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  • Revista Brasileira de Ensino de F́ısica, v. 36, n. 3, 3305 (2014) www.sbfisica.org.br

    Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastão? (Could Archimedes have calculated π with sand and a stick?)

    Fernanda J. Dellajustina1, Luciano C. Martins

    Departamento de F́ısica, Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, SC, Brasil Recebido em 17/2/14; Aceito em 23/3/14; Publicado em 31/7/2014

    Neste artigo propomos três métodos para determinar numericamente o valor de uma das constantes mais famosas e importantes da matemática, a constante π. Apresentamos um método numérico inspirado no método original de Arquimedes, um método mecânico experimental que utiliza areia e um bastão, e finalmente, a partir de um modelo baseado na ideia de probabilidade, o método de Monte Carlo que é usado para a determinação de π. O aparato experimental usado é bastante simples e de baixo custo, facilitando a utilização do método experimental e sua aplicação no ensino de f́ısica e matemática em escolas de Ensino Médio. Palavras-chave: valor numérico de π, método experimental para obter π, método de Monte Carlo para calcu- lar π.

    We propose three methods to numerically determine the value of one of the most famous and important mathematical constants, the constant π. We present a numerical method inspired by the original method of Archimedes, an experimental mechanical method that uses sand and a stick, and finally, from a model based on the idea of probability, the Monte Carlo method is used for the evaluation of π. The experimental apparatus is very simple and of low cost, which makes easy the use of the experimental method and its application in physics and mathematics courses at high-school level. Keywords: numerical value of π, experimental method to determine π, Monte Carlo method to determine π.

    1. Introdução

    Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.), um dos mais importantes cientistas da antiguidade [1], entre outras façanhas calculou quantos grãos de areia haveria no uni- verso. Para isso utilizou o modelo heliocêntrico de Aris- tarco de Samos, e quase todo o conhecimento de sua época, tendo sido um dos pioneiros na construção de um sistema numérico para operar e representar números gi- gantes. Ele muitas vezes fazia seus cálculos escrevendo na areia, com um bastão, pois nessa época o papel era raro e precioso demais para rascunhos e desenhos.

    Dentre muitos feitos inovadores para a ciência, Ar- quimedes utilizou um engenhoso método geométrico para estimar um intervalo de valores numéricos que de- limitou o valor de uma das constantes mais famosas e importantes da matemática, a constante π. Poderia Arquimedes ter determinado experimentalmente o va- lor dessa constante utilizando apenas areia, o seu bastão como alavanca e considerações de simetria e aleatorie- dade? A resposta a essa pergunta é sim, como demons-

    traremos nesse trabalho.

    O número π é conhecido desde a Babilônia de onde se tem os primeiros registros de aproximações numéricas do valor da constante [2]. Acredita-se também que os eǵıpcios tinham conhecimento do valor de π, o qual foi utilizado para a construção da grande pirâmide de Gizé que possui um peŕımetro de 1.760 côvados2 e uma altura de 280 côvados, de forma que a relação 1.760/280 ≈ 6, 29 que é aproximadamente iguai 2π ≈ 6, 28 [3].

    Abordagens instrucionais contemporâneas esperam os alunos se tornem produtores ativos de conhecimento. Isso leva à necessidade de criação de ferramentas de en- sino e tarefas que podem oferecer aos alunos oportuni- dades de aprendizagem ativa [4]. Neste estudo utiliza- mos a experiência computacional como uma integração da ciência computacional com o método de aprendi- zagem por descoberta. O experimento computacional suporta ambos os tipos de pesquisa, a exploração ex- perimental, bem como a pesquisa criativa, ajudando os alunos a desenvolver modelos não só de exploração, mas

    1E-mail: fernandadellajustina@gmail.com.

    2Unidade de medida de comprimento que foi usada por diversas civilizações antigas, entre eles os babilônios, eǵıpcios e hebreus. Era baseada no comprimento do antebraço, da ponta do dedo médio até o cotovelo. O côvado real dos antigos eǵıpcios media 50 cm, o dos romanos media 45 cm.

    Copyright by the Sociedade Brasileira de F́ısica. Printed in Brazil.

  • 3305-2 Dellajustina e Martins

    também de modelos consistentes. A extensa literatura cient́ıfica é uma evidência robusta de que as simulações de computador podem melhorar a instrução tradicional, especialmente na medida em que as atividades labora- toriais são consideradas [5, 6].

    Propomos um experimento prático e simples que ilustra o conceito emṕırico de probabilidade e como se pode chegar intuitivamente na ideia central do método de Monte Carlo [7], muito utilizado em simulações numéricas feitas em computadores. No experimento proposto, apenas uma medida linear simples feita com régua será usada para a determinação da constante π, com o uso de areia e um bastão apoiado, para equilibrar e comparar massas como uma balança primitiva.

    Para revisão e motivação, apresentamos na Seção 2. a relevância e a utilidade prática da constante π, pra que se possa entender melhor o porque de tanto inte- resse e esforço histórico de tantos povos e civilizações na sua determinação.

    Discutimos brevemente na Seção 3. o método ori- ginal de Arquimedes para a determinação geométrica de π, que a seguir será comparado com outros três métodos, um método numérico, um método experimen- tal e outro por simulação computacional, o método de Monte Carlo [7,8], respectivamente nas Seções. 4. a 7..

    Ao final, na Seção 8., comparamos os métodos apre- sentados e resumimos as principais conclusões finais deste trabalho.

    2. Qual a utilidade da constante π?

    O número π, é definido como a razão do peŕımetro S de uma circunferência pelo seu diâmetro D, ou seja,

    π ≡ S D

    , (1)

    e a partir desta definição, o peŕımetro da circunferência pode ser escrito como S = 2πR, já que o seu diâmetro é D = 2R.

    A área do ćırculo pode ser obtida a partir do seu peŕımetro usando-se o seguinte argumento geométrico. Considere um ćırculo partido em N setores idênticos, sendo N um número par. Por exemplo, para N = 4, veja a Fig. 1A. Reorganizando-se os setores do ćırculo conforme mostra a Fig. 1B, dividindo-se esse padrão ao meio e dispondo-os como mostra a Fig. 1C, obte- mos uma primeira aproximação para a área do ćırculo, considerando o retângulo de base πR e altura R, sendo

    A ≈ πR2 , (2)

    já que existe uma pequena diferença entre as áreas do retângulo e dos setores originais do ćırculo. Ao se divi- dir o ćırculo em um grande número de partes (N ≫ 4), obteremos uma melhor aproximação com a área do retângulo da Fig. 1C, e pode-se mostrar que no limite N → ∞, a fórmula aproximada dada pela Eq. (2) se torna exata, ou seja, uma igualdade.

    Figura 1 - Ćırculo de raio R partido em 4 setores idênticos, B) os setores alinhados e C) reorganizados na forma aproximada de um retângulo.

    Um racioćınio análogo pode ser usado para a ob- tenção do volume de uma esfera, seccionando-a em N setores esféricos idênticos e reorganizando-os na forma aproximada de um paraleleṕıpedo, que no limite N → ∞ terá o volume exato da esfera V = 4πR3/3.

    Em resumo, o peŕımetro de uma circunferência, á área de um ćırculo e o volume de uma esfera, são quan- tidades geométricas diretamente proporcionais ao valor da constante π, dáı a importância do seu cálculo exato. Todas essas relações envolvendo a constante π foram de- monstradas rigorosamente por Arquimedes através do método da exaustão de Eudoxo, e apresentadas nos seus livros A Medida do Cı́rculo e Sobre a Esfera e o Cilin- dro.

    3. O método geométrico de Arquimedes

    No ano de 250 a.C. Arquimedes estimou o valor de π, através de um engenhoso método geométrico, uti- lizando poĺıgonos regulares inscritos e circunscritos a uma circunferência de diâmetro unitário, e portanto de peŕımetro π, conforme prevê a Eq. (1). Como o peŕımetro do poĺıgono inscrito Si é menor que o peŕımetro da circunferência, e este, menor que o peŕımetro do poĺıgono circunscrito Sc, Arquimedes de- limitou um intervalo para o valor da constante procu- rada, ou seja,

    Si < π < Sc . (3)

    A medida que o número de lados dos poĺıgonos for sendo aumentado, o valor de π poderá ser calculado com uma precisão cada vez maior, pois o peŕımetro dos poĺıgonos tendem ao da circunferência.

    Por exemplo, utilizando inicialmente quadrados e a seguir octógonos, poĺıgonos regulares de quatro e oito lados, respectivamente, obtemos os desenhos da Figs. 2A e 2B, e sucessivamente podemos ir dobrando o número de lados para que os peŕımetros das três figu- ras se aproxime cada vez mais. Observa-se na Fig. 2D, para n = 32, já quase não há diferença visual entre as três figuras geométricas.

  • Poderia Arquimedes ter calculado π com areia e um bastão? 3305-3

    Figura 2 - Método de Arquimedes para estimar o valor de π por poĺıgonos regulares inscritos e circunscritos numa circunferência, para poĺıgonos de 4, 8, 16 e 32 lados.

    A ideia é simples, mas os cálculos necessários são trabal