Simetra rotacional y traslacional en

el problema de dos cuerpos

P. H. Rivera*

Facultad de Ciencias Fsicas

Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Per

Ciudad Universitaria, 26 de agosto del 2015

*priverar@unmsm.edu.pe

1

Hemos determinado que el hamiltoniano del sistema de dos cuerpos seescribe como

r|H| = r| p2

2| + r|V (|r|)| =

2

2

2

r2+

2r

r

r|

+ r| L2

2r2| + V (r)r| = Er| (1)

Aqu se observa que el operador de energa cintica rotacional aplicado alvector de estado que se expresa en funcin de los autoestados |E, l,m se tieneque

r| L2

2r2| = r| L

2

2r2|E, l,m = r|l(l + 1)

2

2r2|E, l,m = l(l + 1)

2

2r2r|E, l,m .

(2)

2

La otra parte de la energa cintica est dada por la energa cintica radialdefinido en funcin del operador de momento lineal en la direccin radial

r|pr|E, l,m = i

r

+1r

r|E, l,m (3)

de modo que la energa cintica radial se escribe como

r| p2r

2|E, l,m =

2

2

2

r2+

2r

r

r|E, l,m . (4)

Luego, el lado derecho de la Ec.(1), se escribe como

2

2

2

r2+

2r

r

+ l(l + 1)

2

2r2+ V (r)

r|E, l,m = Er|E, l,m (5)

Si las autofunciones de energa las expresamos como

r|E, l,m = R(r)()() (6)

3

se tiene que la Ec.(5) se reduce a una ecuacin diferencial unidimensional dadopor

2

2

d

2

dr2+

2r

d

dr

+ l(l + 1)

2

2r2+ V (r)

R(r) = ER(r) (7)

Desde el comienzo del curso el objetivo fue analizar el problema de doscuerpos y reducirlo al problema de resolver una ecuacin diferencial dada porla Ec.(7).

Si hacemos que la funcin radial sea

R(r) =u(r)r

(8)

4

dondedR(r)dr

=ru(r) u(r)

r2=

1r

du(r)dr

1r2u(r) (9)

d2R(r)dr

=1r

d2u(r)dr2

1r2du(r)dr

r

2u(r) 2r2u(r)r4

=1r

d2u(r)dr2

1r2du(r)dr

1r2du(r)dr

+2r3u(r)

=1r

d2u(r)dr2

2r2du(r)dr

+2r3u(r) (10)

d

2R(r)dr

+2r

dR(r)dr

= 1

r

d2u(r)dr2

2r2du(r)dr

+2r3u(r)+

2r

1r

du(r)dr

1r2u(r)

=1r

d2u(r)dr2

2r2du(r)dr

+2r3u(r) +

2r

du(r)dr

2r3u(r) =

1r

d2u(r)dr2

. (11)

Luego, la ecuacin radial se simplifica a

5

2

2d2

dr2+l(l + 1)2

2r2+ V (r)

u(r) = Eu(r) . (12)

Esta ecuacin se reduce a un problema unidimensional de la forma

2

2md2

dx2+ V (x)

x|E = Ex|E (13)

donde el potencial es un potencial efectivo dado por

Vef(r) =l(l + 1)2

2r2+ V (r) . (14)

El hecho de que las ecuaciones diferenciales radiales, Ec.(7) y Ec.(12), nodependan de Lz ni del autovalor m es una manifestacin directa de la inva-riancia rotacional del hamiltoniano. No existe una direccin preferencial para

6

el eje de rotacin. Un ejemplo es el campo magntico externo aplicado sobreun tomo, el experimentador selecciona la direccin del campo magntico yal ser aplicado sobre el tomo no se determina exactamente la direccin en eltomo.

Por convencin, para el anlisis, se considera que esa direccin aleatoria quese escoge es el eje z y que la eleccin, del experimentador, de la direccin delcampo magntico es paralela al eje z. A lo largo de esta direccin las proyec-ciones de Lz son discretas de acuerdo al autovalor de m y el nmero de estasproyecciones depende del nmero cuntico l, pues poseen 2l + 1 proyecciones.

Hay que reiterar que en el problema de dos cuerpos no ha sido consideradolos espnes de los dos cuerpos, el electrn y el protn. Por tanto, el hamiltonianono describe total y completamente el problema del sistema electrn-protn.

7

1. Vibraciones y rotaciones de una molcu-

la diatmica

En la naturaleza existe una infinidad de sistemas que se pueden anali-zar mediante el modelo de dos cuerpos. Ms an, existen sistemas en que elmovimiento radial puede ser desacoplado del movimiento angular. La energapotencial de una molcula de HCl, cloruro de hidrgeno, por ejemplo, formadopor un tomo de hidrgeno y un tomo de cloro, tiene una parte atractiva pa-ra distancias relativas grandes y para pequeas distancias el potencial se hacerepulsivo, de acuerdo al potencial de Lennard-Jones. Existe un mnimo en estepotencial, en r0, ver la figura.

La figura muestra la dependencia de la energa potencial respecto de ladistancia relativa de los dos tomos, V (r).

Si observamos la energa potencial cerca a r0, esa regin puede ser apro-ximada a un potencial parablico para valores de r prximos a r0. Por tanto,

8

V0 rr0

Figura 1: La energa potencial de Lennard-Jones para dos tomos en coorde-nadas relativas.

9

podemos aplicar el modelo del oscilador armnico para describir las oscilacionespequeas de la molcula en torno de r0.

Cuantitativamente, la energa potencial para coordendas relativas en tornoa r0 es descrito como un desarrollo de Taylor dado por

V (r) = V (r0) +

dV (r)

dr

r=r0

(r r0) + 12!d

2V (r)dr2

r=r0

(r r0)2 + . . .

= V (r0) +122(r r0)2 + . . . (15)

donde es la masa reducida de los dos tomos dados por

=mHmCl

mH +mCl(16)

dondemH = 1.00794 ymCl = 35.453, ambos en unidades atmicas. Calculandola masa reducida tenemos

=1.00794 35.4531.00794 + 35.453

=35.73449736.46094

= 0.980076 uma, (17)

10

luego la masa reducida podemos aproximarlo a = mN 1 uma.La energa potencial es del orden de

V (r) e2

40

1a

(18)

donde a es el tamao de la molcula, que podemos aproximarla al tamao delos sistemas atmicos, dado por

a 4 2

2me

1(e2

40

) . (19)

Encontramos, tambin, que

d2V

dr2 e

2

40

2a3

(20)

11

luego,

2 =d2V

dr2 =

1

d2V

dr2

1mN

e2

40

2a3

=

1mN

e2

40

24

2

2me1(e2

40

)

3

=

1mN

e

2

40

4 1

32(

2

2me

)3 = e

2

40

2 1(2

2me

) 14

memN

(21)

La energa de los fonones de la vibracin de dos tomos separados por ladistancia r0 est dado por

e

2

40

2 1(2

2me

) 14

memN

=(14.4)2

3.8114

memN

= 13.606memN

eV. (22)

La razn entre la masa atmica y la masa de un electrn esmNme

= 1822.888484memN

= 5.485799097 104 (23)

12

Luego la energa de los fonones es del orden

0.31868 eV. (24)

esta energa est en la regin del infrarrojo.La energa de un oscilador armnico est dado por

En = (n +12) n = 0, 1, 2, 3, . . . (25)

Cuando se resuelve el problema del oscilador armnico, desde la mecnicaondulatoria (fsica moderna), se suele hace un cambio a una variable adimen-sional dado por

y =m

, (26)

ver pg. 209, A modern approach to quantum mechanics, J.S. Townsend, lue-go las ampitudes de oscilacin para la molcula diatmica deben ser prximas

13

a

(

e2

40

)2 1(2

2me

) 14

memN

=

memN

(2

2me

)2(

e2

40

)28mNme

= 22

(

2

2me

)(

e2

40

)memN

mNme

amemn

1/4

a 0.153 0.153 (27)

En el mismo proceso de vibracin, ose en un estado particular de vibracin,la molcula es libre de rotar alrededor de su centro de masa, formando unrotador rgido, el hamiltoniano que describe esta rotacin est dado por

H =L2

2I(28)

donde el momento de inercia est dado por

I = r20 (29)

14

Aplicando sobre los autoestados de momento angular orbital |l,m tenemos

H|l,m = L2

2I|l,m = l(l + 1)

2

2I|l,mEl|l,m (30)

La diferencia de energa entre dos autestados adjacentes est dado por

El El1 = l(l + 1)2

2I (l 1)l

2

2I=

l2

I(31)

Esta diferencia de energa depende del valor de l como se puede apreciaren la figura prxima

15

16

Calculando el orden de las diferencias de energa de las rotaciones

l2

I=

l2

r20 l

2

mNa2= l

2

mN

14

2

2me1(e2

40

)

2 =l

2

(e2

40

)2(

2

2me

)memN

=l

2(14.4)2

3.81memN

=l

2 54.425 5.485799 104 = 14.9 l meV (32)

Comparando con la energa trmica para T = 300 K , tenemos que E =kT = 25.0 meV, la energa de rotacin es casi del orden de la energa trmica.Estos niveles pueden ser excitados por la propia energa trmica del medio sila temperatura es T = 300 K. Para identificar las energa rotacionales y lastransiciones entre ellas, los experimentos deben ser llevados a cabo a bajastemperaturas para que la energa trmica no perturbe las mediciones de lasrotacionales.

Por otro lado, tenemos que la diferencia de energa produce un fotn de

17

energa

l2

I= El El1 = 2 = 2c

l = 2Ic

=

2r20c

(33)

Esta es la tabla de las transiciones de absorcin rotacional en las molculasHCl. De estos datos se deduce que r0 = 1.27 .

18

Trans. = c/ /l l ~l 1 l (micrones) (109 Hz) (109 Hz) (cm) (meV)0 1 479 626 626 0.0479 2.61 2 243 1235 618 0.0486 5.12 3 162 1852 617 0.0486 7.73 4 121 2479 620 0.0484 10.34 5 96 3125 625 0.0480 12.9

Experimentalmente, es bastante difcil aislar las transiciones rotacionales,porque esos intervalos de energa estn en la regin del infrarrojo lejano yprximos a las microondas.

Es ms factible observar el efecto combinado de las transiciones vibraciona-les y rotacionales, simultneamente, para las molculas diatmicas, que estndadas por la suma de los dos autovalores

19

En ,l =n +

12

+ l(l + 1)

2

2I(34)

Los niveles de energa se muestran a continuacin,

20

Debido a que la molcula posee un momento dipolar permanente, las tran-siciones dipolares elctricas vienen a ser ms frecuentes y esto ocurre con laregla de seleccin para el movimiento vibracionales

n = 1 (35)

y para el movimiento rotacional

l = 1 . (36)

21

Vibraciones y rotaciones de una molcula diatmica