DISKRETNA MATEMATIKA- PREDAVANJE 7 -

Jovanka Pantovic

Novi Sad

April 17, 2018 1 / 22

Teorija grafova

April 17, 2018 2 / 22

Definicija

Graf je uredena trojka G = (V,G, ψ), gde je(i) V 6= ∅ konacan skup cvorova,(ii) E je skup grana, pri cemu je V ∩ E = ∅ i(iii) ψ : E → {{u, v} : u, v ∈ V } funkcija incidencije.

Definicija

(Prost, neusmeren) graf je ureden par G = (V,G), gde je(i) V 6= ∅ konacan skup cvorova i(ii) E ⊆

(V2

)je skup grana.

April 17, 2018 3 / 22

Neka je G graf i v ∈ G.Ako je ψ(e) = {u, v}, kažemo da je grana e incidentna sa u i v ilida spaja u i v.Cvorovi u i v su krajevi grane i kažemo da su u i v susednicvorovi.Ako se pocetak i kraj grane poklapaju, onda je to petlja.Dve ili više grana koje su incidentne sa istim cvorom kažemo dasu paralelne.Za graf koji nema ni petlji ni paralelnih grana kažemo da je prost(inace je multigraf).

April 17, 2018 4 / 22

Neke oznake

ωG(v) - skup cvorova grafa G koji su susedni sa vdG(v)- stepen cvora v, što je broj grana grafa G koje su incidentnesa vδ(G) = min

v∈V (G)d(v) - minimalan stepen grafa

∆(G) = maxv∈V (G)

d(v) maksimalan stepen grafa

U prostom grafu je|ωG(v)| = dG(v)

April 17, 2018 5 / 22

Teorema ("handshaking")

Zbir stepena cvorova grafa jednak je dvostrukom broju grana, tj.∑v∈V

dG(v) = 2|E(G)|.

Dokaz.Svakoj grani odgovara 2 incidentna cvora. To znaci da sabiranjemstepena cvorova dva puta izbrojimo svaku granu.

April 17, 2018 6 / 22

Teorema ("handshaking")

Zbir stepena cvorova grafa jednak je dvostrukom broju grana, tj.∑v∈V

dG(v) = 2|E(G)|.

Dokaz.Svakoj grani odgovara 2 incidentna cvora. To znaci da sabiranjemstepena cvorova dva puta izbrojimo svaku granu.

April 17, 2018 6 / 22

TeoremaGraf ima paran broj cvorova neparnog stepena.

Dokaz Neka je G = (V,E), gde je V = V1 ∪ V2 i V1 i V2 redom stepenicvorova parnog i neparnog stepena. Tada je

2|E| =∑v∈V

dG(v) =∑v∈V1

dG(v) +∑v∈V2

dG(v)

2|E| −∑v∈V1

dG(v) =∑v∈V2

dG(v)

Kako je zbir (razlika) dva parna broja paran broj, suma sa desnestrane mora biti paran broj, odakle direktno sledi tvrdenje.

April 17, 2018 7 / 22

TeoremaGraf ima paran broj cvorova neparnog stepena.

Dokaz Neka je G = (V,E), gde je V = V1 ∪ V2 i V1 i V2 redom stepenicvorova parnog i neparnog stepena. Tada je

2|E| =∑v∈V

dG(v) =∑v∈V1

dG(v) +∑v∈V2

dG(v)

2|E| −∑v∈V1

dG(v) =∑v∈V2

dG(v)

Kako je zbir (razlika) dva parna broja paran broj, suma sa desnestrane mora biti paran broj, odakle direktno sledi tvrdenje.

April 17, 2018 7 / 22

PosledicaAko su svi cvorovi neparnog stepena, onda je broj cvorova paran.

PosledicaAko je broj cvorova grafa neparan, onda postoji bar jedan cvor parnogstepena.

April 17, 2018 8 / 22

PosledicaAko graf ima n cvorova i ne više od n− 1 grana onda postoji cvor v sad(v) ≤ 1.

Dokaz.Pretpostavimo suprotno, da za svaki cvor v ∈ G važi dG(v) ≥ 2. Tadana osnovu prethodnih tvrdenja važi

2n > 2(n− 1) ≥ 2|E(G)| =∑v∈V

dG(v) >∑v∈V

dG(v)

>∑v∈V

2 = 2 · |V (G)| = 2n

tj. 2n > 2n što je kontradikcija.

April 17, 2018 9 / 22

PosledicaAko graf ima n cvorova i ne više od n− 1 grana onda postoji cvor v sad(v) ≤ 1.

Dokaz.Pretpostavimo suprotno, da za svaki cvor v ∈ G važi dG(v) ≥ 2. Tadana osnovu prethodnih tvrdenja važi

2n > 2(n− 1) ≥ 2|E(G)| =∑v∈V

dG(v) >∑v∈V

dG(v)

>∑v∈V

2 = 2 · |V (G)| = 2n

tj. 2n > 2n što je kontradikcija.

April 17, 2018 9 / 22

TeoremaU svakom grafu postoje bar dva cvora jednakih stepena.

April 17, 2018 10 / 22

Regularan graf

Definicija

Graf je regularan ako su svi njegovi corovi istog stepena.

Graf je k-regularan ako su svi njegovi cvorovi stepena k.

April 17, 2018 11 / 22

Neke specijalne vrste grafova

Kn - kompletan graf

Kn = (V,E), V = {1, 2, . . . , n}, E =

(V

2

)

April 17, 2018 12 / 22

Neke specijalne vrste grafova

Kn - kompletan graf

Kn = (V,E), V = {1, 2, . . . , n}, E =

(V

2

)

April 17, 2018 12 / 22

Neke specijalne vrste grafova

April 17, 2018 13 / 22

Neke specijalne vrste grafova

Cn - cikluc (kontura)

Cn = (V,E), V = {1, 2, . . . , n},

E = {i, i+ 1} : i = 1, 2, . . . , n− 1} ∪ {{1, n}}.

April 17, 2018 14 / 22

Neke specijalne vrste grafova

Cn - cikluc (kontura)

Cn = (V,E), V = {1, 2, . . . , n},

E = {i, i+ 1} : i = 1, 2, . . . , n− 1} ∪ {{1, n}}.

April 17, 2018 14 / 22

Neke specijalne vrste grafova

Pn - putPn = (V,E), V = {1, 2, . . . , n},

E = {{i, i+ 1} : i = 1, 2, . . . , n− 1}

April 17, 2018 15 / 22

Neke specijalne vrste grafova

Pn - putPn = (V,E), V = {1, 2, . . . , n},

E = {{i, i+ 1} : i = 1, 2, . . . , n− 1}

April 17, 2018 15 / 22

Neke specijalne vrste grafova

Bipartitan graf

G = (V,E), V = V1 ∪ V2, V1 ∩ V2 = ∅, E ⊆ {{u, v} : u ∈ V1, v ∈ V2}

Kn,m - Kompletan bipartitan graf

G = (V,E), V = V1 ∪ V2, V1 ∩ V2 = ∅, E = {{u, v} : u ∈ V1, v ∈ V2}

April 17, 2018 16 / 22

Neke specijalne vrste grafova

Bipartitan graf

G = (V,E), V = V1 ∪ V2, V1 ∩ V2 = ∅, E ⊆ {{u, v} : u ∈ V1, v ∈ V2}

Kn,m - Kompletan bipartitan graf

G = (V,E), V = V1 ∪ V2, V1 ∩ V2 = ∅, E = {{u, v} : u ∈ V1, v ∈ V2}

April 17, 2018 16 / 22

Jednakost grafova

Definicija

Neka je G1 = (V1, E1) i G2 = (V2, E2). Kažemo da su grafovi G1 i G2

jednaki, u oznaci G1 = G2 akko V1 = V2 i E1 = E2.

April 17, 2018 17 / 22

Izomorfizam grafova

Definicija

Neka je G1 = (V1, E1) i G2 = (V2, E2). Kažemo da su grafovi G1 i G2

izomorfni, u oznaci G1∼= G2 ako postoji bijekcija f : V1 → V2 sa

osobinom{u, v} ∈ E1 ⇔ {f(u), f(v)} ∈ E2

April 17, 2018 18 / 22

Izomorfizam grafova

Definicija

Neka je G1 = (V1, E1) i G2 = (V2, E2). Kažemo da su grafovi G1 i G2

izomorfni, u oznaci G1∼= G2 ako postoji bijekcija f : V1 → V2 sa

osobinom{u, v} ∈ E1 ⇔ {f(u), f(v)} ∈ E2

April 17, 2018 18 / 22

Izomorfizam grafova

TeoremaIzonorfizam ∼= je relacija ekvivalencije na skupu svih grafova.

April 17, 2018 19 / 22

ZadatakAko su data dva grafa sa n cvorova. Koliko ima bijektvinihpreslikavanja jednog u drugi?

ZadatakOdrediti sve neizomorfne grafove sa 3 cvora.

ZadatakKoliko ima neizomorfnih prostih grafova sa n covorova?

April 17, 2018 20 / 22

Podgrafovi

Definicija

Neka je G1 = (V1, E1) i G2 = (V2, E2). Kažemo da je G1 podgraf grafaG2, ako važi

V1 ⊆ V2 E1 ⊆ E2

Definicija

Neka je G1 = (V1, E1) i G2 = (V2, E2). Kažemo da je G1 pokrivajucipodgraf grafa G2, ako važi

V1 = V2 E1 ⊆ E2

April 17, 2018 21 / 22

Operacije

Neka je G1 = (V1, E1) i G2 = (V2, E2).

Uklanjanje cvora G2 = G1 − v :

V2 = V1 \ {v} E2 = E1 \ {{u,w} : v ∈ {u,w}}.

Uklanjanje grane G2 = G1 − {u, v} :

V2 = V1 E2 = E1 \ {u, v}.

April 17, 2018 22 / 22