Calculo Diferencial e Integral I – CDI I

Limites laterais e limites envolvendo o infinitoLuiza Amalia Pinto Cantao

luiza@sorocaba.unesp.br

Limites

1 Limites Laterais

a a diretia

b a esquerda

c Definicao precisa de limites laterais

2 Limites envolvendosen θ

θ

3 Limites finitos quando x→ ±∞

4 Limites no infinito de funcoes racionais

a Assıntotas horizontais e verticais

b Assıntotas obıquas

Introducao

Limites laterais e limites envolvendo o infinito:

• Limites Laterais: os limites quando x se aproxima do numero x0 pelaesquerda (x < x0) ou pela direita (x > x0) apenas.

• Limites envolvendo o infinito: analise grafica de funcoes racionaise de funcoes que apresentam comportamento de limite a medida quex→ ±∞.

Limites Laterais

Ideia: Para termos limx→x0

f (x) = L, f (x) deve ser definida em ambos os lados

de x0 e seus valores f (x) devem se aproximar de L quando x se aproximade x0 de cada lado. Por isso, limites comuns sao bilaterais

Se f (x) nao tem um limite bilateral em x0, ainda pode ter um limite lateral,ou seja, um limite cuja aproximacao ocorre apenas de um lado.

Qual o comportamento do limite quando limx→0

x

|x|?

Limite lateral a direita

Ideia : Se f (x) e definica num intervalo (x0, x0 + δ), onde x0 < x0 + δ e sef (x) fica arbritariamente proximo de L conforme x se aproxima de x0 nesseintervalo, entao f tem limite lateral a direita L em x0. Escrevemos:

limx→x+o

f (x) = L

“x→ x+o ” significa que consideramos apenas valores de x maiores que x0.

Assim,

limx→0+

x

|x|= 1

Limite lateral a esquerda

Analogamente: Se f (x) e definido num intervalo (x0−δ, x0), onde x0−δ <x0 e se f (x) fica arbritariamente proximo de M , conforme x se aproximade x0 nesse intervalo, entao f tem limite lateral a esquerda M em x0.Escrevemos:

limx→x−o

f (x) =M

“x→ x−o ” significa que consideramos apenas valores de x menores que x0.

Assim,

limx→0−

x

|x|= −1

1◦¯ Exemplo: Considere f (x) =√r2 − x2. Analise os limites laterais em r e

−r.

Teorema

Teorema: Uma funcao f (x) tera um limite quando x se aproxima de x0 se esomente se tiver um limite lateral a direita e um a esquerda, e os dois limiteslaterais forem iguais:

limx→0

f (x) = L ⇐⇒ limx→0+

f (x) = L e limx→0−

f (x) = L

2◦¯ Exemplo: Seja

f (x) =

3− x, x < 2

2, x = 2x

2, x > 0

Determine:

a) limx→2+

f (x)

b) limx→2−

f (x)

c) f (2)

d) Existe limx→2

f (x) ?

e) Se existe, qual ?

f) Se nao, por que?

Definicao precisa de limites laterais

Limites a direita e a esquerda: Dizemos que f (x) tem um limite a di-reita L em x0 e escrevemos

limx→x+0

f (x) = L

se para qualquer numero ε > 0 existe um numero correspondente δ > 0, demaneira que, para todos os valores de x,

x0 < x < x0 + δ =⇒ |f (x)− L| < ε.

Dizemos que f (x) tem um limite a esquerda L em x0 e escrevemos

limx→x−0

f (x) = L

se para qualquer numero ε > 0 existe um numero correspondente δ > 0, demaneira que, para todos os valores de x,

x0 − δ < x < x0 =⇒ |f (x)− L| < ε.

Limites laterais a direita — Ilustracao Grafica

Limites laterais a esquerda — Ilustracao Grafica

Exemplos

3◦¯ Exemplo: Calcule os limites abaixo:

a) limx→1+

√2x(x− 1)

|x− 1|b) lim

x→1−

√2x(x− 1)

|x− 1|

4◦¯ Exemplo: y = sen

(1

x

)

Limite envolvendosen(θ)

θIdeia: Medindo em radianos, seu limite quando θ → 0 e 1.

Teorema:

limθ→0

sen θ

θ= 1 (θ em radianos )

5◦¯ Exemplo: Calcule os limites abaixo:

a) limx→0

1− cosx

x2b) lim

x→0

sen 3x

x

Limite quando x→ ±∞

∞: O sımbolo para o infinito ∞ nao representa um numero real. Representao comportamento de uma funcao quando os valores em seu domınio ouimagem ultrapassam qualquer limitante.

Definicao: 1. Dizemos que f (x) possui o limite L quando x tende ao infinitoe escrevemos:

limx→∞

f (x) = L

se, para cada numero ε > 0, existe um numero M correspondente talque, para todos os valores de x,

x > M =⇒ |f (x)− L| < ε

2. Dizemos que f (x) possui o limite L quando x tende a menos infinito eescrevemos:

limx→−∞

f (x) = L

se, para cada numero ε > 0, existe um numero N correspondente talque, para todos os valores de x,

x < N =⇒ |f (x)− L| < ε

Grafico da funcao f (x) =1

x

f (x) =1

x

6◦¯ Exemplo: Demonstre que

a) limx→∞

1

x= 0 a) lim

x→−∞

1

x= 0

Leis do limite quando x→ ±∞

Teorema: Se L, M e k sao numeros reais e

limx→±∞

f (x) = L e limx→±∞

g(x) =M entao

1. Regra da soma limx→±∞

f (x) + g(x) = L +M ;

2. Regra da diferenca: limx→±∞

f (x)− g(x) = L−M ;

3. Regra do produto: limx→±∞

f (x) · g(x) = L ·M ;

4. Regra da multiplicacao por constante: limx→±∞

(k · f (x)) = k · L;

5. Regra do quociente: limx→±∞

f (x)

g(x)=L

M, M 6= 0;

6. Regra da potenciacao: Se r e s sao inteiros e nao tem fatores comuns,s 6= 0, entao: lim

x→±∞(f (x))

rs = L

rs ; desde que L

rs seja um numero real.

7◦¯ Exemplo: Aplique as regras para limites quando x→ ±∞

a) limx→∞

(π +

1

x

)b) lim

x→∞

√e

x3

Limites no infinito de funcoes racionais

Idea: Para calcular limx→±∞

P (x)

Q(x), podemos dividir o numerador e o denominador

pela maior potencia de x que aparece no denominador.

8◦¯ Exemplo: Numerador e denominador de mesmo grau:

limx→±∞

2x2 − 5

3x2 + x + 2;

9◦¯ Exemplo: Grau (numerador) < grau (denominador):

limx→±∞

2x2 − 5

3x4 + x + 2;

10◦¯ Exemplo: Grau (numerador) > grau (denominador):

limx→±∞

2x3 − 5

3x2 + x + 2;

Assıntotas Horizontais e Verticais

Idea: Vejamos a seguinte funcao f (x) =1

x. Note que:

i) limx→∞

1

x= 0 e lim

x→−∞

1

x= 0.

Nesse caso dizemos que y = 0 e uma assıntota horizontal de f (x).

ii) limx→0+

1

x= +∞ e lim

x→0−

1

x= −∞.

Nesse caso dizemos que x = 0 e uma assıntota vertical de f (x).

Definicao de Assıntotas Horizontais e Verticais

Definicao: A reta y = b e uma assıntota horizontal de y = f (x) se:

limx→∞

f (x) = b ou limx→−∞

f (x) = b

A reta x = a e uma assıntota vertical de y = f (x) se:

limx→a+

f (x) = ±∞ ou limx→a−

f (x) = ±∞

Exexmplo e Assıntotas Obıquas

11◦¯ Exemplo: Encontre as assıntotas do grafico y =x + 3

x + 2.

Assıntota Oblıquas: Caso numerador de uma funcao tenha um grau maior doque o denominador, o grafico apresentara uma assıntota oblıqua (inclinada).Encontramos uma equacao para a assıntota dividindo o numerador pelodenominador para expressar f como uma funcao linear mais um resto que eigual a zero quando x→ 0.

12◦¯ Exemplo: Encontre as assıntotas do grafico y =x2 − 4

x− 1.

Definicao precisa de limites infinitos

Definicao:

1. Dizemos que f (x) tende ao infinito quando x tende a x0 e escre-vemos

limx→x0

f (x) =∞

se para cada numero real positivo B existe um δ > 0 correspondente talque para todo x

0 < |x− x0| < δ =⇒ f (x) > B

2. Dizemos que f (x) tende a menos infinito quando x tende a x0 eescrevemos

limx→x0

f (x) = −∞

se para cada numero real negativo −B existe um δ > 0 correspondentetal que para todo x

0 < |x− x0| < δ =⇒ f (x) > −B

Definicao precisa de limites infinitos — Graficamente

Assıntota Vertical

Definicao: Uma reta x = a e uma assıntota vertical do grafico de umafuncao y = f (x) se

limx→a+

f (x) = ±∞ e limx→a−

f (x) = ±∞

Assıntotas nao bilaterais: y = ex e y = lnx

Curvas com infinitas assıntotas