1

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real:

Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:

cxLxf

)(lim

Lxfentoncescx )(,0

Límites de funciones

Analicemos la función: 112

xx

xf

La función está definida para toda x diferente de 1.

Podemos simplificar la función de la siguiente manera:

1

1

11

1

12

x

x

xx

x

xxf x 1

x

y

1

1

–1

0

1

12

x

xxfy

2

x

y

1

1

–1

0

y = x + 1

2

Valores de x menores y mayores 1ue 1

0.91.10.991.010.9991.0010.9999991.000001

1.92.11.992.011.9992.0011.9999992.000001

11

12

x

x

xxf x 1

Decimos que f8x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.

211

lim2lim2

11

xx

oxfxx

CÁLCULO DE LÍMITES POR MEDIO DE LOS MÉTODOS GRÁFICO Y NÚMERICO

5

INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES

Dibujar la Gráfica de la función f dada por:

Con x <> 1 dibujar la gráfica con la tabla de valores.

Con x = 1 no lo podemos hacer. Para conseguir una idea del

comportamiento de la gráfica se usará valores de x que se aproximen a 1 por la izquierda y por la derecha.

12

11

13

xxxf

xx

xxf

^)(

,)(

6

x se aproxima a 1 por laizquierda

x se aproxima a 1 por laderecha

x 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25

f(x) 2.31 2.71 2.99 2.97 ? 3.003 3.03 3.31 3.81

f(x) se aproxima a 3 f(x) se aproxima a 3

3)(1

xflímx

5

Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L, cuando x se aproxima a c por la izquierda y por la derecha entonces:

cxLxf

)(lim

9

Ejemplo: Estimación numérica de un límite. Evaluar la función

en varios puntos cercanos a x = 0 y usar el resultado para estimar el límite.

11)( xxxf

10

x se aproxima a 0 por laizquierda

x se aproxima a 0 por laderecha

x -0.01 -0.001 -0.0001 0 0.0001 0.001 0.01

f(x) 1.9949 1.9950 1.9995 ? 2.00005 2.0005 2.00499

f(x) se aproxima a 2 f(x) se aproxima a 2

11

El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 0

f no es definida en x = 0

11)( xxxf

2)(lim0

xfx

12

LÍMITES QUE NO EXISTEN

Ejemplo: Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda. Demostrar que el límite no existe:

x

x

0xlim

Solución

0,1 xx

x0,1 x

x

x

CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES

14

PROPIEDADES DE UN LÍMITE

Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.

bbcx

lim cxcx

lim

nn

cxcx

lim

15

Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:

33lim2

x

4lim4

x

x

42lim 22

2

x

x

16

Teorema 1.2:Propiedades de los Límites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes:

1. Múltiplo Escalar:

2. Suma o Diferencia

3. Producto:

Lxfcx

)(lim Kxgcx

)(lim

bLxfbcx

)(lim

KLxgxfcx

)()(lim

LKxgxfcx

)()(lim

17

4. Cociente:

5. Potencias:

0,)(

)(lim

KquesiempreK

L

xg

xfcx

nn

cxLxf

)(lim

18

Ejemplo: Límite de un Polinomio

3lim4lim)34(2

2

2

2

2 xxx

xxlím

19

316

3)2(4

3lim)lim(4

2

2

2

2

xx

x

19

Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real:

Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0 tenemos

)()(lim cpxpcx

)(

)()()(lim

cq

cpcrxr

cx

20

Ejemplo: Límite de una Función racional

Como el denominador no es 0 cuando x=1

1

22

1

x

xxlímx

22

411

2112

1

xlím

21

Teorema 1.4:Límite de una Función radical

Si n es un entero positivo:

• Para toda c si n es impar• c > si n es par

nn

cxcx

lim

22

Teorema 1.5 Límite de una Función Compuesta

Si f y g son funciones tales que: y

Entonces:

Lxgcx

)(lim )()(lim LfxfLx

)())(lim())((lim Lfxgfxgfcxcx

23

Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas

Sea c un número real: csenxsen

cx

)(lim cx

cxcos)cos(lim

cxcx

tan)tan(lim

cxcx

cot)cot(lim

cxcx

sec)sec(lim

cxcx

csc)csc(lim

24

Ejemplos

00tan)tan(lim0

xx

)cos(coslimlim)cos(lim xxxxxxx

00)(limlim 22

0

2

0

xsenxsen

xx

BIBLIOGRAFÍA

CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSON HOSTLER EDWARDS.CAPÍTULO 1 LÍMITES Y SUS PROPIEDADES

25