PROFESSORA: Rosa Canelas 2005/2006

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ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS – COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE

MATEMÁTICA – A Ficha de trabalho nº1

1. Em , conjunto dos números complexos, considere 91

11z 2cis 2i6π = +

e 2z 2 2i= −

1.1. Represente 1z na forma trigonométrica.

1.2. Mostre que 31z e 2

2z são números complexos conjugados.

1.3. Na figura está representada, no plano complexo, parte de

uma coroa circular limitada por duas circunferências de

centro na origem e que contêm as imagens geométricas

dos números complexos 1z e 2z .

1.3.1. Defina por uma condição em a região colorida da

figura, incluindo a fronteira.

1.3.2. Seja ( )z cis= ρ θ , com 0 2≤ θ ≤ π . Determine ρ e θ para que a imagem geométrica

de w iz= pertença à região colorida da figura.

2. Uma das ruas de uma localidade, em festa, está ornamentada com

arcos assentes em duas colunas, como o representado no

referencial da figura. As colunas encontram-se a 6 metros de

distância uma da outra e para cada ponto de abcissa x a altura do

arco, em metros é dada por ( ) 0,3x 0,3xf x 8 2e 2e−= − − .

2.1. Calcule ( )f 3 , com duas casas decimais, e interprete o

resultado no contexto apresentado.

2.2. qual seria a distância entre as colunas se as mesmas tivessem

três metros de altura? Apresente o resultado com duas casas

decimais.

2.3. Um camião que transporta um contentor prepara-se para entrar

na referida rua. A largura do contentor é de 2,6 metros e a

altura do camião, incluindo o contentor é de 3,7 metros.

Poderá o camião transitar pela rua?

Use as potencialidades da calculadora gráfica para responder à questão formulada.

Numa pequena composição, explicite a conclusão a que chegou, justificando-a

devidamente. Inclua os gráficos que considerar necessários e as coordenadas

aproximadas às décimas de pontos relevantes para a resposta.

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3. Sendo ( ) ( )f x ln 2e x= + , mostre, utilizando a indução matemática, que:

( ) ( ) ( )( )

n 1(n)

n

1 n 1 !f x , x IR, n IN

2e x

−

−

− −= ∀ ∈ ∀ ∈

+.

4. Um saco contém bolas do mesmo tamanho e do mesmo material, mas de três cores diferentes

( brancas, pretas e vermelhas).

Sabe-se que:

4.1. Existe, pelo menos, uma bola de cada cor;

4.2. O número de bolas brancas é 5;

4.3. O número de bolas pretas é par

4.4. Extraindo ao acaso uma bola do saco, a probabilidade de ela ser branca é 13

Prove que, no saco, há, pelo menos, duas bolas vermelhas.

RESPOSTAS: 1.1 2cis6π 1.31 2 z 2 2 Argz

4 6π π

≤ ≤ ∧ − ≤ ≤ 1.3.2 5 52 2 24 3π π

≤ ρ ≤ ∧ ≤ θ ≤

2.1 ( )f 3 2,27 2.2 d 4,62≈ 2.3 d 2,6< , o camião não passa.