Energía cinética rotacional y momento de inercia

Energía cinética de la rueda:

( )

( )

22

2 2

2 2

1 12 2

1212

i i i i

i i

i i

K m v m r

K m r

K I donde I m r

ω

ω

ω

= =

=

= =

∑ ∑

∑

∑

Momento de inerciaDefinimos el momento de inercia I usando

∑= 2ii rmI

NOTA: La distancia ri en la ecuación anterior representa la distancia perpendicular desde la partícula i hasta el eje de rotación.

Si comparamos la ecuación para la energía cinética rotacional de la rueda con la ecuación para la energía cinética de traslación de una partícula, vemos que el momento de inercia juega un papel análogo al de la masa.

Ejemplo:Cuatro masas iguales están conectadas por varillas de masa despreciable, en formando un rectángulo de lados 2a y 2b. El sistema rota con respecto a un eje que pasa por el centro de masa del sistema (línea entrecortada). Calcula el momento de inercia alrededor de este eje.

Ejemplo:

Calcula el momento de inercia con respecto a un eje que pasa por las dos masas de la izquierda (línea entrecortada). ¿Cómo compara el resultado con el del ejemplo anterior?

Momento de inercia de sistemas continuosPara un objeto continuo, el momento de inercia está dado por:

∫= dmrI 2

Ejemplo: Calcula el momento de inercia de una barra uniforme de largo L y masa M alrededor de un eje que pasa por el extremo izquierdo.

Momento de inercia de algunos cuerpos uniformes

Teorema de los ejes paralelos

2MhII cm +=

Prueba del Teorema de Ejes Paralelos

( ) ( )

( )( )( )

2

2 22

2 2

2 2

2 2

0 0

2 2 2

2

2

2

2 2

cmI

cmh M

cm

I r dm x a y b dm

I x ax a dm

y by b dm

I x y dm a x dm b y dm

a b dm I h dm

I I Mh

⎡ ⎤= = − + −⎣ ⎦

= − +

+ − +

= + − −

⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= +

∫ ∫∫∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

Ejemplo:

Calcula el momento de inercia de una barra uniforme alrededor del eje y’ que pasa por el centro de masa.

Momento de fuerza (torque)

Definimos el momento de fuerza o torque por la siguiente ecuación (ver figura a y b):

( )( ) trFFr == φτ sinOtra forma de calcular torque es la siguiente (ver figura c):

( )( ) FrFr ⊥== φτ sin

Segunda ley de Newton para rotación

El torque hecho por la fuerza es:

( )( ) ( )

( )

2

t t

I

rF r ma

rm r mr

I ang en rad

τ

τ α α

τ α

= =

= =

=Para varias fuerzas actuando,

neto Iτ α=

Ejemplo:Un bloque de masa m = 1.2 kg es atado a un extremo de una cuerda de masa despreciable, la cual es enrollada alrededor de una polea de masa M = 2.5 kg y radio R = 20 cm. Asumiendo que no existe fricción en el eje de rotación de la polea y que la cuerda no resbala sobre la polea, determina la tensión en la cuerda y la aceleración del bloque.

Ejemplo:Dos bloques están conectados por una cuerda que pasa por una polea de radio R y momento de inercia I. El bloque de masa m1 se desliza sobre una superficie horizontal sin rozamiento y el bloque de masa m2 está suspendido de la cuerda. Asumiendo que la cuerda no resbala sobre la polea, calcula la aceleración a y las tensiones T1 y T2.

Trabajo y Energía en Movimiento Rotacional

El trabajo hecho por la fuerza es:

( )t t

t

dW F ds F r ddW rF d d

W dτ

θθ τ θ

τ θ

= =

= =

= ∫La potencia es:

dWPdt

τω= =

Trabajo y Energía en Movimiento Rotacional

Si τ es el torque neto, el trabajo hecho es igual al cambio en energía cinética rotacional:

dI Idt

d dId dt

dId

d I d

ω

ωτ α

ω θτθ

ωτ ωθ

τ θ ω ω

= =

=

=

=

Trabajo y Energía en Movimiento Rotacional

2 2 21 1 12 2 2

f

i

f

i

neto

neto f i

neto

W d I d

W I I I

W K

ω

ω

ω

ω

τ θ ω ω

ω ω ω

= =

= = −

= ∆

∫ ∫

Ejemplo:En el ejemplo anterior, la rueda está en reposo cuando t = 0. Calcula la energía rotacional K para t = 2.5 segundos. Acuérdate que m = 1.2 kg, M = 2.5 kg, R = 20 cm, T = 6 N, α = 24 rad/s2.