacio muestral,

X:Ω→ℜΩ→ℜΩ→ℜΩ→ℜ

Los valores de la variable aleatoria se notarán con letras minúsculas x en este caso.

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Ejemplos de v.a.

Ejemplos: Supongamos un experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento lo siguiente serían v.a:

1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados dond e X puede tomar valores x=2,3,4,…,12.

2. Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y p uede tomar los valores y=0,1,2.

3. Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede tomar los valores z=0,1,2.

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria discreta

Definición: Se dice que una v.a. es discreta si el conjunto de todos los valores que puede tomar es un conjunto numerable.

Ejemplos:– Número de caras al lanzar dos dados.– Número de cifras acertadas en un sorteo de la

lotería.

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria discreta

Definición: Dada una v.a. discreta, X, se define la función masa de probabilidad como:

f(x)=P[X=x],para cada x∈ℜ.

Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad. Entonces:

1. f(x)≥≥≥≥0 para todo x∈ℜ2. ΣΣΣΣ x∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜ f(x)=13. En general, para cualquier conjunto B,

P[X∈∈∈∈B]=ΣΣΣΣ x∈∈∈∈B f(x), donde x son los posibles valores de B

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria discreta

Definición: Se define la función de distribución de probabilidad una v.a. discreta, X , como:

F(x)=P[X≤≤≤≤x]= ΣΣΣΣ xi ≤≤≤≤x f(x),para cada x∈ℜ.

Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad y F(x) su función de distribución. Entonces:

1. lim x→→→→-∞∞∞∞ F(x)=02. lim x→∞→∞→∞→∞ F(x)=13. F es creciente4. F es continua a la derecha

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria discreta

Además:

1. P[X≤≤≤≤a]=F(a)=ΣΣΣΣ x ≤≤≤≤a f(x)2. P[X<a]=F(a -)=ΣΣΣΣ x <a f(x)3. P[X≥≥≥≥a]=1- F(a-)= ΣΣΣΣ x≥≥≥≥a f(x)4. P[X>a]=1- F(a)= ΣΣΣΣ x>a f(x)5. P[a < X<b]=F(b -)-F(a)6. P[a ≤≤≤≤ X<b]= F(b -)-F(a-)7. P[a < X ≤≤≤≤ b]=F(b)-F(a)8. P[a ≤≤≤≤ X ≤≤≤≤ b]=F(b)- F(a -)

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria discreta

Ejemplo 1: Sea el experimento lanzar tres monedas, y sea X v.a. número de caras. Calcular su función masa de probabilidad y su función de distribución.

Ejemplo 2: Sea el experimento sacar 2 bolas de una urna que contiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas, y sea Y v.a. número de bolas rojas. Calcular su función masa de probabilidad y su función de distribución.

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria continua

Definición: Se dice que una v.a. es continua si el conjunto de todos los valores que puede tomar no es numerable.

Ejemplos:– Duración de una llamada a un servicio de

atención al cliente.– Tiempo que un médico tarda en atender un

paciente

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria continua

Definición: Dada una v.a. continua, X, se define la función de densidad de probabilidad de X, f(x) como aquella función tal que para cualquier a,b ∈ℜ , o a,b=± ∞,

P[a<X<b]= ∫∫∫∫b

af(x) dx,

Proposición: Sea X v.a. continua y f(x) su función de densidad de probabilidad. Entonces:

1. f(x)≥≥≥≥0 para todo x∈ℜ2. ∫∫∫∫ℜf(x)=13. En general, para cualquier conjunto de números reales B,

P[X∈∈∈∈B]= ∫∫∫∫x∈∈∈∈B f(x)

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria continua

Definición: Se define la función de distribución de probabilidad una v.a. continua, X , como:

F(x)=P[X≤≤≤≤x]= ∫∫∫∫x

-∞∞∞∞ f(t) dt,para cada x∈ℜ.

Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad y F(x) su función de distribución. Entonces:

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Variable aleatoria continua

Ejemplo: Sea f(x)=ex-2 si x < 2 y f(x)=0 en otro caso, calcular su función de distribución.

Ejemplo: Sea el experimento lanzar una pelota en una habitación rectangular 2x4 y la puerta se encuentra en la pared de lado 2. Sea Y la v.a continua distancia a la pared de la puerta. Calcular su función de distribución y su función de densidad.

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Momentos de una v.a

Definición: Dada una v.a. X, y sea Y=g(X) un función suya, es decir una transformación de la variable. Entonces, se define la media de la función g(X) como,

E[g(X)]= ∫∫∫∫ℜ g(x)f(x) dx, si X es continua

E[g(X)]= ∑∑∑∑ℜ g(x)f(x), si X es discreta

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Esperanza matemática de una v.a

Definición: Dada una v.a. X, se define la media o esperanza matemática como,

EX = ∫∫∫∫ℜ x f(x) dx, si X es continua

EX= ∑∑∑∑ℜ x f(x), si X es discreta

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Transformación de una v.a.

Definición: Dada una v.a. X, a1,..., an constantes y g1(X),...,gn(X) funciones de la variable. Entonces,

E[a1 g1(X)+...+ an gn(X)] = a1 E[g 1(X)]+...+ an E[g n(X)]

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA.Varianza de una v.a.

Definición: Dada una v.a. X. Se define su varianza como,

Var[X] = E[(X-EX) 2] = E [X 2] – (EX)2

Proposición: Dada una v.a. X, y sean a,b∈ℜ. Entonces,

E[aX+b] = a E[X] + b Var[aX+b] = a 2Var[X]

Tema 4: VARIABLE ALEATORIA

FIN