Bases Matemticas - Limites Infinitos, Limites no Infinito, Ass­ntotas

download Bases Matemticas - Limites Infinitos, Limites no Infinito, Ass­ntotas

of 63

  • date post

    10-Jan-2017
  • Category

    Documents

  • view

    225
  • download

    6

Embed Size (px)

Transcript of Bases Matemticas - Limites Infinitos, Limites no Infinito, Ass­ntotas

  • Bases MatemticasLimites Infinitos, Limites no Infinito, Assntotas

    Rodrigo Hausen

    v. 2016-8-17 1/19

  • Limites infinitos

    Definio. Dizemos que limxa f (x) = + se, para todo M > 0,

    existe > 0 tal que 0 < x a < f (x) > M

    Definio. Dizemos que limxa f (x) = se, para todo M < 0,

    existe > 0 tal que 0 < x a < f (x) < M

    v. 2016-8-17 2/19

  • Regras para limites infinitos

    Podemos demonstrar pela definio:Regra 1. Se lim

    xa f (x) = + ou limxa f (x) = , ento limxa1

    f (x)= 0

    Regra 2.1 Se limxa f (x) = 0 e alm disto f (x) > 0 para todo x ,

    ento limxa

    1f (x)

    = +

    Regra 2.2 Se limxa f (x) = 0 e alm disto f (x) < 0 para todo x ,

    ento limxa

    1f (x)

    =

    (alm do limite ser igual a 0, as condies f (x) > 0 e f (x) < 0 soessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)

    v. 2016-8-17 3/19

  • Regras para limites infinitos

    Podemos demonstrar pela definio:Regra 1. Se lim

    xa f (x) = + ou limxa f (x) = , ento limxa1

    f (x)= 0

    Regra 2.1 Se limxa f (x) = 0 e alm disto f (x) > 0 para todo x ,

    ento limxa

    1f (x)

    = +

    Regra 2.2 Se limxa f (x) = 0 e alm disto f (x) < 0 para todo x ,

    ento limxa

    1f (x)

    =

    (alm do limite ser igual a 0, as condies f (x) > 0 e f (x) < 0 soessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)

    v. 2016-8-17 3/19

  • Regras para limites infinitos

    Podemos demonstrar pela definio:Regra 1. Se lim

    xa f (x) = + ou limxa f (x) = , ento limxa1

    f (x)= 0

    Regra 2.1 Se limxa f (x) = 0 e alm disto f (x) > 0 para todo x ,

    ento limxa

    1f (x)

    = +

    Regra 2.2 Se limxa f (x) = 0 e alm disto f (x) < 0 para todo x ,

    ento limxa

    1f (x)

    =

    (alm do limite ser igual a 0, as condies f (x) > 0 e f (x) < 0 soessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)

    v. 2016-8-17 3/19

  • Regras para limites infinitos

    Podemos demonstrar pela definio:Regra 1. Se lim

    xa f (x) = + ou limxa f (x) = , ento limxa1

    f (x)= 0

    Regra 2.1 Se limxa f (x) = 0 e alm disto f (x) > 0 para todo x ,

    ento limxa

    1f (x)

    = +

    Regra 2.2 Se limxa f (x) = 0 e alm disto f (x) < 0 para todo x ,

    ento limxa

    1f (x)

    =

    (alm do limite ser igual a 0, as condies f (x) > 0 e f (x) < 0 soessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)

    v. 2016-8-17 3/19

  • Regras para limites infinitos

    Regra 3. Se limxa f (x) = + e limxa g(x) = +,

    ento limxa f (x) + g(x) = + e limxa f (x)g(x) = +

    Regra 4. Se limxa f (x) = e limxa g(x) = ,

    ento limxa f (x) + g(x) = e limxa f (x)g(x) = +

    (cuidado com a mudana de sinal no produto!)

    Regra 5. Se limxa f (x) = e limxa g(x) = +,

    ento limxa f (x)g(x) =

    (neste caso, o que podemos dizer sobre limxa f (x) + g(x)?

    Nada, a no ser que analisemos por outra regra!)

    v. 2016-8-17 4/19

  • Regras para limites infinitos

    Regra 3. Se limxa f (x) = + e limxa g(x) = +,

    ento limxa f (x) + g(x) = + e limxa f (x)g(x) = +

    Regra 4. Se limxa f (x) = e limxa g(x) = ,

    ento limxa f (x) + g(x) = e limxa f (x)g(x) = +

    (cuidado com a mudana de sinal no produto!)

    Regra 5. Se limxa f (x) = e limxa g(x) = +,

    ento limxa f (x)g(x) =

    (neste caso, o que podemos dizer sobre limxa f (x) + g(x)?

    Nada, a no ser que analisemos por outra regra!)

    v. 2016-8-17 4/19

  • Regras para limites infinitos

    Regra 3. Se limxa f (x) = + e limxa g(x) = +,

    ento limxa f (x) + g(x) = + e limxa f (x)g(x) = +

    Regra 4. Se limxa f (x) = e limxa g(x) = ,

    ento limxa f (x) + g(x) = e limxa f (x)g(x) = +

    (cuidado com a mudana de sinal no produto!)

    Regra 5. Se limxa f (x) = e limxa g(x) = +,

    ento limxa f (x)g(x) =

    (neste caso, o que podemos dizer sobre limxa f (x) + g(x)?

    Nada, a no ser que analisemos por outra regra!)

    v. 2016-8-17 4/19

  • Regras para limites infinitos

    Regra 3. Se limxa f (x) = + e limxa g(x) = +,

    ento limxa f (x) + g(x) = + e limxa f (x)g(x) = +

    Regra 4. Se limxa f (x) = e limxa g(x) = ,

    ento limxa f (x) + g(x) = e limxa f (x)g(x) = +

    (cuidado com a mudana de sinal no produto!)

    Regra 5. Se limxa f (x) = e limxa g(x) = +,

    ento limxa f (x)g(x) =

    (neste caso, o que podemos dizer sobre limxa f (x) + g(x)?

    Nada, a no ser que analisemos por outra regra!)

    v. 2016-8-17 4/19

  • Regras para limites infinitos

    Regra 3. Se limxa f (x) = + e limxa g(x) = +,

    ento limxa f (x) + g(x) = + e limxa f (x)g(x) = +

    Regra 4. Se limxa f (x) = e limxa g(x) = ,

    ento limxa f (x) + g(x) = e limxa f (x)g(x) = +

    (cuidado com a mudana de sinal no produto!)

    Regra 5. Se limxa f (x) = e limxa g(x) = +,

    ento limxa f (x)g(x) =

    (neste caso, o que podemos dizer sobre limxa f (x) + g(x)?

    Nada, a no ser que analisemos por outra regra!)

    v. 2016-8-17 4/19

  • Regras para limites infinitos

    Regra 6. Se limxa f (x) = L e limxa g(x) = +, ento:

    6.1. limxa f (x) + g(x) = +

    6.2. (a) Se L > 0, limxa f (x)g(x) = +

    (b) Se L < 0, limxa f (x)g(x) =

    6.3. (a) Se L > 0, limxa

    g(x)f (x)

    = +. (b) Se L < 0, limxa

    g(x)f (x)

    =

    6.5. limxa

    f (x)g(x)

    = 0

    (Se limxa

    f (x) = 0 e limxa

    g(x) = +, que podemos afirmar sobre limxa

    g(x)f (x)

    ?

    Nada, a menos que usemos outro mtodo!)

    Regra 7. Se limxa f (x) = L e limxa g(x) = , ento. . .

    Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definies delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.

    v. 2016-8-17 5/19

  • Regras para limites infinitos

    Regra 6. Se limxa f (x) = L e limxa g(x) = +, ento:

    6.1. limxa f (x) + g(x) = +

    6.2. (a) Se L > 0, limxa f (x)g(x) = +

    (b) Se L < 0, limxa f (x)g(x) =

    6.3. (a) Se L > 0, limxa

    g(x)f (x)

    = +. (b) Se L < 0, limxa

    g(x)f (x)

    =

    6.5. limxa

    f (x)g(x)

    = 0

    (Se limxa

    f (x) = 0 e limxa

    g(x) = +, que podemos afirmar sobre limxa

    g(x)f (x)

    ?

    Nada, a menos que usemos outro mtodo!)

    Regra 7. Se limxa f (x) = L e limxa g(x) = , ento. . .

    Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definies delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.

    v. 2016-8-17 5/19

  • Regras para limites infinitos

    Regra 6. Se limxa f (x) = L e limxa g(x) = +, ento:

    6.1. limxa f (x) + g(x) = +

    6.2. (a) Se L > 0, limxa f (x)g(x) = +

    (b) Se L < 0, limxa f (x)g(x) =

    6.3. (a) Se L > 0, limxa

    g(x)f (x)

    = +. (b) Se L < 0, limxa

    g(x)f (x)

    =

    6.5. limxa

    f (x)g(x)

    = 0

    (Se limxa

    f (x) = 0 e limxa

    g(x) = +, que podemos afirmar sobre limxa

    g(x)f (x)

    ?

    Nada, a menos que usemos outro mtodo!)

    Regra 7. Se limxa f (x) = L e limxa g(x) = , ento. . .

    Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definies delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.

    v. 2016-8-17 5/19

  • Regras para limites infinitos

    Regra 6. Se limxa f (x) = L e limxa g(x) = +, ento:

    6.1. limxa f (x) + g(x) = +

    6.2. (a) Se L > 0, limxa f (x)g(x) = +

    (b) Se L < 0, limxa f (x)g(x) =

    6.3. (a) Se L > 0, limxa

    g(x)f (x)

    = +. (b) Se L < 0, limxa

    g(x)f (x)

    =

    6.5. limxa

    f (x)g(x)

    = 0

    (Se limxa

    f (x) = 0 e limxa

    g(x) = +, que podemos afirmar sobre limxa

    g(x)f (x)

    ?

    Nada, a menos que usemos outro mtodo!)

    Regra 7. Se limxa f (x) = L e limxa g(x) = , ento. . .

    Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definies delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.

    v. 2016-8-17 5/19

  • Regras para limites infinitos

    Regra 6. Se limxa f (x) = L e limxa g(x) = +, ento:

    6.1. limxa f (x) + g(x) = +

    6.2. (a) Se L > 0, limxa f (x)g(x) = +

    (b) Se L < 0, limxa f (x)g(x) =

    6.3. (a) Se L > 0, limxa

    g(x)f (x)

    = +. (b) Se L < 0, limxa

    g(x)f (x)

    =

    6.5. limxa

    f (x)g(x)

    = 0

    (Se limxa

    f (x) = 0 e limxa

    g(x) = +, que podemos afirmar sobre limxa

    g(x)f (x)

    ?

    Nada, a menos que usemos outro mtodo!)

    Regra 7. Se limxa f (x) = L e limxa g(x) = , ento. . .

    Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definies delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.

    v. 2016-8-17 5/19

  • Limites laterais infinitos

    Note que no podemos afirmar que limx0

    1x

    + nem

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    -3 -2 -1 0 1 2 3x

    Porm, note que o valor de 1/x cresce arbitrariamente medidaque x se aproxima de 0 pela direita, e decresce arbitrariamente medida que x se aproxima de 0 pela esquerda.

    v. 2016-8-17 6/19

  • Limites laterais infinitosDados a,b, c,d nmeros reais e f ,g ,h, j funes reais. . . (limite + pela direita) . . . dizemos que lim

    xa+f (x) = + se para

    todo M > 0 existe > 0 tal que0 < x a < f (x) > M

    (limite + pela esquerda) . . . dizemos que limxa

    f (x) = + separa todo M > 0 existe > 0 tal que

    0 < a x < f (x) > M (limite pela direita) . . . dizemos que lim

    xa+f (x) = se para

    todo M < 0 existe > 0 tal que0 < x a < f (x) < M

    (limite pela esquerda) . . . dizemos que limxa