EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO

38o 29’ 51’’ + 15o 45’ 24’’

1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS

38o 29’ 51’’+ 15o 45’ 24’’

53º 74’ 75’’54º 15’ 15’’

EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO

Ângulo agudo:

Ângulo obtuso:

Ângulo raso:

Ângulo reto:

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

α < 90º

α = 90º

α > 90º

α = 180º

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Ângulo nulo:

Ângulos adjacentes:

Ângulos consecutivos:

Ângulo de 1 volta:

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

(lados coincidentes)α = 0o

α = 360o

Mesmo vértice e um lado comum entre os lados não comuns

Mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum.

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Ângulos complementares:

Ângulos replementares:

Ângulos suplementares:

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

α + β = 90º αβ

αβ

αβ

α + β = 180º

α + β = 360º

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3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL.

r

s

ab

cd

ef

gh

t

Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g.Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h.Alternos internos: d e f; c e e.Alternos externos: a e g; b e h.Colaterais internos: d e e; c e f.Colaterais externos: a e h; b e g.

EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO

Questão 3:(UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:a) 45o

b) 48o 30’c) 56o 15’d) 60o e) 78o 45’

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Questão 3:

O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste ângulo.

Solução:

'4578

6308

1809810

)180.(3

13270

)180.(3

1)90.(3

ox

x

xx

xx

xx

=

=−=−

−=−

−=−630º 8 6º 78º

360º 8 0 45’

x 60’

EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO

Questão 13:

(UF-ES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então 3α + β vale:a)225o

b)195o c)215o d)1750 e)1850

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Questão 13:

Solução:

15º

60º

60º 30º

30º β = 60º

α= 45º

o1953

6045.33

=++=+

βαβα

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Questão 16:

(UF-MG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede:a)50o b)60o c)70o d)75o e)80o

EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 1. ÂNGULO

Questão 16:

AC = CB = BD

Solução:

25º

130º 50º

50º

80º 75º

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS

1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS

CONVEXO NÃO-CONVEXO

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS

2) SOMA DOS ÂNGULOS

Si = (n – 2).180o

n = 4

1 x 180º Si = 180º n = 3

2 x 180º Si = 360º

n = 5 3 x 180º Si = 540º

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS

2) SOMA DOS ÂNGULOS

Se = 360o

α

βγ

αβγ

COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 2. POLÍGONOS

3) NÚMERO DE DIAGONAIS

no de diagonais de um polígono c/ n lados:

no de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3)

2

)3.( −= nnd

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2. POLÍGONOS

Questão 2:(CESCEM-adaptada) Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos assinalados na figura é: a) 90o b)120o c)144o d)154o e)180o

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2. POLÍGONOS

Questão 2:

Solução:

180º – A – C

180º – B – D 180º – C – E

180º – A – D

180º – B – E

oi

oi

oi

S

S

nS

540

180).25(

180).2(

=

−=

−=

180 – A – C + 180 – B – D + 180 – C – E + 180 – A – D + 180 – B – E = 540 2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360 2.(A + B + C + D + E) = 360 (A + B + C + D + E) = 180º

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2. POLÍGONOS

Questão 4:(ESAF/2006) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:a) 11b)12c)10d)15e)18

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2. POLÍGONOS

Questão 4:

O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono.

Solução:

Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3)

Diagonais de um hexágono:

92

)36.(62

)3.(

=

−=

−=

d

d

nnd Então:

n – 3 = 9n = 12

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2. POLÍGONOS

Questão 6:No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.a)100o

b)110o c)120o d)130o e)140o

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2. POLÍGONOS

Questão 6:

A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.

x

4x

5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180 5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40

Solução:

EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA

2. POLÍGONOS

Questão 6:

A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.

5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180 5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40α20º

80º

α + 20 + 160 + 80 = 360α = 100º

Solução:

EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA

2. POLÍGONOS

Questão 8:

Solução:

75º

110º

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2. POLÍGONOS

Questão 8:

Na figura seguinte, o valor de α é:a) 90o b) 95o c) 100o d) 110o e) 120o

EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS

1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois.

a

b c

|b - c| < a < b + c

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2) ELEMENTOS

Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente.

Bissetriz interna: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.

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2) ELEMENTOS

Observação: Teorema da Bissetriz Interna.

A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.

A

B CP

PC

AC

BP

AB =

PC

AC

BP

AB =

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2) ELEMENTOS

Mediana: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Mediatriz: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.

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2) ELEMENTOS

Baricentro: é o ponto de interseção das medianas.

OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.

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2) ELEMENTOS

Incentro: é o ponto de interseção das bissetrizes.

OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.

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2) ELEMENTOS

Circuncentro: é o ponto de interseção das mediatrizes.

OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo.

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2) ELEMENTOS

Ortocentro: é o ponto de interseção das alturas.

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2) ELEMENTOS

OBSERVAÇÃO: Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos. Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euller).Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.

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2) ELEMENTOS

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3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são semelhantes quando possuem lados homólogos* proporcionais e ângulos respectivamente de mesmas medidas. * lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.

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3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

45o 45o 60o 60o 50o 50o

2 cm

3 cm

3 cm

4,5 cm

2 cm

3 cm4 cm

4 cm

8 cm 6 cm

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4) RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A

BCa

b c

m n

h

b2 = a.m c2 = a.n

h2 = m.n

a.h = b.c

a2 = b2 + c2

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5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER

A B

C

b a

cm n

ha2 = b2 + c2 - 2c.m

Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele.

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5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER

Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele.

a2 = b2 + c2 + 2c.n

m

C

A B

ab

c

h

n

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6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

AB

C

hipotenusa cateto oposto

cateto adjacenteθ

adjacentecateto

opostocatetotg

hipotenusa

adjacentecateto

hipotenusa

opostocatetosen

=

=

=

θ

θ

θ

cos

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6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

sen cos tg

30o

45o

60o

2

1

2

1

2

22

2

2

3

2

3

3

3

1

3

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7) LEI DOS SENOS

Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

r.2senC

c

senB

b

senA

a ===

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8) LEI DOS COSSENOS

Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA

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Questão 3

(COVEST 2003) Um triângulo com lados medindo 2.1050, 10100 – 1 e 10100 + 1:a) é isóscelesb) é retânguloc) tem área 10150 – 1d) tem perímetro 4.10150

e) é acutângulo

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Solução:

100100200100200

25021002100

10.4110.210110.210

)10.2()110()110(

++−=+++−=+

O triângulo é retângulo.

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Questão 4

(COVEST 2006) A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada está a uma distância de 0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa cúbica que pode ser transportada pela região limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado até os centésimos)

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Questão 4

2,5m

0,70m

x

x

myy

y

y

4,276,5

25,649,0

5,27,0

2

2

222

=∴==+=+

2,4 – x

mxx

xx

xx

54,068,1.1,3

.4,2.7,068,1

7,04,2

4,2

≅∴==−

=−

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Questão 8

(COVEST 2001 – 2ª fase) Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO.

8

88

6 6 Solução:

10100

862

222

=∴=

+=

xx

xx

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Questão 12

(Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â.a) 60o b) 70o c) 800 d) 90o e) 100o

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OBSERVAÇÃO:

θ

x

ββ α α

γ γ

x + β = θ + α α = θ + β

x + β = θ + θ + β

x = 2.θ

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Questão 12

(Vunesp-adaptada) No triângulo ABC da figura, BD é bissetriz do ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â.a) 60o b) 70o c) 800 d) 90o e) 100o X

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Questão 13

(COVEST 2001) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21o 30’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB?a) 43b) 41c) 40d) 44e) 42

X

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Questão 17

(UCSal/93-adaptada) Na figura abaixo têm-se o triângulo ABC, cujo perímetro é 26cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do triângulo ABC medem:a) 5 e 13b) 6 e 12c) 7 e 11d) 8 e 10e) 9 e 9

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Solução:

44

44

8

xy

x + y = 10

16.

.416..4

4

4

4

=+=+

=++

yx

yyxy

yy

x

x = 8 e y = 2Os lados valem 6cm e 12cm

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Questão 18

(Vunesp) Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:

5e3)e

5e6)d

2e6)c

3e5)b

3e6)a

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OBSERVAÇÃO:

30o

cat. opostohipotenusa

cat. adjacente

opostocatadjacentecatopostocat

adjacentecat

adjacentecat

opostocattg

hipotenusaopostocathipotenusa

opostocatsen

o

o

..3.3

..3.

3

3

.

.30

.2

1.

2

1.30

=∴=

==

=∴==

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OBSERVAÇÃO:

30o

48

4.√ 330o

510

5.√ 3

30o

612

6.√ 3

30o

714

7.√ 3

EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS

Solução:

45o

30o

2.√ 2

√2

√2 .√3 √6=

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Questão 19

(UFBA/93-adaptada) Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm2 a área de um quadrado de lado MP, determine x.

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Solução:

A C

B

M

6

3 3

2

4

P

60o

x13

2

1.24169

60cos.4.3.243

2

2

222

=

−+=

−+=

x

x

x o

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Questão 20

(UnB-DF/adaptado) Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC.

a) 15o b) 20o c) 30o d) 40o e) 50o

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OBSERVAÇÃO:

⁄⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄

EREM PADRE OSMAR NOVAES GEOMETRIA PLANA 3. TRIÂNGULOS

Solução:

20o 20o

50o

80o

60o

60o

40o