Post on 22-Jun-2015
BAHAN AJAR TRIGONOMETRI
Pengertian Trigonometri
Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat
Cartesis atau pada segitiga siku-siku. Jika didefinisikan pada segitiga siku-siku, maka
Perhatikan gambar ;
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC dengan sisi AB = 3 cm dan BC = 4 cm.
Tentukana:
a. Panjang AC !
b. Nilai perbandingan:
Sin , Cos , Tan , Cot , Sec , dan Cosec !
Jawab:
a. AC =
=
=
=
= 5
b. Sin = Cot =
Cos = Sec =
Tan = Cosec =
Sin = Cot =
Cos = Sec =
Tan = Cosec =
2. Jika Cos = dan 0o < < 90o, tentukan nilai sin dan tan !
Jawab:
Cos = , maka
BC =
=
=
=
Jadi, Sin = = =
Tan = = = 1
B. NILAI TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT – SUDUT ISTIMEWA
Nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa ( 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o ) adalah
sebagai berikut :
Sin cos tan cot sec cosec
0o 0 1 0~
0 ~
30o 2
45o 1 1
60o 2
90o 1 0 ~ 0 ~ 0
C. RUMUS SUDUT-SUDUT YANG BERELASI DALAM TRIGONOMETRI
Tanda – tanda fungsi:
FungsiKuadran
| || ||| lV
Sin + + - -
Cos + - - +
tan + - + -
Rumus trigonometri sudut berelasi:
Kuadran | Kuadran |||
Kuadran || Kuadran lV
Contoh:
a. sin 150o = sin (180o - 30o) = sin 30o =
b. cos 225o = cos (180o + 45o) = - cos 445o = -
c. tan 150o = tan (180o - 30o) = - tan 30o = -
sin ( 90o - o) = cos o
cos ( 90o - o) = sin o
tan ( 90o - o) = cot o
cot ( 90o - o) = tan o
sec ( 90o - o) = cosec o
cosec ( 90o - o) = sec o
sin ( 180o - o) = sin o
cos ( 180o - o) = -cos o
tan ( 180o - o) = -tan o
cot ( 180o - o) = -cot o
sec ( 180o - o) = -sec o
cosec ( 180o - o) = cosec o
sin ( 360o - o) = -sin o
cos ( 360o - o) = cos o
tan ( 360o - o) = -tan o
cot ( 360o - o) = -cot o
sec ( 360o - o) = sec o
cosec ( 360o - o) = -cosec o
sin ( 180o + o) = -sin o
cos ( 180o + o) = -cos o
tan ( 180o + o) = tan o
cot ( 180o + o) = cot o
sec ( 180o + o) = -sec o
cosec ( 180o + o) = -cosec o
d. cos 300o = sin (360o - 60o) = sin 60o =
D. RUMUS – RUMUS IDENTITAS TRIGONOMETRI
Contoh :
Sederhanakanlah: !
Jawab:
= . = . = 1
E..KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT CARTESIUS
1. Koordinat Cartesius p ( x, y )
r =
cos
sin
tan
2. Koordinat Kutub p (r, )
Contoh:
1. Nyatakan koordinat cartesius ( -2, 2 ) menjadi koordinat kutub!
tan = sin2 + cos2 = 1
cot = tan2 + 1 = sec2
sec = cot + 1 = cosec2
cosec =
Jawab:
Koordinat kutub p ( r, )
Mencari r =
=
=
= = 2
Mencari : tan
tan
tan
Jadi, koordinat kutubnya p ( 2
2. Tentukan koordinat cartesius jika koordinat kutub p (4, 45o)!
Jawab:
Koordinat cartesius p(x,y)
Mencari x: Mencari y:
x = r. cos y = r. sin x
= 4. cos 45o = 4. sin 45o
= 4. = 4.
= =
Jadi, koordinat cartesiusnya p ( , )
F. ATURAN SINUS
Pada segitiga ABC berlaku :
= =
Contoh:
Pada ABC diketahui AB = 4, BC = 6, dan C = 45O, tentukan besar A !
Jawab:
4 sin A=
Sin A=
A= 68,720
G. ATURAN COSINUS
Pada segitiga ABC berlaku:
Contoh:
Diketahui ABC dengan a = 4, b = 5, dan c = 6. Tentukan besar sudut - sudut ABC!
Jawab:
Cos A =
a2 = b2 + c2 – 2 bc. cos
b2 = a2 + c2 – 2 bc. cos
c2 = a2 + b2 – 2 bc. cos
cos A =
cos B =
Cos A = 0,75
A = 41,40
A = 41,40
Cos B = 0,5625
B = 55,770
B = 55,770
C = 1800 – ( A + B )
= 1800 – ( 41,40 + 55,770 )
= 82,830
Cos B =
H. LUAS SEGITIGA
Luas ABC
Contoh:
Tentukan luas segitiga, jika sisi AB = 6 cm, AC = 4 cm dan A = 450!
Jawab:
Luas segitiga = cm2
I. TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT RANGKAP
Rumus:
Contoh:
1. Bila sin p, tentukan nilai dari sin 2 !
Jawab:
sin p ( dikuadratkan )
(sin p2
p2
Ingat!
Sin 2 dan 2
maka; 1- sin 2 = p2
- sin 2 = 1 + p2
Jadi, sin 2 p2
2. Pada ABC diketahui tan , tentukan nilai dari sin 2 !
Jawab:
AC =
Maka, sin
Sin 2
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos2 - sin2
cos 2 = 1 - 2 sin2
cos 2 = 2 cos2 - 1
tan 2 =
Jadi, sin 2
J. RUMUS PENJUMLAHAN DAN PERKALIAN
1. Rumus – rumus Penjumlahan
2. Rumus – rumus Perkalian
Contoh:
a. cos 5x – cos 3x = -2 sin (5x + 3x) sin (5x – 3x) = -2 sin 4x sin x
b.
K. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Rumus:
Untuk sinus, jika:
Keterangan: k = bilangan bulat = 0, 1, 2, …
Untuk Cosinus, jika:
Untuk Tangen, jika:
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
a. sin 2x = ; 0o 360o
Jawab:
sin 2x = sin 30o
maka: 2x = 30o + k.360o
x = 15o + k. 180o
Untuk k = 0 x = 15o + 0. 180o = 15o
k = 1 x = 15o + 1. 180o = 195o
atau
2x = ( 180o – 30o) + k. 360o
2x = 150o + k. 360o
x = 75 o + k. 360o
Untuk k = 0 x = 75o + 0. 180o = 75o
k = 1 x = 75o + 1. 180o = 225o
Jadi, himpunan penyelesaian sin 2x = adalah
Sin x = sin maka x = + k. 360o
X2 = ( 180o - ) + k. 360o
Cos x = cos maka x = + k. 360o
Tan x = tan maka x = + k. 180o
b. cos 2x =
Jawab:
cos 2x = cos 30o
maka: 2x = 30o + k.360o
x = 15o + k. 180o
Untuk k = 0 x = 15o + 0. 180o = 15o
k = 1 x = 15o + 1. 180o = 195o
atau
2x = - 30o + k.360o
x = - 15o + k. 180o
Untuk k = 0 x = -15o + 0. 180o = -15o
k = 1 x = -15o + 1. 180o = 165o
Jadi, himpunan penyelesaian cos 2x = adalah
c. tan 2x =
Jawab:
tan 2x = tan 60o
maka: 2x = 60o + k.360o
x = 30o + k. 180o
Untuk k = 0 x = 30o + 0. 180o = 30o
k = 1 x = 30o + 1. 180o = 210o
Jadi, himpunan penyelesaian tan 2x = adalah
d. sin ( x – 30o ) + sin ( x + 60o) = 1 ; 0o
Ingat!
Gunakan rumus sin A + sin B = 2 sin ( A + B ) cos ( A + B ),
Sehingga:
sin ( x – 30o) + sin ( x + 60o ) = 1
2 sin
2 sin
2 sin
2 sin
2 sin
2 sin
2 sin
( dirasionalkan)
2 sin ( x + 15o ) =
sin ( x + 15o ) =
sin ( x + 15o ) =
sin ( x + 15o ) = sin 45o
x + 15o = 45o + k. 360o
x = 30o + k. 360o
Untuk k = 0 x = 30o + 0. 360o = 30o
atau
x + 15o = ( 180o – 45o) + k. 360o
x + 15o = 135o + k. 360o
x = 120o + k. 360o
Untuk k = 0 x = 120o + 0. 360o = 120o
Jadi, himpunan penyelesaian sin (x – 30o) + sin (x + 60o) = 1 adalah