MATEMÁTICAS II EXAMEN GLOBAL DE RECUPERACIÓN 9/6/20
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IES LA DEHESILLA Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS II EXAMEN GLOBAL DE RECUPERACIÓN 9/6/20 Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas, indicando la propiedad o el teorema que se usa en cada caso. ÁLGEBRA LINEAL 1) (1 punto) Discutir el sistema según los valores del parámetro real λ : { λ x +3 y + z =λ x +λ y +λ z = 1 x + y − z =1 a) (0,75 puntos) El sistema se puede expresar como A· ( x y z ) = ( λ 1 1 ) siendo A la matriz de coeficientes. Determinar para qué valores de λ se puede resolver de esta forma: ( x y z ) = A −1 · ( λ 1 1 ) b) (0,75 puntos) Resolver el sistema para λ=2 . 2) (1,5 puntos) Encontrar un número real λ ≠0 y todas las matrices B de dimensión 2x2 (distintas de la matriz nula) tales que B· ( λ 0 3 1 ) =B· ( 3 0 9 3 ) a) (1 punto) Resuelve el siguiente sistema usando la regla de Cramer: ( 3 0 9 3 ) · ( x y ) = ( 1 2 ) GEOMETRÍA ANALÍTICA 3) (1,5 puntos) Hallar la ecuación implícita del plano que contiene a la recta r ≡ { x =1 +t y =−1 + 2 t z =t y es perpendicular al plano π ≡2 x + y − z= 2 . a) (1 punto) Hallar el punto de corte de la recta r con el plano π . 4) Dada la recta r ≡ { x =2− 3 λ y =1+ 2 λ z =4 −λ y los planos π ≡2−3 x + 2 y − z =0 , σ ≡3 +2 x + 2 y −2 z= 0 : a) (0,75 puntos) Determinar la posición relativa de r respecto al plano σ . b) (0,75 puntos) Hallar la distancia de r al plano σ . c) (1 punto) Determinar la posición relativa de la recta r respecto a la recta s intersección de los planos π y σ . ANÁLISIS 5) (1,25 puntos) Se considera la función f ( x )= ( 2 x −1 ) 2 4 x 2 +1 . Calcular ∫ 0 1 f ( x ) ·dx . a) (1,25 puntos) Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima.
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IES LA DEHESILLA Departamento de MatemáticasMATEMÁTICAS II EXAMEN GLOBAL DE RECUPERACIÓN 9/6/20
Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas, indicando la propiedad o el teorema que se usa en cada caso.
ÁLGEBRA LINEAL
1) (1 punto) Discutir el sistema según los valores del parámetro real λ : {λ x+3 y+z=λ
x+λ y+λ z=1x+ y−z=1
a) (0,75 puntos) El sistema se puede expresar como A ·(xyz )=(
λ11) siendo A la matriz de
coeficientes. Determinar para qué valores de λ se puede resolver de esta forma:
(xyz )=A−1 ·(
λ11)
b) (0,75 puntos) Resolver el sistema para λ=2 .
2) (1,5 puntos) Encontrar un número real λ≠0 y todas las matrices B de dimensión 2x2
(distintas de la matriz nula) tales que B·(λ 03 1)=B ·(3 0
9 3)a) (1 punto) Resuelve el siguiente sistema usando la regla de Cramer: (3 0
9 3)·(xy )=(12)
GEOMETRÍA ANALÍTICA
3) (1,5 puntos) Hallar la ecuación implícita del plano que contiene a la recta r≡{x=1+ty=−1+2tz=t
y es
perpendicular al plano π≡2 x+ y−z=2 .
a) (1 punto) Hallar el punto de corte de la recta r con el plano π .
4) Dada la recta r≡{x=2−3λ
y=1+2λz=4−λ
y los planos π≡2−3 x+2 y−z=0 , σ≡3+2 x+2 y−2 z=0 :
a) (0,75 puntos) Determinar la posición relativa de r respecto al plano σ .b) (0,75 puntos) Hallar la distancia de r al plano σ .c) (1 punto) Determinar la posición relativa de la recta r respecto a la recta s intersección de
los planos π y σ .
ANÁLISIS
5) (1,25 puntos) Se considera la función f (x )=(2 x−1)
2
4 x2+1
. Calcular ∫0
1f (x ) ·dx .
a) (1,25 puntos) Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima.
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6) (1,25 puntos) Sea f(x) una función derivable en (0,1) y continua en [0,1], tal que f(1) = 0 y
∫0
12 x·f ' ( x )· dx=1 . Utilizar la fórmula de integración por partes para hallar ∫0
1f (x ) ·dx .
a) (1,25 puntos) Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante cuyo vértice A está en (0, 0) y su vértice opuesto C está en (x, 4–2x)
PROBABILIDAD
7) (1,5 puntos) Un suceso A ocurre con probabilidad 0,3 y un suceso B ocurre con probabilidad 0,6. La probabilidad de que ocurra A sin que ocurra B es 0,2.a) Halla la probabilidad de que no ocurra A sabiendo que tampoco ocurre B.
8) (1 punto) En una distribución normal de media 250 y desviación típica 25, halla la probabilidad de que un elemento tomado al azar tenga una medida mayor de 260.
9) (1,5 puntos) De una urna con 7 bolas blancas y 3 negras se extraen dos bolas sin reemplazamiento.a) Hallar la probabilidad de que la segunda sea negra sabiendo que la primera ha sido
también negra.
10) (1 punto) En una distribución normal de media 180 y desviación típica 30, halla la probabilidad de que un elemento tomado al azar tenga una medida menor de 160.
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