Solutions de l'équation de propagation
8
Chapitre 6 FORMULATION ANALYTIQUE DE PROBLEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX DE L'ACOUSTIQUE EN MILIEU FLUIDE HOMOGENE, INDEPENDANT DU TEMPS ET AU REPOS : LES SOLUTIONS FONDAMENTALES EN COORDONNEES SPHERIQUES Solutions de l'équation de propagation ( ) ( ) ω − = ω ω + ∆ ; r F ˆ ; r P ˆ c 2 0 2 r r ( ) ( ) t ; r f ˆ t ; r p ˆ t c 1 2 2 2 0 r r − = ∂ ∂ − ∆ Equation de propagation Equation de Helmholtz Pas de solution générale connue en dehors du cas de propagation unidimensionnel Si les frontières du domaine coïncident avec des surfaces de coordonnées curvilignes séparables solutions à variables séparées "base" sur laquelle toute solution peut être développée famille complète Choix de système de coordonnées piston plan ( ) t cos A ω 0 x A cos ( ω t - k x ) plan d'air x y z a source S x y z Source O L a Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques polynômes de Legendre fonctions circulaires fonctions de Bessel Solutions de problèmes à 3 dimensions (1/6) Equation de propagation ( ) t , r , 0 t ; r p ˆ t c 1 2 2 2 0 ∀ ∈ ∀ = ∂ ∂ − ∆ V r r Equation de Helmholtz ( ) V ∈ ∀ = ω ω + ∆ r , 0 ; r P ˆ c 2 0 r r Pas de solution générale connue à l'équation de Helmholtz en dehors du cas de propagation unidimensionnel : ( ) ( ) ( ) t c r n g ˆ t c r n f ˆ t ; r p ˆ 0 0 + ⋅ + − ⋅ = r r r r r Solutions à variables séparées ou représentation intégrale Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t T ˆ z Z ˆ y Y ˆ x X ˆ t ; z , y , x p ˆ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t T ˆ ˆ ˆ r R ˆ t ; , , r p ˆ ψ Ψ θ Θ = ψ θ Solution à variables séparées ≡ Base sur laquelle toute solution de problème peut être exprimée ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t T ˆ z Z ˆ ˆ r R ˆ t ; z , , r p ˆ ψ Ψ = ψ Modélisation d'une surface active amont aval monopôle dipôle + - + - + - + - + - + - + - Toute surface active peut être modélisée par une répartition continue de monopôles et de dipôles sources ponctuelles 2 sources ponctuelles en opposition de phase Equation des ondes en coordonnées sphériques r e r M O r r r = = ( ) ψ ψ θ θ + + = ψ θ e A e A e A , , r A r r r r r r ψ θ ψ θ + θ + = = e d sin r e d r e r d M O d r d r r r r r ψ θ ψ ∂ ∂ θ + θ ∂ ∂ + ∂ ∂ = e U sin r 1 e U r 1 e r U U grad r r r r ( ) ( ) ψ ∂ ∂ θ + θ ∂ θ ∂ θ + ∂ ∂ = ψ θ A sin r 1 A sin sin r 1 r A r r 1 A div r 2 2 r ( ) ( ) ( ) ψ θ θ ψ θ ψ θ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ψ ∂ ∂ θ + ψ ∂ ∂ − θ ∂ θ ∂ θ = e A r A r r 1 e r A r A sin 1 r 1 e A A sin sin r 1 A rot r r r r r r r ( ) 2 2 2 2 2 2 2 U sin r 1 U sin sin r 1 r U r 2 r U U grad div U ψ ∂ ∂ θ + θ ∂ ∂ θ θ ∂ ∂ θ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∆ ( ) ( ) A rot rot A div grad A r r r − = ∆ ( ) 0 t ; , , r p ˆ t c 1 sin r 1 sin sin r 1 r r 2 r 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 = ψ θ ∂ ∂ − ψ ∂ ∂ θ + θ ∂ ∂ θ θ ∂ ∂ θ + ∂ ∂ + ∂ ∂ Equation de propagation Les principaux opérateurs en coordonnées sphériques et x y z O M ψ r x y z θ B s e r → e ψ → e θ → C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006 1
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Chapitre 6
FORMULATION ANALYTIQUE DE PROBLEMES LINEAIRES FONDAMENTAUX DE
L'ACOUSTIQUE EN MILIEU FLUIDE HOMOGENE, INDEPENDANT DU TEMPS ET AU
REPOS : LES SOLUTIONS FONDAMENTALES EN COORDONNEES SPHERIQUES
Solutions de l'équation de propagation
( ) ( )ω−=ω
ω+∆ ;rF;rP
c 20
2 rr( ) ( )t;rft;rp
tc1
2
2
20
rr−=
∂∂
−∆
Equation de propagation Equation de Helmholtz
Pas de solution générale connue en dehors du cas de propagation unidimensionnel
Si les frontières du domaine coïncident avec des surfaces de coordonnées curvilignes séparables
solutions à variables séparées
"base" sur laquelle toute solution peut être développée
famille complète
Choix de système de coordonnées
piston plan
( )tcosA ω
0 x
A cos ( ω t - k x )
plan d'air x
yz
a
source S
x
y
z
Source
O L
a
Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques
Coordonnées sphériques
polynômes de Legendrefonctions circulaires
fonctions de Bessel
Solutions de problèmes à 3 dimensions (1/6)
Equation de propagation ( ) t,r,0t;rptc
12
2
20
∀∈∀=
∂∂
−∆ Vrr
Equation de Helmholtz ( ) V∈∀=ω
ω+∆ r,0;rP
c
2
0
rr
Pas de solution générale connue à l'équation de Helmholtz en dehors du cas de propagation unidimensionnel :
( ) ( ) ( )tcrngtcrnft;rp 00 +⋅+−⋅=rrrrr
Solutions à variables séparées ou représentation intégrale
Coordonnées cartésiennes
Coordonnées cylindriques
Coordonnées sphériques
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTzZyYxXt;z,y,xp =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTˆˆrRt;,,rp ψΨθΘ=ψθ
Solution à variables séparées ≡ Base sur laquelle toute solution de problème peut être exprimée
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTzZˆrRt;z,,rp ψΨ=ψ
Modélisation d'une surface active
amont aval
monopôle
dipôle
+ -
+ -+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
Toute surface active peut être modélisée par une répartition continue de monopôles et de dipôles
sources ponctuelles 2 sources ponctuelles en opposition de phase
Equation des ondes en coordonnées sphériques
rerMOrrr
==
( ) ψψθθ ++=ψθ eAeAeA,,rA rrrrrr
ψθ ψθ+θ+== edsinredrerdMOdrd rrrrr
ψθ ψ∂∂
θ+
θ∂∂
+∂∂
= eUsinr1eU
r1e
rUUgrad r
rrr
( ) ( )ψ∂
∂
θ+
θ∂
θ∂
θ+
∂
∂= ψθ A
sinr1Asin
sinr1
rAr
r1Adiv r
2
2
r
( ) ( ) ( )ψ
θθ
ψθψ
θ∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
ψ∂
∂
θ+
ψ∂
∂−
θ∂
θ∂
θ= e
ArAr
r1e
rArA
sin1
r1e
AAsinsinr1Arot rr
rrrrr
( ) 2
2
2222
2 Usinr1Usin
sinr1
rU
r2
rUUgraddivU
ψ∂∂
θ+
θ∂
∂θ
θ∂∂
θ+
∂∂
+∂∂
==∆
( ) ( )ArotrotAdivgradArrr
−=∆
( ) 0t;,,rptc
1sinr1sin
sinr1
rr2
r 2
2
20
2
2
2222
2=ψθ
∂∂
−ψ∂∂
θ+
θ∂∂
θθ∂∂
θ+
∂∂
+∂∂
Equation de propagation
Les principaux opérateurs en coordonnées sphériques
et
x
y
z
O
M
ψ
r
x
y
z
θ
Bse r→
e ψ→
e θ→
C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006
1
Solutions de problèmes à 3 dimensions (2/6)
Equation de propagation
Solutions à variables séparées
fonction de r,θ,ψ fonction de t
20k−= 22
020 ck ω=on pose
t,0TtT 22
2∀=ω+
∂∂
( ) tieGtT ω=
tie ω
tie ω−
choix d'une convention temporelle
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTˆˆrRt;,,rp ψΨθΘ=ψθ
( ) t,,,r,tT
c1
T1ˆ
sinrˆ1ˆ
sinsinrˆ
1rR
rR2
rR
R1
2
2
20
2
2
2222
2∀∈ψθ∀
∂∂
=ψ∂Ψ∂
θΨ+
θ∂Θ∂
θθ∂∂
θΘ+
∂∂
+∂∂ V
( ) ( ) t,,,r,0t;,,rptc
1sinr1sin
sinr1
rr2
r 2
2
20
2
2
2222
2∀∈ψθ∀=ψθ
∂∂
−ψ∂∂
θ+
θ∂∂
θθ∂∂
θ+
∂∂
+∂∂ V
Solutions de problèmes à 3 dimensions (3/6)Solutions à variables séparées - solution en r
fonction de rfonction de θ,ψ
( )1nn +=
( ) V∈ψθ∀+∂∂
+∂∂
=
ψ∂Ψ∂
θΨ+
θ∂Θ∂
θθ∂∂
θΘ− ,,r,kr
rR
Rr2
rR
Rrˆ
sinˆ1ˆ
sinsinˆ1 2
02
2
22
2
2
2
( ) r,0Rr
1nnkr
Rr2
rR
n220
n2
n2
∀=
+
−+∂
∂+
∂
∂
rks 0=
( ) 0Rs
1nn1r
Rs2
sR
n2n
2n
2
=
+−+
∂
∂+
∂
∂en posant
Equation de Bessel sphérique
ou
Fonction de Bessel sphérique : comportement d'un cosinus quand r→∞
Fonction de Neumann sphérique : comportement d'un sinus quand r→∞
Fonction convergente quand r→∞ enexp(+ik0r)
Fonction divergente quand r→∞ enexp(-ik0r)
Fonction de Hankel
( ) ( ) ( )rkn'Brkj'ArR 0n0nn +=( ) ( ) ( )rkhBrkhArR 0)2(
n0)1(
nn +=
Solutions de problèmes à 3 dimensions (4/6)Solutions à variables séparées - solution en ψ
fonction de θ
2m−=
ouψ∀=Ψ+ψ∂
Ψ∂,0ˆm
ˆm
22m
2 ( ) ψψ− +=ψΨ mimim eDeCˆ
( ) ( ) ( )ψ+ψ=ψΨ msin'Dmcos'Cˆm
( ) ( )ψθ∀ψ∂Ψ∂
Ψ=
θ++
θ∂Θ∂
θθ∂∂
Θθ
− ,,ˆ
ˆ1sin1nn
ˆsinˆ
sin2
22
fonction de ψ
Solutions de problèmes à 3 dimensions (5/6)Solutions à variables séparées - solution en θ
( )[ ] 0ˆmsin1nnˆ
sinsin mn22mn =Θ−θ++
θ∂
Θ∂θ
θ∂∂
θ
θ=µ cos
( ) ( )θ=θΘ cosPˆmnmn
( ) ( )( )
mnet,3,2,1,0m,n,cosd
cosPdsincosP m
nm
mmn >=
θ
θθ=θ L
( ) ( ) 1mm1m PmPcos1m2P1m −+ −θ+=+
θ= cosP1( )1cos3
21P 2
2 −θ=
( )θ−θ= cos3cos521P 3
3 ( )3cos30cos3581P 24
4 +θ−θ=
( ) ( )( )
0ˆ1
m1nnˆ
2ˆ
1 mn2
2mn
2mn
22 =Θ
µ−−++
µ∂
Θ∂µ−
µ∂
Θ∂µ−
en posant
Equation de Legendre associée ou généralisée Fonctions de Legendre, pour m et n entiers
Fonctions de Legendre
Polynômes de Legendre1P0 =avecoù
;; etc...
;
Solutions de problèmes à 3 dimensions (6/6)Solutions à variables séparées
ou
Rn(r) Ψm(ψ) Θnm(θ) T(t)
ou
équation de dispersion
ou
Nombre d'onde local
avec et
( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ) timn
mimi0n0nmn ecosPeDeCrkn'Brkj'At;,,rp ωψψ− θ++=ψθ
( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ) timn
mimi0
)2(n0
)1(nmn ecosPeDeCrkhBrkhAt;,,rp ωψψ− θ++=ψθ
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) timn0n0nmn ecosPmsin'Dmcos'Crkn'Brkj'At;,,rp ωθψ+ψ+=ψθ
( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ) timn
mi2
mi0n10n0mn ecosPeˆerknˆrkjAt;,,rp ωψψ− θ++=ψθ RR
( ) ( )θψ= cosPmcosY mn)1(mn ( ) ( )θψ= cosPmsinY mn
)2(mnavec et harmoniques sphériques
( ) ( ) ( ) ψψθθ θ+θ+= e,rke,rkerkk rrrrrr
( ) ( )2
20
2r r
1nnkrk +−= ( )
θ=θψ 22
22
sinrm,rk( ) ( )
( )
µ−−+=θθ 2
2
22
1
m1nnr1,rk
00 ck ω=avec( ) ( ) ( ) 20
222r k,rk,rkrk =θ+θ+ ψθ
;
^ ^ ^ ^
(1) solution de (1) : yν(x)
changement de variables :
Fonctions de Bessel sphériques jn et nn (1/2)( )
∈ν=
+νν−++ ,0y
x11
xdyd
x2
xdyd
22
2
Zxy 2/1−=( )
∈ν=
+ν−++ ,0Z
x1
xdZd
x1
xdZd
2
22
1
2
2
( ) ( ) ( )xNBxJAxZ2
12
1 +ν+νν +=
( ) ( ) ( )xNx
BxJx
Axy2
12
1 +ν+νν +=
)x(Jx2
)x(j2
1+ννπ
= )x(Nx2
)x(n2
1+ννπ
=
équation de Bessel (cylindrique)
fonctions de Bessel et de Neumann sphériques
solution de (1) ( ) )x(h'B)x(h'A)x(nB)x(jAxy )2()1(ννννν +=+=
C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006
2
Fonctions de Bessel sphériques jn et nn (2/2)
)x(Jx2
)x(j2
1+ννπ
=
)x(Nx2
)x(n2
1+ννπ
=
π
+−
21nxcos
x1~)x(j n
π
+−
21nxsin
x1~)x(n n
j0
j1 j2 j3 j4 j5
n0
n1n2
n3
n4
n5
quand x →∞ :
quand x →∞ :
Fonctions de Hankel sphériques h(1)n et h(2)
n (1/2)
( ) ( ) ( ) ( )xifx
ei)x(Hx2
xnixj)x(h n
xi1n)1(
nnn)1(
n 21 −=
π=+= +
+
( ) ( ) ( ) ( )xifx
ei)x(Hx2
xnixj)x(h n
xi1n)2(
nnn)2(
n 21
−+
+ =π
=−=
( ) ( )( )
sn
0sn z2
1!s!sn
!snzf
−+
= ∑=
( )( )
( )( ) ( )
>∞→
≈
≈
+
π−−
+
π−
0xex
quand
xexh
xexh
1n2
xi
)2(n
1n2
xi
)1(n
R
fonctions convergentes ou divergentes (suivant la convention temporelle)utilisation en milieux semi-infinis
avec
Fonctions de Hankel sphériques h(1)n et h(2)
n (2/2)
xei)x(h
xi)1(
0 =
xei)x(h
xi)2(
0
−
=
−−=
xi11
xe)x(h
xi)1(
1
+−=
−
xi11
xe)x(h
xi)2(
1
−−−= 2
xi)1(
2 x3
xi31
xei)x(h
−+−=
−
2
xi)2(
2 x3
xi31
xei)x(h
ordre 0
ordre 1
ordre 2
AÉROACOUSTIQUE
SourcesÉcoulement qui se développe au-dessus d'une cavité
Simulation 3D du bruit rayonné par un jet à Mach 0.9
Simulation
Expérience
Les harmoniques sphériques (1/3)
n=0 ; m=0
n=2 ; m=0
n=1 ; m=0
n=3 ; m=0
1Y )1(00 =
θ= cosY )1(01
( )1cos321Y 2)1(
02 −θ= ( ) θ−θ= 22)1(03 cos3cos5
21Y
( ) ( )ψθ= mcoscosPY mn)1(
mn
harmoniques "zonaux"m = 0
Les harmoniques sphériques (2/3)
n=1 ; m=1
n=3 ; m=1
n=2 ; m=1
ψθ= cossinY )1(11
ψθθ= coscossin3Y )1(12
( ) ψ−θθ= cos1cos5sin23Y 2)1(
13
harmoniques "sectoriaux"m = n
harmoniques "tesséraux"0 < m < n
( ) ( )ψθ= mcoscosPY mn)1(
mn
C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006
3
Tessère romain Les harmoniques sphériques (3/3)
n=2 ; m=2
n=3 ; m=3
n=3 ; m=2
( )ψθ= 2cossin3Y 2)1(22 ( )ψθθ= 2coscossin15Y 2)1(
23
( )ψθ= 3cossin15Y 3)1(33
harmoniques "sectoriaux"m = n
harmoniques "tesséraux"0 < m < n
( ) ( )ψθ= mcoscosPY mn)1(
mn
Application utilisant les harmoniques sphériques
Oscillations de la surface du soleil
ACOUSTIQUE DU SOLEIL
Développement sur la base des fonctions propres
Solution générale ( ) ( )∑ ∑∞
=
∞
=
ψθ=ψ0n 0m
mn t;,,rpt;z,,rp
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) .ecosPmsinDmcosC
rkhBrkhAt;,,rp
timn
'm
'm
0n 0m0
)2(nn0
)1(nn
ω
∞
=
∞
=
θψ+ψ
+=ψθ ∑ ∑c.à.d.
Ondes divergentes
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )∑ ∑∞
=
∞
=
ωθψ+ψ=ψθ0n 0m
timn
'm
'm0
)2(nn ecosPmsinDmcosCrkhBt;,,rp
ti
0
rki
0ti)1(
000)2(
0000 erk
eiAeY)rk(hAp0
ω−
ω ==
ti
00
rki
0ti)1(
010)2(
1001 ecosrki
11rk
eAeY)rk(hAp0
ω−
ω θ
+−==
( ) ( ) ti22
000
rki
0ti)1(
020)2(
2002 e1cos3rk
3rki
31rk
e2iAeY)rk(hAp
0ω
−ω −θ
−+−==
caractère monopolaire
caractère dipolaire
caractère quadripolaire
Rayonnement d'une sphère vibrant avec une symétrie axiale( ) ( ) ti
rr eWt;w ωθ=θVitesse vibratoire radiale imposée
( ) ti0r eVt;w ω=θ ( ) ti
1r ecosVt;w ωθ=θ
sphère pulsante sphère oscillante
Exemples
ti
0
rki
0ti)1(
000)2(
0000 erk
eiAeY)rk(hAp0
ω−
ω ==
( ) ti1z eVtw ω=
ti
00
rki
0ti)1(
010)2(
1001 ecosrki
11rk
eAeY)rk(hAp0
ω−
ω θ
+−==
soit
monopole dipôle;
Rayonnement d'une sphère pulsante (1/4)
Vitesse vibratoire radiale imposée( ) ti
0r eVtw ω=a
O
Mr
( ) t,,,ar,0t;rptc
1rr
2r 2
2
20
2
2∀ψθ∀≥∀=
∂∂
−∂∂
+∂∂
( ) ( ) t,,,ar,twet;arv rr ∀ψθ∀==⋅=rr
( ) ( ) tierPt;rp ω=
( ) ψθ∀≥∀=
ω+
∂∂
+∂∂ ,,ar,0rP
crr2
r 20
2
2
2
( ) ar,VarrP
cki
0000
===∂∂
ρ
Equation de propagation
Equation de Helmholtz
Conditions aux frontières
Condition de Sommerfeld (r→∞)
champ à symétrie sphérique
( ) ( ) tierVt;rv ω=rr
C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006
4
Rayonnement d'une sphère pulsante (2/4)
Equation de dispersion
Forme du champ
Conditions aux frontières
00 ck ω=avec20
2 kk =
( )( )
tiarki
0
02
0 er
eaki1
Vait;rp
0ω
−−
+ρω=Solution
aO
Mr
aO
Mr
( )[ ] ar,0rPrcr 2
0
2
2
2≥∀=
ω+
∂∂
équation de Helmholtz :
solution : ( ) rkirki eBeArPr −+= ( )r
eBr
eArPrkirki −
+=
condition de Sommerfeld ( )r
eBrPrki−
=
0
aki
0000
Va
ea1kiB
cki 0
=
+
ρ− −
( ) ar,VarrP
cki
0000
===∂∂
ρ
aki
0
02
00e
aki1Va
iB+
ρω=
( ) ( )rrPirV
0r ∂
∂ρω
= ( )( )
tiarki
00
02
r er
er1ki
aki1Va
t;rv0
ω−−
+
+=Vitesse
Rayonnement d'une sphère pulsante (3/4)
Débit de la source
Pression
aO
Mr
aO
Mr 0
20 Va4Q π=
( )( )
tiarki
0
00 e
re
aki11
4Q
it;rp0
ω−−
+πρω=
( )( )
tiarki
00
0r e
re
r1ki
aki11
4Q
t;rv0
ω−−
+
+π=Vitesse
( ) ( )20
2
20
2
2000
r ak11
32Q
rkc
rI+π
ρ=Intensité acoustique
( ) ( )20
2000
20
m ak1
kc8Q
S+
ρ
π=PPuissance acoustique
Rayonnement d'une sphère pulsante (4/4)
aO
Mr
aO
Mr
CHAMP MONOPOLAIRE : k0a → 0, Q0 constant
( ) tirki
00 e
re
4Q
it;rp0
ω−
πρω=
( ) ( )t
t;rˆt;rp 0 ∂
ϕ∂ρ−=
( ) tirki
0 er
e4Q
t;rˆ0
ω−
π−=ϕ
( ) tirki
00
r er
er1ki
4Q
t;rv0
ω−
+
π=
( ) 2
20
2
2000
r 32Q
rkc
rIπ
ρ=
( ) 2000
20
m kc8Q
S ρπ
=P
opposé de la fonction de Green pour Q0=1
Pression
Vitesse
Intensité acoustique
Puissance acoustique
Potentiel des vitesses
Symétrie de révolution autour de (Oz)
Rayonnement d'une sphère oscillante (1/5)Vitesse vibratoire radiale imposée
( ) ti1z eVtw ω=( ) ti
1r ecosVt;w ωθ=θaO
Mr
z
w→
θ
( ) t,,,ar,0t;,rptc
1sinsinr1
rr2
r 2
2
20
22
2∀ψθ∀≥∀=θ
∂∂
−
θ∂∂
θθ∂∂
θ+
∂∂
+∂∂
( ) ( ) t,,,ar,t;wet;,arv rr ∀ψθ∀=θ=⋅θ=rr
( ) ( ) tie,rPt;,rp ωθ=θ
( ) ψθ∀≥∀=θ
ω+
θ∂∂
θθ∂∂
θ+
∂∂
+∂∂ ,,ar,0,rP
csin
sinr1
rr2
r 20
2
22
2
( ) θ∀=θ=θ=∂∂
ρ,ar,cosV,ar
rP
cki
1000
Equation de propagation
Equation de Helmholtz
Conditions aux frontières
Condition de Sommerfeld (r→∞)
c.à.d.
Rayonnement d'une sphère oscillante (2/4)
Equation de dispersion
Forme du champ
Conditions aux frontières
00 ck ω=avec20
2 kk =
( ) ( )( )
tiarki
0200
00013
ecosr
ekir1
akaki22
ckVait;,rp
0ω
−−
θ
+
−+
ρ=θSolution
( ) ( )θ
∂
∂=θ cos
rrP
,rP 1
solution : ( ) θ
+−
+−=θ
−
cosr
ekir1B
reki
r1A,rP
rki
0
rki
0
00
condition de Sommerfeld ( ) θ
+−=θ
−
cosr
ekir1B,rP
rki
0
0
( ) θ∀=θ=θ=∂∂
ρ,ar,cosV,ar
rP
cki
1000
( )aki
200
00013
0eakaki22
ckVaiB
−+
ρ−=
( ) tirki
202
00
r ecosr
er2
rki2
kiBt;rv0
ω−
θ
++−
ρω−=Vitesse
aO
Mr
z
w→
θaO
Mr
z
w→w→
θ solution de l'équation àsymétrie sphérique
Rayonnement d'une sphère oscillante (3/4)
Moment dipolaire de la source
Pression
13
0 Va2D π=
( ) ( )( )
tiarki
0200
0000 ecosr
ekir1
akaki22
cki2D
t;,rp0
ω−−
θ
+
−+
ρ
π=θ
( ) ( )( )
tiarki
202
0200
0r ecos
re
r2
rki2
kakaki22
12D
t;rv0
ω−−
θ
++−
−+π−=
aO
Mr
z
w→
θaO
Mr
z
w→w→
θ
Vitesse
C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006
5
Rayonnement d'une sphère oscillante (4/4)
CHAMP DIPOLAIRE : k0a → 0, D0 constant
( ) tirki
000 ecos
reki
r1i
4D
t;,rp0
ω−
θ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +ρω
π=θ
( ) ( )t
t;rˆt;rp 0 ∂
ϕ∂ρ−=
( ) tirki
0tirki
00 e
re
z4D
ecosr
ekir1
4D
t;,rˆ00
ω−
ω−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
π=θ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
π−=θϕ
( )( )
tiarki
202
00
r ecosr
er2
rki2
k4D
t;rv0
ω−−
θ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
π−=
Pression
Vitesse
Potentiel des vitesses
aO
Mr
z
w→
θaO
Mr
z
w→w→
θ
θ∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂ cos
rzr
rzθ==
++=
∂∂ cos
rz
zyx
zzr
222avec car
Rayonnement d'une sphère vibrant avec une symétrie axiale (1/4)
Vitesse vibratoire radiale imposée ( ) ( ) tirr eWt;w ωθ=θ
Symétrie de révolution autour de (Oz)
( ) t,,,ar,0t;,rptc
1sinsinr1
rr2
r 2
2
20
22
2∀ψθ∀≥∀=θ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ∂∂
θθ∂∂
θ+
∂∂
+∂∂
( ) ( ) t,,,ar,t;wet;,arv rr ∀ψθ∀=θ=⋅θ=rr
( ) ( ) tie,rPt;,rp ωθ=θ
( ) ψθ∀≥∀=θ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ω+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ∂∂
θθ∂∂
θ+
∂∂
+∂∂ ,,ar,0,rP
csin
sinr1
rr2
r 20
2
22
2
( ) ( ) θ∀=θ=θ=∂∂
ρ,ar,W,ar
rP
cki
r000
Equation de propagation
Equation de Helmholtz
Conditions aux frontières
Condition de Sommerfeld (r→∞)
Rayonnement d'une sphère vibrant avec une symétrie axiale (2/4)Vitesse vibratoire développée sur les polynômes de Legendre
Conditions aux frontières
Champ rayonné
( ) ( )∑∞
=θ=θ
0nnnr cosPVW
( ) ( ) ( )∑∞
=θ=θ
0n0
)2(nnn rkhcosPA,rP
( ) ( ) ( ) ( ) ar,cosPVakakhcosPAkcki
0nnn
0n00
)2(nnn0
000=θ=∂∂θ
ρ∑∑∞
=
∞
=
avec ( ) ( ) ( )⎮⌡⌠ θθθθ+=
π
0nrn dsincosPW21nV
( ) ( ) θ∀=θ=θ=∂∂
ρ,ar,W,ar
rP
cki
r000
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ti
0n0
)2(nn
00)2(
n
n00 erkhcosP
akakh
Vcit;,rp ω
∞
=∑ θ
∂∂ρ−=θ
( ) ( )akakh
VciA
00)2(
n
n00n
∂∂ρ−=par identification
terme à terme
Solution
( ) ( )
21n
dsincosPcosP
nm0
nm
+
δ=
⎮⌡
⌠θθθθ
π rappel :
Rayonnement d'une sphère vibrant avec une symétrie axiale (3/4)Pression
Vitesse radiale
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ti
0n0
)2(nn
00)2(
n
n00 erkhcosP
akakh
Vcit;,rp ω
∞
=∑ θ
∂∂ρ−=θ
( ) ( )r
t;,rpck
it;,rv000
r ∂θ∂
ρ=θ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ti
0n00
)2(nn
00)2(
n
nr erkrkhcosP
akakh
Vt;,rv ω
∞
=∑ ∂∂θ
∂∂=θ
Vitesse "latérale" ( ) ( )θ∂θ∂
ρ=θθ
t;,rpr1
ckit;,rv
000
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=θ θ
∂∂
θ−=θ
0n0
)2(nn
00)2(
n
n
0rkhcos'P
akakh
sinVr1
k1t;,rv
En champ lointain : k0r →∞
Rayonnement d'une sphère vibrant avec une symétrie axiale (4/4)
( )( )
rkerkh
0
1n2
rki
0)2(
n
0 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
π−−
≈
( )( )
( )( )
ti
0n 0
1n2
rki
n
0
1n2
aki
0
n00 e
rkecosP
ake
ak1i
Vcit;,rp
0
0
ω∞
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
π−−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
π−−
∞ ∑ θ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ρ≈θ
( )( )
( ) ti
0nnn
0
rki
0
2000 ecosPV
rke
1akiakci
t;,rp0
ω∞
=
−
∞ ∑ θ+
ρ≈θ
( ) ( ) ( ) ti
0n 0
rki
0n
0
20n
r erk
erk
1icosP1aki
akVt;,rv
0ω
∞
=
−
∞ ∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+θ
+=θ
( )( )
( )
rke
rk1i
rk
rkh
0
1n2
rki
00
0)2(
n0 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
π−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−≈
∂
∂
En champ lointain : k0r →∞ et k0r >> k0a
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∑∑
∞
=νν
∞
=ν∞
θθ−
ρ=
0nnn
02
02
0
2000
r cosPcosPVVrk
1ak1
akc21rI couplage de
modes
Onde plane diffractée par une sphère (1/3)
Champ incident monochromatique
Conditions aux frontières
Condition de Sommerfeld (r→∞)
Equation de Helmholtz
( ) ticosrki0i eePt;,rp 0 ωθ=θ
ω=00 ck
( ) ( ) tie,rPt;,rp ωθ=θ
( ) θ∀==θ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+
∂∂ ,ar,0,rPˆkin 0 Zcˆ
00ρ=βavec et rn ∂∂−=∂∂
x
z
y
ki→
M
rθ
Oa
pi^
M
( ) ψθ∀≥∀=θ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ ω+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ∂∂
θθ∂∂
θ+
∂∂
+∂
∂ ,,ar,0,rPc
sinsinr1
rr2
r 20
2
22
2
C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006
6
Onde plane diffractée par une sphère (2/2)
x
z
y
ki→
M
rθ
Oa
pi^
M
x
z
y
ki→ki→
M
rθ
Oa
pipi^
MChamp incident monochromatique en coordonnées sphériques
Conditions aux frontières
Champ diffracté
( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=
ωωθ θ+==θ0n
tin0n
n0
ticosrki0i ecosPrkj1n2iPeePt;,rp 0
( ) ( ) tirr e,rPt;,rp ωθ=θ ( ) ( ) ( )∑
∞
=
θ=θ0n
n0)2(
nnr cosPrkhA,rP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0akhAakj1n2iPˆkiad
akhdA
adakjd
1n2iP 0)2(
nn0nn
000
)2(n
n0nn
0 =++β+−+−
avec
développement sur les modes propres en coordonnées sphériques
( ) θ∀==+
β+
∂∂
− ,ar,0PPˆkir ri0
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )akhˆkaakhi
akjˆkaakji1n2iPA
0)2(
n00)2(
n
0n00nn
0nβ+∂∂
β+∂∂+−=
et pour toute valeur de n θ∀= ,ar
ce qui définit complètement la solution
Préparation à la formulation intégrale
amont aval
Modélisation d'une surface active
aO
Mr
aO
Mr
Champ monopolaire : k0a → 0, Q0 constant
( ) tirki
0 er
e4Q
t;rˆ0
ω−
π−=ϕ
opposé de la fonction de Greenpour Q0=1
Champ dipôlaire : k0a → 0, D0 constant
( ) tirki
0 er
ez4
Dt;,rˆ
0ω
−
∂∂
π=θϕ
aO
Mr
z
w→
θaO
Mr
z
w→w→
θ
monopôle
dipôle
+ -
+ -+ -
+ -
+ -
+ -
+ -
z
M 0 (x0,y0,z0)
M(x,y,z)
O
(S)
00 rrMMRrrr
−==
MOr =r
00 MOr =r
Le monopôle
( ) τω−
π−=ϕ i
Rki
0 eR4
eQt;Rˆ0
a
( )[ ] t,aR,0t;RˆRtc
1R 2
2
20
2
2∀>=ϕ
∂∂
−∂∂
( ) ( )t,0aR,
a4tq
limR
t;Rˆ2
0
0a∀→=
π=
∂ϕ∂
→
conditions de Sommerfeld à l'infini
( )[ ] ( ) ( )Rtqt;RˆRtc
1RR
102
2
20
2
2 rδ=ϕ
∂∂
−∂∂
conditions de Sommerfeld à l'infini
Le problème
Le problème équivalent
La solution ( ) ( )[ ]00 cRtqR4
1t;Rˆ −ωπ
−=ϕ
source impulsionnelle source harmonique( ) ( )000 tttq −δ= Q ( ) ( )0tti00 eQtq −ω=
ϕ= ˆgradvr [ ] 12TLˆ −=ϕ
( )[ ] 3LR −=δr ( )[ ] 1
0 Ttt −=−δ
[ ] 130 TLq −=
( ) ( )R
cR4
t;Rˆ 00 −τδ
π−=ϕQ m3 m3.s-1
Le dipôle (1/2)
O
M(S+)
(S-)
+0M
0M
rr
0rr
Rr
udRRrrr
−=+
ud rudr0rr
+
nr
( ) τω+ = i00 eQtq
( ) ( ) τωπ+τω− −== i0
i00 eQeQtq
( ) τω−−−
−
−π−=ϕ i
RkiudRki0 e
Re
udRe
4Q
t;Rˆ00
rr
rr
( ) ( ) ( )[ ] τω−−π
−=ϕ i0 eRfudRf4Q
t;Rˆrrr ( ) ( )[ ] ( ) τω−⋅
π−=ϕ i0 eudRfgrad
4Q
t;Rˆ rr
nudud rr=
( ) τω−
τω−
∂∂
π=⋅
π=ϕ i
Rki0i
Rki0 e
Re
n4D
enR
egrad4
udQt;Rˆ
00 r
nudQ
nDD
0
00r
rr
=
=
( )[ ] ( )
( ) τω
τω
δ−
−δ=ϕ
+
∂∂
i0
i0
202
2
eRQ
eudRQt;RˆRkRR
1
r
rr
conditions de Sommerfeld à l'infini
Le problème
de la forme
avec
avec
La solution
infinitésimal
Le dipôle (2/2)
M
O
(S+)
rr
(S-)
R+r
0M
Rr
+0M
z
y
x
zezdud rr=
+0M
0M
z1 eVr
+
expansion
contraction
+0M
0Mz1 eVr
−
contraction
expansion
1/2 période plus tard
t fixé
t +T/2
zezdud rr=Cas particulier :
( ) tirki
0tirki
0 ecosr
er4
De
re
z4D
t;rˆ00
ω−
ω−
θ
∂∂
π=
∂∂
π=ϕ
symbole
M 0 (x0,y0,z0)
M(x,y,z)
O
(S)
00 rrMMRrrr
−==
MOr =r
00 MOr =r
En résumé : monopôle et dipôle
( ) tirki
0tirki
0 ecosr
er4
De
re
z4D
t;rˆ00
ω−
ω−
θ
∂∂
π=
∂∂
π=ϕ
( ) τω−
∂∂
π=ϕ i
Rki0 e
Re
n4D
t;Rˆ0
( ) τω−
π−=ϕ i
Rki
0 eR4
eQt;Rˆ0
( ) ( )R
cR4
t;Rˆ 00 −τδ
π−=ϕQ
O
M(S+)
(S-)
+0M
0M
rr
0rr
Rr
udRRrrr
−=+
ud rudr0rr
+
nr
zen rr=si
C. Potel, M. Bruneau, "Acoustique générale (...)", Ed. Ellipse, collection Technosup, ISBN 2-7298-2805-2, 2006
7
Transparents basés surC. POTEL, M. BRUNEAU, Acoustique Générale - équations différentielles et intégrales, solutions en milieux fluide et solide, applications, Ed. Ellipse collection Technosup, 352 pages, ISBN 2-7298-2805-2, 2006
