Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula Momento de...
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Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula – Momento de Inércia Professor: Gustavo Silva 1
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Vibrações e Dinâmica das MáquinasAula – Momento de Inércia
Professor: Gustavo Si lva
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1.Momento de InérciaA massa m representa a resistência de um corpo à aceleração a.
Do mesmo modo, o momento de inércia I representa a resistência de um corpo à aceleração angular α.
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𝐹 = 𝑚 𝑎
𝑀 = 𝐼 α
ForçaMassa
Momento
1.Momento de InérciaO momento de inércia de uma partícula é dada pela seguinte equação:
Onde m é a massa do corpo e r é o raio de giro.
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𝐼 = 𝑚 𝑟2 [𝑘𝑔 𝑚²]
raio
Eixo de giro
partícula de massa m
1.Momento de InérciaPorém quando falamos de um corpo com milhoes de partículas, seu momento de inércia é a somatória da inércia de cada partícula:
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raio
Eixo de giro
...
1.Momento de Inércia
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1.Momento de InérciaNote que a bailarina adquire uma velocidade angular maior (acelera) quando aproxima os braços do corpo, quando a mesma estica os braços ela perde velocidade angular (desacelera).
Isto ocorre pois quando a mesma estica os braços, ela está distanciando uma parte de sua massa do centro de giro, assim aumentando seu momento de inércia. Em contra partida, quando a bailarina aproxima os braços do corpo ela adquire um momento de inércia menor, o que em um caso de translação seria o equivalente a diminuir a uma parte de sua massa.
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1.Momento de InérciaPara calcularmos o momento de inércia de um corpo em relação à um determinado eixo de giro, devemos imaginar que o corpo está dividido em diversos elementos de massa dm. Desta forma:
Em caso de objetos unidimensionais, como no caso de uma barra delgada uniforme, podemos usar uma coordenada x ao longo de seu comprimento e relacionarmos dm com dx (será demostrado posteriormente). Para o caso de objetos tridimensionais é mais fácil realizarmos a integral em relação ao volume do objeto:
Onde m é a massa, V o volume e ρ a densidade.
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𝐼 = 𝑟2𝑑𝑚
𝑚 = 𝑉 ρ
1.Momento de Inércia-Barra delgada uniforme
Barra delgada uniforme girando em relação à um eixo ortogonal ao seu comprimento.
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EIXO
M
O
x
Elemento de massa: segmento da barra de
comprimento dx
1.Momento de Inércia-Barra delgada uniforme
Barra delgada uniforme girando em relação à um eixo ortogonal ao seu comprimento.
Os limites da integração sobre x estão entre –h e (L-h):
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EIXO
M
O
x
Elemento de massa: segmento da barra de
comprimento dx
𝑑𝑚
𝑀=
𝑑𝑥
𝐿dm =
𝑀
𝐿𝑑𝑥∴
𝐼 = 𝑥² 𝑑𝑚 =𝑀
𝐿 −ℎ
𝐿−ℎ
𝑥² 𝑑𝑥 =𝑀
𝐿
𝑥³
3−ℎ
𝐿−ℎ
=𝑀
𝐿
𝐿 − ℎ 3
3+
ℎ3
3=
𝑀
3𝐿𝐿 − ℎ 3 + ℎ3
𝐼 =𝑀
3[𝐿2 − 3𝐿ℎ + 3ℎ²]
1.Momento de Inércia-Barra delgada uniforme
Barra delgada uniforme girando em relação à um eixo ortogonal ao seu comprimento.
Forma geral:
Para h=0 e h=L:
Para h=L/2:
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𝐼 =𝑀
3[𝐿2 − 3𝐿ℎ + 3ℎ²]
EIXO
M
O
x
Elemento de massa: segmento da barra de
comprimento dx
𝐼 =1
3𝑀𝐿2
𝐼 =1
12𝑀𝐿2
1.Momento de Inércia-Cilindro maciço ou oco
Cilindro maciço ou oco girando em torno do seu eixo de simetria.
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R2
R1
L
EIXOdr
r
Elemento de massa:
casca cilíndrica
de raio r e espessura
dr
1.Momento de Inércia-Cilindro maciço ou oco
Cilindro maciço ou oco girando em torno do seu eixo de simetria.
Posso reescrever da seguinte forma:
Como volume é dado por V=π 𝑅22 − 𝑅1
2 L, e massa M=Vρ
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R2
R1
L
EIXOdr
r
Elemento de massa:
casca cilíndrica
de raio r e espessura
dr
𝑑𝑚 = ρ𝑑𝑣 = ρ(2π𝑟𝐿𝑑𝑟)
𝐼 = 𝑟² 𝑑𝑚 = 𝑅1
𝑅2
𝑟2 ρ 2π𝑟𝐿𝑑𝑟 = 2πρ𝐿 𝑅1
𝑅2
𝑟3𝑑𝑟 = 2πρ𝐿 𝑟4
4𝑅1
𝑅2
=2πρ𝐿
4𝑅2
4 − 𝑅14
πρ𝐿
2𝑅2
2 − 𝑅12 𝑅2
2 + 𝑅12
∴ 𝐼 =1
2𝑀 [𝑅2
2 + 𝑅12]
1.Momento de Inércia-Cilindro maciço ou oco
Cilindro maciço ou oco girando em torno do seu eixo de simetria.
Cilindro oco:
Cilindro maciço:
Tubo:
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𝐼 =1
2𝑀 [𝑅2
2 + 𝑅12]
𝐼 =1
2𝑀𝑅2
𝐼 = 𝑀𝑅2
R2
R1
L
EIXOdr
r
Elemento de massa:
casca cilíndrica
de raio r e espessura
dr
1.Momento de Inércia-Esfera homogênea
Esfera homogênea com raio R girando em torno de um eixo que passa por seu CG.
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rR
EIXOdx
Elemento de massa do disco de raio r e
espessura dx
1.Momento de Inércia-Esfera homogênea
Esfera homogênea com raio R girando em torno de um eixo que passa por seu CG.
Raio:
Volume:
Massa:
Como vimos, a inércia de um disco de raio r e massa dm é dado por:
Vamos integrar de x=0 a x=R para obtermos o momento de inércia do hemisfério
da direita. Como a esfera é simétrica, o momento de inércia total será o dobro
do valor.
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rR
EIXOdx
Elemento de massa do disco de raio r e
espessura dx
𝑟 = 𝑅2 − 𝑥²
𝑑𝑉 = 𝜋𝑟2𝑑𝑥 = 𝜋(R²-x²)dx
𝑑𝑚 = ρ𝑑𝑉 = 𝜋ρ(R²-x²)dx
𝑑𝐼 =1
2𝑟2𝑑𝑚 =
1
2𝑅2 − 𝑥2
2πρ 𝑅2 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
πρ
2𝑅2 − 𝑥2 2𝑑𝑥
1.Momento de Inércia-Esfera homogênea
Esfera homogênea com raio R girando em torno de um eixo que passa por seu CG.
O volume da esfera é dado por 𝑉 =4π𝑟³
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Como massa M=ρV:
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rR
EIXOdx
Elemento de massa do disco de raio r e
espessura dx
𝐼1/2 =πρ
2 0
𝑅
(𝑅2 − 𝑥²) 𝑑𝑥 =πρ
2 𝑅4𝑥 −
𝑅2𝑥3
3−
𝑅2𝑥3
3+
𝑥5
50
𝑅
=πρ
2𝑅5 −
𝑅5
3−
𝑅5
3+
𝑅5
5=
πρ
2
8𝑅5
15
𝐼 = 2𝐼1/2 =8πρ
15𝑅5
𝐼 =2
5𝑀𝑅2
1.Momento de Inércia-Esfera homogênea
Esfera homogênea com raio R girando em torno de um eixo que passa por seu CG.
Esfera homogênea:
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𝐼 =2
5𝑀𝑅2
rR
EIXOdx
Elemento de massa do disco de raio r e
espessura dx
1.Momento de Inércia-Teorema dos eixos paralelos
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CG
d
A
Corpo de massa M
Caso o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que passa por seu centro de gravidade for conhecido, o momento de inércia deste corpo em relação a qualquer eixo paralelo pode ser obtido através do Teorema dos eixos paralelos:
𝐼𝐴 = 𝐼𝐶𝐺 + 𝑚𝑑²
Exercício 1
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Determinar o momento de inércia do anel fino de massa 2kg, em relação ao eixo Z e Z’. (r=1,2m)
Eixo Y Eixo Y’
r
2m
Eixo X
Eixo X’
Exercício 2
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Determinar o momento de inércia do do corpo formado por um anel fino de massa 4kg e uma barra delgada de massa 1kg, em relação ao ponto A. (r=2m) Eixo Y
rEixo X
A
Exercício 3
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Determinar o momento de inércia do corpo formado por uma barra delgada de comprimento 1,3m e uma esfera de raio 0,3m, em relação ao ponto A. (raio da barra= 2cm; densidade do material= 2000kg/m³) A
Bibliografia Básica •R. C. Hibbler. Dinâmica mecânica para engenharia. São Paulo: Pearson, 10 ed.
•Young e Freedman. Física I Mecânica. São Paulo: Pearson, 12 ed.
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