Grasland-Mongrain Pol

Compte rendu

Ondes de surface

1) Ondes mécaniques

Les ondes propagatives sont un phénomène assez courant en physique, que ce soit en mécanique, en acoustique, en électromagnétisme... Ces ondes sont caractérisées par leur pulsation , leur longueurω d'onde (avec k=2 / ), et leur amplitude a.λ πλ

On définit ainsi la vitesse de phase vΦ= /k. Si vω Φest indépendant de k, le milieu est dit non dispersif : toutes les ondes vont à la même vitesse. Si ce n� est pas le cas, le milieu est dispersif : les grandes ondes ne vont pas à la même vitesse que les ondes courtes.

Dans ce TP, nous considérons par la suite des vagues, ou plus précisément un phénomène de propagation d'ondes à la surface d'un fluide,

Le régime général

Dans le régime général, on a, pour une onde de pulsation , se propageant à la surface d'une coucheω de liquide d'épaisseur h, de masse volumique , de tension superficielle , on a :ρ γ

²=(gk+ k³/ ) * tanh(kh)ω γ ρ

Démonstration :

On suppose un liquide dans une cuve à fond plat (y=0) et d'épaisseur moyenne h. Soit (x,y,t) leΦ potentiel des vitesses. On fait aussi l'hypothèse que l'écoulement est irrotationnel, donc que le terme (v.grad)v est négligeable. Plus précisément, on doit avoir : (v.grad)v << dv/dt, soit avec v ~ /t :ζ

²/( *t²) << /t² <=> << ζ λ ζ ζ λ

Il s'agit d'une condition de petite amplitude qui est bien vérifiée ici, donc l'écoulement est bien irrotationnel.

Le potentiel de vitesse est solution de l'équation de Laplace :Φ

=0∆Φ

Pour résoudre cette équation, on va séparer les variables. On pose, avec u = x - c*t

(x,y,t) = f(u) * g(y)Φ

Donc l'équation de Laplace donne ainsi :

g * ²f/ ² + f * ²g/ ²y = 0δ δ δ δ

<=> 1/f * ²f/ ²u = - 1/g * ²g/ ²yδ δ δ δ

Les deux membres de l'égalité dépendent de deux variables différentes, donc sont égales à une constante, que l'on nommera -k²

On a ainsi, avec A constante qui dépend de l'amplitude de l'onde :

(x,y,t)=Aexp(i(kx- t))*ch(ky)Φ ω

Écrivons maintenant l'équation de Bernoulli, avec φ=g*y force extérieure, g l'accélération de pesanteur, P la pression et la masse volumique du fluide :ρ

/ t + P/ + g*y = csteδΦδ ρ

La relation de Laplace donne, avec P0 pression extérieure au-dessus de la surface, le coefficient deγ tension superficielle et R = ²x/ ²y courbure local de la surface :δ δ

P=P0- /Rγ

En utilisant cette rélation dans l'équation de Bernoulli et en dérivant cette dernière par rapport au temps, on obtient :

² / ²t � / * ³y/ ²x* t + g* y/ t = 0δΦδ γρ δ δ δ δ δ

Or on a les conditions aux limites :

[ / y]δΦδ y=0 = 0

[ / y]δΦδ y=y0 = y/ tδ δ

Donc l'équation de Bernoulli devient :

[ ² / ²t - / * ³ / ²x* y + g* / y]δΦδ γρ δΦδ δ δΦδ y=y0 = 0

Ainsi, avec la forme de trouvée grâce à l'équation de Laplace, on obtient finalementΦ

² = (g*k + *k³/ ) * tanh(kh)ω γ ρ

Les cas limites

Lors de la propagation d'ondes à la surface de l'eau, deux formes d'énergie interviennent : l'énergie de gravité et l'énergie de tension de surface. Selon l'énergie prédominante, nous allons avoir deux régimes limites, correspondant à des formes approchées de l'équation de dispersion.

Par la suite, nous nous intéressons au cas où la profondeur h de l'eau est grande devant la longueur capillaire lc - qui est d'environ 3 mm pour l'eau, ce qui justifie l'approximation � qui sera définie ci-dessous. Dans ce cas, on a :

tan(kh) ~ 1

Cas ondes de gravité : Si la longueur d'onde est grande devant la longueur capillaire, c'est à dire : >> lλ c <=> k*lc << 1, on a des ondes de gravité.

On a alors :

²~g*kω

C'est par exemple le cas de la houle sur l'océan : la profondeur de l'océan est de plusieurs milliers de mètres, la longueur d'onde est de l'ordre de la dizaine de mètre, et la longueur capillaire d'environ 3mm pour l'eau.

Cas ondes capillaires : Si la longueur d'onde est petite devant la longueur capillaire, c'est à dire : << lλ c <=> k*lc >>1, on a des ondes capillaires.

On a alors :

² ~ k³/ω γ ρ

On rencontre ce type d'onde pour des eaux peu profondes. C'est le cas des ricochets à la surface d'un étang.

Valeur critique lc :

Les deux régimes se rejoignent pour une valeur critique kc=1/lc telle que :

g*kc = *kγ c³/ρ

<=> kc = (g* / )ργ 1/2

<=> lc = (g* / )ργ -1/2

Des calculs plus complets, qui dépassent largement le cadre de ce TP, permettent de montrer d'autres régimes, et expliquent notamment le déferlement des vagues.

Nous avons tenté de savoir si nous pouvions identifier les deux régimes, lors de notre expérience.

Expérience mise en oeuvre

Un moteur muni d'une est reliée à une plaque oscillante dans un cuve de 2 m de long, 80 cm de large, et de 10 cm de profondeur d'eau environ. Au bout de la cuve une mousse amortissante empêche la réflexion d'ondes sur la paroi. La plaque oscillante créé des vagues qui seront visualisées par deux systèmes chacun composé d'un laser et d'un capteur CCD relié à un oscilloscope.

Le laser envoie un rayon lumineux ; lorsqu'il n'y a pas de vague, le faisceau arrive dans le centre de la barrette CCD ; lorsqu'il y a une vague, le faisceau est dévié le long de la barrette CCD, la déviation étant proportionnelle à l'amplitude de la vague.

On part alors d'une situation où les deux systèmes sont côte à côte, à la distance L1 d'un point de référence : on observe donc le même signal à l'oscilloscope. Puis nous translatons l'un des deux systèmes ; lorsque les signaux sont inversés sur l'oscilloscope, à la distance L2, ils sont en opposition de phase, donc les deux systèmes sont séparés d'une distance égale à une demi longueur d'onde. Lorsque les signaux se superposent à nouveau, à la distance L3, ils sont en phase, donc les deux systèmes sont séparés d'une distance égale à une longueur d'onde.

NB : Dans notre expérience, l'un des deux systèmes donnait un signal inverse à celui attendu, à cause d'un problème de positionnement de la barrette CCD. Cela n'est pas vraiment gênant une fois ce problème connu.

Expérience : longueur d'onde en fonction de la fréquence

Résultats

Les fréquences sont données par l'oscilloscope :

fréquence f (Hz) 4,28 4.86 3.70 3.11 2.93 3.43 4.45 5.08 5.46

L1 (cm) 10.95 11.55 10.45 8.05 7.7

L2 (cm) 15.55 15 15.95 16.90 17.5

L3 (cm) 19.95 18.4 21.55 25.10 27.45

(cm)λ 9 6.85 11.1 17.05 19.75 13.15 8.15 6.20 5.5

On trace alors ² en fonction de k, avec =2 *f et k=2 / :ω ω π πλ

On remarque que c'est une droite, passant par 0. Nous sommes donc dans le cas ondes de gravité : ω² ~ g*k

Si l'on trace la vitesse de phase vΦ= /k=c, en fonction de k, on obtient une décroissanceω hyperbolique, ce qui confirme l'hypothèse du cas eau profonde.

Nous avons alors essayé d'atteindre le régime ondes capillaires en augmentant la fréquence. La valeur critique kc vaut (g*ρ/γ)1/2. Avec γ(eau) = 73.10¯3 N/m¯1, on a kc ~ 3,7 cm-1, ce qui est à peine trois fois supérieur à notre valeur maximum.

Mais toutes les mesures à une fréquence supérieur à 6 Hz environ se sont révélées insatisfaisantes : l'amplitude des vagues était trop importante et le rayon laser déviait en-dehors de la barrette CCD, et d'autre part le régime commençait à être turbulent. Nous n'avons donc pas pu observer l'autre régime.

2) Atténuation

Mesures

Nous avons mesuré l'amplitude des vagues à des positions différentes, et pour trois fréquences.L'amplitude A1 (rouge) correspond à une fréquence de 4,73 Hz, A2 (noir) à 5,22 Hz, A3 (vert) à 5,94 Hz

L1 (cm) 0 20 30 40 60 80 100

A1 (V) 7.5 5.4 3.4 2.9 1.7 1.5

A2 (V) 9.7 5.9 4.1 3 2.1 1.3 0.8

A3 (V) 10.2 5.5 2.7 1.5 0.9 0.7

Amplitude en fonction de la distance

Résultats

On reconnaît une décroissance exponentielle. L'atténuation est de plus en plus importante lorsque la fréquence augmente.La distance à mi-hauteur de l'exponentielle nous a donné la distance type d'atténuation D.Nous avons trouvé respectivement 22, 25 et 42 cm pour A3, A2 et A1, ce qui est bien le sens de variation attendu. L'approche en loi d'échelle est donc validée – même si l'on ne peut pas avoir de résultat plus quantitatif car nous n'avons que trois valeurs.

3) Visualisation de trajectoires

Nous avons ensuite essayé de visualiser les trajectoires de particules de fluides en présence d'ondes propagatives et stationnaires.

Nous avons gardé le même montage que précédemment, sans utiliser les systèmes de laser et de barrette CCD. Pour les ondes stationnaires, nous avons retiré la plaque amortissante pour permettre la réflexion des ondes sur les bords de la cuve. Une fente dans le bas de la cuve laissait aussi passer de la lumière. Nous avons ensuite ajouté des particules solides de Rislan : ce sont des particules blanches de densité approximativement égale à 1 (densité de l'eau), pour qu'elles ne remontent pas à la surface ni ne coulent. Ces particules étaient visibles dans le faisceau de lumière issu du bas de la cuve.En focalisant un appareil photo à cet endroit précis de la cuve, et en laissant un temps de pose assez long, nous sommes parvenus à voir le trajet des particules.Dans le cas d'un écoulement indépendant du temps, ces trajectoires correspondent aux lignes de courant et aux lignes d'émission.

Trajectoires de particules (régime stationnaire)

Les ondes propagatives

Pour des ondes propagatives, les trajectoires doivent être circulaires.

Démonstration :

On a d'après la démonstration de la partie 1 :

= A * exp(i(kx- t)) * ch(ky)Φ ω

Or :

v = grad( ) = Aik * exp(i(kx- t)) * ch(ky) Φ ω ex + Ak * exp(i(kx- t)) * sh(ky) ω ey

d'où :

x=Re[ int(Δ v.ex dt) ] = Re[ -Aik/ * exp(i(kx- t)) * ch(ky) ]ω ω= Ak/ * cos(kx- t) * ch(ky)ω ω

y=int(Δ v.ey dt) = -Aik/ * exp(i(kx- t)) * sh(ky)ω ω= Ak/ * sin(kx- t) * sh(ky)ω ω

Par conséquent :

x²/ch(ky)² + y²/sh(ky)² = A²k²/ ²Δ Δ ω

Il s'agit donc d'une trajectoire elliptique, de taille décroissante avec la hauteur.

Si ky>>1, c'est à dire dans le cas d'ondes de gravité (ce qui était notre cas), on aura :

x² + y² = A'²k²/4 ² * exp(2ky)Δ Δ ω

C'est alors une trajectoire circulaire, de taille décroissante avec la hauteur.

Onde propagative : décroissance exponentielle avec y (flèche : sens de propagation de l'onde)

Voici une photographie représentative de notre expérience en onde propagative :

Nous avons mesuré la taille des cercles en fonction de la hauteur.

Pour cela, nous avons traité l'image ci-dessus par ordinateur ; en faisant un carré circonscrit aux cercles, de périmètre 4R, on remonte facilement au périmètre du cercle, de taille 2 R.π

Voici les résultats, en pixels -nous pouvons remonter au besoin à la taille en centimètres car nous avons une photo d'une règle à la bonne distance, mais on veut ici simplement vérifier la loi de décroissance exponentielle, donc ce n'est pas nécessaire- :

Y (px) 272.6 655.4 908.9 1164.9 1604.8 2145.4 862.2 201.1

Périmètre (px)

1148 816 656 512 272 208 656 1184

Photo d'une règle à la "bonne" distance (la taille de la photo est réduite donc cette image n'est utilisable telle quelle)

Onde propagative : trajectoires en fonction de y

Voici la courbe correspondante :

On note effectivement une décroissance exponentielle, comme prévu par le calcul.

On a aussi qualitativement remarqué que plus la fréquence est importante, plus l'atténuation verticale est importante.

Les ondes stationnaires

Pour des ondes stationnaires, les particules doivent aller des creux vers les bosses et vice versa.

Démonstration :

On a d'après la démonstration de la partie 1 :

Φ = A * exp(i(kx-ωt)) * ch(ky) + A * exp(-i(kx-ωt)) * ch(ky)

= 2Acos(kx) * exp(-iωt) * ch(ky)

Or :

v = grad(Φ) = 2Ak * sin(kx) * exp(-iωt) * ch(ky) ex + 2Ak * cos(kx) * exp(-iωt) * sh(ky) ey

d'où :

Δx=Re[ int(v.ex dt) ]=Re[ -2Aik/ω * exp(-iωt) * sin(kx) * ch(ky) ]= 2Ak/ω * sin(ωt) * sin(kx) * ch(ky)

Δy=Re[ int(v.ey dt) ]=Re[ -2Aik/ω * exp(-iωt) * cos(kx) * sh(ky) * sin(ωt) ]= 2Ak/ω * sin(ωt) * cos(kx) * sh(ky)

Par conséquent :

Δx²/ch(ky)² + Δy²/sh(ky)² = 4A²k²/ω² * sin(ωt)²

Si ky>>1 (eau profonde), Δx²/ch(ky)² + Δy²/sh(ky)² = A²k²/ω² * sin(ωt)² * exp(2ky)

Le rayon des cercles augmente avec y, comme pour l'onde propagative, et dépend aussi de sin( t)² ω

Pour des ondes stationnaires, les particules doivent aller des creux vers les bosses et vice versa ; ceci peut être visualisé par le schéma suivant, les doubles flèches représentant les trajectoires des particules en fonction du temps :

Nous observons bien ce qui est prévu : des ellipses écrasées le long des creux et bosses.

Nous avons ensuite observé qualitativement l'atténuation des vagues en fonction de la fréquence : l'atténuation diminue lorsque la fréquence diminue

Onde stationnaire : trajectoires elliptiques

Ondes stationnaires : schéma théorique

Une estimation de D, distance typique d'atténuation correspondant à la largeur à mi-hauteur, ne nous donne pas le bon ordre de grandeur, par rapport à la valeur théorique. D'après l'enseignante c'est normal : les hypothèses sont trop fortes ?

Conclusion

Ce TP m'a permis de mettre en image de nombreux calculs très abstraits que j'ai pu faire lors de ma scolarité. Je m'étonne d'ailleurs de ne pas avoir fait de tels TP auparavant...

L'étude des vagues et des différents régimes d'écoulement est un domaine de recherche encore actif à ce jour ; certaines hypothèses, comme l'écoulement irrotationnel, ne sont pas toujours valables...

Trajectoires de particules - régime quelconque (fausses couleurs)