Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

M. Jamhuri1, Ari K, Farida S.

May 3, 2014

1Jurusan Matematika FSAINTEK UIN Maulana Malik Ibrahim, MalangM. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Definition

Harmonic waves is ...

“Sinusoidal component of a periodic waves2”Contoh:

η (x , t) =12sin (x − t)

Dalam bentuk yang lebih umum

η (x , t) = ae−i(kx−ωt)

2IEEE 519 Recommended Practices and Requirements for Harmonic Controlin Electric Power Systems

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Definition

Harmonic waves is ...“Sinusoidal component of a periodic waves2”

Contoh:η (x , t) =

12sin (x − t)

Dalam bentuk yang lebih umum

η (x , t) = ae−i(kx−ωt)

2IEEE 519 Recommended Practices and Requirements for Harmonic Controlin Electric Power Systems

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Definition

Harmonic waves is ...“Sinusoidal component of a periodic waves2”Contoh:

η (x , t) =12sin (x − t)

Dalam bentuk yang lebih umum

η (x , t) = ae−i(kx−ωt)

2IEEE 519 Recommended Practices and Requirements for Harmonic Controlin Electric Power Systems

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Definition

Harmonic waves is ...“Sinusoidal component of a periodic waves2”Contoh:

η (x , t) =12sin (x − t)

Dalam bentuk yang lebih umum

η (x , t) = ae−i(kx−ωt)

2IEEE 519 Recommended Practices and Requirements for Harmonic Controlin Electric Power Systems

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Figure: Contoh Gelombang Harmonik

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Sketsa Saluran

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Permasalahan

Bagaimana model matematika untuk evolusi gelombangharmonik yang melalui balok berpori tersebut?

Bagaimana pengaruh dasar saluran, lebar, ketinggian, danporositas balok terhadap ketinggian permukaan gelombang?

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Permasalahan

Bagaimana model matematika untuk evolusi gelombangharmonik yang melalui balok berpori tersebut?Bagaimana pengaruh dasar saluran, lebar, ketinggian, danporositas balok terhadap ketinggian permukaan gelombang?

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Figure: Balok Berpori

Kecepatan partikel pada mediafluida

u = ∇φ

Kecepatan partikel pada mediaberpori

u = Cr∇φ

Cr adalah karakteristik mediaberpori.

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Figure: Balok Berpori

Kecepatan partikel pada mediafluida

u = ∇φ

Kecepatan partikel pada mediaberpori

u = Cr∇φ

Cr adalah karakteristik mediaberpori.

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Figure: Balok Berpori

Kecepatan partikel pada mediafluida

u = ∇φ

Kecepatan partikel pada mediaberpori

u = Cr∇φ

Cr adalah karakteristik mediaberpori.

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Konservasi massa dan momentum

Figure: Elemen Volume

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Persamaan Pengatur

Persamaan Laplace untuk kedua media, yaitu

φxx + φzz = 0 untuk media fluida (1)

φxx + φzz = 0 untuk media berpori (2)

Kondisi batas kinematik dan dinamik pada permukaan bebas

φz − ηt + φxηt = 0 pada z = η (3)

φt +12|∇φ|2 + gη = 0 pada z = η (4)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Persamaan Pengatur

Persamaan Laplace untuk kedua media, yaitu

φxx + φzz = 0 untuk media fluida (1)

φxx + φzz = 0 untuk media berpori (2)

Kondisi batas kinematik dan dinamik pada permukaan bebas

φz − ηt + φxηt = 0 pada z = η (3)

φt +12|∇φ|2 + gη = 0 pada z = η (4)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Kondisi batas dinamik pada pertemuan antara media fluidadan media berpori,

φt +12|∇φ|2 = Cr φt +

12C 2

r∣∣∇φ∣∣2+f ωφ pada z = −h1

(5)φz = Cr φz pada z = −h1 (6)

Kondisi pada dasar saluran, untuk media berpori (0 < x < L)dan media fluida (x < 0, dan x > L) adalah

φz = 0 pada z = −h2 (7)

φz = 0 pada z = −h2 (8)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Kondisi batas dinamik pada pertemuan antara media fluidadan media berpori,

φt +12|∇φ|2 = Cr φt +

12C 2

r∣∣∇φ∣∣2+f ωφ pada z = −h1

(5)φz = Cr φz pada z = −h1 (6)

Kondisi pada dasar saluran, untuk media berpori (0 < x < L)dan media fluida (x < 0, dan x > L) adalah

φz = 0 pada z = −h2 (7)

φz = 0 pada z = −h2 (8)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Sketsa Persamaan Pengatur

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Model Linier

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Model Linier

Persamaan Laplace untuk media fluida dan untuk mediaberpori

φxx + φyy = 0 (9)

φxx + φzz = 0 (10)

Kondisi batas pada permukaan bebas

φz − ηt = 0 (11)

φt + gη = 0 (12)

Kondisi pada interface

φz = Cr φz (13)

φt = Cr φt + f ωφ (14)

Kondisi pada dasar kaku

φz = 0 (15)

φz = 0 (16)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Model Linier

Persamaan Laplace untuk media fluida dan untuk mediaberpori

φxx + φyy = 0 (9)

φxx + φzz = 0 (10)

Kondisi batas pada permukaan bebas

φz − ηt = 0 (11)

φt + gη = 0 (12)

Kondisi pada interface

φz = Cr φz (13)

φt = Cr φt + f ωφ (14)

Kondisi pada dasar kaku

φz = 0 (15)

φz = 0 (16)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Model Linier

Persamaan Laplace untuk media fluida dan untuk mediaberpori

φxx + φyy = 0 (9)

φxx + φzz = 0 (10)

Kondisi batas pada permukaan bebas

φz − ηt = 0 (11)

φt + gη = 0 (12)

Kondisi pada interface

φz = Cr φz (13)

φt = Cr φt + f ωφ (14)

Kondisi pada dasar kaku

φz = 0 (15)

φz = 0 (16)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Model Linier

Persamaan Laplace untuk media fluida dan untuk mediaberpori

φxx + φyy = 0 (9)

φxx + φzz = 0 (10)

Kondisi batas pada permukaan bebas

φz − ηt = 0 (11)

φt + gη = 0 (12)

Kondisi pada interface

φz = Cr φz (13)

φt = Cr φt + f ωφ (14)

Kondisi pada dasar kaku

φz = 0 (15)

φz = 0 (16)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Sketsa Persamaan Pengatur (Model Linier)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Strategi Penyelesaian

Figure: Pembagian saluran berdasarkan kedalaman dan struktur padadasar saluran

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Solusi dan Relasi Dipersi untuk ruas I & III

Figure: Sketsa untuk salurandasar rata

Persamaan Laplace

φxx + φzz = 0 pada − h2 < z < 0(17)

Kondisi batas kinematik dan dinamik dipermukaan

ηt − φz = 0 pada z = 0 (18)

φt + gη = 0 pada z = 0 (19)

Kondisi batas pada dasar saluran

φz = 0 pada z = −h2 (20)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Solusi dan Relasi Dipersi untuk ruas I & III

Figure: Sketsa untuk salurandasar rata

Persamaan Laplace

φxx + φzz = 0 pada − h2 < z < 0(17)

Kondisi batas kinematik dan dinamik dipermukaan

ηt − φz = 0 pada z = 0 (18)

φt + gη = 0 pada z = 0 (19)

Kondisi batas pada dasar saluran

φz = 0 pada z = −h2 (20)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Solusi dan Relasi Dipersi untuk ruas I & III

Figure: Sketsa untuk salurandasar rata

Persamaan Laplace

φxx + φzz = 0 pada − h2 < z < 0(17)

Kondisi batas kinematik dan dinamik dipermukaan

ηt − φz = 0 pada z = 0 (18)

φt + gη = 0 pada z = 0 (19)

Kondisi batas pada dasar saluran

φz = 0 pada z = −h2 (20)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Solusi dan Relasi Dipersi untuk ruas I & III

Figure: Sketsa untuk salurandasar rata

Persamaan Laplace

φxx + φzz = 0 pada − h2 < z < 0(17)

Kondisi batas kinematik dan dinamik dipermukaan

ηt − φz = 0 pada z = 0 (18)

φt + gη = 0 pada z = 0 (19)

Kondisi batas pada dasar saluran

φz = 0 pada z = −h2 (20)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Untuk dasar saluran rata, permukaan gelombang dapatdimisalkan sebagai

η (x , t) = Ae−i(kx−ωt) (21)

Selanjutnya, persamaan (21), persamaan Laplace (17), dankondisi batas (18), (19), (20) di selesaikan dengan metodepemisahan variabel.dengan memisalkan φ (x , y , t) = S (x , t) F (z) , danmenyelesaikan secara terpisah, diperoleh solusi

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

[cosh (kz) +

ω2

gksinh (kz)

](22)

serta relasi dispersi

ω2 − gk tanh (kh2) = 0. (23)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Untuk dasar saluran rata, permukaan gelombang dapatdimisalkan sebagai

η (x , t) = Ae−i(kx−ωt) (21)

Selanjutnya, persamaan (21), persamaan Laplace (17), dankondisi batas (18), (19), (20) di selesaikan dengan metodepemisahan variabel.

dengan memisalkan φ (x , y , t) = S (x , t) F (z) , danmenyelesaikan secara terpisah, diperoleh solusi

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

[cosh (kz) +

ω2

gksinh (kz)

](22)

serta relasi dispersi

ω2 − gk tanh (kh2) = 0. (23)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Untuk dasar saluran rata, permukaan gelombang dapatdimisalkan sebagai

η (x , t) = Ae−i(kx−ωt) (21)

Selanjutnya, persamaan (21), persamaan Laplace (17), dankondisi batas (18), (19), (20) di selesaikan dengan metodepemisahan variabel.dengan memisalkan φ (x , y , t) = S (x , t) F (z) , danmenyelesaikan secara terpisah, diperoleh solusi

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

[cosh (kz) +

ω2

gksinh (kz)

](22)

serta relasi dispersi

ω2 − gk tanh (kh2) = 0. (23)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Untuk dasar saluran rata, permukaan gelombang dapatdimisalkan sebagai

η (x , t) = Ae−i(kx−ωt) (21)

Selanjutnya, persamaan (21), persamaan Laplace (17), dankondisi batas (18), (19), (20) di selesaikan dengan metodepemisahan variabel.dengan memisalkan φ (x , y , t) = S (x , t) F (z) , danmenyelesaikan secara terpisah, diperoleh solusi

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

[cosh (kz) +

ω2

gksinh (kz)

](22)

serta relasi dispersi

ω2 − gk tanh (kh2) = 0. (23)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Saluran dengan dasar media berpori)

Persamaan Laplace untukmedia fluida

φxx + φzz = 0 (24)

Persamaan Laplace untuk mediaberpori

φxx + φzz = 0 (25)

Kondisi pada permukaan fluida

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

Kondisi pada interface

φz = Cr φz (28)

φt = Cr φt + f ωφ (29)

Kondisi pada dasar berpori

φz = 0 (30)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Saluran dengan dasar media berpori)

Persamaan Laplace untukmedia fluida

φxx + φzz = 0 (24)

Persamaan Laplace untuk mediaberpori

φxx + φzz = 0 (25)

Kondisi pada permukaan fluida

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

Kondisi pada interface

φz = Cr φz (28)

φt = Cr φt + f ωφ (29)

Kondisi pada dasar berpori

φz = 0 (30)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Saluran dengan dasar media berpori)

Persamaan Laplace untukmedia fluida

φxx + φzz = 0 (24)

Persamaan Laplace untuk mediaberpori

φxx + φzz = 0 (25)

Kondisi pada permukaan fluida

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

Kondisi pada interface

φz = Cr φz (28)

φt = Cr φt + f ωφ (29)

Kondisi pada dasar berpori

φz = 0 (30)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Saluran dengan dasar media berpori)

Persamaan Laplace untukmedia fluida

φxx + φzz = 0 (24)

Persamaan Laplace untuk mediaberpori

φxx + φzz = 0 (25)

Kondisi pada permukaan fluida

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

Kondisi pada interface

φz = Cr φz (28)

φt = Cr φt + f ωφ (29)

Kondisi pada dasar berpori

φz = 0 (30)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Saluran dengan dasar media berpori)

Persamaan Laplace untukmedia fluida

φxx + φzz = 0 (24)

Persamaan Laplace untuk mediaberpori

φxx + φzz = 0 (25)

Kondisi pada permukaan fluida

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

Kondisi pada interface

φz = Cr φz (28)

φt = Cr φt + f ωφ (29)

Kondisi pada dasar berpori

φz = 0 (30)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Saluran dengan dasar media berpori)

Persamaan Laplace untukmedia fluida

φxx + φzz = 0 (24)

Persamaan Laplace untuk mediaberpori

φxx + φzz = 0 (25)

Kondisi pada permukaan fluida

φt + gη = 0 (26)

ηt − φz = 0 (27)

Kondisi pada interface

φz = Cr φz (28)

φt = Cr φt + f ωφ (29)

Kondisi pada dasar berpori

φz = 0 (30)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Misalkan fungsi potensial untuk media fluida dan mediaberpori adalah

φ (x , z , t) = S (x , t) F (z) (31)

φ (x , z , t) = S (x , t) G (z) . (32)

Dengan metode pemisahan variabel, dapat diperoleh

G (z) = Pekz + Qe−kz , −h1 < z < −h2 (33)

P, Q merupakan konstanta integrasi yang timbul dari solusipersamaan Laplace yang dapat ditentukan menggunakanempat kondisi batas (26), (27), (28), dan (30).

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Misalkan fungsi potensial untuk media fluida dan mediaberpori adalah

φ (x , z , t) = S (x , t) F (z) (31)

φ (x , z , t) = S (x , t) G (z) . (32)

Dengan metode pemisahan variabel, dapat diperoleh

G (z) = Pekz + Qe−kz , −h1 < z < −h2 (33)

P, Q merupakan konstanta integrasi yang timbul dari solusipersamaan Laplace yang dapat ditentukan menggunakanempat kondisi batas (26), (27), (28), dan (30).

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Misalkan fungsi potensial untuk media fluida dan mediaberpori adalah

φ (x , z , t) = S (x , t) F (z) (31)

φ (x , z , t) = S (x , t) G (z) . (32)

Dengan metode pemisahan variabel, dapat diperoleh

G (z) = Pekz + Qe−kz , −h1 < z < −h2 (33)

P, Q merupakan konstanta integrasi yang timbul dari solusipersamaan Laplace yang dapat ditentukan menggunakanempat kondisi batas (26), (27), (28), dan (30).

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Dengan melakukan sedikit operasi aljabar dapat diperoleh

P =

ω2

gk cosh (kh1)− sinh (kh1)

2Cre−kh2 sinh (kh2 − kh1), Q =

ω2

gk cosh (kh1)− sinh (kh1)

2Crekh1 sinh (kh2 − kh1)

sehingga

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

(ω2

gkcosh (kh1)− sinh (kh1)

)cosh (kh2 + kz)

Cr sinh (kh2 − kh1)−h2 < z < −h1

(34)

Selanjutnya kondisi batas (29) digunakan untuk mencari hubungan dispersiantara ω dan k , yaitu

F (−h1) = CrG (−h1) i + fG (−h1)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Dengan melakukan sedikit operasi aljabar dapat diperoleh

P =

ω2

gk cosh (kh1)− sinh (kh1)

2Cre−kh2 sinh (kh2 − kh1), Q =

ω2

gk cosh (kh1)− sinh (kh1)

2Crekh1 sinh (kh2 − kh1)

sehingga

φ (x , z , t) =igωη (x , t)

(ω2

gkcosh (kh1)− sinh (kh1)

)cosh (kh2 + kz)

Cr sinh (kh2 − kh1)−h2 < z < −h1

(34)

Selanjutnya kondisi batas (29) digunakan untuk mencari hubungan dispersiantara ω dan k , yaitu

F (−h1) = CrG (−h1) i + fG (−h1)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Menggunakan hasil (22) dan (34) dan membuat ω2 berada disalahsatu ruas, diperoleh hubungan dispersi dalam bentuk kompleks

ω2 = gka1 + ib1

a2 + ib2(35)

dengan

a1 = − cosh (kh1)− sinh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

b1 =fCr

sinh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

a2 = − sinh (kh1)− cosh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

b2 =fCr

cosh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

Terlihat bahwa ketebalan media berpori (h2 − h1) , karakteristikmedia berpori (Cr ) dan gaya hambat aliran (f ) mempengaruhihubungan dispersi k dan ω.

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Menggunakan hasil (22) dan (34) dan membuat ω2 berada disalahsatu ruas, diperoleh hubungan dispersi dalam bentuk kompleks

ω2 = gka1 + ib1

a2 + ib2(35)

dengan

a1 = − cosh (kh1)− sinh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

b1 =fCr

sinh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

a2 = − sinh (kh1)− cosh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

b2 =fCr

cosh (kh1) cosh (kh2 − kh1)

sinh (kh2 − kh1)

Terlihat bahwa ketebalan media berpori (h2 − h1) , karakteristikmedia berpori (Cr ) dan gaya hambat aliran (f ) mempengaruhihubungan dispersi k dan ω.

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Kekontinuan Permukaan Fluida dan Fluks Massa Aliran

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Keseluruhan gelombang harmonik yang merambat dapat dituliskandalam persamaan seperti berikut:

η (x , t) =

Ae−i(k2x−ωt) + Be−i(−k2x−ωt), untuk x < 0Ce−i(k1x−ωt) + De−i(−k1x−ωt), untuk 0 < x < LEe−i(k2x−ωt), untuk x > L

(36)

Koefisien A,C ,E adalah amplitudo gelombang transmisi dan B,Damplitudo gelombang refleksi, sedangkan k1, k2, dan k3 adalahbilangan gelombang yang terkait dengan kedalaman saluranh1, h2, h3 dan ω menyatakan frekuensi gelombang.

Jika diketahui ω, h1, h2, h3 dan A, artinya kita harus menghitungnilai k1, k2, k3 serta besar amplitudo gelombang B,C ,D,E . Tetapinilai k1, k2 dan k3 dapat kita hitung dengan menggunakanpersamaan dispersi (23) yang telah kita bahas di bagian depan.

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Keseluruhan gelombang harmonik yang merambat dapat dituliskandalam persamaan seperti berikut:

η (x , t) =

Ae−i(k2x−ωt) + Be−i(−k2x−ωt), untuk x < 0Ce−i(k1x−ωt) + De−i(−k1x−ωt), untuk 0 < x < LEe−i(k2x−ωt), untuk x > L

(36)

Koefisien A,C ,E adalah amplitudo gelombang transmisi dan B,Damplitudo gelombang refleksi, sedangkan k1, k2, dan k3 adalahbilangan gelombang yang terkait dengan kedalaman saluranh1, h2, h3 dan ω menyatakan frekuensi gelombang.

Jika diketahui ω, h1, h2, h3 dan A, artinya kita harus menghitungnilai k1, k2, k3 serta besar amplitudo gelombang B,C ,D,E . Tetapinilai k1, k2 dan k3 dapat kita hitung dengan menggunakanpersamaan dispersi (23) yang telah kita bahas di bagian depan.

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Keseluruhan gelombang harmonik yang merambat dapat dituliskandalam persamaan seperti berikut:

η (x , t) =

Ae−i(k2x−ωt) + Be−i(−k2x−ωt), untuk x < 0Ce−i(k1x−ωt) + De−i(−k1x−ωt), untuk 0 < x < LEe−i(k2x−ωt), untuk x > L

(36)

Koefisien A,C ,E adalah amplitudo gelombang transmisi dan B,Damplitudo gelombang refleksi, sedangkan k1, k2, dan k3 adalahbilangan gelombang yang terkait dengan kedalaman saluranh1, h2, h3 dan ω menyatakan frekuensi gelombang.

Jika diketahui ω, h1, h2, h3 dan A, artinya kita harus menghitungnilai k1, k2, k3 serta besar amplitudo gelombang B,C ,D,E . Tetapinilai k1, k2 dan k3 dapat kita hitung dengan menggunakanpersamaan dispersi (23) yang telah kita bahas di bagian depan.

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Kekontinuan permukaan gelombang dinyatakan sebagai

limx→0−

η (x , t) = limx→0+

η (x , t) (37)

limx→L−

η (x , t) = limx→L+

η (x , t) (38)

yang memberikan

A + B = C + D dan (39)

Ce−ik1L + De ik1L = Ee−ik2L (40)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Kekontinuan Fluks Massa

Fluks massa untuk media fluida didefinisikan sebagai

Q =

ˆ 0

−hφxdz

dan

Q =

ˆ 0

−hφxdx

untuk media berpori.

Sehingga kekontinuan fluks massa dapat dinyatakan sebagai

limx→0−

Q = limx→0+

Q (41)

limx→L−

Q = limx→L+

Q (42)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Kekontinuan Fluks Massa

Fluks massa untuk media fluida didefinisikan sebagai

Q =

ˆ 0

−hφxdz

dan

Q =

ˆ 0

−hφxdx

untuk media berpori.Sehingga kekontinuan fluks massa dapat dinyatakan sebagai

limx→0−

Q = limx→0+

Q (41)

limx→L−

Q = limx→L+

Q (42)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Kekontinuan Fluks di x = 0, yaitu

limx→0

Q2 = limx→0

Q1

menghasilkan(

ω

k2

)A +

(−

ω

k2

)B =

{ω

k1+

Cr + 1

Cr

[ω

k1cosh (k1h1) −

g

ωsinh (k1h1)

]}C

−{

ω

k1+

Cr + 1

Cr

[ω

k1cosh (k1h1) −

g

ωsinh (k1h1)

]}D (43)

Kekontinuan Fluks di x = L, yaitu

limx→L

Q1 = limx→L

Q3

menghasilkan{

ω

k1+

Cr + 1

Cr

[ω

k1cosh (k1h1) −

g

ωsinh (k1h1)

]}e−ik1LC

−{

ω

k1+

Cr + 1

Cr

[ω

k1cosh (k1h1) −

g

ωsinh (k1h1)

]}eik1LD =

ωe−ik2L

k2

E (44)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Kekontinuan Fluks di x = 0, yaitu

limx→0

Q2 = limx→0

Q1

menghasilkan(

ω

k2

)A +

(−

ω

k2

)B =

{ω

k1+

Cr + 1

Cr

[ω

k1cosh (k1h1) −

g

ωsinh (k1h1)

]}C

−{

ω

k1+

Cr + 1

Cr

[ω

k1cosh (k1h1) −

g

ωsinh (k1h1)

]}D (43)

Kekontinuan Fluks di x = L, yaitu

limx→L

Q1 = limx→L

Q3

menghasilkan{

ω

k1+

Cr + 1

Cr

[ω

k1cosh (k1h1) −

g

ωsinh (k1h1)

]}e−ik1LC

−{

ω

k1+

Cr + 1

Cr

[ω

k1cosh (k1h1) −

g

ωsinh (k1h1)

]}eik1LD =

ωe−ik2L

k2

E (44)

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Solusi untuk Amplitudo Gelombang

Amplitudo gelombang transmisi dan refleksi B,C ,D,E dapatdiperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan linier darikekontinuan permukaan fluida (39), (40) dan kekontinuanfluks massa (43), (44).Evolusi gelombang sebelum, dan sesudah melalui balok berporidapat di simulasikan dan diamati dengan menggunakan

η (x , t) =

Ae−i(k2x−ωt) + Be−i(−k2x−ωt), untuk x < 0Ce−i(k1x−ωt) + De−i(−k1x−ωt), untuk 0 < x < LEe−i(k2x−ωt), untuk x > L

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Simulation

Figure: A = 0.5,Cr = 0.5, L = 100, h1 = 2.5, h2 = 3.5

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Figure: Cr = 1

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Figure: Cr = 0.5

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Figure: h1 = h2 = 3.5

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Simulation

Simulasi 3

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori

Terima Kasih

M. Jamhuri, Ari K, Farida S. Evolusi Gelombang Harmonik melalui Balok Berpori