Post on 18-Jun-2015
description
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 1
REPÀSPROBABILITAT
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 2
Repàs probabilitat
elementsdtotalNombre
AticacaracterisambelementsNombreAp
'__
____)(
)(1)( ApAp
)()()()( BApBpApBAp
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 3
)(
)()(
Bp
BApBAp
S’anomena probabilitat d’ A condicionada a B,al valor de la probabilitat d’ A sabent que l’esdeveniment B ja ha succeït :
)()()()()( ABpApBApBpBAp
Repàs probabilitat
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 4
)()()()()()()( 2211 kk ABpApABpApABpApBp BABABAB k 21
Ω
A1B AkA2
Sigui A1, A2, A3, …, Ak, una partició del espai mostral Ω
Repàs probabilitat
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 5
iii
iii ABpAp
BAp
Bp
BApBAp
)()(
)(
)(
)()(
Ω
A1B AkA2
El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment
Repàs probabilitat
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 6
Exercici
La probabilitat d’ésser del grup A és d’un 40%
El 60% dels individus del grup A desenvolupen una malaltia
El 30% dels individus que no pertanyen al grup A desenvolupen una malaltia
Si agafem a l’atzar un individu malalt quina és la probabilitat que pertanyi al grup A?
Quina és la probabilitat de que un individu o pertany al grup A o estigui malalt (o les dues coses a la vegada)?
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 7
Exercici
30'0)(;60'0)(;40'0)( AMpAMpAp
)()(
)(
)(
)()(
MApMAp
MAp
Mp
MApMAp
24,06'04'0)()()( AMpApMAp
5714'042'0
24'0
3'06'06'04'0
6'04'0
)()()()( MApMpApMAp
58'024'042'040'0
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 8
REPÀSVARIABLE ALEATORIA
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 9
Distribució Binomial
Un experiment binomial és aquell que compleix aquestes característiques:
N proves idèntiques A cada prova dos resultats possibles (Èxit o fracàs) La probabilitat d’èxit (p) o fracàs (1-p) és constant a cada prova El resultat de cada prova és independent al de altres proves El nostre interès estarà en la variable aleatòria X, el nombre
d'èxits a cada prova
xnxnx ppxXp -)1()(
Distribució binomial
X~B(n,p)
E(X)=np V(X)=np(1-p)
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 10
Distribució Poisson
El nombre de successos que ocorren en un interval de temps, de longitud, d’espai segueix una distribució de Poisson si
La probabilitat d’un succés és la mateixa en tot l’interval La probabilitat d’un succés no depèn dels successos
ocorreguts amb anterioritat
Distribució Poisson
X~P(λ) λ:Nombre mig de successos en un interval
E(X)=λ V(X)=λ
!)(
-
x
exXp
x
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 11
Propietats Esperança i Variança
Propietats esperança: E(k) = k E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(kX)=kE(X) E(k1X+k2Y)=k1E(X)+k2E(Y)
Propietats variança: V(k) = 0 V(X+Y)=V(X)+V(Y) V(kX)=k2V(X) V(k1X+k2Y)=k1
2V(X)+k22V(Y)
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 12
Exercici
La probabilitat d’una reacció al·lèrgica és del 1% Quina és la probabilitat de que en una mostra de
10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica? Quina és la probabilitat de que en una mostra de
100 individus hi hagi més de 3 reaccions al·lèrgiques?
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 13
Exercici
N=10P=0’01 X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica X~B(10,0’01)
P(X≥1)= 1-P(X=0) = 1 – 0’9044 = 0’0966
Quina és la probabilitat de que en una mostra de 10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica?
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 14
Exercici
N=120 P=0’01 X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica X~B(120,0’01)
X~B(120,0’01)
N gran
X~Poisson(λ=120·0’01)
X~Poisson(λ=1’2)
Quina és la probabilitat de que en una mostra de 100 individus hi hagi més de 3 reaccions al·lèrgiques?
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 15
Exercici
X~Poisson(λ=1’2)
p(X>2) = 1 – [ p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) ] =
= 1 – [ 0’3012 + 0’3614 + 0’2169] =
= 1 – 0’8795 = 0’1205
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 16
Distribución normal o de Gauss
Està caracteritzada per dos paràmetres:
La mitjana, μ, la desviació típica, σ.
σ
)μx(21
2
2
eπ2σ
1=)x(f
--
X ~ N( µ, σ)
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 17
);(N~X
0 µ xi
σ P (x ≥ x i)
);(N~Z 10
1 P (z ≥ zi)
0
-X
Z
P(X>a)
a
P(Z > (a-µ) / σ )
a-µ
σ
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 18
Distribució normal o de Gauss
P(a≤X≤b)=P(X≥a) – P(X≥b)
P(Z>-a) = P(Z<a)
P(Z<a) = 1 - P(Z>a)
P(Z>-a) = 1 - P(Z>a)
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 19
Exercici
El pes de les persones d'una determinada població es distribueix normalment amb una mitjana de 80 kg. i una desviació típica 10 kg.
1. Quina és la probabilitat de que una persona pesi entre 70 i 85 kg?
2. Quina és la probabilitat de que una persona pesi més de 95 Kg
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 20
Exercici
X~N(80,10) Z~N(0,1)10
80-- XXZ
a a - 80
10
P(X>a) P(Z > (a-80) / 10 )
1) P(70>X>85)
2) P(X>95)
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 21
Exercici
10
80X10
80X10
8070
X: N(80,10)
P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) =
= P ( > ) - P ( > )
= P (Z > -1) – P (Z > 0’5) =
= [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’5) =
10
8085
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 22
P(z) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4841 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4091 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2644 0,2611 0,2579 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2207 0,2177 0,2148
0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
1,0 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1094 0,1075 0,1057 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
Distribució normal (0;1) P ( X ≥ a ) a
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 23
Exercici
10
80X10
80X10
8070
X: N(80,10)
P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) =
= P ( > ) - P ( > )
= P (Z > -1) – P (Z > 0’5) =
= [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’5) =
= [1 – 0’1687] – 0’3086 = 0’8313 – 0’3086 = 0’5227
10
8085
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 24
Exercici
10
80X10
8095
X: N(80,10)
P (X > 95) =
= P ( > )
= P (Z > 1’5) = 0’0668
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 25
P(z) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4841 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4091 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2644 0,2611 0,2579 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2207 0,2177 0,2148
0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
1,0 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1094 0,1075 0,1057 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
Distribució normal (0;1) P ( X ≥ a ) a
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 26
REPÀSPROVES D’HIPÒTESIS
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 27
Repas proves d’hipòtesi
Una prova d’hipòtesis consta de quatre elements:
Hipòtesis nul·la (H0) Hipòtesis alternativa (Hα) L’estadístic de la prova La regió de rebuig o regió crítica
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 28
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a
• L’estadístic de la prova (σ coneguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)
Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96
nNX ,:
)1,0(-X-X
2N
n
EEZ
EE: Desviació estándar de la mitjana.
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 29
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a
• L’estadístic de la prova (σ coneguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-∞,zα)
Si α=0.05 z α= z 0.05=1.645
nNX ,:
)1,0(-X-X
2N
n
EEZ
EE: Desviació estándar de la mitjana.
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 30
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a
• L’estadístic de la prova (σ desconeguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si t Є (-∞,-t n-1,α/2) o t Є (t n-1,α/2,∞)
Acceptació de H0 si t Є (- t n-1,α/2,t n-1,α/2)
Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)
nNX ,:
12
-X-X nt
nsEE
T
EE: Desviació estándar de la mitjana.
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 31
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a
• L’estadístic de la prova (σ desconeguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si t Є (t n-1,α,∞)
Acceptació de H0 si t Є (-∞ ,t n-1,α)
Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)
nNX ,:
12
-X-X nt
nsEE
T
EE: Desviació estándar de la mitjana.
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 32
Contrastos unilateral i bilateral
La posició de la regió crítica depèn de com es facin les hipòtesis.
Unilateral Unilateral
Bilateral
H0: µ ≤ aH1: µ ≥ a
H0: µ ≥ aH1: µ ≤ a
H0: µ = aH1: µ ≠ a
- z/2 z/2
- z z
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 33
Exercici
Sigui X una variable aleatòria amb desviació estàndar = 2
Volem testar:
• Si la mitjana de X és 40
• Si la mitjana de X és igual o menor que 40
Agafem una mostra de 16 elements.
Calculem la seva mitjana i ens dona 40’90
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 34
Exercici
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = 40 H0: µ ≤ 40
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ 40 Hα : µ > 40
• L’estadístic de la prova (σ coneguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa 162,40: NX
)1,0(
162
04-X-X22
N
n
Z
8150
900
162
409040
9040
2'
'
''Z
'X
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 35
Exercici
Pel test bilateral, la regió de rebuig o regió crítica és:
Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)
Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96
Rebuig de H0 si z Є (-∞, -1’96) o z Є (1’96,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-1’96,1’96)
1’80 està dintre de la regió d’acceptació.
Acceptem la hipòtesi nul·la, la mitjana és igual a 40
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 36
Exercici
Pel test unilateral, la regió de rebuig o regió crítica és:
Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-∞ ,zα)
Si α=0.05 z α= z 0.25=1.645
Rebuig de H0 si z Є (1’645,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-∞, -1’645)
1’80 està dintre de la regió de rebuig.
Rebutgem la hipòtesi nul·la,
Acceptem hipòtesi alternativa, la mitjana és major que 40
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 37
Tipus de error, poder i nivell de confiança
DecisióPoblació real
H0 és falsa H0 és certa
Es refusa la H0 Decisió correcte1- (poder)
Risc (error tipus I)
No es refusa la H0 Risc (error tipus II)
Decisió correcte1- (confiança)
[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00
[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00
[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 38
Contrast per al paràmetre p
n
p1p
ppz
oo
o
- z
1 -
z
1 -
- z/2 z/2
1 -
Hipòtesi nul·la
Ha
Hipòtesi alternativa
Ha
Tipus de contrast
Estadístic de contrast
Regió d’acceptació
P = Po P ≠ pobilater
al
segueix una llei N(0,1)
(-z/2,z/2)
P po P > pounilater
al(-∞,z)
P ≥ po P < ppunilater
al(-z,+∞)
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 39
REPÀSCOMPARACIÓ DUES
VARIABLES
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 40
Resum de la comparació de dues mitjanes observades• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• L’estadístic de la prova
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La distribució del estadístic de la prova i la formula del estimador d’ EE depèn de:
• La mida de les mostres• La normalitat de X en els dos grups• La variança de X sigui igual en els grups
^^
BA XX
EE
d
EE
EE: Desviació estándar de la diferència de mitjanes
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 41
Resum de la comparació de dues mitjanes observadesEstratègia:
coneguda (1) desconeguda
nA i nB 30 (2) nA i/o nB < 30
Distribució Normalvariàncies homogènies (2
A = 2B) (3)
variàncies NO homogènies (2A 2
B)(4) Distribució no Normal proves no paramètriques
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 42
1 coneguda
2 desconeguda, n gran
3 desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2
B
desconeguda, n petita, X normal, 2A 2
B
EEBA nnBA 22
+ = EE B
2
A
2
ns
ns BA
EE BA n
sns
22
ˆˆ
2 - +
2BB
2AA
= nn
s1)-n(+s1)-n( s
BA
2
)1,0(NEE
dZ
)1,0()2( _ NnntEE
dT grann
bA
)2( bA nntEE
dT
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 43
Exercici
Un grup de 16 individus que segueix una dieta A té una mitjana d’IMC de 27 amb una desviació estàndard de 4.
Un grup de 13 individus que segueix una dieta B té una mitjana d’IMC de 27 amb una desviació estàndard de 5.
Tenen els dos grups el mateix IMC amb una significació α=0’05 ?
Quin és el grau de significació?
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 44
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• L’estadístic de la prova
• Sota la hipòtesi H0 certa
• Situació: desconeguda • n petita, • X normal, 2
A = 2B
^^
BA XX
EE
d
EE
EE: Desviació estándar de la diferència de mitjanes
Exercici
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 45
desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2
B
EE BA n
sns
22
ˆˆ
2 - +
2BB
2AA
= nn
s1)-n(+s1)-n( s
BA
2
)2( bA nntEE
dT
Exercici
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 46
Resultats
Estimació de la variància comuna (2) a partir de la mitjana ponderada pels graus de llibertat de les variàncies s2
A i s2B
'444427
120
2 - 13 165 1)-(134 1)-(16
s2
5;B 23; ;31
4;A 27; ;61
sXn
sXn
2
BB
2
AA
27 2 - 13 16 gl
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 47
+ = EE ns
ns
O
2
P
2
Càlcul de l’Error Estàndard
1'659 13
16
EE 4'4444'444
22
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 48
⇒
-
EE
d t ⇒
- d
tyy
yy
27
O
2
P
2
O P
O P
ns
ns
Càlcul de l’estadístic de contrast: t de Student
2'411 1'659
4 t ⇒
432-72 d
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 49
Resultats
El grau de significació és aquell valor de α tal que
411,22
,27t
La regió critica o de rebuig serRebuig de H0 si t Є (-∞,-t 27,α/2) o t Є (t27,α/2 ,∞)
Acceptació de H0 si t Є (-t27,α/2 ,t27,α/2 )
Si α=0.05 t27,α/2= t27,0.025=2’0518
2’2411 està en la regió critica,
Rebutgem H0, les mitjanes del IMC en el grup A i el grup B no es poden considerar iguals
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 50
Comparació de dues variables qualitatives
Una taula té f files i c columnesPer cada casilla de la taula calculem
ofc = freqüències observades
efc = freqüències
esperades
Variable 2 Total
1 .... f
Variable 1
1 n 3.
...
f n 1.
Total n.1 n.3 n
n
nne
.ji.
ij
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 51
Comparació de dues variables qualitatives
))1)(1((~
22
1 1
2
∑∑)-(
fcc
i
f
j eij
eijoij
Ho: Les distribucions de les categories d’una variable NO SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.
H1: Les distribucions de les categories d’una variable SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.
Estadístic de contrast:
Regió crítica:
Rebuig de H0 si X2 > X2 ( α , (c-1)(f-1) )
Acceptació de H0 si X2 < X2 ( α , (c-1)(f-1) )
Bioestadística FMCS Reus Curs 2011-12 52
Mida de la mostra per comparar dues proporcions observades
BA
BBAAβα
2
pp
p1pp1pzp1p2z-
---2
n
n = nombre d’individus necessaris a cada grup z = valor de z corresponent al risc fixat z = valor de z corresponent al risc fixat pA = valor de la proporció esperada al grup A pB = valor de la proporció esperada al grup B pA-pB = valor mínim de la diferència que es vol
detectar p = mitjana ponderada de les proporcions pA i pB