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PROFESSORA: Rosa Canelas 2005/2006
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ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS – COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE
MATEMÁTICA – A Ficha de trabalho nº1
1. Em , conjunto dos números complexos, considere 91
11z 2cis 2i6π = +
e 2z 2 2i= −
1.1. Represente 1z na forma trigonométrica.
1.2. Mostre que 31z e 2
2z são números complexos conjugados.
1.3. Na figura está representada, no plano complexo, parte de
uma coroa circular limitada por duas circunferências de
centro na origem e que contêm as imagens geométricas
dos números complexos 1z e 2z .
1.3.1. Defina por uma condição em a região colorida da
figura, incluindo a fronteira.
1.3.2. Seja ( )z cis= ρ θ , com 0 2≤ θ ≤ π . Determine ρ e θ para que a imagem geométrica
de w iz= pertença à região colorida da figura.
2. Uma das ruas de uma localidade, em festa, está ornamentada com
arcos assentes em duas colunas, como o representado no
referencial da figura. As colunas encontram-se a 6 metros de
distância uma da outra e para cada ponto de abcissa x a altura do
arco, em metros é dada por ( ) 0,3x 0,3xf x 8 2e 2e−= − − .
2.1. Calcule ( )f 3 , com duas casas decimais, e interprete o
resultado no contexto apresentado.
2.2. qual seria a distância entre as colunas se as mesmas tivessem
três metros de altura? Apresente o resultado com duas casas
decimais.
2.3. Um camião que transporta um contentor prepara-se para entrar
na referida rua. A largura do contentor é de 2,6 metros e a
altura do camião, incluindo o contentor é de 3,7 metros.
Poderá o camião transitar pela rua?
Use as potencialidades da calculadora gráfica para responder à questão formulada.
Numa pequena composição, explicite a conclusão a que chegou, justificando-a
devidamente. Inclua os gráficos que considerar necessários e as coordenadas
aproximadas às décimas de pontos relevantes para a resposta.
PROFESSORA: Rosa Canelas 2005/2006
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3. Sendo ( ) ( )f x ln 2e x= + , mostre, utilizando a indução matemática, que:
( ) ( ) ( )( )
n 1(n)
n
1 n 1 !f x , x IR, n IN
2e x
−
−
− −= ∀ ∈ ∀ ∈
+.
4. Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material, mas de três cores diferentes
( brancas, pretas e vermelhas).
Sabe-se que:
4.1. Existe, pelo menos, uma bola de cada cor;
4.2. O número de bolas brancas é 5;
4.3. O número de bolas pretas é par
4.4. Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é 13
Prove que, no saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas.
RESPOSTAS: 1.1 2cis6π 1.31 2 z 2 2 Argz
4 6π π
≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ 1.3.2 5 52 2 24 3π π
≤ ρ ≤ ∧ ≤ θ ≤
2.1 ( )f 3 2,27 2.2 d 4,62≈ 2.3 d 2,6< , o camião não passa.