Post on 23-Jan-2019
Calculo Diferencial e Integral I – CDI I
Limites laterais e limites envolvendo o infinitoLuiza Amalia Pinto Cantao
luiza@sorocaba.unesp.br
Limites
1 Limites Laterais
a a diretia
b a esquerda
c Definicao precisa de limites laterais
2 Limites envolvendosen θ
θ
3 Limites finitos quando x→ ±∞
4 Limites no infinito de funcoes racionais
a Assıntotas horizontais e verticais
b Assıntotas obıquas
Introducao
Limites laterais e limites envolvendo o infinito:
• Limites Laterais: os limites quando x se aproxima do numero x0 pelaesquerda (x < x0) ou pela direita (x > x0) apenas.
• Limites envolvendo o infinito: analise grafica de funcoes racionaise de funcoes que apresentam comportamento de limite a medida quex→ ±∞.
Limites Laterais
Ideia: Para termos limx→x0
f (x) = L, f (x) deve ser definida em ambos os lados
de x0 e seus valores f (x) devem se aproximar de L quando x se aproximade x0 de cada lado. Por isso, limites comuns sao bilaterais
Se f (x) nao tem um limite bilateral em x0, ainda pode ter um limite lateral,ou seja, um limite cuja aproximacao ocorre apenas de um lado.
Qual o comportamento do limite quando limx→0
x
|x|?
Limite lateral a direita
Ideia : Se f (x) e definica num intervalo (x0, x0 + δ), onde x0 < x0 + δ e sef (x) fica arbritariamente proximo de L conforme x se aproxima de x0 nesseintervalo, entao f tem limite lateral a direita L em x0. Escrevemos:
limx→x+o
f (x) = L
“x→ x+o ” significa que consideramos apenas valores de x maiores que x0.
Assim,
limx→0+
x
|x|= 1
Limite lateral a esquerda
Analogamente: Se f (x) e definido num intervalo (x0−δ, x0), onde x0−δ <x0 e se f (x) fica arbritariamente proximo de M , conforme x se aproximade x0 nesse intervalo, entao f tem limite lateral a esquerda M em x0.Escrevemos:
limx→x−o
f (x) =M
“x→ x−o ” significa que consideramos apenas valores de x menores que x0.
Assim,
limx→0−
x
|x|= −1
1◦¯ Exemplo: Considere f (x) =√r2 − x2. Analise os limites laterais em r e
−r.
Teorema
Teorema: Uma funcao f (x) tera um limite quando x se aproxima de x0 se esomente se tiver um limite lateral a direita e um a esquerda, e os dois limiteslaterais forem iguais:
limx→0
f (x) = L ⇐⇒ limx→0+
f (x) = L e limx→0−
f (x) = L
2◦¯ Exemplo: Seja
f (x) =
3− x, x < 2
2, x = 2x
2, x > 0
Determine:
a) limx→2+
f (x)
b) limx→2−
f (x)
c) f (2)
d) Existe limx→2
f (x) ?
e) Se existe, qual ?
f) Se nao, por que?
Definicao precisa de limites laterais
Limites a direita e a esquerda: Dizemos que f (x) tem um limite a di-reita L em x0 e escrevemos
limx→x+0
f (x) = L
se para qualquer numero ε > 0 existe um numero correspondente δ > 0, demaneira que, para todos os valores de x,
x0 < x < x0 + δ =⇒ |f (x)− L| < ε.
Dizemos que f (x) tem um limite a esquerda L em x0 e escrevemos
limx→x−0
f (x) = L
se para qualquer numero ε > 0 existe um numero correspondente δ > 0, demaneira que, para todos os valores de x,
x0 − δ < x < x0 =⇒ |f (x)− L| < ε.
Limites laterais a direita — Ilustracao Grafica
Limites laterais a esquerda — Ilustracao Grafica
Exemplos
3◦¯ Exemplo: Calcule os limites abaixo:
a) limx→1+
√2x(x− 1)
|x− 1|b) lim
x→1−
√2x(x− 1)
|x− 1|
4◦¯ Exemplo: y = sen
(1
x
)
Limite envolvendosen(θ)
θIdeia: Medindo em radianos, seu limite quando θ → 0 e 1.
Teorema:
limθ→0
sen θ
θ= 1 (θ em radianos )
5◦¯ Exemplo: Calcule os limites abaixo:
a) limx→0
1− cosx
x2b) lim
x→0
sen 3x
x
Limite quando x→ ±∞
∞: O sımbolo para o infinito ∞ nao representa um numero real. Representao comportamento de uma funcao quando os valores em seu domınio ouimagem ultrapassam qualquer limitante.
Definicao: 1. Dizemos que f (x) possui o limite L quando x tende ao infinitoe escrevemos:
limx→∞
f (x) = L
se, para cada numero ε > 0, existe um numero M correspondente talque, para todos os valores de x,
x > M =⇒ |f (x)− L| < ε
2. Dizemos que f (x) possui o limite L quando x tende a menos infinito eescrevemos:
limx→−∞
f (x) = L
se, para cada numero ε > 0, existe um numero N correspondente talque, para todos os valores de x,
x < N =⇒ |f (x)− L| < ε
Grafico da funcao f (x) =1
x
f (x) =1
x
6◦¯ Exemplo: Demonstre que
a) limx→∞
1
x= 0 a) lim
x→−∞
1
x= 0
Leis do limite quando x→ ±∞
Teorema: Se L, M e k sao numeros reais e
limx→±∞
f (x) = L e limx→±∞
g(x) =M entao
1. Regra da soma limx→±∞
f (x) + g(x) = L +M ;
2. Regra da diferenca: limx→±∞
f (x)− g(x) = L−M ;
3. Regra do produto: limx→±∞
f (x) · g(x) = L ·M ;
4. Regra da multiplicacao por constante: limx→±∞
(k · f (x)) = k · L;
5. Regra do quociente: limx→±∞
f (x)
g(x)=L
M, M 6= 0;
6. Regra da potenciacao: Se r e s sao inteiros e nao tem fatores comuns,s 6= 0, entao: lim
x→±∞(f (x))
rs = L
rs ; desde que L
rs seja um numero real.
7◦¯ Exemplo: Aplique as regras para limites quando x→ ±∞
a) limx→∞
(π +
1
x
)b) lim
x→∞
√e
x3
Limites no infinito de funcoes racionais
Idea: Para calcular limx→±∞
P (x)
Q(x), podemos dividir o numerador e o denominador
pela maior potencia de x que aparece no denominador.
8◦¯ Exemplo: Numerador e denominador de mesmo grau:
limx→±∞
2x2 − 5
3x2 + x + 2;
9◦¯ Exemplo: Grau (numerador) < grau (denominador):
limx→±∞
2x2 − 5
3x4 + x + 2;
10◦¯ Exemplo: Grau (numerador) > grau (denominador):
limx→±∞
2x3 − 5
3x2 + x + 2;
Assıntotas Horizontais e Verticais
Idea: Vejamos a seguinte funcao f (x) =1
x. Note que:
i) limx→∞
1
x= 0 e lim
x→−∞
1
x= 0.
Nesse caso dizemos que y = 0 e uma assıntota horizontal de f (x).
ii) limx→0+
1
x= +∞ e lim
x→0−
1
x= −∞.
Nesse caso dizemos que x = 0 e uma assıntota vertical de f (x).
Definicao de Assıntotas Horizontais e Verticais
Definicao: A reta y = b e uma assıntota horizontal de y = f (x) se:
limx→∞
f (x) = b ou limx→−∞
f (x) = b
A reta x = a e uma assıntota vertical de y = f (x) se:
limx→a+
f (x) = ±∞ ou limx→a−
f (x) = ±∞
Exexmplo e Assıntotas Obıquas
11◦¯ Exemplo: Encontre as assıntotas do grafico y =x + 3
x + 2.
Assıntota Oblıquas: Caso numerador de uma funcao tenha um grau maior doque o denominador, o grafico apresentara uma assıntota oblıqua (inclinada).Encontramos uma equacao para a assıntota dividindo o numerador pelodenominador para expressar f como uma funcao linear mais um resto que eigual a zero quando x→ 0.
12◦¯ Exemplo: Encontre as assıntotas do grafico y =x2 − 4
x− 1.
Definicao precisa de limites infinitos
Definicao:
1. Dizemos que f (x) tende ao infinito quando x tende a x0 e escre-vemos
limx→x0
f (x) =∞
se para cada numero real positivo B existe um δ > 0 correspondente talque para todo x
0 < |x− x0| < δ =⇒ f (x) > B
2. Dizemos que f (x) tende a menos infinito quando x tende a x0 eescrevemos
limx→x0
f (x) = −∞
se para cada numero real negativo −B existe um δ > 0 correspondentetal que para todo x
0 < |x− x0| < δ =⇒ f (x) > −B
Definicao precisa de limites infinitos — Graficamente
Assıntota Vertical
Definicao: Uma reta x = a e uma assıntota vertical do grafico de umafuncao y = f (x) se
limx→a+
f (x) = ±∞ e limx→a−
f (x) = ±∞
Assıntotas nao bilaterais: y = ex e y = lnx
Curvas com infinitas assıntotas