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GEOMETRIAGEOMETRIAGEOMETRIAGEOMETRIA

Professor: Luiz Gonzaga Martins, M.Eng.

SUMRIO

DICAS PARA OS ALUNOS...............................................................................................2

1. BREVE HISTRIA........................................................................................................5

2. PROJEO.....................................................................................................................6

3. MTODO BIPROJETIVO............................................................................................7

4. A PURA.......................................................................................................................10

5. COMO REPRESENTAR UM PONTO NA PURA.................................................12

6. PLANOS BISSETORES...............................................................................................14

7. SIMETRIA.....................................................................................................................16

8. RETAS............................................................................................................................20

9. TRAOS DE RETAS...................................................................................................25

10. PERTINNCIA DE PONTO RETA.....................................................................29

11. POSIES RELATIVAS DE DUAS RETAS..........................................................31

12. RETAS DE PERFIL...................................................................................................33

13. PLANOS.......................................................................................................................41

14. PERTINNCIA DE RETA AO PLANO..................................................................57

15. PERTINNCIA DE PONTO AO PLANO...............................................................60

16. PLANOS NO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAOS...........................................65

17. RETAS DE MXIMO DECLIVE (RMD) E RETAS DE MXIMA

INCLINAO (RMI)..................................................................................................67

18. PARALELISMO.........................................................................................................78

19. INTERSEO DE PLANOS.....................................................................................83

20. TRAO DE RETA SOBRE PLANO........................................................................89

21. PERPENDICULARISMO..........................................................................................92

22. MUDANA DE PLANO DE PROJEO.............................................................102

23. ROTAO..................................................................................................................124

24. REBATIMENTO.......................................................................................................135

25. ALAMENTO...........................................................................................................145

26. PROBLEMAS MTRICOS.....................................................................................148

27. APLICAO DA GEOMETRIA DESCRITIVA EM TELHADOS...................170

28. EXERCCIOS............................................................................................................171

Luiz Gonzaga Martins Suelen Cristina da Silva

2

DICAS PARA OS ALUNOS

Recomenda-se que o estudante dedique igual nmero de horas de estudo domiciliar

quantas forem as horas/aulas semanais. Entretanto o estudo dever ser dividido em

vrios perodos de tempo mximo de 15 minutos, onde o aluno dever gastar bastante

tempo procurando visualizar os objetos no espao.

O aluno deve evitar fazer de exerccios com pouca compreenso do que est sendo

representado. Deve-se ter uma abordagem lgica, procurando brincar com os objetos no

diedro (veja abaixo), tentando visualizar suas projees nos planos vertical e horizontal

para, num momento posterior, montar o objeto no espao a partir do conhecimento de suas

projees.

Faa um diedro para poder visualizar os planos e as retas.

1- Corte dois retngulos iguais de papelo ou outro material

2- Faa um corte na lateral de cada retngulo conforme a figura abaixo

Luiz Gonzaga Martins Suelen Cristina da Silva

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4- Agora temos o diedro pronto

Use canetas para visualizar as retas e o esquadro para visualizar os planos.

Luiz Gonzaga Martins Suelen Cristina da Silva

4

O esquadro juntamente com o diedro so usados para facilitar a visualizao de

planos e retas.

Embora algumas figuras da apostila possam ter problemas de impreciso como

ngulos, arcos e medidas, procure usar sempre os instrumentos de desenho e escala

Luiz Gonzaga Martins Suelen Cristina da Silva

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1. BREVE HISTRIA

A Geometria Descritiva surgiu no sculo XVIII, criada pelo matemtico francs

Gaspard Monge (1746-1818). Convidado a trabalhar na Escola Militar de Mzires, na

tentativa de resolver um complicado problema de construdo de fortificaes, Monge

inventou um novo mtodo, muito mais simples que os at ento conhecidos que viria a

ser o alicerce da Geometria Descritiva. Monge conquistou, de imediato, um cargo docente,

encarregando-se de instruir os futuros engenheiros militares no novo mtodo considerado,

por 15 anos, segredo militar, que ningum estava autorizado a divulgar. A Geometria

Descritiva se prope a resolver, no plano, problemas de geometria espacial mediante a

projeo dos objetos em dois planos.

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2. PROJEO

A projeo usada ser a ortogonal cilndrica, onde os raios de luz esto no infinito e

chegam ao plano de projeo formando um ngulo reto.

No plano vertical No plano horizontal

Fig.1 Fig.2

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3. MTODO BIPROJETIVO

Os dois planos fundamentais tm entre si um ngulo reto formando quatro diedros

Fig. 3

Denotamos o plano de projeo vertical (`) e o plano de projeo horizontal ().

Vendo de outro ngulo (diedro de perfil):

Fig.4

Os planos perpendiculares formam quatro semi-planos:

Vertical Superior (`S);

Vertical inferior (`I);

Horizontal anterior ( A);

Horizontal posterior ( P).

A interseo dos planos chamada Linha de terra (L.T.) (fig.5)

II DIEDRO I DIEDRO III DIEDRO IV DIEDRO

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8

Fig. 5

Fig. 6

Seja um ponto (P) qualquer, a sua projeo horizontal ser P e a sua projeo

vertical ser P`.

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9

Chamamos de afastamento a distncia da linha de terra at a projeo

horizontal do ponto.

Chamamos de cota a distncia da linha de terra at a projeo vertical do ponto.

Podemos ver tambm no diedro de perfil.

Fig. 7

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10

4. A PURA

Para chegar pura a partir do diedro faz-se o seguinte:

Giramos o plano () em torno da linha de terra. (fig.8)

Fig. 8

- Vendo o diedro j rotacionado:

O plano (`) e o plano () agora coincidem.

Fig. 9

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11

- A linha de terra representada com uma reta e dois traos sob ela, um em cada

Fig. 10

- Na hora de representar a pura, os contornos que antes limitavam os planos agora no so

pura:

Fig.11

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12

5. COMO REPRESENTAR UM PONTO NA PURA

Se o ponto estiver no I diedro:

Fig.12

Fig.13

A linha de chamada une as duas projees passando pela linha de terra e formando

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13

90 com a mesma.

Verifique por voc mesmo quais so os sinais da cota e afastamento quando o

ponto est em cada um dos outros trs diedros, e mostre exemplos nas puras

abaixo.

Faa as puras:

Se o ponto estiver no II diedro: Se o ponto estiver no III diedro

Se o ponto estiver no IV diedro:

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6. PLANOS BISSETORES

Vendo o diedro de perfil

Fig.14

O I o bissetor mpar, pois divide os diedros I e III em partes iguais.

O P o bissetor par, pois os diedros II e IV em partes iguais.

Fig.150

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15

Ponto no I : pura de um ponto no I:

Fig.16 Fig.17

Faa o mesmo para um ponto no P: pura de um ponto no P:

Analisando as figuras acima, que propriedade voc pode identificar nos pontos

pertencentes aos bissetores?

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16

7. SIMETRIA

Simetria quer dizer mesma medida, portanto, veja:

Simetria e relao ao plano horizontal

Como o ponto (P) simtrico a (Q) em relao ao plano horizontal, ento eles

distam a mesma distncia d do plano.

Fig.18 Fig.19

- Para visualizar facilmente a simetria, olhe para o diedro de perfil:

Fig.20

Simetria e relao ao plano vertical

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17

A distncia de (P) ao plano (`) a mesma distncia de (Q) a (`), portanto, (P) e

(Q) so simtricos em relao ao plano vertical.

Fig.21 Fig.22

Simetria e relao linha de terra ( `)

A distncia de (P) at a linha de terra igual distncia de (Q) a at a linha de

terra, portanto, (P) e (Q) so simtricos em relao ( `).

Fig.23 Fig.24

Percebemos que (P) e (Q) tm cotas e afastamentos de mdulos iguais e sinais

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contrrios, ou seja:

cota(P) = - cota(Q)

afast.(P) = - afast.(Q)

Simetria em relao aos planos bissetores

Simtrico em relao ao I

Vemos que (P) e (Q) so simtricos em relao ao I

Fig.25 Fig.26

Simtrico em relao ao P

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19

Vemos que (P) e (R) so simtricos ao P.

Fig.27 Fig.28

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8. RETAS

Uma reta pode ser definida por dois pontos. Para todos os efeitos, as retas so

infinitas, embora a representemos por uma poro finita. Quando nos referimos reta

(A)(B) estamos nos referindo reta que passa pelos pontos (A) e (B) e no apenas ao

segmento (A)(B).

- Posies das retas

Horizontal: paralela a () e oblqua a (`);

Frontal: paralela a (`) e oblqua a ();

Fonto-horizontal: paralela a () e a (`), logo paralela a linha de terra;

Vertical: perpendicular a () e paralela a (`);

De topo: perpendicular a (`) e paralela a ();

De perfil: ortogonal a ( `), oblqua a () e a (`), tambm podemos dizer que

paralela a um plano de perfil;

Qualquer: todas as outras oblquas a () e a (`).

O estudante deve cuidar para no se prender exclusivamente na representao em

pura, procurando sempre imaginar (visualizar mentalmente) a posio espacial dos

objetos.

- Representando as retas no diedro e em pura:

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21

horizontal

Fig. 29 Fig. 29.1

frontal

Fig. 30 Fig. 30.1

fronto-horizontal

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Fig. 31 Fig. 31.1

vertical

Fig. 32 Fig. 32.1

de topo

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Fig. 33 Fig. 33.1

qualquer

Fig. 34 Fig. 34.1

de perfil

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24

Fig. 35 Fig. 35.1

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9. TRAOS DE RETAS

o nome que se d para o ponto onde a reta fura os planos de projeo.

Existe o trao vertical (V) onde a reta fura o plano (`) e o trao horizontal (H) onde a reta

fura o plano (). Por apresentar particularidades, a reta de perfil ser estudada mais

frente.

- Para achar os traos:

1. Trao vertical: deve-se prolongar a reta at achar o ponto onde o afastamento nulo.

2. Trao horizontal: deve-se prolongar a reta at achar o ponto onde a cota nula.

Observe que a projeo V e a projeo H esto sobre a linha de terra, ou seja,

afastamento e cota nulos respectivamente. (figs. 36 e 36.1)

Fig. 36 Fig. 36.1

Na pura, prolonga-se a projeo horizontal para achar o trao vertical e prolonga-se a

projeo vertical para achar o trao horizontal.

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Veja os passos nas figuras seguintes:

Fig. 37 Fig. 37.1 Fig. 37.2

- Na fig. 37 temos a reta r qualquer;

- Na fig. 37.1, prolongando as projees achamos H(cota nula) e V(afastamento nulo);

- Na fig. 37.2 achamos H e V atravs da linha de chamada, j que sabemos que H est

sobre a projeo r e V est sobre a projeo r.

- Usa-se a mesma tcnica para achar os traos em todas as retas (exceto a de perfil que

veremos mais a frente).

Podemos observar nas figs. 38 e 39 que a reta horizontal no tem trao horizontal e a reta

frontal no tem trao vertical.

Fig. 38 Fig. 39

Podemos utilizar os traos para verificar os diedros por onde a reta passa:

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27

Ex: Uma reta pode partir do terceiro diedro e chegar ao primeiro diedro de trs formas.

1- Passando pelo segundo e chegando ao primeiro diedro

Fig.40 Fig.40.1 Fig. 40.2

2- Passando pelo quarto diedro e chegando ao primeiro diedro.

Fig. 41 Fig. 41.1 Fig.41.2

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28

3- Passando pela linha de terra e chegando ao primeiro diedro.

- em pura

Fig.42 Fig.42.1 Fig.42.2

Devemos observar os traos e ver se eles tm cota e afastamento positivos ou negativos.

Assim, podemos concluir se a reta passa pelo I, II, III, ou IV diedro.

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10. PERTINNCIA DE PONTO A RETA

Um ponto pertence a uma reta quando tem suas projees sobre as projees de

mesmo nome da reta.

- Vemos na fig. 43 que o ponto (A) pertence reta r e o ponto (B) no pertence reta r.

Fig. 43

- Devemos cuidar para no nos confundir na hora de dizer se um ponto pertence ou no a

uma reta na pura, pois como vemos, tanto as projees de (A) quanto as projees de (B)

esto sobre as projees de (r), porm, se olharmos com mais ateno, veremos que B est

sobre r e B est sobre r. Por isso, (B) no pertence a (r).

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Fig. 44

Veja na fig.44.1 que o ponto (P) pertence reta (h), pois tem suas projees sobre as

projees de mesmo nome da reta e os pontos (Q) e (R) no pertencem.

Fig.44.1

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11. POSIES RELATIVAS DE DUAS RETAS

Duas retas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas.

Paralelas:

Duas retas so paralelas quando suas projees de mesmo nome so paralelas.

possvel passar um plano pelas retas (coplanares).

Fig. 45

Concorrentes:

As retas (r) e (s) so concorrentes, pois se cruzam na projeo vertical em I e na

projeo horizontal sobre I.

I e I esto sobre a mesma linha de chamada.

Fig. 46

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Reversas:

Duas retas so reversas se no tiverem nenhum ponto em comum e se no for

possvel passa um plano pelas duas. Portanto se duas retas no so paralelas nem

concorrentes elas sero reversas.

As retas (r) e (s) so reversas.

A reta (s) passa por cima e pela frente (mais afastada de (`)) da reta (r).

Fig. 47

- Para saber se uma reta est passando por cima ou pela frente de outra, basta fazer o

seguinte:

Pegamos um ponto onde as projees horizontais das retas coincidem (no caso

JK) e prolongamos a linha de chamada, vemos que J est mais abaixo de K, ou seja,

tem cota menor. Assim, como J pertence r, a reta (r) est mais abaixo que a reta (s).

Pegamos um ponto onde as projees verticais das retas coincidem (no caso IL)

e prolongamos a linha de chamada, vemos que L tem afastamento menor que I. Assim,

como L pertence a r, a reta (r) est atrs de (s).

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12. RETAS DE PERFIL

Existe certa dificuldade em enxergar a inclinao de uma reta de perfil, por isso,

feita uma anlise extra sobre essa reta.

Para visualizar a inclinao de uma reta de perfil preciso no mnimo de dois pontos.

Toda reta de perfil pertence a um plano de perfil (o plano de perfil perpendicular a ()

e a (`)).

Fig.48

Rebatimento

Rebater a reta de perfil girar o plano no qual ela est contida at ele coincidir com o

plano vertical.

Como podemos ver na fig.49, (A)1(B)1 a reta rebatida.

Deve-se girar a projeo horizontal no sentido anti-horrio sem mudar o afastamento,

aps isso, fazemos o prolongamento da cota e unimos com a linha de chamada da projeo

horizontal rebatida.

Ligamos os pontos e obtemos a reta de perfil rebatida.

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34

Fig.49

Quando olhamos a reta de perfil rebatida como se olhssemos o diedro de perfil.

Fig.50

Nesse caso, na fig. 50, como se a linha terra se tornasse o plano horizontal e as

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35

projees no rebatidas da reta se tornassem o plano vertical

Fig.51

A partir do momento que rebatemos a reta, podemos saber a inclinao e tambm

achar os seus traos.

Traos de retas de perfil

Para achar os traos, deve-se prolongar a reta de perfil j rebatida, quando ela

encontrar a linha de chamada, ser o trao vertical (V)1 que coincide com V.

Quando ela encontrar a linha de terra. Ser o trao horizontal (H)1. Lembre-se que as

projees H e V sempre esto sobre a linha de terra.

Para achar a projeo horizontal H, deve-se fazer o alamento, que o inverso do

rebatimento.

Rebatimento: sentido anti-horrio

Alamento: sentido horrio

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36

Fig.52

Exemplo no III diedro

Fig.53

Pertinncia de um ponto a reta de perfil

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Para um ponto pertencer a uma reta de perfil, no basta apenas ele ter suas

projees sobre as projees da reta, alm disso, quando rebatemos esse ponto ele deve

estar sobre a reta rebatida.

Na fig.54, (C) pertence reta (A)(B) pois suas projees esto sobre as projees de

mesmo nome da reta e quando rebatemos o ponto, ele est sobre a reta rebatida.

Fig.54

Na fig.55, (C) no pertence reta (A)(B) pois apesar de ter suas projees sobre as

projees de mesmo nome da reta, ele no est sobre a reta rebatida.

Fig.55

Posies relativas de retas de perfil

Concorrncia com uma reta qualquer:

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Devemos analisar o aparente ponto de concorrncia, que no caso (C). (fig.56)

Vemos que (C) pertence a (r), mas quando rebatemos o ponto e obtemos (C)1, vemos que

ele no est sobre (A)1(B)1, que a reta de perfil rebatida, portanto, conclumos que as

retas (r) e (A)(B) no so concorrentes.

Fig.56

Na fig. 57, quando rebatemos o aparente ponto de concorrncia (C) e obtemos (C)1, vemos

que ele pertence reta de perfil rebatida (A)1(B)1.

Como ele tambm pertence a (r), conclumos ento que as retas so concorrentes.

Fig.57

Concorrncia de duas retas de perfil:

A posio relativa de duas retas de perfil s pode ser definida com o rebatimento

de ambas. Duas retas de perfil s podem ser concorrentes se estiverem num mesmo plano

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39

de perfil.

Como vemos na fig.58, (A)(B) e (C)(D) esto num mesmo plano, vamos verificar

se so concorrentes ou paralelas.

Devemos rebater ambas as retas, feito isso, vemos que elas tem um ponto em comum (I)1,

portanto, as retas so concorrentes.

Apesar do ponto (I) estar sobre as retas rebatidas, ele deve estar tambm sobre suas

projees na pura.

Fig.58

Paralelismo de retas de perfil:

Quando duas retas de perfil tm suas projees paralelas ou coincidentes em pura,

e suas projees rebatidas paralelas, ento dizemos que essas retas so paralelas.

Como vemos na fig.59, as retas (A)(B) e (C)(D) satisfazem essas condies, portanto so

paralelas.

Luiz Gonzaga Martins Suelen Cristina da Silva

40

Fig.59

Retas de perfil reversas:

Se duas retas de perfil esto sobre uma mesma abscissa, ento elas podem ser

paralelas ou concorrentes, mas nunca reversas, pois por duas retas reversas no podemos

passar um plano.

Vejamos:

Podemos ver na fig.60 que as retas (A)(B) e (C)(D) esto em planos diferentes,

portanto no podem ser concorrentes. Olhando as projees, parecem paralelas.

Entretanto, quando rebatemos ambas as retas, percebemos que elas no so paralelas,

assim, conclumos que as retas s podem ser reversas.

Fig.60

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41

13. PLANOS

Os planos so representados por letras gregas (,,,,...) e podem ser definidos por:

Duas retas paralelas;

Duas retas concorrentes;

Trs pontos no colineares;

Uma reta e um ponto fora dela.

Representamos os planos tanto em pura quanto no diedro por pores finitas,

porm, como no caso das retas, todos os planos so infinitos assim como seus traos.

Posies:

Horizontal: paralelo a ()

Todos os pontos situados num plano horizontal tm mesma cota.

Frontal: paralelo a (`)

Todos os pontos situados num plano frontal tm mesmo afastamento.

De topo: perpendicular a (`) e oblquo em relao ().

Todos os elementos de um plano de topo tm projees verticais sobre seu trao

vertical.

Vertical: perpendicular a () E oblquo em relao (`).

Todos os elementos de um plano vertical tm projees horizontais sobre seu

trao horizontal.

De perfil: perpendicular a () e a (`).

As projees dos elementos que pertencem a um plano de perfil sempre estaro

sobre os traos de mesmo nome do plano.

Luiz Gonzaga Martins Suelen Cristina da Silva

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Paralelo a linha de terra: paralelo a (`) e oblquo em relao () e (`), porm no

passa pela linha de terra.

Passa pela linha de terra: oblquo em relao () e (`) e passa por (`).

Qualquer: no paralelo ou perpendicular a () nem a (`) nem a (`).

O estudante deve cuidar para no se prender exclusivamente na representao em

pura, procurando sempre imaginar (visualizar mentalmente) a posio espacial dos

objetos.

Os planos so geralmente representados pelos seus traos, pois isso simplifica a sua

visualizao no espao.

Traos de planos

Os traos so as intersees com os planos de projeo. Convenciona-se representar o

plano na pura mostrando-se o trao horizontal abaixo da linha de terra e o trao vertical

acima da linha de terra.

- O trao vertical pode ser uma frontal, fronto-horizontal ou vertical, dependendo

do plano, todas de afastamento nulo (fig 61.1).

- O trao horizontal pode ser uma horizontal, fronto-horizontal ou de topo,

dependendo do plano, todas de cota nula (fig 61.1).

- Sempre que o plano possuir dois traos no paralelos eles se cruzaro sobre a

linha de terra.

- Por uma questo de convenincia e clareza, no representamos a projeo dos

traos que est sobre (`).

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43

Fig.61 Fig.61.1

Plano qualquer:

a interseo com () e ` a interseo com (`).

Fig.62

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44

O trao vertical a reta do plano contida em (`) e o trao horizontal a reta do plano

contida em (). (fig.63)

Fig.63

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.64

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45

Plano horizontal:

Vemos nas figs. 65 e 65.1 que o plano horizontal possui somente trao vertical, pois

paralelo a ().

Fig.65 Fig.65.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.66

Plano frontal:

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46

Vemos nas figs. 67 e 67.1que o plano frontal possui somente trao horizontal, pois

paralelo a ().

Fig.67 Fig.67.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.68

Plano de topo:

Vemos nas figs. 69 e 69.1 que o plano de topo apresenta os dois traos

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47

Fig.69 Fig.69.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.70

Plano vertical:

Vemos nas figs. 71 e 71.1 que o plano vertical apresenta os dois traos

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48

Fig.71 Fig.71.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.72

Plano de perfil:

Vemos nas figs. 73 e 73.1 que o plano de perfil tambm apresenta os dois traos, porm os

mesmos coincidem.

Luiz Gonzaga Martins Suelen Cristina da Silva

49

Fig.73 Fig.73.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.74

Plano paralelo linha de terra:

O plano paralelo linha de terra apresenta os dois traos paralelos a (`). (figs. 75 e 75.1)

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50

Fig.75 Fig.75.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.76

Plano que passa pela linha de terra:

Note nas figs. 77 e 77.1que os traos desse plano esto sobre a linha de terra,

portanto, para identificar a sua inclinao, preciso tambm um ponto.

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51

Fig.77 Fig.77.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.78

Obs.: Lembre-se de que quando o plano tiver dois traos, eles sempre se encontraram sobre

a linha de terra.

Retas pertencentes aos planos

Luiz Gonzaga Martins Suelen Cristina da Silva

52

O conhecimento das retas que cabem em cada tipo de plano importante para evitar

que, na seqncia dos estudos, o aluno se perca tentando colocar uma reta em um plano

que no a pode conter.

Coloque o esquadro na posio de um plano encaixado no diedro e veja as retas que

pertencem a ele atravs das linhas dentro do esquadro. Pratique com o diedro e o esquadro

para visualizar as retas pertencentes aos planos, aps esse treinamento voc conseguir

visualizar sem a ajuda do diedro e sem o esquadro. Pelas cores das retas voc poder

observar que dependendo da posio do plano elas assumiro nomes diferentes.

Frontal no plano frontal cabem as retas:

- frontal (f), fronto-horizontal (r), vertical (v).

Fig.79

Horizontal no plano horizontal cabem as retas:

- horizontal (h), fronto-horizontal (r), de topo (t).

Luiz Gonzaga Martins Suelen Cristina da Silva

53

Fig.80

De topo no plano de topo cabem as retas:

- de topo (t),qualquer (q), frontal (f).

Fig.81

Vertical no plano vertical cabem as retas:

- vertical (v), horizontal (h), qualquer (q).

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54

Fig.82

De perfil no plano de perfil cabem as retas:

- de perfil (p), vertical (v), de topo (t).

Fig.83

Paralelo a linha de terra no plano paralelo a (`) cabem as retas:

- fronto-horizontal (r), de perfil (p), qualquer (q).

Luiz Gonzaga Martins Suelen Cristina da Silva

55

Fig.84

Obs.: O plano paralelo linha de terra foi prolongado para que fosse possvel visualizar o

trao horizontal.

Passando pela linha de terra no plano que passa por (`) cabem as retas:

- fronto-horizontal (r), de perfil (p), qualquer (q).

Fig.85

Qualquer no plano qualquer cabem as retas:

- qualquer (q), frontal (f), horizontal (h), de perfil (p).

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56

Fig.86

Obs: Note que o plano qualquer o nico que permite quatro tipos de retas. Observe que

diferentemente da reta qualquer, a reta de perfil une os pontos (V) e (H) de mesma

abscissa.

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14. PERTINNCIA DE RETA AO PLANO

Na pura, sabemos que uma reta pertence a um plano quando ela tem seus traos

sobre os traos de mesmo nome do plano.

Excees:

1. Quando a reta passa pelo ponto onde os traos do plano se cruzam sobre a linha de

terra, no necessariamente a reta pertence ao plano. (ver fig.89)

2. Quando uma reta passa pela linha de terra, no necessariamente ela est contida em

um plano que passa pela linha de terra. (ver fig. 90)

Nesses casos, preciso verificar se um outro ponto da reta pertence ao plano (veremos

isso mais a frente, pois precisamos do conceito de pertinncia de ponto ao plano).

Exemplos:

Regra geral

A reta (r) pertence ao plano (), pois seus traos esto sobre os traos de mesmo nome do

plano.

Fig.87

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Desenhe na pura abaixo as seguintes retas pertencentes ao plano ():

reta (s), no segundo diedro;

reta (t), no terceiro diedro;

reta (v) no quarto diedro.

Observe que na fig. 88 a reta (s) pertence ao plano ().

Fig.88

Exceo 1

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Fig.89

Exceo 2

Fig.90

Veremos mais a frente como verificar se a reta pertence ao plano.

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15. PERTINNCIA DE PONTO AO PLANO

Um ponto pertence ao plano quando pertence a uma reta do plano (essa regra no

tem excees).

Planos projetantes

Dizemos que um plano projetante quando for perpendicular a um dos planos de

projeo. Um plano projetante projeta todos os seus elementos (retas e pontos) sobre o

trao no plano que lhe perpendicular, o que permite a regra de pertinncia simplificada

abaixo.

- Os planos projetantes so:

Vertical (projeta as projees horizontais sobre o trao horizontal) (fig. 91);

De topo (projeta as projees verticais sobre o trao vertical) (fig. 92);

De perfil (projeta as projees horizontais sobre o trao horizontal e as projees

verticais sobre o trao vertical) (fig. 93);

Horizontal (projeta as projees verticais sobre o trao vertical) (fig. 94);

Frontal (projeta as projees horizontais sobre o trao horizontal) (fig. 95);

Se o plano () for projetante e perpendicular a (`), ento todos os seus elementos tero

sua projeo vertical sobre `.

Se o plano () for projetante e perpendicular a (), ento todos os seus elementos tero

sua projeo horizontal sobre .

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Exemplos: As retas abaixo pertencem ao plano dado

Plano vertical

Fig.91

Plano de topo

Fig.92

Plano de perfil

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Fig.93

Plano horizontal

Fig.94

Plano frontal

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Fig.95

Voltando s excees de pertinncia de reta ao plano

No caso das duas excees, alm de atender a regra geral de pertinncia, devemos

verificar se outro ponto da reta pertence ao plano.

1. Para saber se a reta pertence ao plano, devemos traar uma reta auxiliar desse plano

e ver se ela concorrente ou paralela com a reta em questo, se as retas forem concorrentes

ou paralelas, ento a reta estudada pertence ao plano, caso contrrio, no pertence.

Como podemos observar na fig.96, (h) pertence a () e no paralela nem concorrente

com (r), portanto, a reta (r) no pertence ao plano.

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Fig.96

2. Devemos fazer um procedimento parecido com a exceo 1. Traamos uma fronto-

horizontal que pertence ao plano pelo ponto que o define e verificamos se a reta auxiliar

concorrente ou paralela com a reta estudada. Se for, a reta em questo pertence ao plano,

se no for nem paralela nem concorrente, ento a reta no pertena ao plano.

Como vemos na figura, (f) uma fronto-horizontal que passa por (C) e pertence ao plano.

As retas (r) e (f) no so paralelas nem concorrentes, ento, (r) no pertence ao plano ().

Fig.97

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16. PLANOS NO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAOS

Suponha um plano dado pelos pontos: (A), (B) e (C) no colineares.

Podemos ligar esse pontos, obtendo um tringulo que define o plano pelas retas (A)(B),

(A)(C) e (B)(C).

Dentro desse tringulo, podemos achar todas as retas do plano e no usar os traos do

mesmo.

Fig.98

Veja:

Escolhemos um ponto arbitrrio (B) e ligamos a um outro ponto que esteja sobre

uma das retas, por exemplo, o ponto (D) da reta (A)(C).

Quando ligamos esses pontos, vemos que (B)(D) uma reta de perfil, pois os pontos

escolhidos possuem mesma abscissa.

Fig.99

Se quisermos achar uma horizontal fazemos o mesmo processo pegando dois

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pontos com a mesma cota.

Traamos ento a reta (B)(D) que a horizontal do plano.

Fig.100

Para achar uma frontal pegamos dois pontos de mesmo afastamento.

Ento temos a reta (C)(D) que uma frontal do plano.

Fig.101

OBS: Se tivermos um plano paralelo (), as frontais e horizontais se tornam fronto-

horizontais.

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17. RETAS DE MXIMO DECLIVE (RMD) E RETAS DE MXIMA

INCLINAO (RMI).

RMD

Declive o ngulo que um plano ou uma reta forma com ().

A RMD uma reta que pertence ao plano e tem o mesmo declive do plano

Plano () de topo com declive . (f) a RMD.

Fig.102

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Vista da RMD do plano () em pura.

Fig.103

Vemos que a RMD forma um ngulo de 90 com o trao horizontal do plano.

Plano () qualquer

Fig.104

(r) a RMD de ().

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Fig.105

Obs: Cuidar que nem sempre o ngulo reto aparecer na pura pois uma das retas poder

estar projetada em um nico ponto.

Determine na pura abaixo a RMD de um plano vertical

Teorema projetivo do ngulo reto

Sejam duas retas perpendiculares ou ortogonais no espao. O ngulo reto somente

se projeta com 90 num plano de projeo quando pelo menos uma das retas for

paralela a esse plano de projeo.

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Ex: Se (r) for paralela a () e formar 90 com (s), ento, a projeo horizontal dessas

duas retas ser perpendicular.(fig.106)

Observe que as duas retas so paralelas a um dos planos de projeo, pois temos

uma reta frontal e uma de topo. No entanto, bastaria que apenas uma das retas fosse

paralela a um dos planos de projeo e outra qualquer que o teorema continuaria

valendo.

Fig.106

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Fig.107

Como sabemos que o trao horizontal de um plano sempre paralelo a () e que a

RMD sempre forma um ngulo reto com o trao horizontal, ento sabemos, pelo teorema

projetivo do ngulo reto que na pura, a projeo horizontal da reta ser perpendicular ao

trao do plano.

OBS1: Observe na fig108 que mantendo a reta (r) (de topo) paralela a (), a reta (s) poder

ter qualquer declive que a sua projeo no se altera, mantendo o ngulo de 90 na

projeo horizontal.

OBS2: Observe que o teorema vlido para retas (r) e (s) concorrentes e reversas.

Observe que as duas retas so paralelas a um dos planos de projeo, pois temos uma

reta frontal e uma de topo. No entanto, bastaria que apenas uma das retas fosse paralela a

um dos planos de projeo e outra qualquer que o teorema continuaria valendo.

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Fig.108

Fig.109

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Se o plano tem certo declive, ento no deveria ter o mesmo declive toda reta

pertencente a esse plano?

Mostre e explique com exemplos que embora o declive de um plano seja sempre

constante, as retas que pertencem a esse plano tm declives variados, mas sempre

menores ou iguais ao do plano.

Como achar a RMD de um plano sem usar seus traos

importante sabermos achar a RMD de um plano sem utilizar seus traos, pois

quando o usamos, corremos o risco de aumentarmos a impreciso.

Como sabemos achar a horizontal do plano () definido por (A), (B) e (C) e tambm

conhecemos o fato de que ela segue paralela a (), devemos determinar (h) e a partir

disso, traamos uma perpendicular a projeo horizontal de (h), essa ser a RMD, pois se

ela forma um ngulo reto com a projeo horizontal de (h), ela tambm ter 90 com ().

(B)(E) a RMD do plano definido por (A), (B) e (C).(fig.110)

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Fig.110

OBS: Podemos achar infinitas RMDs de um plano, lembrando sempre que todas sero

paralelas.

RMI

Inclinao o ngulo que um plano ou uma reta forma com ().

A RMI uma reta que pertence ao plano e tem a mesma inclinao do plano.

Plano () de vertical com inclinao .

(h) a RMI. (fig.111)

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Fig.111

Vista da RMI de () em pura

Fig.112

Vemos que a RMI forma um ngulo de 90 com o trao vertical do plano

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Plano () qualquer

Fig.113

(r) a RMI de ()

Fig.114

Pelo teorema projetivo do ngulo reto sabemos que na pura, a projeo vertical da

RMI ser perpendicular ao trao vertical do plano.

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Faa a RMI de um plano de topo.

Como achar a RMI de um plano sem usar seus traos

Sabemos que uma frontal do plano segue paralela ao mesmo em seu trao vertical, por

isso, traamos (A)(D) que uma frontal. Como sabemos tambm, a RMI de um plano

forma 90 com o trao vertical do mesmo, portanto tambm perpendicular a uma frontal

desse plano. Assim, basta traarmos uma reta perpendicular a frontal (A)(D) que teremos a

RMI.

Fig.115

Podemos traar infinitas RMIs de um plano, sempre lembrando que sero todas paralelas.

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18. PARALELISMO

De reta com plano

Uma reta paralela a um plano quando for paralela a uma reta do plano.

Ex:

Na fig.116 devemos passar por (C) uma reta paralela a ().

Traamos uma reta que pertena ao plano, nesse caso (H)(V), depois disso traamos por

(C) uma reta paralela a (H)(V). Obtemos (r) que a reta paralela ao plano ().

Fig. 116

De plano com reta

Um plano () paralelo a uma reta (r) quando ele contiver uma reta (s) paralela