E�ets indirects des champs EM

Répétition : Calcul des champs électromagnétiques

J.L. Lilien

27 novembre 2012

Equations à connaître - Rappel

Localisé ou distribué ?

Calcul de E

Calcul de B

Equations à connaître - Rappel

Loi de Gauss (élec) ∫ ∫Σ~Ed~S = Qint

ε

Loi de Gauss (magn) ∫ ∫Σ~Bd~S = 0

Loi d'Ampère ∮C~B ~dl = µ

∫ ∫Σ~Jd~S

Loi Faraday ∮C~E ~dl = −

∫ ∫Σ∂~B∂t~S

Localisé ou distribué ?

La fréquence considérée dans le calcul des champs ~E et ~B est de50Hz en Europe et 60Hz aux USA.On a donc une longueur d'onde de 5000 ou 6000 km dans le vide.Toutes les longueurs considérées dans nos calculs sont plusieursordres de grandeurs en dessous, on considère donc que noussommes en régime localisé !

Champ électrique créé en un point

Pour une charge :~E =

q

4πε0r2~r

Pour un ensemble de charge i :

~E =∑i

qi

4πε0r2~r

Pour des charges distribuées dans un volume V :

~E (~r) =1

4πε0

∫V

ρ(~r ′)

|~r −~r ′|3(~r −~r ′)d3~r

Potentiel électrique

On a :~∇× ~E = 0

Puisque le champ électrique en régime statique est irrotationnel !(Trivial...)Donc, il dérive forcément d'un champ scalaire (Helmholtz) et onpeut écrire :

~E = −~∇V

Pour calculer la di�érence de potentiel entre deux points :

VB − VA = −∫ A

B

~E · d~l

Exercice : charges distribuées le long d'une ligne

Déterminer l'expression de ~E par intégration et en déduire V .

Equations de Maxwell reliées à E - Théorème de Gauss

Maxou :

~∇× ~E = 0

~∇ · ~E =ρ

ε0(1)

En appliquant le théorème de divergence sur (1), on a :∫S

E · d~S =

∫V

~∇ · ~Ed3~r =

∫V

ρ

ε0d3~r

Exercice : charges distribuées le long d'une ligne

Déterminer l'expression de ~E en appliquant Gauss et en

déduire V .

Méthode des images

Lorsqu'on considère une charge, ou un ensemble de charges, audessus d'un conducteur plan in�ni, le potentiel est équivalent au casoù le plan conducteur est remplacé par une charge 'image'.

Exercice

On a un câble à 20 mètres de hauteur à 400kV, trouvez l'expressiondu champ électrique au dessus de la terre en appliquant la méthodedes images.

Résolution pour le cas d'une ligne - Gauss

1. Calcul du champ électrique dû à une charge linéique :Er =

ρl2πεr (théorème de Gauss).

2. Calcul de q à partir de V : V = −∫ rp

rref~Ed~r (Dé�nition du

potentiel).

3. Introduction de cette valeur dans l'expression de ~E .

4. Calcul de ~Etotal par superposition.

Application à une ligne haute tension triphasée

On considère trois lignes hautes tensions parallèles et à la mêmehauteur.

V = 400 [kV]R0 = 20 [m]s = 5 [m]Rconducteur = 0.15 [m]

Exemple

Loi de Bio-Savart

L'induction magnétique ~B créé par un courant parcourant par unconducteur peut être exprimé par :

~B =µ04π

∫Id~l × (~r −~r ′)|~r −~r ′|

On peut en déduire le champ magnétique ~H :

I Dans le vide : ~H =~Bµ0

I Dans un matériau : ~H =~Bµ

Avec µ0 = 4π10−7 H/m et µ = µrµ0 H/m

Exercice

On a un câble situé en (0, 0) et parcouru par un courant de 1kA,entouré par du vide. Trouvez l'expression du champ électriqueautour du câble par application de la loi de Bio-Savart.

Equations de Maxwell reliées à B - Théorème d'Ampère

Maxou :

~∇ · ~B = 0

~∇× ~B = µ~J (2)

En appliquant le théorème de Stokes sur (2), on a :∫S

~∇× ~H · d~S =

∫S

~H · d~l =∫S

~Jd~S

Exercice

On a un câble situé en (0, 0) et parcouru par un courant de 1kA,entouré par du vide. Trouvez l'expression du champ électriqueautour du câble par application du théorème d'Ampère.

Application à une ligne haute tension

On considère trois lignes hautes tensions parallèles et à la mêmehauteur.

I = 1000 [A]R0 = 20 [m]s = 5 [m]

Cas réel

Les calculs présentés ici font abstraction de nombreux facteurs àprendre en compte et pouvant modi�er les mesures :

I La terre n'est pas un conducteur parfait.

I Présence d'autres matériaux conducteurs.

I Triphasé non-équilibré.

I ...

Exercice

En connaissant les valeurs du champ magnétique en di�érentspoints, calculer la valeur du courant passant dans les lignes et lahauteurs des lignes.

Exemple

Exemple