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Markov Chain →→→→Metropolis Monte Carlo

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Recordemos

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para el otro termino de la igualdad

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1 3

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Luego de un paso al estado finallo llamo 0 ….

Matriz estocástica

16tenemos solucion estacionaria!

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Un momento de reflexión :

Que es calcular un valor medio canónico?

Si pudiese generar N Configuraciones del sistema bajo estudio, conN→∞ y que aparezcan con una frecuencia segun

∑ −−=

i

ie

ieip

))(exp(

))(exp()(

ββ

Si la realización de la Cadena de Markov asociada genera una secuencia de NM estados

y estas están

distribuidas apropiadamente →El valor medio será

∑∑ ==Mj

MMi

i joN

ipioo )(1

)()(

[ ] MNMj 1

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Problema general

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(de ser necesario)

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Que son los “pasos de la cadena”?

Para ISING→ generacion de distintos configuraciones de spines

Para Lennard Jones → distintas configuraciones espaciales (el momentose factoriza)

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peso

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i

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)1(

1

)()1()1(

)1(

+−

=

++∑−=

=

rnjj

n

r

rij

nij

nij

ijij

pfpf

pf

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← mutuamente accesibles

Una cadena con todos los estados de la misma clase es irreducible

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, positivo-recurrentes → Cadena ergodica

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[trabajamos en el canónico]

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asintótica

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Metropolis et. al. Proponen:

(cadena subyacente seleccionadora de posibles pasos)

(el estado final es mas probable)

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Sea

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De donde

∑∑∑∑∑ =−−⇒++==j

ijj

ijiij

ijj

ijiij

ij ppppppp *''*'**''*'** 11

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repitiendo

…

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!

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Cuestiones varias:

a) Los valores medios se construyen promediando sobre configuracionesno correlacionadas

b) Cuan grandes son las fluctuaciones

c) Análisis de las correlaciones entre estados

d) Ruptura de situaciones no ergodicas (sorensen-wang)

e) Extensión a otros ensembles

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Cuidado!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

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---+--

++--++++

++-+--++

++-+--++

+--++++-

+-+--++-

----+---

+--+++

Condiciones periódicas de contorno

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Realización practica:

Dimensión tamaño de la red

Acoplamiento en unidades de kT (ε�kT)

Termalizacion pasos que no se consideran

Subcadenas

Muestras

Pasos intermedios

Las cadenas se componen de K subcadenasen las que se toman N muestrasSeparadas M pasos

Total de pasos K*N*M

1 paso es intentar invertir TODOS los spines de la red

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‘

microreversbilidad

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