Licenciatura em Engenharia .Determine o coeficiente de atrito esttico em fun§£o do...

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  • Licenciatura em Engenharia Civil MECNICA I

    2 Chamada 08/07/2002

    NOME: ___________________________________________________________________________

    1) (3 VAL.)

    a) Verifique se o sistema articulado plano ilustrado na figura globalmente isosttico. Justifique.

    O sistema ilustrado na figura internamente hipo-esttico, uma vez que o nmero de barras, b = 8, inferior a 2n-3 = 9 (em que o n de ns n = 6). Ou seja, a condio necessria de rigidez, b = 2n-3, no verificada, logo o sistema no globalmente isosttico.____________________________________

    b) O que entende por conceito de deslocamento virtual, usado no Princpio dos Trabalhos Virtuais.

    No mbito do Princpio dos Trabalhos Virtuais, deslocamento virtual um deslocamento infinitesimal do sistema em estudo, compatvel com as ligaes ao exterior. ________________________________________________________________________________

    ________________________________________________________________________________

    c) Num cabo submetido a uma carga distribuda vertical, mostre que a componente horizontal da fora de traco no cabo igual em todos os pontos.

    Considerando que o ponto O se encontra na posio mais baixa do cabo e estudando o equilbrio entre o ponto O e o ponto arbitrrio C, verifica-se que: Tcx = Tccos = To Tcy = Tcsen = P Ou seja, a componente horizontal, Tcx, sempre igual a To em todos os pontos._________________________

    d) O bloco assente sobre a superfcie, inclinada de um ngulo em relao horizontal, encontra-se numa situao de movimento iminente. Determine o coeficiente de atrito esttico em funo do ngulo .

    A reaco, R, decompe-se nas componentes normal,

    N = Pcos, e tangencial (devida ao atrito), Fe = Psen. Em situao de movimento

    iminente, a componente Fe definida por: Fe = feN, em que fe o coeficiente de atrito

    esttico. Assim: fe = Fe/N = (Psen)/( Pcos) = tg . Ou seja, fe = tg ._________________

    P

    RF =Psene

    N=Pcos

  • Sandra Nunes Julho 2002 1/3

    EXERCCIO 3

    a) Como a direco dos esforos transmitidos pelo cabo estrutura articulada, nos pontos B e H, desconhecida consideram-se como incgnitas as suas componentes horizontal e vertical (HB, VB, HH, VH), tal como representado na figura.

    E

    HB

    VB

    B

    TE

    B

    E

    H

    VB

    HB

    VH

    HH

    G

    Desta forma, estabelecendo o equilbrio global do sistema de foras que actua sobre o cabo e adicionando uma equao que traduza o equilbrio da parte [BE] ou [GH] obtm-se um sistema de equaes que permite calcular a totalidade das incgnitas.

    ==

    =

    =

    =++==+

    =+

    =

    =

    =

    =

    )(150)(180)(180

    )(150

    05.13203309182018

    018200

    0

    0

    0

    0

    kNHkNV

    kNV

    kNH

    HVVVVHH

    m

    m

    F

    F

    B

    H

    B

    H

    BB

    H

    HB

    HB

    BEE

    B

    y

    x

    o valor total dos esforos :

    kNTVHT HBBB 3.23422 ==+=

    b) Considere-se o referencial representado na figura, com origem no ponto B: Y

    B H

    X

  • Sandra Nunes Julho 2002 2/3

    i) sendo 19.50150180

    === arctgHVarctgB

    BB

    1500 === HB HHT

    xdxdxxwWx x

    2020)(0 0

    ===

    a equao do cabo pode ser obtida a partir da seguinte equao:

    xxdxxxyxtgTW

    dxdy x

    B =

    =

    =+= 2.115)2.1152()(

    150180

    15020 2

    00

    ii) A flecha a distncia medida na vertical entre os apoios e o ponto mais baixo do cabo que ocorre quando:

    mxxdxdy 90

    150180

    150200 ===

    4.5)9( === xyflecha

    iii) O esforo mximo nos pontos de inclinao mxima, ou seja, B e H , e vale:

    kNTTT HBmx 3.234===

    o esforo no cabo mnimo no ponto de cota mais baixa, de coordenadas (9.0,-5.4) (m), e vale:

    kNTT 1500min ==

    b) A estrutura articulada representada na figura constitui uma viga Gerber (o corpo I [ABCDEF] apoia-se no corpo II [FGHIJK]).

    A

    D

    C E

    B F

    KG

    J

    I

    H

    180 kN

    150 kN

    180 kN

    150 kN

    VK

    HK

    HJ

    VD

  • Sandra Nunes Julho 2002 3/3

    O equilbrio do sistema de foras fica assegurado se forem satisfeitas as seguintes equaes:

    ==

    =

    =

    =+=++

    =+=+

    =

    =

    =

    =

    +

    +

    +

    )(180)(180)(180

    )(180

    0918090331801818018

    01801800150150

    0

    0

    0

    0

    kNHkNVkNV

    kNH

    VHV

    VVHH

    m

    m

    F

    F

    J

    D

    K

    K

    D

    JD

    KD

    KJ

    IF

    IIIK

    IIIy

    IIIx

    d) Considere-se o corte S-S,

    G

    180 kN

    180 kN

    I

    J

    K 180 kN

    150 kN

    180 kN

    H

    S

    S'

    NFH

    NFG

    a parte direita da seco encontra-se em equilbrio logo:

    ==

    =++=++

    =

    =

    0)(150

    0180180150150cos031503180318061803

    0

    0

    FG

    FH

    FG

    FH

    x

    G

    NcompressokNN

    NN

    F

    m

  • 4. RESOLUO

    a) Utilizando o Princpio dos Trabalhos Virtuais calcule:

    i. a reaco horizontal em C;

    CIR IC

    K

    4 kN

    J

    G

    D

    2 kN 2 kN

    E

    H

    L

    4 kN

    M

    I

    F

    2 kN

    C

    Hc

    kNHH cc 10220 ==+=

    ii. as foras de interaco na rotula L;

    K

    4 kN

    J

    G

    D

    2 kN 2 kN

    E

    H

    L

    4 kN

    M

    I

    F

    2 kN

    C

    CIR GJKLCIR LMNI

    1

    2

    VH

    HV

    31k Vertical = 32M Vertical = 61L Vertical = 62L Vertical =

    31L Horizontal = 32k Horizontal =

    As rotaes 1 e 2 so independentes

    Aplicao do PTV ao corpo GJKL:

    1236031613140 =+=+= HVHV

  • Aplicao do PTV ao corpo LMNI:

    1236031623240 =+=++= HVHV Juntando as duas equaes temos um sistema de duas equaes a duas incgnitas:

    ==

    =+=+

    kNVkNH

    HVHV

    04

    12361236

    iii. a reaco vertical em B

    K

    4 kN

    J

    G

    D

    2 kN 2 kN

    E

    H

    L

    4 kN

    M

    I

    F

    2 kN

    CCIR ADGH CIR IC

    CIR HI

    AHECIR

    12

    3

    4

    VE

    1 = 2 = 3 = 4 =

    5,1D Horizontal = 5,1F Horizontal = 5,1E Horizontal = 6B Vertical =

    kNVV 5,1065,125,125,120 ==++=

  • Licenciatura em Engenharia Civil MECNICA I

    2 chamada 08/07/2002

    NOME: ___________________________________________________________________________

    No esquea de escrever o

    nome Assinale nas quadrculas verdadeiro V ou falso F .

    Nota: Podero existir nenhuma ou mais do que uma resposta verdadeiras.

    COTAES: i. As respostas tm todas a mesma cotao.

    ii. As respostas erradas descontam um tero das respectivas cotaes.

    iii. As respostas com quadrculas em branco no descontam.

    a) F Para que dois sistemas de vectores sejam equivalentes, condio necessria e suficiente

    que tenham os mesmos momentos em trs pontos quaisquer. V Num sistema plano de vectores concorrentes num ponto, o momento desse torsor num

    ponto qualquer fora do plano pode ser no nulo. F Num sistema de vectores com suportes paralelos, o equilbrio garantido desde que o

    vector principal seja nulo.

    b) V O mtodo do polgono funicular pode ser usado para determinar o centro de um sistema de

    vectores paralelos e ainda para determinar o centride de um sistema de vectores quaisquer.

    V Num sistema de foras redutveis a binrio, o polgono funicular correspondente aberto. F Num sistema de foras em equilbrio esttico, o polgono funicular pode ser fechado ou

    aberto.

    c) Considere a barra [ABCD] quebrada em B e C e apoiada em A, B e D. F Trata-se de um sistema isosttico. V O sistema no se encontra em equilbrio se as

    foras F1 e F2 so no nulas. F Se a fora F2 nula (isto , s existe uma fora

    aplicada, F1), ento as reaces em A e D so iguais a F1/2.

    A

    B C

    D

    F1F2

    45o

    L

    L

  • d) F As reaces que ocorrem nos apoios dos sistemas materiais caracterizam-se por serem

    foras interiores. V Um sistema material tridimensional diz-se em equilbrio estvel quando os seus apoios

    esto colocados de forma a impedirem os seis graus de liberdade independentes. F No espao tridimensional, um apoio com cinco graus de liberdade caracteriza-se por ter

    uma reaco com cinco componentes independentes.

    e) F Na anlise de cabos, considera-se que eles so elementos perfeitamente flexveis, ou seja,

    que so deformveis na direco tangencial. V A configurao geomtrica de um cabo submetido a uma

    carga triangular distribuda na direco horizontal corresponde a um polinmio do terceiro grau.

    F Num cabo submetido a uma carga uniformemente distribuda por unidade de comprimento medida na direco horizontal, o valor mnimo da fora de traco no cabo ocorre no ponto mais elevado e o valor mximo ocorre no ponto mais baixo.

    f) V As foras de atrito carac