Poderia Arquimedes ter calculado ˇ com areia e um bast~ao?Poderia Arquimedes ter calculado ˇ com...

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Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica, v. 36, n. 3, 3305 (2014) www.sbfisica.org.br Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bast˜ao? (Could Archimedes have calculated π with sand and a stick?) Fernanda J. Dellajustina 1 , Luciano C. Martins Departamento de F´ ısica, Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, SC, Brasil Recebido em 17/2/14; Aceito em 23/3/14; Publicado em 31/7/2014 Neste artigo propomos trˆ es m´ etodos para determinar numericamente o valor de uma das constantes mais famosas e importantes da matem´atica, a constante π. Apresentamos um m´ etodo num´ erico inspirado no m´ etodo original de Arquimedes, um m´ etodo mecˆanico experimental que utiliza areia e um bast˜ao, e finalmente, a partir de um modelo baseado na ideia de probabilidade, o m´ etodo de Monte Carlo que ´ e usado para a determina¸c˜ ao de π. O aparato experimental usado ´ e bastante simples e de baixo custo, facilitando a utiliza¸c˜ ao do m´ etodo experimental e sua aplica¸c˜ ao no ensino de f´ ısica e matem´atica em escolas de Ensino M´ edio. Palavras-chave: valor num´ erico de π, m´ etodo experimental para obter π, m´ etodo de Monte Carlo para calcu- lar π. We propose three methods to numerically determine the value of one of the most famous and important mathematical constants, the constant π. We present a numerical method inspired by the original method of Archimedes, an experimental mechanical method that uses sand and a stick, and finally, from a model based on the idea of probability, the Monte Carlo method is used for the evaluation of π. The experimental apparatus is very simple and of low cost, which makes easy the use of the experimental method and its application in physics and mathematics courses at high-school level. Keywords: numerical value of π, experimental method to determine π, Monte Carlo method to determine π. 1. Introdu¸c˜ ao Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.), um dos mais importantes cientistas da antiguidade [1], entre outras fa¸canhas calculou quantos gr˜aos de areia haveria no uni- verso. Para isso utilizou o modelo heliocˆ entrico de Aris- tarco de Samos, e quase todo o conhecimento de sua ´ epoca, tendo sido um dos pioneiros na constru¸c˜ ao de um sistema num´ erico para operar e representar n´ umeros gi- gantes. Ele muitas vezes fazia seus c´alculos escrevendo na areia, com um bast˜ao, pois nessa ´ epoca o papel era raro e precioso demais para rascunhos e desenhos. Dentre muitos feitos inovadores para a ciˆ encia, Ar- quimedes utilizou um engenhoso m´ etodo geom´ etrico para estimar um intervalo de valores num´ ericos que de- limitou o valor de uma das constantes mais famosas e importantes da matem´atica, a constante π. Poderia Arquimedes ter determinado experimentalmente o va- lor dessa constante utilizando apenas areia, o seu bast˜ao como alavanca e considera¸c˜ oes de simetria e aleatorie- dade? A resposta a essa pergunta ´ e sim, como demons- traremos nesse trabalho. O n´ umero π ´ e conhecido desde a Babilˆonia de onde se tem os primeiros registros de aproxima¸ oes num´ ericas do valor da constante [2]. Acredita-se tamb´ em que os eg´ ıpcios tinham conhecimento do valor de π, o qual foi utilizado para a constru¸c˜ ao da grande pirˆ amide de Giz´ e que possui um per´ ımetro de 1.760 ovados 2 e uma altura de 280 cˆovados, de forma que a rela¸c˜ ao 1.760/280 6, 29 que ´ e aproximadamente iguai 2π 6, 28 [3]. Abordagens instrucionais contemporˆaneas esperam os alunos se tornem produtores ativos de conhecimento. Isso leva `a necessidade de cria¸c˜ ao de ferramentas de en- sino e tarefas que podem oferecer aos alunos oportuni- dades de aprendizagem ativa [4]. Neste estudo utiliza- mos a experiˆ enciacomputacional como uma integra¸c˜ ao da ciˆ encia computacional com o m´ etodo de aprendi- zagem por descoberta. O experimento computacional suporta ambos os tipos de pesquisa, a explora¸c˜ ao ex- perimental, bem como a pesquisa criativa, ajudando os alunos a desenvolver modelos n˜ao s´o de explora¸c˜ ao, mas 1 E-mail: [email protected]. 2 Unidade de medida de comprimento que foi usada por diversas civiliza¸c˜oes antigas, entre eles os babilˆonios, eg´ ıpcios e hebreus. Era baseada no comprimento do antebra¸co, da ponta do dedo m´ edio at´ e o cotovelo. O cˆovado real dos antigos eg´ ıpcios media 50 cm, o dos romanos media 45 cm. Copyright by the Sociedade Brasileira de F´ ısica. Printed in Brazil.

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Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 36, n. 3, 3305 (2014)www.sbfisica.org.br

Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastao?(Could Archimedes have calculated π with sand and a stick?)

Fernanda J. Dellajustina1, Luciano C. Martins

Departamento de Fısica, Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, SC, BrasilRecebido em 17/2/14; Aceito em 23/3/14; Publicado em 31/7/2014

Neste artigo propomos tres metodos para determinar numericamente o valor de uma das constantes maisfamosas e importantes da matematica, a constante π. Apresentamos um metodo numerico inspirado no metodooriginal de Arquimedes, um metodo mecanico experimental que utiliza areia e um bastao, e finalmente, a partirde um modelo baseado na ideia de probabilidade, o metodo de Monte Carlo que e usado para a determinacaode π. O aparato experimental usado e bastante simples e de baixo custo, facilitando a utilizacao do metodoexperimental e sua aplicacao no ensino de fısica e matematica em escolas de Ensino Medio.Palavras-chave: valor numerico de π, metodo experimental para obter π, metodo de Monte Carlo para calcu-lar π.

We propose three methods to numerically determine the value of one of the most famous and importantmathematical constants, the constant π. We present a numerical method inspired by the original method ofArchimedes, an experimental mechanical method that uses sand and a stick, and finally, from a model based onthe idea of probability, the Monte Carlo method is used for the evaluation of π. The experimental apparatus isvery simple and of low cost, which makes easy the use of the experimental method and its application in physicsand mathematics courses at high-school level.Keywords: numerical value of π, experimental method to determine π, Monte Carlo method to determine π.

1. Introducao

Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.), um dos maisimportantes cientistas da antiguidade [1], entre outrasfacanhas calculou quantos graos de areia haveria no uni-verso. Para isso utilizou o modelo heliocentrico de Aris-tarco de Samos, e quase todo o conhecimento de suaepoca, tendo sido um dos pioneiros na construcao de umsistema numerico para operar e representar numeros gi-gantes. Ele muitas vezes fazia seus calculos escrevendona areia, com um bastao, pois nessa epoca o papel erararo e precioso demais para rascunhos e desenhos.

Dentre muitos feitos inovadores para a ciencia, Ar-quimedes utilizou um engenhoso metodo geometricopara estimar um intervalo de valores numericos que de-limitou o valor de uma das constantes mais famosase importantes da matematica, a constante π. PoderiaArquimedes ter determinado experimentalmente o va-lor dessa constante utilizando apenas areia, o seu bastaocomo alavanca e consideracoes de simetria e aleatorie-dade? A resposta a essa pergunta e sim, como demons-

traremos nesse trabalho.

O numero π e conhecido desde a Babilonia deonde se tem os primeiros registros de aproximacoesnumericas do valor da constante [2]. Acredita-setambem que os egıpcios tinham conhecimento do valorde π, o qual foi utilizado para a construcao da grandepiramide de Gize que possui um perımetro de 1.760covados2 e uma altura de 280 covados, de forma que arelacao 1.760/280 ≈ 6, 29 que e aproximadamente iguai2π ≈ 6, 28 [3].

Abordagens instrucionais contemporaneas esperamos alunos se tornem produtores ativos de conhecimento.Isso leva a necessidade de criacao de ferramentas de en-sino e tarefas que podem oferecer aos alunos oportuni-dades de aprendizagem ativa [4]. Neste estudo utiliza-mos a experiencia computacional como uma integracaoda ciencia computacional com o metodo de aprendi-zagem por descoberta. O experimento computacionalsuporta ambos os tipos de pesquisa, a exploracao ex-perimental, bem como a pesquisa criativa, ajudando osalunos a desenvolver modelos nao so de exploracao, mas

1E-mail: [email protected].

2Unidade de medida de comprimento que foi usada por diversas civilizacoes antigas, entre eles os babilonios, egıpcios e hebreus. Erabaseada no comprimento do antebraco, da ponta do dedo medio ate o cotovelo. O covado real dos antigos egıpcios media 50 cm, o dosromanos media 45 cm.

Copyright by the Sociedade Brasileira de Fısica. Printed in Brazil.

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tambem de modelos consistentes. A extensa literaturacientıfica e uma evidencia robusta de que as simulacoesde computador podem melhorar a instrucao tradicional,especialmente na medida em que as atividades labora-toriais sao consideradas [5, 6].

Propomos um experimento pratico e simples queilustra o conceito empırico de probabilidade e como sepode chegar intuitivamente na ideia central do metodode Monte Carlo [7], muito utilizado em simulacoesnumericas feitas em computadores. No experimentoproposto, apenas uma medida linear simples feita comregua sera usada para a determinacao da constante π,com o uso de areia e um bastao apoiado, para equilibrare comparar massas como uma balanca primitiva.

Para revisao e motivacao, apresentamos na Secao 2.a relevancia e a utilidade pratica da constante π, praque se possa entender melhor o porque de tanto inte-resse e esforco historico de tantos povos e civilizacoesna sua determinacao.

Discutimos brevemente na Secao 3. o metodo ori-ginal de Arquimedes para a determinacao geometricade π, que a seguir sera comparado com outros tresmetodos, um metodo numerico, um metodo experimen-tal e outro por simulacao computacional, o metodo deMonte Carlo [7,8], respectivamente nas Secoes. 4. a 7..

Ao final, na Secao 8., comparamos os metodos apre-sentados e resumimos as principais conclusoes finaisdeste trabalho.

2. Qual a utilidade da constante π?

O numero π, e definido como a razao do perımetro Sde uma circunferencia pelo seu diametro D, ou seja,

π ≡ S

D, (1)

e a partir desta definicao, o perımetro da circunferenciapode ser escrito como S = 2πR, ja que o seu diametroe D = 2R.

A area do cırculo pode ser obtida a partir do seuperımetro usando-se o seguinte argumento geometrico.Considere um cırculo partido em N setores identicos,sendo N um numero par. Por exemplo, para N = 4,veja a Fig. 1A. Reorganizando-se os setores do cırculoconforme mostra a Fig. 1B, dividindo-se esse padraoao meio e dispondo-os como mostra a Fig. 1C, obte-mos uma primeira aproximacao para a area do cırculo,considerando o retangulo de base πR e altura R, sendo

A ≈ πR2 , (2)

ja que existe uma pequena diferenca entre as areas doretangulo e dos setores originais do cırculo. Ao se divi-dir o cırculo em um grande numero de partes (N ≫ 4),obteremos uma melhor aproximacao com a area doretangulo da Fig. 1C, e pode-se mostrar que no limiteN → ∞, a formula aproximada dada pela Eq. (2) setorna exata, ou seja, uma igualdade.

Figura 1 - Cırculo de raio R partido em 4 setores identicos, B)os setores alinhados e C) reorganizados na forma aproximada deum retangulo.

Um raciocınio analogo pode ser usado para a ob-tencao do volume de uma esfera, seccionando-a em Nsetores esfericos identicos e reorganizando-os na formaaproximada de um paralelepıpedo, que no limite N →∞ tera o volume exato da esfera V = 4πR3/3.

Em resumo, o perımetro de uma circunferencia, aarea de um cırculo e o volume de uma esfera, sao quan-tidades geometricas diretamente proporcionais ao valorda constante π, daı a importancia do seu calculo exato.Todas essas relacoes envolvendo a constante π foram de-monstradas rigorosamente por Arquimedes atraves dometodo da exaustao de Eudoxo, e apresentadas nos seuslivros A Medida do Cırculo e Sobre a Esfera e o Cilin-dro.

3. O metodo geometrico de Arquimedes

No ano de 250 a.C. Arquimedes estimou o valor deπ, atraves de um engenhoso metodo geometrico, uti-lizando polıgonos regulares inscritos e circunscritos auma circunferencia de diametro unitario, e portantode perımetro π, conforme preve a Eq. (1). Comoo perımetro do polıgono inscrito Si e menor queo perımetro da circunferencia, e este, menor que operımetro do polıgono circunscrito Sc, Arquimedes de-limitou um intervalo para o valor da constante procu-rada, ou seja,

Si < π < Sc . (3)

A medida que o numero de lados dos polıgonos for sendoaumentado, o valor de π podera ser calculado com umaprecisao cada vez maior, pois o perımetro dos polıgonostendem ao da circunferencia.

Por exemplo, utilizando inicialmente quadrados ea seguir octogonos, polıgonos regulares de quatro eoito lados, respectivamente, obtemos os desenhos daFigs. 2A e 2B, e sucessivamente podemos ir dobrandoo numero de lados para que os perımetros das tres figu-ras se aproxime cada vez mais. Observa-se na Fig. 2D,para n = 32, ja quase nao ha diferenca visual entre astres figuras geometricas.

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Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastao? 3305-3

Figura 2 - Metodo de Arquimedes para estimar o valor de π porpolıgonos regulares inscritos e circunscritos numa circunferencia,para polıgonos de 4, 8, 16 e 32 lados.

A ideia e simples, mas os calculos necessarios saotrabalhosos, se considerarmos que nao existia ainda atrigonometria e muito menos as ferramentas modernasdo calculo na epoca de Arquimedes, mas apenas a ge-ometria euclidiana, aritmetica e algebra elementares.Cerca de um seculo antes de Arquimedes, o filosofogrego Aristoteles havia demostrado a incomensurabili-dade [9] da diagonal de um quadrado com relacao ao seulado, pois aquela medida nao podia ser expressa comouma fracao desta, o que chamamos hoje de numero irra-cional, sendo que a matematica grega nao consideravavalida a existencia de tais numeros que nao podiam sermedidos ou calculados exatamente.

Repetindo o processo, com polıgonos inscritos e cir-cunscritos de ate 96 lados, Arquimedes demonstrou queo numero procurado deve satisfazer a desigualdade

3 +10

71< π < 3 +

1

7, (4)

ou seja 3, 140 < π < 3, 143. Tomando-se o valor mediodo intervalo acima, obtemos o melhor valor de Arqui-medes para a constante como sendo

π = 3 +141

994≈ 3, 1418 (5)

uma aproximacao correta ate a terceira casa decimal,com o ultimo algarismo sendo o duvidoso.

4. O metodo numerico

Adaptando a ideia original de Arquimedes, calcu-laremos com um metodo numerico as aproximacoesnumericas de π. Para a area de um cırculo comraio unitario, vale uma desigualdade similar aquela daEq. (3), dada por

Ai < π < Ac . (6)

onde Ai e Ac sao as areas de polıgonos inscritos e cir-cunscritos ao cırculo.

Assim, para o calculo de π, ao inves do perımetro,vamos considerar a area de polıgonos com numero de la-dos n = 4, 8, 16, 32, . . . , 2m, ou seja, potencias de 2, param = 2, 3, 4, . . .. Partindo da Eq. (6), vamos escreveruma expressao para as sucessivas areas dos polıgonosinscritos no cırculo que sejam funcao do numero delados dos polıgonos, e para isso, comecaremos dese-nhando um quadrado inscrito no cırculo, conforme aFig. 2A. Tracando as diagonais do quadrado obtemos 4triangulos, cujas areas sao faceis de determinar, poisa area de um triangulo e a metade da area de umretangulo com a base e a altura do proprio triangulo.

Figura 3 - Um triangulo ABC de um polıgono A) inscrito e B)circunscrito num cırculo sao aproximacoes para a area do setorcircular.

O triangulo inscrito mostrado na Fig. 3A possui areaAi,n = R2 sin(θn/2) cos(θn/2) = R2 sin(θn), sendo quepara um polıgono regular de n lados, θn = 360◦/n. As-sim, como a area do cırculo foi dividida em n setores,podemos aproximar a area do cırculo com raio unitario,e portanto,

Ai = nAi,n = (n/2) sin(360◦/n) (7)

ja que sin(2α) = 2 sinα cosα e uma identidade validapara qualquer angulo α. De modo similar, o triangulocircunscrito da Fig. 3B possui area Ac,n = R2 tan(θ/2),e para polıgonos regulares de n lados, circunscritos nocırculo de raio unitario, temos

Ac = nAc,n = n tan(180◦/n) . (8)

A partir dessas areas podemos calcular π com umaprecisao muito grande. A Tabela 4. mostra os resulta-dos obtidos para as primeiras aproximacoes de π.

Tabela 1 - Aproximacoes de π obtidas com o metodo numerico,para alguns valores de n.

m n Ai < π π < Ac

2 4 2,000000000000000 4,0000000000000003 8 2,828427124746190 3,3137084989847604 16 3,061467458920718 3,1825978780745285 32 3,121445152258052 3,1517249074292566 64 3,136548490545939 3,1441183852459047 128 3,140331156954753 3,142223629942457

14 16.384 3,141592576584872 3,14159269209225421 2.097.152 3,141592653585093 3,14159265359214328 268.435.456 3,141592653589793 3,141592653589793

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3305-4 Dellajustina e Martins

Verificamos nesta tabela que conseguimos estimar ovalor de π com 15 casas decimais para m = 28, sendoportanto suficiente um polıgono com 228 = 268, 435, 456lados, para se obter o valor de π com a precisao duplapadrao. O metodo numerico apresentado aqui e ummetodo exato, pois apos um numero finito de passospodemos determinar o valor numerico de π com a umaprecisao finita qualquer. Os dados da Tabela 4. fo-ram obtidos com o codigo em linguagem C, listado noApendice 9.1..

5. O modelo

Com base na Fig. 2A podemos escrever uma relacao en-tre o lado do quadrado circunscrito e o raio da cırculo,dada por 2R = L, e definindo-se a razao p entre a areado cırculo e a area do quadrado temos

p =Ac

Aq=

πR2

L2=

π

4(9)

que e a fracao da area do quadrado ocupada pelocırculo.

Isolando π na equacao anterior temos

π = 4p (10)

sendo esta a relacao fundamental a partir da qual po-demos determinar o valor π, sendo necessario apenascalcular a fracao p.

6. O metodo experimental

Para a determinacao da fracao p da Eq. (10) podemosusar graos de areia para determinar experimentalmenteo valor de π, usando um aparato experimental bastantesimples e facil de montar. Tal aparato consiste numacaixa quadrada de lado interno L e altura h e um troncode cilindro com raio externo igual a L/2 e mesma alturada caixa, que devera ser encaixado dentro desta caixa,veja na Fig. 4.

Figura 4 - Esquema de montagem do experimento para calcularπ usando areia.

Os valores para o tamanho da caixa devem ser es-colhidos com o criterio de uma boa medida, baseadano volume e peso da areia que sera colocada dentro dacaixa, para que nao seja muito grande, e muito pesada,

e nem muito pouca, difıcil de pesar. No arranjo expe-rimental que montamos para fazer as medidas usamosL = 33,10 cm e h = 7,50 cm.

A caixa pode ser feita de qualquer material que su-porte o peso sem se deformar, sem perder ou misturaros graos de areia durante a coleta para a realizacao dasmedidas. Veja na Fig. 5 o aparato experimental quemontamos.

Figura 5 - Montagem experimental para a determinacao do π coma caixa de areia vazia (acima) e cheia de areia (abaixo), com aborda do cilindro pintada de azul.

Para medir o numero π vamos precisar ainda deareia bem seca, para que ela nao fique grudada na pa-rede da caixa ou no tronco de cilindro, ou forme cavida-des sem preenchimento uniforme, interferindo assim nosresultados numericos. Com a areia preenchemos a caixae o cilindro, raspando a parte superior para remover oexcesso de areia e nivelar a superfıcie de forma maisplana possıvel. Na sequencia vamos separar em umsaco a areia externa ao tronco de cilindro, que chama-mos de mr, e em outro saco a areia interna ao cilindromc, nesta ordem. Na ultima etapa do experimento usa-remos uma balanca simples, construıda com um bastao,dois ganchos e um ponto de apoio, conforme ilustradona Fig. 6.

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Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastao? 3305-5

Figura 6 - Balanca esquematica usada na comparacao de massasdas massas mr e mc de areia.

Para montagem da balanca usamos um cabo de vas-soura, com um gancho em cada ponta, e um pequenopedaco de madeira na forma de um prisma triangularpara fazer o apoio. Se apoiado no seu centro de gra-vidade, o sistema pode ficar em repouso, como umagangorra em equilıbrio. Esse metodo foi desenvolvidopor Arquimedes para determinar o centro de gravidadede um corpo ou de uma figura geometrica, baseado noseu princıpio de alavanca e no conceito de torque. Paraque o sistema fique em equilıbrio, os torques devem sercompensados, ou seja, sua soma deve ser nula. Ma-tematicamente, o momento das massas em relacao aoponto de apoio deve ser nulo, pois esse ponto e o centrode massa do sistema, entao

lcmc = lrmr, (11)

e isolando a massa contida no cilindro temos

mc = mrlrlc. (12)

A partir da Eq. (10), e como as massas sao pro-porcionais as volumes, e portanto as areas superficiais,temos

π = 4mc

mc +mr. (13)

Pela Eq. (12), eliminando-se as massas mc e mr daexpressao acima temos

π = 4lr

lc + lr= 4

lrl, (14)

onde l = lc + lr e a distancia entre as massas equilibra-das no bastao.

Dessa forma podemos determinar π simplesmentea partir da razao entre o comprimento do bastao e adistancia lr do ponto onde mr esta pendurada ate oponto de apoio O.

No modelo simplificado descrito acima a massa dobastao nao foi considerada no calculo, o que acarretaum pequeno erro na medida experimental de π. Paracorrigir esse erro, apos marcado o ponto O de equilıbriodas massas, voltamos a reequilibrar apenas o bastao eum pequeno contra-peso colocado na mesma posicaoque a massa mc estava. Com esse procedimento, ga-rantimos que o centro de massa do bastao, com o con-trapeso, coincida com o ponto O anterior. Apos esse

ajuste, recolocamos as mesmas massas mc e mr em seuslugares anteriores e reequilibramos o sistema inteiro,juntamente com o bastao e o contrapeso. Devido a pre-senca do contrapeso, o novo ponto de equilıbrio seraencontrado a direita de O, a uma pequena distanciaϵ. Entao, para esse bastao compensado pelo contra-peso, a nova distancia da massa mr ate o novo pontode equilıbrio sera tambem aumentado na mesma quan-tidade ϵ. Com esse ajuste, podemos calcular o valor deπ pela formula corrigida

π = 4lr + ϵ

l. (15)

Escrevendo-se as equacoes exatas para o sistemacompleto, com o contrapeso que reequilibra o bastao naposicao original O, obtemos uma equacao exata para ocalculo de π, porem bastante complicada, dada por

π = 4

(l2 − 2 llr + 2 lr

2)ϵ+ l2lr − 3 llr

2 + 2 lr3

l(lϵ+ l2 − 3 llr + 2 lr

2) . (16)

Essa formula exata pode ser expandida em serie deTaylor, em torno do valor ϵ = 0, donde obtemos a serie

π = 4lr + ϵ

l+

4ϵ2

l2 − 3 l lr + 2 l2r+O

(ϵ3), (17)

donde concluımos que a formula corrigida dada pelaEq. (15) e a correcao de primeira ordem da formulaexata acima. No modelo exato acima, ainda assim naoconsideramos a massa dos dois pequenos ganchos usa-dos para a sustentacao dos sacos contendo as massasmc e mr, e tambem desprezamos as massas dos sacosplasticos utilizados. Como se ve, o modelo acima aindanao e um modelo exato, mas apenas um modelo me-lhorado. Em fısica, os modelos exatos sao um limiteinatingıvel, e por mais que melhoremos o nosso mo-delo, sempre sera apenas um modelo para descrever umfenomeno ou experimento fısico [10].

Para a medicao experimental de π utilizamos o apa-rato mostrado na Figs. 5A e 5B para a determinacaodas massas mc e mr, atraves do equilıbrio das massaspenduradas no bastao conforme mostra a Fig. 6. Uti-lizamos inicialmente areia e depois graos de arroz parapreencher a caixa, e com o uso das formulas apresenta-das acima, obtivemos as aproximacoes numericas paraa constante π, atraves das medidas de lr e ϵ, sendo quea distancia entre os ganchos que sustentam as massasfoi mantida sempre fixa em l = 99, 8 cm. Os resultadospodem ser vistos na Tabela 6..

Tabela 2 - Resultados experimentais de π para um bastao decomprimento l = 99,8 cm.

Material / Medida lr (cm) π πcorr πexato

Areia1 77,6 3,11 3,12 3,122 78,0 3,13 3,14 3,14

Arroz1 77,7 3,11 3,14 3,14

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3305-6 Dellajustina e Martins

De forma alternativa, podemos obter experimental-mente o valor de π atraves das medidas das massas mc

e mr em uma balanca, ou atraves das medidas dos seusrespectivos volumes, Vc e Vr, o que tambem medimos.Veja-se os resultados mostrados nas Tabelas 6. e 6..

Tabela 3 - Resultados experimentais de π obtidos com medidasdos volumes Vc e Vr.

Material / Medida Vc (mL) Vr (mL) πAReia 6450 1750 3,146Arroz 6615 1760 3,159

O valor medio de π obtido a partir de todos as me-didas parciais mostradas nas Tabelas 6., 6. e 6. e, coma margem normal de erro, π = 3, 136± 0, 006.

Tabela 4 - Resultados experimentais de π obtidos com medidasdas massas mc e mr.

Material / Medida mc (kg) mr (kg) πAreia 10,110 2,726 3,150Arroz 5,630 1,524 3,148

Este metodo experimental usando graos de areiapara preencher um volume pode ser comparado como metodo de Monte Carlo que veremos na secao 7.. Nometodo de Monte Carlo a razao entre o numero de pon-tos pertencentes ao cırculo e o total de pontos e propor-cional a π, sendo que quanto maior o numero de pontosmelhor e a aproximacao do valor numerico de π.

No nosso experimento, de forma semelhante aometodo de Monte Carlo, o valor de π e obtido, indire-tamente, pela proporcao dos graos de areia pertencenteao tronco cilındrico e o resto sobrante que pertenciam acaixa originalmente. Mas e qual seria o total de graos deareia na caixa? Seria comparavel ao total de pontos queusamos na simulacao de Monte Carlo? Para responderestas perguntas vamos estimas a quantidade de graode areia contida na caixa. Para isto vamos considerarque um grao de areia seja aproximadamente esferico.Segundo a escala de Krumbein-Wentwort [11, 12] umgrao de areia de tamanho medio, como foi o caso usadono nosso experimento, tem aproximadamente 0,25 mmde diametro medio, e portanto o volume de apenas umgrao seria da ordem de 8,2 ×10−3 mm3. Entao, numvolume de 1,0 cm3 de areia existem aproximadamente1,2 ×105 graos de areia. A caixa usada no nosso ex-perimento tinha um volume de Vcaixa = L2h = (33,1cm)2 × 7, 5 cm = 8,2 ×103 cm3 = 8,2 L, e continhaaproximadamente 1, 0× 109 graos de areia.

7. Metodo de Monte Carlo

Na natureza observamos muitos fenomenos que nao po-dem ser descritos de forma exata ou determinıstica,mas podem ser entendidos atraves do uso da estatıstica.Por exemplo, durante uma chuva regular em um localaberto, as gotas caem no chao em posicoes que nao po-dem ser previstas, e se observarmos o fenomeno sobre

uma dada superfıcie durante um tempo razoavelmentelongo, depois que muitas gotas caem, somos levados auma hipotese estatıstica fundamental: se nao sabemosonde e quando uma gota caira sobre a superfıcie, entaouma gota pode cair em qualquer lugar, num dado ins-tante, de forma que a chance ou probabilidade deve seruniforme sobre a superfıcie, ja que nao existe razao paraque uma certa regiao seja privilegiada em relacao a ou-tra, ou que as gotas apresentem um padrao espacial outemporal nesse fenomeno. Consideramos entao que aqueda de cada gota de chuva representa um evento in-dependente, e a observacao de um grande numero des-ses eventos pode ser tratada estatisticamente, emboraos eventos individuais sejam imprevisıveis (aleatorios).Por simetria, ou pura ignorancia dos eventos individu-ais, podemos supor que a quantidade de gotas que caemnuma determinada area seja proporcional ao tamanhoda area, ao intervalo de tempo em que se observa ofenomeno e da taxa media com que as gotas caem, vejaa Fig. 7.

Figura 7 - O numero de gotas de chuva que caem sobre uma placahorizontal, em um determinado intervalo de tempo, e proporcio-nal ao tamanho da area.

Se compararmos duas areas diferentes, expostas amesma chuva e durante um mesmo intervalo de temposuficientemente longo, podemos pensar empiricamenteque a razao das quantidades de gotas que caem nasareas seja a mesma razao das areas consideradas, res-pectivamente, isto e,

Na

Nb≈ Aa

Ab. (18)

Os meteorologistas costumam usar essa mesma ideiapara medir a quantidade de chuva que cai numa regiao,pois medem em milımetros (mm) a altura total (diaria,mensal ou anual) da coluna de agua que se forma dentrode um tubo (pluviometro).

O metodo de Monte Carlo [7] e um metodo desimulacao computacional que consiste em sortear umgrande numero de pontos aleatorios (x, y, z, . . .) numaregiao do espaco de volume V , e estimar o valormedio f de uma funcao destas variaveis f(x, y, z, . . .).

Page 7: Poderia Arquimedes ter calculado ˇ com areia e um bast~ao?Poderia Arquimedes ter calculado ˇ com areia e um bast~ao? 3305-3 Figura 2 - M etodo de Arquimedes para estimar o valor

Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastao? 3305-7

Determina-se numericamente a integral da funcao f so-bre um volume conhecido V , atraves da definicao dovalor medio,

f ≡ 1

V

∫V

f(x, y, z, . . .) dV . (19)

Aplicando-se esse metodo para o calculo da area deum cırculo, geramos pontos aleatorios (x, y) com dis-tribuicao uniforme dentro de um quadrado circunscritoa um cırculo, e verificamos quantos pontos pertencemao cırculo, para a determinacao numerica da fracao pda area do quadrado que pertence ao cırculo, e assim,determinamos π atraves da Eq. (10).

Quando falamos em escolher um ponto dentro doquadrado, nao se trata de uma escolha definida ou pre-visıvel, mas sim de uma escolha aleatoria, ou seja, quenao tem uma regra definida para a escolha dos pon-tos de forma que a escolha de um ponto nao tem ne-nhuma relacao com a escolha do ponto seguinte ou doponto anterior. Esta ideia intuitiva de aleatoriedade efundamental para a aplicacao deste metodo, pois se,por exemplo, definirmos que todos os pontos devemcair dentro do cırculo entao sabemos que todos os pon-tos irao pertencer ao cırculo, caracterizando assim umaprobabilidade viciada.

Para isso sortearemos N pontos dentro da regiao de-limitada pelo quadrado, isto e, no intervalo 0 ≤ x ≤ 1e 0 ≤ y ≤ 1, conforme a Fig. 8. Deste total de pontosuma certa quantidade Nc cairao dentro da cırculo.

O objetivo deste procedimento seria o de preenchertoda a area do quadrado com os pontos, resultando naarea total do quadrado, sendo que no limite em que Ntender a infinito teremos a area exata do quadrado e docırculo, cuja razao dara p, com o qual calculamos π.

Como nao se pode gerar infinitos pontos dentro deum quadrado, podemos obter sucessivas aproximacoespara π aumentando cada vez mais o numero de pontosN , permitindo assim que mecamos o valor de π com aprecisao que desejarmos. Para efeito de ilustracao mon-tamos a Tabela 7. com os respectivos valores de π paracada valor de N utilizado.

Tabela 5 - Aproximacoes de π obtidas pelo metodo de MonteCarlo.

Amostra N Nc π1 10 7 2,800000002 100 82 3,280000003 1.000 775 3,100000004 10.000 7.791 3,116400005 100.000 78.355 3,134200006 1.000.000 785.500 3,142000007 10.000.000 7.854.138 3,141655208 100.000.000 78.540.838 3,141633529 1.000.000.000 785.396.509 3,1415860410 10.000.000.000 7.853.983.189 3,1415932811 100.000.000.000 78.539.489.819 3,1415795912 1.000.000.000.000 785.397.975.760 3,14159190

A probabilidade p definida na Eq. (9) pode ser ava-liada numericamente pela fracao do numero de pontoque caem dentro do cırculo Nc, em relacao ao numerototal de pontos N , ou seja,

p =Nc

N, (20)

que substituıda na equacao (10) resultara,

π =4Nc

N, (21)

considerando-se um grande numero N de pontos.Usando o gerador randomico [13] sorteamos pontos

(x, y) dentro do quadrado unitario, e a distancia r decada ponto ao centro do cırculo e dada pela metricaeuclidiana r2 = (x− x0)

2 + (y − y0)2, onde (x0, y0) e o

centro do cırculo. O exemplo mostrado na Fig. 8 utilizaum cırculo de diametro unitario, ou seja, x0 = y0 = 1/2.Usando a medida r determinamos se o ponto sorteadopertence ou nao ao cırculo, no caso em que r ≤ R,e assim determinamos o numero de pontos Nc quepertencem ao cırculo. Por exemplo, a Fig. 8 mos-tra N = 10.000 pontos colocados na regiao delimitadapelo quadrado gerados com o programa de computa-dor listado no Apendice 9.2.. Neste exemplo, contamosNc = 7.863 pontos dentro cırculo, e portanto a probabi-lidade experimental de um dos N pontos ser encontradodentro do cırculo e p ≈ 7.863/10.000 = 0, 7863, ou seja,para essa simulacao simples podemos estimar o valorde π = 4p ≈ 3, 145. A convergencia do valor estimadopelo metodo de Monte Carlo para π e lenta, como emtodo metodo estatıstico, a media converge para o valoresperado (exato) com erro inversamente proporcional

a√N , de modo que para ganharmos cada novo dıgito

decimal, temos que aumentar N em um fator 100. Porexemplo, observe na Tabela 7., que para N = 1012 oerro na estimativa do valor π esta na sexta casa deci-mal, pois 1/

√1012 = 10−6.

Figura 8 - Exemplo do calculo de π via metodo de Monte Carlo,para N = 10.000 pontos aleatorios gerados sobre o quadrado,com Nc = 7.863 estao dentro do cırculo.

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3305-8 Dellajustina e Martins

Em linguagens de programacao usuais, como oFORTRAN e C, existem geradores de numerosaleatorios [14] nativos da propria linguagem. Emlinguagem C o gerador e chamado usando a funcaorand(), que retorna um inteiro aleatorio uniformementedistribuıdo no intervalo (0;RAND MAX), sendo ne-cessaria a conversao deste numero inteiro para os re-ais, dividindo-o pelo seu valor maximo RAND MAX,cujo resultado sera um numero aleatorio uniforme-mente distribuıdo no intervalo [0, 1]. Em FORTRAN,existe ja um gerador de numeros aleatorios reais, janormalizados no intervalo unitario, chamado RAND()ou DRAND(0), dependendo da versao da linguagem.Veja no apendice 9.2. uma implementacao computaci-onal em linguagem FORTRAN do metodo de MonteCarlo3. A partir deste programa geramos os dados vis-tos na Tabela 7. que sao as sucessivas aproximacoes deπ, para N = 10m, com m = 1, 2, 3, . . . , 12.

8. Conclusao

Revimos o metodo geometrico original de Arquimedespara o calculo de π e apresentamos um metodo experi-mental mecanico simples, que permite calcular π comareia e um bastao, apenas com uma medida simples decomprimento.

Apresentamos um modelo corrigido e um argumentofısico para sua implementacao, caso particular de ummodelo mais geral e exato, e mostramos que o modelocorrigido nada mais e que a correcao de primeira ordemdo modelo exato apresentado.

Introduzimos de forma intuitiva e aplicamos a ideiafundamental que levou ao metodo de Monte Carlo apli-cado para a determinacao numerica da constante π.

Recalculamos o valor de π usando diferentes nıveisde investigacao, desde a ideia original de Arquimedesate o metodo de Monte Carlo, mas abstrato, mas queutiliza ideias simples que poderiam ter sido exploradaspelo proprio Arquimedes, em seu tempo, pois chegou aresolver problemas muito mais complexos do que esse,mesmo para a sua epoca.

9. Apendices

9.1. Codigo C: metodo numerico

// −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−// Ca l c u l o de π por po l ıgonos i n s c r i t o s// e c i r c un s c r i t o s a um c ı rcu lo un i t a r i o// −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

#include<s t d i o . h>#include<s t d l i b . h>#include<math . h>

int main ( ){

int m;

double n , THETA, Ai , Ac , A360 ;

A360 = 2 .0 e0∗ acos (−1.0 e0 ) ; // 360 graus

for (m = 2 ; m < 32 ; m++){n = pow(2 . 0 e0 , m) ;THETA = A360/n ;Ai = (n/2 .0 e0 ) ∗ s i n (THETA) ;Ac = n ∗ tan (THETA/2.0 e0 ) ;p r i n t f ( ”%d %f %f %f \n” , m, n , Ai , Ac ) ;

}

return ( 0 ) ;}

9.2. Codigo FORTRAN: metodo de MonteCarlo

C ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗PROGRAM PIMETODOMONTECARLOIMPLICIT NONEINTEGER I ,M,NC,BLOCO,NDOUBLE PRECISION X,Y, S2 ,R2 , PI ,RAND

C ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗M=1NC=0BLOCO=10N=1000000000R2=1.0D0

CC INICIALIZA O GERADOR DRAND

CALL SRAND(1234567)C

DO I=1,N

C PONTO (X,Y) ALEATORIOX = 1.0D0∗RAND()Y = 1.0D0∗RAND()

C

C DISTANCIA DE (X,Y) AO CENTRO (0 ,0 )S2 = X∗X + Y∗Y

C

C PONTO ESTA DENTRO DO CIRCULO?IF ( S2 .LE. R2) NC = NC + 1

CC APROXIMA O VALOR DE π

PI = 4 .0D0 ∗ DFLOAT(NC) / IC

C IMPRIME A CADA POTENCIA DE 10IF (MOD( I ,BLOCO) .EQ. 0 ) THEN

WRITE(∗ , 1 ) M, I , NC, 4 .0D0∗PIBLOCO = BLOCO ∗ 10M = M + 1

ENDIFENDDO

1 FORMAT( I2 , 2 I16 , F18 . 1 5 )END

Referencias

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[2] B.T. and D. Garber. Historia Mathematica 25, 75(1998).

[3] L. Cooper. Historia Mathematica 38 (4), 455 (2011).

3Nesta implementacao utilizamos apenas 1/4 de cırculo para simplificacao do codigo e maior velocidade de calculo.

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Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastao? 3305-9

[4] S. Psycharis. Computers & Education 56, 547 (2011).

[5] N. Rutten, W.R. van Joolingen and J.T. van der Veen.Computers & Education 58, 136 (2012).

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[9] K. von Fritz. Annals of Mathematics 46, 242 (1945).

[10] J.M. Ferrater Dicionario de Filosofia (Dom Quixote,Lisboa, 1978). Preparado por E.G.A. Belsunce e E.Olaso, traduzido do espanhol por A.J. Massano e M.Palmeirim.

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[12] W.C. Krumbein. J. of Sed. Pretrol 4, 65 (1934).

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