Post on 10-Jan-2017
Bases MatemáticasLimites Infinitos, Limites no Infinito, Assíntotas
Rodrigo Hausen
v. 2016-8-17 1/19
Limites infinitos
Definição. Dizemos que limx→a
f (x) = +∞ se, para todo M > 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) > M
Definição. Dizemos que limx→a
f (x) = −∞ se, para todo M < 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) < M
v. 2016-8-17 2/19
Regras para limites infinitos
Podemos demonstrar pela definição:Regra 1. Se lim
x→af (x) = +∞ ou lim
x→af (x) = −∞, então lim
x→a
1f (x)
= 0
Regra 2.1 Se limx→a
f (x) = 0 e além disto f (x) > 0 para todo x ,
então limx→a
1f (x)
= +∞
Regra 2.2 Se limx→a
f (x) = 0 e além disto f (x) < 0 para todo x ,
então limx→a
1f (x)
= −∞
(além do limite ser igual a 0, as condições f (x) > 0 e f (x) < 0 sãoessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)
v. 2016-8-17 3/19
Regras para limites infinitos
Podemos demonstrar pela definição:Regra 1. Se lim
x→af (x) = +∞ ou lim
x→af (x) = −∞, então lim
x→a
1f (x)
= 0
Regra 2.1 Se limx→a
f (x) = 0 e além disto f (x) > 0 para todo x ,
então limx→a
1f (x)
= +∞
Regra 2.2 Se limx→a
f (x) = 0 e além disto f (x) < 0 para todo x ,
então limx→a
1f (x)
= −∞
(além do limite ser igual a 0, as condições f (x) > 0 e f (x) < 0 sãoessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)
v. 2016-8-17 3/19
Regras para limites infinitos
Podemos demonstrar pela definição:Regra 1. Se lim
x→af (x) = +∞ ou lim
x→af (x) = −∞, então lim
x→a
1f (x)
= 0
Regra 2.1 Se limx→a
f (x) = 0 e além disto f (x) > 0 para todo x ,
então limx→a
1f (x)
= +∞
Regra 2.2 Se limx→a
f (x) = 0 e além disto f (x) < 0 para todo x ,
então limx→a
1f (x)
= −∞
(além do limite ser igual a 0, as condições f (x) > 0 e f (x) < 0 sãoessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)
v. 2016-8-17 3/19
Regras para limites infinitos
Podemos demonstrar pela definição:Regra 1. Se lim
x→af (x) = +∞ ou lim
x→af (x) = −∞, então lim
x→a
1f (x)
= 0
Regra 2.1 Se limx→a
f (x) = 0 e além disto f (x) > 0 para todo x ,
então limx→a
1f (x)
= +∞
Regra 2.2 Se limx→a
f (x) = 0 e além disto f (x) < 0 para todo x ,
então limx→a
1f (x)
= −∞
(além do limite ser igual a 0, as condições f (x) > 0 e f (x) < 0 sãoessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)
v. 2016-8-17 3/19
Regras para limites infinitos
Regra 3. Se limx→a
f (x) = +∞ e limx→a
g(x) = +∞,então lim
x→af (x) + g(x) = +∞ e lim
x→af (x)g(x) = +∞
Regra 4. Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = −∞,então lim
x→af (x) + g(x) = −∞ e lim
x→af (x)g(x) = +∞
(cuidado com a mudança de sinal no produto!)
Regra 5. Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = +∞,então lim
x→af (x)g(x) = −∞
(neste caso, o que podemos dizer sobre limx→a
f (x) + g(x)?Nada, a não ser que analisemos por outra regra!)
v. 2016-8-17 4/19
Regras para limites infinitos
Regra 3. Se limx→a
f (x) = +∞ e limx→a
g(x) = +∞,então lim
x→af (x) + g(x) = +∞ e lim
x→af (x)g(x) = +∞
Regra 4. Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = −∞,então lim
x→af (x) + g(x) = −∞ e lim
x→af (x)g(x) = +∞
(cuidado com a mudança de sinal no produto!)
Regra 5. Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = +∞,então lim
x→af (x)g(x) = −∞
(neste caso, o que podemos dizer sobre limx→a
f (x) + g(x)?Nada, a não ser que analisemos por outra regra!)
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Regras para limites infinitos
Regra 3. Se limx→a
f (x) = +∞ e limx→a
g(x) = +∞,então lim
x→af (x) + g(x) = +∞ e lim
x→af (x)g(x) = +∞
Regra 4. Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = −∞,então lim
x→af (x) + g(x) = −∞ e lim
x→af (x)g(x) = +∞
(cuidado com a mudança de sinal no produto!)
Regra 5. Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = +∞,então lim
x→af (x)g(x) = −∞
(neste caso, o que podemos dizer sobre limx→a
f (x) + g(x)?Nada, a não ser que analisemos por outra regra!)
v. 2016-8-17 4/19
Regras para limites infinitos
Regra 3. Se limx→a
f (x) = +∞ e limx→a
g(x) = +∞,então lim
x→af (x) + g(x) = +∞ e lim
x→af (x)g(x) = +∞
Regra 4. Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = −∞,então lim
x→af (x) + g(x) = −∞ e lim
x→af (x)g(x) = +∞
(cuidado com a mudança de sinal no produto!)
Regra 5. Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = +∞,então lim
x→af (x)g(x) = −∞
(neste caso, o que podemos dizer sobre limx→a
f (x) + g(x)?
Nada, a não ser que analisemos por outra regra!)
v. 2016-8-17 4/19
Regras para limites infinitos
Regra 3. Se limx→a
f (x) = +∞ e limx→a
g(x) = +∞,então lim
x→af (x) + g(x) = +∞ e lim
x→af (x)g(x) = +∞
Regra 4. Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = −∞,então lim
x→af (x) + g(x) = −∞ e lim
x→af (x)g(x) = +∞
(cuidado com a mudança de sinal no produto!)
Regra 5. Se limx→a
f (x) = −∞ e limx→a
g(x) = +∞,então lim
x→af (x)g(x) = −∞
(neste caso, o que podemos dizer sobre limx→a
f (x) + g(x)?Nada, a não ser que analisemos por outra regra!)
v. 2016-8-17 4/19
Regras para limites infinitos
Regra 6. Se limx→a
f (x) = L e limx→a
g(x) = +∞, então:
6.1. limx→a
f (x) + g(x) = +∞
6.2. (a) Se L > 0, limx→a
f (x)g(x) = +∞(b) Se L < 0, lim
x→af (x)g(x) = −∞
6.3. (a) Se L > 0, limx→a
g(x)f (x)
= +∞. (b) Se L < 0, limx→a
g(x)f (x)
= −∞
6.5. limx→a
f (x)g(x)
= 0
(Se limx→a
f (x) = 0 e limx→a
g(x) = +∞, que podemos afirmar sobre limx→a
g(x)f (x)
?
Nada, a menos que usemos outro método!)
Regra 7. Se limx→a
f (x) = L e limx→a
g(x) = −∞, então. . .
Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definições delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.
v. 2016-8-17 5/19
Regras para limites infinitos
Regra 6. Se limx→a
f (x) = L e limx→a
g(x) = +∞, então:
6.1. limx→a
f (x) + g(x) = +∞
6.2. (a) Se L > 0, limx→a
f (x)g(x) = +∞(b) Se L < 0, lim
x→af (x)g(x) = −∞
6.3. (a) Se L > 0, limx→a
g(x)f (x)
= +∞. (b) Se L < 0, limx→a
g(x)f (x)
= −∞
6.5. limx→a
f (x)g(x)
= 0
(Se limx→a
f (x) = 0 e limx→a
g(x) = +∞, que podemos afirmar sobre limx→a
g(x)f (x)
?
Nada, a menos que usemos outro método!)
Regra 7. Se limx→a
f (x) = L e limx→a
g(x) = −∞, então. . .
Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definições delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.
v. 2016-8-17 5/19
Regras para limites infinitos
Regra 6. Se limx→a
f (x) = L e limx→a
g(x) = +∞, então:
6.1. limx→a
f (x) + g(x) = +∞
6.2. (a) Se L > 0, limx→a
f (x)g(x) = +∞(b) Se L < 0, lim
x→af (x)g(x) = −∞
6.3. (a) Se L > 0, limx→a
g(x)f (x)
= +∞. (b) Se L < 0, limx→a
g(x)f (x)
= −∞
6.5. limx→a
f (x)g(x)
= 0
(Se limx→a
f (x) = 0 e limx→a
g(x) = +∞, que podemos afirmar sobre limx→a
g(x)f (x)
?
Nada, a menos que usemos outro método!)
Regra 7. Se limx→a
f (x) = L e limx→a
g(x) = −∞, então. . .
Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definições delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.
v. 2016-8-17 5/19
Regras para limites infinitos
Regra 6. Se limx→a
f (x) = L e limx→a
g(x) = +∞, então:
6.1. limx→a
f (x) + g(x) = +∞
6.2. (a) Se L > 0, limx→a
f (x)g(x) = +∞(b) Se L < 0, lim
x→af (x)g(x) = −∞
6.3. (a) Se L > 0, limx→a
g(x)f (x)
= +∞. (b) Se L < 0, limx→a
g(x)f (x)
= −∞
6.5. limx→a
f (x)g(x)
= 0
(Se limx→a
f (x) = 0 e limx→a
g(x) = +∞, que podemos afirmar sobre limx→a
g(x)f (x)
?
Nada, a menos que usemos outro método!)
Regra 7. Se limx→a
f (x) = L e limx→a
g(x) = −∞, então. . .
Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definições delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.
v. 2016-8-17 5/19
Regras para limites infinitos
Regra 6. Se limx→a
f (x) = L e limx→a
g(x) = +∞, então:
6.1. limx→a
f (x) + g(x) = +∞
6.2. (a) Se L > 0, limx→a
f (x)g(x) = +∞(b) Se L < 0, lim
x→af (x)g(x) = −∞
6.3. (a) Se L > 0, limx→a
g(x)f (x)
= +∞. (b) Se L < 0, limx→a
g(x)f (x)
= −∞
6.5. limx→a
f (x)g(x)
= 0
(Se limx→a
f (x) = 0 e limx→a
g(x) = +∞, que podemos afirmar sobre limx→a
g(x)f (x)
?
Nada, a menos que usemos outro método!)
Regra 7. Se limx→a
f (x) = L e limx→a
g(x) = −∞, então. . .
Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definições delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.
v. 2016-8-17 5/19
Limites laterais infinitos
Note que não podemos afirmar que limx→0
1x
é +∞ nem −∞
-3
-2
-1
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
Porém, note que o valor de 1/x cresce arbitrariamente à medidaque x se aproxima de 0 pela direita, e decresce arbitrariamente àmedida que x se aproxima de 0 pela esquerda.
v. 2016-8-17 6/19
Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = +∞ se para
todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M
● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = −∞ se para
todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M
● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = −∞ separa todo M < 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) < M
v. 2016-8-17 7/19
Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = +∞ se para
todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M
● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M
● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que limx→a+
f (x) = −∞ se paratodo M < 0 existe δ > 0 tal que
0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que lim
x→a−f (x) = −∞ se
para todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < a − x < δ ⇒ f (x) < M
v. 2016-8-17 7/19
Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = +∞ se para
todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M
● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = −∞ se para
todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M
● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = −∞ separa todo M < 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) < M
v. 2016-8-17 7/19
Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = +∞ se para
todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M
● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que lim
x→a+f (x) = −∞ se para
todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M
● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−
f (x) = −∞ separa todo M < 0 existe δ > 0 tal que
0 < a − x < δ ⇒ f (x) < Mv. 2016-8-17 7/19
Limites laterais infinitos
Veja que limx→0+
1x= +∞ e que lim
x→0−1x= −∞.
-3
-2
-1
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
Para casa: demonstre formalmente (usando a definição).
v. 2016-8-17 8/19
Limites no infinitoO conceito de limites pode ser expandido para descrevermosmelhor o comportamento de funções e gráficos.
Exemplo. f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. Qual o comportamento da
função quando x se torna muito grande (positivo)? E quando setorna muito pequeno (negativo)?
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
v. 2016-8-17 9/19
Limites no infinitoO conceito de limites pode ser expandido para descrevermosmelhor o comportamento de funções e gráficos.
Exemplo. f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. Qual o comportamento da
função quando x se torna muito grande (positivo)? E quando setorna muito pequeno (negativo)?
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
v. 2016-8-17 9/19
Limites no infinitoO conceito de limites pode ser expandido para descrevermosmelhor o comportamento de funções e gráficos.
Exemplo. f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. Qual o comportamento da
função quando x se torna muito grande (positivo)? E quando setorna muito pequeno (negativo)?
-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.533.544.555.566.57
-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
v. 2016-8-17 9/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,04975186
10 1,35355339100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,49751859
1000 1,4999750010000 1,49999975
105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975
105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814
-10 0,64644661-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140
-1000 0,50002499-10000 0,50000024
-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024
-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito
Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
. . .
. . . para x “muito grande:”
x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339
100 1,497518591000 1,49997500
10000 1,49999975105 1,49999999
. . . para x “muito pequeno:”
x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661
-100 0,50248140-1000 0,50002499
-10000 0,50000024-105 0,50000001
Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5
v. 2016-8-17 10/19
Limites no infinito: definição
Definição. Dizemos que limx→+∞ f (x) = L se:
para todo ε > 0 existe N > 0 tal que vale a implicação
x > N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
Definição. Dizemos que limx→−∞ f (x) = L se:
para todo ε > 0 existe N < 0 tal que vale a implicação
x < N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
Limites fundamentais. Das definições, temos
limx→−∞
1x= 0 e lim
x→+∞1x= 0
Regras algébricas. Similares às regras para limites em um ponto.
v. 2016-8-17 11/19
Limites no infinito: definição
Definição. Dizemos que limx→+∞ f (x) = L se:
para todo ε > 0 existe N > 0 tal que vale a implicação
x > N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
Definição. Dizemos que limx→−∞ f (x) = L se:
para todo ε > 0 existe N < 0 tal que vale a implicação
x < N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
Limites fundamentais. Das definições, temos
limx→−∞
1x= 0 e lim
x→+∞1x= 0
Regras algébricas. Similares às regras para limites em um ponto.
v. 2016-8-17 11/19
Limites no infinito: definição
Definição. Dizemos que limx→+∞ f (x) = L se:
para todo ε > 0 existe N > 0 tal que vale a implicação
x > N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
Definição. Dizemos que limx→−∞ f (x) = L se:
para todo ε > 0 existe N < 0 tal que vale a implicação
x < N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
Limites fundamentais. Das definições, temos
limx→−∞
1x= 0 e lim
x→+∞1x= 0
Regras algébricas. Similares às regras para limites em um ponto.
v. 2016-8-17 11/19
Limites no infinito: definição
Definição. Dizemos que limx→+∞ f (x) = L se:
para todo ε > 0 existe N > 0 tal que vale a implicação
x > N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
Definição. Dizemos que limx→−∞ f (x) = L se:
para todo ε > 0 existe N < 0 tal que vale a implicação
x < N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε
Limites fundamentais. Das definições, temos
limx→−∞
1x= 0 e lim
x→+∞1x= 0
Regras algébricas. Similares às regras para limites em um ponto.
v. 2016-8-17 11/19
Limites infinitos: exemplo
Exemplo. Calcule limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
.
Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.
limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
= limx→−∞
x +√
x2 (4 + 400x2 )
√
x2 (4 + 400x2 )
=
= limx→−∞
x + ∣x ∣√
4 + 400x2
∣x ∣√
4 + 400x2
= limx→−∞
x − x√
4 + 400x2
−x√
4 + 400x2
= limx→−∞
1 −√
4 + 400x2
−√
4 + 400x2
=1 −√4 + 0
−√4 + 0
=1 − 2−2
=12
∎
Para casa. Calcule limx→+∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
v. 2016-8-17 12/19
Limites infinitos: exemplo
Exemplo. Calcule limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
.
Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.
limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
=
limx→−∞
x +√
x2 (4 + 400x2 )
√
x2 (4 + 400x2 )
=
= limx→−∞
x + ∣x ∣√
4 + 400x2
∣x ∣√
4 + 400x2
= limx→−∞
x − x√
4 + 400x2
−x√
4 + 400x2
= limx→−∞
1 −√
4 + 400x2
−√
4 + 400x2
=1 −√4 + 0
−√4 + 0
=1 − 2−2
=12
∎
Para casa. Calcule limx→+∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
v. 2016-8-17 12/19
Limites infinitos: exemplo
Exemplo. Calcule limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
.
Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.
limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
= limx→−∞
x +√
x2 (4 + 400x2 )
√
x2 (4 + 400x2 )
=
= limx→−∞
x + ∣x ∣√
4 + 400x2
∣x ∣√
4 + 400x2
= limx→−∞
x − x√
4 + 400x2
−x√
4 + 400x2
= limx→−∞
1 −√
4 + 400x2
−√
4 + 400x2
=1 −√4 + 0
−√4 + 0
=1 − 2−2
=12
∎
Para casa. Calcule limx→+∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
v. 2016-8-17 12/19
Limites infinitos: exemplo
Exemplo. Calcule limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
.
Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.
limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
= limx→−∞
x +√
x2 (4 + 400x2 )
√
x2 (4 + 400x2 )
=
= limx→−∞
x + ∣x ∣√
4 + 400x2
∣x ∣√
4 + 400x2
= limx→−∞
x − x√
4 + 400x2
−x√
4 + 400x2
= limx→−∞
1 −√
4 + 400x2
−√
4 + 400x2
=1 −√4 + 0
−√4 + 0
=1 − 2−2
=12
∎
Para casa. Calcule limx→+∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
v. 2016-8-17 12/19
Limites infinitos: exemplo
Exemplo. Calcule limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
.
Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.
limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
= limx→−∞
x +√
x2 (4 + 400x2 )
√
x2 (4 + 400x2 )
=
= limx→−∞
x + ∣x ∣√
4 + 400x2
∣x ∣√
4 + 400x2
= limx→−∞
x − x√
4 + 400x2
−x√
4 + 400x2
= limx→−∞
1 −√
4 + 400x2
−√
4 + 400x2
=1 −√4 + 0
−√4 + 0
=1 − 2−2
=12
∎
Para casa. Calcule limx→+∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
v. 2016-8-17 12/19
Limites infinitos: exemplo
Exemplo. Calcule limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
.
Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.
limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
= limx→−∞
x +√
x2 (4 + 400x2 )
√
x2 (4 + 400x2 )
=
= limx→−∞
x + ∣x ∣√
4 + 400x2
∣x ∣√
4 + 400x2
= limx→−∞
x − x√
4 + 400x2
−x√
4 + 400x2
= limx→−∞
1 −√
4 + 400x2
−√
4 + 400x2
=1 −√4 + 0
−√4 + 0
=1 − 2−2
=12
∎
Para casa. Calcule limx→+∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
v. 2016-8-17 12/19
Limites infinitos: exemplo
Exemplo. Calcule limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
.
Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.
limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
= limx→−∞
x +√
x2 (4 + 400x2 )
√
x2 (4 + 400x2 )
=
= limx→−∞
x + ∣x ∣√
4 + 400x2
∣x ∣√
4 + 400x2
= limx→−∞
x − x√
4 + 400x2
−x√
4 + 400x2
= limx→−∞
1 −√
4 + 400x2
−√
4 + 400x2
=1 −√4 + 0
−√4 + 0
=1 − 2−2
=12
∎
Para casa. Calcule limx→+∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
v. 2016-8-17 12/19
Limites infinitos: exemplo
Exemplo. Calcule limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
.
Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.
limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
= limx→−∞
x +√
x2 (4 + 400x2 )
√
x2 (4 + 400x2 )
=
= limx→−∞
x + ∣x ∣√
4 + 400x2
∣x ∣√
4 + 400x2
= limx→−∞
x − x√
4 + 400x2
−x√
4 + 400x2
= limx→−∞
1 −√
4 + 400x2
−√
4 + 400x2
=1 −√4 + 0
−√4 + 0
=1 − 2−2
=
12
∎
Para casa. Calcule limx→+∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
v. 2016-8-17 12/19
Limites infinitos: exemplo
Exemplo. Calcule limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
.
Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.
limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
= limx→−∞
x +√
x2 (4 + 400x2 )
√
x2 (4 + 400x2 )
=
= limx→−∞
x + ∣x ∣√
4 + 400x2
∣x ∣√
4 + 400x2
= limx→−∞
x − x√
4 + 400x2
−x√
4 + 400x2
= limx→−∞
1 −√
4 + 400x2
−√
4 + 400x2
=1 −√4 + 0
−√4 + 0
=1 − 2−2
=12
∎
Para casa. Calcule limx→+∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
v. 2016-8-17 12/19
Limites infinitos: exemplo
Exemplo. Calcule limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
.
Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.
limx→−∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
= limx→−∞
x +√
x2 (4 + 400x2 )
√
x2 (4 + 400x2 )
=
= limx→−∞
x + ∣x ∣√
4 + 400x2
∣x ∣√
4 + 400x2
= limx→−∞
x − x√
4 + 400x2
−x√
4 + 400x2
= limx→−∞
1 −√
4 + 400x2
−√
4 + 400x2
=1 −√4 + 0
−√4 + 0
=1 − 2−2
=12
∎
Para casa. Calcule limx→+∞
x +√4x2 + 400
√4x2 + 400
v. 2016-8-17 12/19
Assíntotas verticais e horizontaisUma assíntota de um gráfico é uma reta do plano para onde ográfico se aproxima à medida que nos afastamos da origem.
Exemplo: assíntotas de f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x
2√4x2 − 4x
v. 2016-8-17 13/19
Assíntotas verticais e horizontaisUma assíntota de um gráfico é uma reta do plano para onde ográfico se aproxima à medida que nos afastamos da origem.
Exemplo: assíntotas de f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x
2√4x2 − 4x
y = 3/2
y = −1/2
x = 1
x = 0
v. 2016-8-17 13/19
Assíntotas verticais e horizontaisLimites no infinito e assíntotas horizontais:
f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x
2√4x2 − 4x
limx→+∞ f (x) = 3
2
y = 3/2
v. 2016-8-17 14/19
Assíntotas verticais e horizontaisLimites no infinito e assíntotas horizontais:
f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x
2√4x2 − 4x
limx→−∞ f (x) = −1
2
y = −1/2
v. 2016-8-17 15/19
Assíntotas verticais e horizontaisLimites laterais infinitos e assíntotas verticais:
f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x
2√4x2 − 4x
limx→1+
f (x) = +∞
x = 1
v. 2016-8-17 16/19
Assíntotas verticais e horizontaisLimites laterais infinitos e assíntotas verticais:
f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x
2√4x2 − 4x
limx→0−
f (x) = −∞
x = 0
v. 2016-8-17 17/19
Assíntotas verticais e horizontais
Um gráfico pode ter 0, 1 ou 2 assíntotas horizontais.
Um gráfico pode ter 0, 1 ou mais assíntotas verticais.Um gráfico pode ter assíntotas que não são nem horizontais,nem verticais, p. ex. sen(x)
x + x
Para casa: Seja f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x
2√4x2 − 4x
. Demonstre que:
limx→+∞ f (x) = 3
2
limx→−∞ f (x) = −1
2lim
x→1+f (x) = +∞
limx→0−
f (x) = −∞
Discuta: no gráfico de f (x), é possível haver mais algumaassíntota vertical além das retas x = 0 e x = 1? Por que não?
v. 2016-8-17 18/19
Assíntotas verticais e horizontais
Um gráfico pode ter 0, 1 ou 2 assíntotas horizontais.Um gráfico pode ter 0, 1 ou mais assíntotas verticais.
Um gráfico pode ter assíntotas que não são nem horizontais,nem verticais, p. ex. sen(x)
x + x
Para casa: Seja f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x
2√4x2 − 4x
. Demonstre que:
limx→+∞ f (x) = 3
2
limx→−∞ f (x) = −1
2lim
x→1+f (x) = +∞
limx→0−
f (x) = −∞
Discuta: no gráfico de f (x), é possível haver mais algumaassíntota vertical além das retas x = 0 e x = 1? Por que não?
v. 2016-8-17 18/19
Assíntotas verticais e horizontais
Um gráfico pode ter 0, 1 ou 2 assíntotas horizontais.Um gráfico pode ter 0, 1 ou mais assíntotas verticais.Um gráfico pode ter assíntotas que não são nem horizontais,nem verticais, p. ex. sen(x)
x + x
Para casa: Seja f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x
2√4x2 − 4x
. Demonstre que:
limx→+∞ f (x) = 3
2
limx→−∞ f (x) = −1
2lim
x→1+f (x) = +∞
limx→0−
f (x) = −∞
Discuta: no gráfico de f (x), é possível haver mais algumaassíntota vertical além das retas x = 0 e x = 1? Por que não?
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Assíntotas verticais e horizontais
Um gráfico pode ter 0, 1 ou 2 assíntotas horizontais.Um gráfico pode ter 0, 1 ou mais assíntotas verticais.Um gráfico pode ter assíntotas que não são nem horizontais,nem verticais, p. ex. sen(x)
x + x
Para casa: Seja f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x
2√4x2 − 4x
. Demonstre que:
limx→+∞ f (x) = 3
2
limx→−∞ f (x) = −1
2lim
x→1+f (x) = +∞
limx→0−
f (x) = −∞
Discuta: no gráfico de f (x), é possível haver mais algumaassíntota vertical além das retas x = 0 e x = 1? Por que não?
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Para casa
Stewart: Seções 2.1, 2.3, 2.4, 2.5 e 2.6, com especial atençãopara os limites no infinito e os limites infinitos.Exercícios: lista 10, todos exceto questões 4 e 10.
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