1

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16. Elektrodinamičko polje (1)

Neka je sredstvo linearno, izotropno i homogeno te neka u njemu nema

izvora (ρ = 0). Neka su značajke sredstva µ, κ i ε. Za takvo sredstvo vrijede

Maxwellove jednadžbe:

t

EEH

∂∂⋅ε+⋅κ=×∇r

rr

t

HE

∂∂⋅µ−=×∇r

r

0E =∇r

0H =∇r

2

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16. Elektrodinamičko polje (2)

Iz prethodno navedenih Maxwellovih jednadžbi, lako se mogu dobiti

prigušene valne jednadžbe elektromagnetskog polja:

0t

E

t

EE

2

2

=∂∂⋅ε⋅µ−

∂∂⋅κ⋅µ−∆

rrr

0t

H

t

HH

2

2

=∂∂⋅ε⋅µ−

∂∂⋅κ⋅µ−∆

rrr

Ove su jednadžbe prigušene valne jednadžbe jer je sredstvo vodljivo (κ ≠ 0).

3

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16. Elektrodinamičko polje (3)

Za linearno, homogeno i izotropno nevodljivo sredstvo (κ = 0), vrijede

neprigušene valne jednadžbe elektromagnetskog polja:

0t

EE

2

2

=∂∂⋅ε⋅µ−∆

rr

0t

HH

2

2

=∂∂⋅ε⋅µ−∆

rr

Ove se jednadžbe lako dobiju iz prigušenih valnih jednadžbi tako da se u

njih uvrsti κ = 0.

4

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16. Elektrodinamičko polje (4)

U slučaju dobrih vodiča mogu se zanemariti pomačne struje tako da se u

prigušene valne jednadžbe uvrsti ε = 0. Tada se za elektromagnetsko polje

dobiju tzv. jednadžbe difuzije:

0t

EE =

∂∂⋅κ⋅µ−∆r

r

0t

HH =

∂∂⋅κ⋅µ−∆r

r

Jednadžbe difuzije nisu valne jednadže. One se koriste za proračun polja u

vodičima, odnosno za rješavanje problema vrtložnih struja. Ovdje govorimo

i o kvazistatičkom elektromagnetskom polju.

5

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

Ravni val je elektromagnetska pojava za koju veličine polja ovise samo o

jednoj prostornoj koordinati i vremenu. Neka veličine polja ovise samo o z

koordinati pravocrtnog koordinatnog sustava.

16.1. Ravni val u neograničenom sredstvu (1)

U izabranom slučaju, vektori jakosti električnog i magnetskog polja leže u

ravninama okomitim na os z (z = konst.), a val se širi u smjeru osi z. Dakle,

vrijedi da je:

6

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.1. Ravni val u neograničenom sredstvu (2)

Jakost električnog polja ravnog vala

7

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

Ravni val je transverzalni val, jer su vektori elektromagnetskog polja okomiti

na smjer širenja vala.

16.1. Ravni val u neograničenom sredstvu (3)

U posebnom slučaju kada jakost električnog polja ima samo x komponentu,

tada jakost magnetskog polja ima samo y komponentu, tj. tada vrijedi da je:

Ovakav val se naziva linearno polariziranim valom.

8

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.1. Ravni val u neograničenom sredstvu (4)

Jakost električnog polja linearno polariziranog vala

9

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.1. Ravni val u neograničenom sredstvu (5)

Vektori međusobno su okomiti i okomiti su na os z. Ako su ovi

vektori i konstantni u svakoj točki ravnine z = konst., onda za takvo polje

kažemo da je uniformno, za razliku od homogenog elektrostatičkog polja.

HiErr

Eenergija polja prikazuje se vektorskim produktom pa slijedi da se

energija širi u smjeru osi z, tj. okomito na ravninu u kojoj leže vektori

HErr

×.HiErr

Ako je polje uniformno, onda je gustoća energije u svakoj točki prostora

jednaka.

Ravni val može biti i drukčije polariziran, npr. kružno ili eliptički

polariziran.

10

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (1)

Maxwellove jednadžbe za linearno polarizirani val glase:

t

EE

z

H

∂∂⋅ε+⋅κ=

∂∂

−

t

H

z

E

∂∂⋅µ−=

∂∂

gdje je:

xEE =

yHH =

11

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (2)

U idućem koraku Maxwellove jednadžbe se deriviraju po z:

tz

E

z

E

z

H 2

2

2

∂⋅∂∂

⋅ε+∂∂⋅κ=

∂∂

−

tz

H

z

E 2

2

2

∂⋅∂∂

⋅µ−=∂∂

Iz prethodnih četiriju difrencijalnih jednadžbi slijede dvije difrencijalne

jednadžbe, a to su prigušene valne jednadžbe ravnog vala u vodljivom

sredstvu.

12

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (3)

Valne jednadžbe prigušenog ravnog vala glase:

0t

E

t

E

z

E2

2

2

2

=∂∂⋅ε⋅µ−

∂∂⋅κ⋅µ−

∂∂

0t

H

t

H

z

H2

2

2

2

=∂∂⋅ε⋅µ−

∂∂⋅κ⋅µ−

∂∂

Ove se jednadžbe mogu riješiti metodom separacije varijabli. Od posebnog

je interesa rješenje ovih jednadžbi za harmonijsko polje. Tada se koristi

fazorski zapis sinusnih (harmonijskih) veličina.

13

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (4)

Za harmonijsko polje, valne jednadžbe prigušenog ravnog vala glase:

gdje je: ( )ε⋅ω⋅+κ⋅µ⋅ω⋅=−=γ jjk22

Kompleksna veličina naziva se valnim brojem, a veličina naziva

se valnom konstantom. je fazor jakosti električnohg polja, je fazor

jakosti magnetskog polja.

k kj⋅=γE H

0Ez

E 22

2

=⋅γ−∂∂

0Hz

H 22

2

=⋅γ−∂∂

14

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (5)

Rješenja valnih jednadžbi prigušenog ravnog harmonijskog vala glase:

z2

z1 eEeEE ⋅γ⋅γ− ⋅+⋅=

z2

z1 eHeHH ⋅γ⋅γ− ⋅+⋅=

gdje su neodređene konstante integracije.2121 H,H,E,E

Trenutne vrijednosti E(z, t) i H(z, t) mogu se izraziti pomoću fazora

pripadnih veličina u ovisnosti o tome kako je definiran fazor.

15

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (6)

Ako je modul fazora maksimalna vrijednost pripadne cosinusne veličine,

onda je:

( )tjeERe)t,z(E ⋅ω⋅⋅=

( )tjeHRe)t,z(H ⋅ω⋅⋅=

Ako je modul fazora efektivna vrijednost pripadne cosinusne veličine, onda

je:

( ) ( )Etj tcosE2eE2Re)t,z(E ϕ+⋅ω⋅⋅=⋅⋅= ⋅ω⋅

( ) ( )Htj tcosH2eH2Re)t,z(H ϕ+⋅ω⋅⋅=⋅⋅= ⋅ω⋅

Neka je modul fazora efektivna vrijednost pripadne cosinusne veličine.

16

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (7)

Rješenja za E i H ne mogu biti nezavisna jer su te veličine međusobno

povezane Maxwellovovim jednadžbama. Za linearno polarizirani ravni val

vrijedi da je:

Za linearno polarizirani harmonijski ravni val vrijedi da je:

Hjz

E⋅µ⋅ω⋅−=

∂∂

( ) ( )z2

z1

z2

z1 eHeHj

z

eEeE ⋅γ⋅γ−⋅γ⋅γ−

⋅+⋅⋅µ⋅ω⋅−=∂

⋅+⋅∂

17

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (8)

Nakon deriviranja po z dobije se da je:

Iz prethodnog izraza slijedi da je:

v2

2

1

1 Zj

H

E

H

E=

γµ⋅ω⋅

=−=

( )z2

z1

z2

z1 eHeHjeEeE ⋅γ⋅γ−⋅γ⋅γ− ⋅+⋅⋅µ⋅ω⋅−=⋅⋅γ+⋅⋅γ−

gdje je:

γµ⋅ω⋅

=j

Zv

valna impedancija sredstva.

18

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (9)

Valna konstanta (konstanta prostiranja) može se izraziti na sljedeći način:

β⋅+α=γ j

gdje je α prigušna konstanta, dok je β fazna konstanta.

Lako se može pokazati da je:

1 1 2

2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ε⋅ωκ

+⋅ε⋅µ

⋅ω=α

1 1 2

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ε⋅ωκ

+⋅ε⋅µ

⋅ω=β

19

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (10)

Dakle, valna impedancija sredstva je:

( ) vjv22v eZj

j

jZ ϕ⋅⋅=α⋅+β⋅

β+α

µ⋅ω=

β⋅+αµ⋅ω⋅

=

Lako se vidi da je:

22vv ZZβ+α

µ⋅ω==

βα

=ϕ tgarcv

20

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (11)

Neka je:E1j

11 eEE ϕ⋅⋅=

E2j22 eEE ϕ⋅⋅=

H1j11 eHH ϕ⋅⋅=

H2j22 eHH ϕ⋅⋅=

Brzina širenja vala:βω

=v

21

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (12)

Slijedi da je:

( ) ( ) zjj2

zjj1 eeEeeEE E2E1 ⋅β⋅+αϕ⋅⋅β⋅+α−ϕ⋅ ⋅⋅+⋅⋅=

( ) ( ) zjj2

zjj1 eeHeeHH H2H1 ⋅β⋅+αϕ⋅⋅β⋅+α−ϕ⋅ ⋅⋅+⋅⋅=

pa je:

( ) ( )E2E1 zjz2

zjz1 eeEeeEE ϕ+⋅β⋅⋅αϕ−⋅β⋅−⋅α− ⋅⋅+⋅⋅=

( ) ( )H2H1 zjz2

zjz1 eeHeeHH ϕ+⋅β⋅⋅αϕ−⋅β⋅−⋅α− ⋅⋅+⋅⋅=

22

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (13)

Fazni kutovi električnog i magnetskog polja povezani su preko kuta valne

impedancije:

( ) vH1E1 jv

j

1

1

1

1 eZeH

E

H

E ϕ⋅ϕ−ϕ⋅ ⋅=⋅=

( ) ( )vvH2E2 jv

jv

j

2

2

2

2 eZeZeH

E

H

E ϕ+π⋅ϕ⋅ϕ−ϕ⋅ ⋅=⋅−=⋅=

Lako se vidi da je:

vE1H1v

11 ;

Z

EH ϕ−ϕ=ϕ=

π−ϕ−ϕ=ϕ= vE2H2v

22 ;

Z

EH

23

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (14)

Trenutne vrijednosti jakosti polja su:

( )

( )E2z

2

E1z

1

ztcoseE2

ztcoseE2)t,z(E

ϕ+⋅β+⋅ω⋅⋅⋅+

ϕ+⋅β−⋅ω⋅⋅⋅=

⋅α

⋅α−

( )

( )H2z

2

H1z

1

ztcoseH2

ztcoseH2)t,z(H

ϕ+⋅β+⋅ω⋅⋅⋅+

ϕ+⋅β−⋅ω⋅⋅⋅=

⋅α

⋅α−

Direktni val se kreće u smjeru osi z, a inverzni val u suprotnom smjeru.

Svaki se od tih valova prigušuje u smjeru svog širenja.

24

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.2. Rješenje MJ za linearno polarizirani ravni val (15)

Trenutne vrijednosti jakosti polja mogu se napisati i na sljedeći način:

( )

( )E2z

2

E1z

1

ztcoseE2

ztcoseE2)t,z(E

ϕ+⋅β+⋅ω⋅⋅⋅+

ϕ+⋅β−⋅ω⋅⋅⋅=

⋅α

⋅α−

( )

( )vE2z

v

2

vE1z

v

1

ztcoseZ

E2

ztcoseZ

E2)t,z(H

ϕ−ϕ+⋅β+⋅ω⋅⋅⋅−

ϕ−ϕ+⋅β−⋅ω⋅⋅⋅=

⋅α

⋅α−

25

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.3. Linearno polarizirani ravni val u dielektriku (1)

Za dielektrik ( κ = 0), vrijede valne jednadžbe neprigušenog ravnog vala:

0t

E

z

E2

2

2

2

=∂∂⋅ε⋅µ−

∂∂ 0

t

H

z

H;

2

2

2

2

=∂∂⋅ε⋅µ−

∂∂

Za harmonijski ravni val u dielektriku vrijede valne jednadžbe:

0Ez

E 22

2

=⋅γ−∂∂

0Hz

H; 2

2

2

=⋅γ−∂∂

gdje je:

ε⋅µ⋅ω−=γ 22

26

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.3. Linearno polarizirani ravni val u dielektriku (2)

Slijedi da je valna konstanta linearnog, homogenog i izotropnog dielektrika:

β⋅=ε⋅µ⋅ω⋅=γ jj

U zraku (vakuumu) ε = ε0, µ = µ0 pa je:

cjj 00

ω⋅=ε⋅µ⋅ω⋅=γ

gdje je c = 3·108 m/s brzina svjetlosti. Valna impedancija vakuuma je:

0;73,376j

Z vv0

00 =ϕΩ=εµ

=γµ⋅ω⋅

=

27

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.3. Linearno polarizirani ravni val u dielektriku (3)

Neka je Tada vrijedi da je: .0E2E1 =ϕ=ϕ

( ) ( )ztcosE2ztcosE2)t,z(E 21 ⋅β+⋅ω⋅⋅+⋅β−⋅ω⋅⋅=

( ) ( )ztcosZ

E2ztcos

Z

E2)t,z(H

v

2

v

1 ⋅β+⋅ω⋅⋅−⋅β−⋅ω⋅⋅=

U ovom slučaju, direktne komponente jakosti polja su istofazne:

( )ztcosE2)t,z(E 1dir ⋅β−⋅ω⋅⋅=

( )ztcosZ

E2)t,z(H

v

1dir ⋅β−⋅ω⋅⋅=

28

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.3. Linearno polarizirani ravni val u dielektriku (4)

Inverzne komponente jakosti polja su protufazne:

( )ztcosE2)t,z(E 2inv ⋅β+⋅ω⋅⋅=

( )ztcosZ

E2)t,z(H

v

2inv ⋅β+⋅ω⋅⋅−=

Na razmaku od jedne valne duljine (λ) prostorna faza se promijeni za 2·π:

π⋅=λ⋅β 2

⇒

29

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.3. Linearno polarizirani ravni val u dielektriku (5)

Slijedi da je za f = 50 valna duljina λ = 6000 km.

Direktni i inverzni val nose sa sobom energiju koja se izražava pomoću

Poyntingovog vektora:

0zHEHEP *11

*111

rrrr⋅⋅=×=

( )0zHEHEP *22

*222

rrrr−⋅⋅=×=

Vrijedi da je srednja plošna gustoća snage direktnog vala:

11sr11 HEPP ⋅==

Energija sadržana u direktnom valu giba se brzinom svjetlosti.

30

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.3. Linearno polarizirani ravni val u dielektriku (6)

Značenje novouvedenih oznaka je:

−1Pr

kompleksni Poyntingov vektor,

−1Er

fazor vektora jakosti električnog polja,

−1Hr

fazor vektora jakosti magnetskog polja.

* - oznaka da je kompleksna veličina konjugirana.

31

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.3. Linearno polarizirani ravni val u dielektriku (7)

Ako je E1 = E2, tada se radi o tzv. stojnom valu (nul-točke vala nepomične):

( ) ( )[ ]ztcosztcosE2)t,z(E 1 ⋅β+⋅ω+⋅β−⋅ω⋅⋅=

( ) ( )[ ]ztcosztcosZ

E2)t,z(H

v

1 ⋅β+⋅ω−⋅β−⋅ω⋅⋅=

( ) ( )zcostcosE22)t,z(E 1 ⋅β⋅⋅ω⋅⋅⋅=

Iz prethodnih izraza slijedi da je:

( ) ( )zsintsinE22)t,z(H 1 ⋅β⋅⋅ω⋅⋅⋅=

32

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.4. Linearno polarizirani ravni val u dobrim vodičima (1)

U vodljivom sredstvu mogu se zanemariti pomačne struje (ε = 0) pa se

valne jednadžbe elektromagnetskog polja aproksimiraju jednadžbama

difuzije:

0t

E

z

E2

2

=∂∂⋅κ⋅µ−

∂

∂

0t

H

z

H2

2

=∂∂⋅κ⋅µ−

∂

∂

Ova se aproksimacija može uvesti jer je za dobre vodiče gustoća provodne

struje mnogo veća od gustoće pomačne struje.

33

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.4. Linearno polarizirani ravni val u dobrim vodičima (2)

Za harmonijski ravni val u vodiču jednadžbe difuzije glase:

0Ez

E 22

2

=⋅γ−∂

∂

0Hz

H 22

2

=⋅γ−∂

∂

gdje je:

κ⋅µ⋅ω⋅=γ j2

β⋅+α=⋅κ⋅µ⋅ω=γ⇒ ⋅ jeo45j

34

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.4. Linearno polarizirani ravni val u dobrim vodičima (3)

Slijedi da je:

dok je valna impedancija vodiča:

2

κ⋅µ⋅ω=β=α

oo 45j45jv ee

2

jZ ⋅⋅ ⋅

κµ⋅ω

=⋅α⋅µ⋅ω

=γµ⋅ω⋅

=

35

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.4. Linearno polarizirani ravni val u dobrim vodičima (4)

( )E1z

1dir ztcoseE2)t,z(E ϕ+⋅α−⋅ω⋅⋅⋅= ⋅α−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ϕ+⋅α−⋅ω⋅⋅⋅= ⋅α−

4ztcose

Z

E2)t,z(H E1

z

v

1dir

U ovom slučaju, direktne komponente jakosti polja su:

Elektromagnetsko polje se prigušuje u smjeru širenja. Udaljenost duž osi z

za koju je α·∆z = 1 naziva se dubinom prodiranja:

36

Predavanje iz predmeta Teorijaka elektrotehnika

16.4. Linearno polarizirani ravni val u dobrim vodičima (5)

Na dubini d amplituda jakosti polja opadne na 36,8 % svoje vrijednosti na

površini vodiča. Približne dubine prodiranja za frekvenciju 50 Hz iznose:

• Željezo: 1 mm,

• Bakar: 10 mm,

• Morska voda: 30 m.