ECUACION DE LA CONDUCCION DE CALOR

Q = Calor

Q=Velocidad de transferenciade calor

QA

=Flujo decalor

Conducción de calos en coordenadas cartesianas es tridimensional y depende del tiempo

T=T ( x , y , z ,t )

La transferencia de calor tiene dirección y magnitud, es cantidad vectorial.

Coordenadas cartesianas (x, y, z)

Coordenadas cilíndricas (r, θ, z)

Coordenadas esféricas (r, φ, θ)

Conducción de calor en estado estable: no hay cambio con el tiempo en cualquier punto dentro del medio.

Conducción de calor en estado transitorio: variación con el tiempo.

CONDUCCION DE CALOR MULTIDIMENSIONAL

Ley de Fourier en la conducción de calor unidimensional.

Qcond=−KA dTdx

El signo negativo garantiza que la transferencia de calor en la dirección positiva de x sea una cantidad positiva.

Distribución de temperaturas es tridimensional el vector de flujo de calor en un punto P sobre la superficie debe ser perpendicular a ella y debe apuntar en la dirección de la temperatura decreciente.

n es la normal a la superficie isotérmica.

Qn=−KA ∂T∂ x

Qn=Q x i+Q y j+Q z k

i , j , k vectoresunitarios

Q x ,Q y ,Q zmagnitudes de velocidadesde transferenciade calor en la direccion x , y , z

Q x=−A xK∂T∂ x,Q y=−A yK

∂T∂ y

,QZ=−A z K∂T∂z

Ax, Ay, Az áreas normales a las direcciones

Se considera materiales de naturaleza isotrópica

GENERACION DE CALOR

Temperatura de una resistencia de alambre se eleva cuando pasa una corriente eléctrica.

Los circuitos electrónicos eliminan calor.

Plantas nucleares de generación eléctrica.

Reacciones químicas exotérmicas, fuentes de calor.

Reacciones químicas endotérmicas, sumidero de calor.

Absorción de la energía solar.

Rayos gamma penetra en el cuerpo.

Generación de calor es un fenómeno volumétrico es decir ocurre en el medio, g(Wm3 )Velocidad de generación de calor G

G=∫V

❑

g dV

Si es uniforme la generación, G= gV

ECUACION UNIDIMENSIONAL DE LA CONDUCCION DE CALOR

Ejemplos pared plana grande, vidrio de una ventana de una sola hoja, la placa metálica de la base de una plancha, un tubo para vapor de agua de fierro fundido, un elemento cilíndrico de combustible nuclear, una resistencia eléctrica de alambre, la pared de un recipiente esférico, una bola metálica que está siendo templada, en todos ellos la conducción de calor es dominante en una dirección y despreciable en las demás.

ECUACION DE LA CONDUCCION DE CALOR EN UNA PARED PLANA GRANDE

Para un elemento delgado de espesor ∆x,

Ρ = densidad

C = calor especifico

A = área de la pared perpendicular a la direccion de transferencia de calor

∆t = pequeño intervalo de tiempo

[ Velocidaddeconducciondecalor en x

]−[ Velocidadde

conducciondecalor en x+∆ x

]+[ Velocidad degeneraciondecalor enelinterior delelemento

]=[Velocidad decambiodelcontenido deenergiadelelemento

] Q x−Qx+∆x+Gelemento=

∆ Eelemento∆ t

∆ Eelemento=Et+∆t−E t=mc (T t+∆ t−T t )=ρcA∆ x (T t+∆t−T t )

Gelemento= gV elemento= g A∆ x

Q x−Qx+∆x+ g A ∆ x=ρcA∆ x (T t+∆t−T t )

∆ t

Dividiendo entre A∆x

−1A {Q x+∆ x−Q x

∆x }+ g=ρc (T t+∆t−T t∆ t )

Para ∆x→0 ,∆t→0 por definición de derivada y ley de Fourier

lim∆ x→0 (Q x+∆x−Q x

∆ x )❑

=∂Q∂ x

=∂(−KA ∂T∂ x )

∂ x

1A

∂(KA ∂T∂ x )∂ x

+ g=ρc ∂T∂ t

Como A es constante

∂(K ∂T∂x )∂ x

+ g= ρc ∂T∂ t

La conductividad térmica del material es variable K(T), depende de la temperatura pero se puede suponer que puede permanecer constante en algún valor promedio.

Para conductividad térmica constante

∂2T∂x2 + g

K= 1α∂T∂ t

∝= Kρc

α= Difusividad térmica del material representa la velocidad con la que se propaga el calor a través del mismo.

Sin generación, gK

=0

Estado estable, 1α∂T∂ t

=0

1.- ESTADO ESTABLE, ∂T∂ t

=0

∂2T∂x2 + g

K=0

2.- REGIMEN TRANSITORIO SIN GENERACION DE CALOR, g=0

∂2T∂x2 =1

α∂T∂ t

3.- ESTADO ESTABLE, SIN GENERACION DE CALOR, ∂T∂ t

=0 y g=0

∂2T∂x2 =0

ECUACION DE LA CONDUCCION DE CALOR EN UN CILINDRO LARGO

Para un espesor ∆r,

Ρ = densidad

C = calor especifico

A = área del cilindro normal a la direccion de transferencia de calor, A = 2πrL

∆t = pequeño intervalo de tiempo

[ Velocidaddeconducciondecalor enr

]−[ Velocidadde

conduccionde calor enr+∆r

]+[ Velocidad degeneraciondecalor enelinteriordelcilindro

]=[Velocidad decambio delcontenidodeenergiadelelemento

]

Qr−Qr+∆r+Gelemento=∆Eelemento∆ t

∆ Eelemento=Et+∆t−E t=mc (T t+∆ t−T t )=ρcA∆ r (T t+∆t−T t )

Gelemento= gV elemento= g A∆ r

Q x−Qx+∆x+ g A ∆ r=ρcA ∆r (T t+∆t−T t )

∆ t

−1A {Qr+∆r−Qr

∆r }+ g=ρc (T t+∆ t−T t∆ t )

Para ∆r→0 ,∆t→0 por definición de derivada y ley de Fourier

lim∆r →0 (Q r+∆r−Q r

∆r )❑

=∂ Q∂ r

=∂(−KA ∂T∂r )

∂ r

1A

∂(KA ∂T∂r )∂r

+ g=ρc ∂T∂ t

A = 2πrL

Para conductividad térmica variable

1r

∂(rK ∂T∂r )∂r

+ g= ρc ∂T∂ t

Para conductividad térmica constante

1r

∂(r ∂T∂r )∂r

+ gK

= 1∝∂T∂ t

1.- ESTADO ESTABLE, ∂T∂ t

=0

1r

∂(r ∂T∂r )∂r

+ gK

=0

2.- ESTADO TRANSITORIO SIN GENERACION DE CALOR, g=0

1r

∂(r ∂T∂r )∂r

= 1∝∂T∂ t

3.- ESTADO ESTABLE, SIN GENERACION DE CALOR, ∂T∂ t

=0 y g=0

∂(r ∂T∂r )∂ r

=0

ECUACION DE LA CONDUCCION DE CALOR EN UNA ESFERA

Para un casquete esférico de espesor ∆r,

ρ = densidad

C = calor especifico

A = área del casquete normal a la dirección de transferencia de calor, A = 4πr2

∆t = pequeño intervalo de tiempo

Para conductividad térmica variable

1

r2

∂(r2K∂T∂r )

∂r+ g=ρc ∂T

∂ t

Para conductividad térmica constante

1

r2

∂(r2 ∂T∂r )

∂r+ gK

= 1∝∂T∂ t

1.- ESTADO ESTABLE, ∂T∂ t

=0

1

r2

∂(r2 ∂T∂r )

∂r+ gK

=0

2.- REGIMEN TRANSITORIO SIN GENERACION, g=0

1

r2

∂(r2 ∂T∂r )

∂r= 1∝∂T∂ t

3.- ESTADO ESTABLE, SIN GENERACION DE CALOR, ∂T∂ t

=0 y g=0

∂(r2 ∂T∂r )∂r

=0

ECUACION UNIDIMENSIONAL COMBINADA DE LA CONDUCCION DE CALOR

1

rn

∂(r nK ∂T∂r )∂r

+g=ρc ∂T∂ t

Pared plana n=0 ∂(K ∂T∂x )∂ x

+ g= ρc ∂T∂ t

Para cilindro n=1 1r

∂(rK ∂T∂r )∂r

+ g= ρc ∂T∂ t

Para esfera n=2 1

r2

∂(r2K∂T∂r )

∂r+ g=ρc ∂T

∂ t

ECUACION GENERAL DE CONDUCCION DE CALOR EN COORDENADAS RECTANGULARES

[ Velocidaddeconduccionde calor enx , y , z

]−[Velocidad

deconducciondecalor en

x+∆ x , y+∆ y ,z+∆ z

]+[ Velocidad degeneraciondecalor enelinterior delsistema

]=[Velocidad decambiodelcontenido deenergia delelemento

]Q x+Q y+Q z−Q x+∆x−Q y+∆ y−Qz+∆ z+Gelemento=

∆ Eelemento∆ t

V = ∆x∆y∆z

∆ Eelemento=Et+∆t−E t=mc (T t+∆ t−T t )=ρc ∆x ∆ y ∆ z (T t+∆ t−T t )

Gelemento= gV elemento= g ∆ x ∆ y ∆ z

Q x+Q y+Q z−Q x+∆x−Q y+∆ y−Qz+∆ z+ g∆ x ∆ y ∆ z=ρc∆ x ∆ y ∆ z∆T∆ t

Dividir entre ∆x∆y∆z

−1∆ y ∆ z {Q x+∆ x−Q x

∆x }− 1∆ x ∆z {Q y+∆ y−Q y

∆ y }− 1∆ x ∆ y {Q z+∆ z−Q z

∆ z }+ g=ρc (T t+∆t−T t∆ t )

Ax= ∆y*∆z, Ay= ∆x*∆z, Az= ∆x*∆y

∆t, ∆x, ∆y, ∆z → 0

− lim∆ x→0

1

∆ y ∆ z (Q x+∆ x−Q x

∆ x )−lim∆ y→0

1

∆ x ∆ z ( Q y+∆ y−Q y

∆ y )−lim∆ z→0

1

∆ x ∆ y ( Q z+∆ z−Q z

∆ z )+ g=ρc lim∆t →0 (T t+∆t−T t∆t )

lim∆x→0

1

∆ y ∆ z ( Q x+∆ x−Q x

∆x )= 1∆ y ∆ z

∂Q∂ x

= 1∆ y ∆ z

∂(−K ∆ y ∆z ∂T∂x )∂ x

=−∂(K ∂T∂ x )

∂x

lim∆ y→0

1

∆ x ∆ z ( Q y+∆ y−Q y

∆ y )=−∂(K ∂T∂ y )

∂ y

lim∆z→0

1

∆ x ∆ y ( Q z+∆z−Qz

∆ z )=−∂(K ∂T∂ z )

∂ z

Para K constante:

ECUACION DE FOURIER-BIOT

∂2T∂x2 + ∂

2T∂ y2 +

∂2T∂ z2 + g

K= 1∝∂T∂ t

ECUACION DE POISSON (ESTADO ESTABLE)

∂2T∂x2 + ∂

2T∂ y2 +

∂2T∂ z2 + g

K=0

ECUACION DE DIFUSION (REGIMEN TRANSITORIO, SIN GENERACION DE CALOR)

∂2T∂x2 + ∂

2T∂ y2 +

∂2T∂ z2 = 1

∝∂T∂ t

ECUACION DE LAPLACE (ESTADO ESTABLE Y SIN GENERACION DE CALOR)

∂2T∂x2 + ∂

2T∂ y2 +

∂2T∂ z2 =0

ECUACION GENERAL DE CONDUCCION DE CALOR EN COORDENADAS CILINDRICAS

X = z

Y = rsenφ

X = r cosφ

X = z

Y = rsenφ

X = r cosφ

1r

∂(rK ∂T∂r )∂r

+

˙

1

r2

∂(rK ∂T∂∅ )∂∅

+∂(K ∂T∂ z )∂ z

+ g=ρc∂T∂ t

ECUACION GENERAL DE CONDUCCION DE CALOR EN COORDENADAS ESFERICAS

1

r2

∂(r2K∂T∂r )

∂r+

˙

1

r2 sen2θ

∂(K ∂T∂φ )∂φ

+1

r2 sin θ

∂(Ksenθ ∂T∂θ )∂θ

+g=ρc∂T∂ t

CONDICIONES DE FRONTERA E INICIALES

1.- Condición de frontera de temperatura especifica

T(0,t) = T1 en x = 0

T(L,t) = T2 en x = L

2.- Condición de frontera de flujo especifico de calor

Cuando se puede determinar la velocidad de transferencia de calor q, el flujo de calor sobre la superficie.

q=−K ∂T∂x

Flujo de calor en la dirección positiva de x (W/m2)

2a.- Caso especial: Frontera aislada

El aislamiento reduce la transferencia de calor pero no lo elimina en su totalidad, la transferencia de calor se puede tomar como cero

q=K∂T (0 , t )∂ x

=0

La función de la temperatura debe ser perpendicular a la superficie aislada.

2b.- Caso especial: Simetría térmica

Pendiente cero

q=K∂T ( L2 , t)∂ x

=0

3.- Condiciones de convección de frontera

Balance de energía superficial

(Conduccion decalor enla superficie enunadireccion seleccionada)=(Conveccion decalor enla superficieen la

mismadireccion )

−K∂ ( 0 ,t )∂ x

=h1 (T ∞1−T (0 ,t ) )

−K∂ (L , t )∂x

=h2 (T (L, t )−T ∞2 )

4.- Condición de radiación de frontera

En el vacío no hay convección, radiación sería el único mecanismo

−K∂T (0 , t )

∂ x=ε1σ (T alred , 14 −T (0 ,t )

4 )

−K∂T (L, t )

∂x=ε2σ (T (L,t )

4 −T alred ,24 )

σ = 5.67*10-8 W/m2-K4

T alred,1, Talred,2, K, ºR

5.- Condiciones de frontera en la interfase

Cuerpos formados por capas de materiales diferentes

a)Los dos cuerpos en contacto tienen la misma temperatura en el área de contacto

b)Una interfase no puede almacenar energía, flujo de calor sobre ambos lados de la interfase debe ser el mismo.

T A (x0 ,t )=T B (x0 ,t )

−K A

∂T A ( x0 , t )

∂ x=−K B

∂T B( x 0 ,t )

∂x

6.- Condiciones de frontera generalizadas

Una superficie puede comprender convección, radiación y flujo superficial de calor simultáneamente

( Transferencia decalor haciala superficie , en todos losmodos)=(Transferencia decalor desdelasuperficie en todos losmodos )

GENERACION DE CALOR EN UN SOLIDO

La temperatura de un medio se eleva durante la generación de calor esto hasta que alcanzan las condiciones de operación estables y la velocidad de generación de calor es igual a la velocidad de la transferencia de calor a los alrededores.

La temperatura máxima ocurre en el plano medio de una pared plana, en la línea central de un cilindro hueco y en el punto medio en una esfera.

(Velocidad de la transferenciade calor desde el solido )=( Velocidadde lageneraciondeenerg iadentrodel solido )

Q= gV

Q=h A s (T s−T ∞ )

T S=T ∞+gVh A s

Q=Egen

Para las diversas geometrías:

Pared plana 2L, As = Apared, V =2L Apared

Cilindro ro, AS=2 πr oL ,V=π r02 L

Esfera r0, AS=4 πr 02 ,V= 4

3π r0

3

Temperaturas de superficie para las geometrías:

T s , pared plana=T ∞+gLh

T s , cilindro=T ∞+g r 0

2h

T s , esfera=T ∞+g r0

3h

Calor generado a través de un casco cilíndrico es igual al calor generado dentro de el

−K A rdTdr

= gV r

Ar=2πrL ,V r=πr2L

−K (2πrL ) dTdr

= g π r2L

dT=− g r2K

dr

∫T 0

T S

dT=−∫r=0

r=r0

g r2K

dr→T S−T 0=− g4K

(r 02−02 )

Para cilindro

T 0−T s=g r0

2

4 K=∆T max

T0 = Tcentro

T centro=T S+∆T max

Para placa plana

∆T max , pared=g L2

2K

Para esfera solida

∆T max , pared=g r 2

6K

CONDUCTIVIDAD TERMICA VARIABLE K(T)

Cuando se conoce la variación de la conductividad térmica con la temperatura K(T), se puede determinar el valor promedio de la conductividad térmica en el rango de temperaturas entre T1 y T2 a partir de:

K prom=∫T1

T2

K (T )dT

T 2−T1

Si K(T) = K → Kprom = K

Si K(T) = Ko*( 1+βT)

K prom=∫T1

T2

K0 (1+βT )dT

T 2−T 1

=K0[1+β {T2+T 1

2 }]

PROBLEMA

La distribución de temperaturas a través de una pared de 1m de espesor en cierto instante está

dada como T x=a+bx+c x2 donde T está dada en grados Celsius y x en metros, mientras

a=900°C, b= -300°C/m y c = -50°C/m2

Una generación de calor uniforme g = 1000W/m3, está presente en la pared de área 10m2 que tiene las propiedades ρ = 1600 Kg/m3, K = 40 W/m-K, Cp = 4 Kj/Kg-K

a)Determine la rapidez de transferencia de calor que entra a la pared x = 0 y sale de la pared.

b)Determine la rapidez de cambio de almacenamiento de energía en la pared.

c)Determine la rapidez con respecto al tiempo del cambio de temperatura en x = 0, x=0.25 y x=0.50m.

T x=900−300 x−50 x2→dTdx

=−300−100 x

a)Qentra=Q x=0=−KA dTdx

=−40∗10 (−300−100∗0 )=120000W=120KW

Qsale=Q x=L=−KA dTdx

=−40∗10 (−300−100∗1 )=160000W=160KW

b) Balance de energía

Eentra+ Egenera−Esale=Ealmacenamiento

E genera = g*A*L = 1000*10*1 = 10000W = 10 KW

E almacenamiento = 120+10-160 = -30 KW

c)De ecuación general de conducción

∂2T∂x2 + g

K=ρCp

K∂T∂ t

∂T∂ t

= KρCp

∂2T∂ x2 + g

ρC p

∂2T

∂x2=∂( ∂ y∂x )∂x

=∂ (−300−100 x )

∂ x=−100

C

m2

∂T∂ t

= 401600∗4000

∗(−100 )+ 10001600∗4000

=−4.69∗10−4 Cs

Hallar la ecuación de Transferencia de calor por conducción entre dos caras paralelas, sin generación de calor y estado estacionario.

Para la dirección x

∂2T∂x2 =0

Como hay una sola variable, integrando: dTdx

=C1

Volviendo a integrar: T=C1 x+C2

Hallar C1 y C2 con las condiciones de contorno X = 0 → T = T1 y X = L → T = T2

T 1=C1∗0+C2→T1=C2

T 2=C1∗L+T1→C1=T2−T 1

L

Por lo tanto:

T x=(T 2−T 1

L ) x+T 1

dTdx

=T 2−T 1

L

Q=−KA dTdx

=−KA(T 2−T 1

L )

Q=−T 2−T 1

LKA

=T 1−T2

LKA

Hallar la ecuación de Transferencia de calor por conducción en una pared cilíndrica, sin generación de calor y estado estacionario.

Para la dirección radial

1r

∂(r ∂T∂r )∂r

=0→∂(r ∂T∂r )∂ r

=0

Integrando r∂T∂r

=C1→dTdr

=C1

r

Integrando nuevamente T=C1 lnr+C2

Para r = r1 → T = T1 y además r = r2 → T = T2

T 1=C1 ln r1+C2

T 2=C1 ln r2+C2 , ahora restamos

T 1−T2=C1 (ln r1−ln r2 )=C1 lnr1

r2

→C1=T 1−T 2

lnr1

r2

Despejando C2

C2=T1−C1 ln r1=T 1−[T1−T2

lnr1

r2] ln r1

T=[T1−T2

lnr1

r2] ln r+¿T1−[T 1−T 2

lnr1

r2] lnr 1¿

Por lo tanto la ecuación de distribución de temperaturas en un cilindro es:

T r=T 1+[ T1−T 2

lnr1

r 2] ln

rr1

Calculo de la transferencia de calor:

Q=−K A r=r1

dTdrparar=r1

dTdr

=C1

r=

T1−T 2

lnr 1

r 2

r1

Q=−K2 π r1L

T1−T2

lnr1

r2

r1

=−2πKLT 1−T2

lnr1

r2

=T1−T2

lnr2

r1

2πKL

Hallar la ecuación de Transferencia de calor por conducción en una pared esférica, sin generación de calor y estado estacionario.

1

r2

∂(r2 ∂T∂r )

∂r=0

Integrando r2 ∂T∂r

=C1→∂T∂r

=C1

r 2

Integrando nuevamente T=C1

r+C2

Para r = r1 → T = T1 y además r = r2 → T = T2

T 1=C1

r1

+C2

T 2=C1

r2

+C2 y restando ambas

T 1−T2=C1( 1r1

− 1r2 )→C1=

T1−T2

( 1r1

− 1r2

)

T 1=

T 1−T 2

( 1r1

− 1r2

)r1

+C2→C2=T1+T 1−T2

r1( 1r2

−1r1

)

T=

T1−T 2

( 1r1

− 1r2

)r

+T 1+T1−T 2

r1( 1r 2

−1r1

)=T 1−(T 1−T 2)

[1− r1

r ][1− r1

r2]

Calculo de la transferencia de calor:

Q=−KA dTdr

=−K 4 π r2 dTdr→Q

dr

r2=−4 πKdT

Integrando:

Q∫r1

r2

dr

r2=−∫

T 1

T 2

4 πKdT

−Q [ 1r2

− 1r1 ]=−4 πK (T2−T1 )→Q=

T 1−T 2

( 1r1

− 1r 2

) 14 πK

Q=T 1−T2

(r 2−r1 )4 πK r1 r2

PROBLEMA

Una pared homogénea de área “A” y espesor “L” tiene temperaturas en la superficie izquierda y derecha de 0°C y 40°C, respectivamente. Determinar las temperaturas en el centro de la pared. ¿Cuánto material debe agregarse y en cuál de los lados de la pared para que la temperatura en el centro de esta ascienda 4°C? ¿Cuánto material debe quitarse y en cuál de los lados para para que la temperatura en el centro de la pared baje 4°C? Exprese sus respuestas en términos de A y L

d2Td x2 =0

dTdx

=C1

T=C1 x+C2(1)

Para x = 0 → T = 0°C

en (1) 0=C1∗0+C2→C2=0

Para X = L → T = 40°C

en (1) 40=C1L+0→C1=40Lx

en (1) T=40L

Para x = L/2 en la mitad T=

40L

∗L

2→T=20℃

a) Que material debe agregarse para que el centro ascienda 4°C? (24°C)

Se toma el (a)

−K (40−0 )L+x

=−K ( 40−24 )

L2

L+x=

4016

∗L

2→x=

L4

b) Que material debe quitarse para que el centro descienda 4°C? (16°C)

Se toma el caso (a)

−K (40−0 )L−x

=−K ( 40−16 )

L2

L−x=

4024

∗L

2=

56L

x=L−56L→ x=L

6

CONDUCCION DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO

PAREDES PLANAS DE CAPAS MULTIPLES

Pared que consta de dos capas

Q=T ∞1−T ∞2

Rtotal

Rtotal=Rconv1+Rp1+Rp2+Rconv 2

Rtotal=1h1 A

+L1

K1 A+L2

K2 A+ 1h2 A

T1, T2 y T3 temperaturas de las superficies

Si queremos calcular la temperatura de la interfase 2, conociendo Q

Q=T ∞1−T 2

1h1 A

+L1

K1 A

→T 2=T ∞1+Q∗( 1h1 A

+L1

K 1 A )

RESISTENCIA TERMICA POR CONTACTO

Las superficies vistas al microscopio muestran picos y valles, al juntarse dos superficies hay espacios con aire el cual actúa como aislamiento por tener el aire conductividad baja. Por lo tanto la interfase ofrece resistencia a la transferencia de calor y esta resistencia por unidad de área se denomina resistencia térmica por contacto Rc.

De la ley de newton de enfriamiento: Q=hc A ∆T interfase

Conductancia térmica por contacto directo hc=

QA

∆T interfase

La resistencia térmica por contacto es la inversa de la conductancia

Rc=1hc

=∆T interfaseQA

(m2−CW )

Esta resistencia térmica depende de la aspereza de la superficie, propiedades de los materiales y de la presión en la interfase y del tipo de fluido atrapado en esta.

Se puede minimizar esta resistencia aplicando grasa térmica o también insertando hojas metálicas suaves.

REDES GENERALIZADAS DE RESISTENCIAS TERMICAS

Para paredes en paralelo o combinadas serie – paralelo se puede obtener soluciones aproximadas suponiendo conducción unidimensional de calor

Dos placas paralelas aisladas exteriormente.

Q=Q 1+Q2=T 1−T 2

R1

+T1−T 2

R2

=(T 1−T2 )( 1R1

+ 1R2 )=

T1−T2

11R1

+ 1R2

Rtotal=1

1R1

+1R2

→1Rtotal

= 1R1

+ 1R2

Rtotal=R1R2

R1+R2

R1=L1

K1 A1

, R2=L2

K2 A2

Dos placas paralelas seguida de una pared (paralelas –serie)

Q=T 1−T3

Rtotal

Rtotal=R12+R3=R1R2

R1+R2

+R3

R12=R1R2

R1+R2

, R3=L3

K3 A3

CILINDROS CON CAPAS MULTIPLES

Flujo radial de calor a través de cilindros de diferentes conductividades térmicas.

Para condiciones de estado estable, el flujo de calor a través de cada sección será la misma.

Un cilindro compuesto de dos capas de longitud L, con convección en ambos lados.

Q=T ∞1−T ∞2

1h1 A1

+

ln( r2

r1)

2πL K1

+

ln( r3

r2)

2πL K2

+ 1h3 A3

Donde A1 = 2πr1L y A3 = 2πr3L

U = Coeficiente total de transferencia de calor para este sistema puede basarse sobre cualquier área, su valor numérico dependerá del área seleccionada

Como el diámetro mayor es el más fácil de medir, se escoge A3= 2πr3L, como el área base y la rapidez de transferencia de calor:

Q=U 0 A0 (T ∞1−T ∞2 )

r3

2π r3 Lr1h1

=r 3

A0 r1h1

r3 ln( r 2

r1)

2π r3K1L=

r3 ln( r2

r1)

A3K1

r3 ln( r3

r 2)

2π r3K2L=

r3 ln( r3

r2)

A3K2

12π r3 Lh3

= 1A3h3

A0 = A3

U 0=1

r3

r1h1

+

r3 ln( r2

r1)

K 1

+

r 3 ln( r3

r2)

K2

+ 1h3

RADIO CRITICO DE AISLAMIENTO

Q=T ∞1−T ∞2

1h12 πr1L

+

ln(r 2

r 1)

2 πLK1

+ln( r❑r2

)2 πLK 2

+ 1h32 πrL

Para valor fijo de r1 y r2, la rapidez de flujo es una función de r y será un máximo para un valor de r

dQdr

=0→d (∑ Ri )dr

=0 seraunMINIMO

∑ R i=1

h12 πr1L+

ln( r2

r1)

2 πLK1

+

ln( rr2)

2 πLK2

+ 1h32 πrL

∑ R i=1

h12 πr1L+

ln( r2

r1)

2 πLK1

+ ln r2 πLK2

−ln r2

2πL K2

+ 1h3 2πrL

d∑ R idr

= 1r 2π LK 2

− 1r2h32 πL

=0

rc=K2

h3

paraunCILINDRO

rc=2K2

h3

paraunaESFERA

CALCULO DEL ESPESOR ECONOMICO DEL AISLANTE

qa¿= Calor perdido con aislante por unidad de área

qb¿= Calor perdido sin aislante por unidad de área

θ = Tiempo (hr/año)

C2 = Costo de combustible ($/W-hr)

L2 = Espesor económico del aislante

C = costo de instalación ($/m3)

C1 = Depreciación anual

An = Ahorro neto anual por unidad de área ($/m2-año)

An = Cantidad de calor ahorrado al poner aislante por unidad de área menos depreciación

An=(qb} - {q} rsub {a} rsup { )θC2−L2CC1 (1 )

qa} = {{T} rsub {i} - {T} rsub {o}} over {{1} over {{h} rsub {i}} + {{L} rsub {1}} over {{K} rsub {1}} + {{L} rsub {2}} over {{K} rsub {2}} + {1} over {{h} rsub {o}}} left (2 right ¿

qb} = {{T} rsub {i} - {T} rsub {o}} over {{1} over {{h} rsub {i}} + {{L} rsub {1}} over {{K} rsub {1}} + {1} over {{h} rsub {o}}} left (3 right ¿

(2) y (3) en (1)

An=¿

Derivando con respecto al aislante L2

d And L2

=(T i−T o )θC2

( 1hi

+L1

K1

+L2

K2

+ 1ho )

2

K2

−CC1=0

(T i−T o )θC2

( 1hi

+L1

K1

+L2

K2

+1ho )

2

K2

=CC1→1hi

+L1

K 1

+L2

K 2

+ 1ho

=√ (T i−T o )θC2

C C1 K2

L2={√ (T i−T o )θC2

CC1K2

− 1hi

+L1

K1

+ 1ho }K2

L2=√ K 2 (T i−T o )θC2

CC1

−( 1h i

+L1

K1

+ 1ho )K2

Ejercicio

Un cable eléctrico de 1.27cm de diámetro, va ser aislado con hule (K=0.1557 W/m-K); el cable estará instalado en el aire (h∞=8.5 W/m-K) a 21.1°C. Investigar el efecto que el espesor del aislamiento produce sobre la

disipación de calor. Suponiendo una temperatura de 65°C en la superficie del cable.

r1=0.00635m

Radio critico

rc=Ka

h∞=0.1557

8.5=0.018m

Calor disipado sin aislante

Q=h∞2π r1L (T 1−T ∞ )→QL

=8.5∗π∗0.00635 (65−21.1 )=14.88Wm

Calor disipado con aislante

Q=T 1−T ∞

ln( rr1)

2π Kh L+

1h∞2πrL

→QL

=T 1−T ∞

ln( rr1)

2π Kh

+1

h∞2πr

Calor cedido con radio critico

QL

= 65−21.1

ln( 0.0180.00635 )

2 π∗0.1557+ 1

8.5∗2π 0018

=20.85Wm

r (m) q/L (W/m)0.00635 14.880.008 17.0370.010 18.7870.0183 20.850.02 20.810.04 18.680.06 16.830.08 15.540.095 18.810.0935 14.880.10 14.6080.20 12.120.50 9.701.00 8.47

Ejercicio

Un horno de fierro con paredes blancas tiene un espesor de 0.025m y opera a tiempo completo θ= 8760hr/año a una temperatura interna T = 300°C, la

temperatura ambiente es 26°C, el coeficiente combinado interior es hp-gas = 284 W/m2-K y la conductividad del fierro 62 W/m-K.

El horno será aislado externamente con un aislante de conductividad 0.087W/m-K, cuyo costo de instalación es de 1100$/m3, la depreciación anual (mantenimiento, impuestos) es estimado en 15%. el costo de combustible para la operación del horno es 0.8*10-5 $/W-hr, si el coeficiente pelicular externo es 9W/m2-K. Calcular

a) El espesor económico del aislanteb) El ahorro neto anual por unidad de área.

L2=√ K 2 (T i−T o )θC2

CC1

−( 1h i

+L1

K1

+ 1ho )K2

L2=√ 0.087 (300−26 )8760∗0.8∗10−5

CC1

−( 1284

+ 0.02562

+ 19 )0.087

L2=0.0906m

Ahorro neto

An=(qb} - {q} rsub {a} rsup { )θC2−L2CC1

qa} = {300-26} over {{1} over {284} + {0.025} over {62} + {0.0906} over {0.087} + {1} over {9}} =236.94 {W} over {{m} ^ {2}¿

qb} = {300-26} over {{1} over {284} + {0.025} over {62} + {1} over {9}} =2381.8 {W} over {{m} ^ {2}} ¿

An=(2381.8−236.94 ) 8760∗0.8∗10−5−0.096∗1100∗0.15

An=135.37$

m2−año

CONDUCCION DE CALOR A TRAVES DE TRAYECTORIAS CURVAS

Para ciertas condiciones el flujo de calor no es lineal, pero si unidimensional, por lo que se puede adaptar Fourier.

Q=−KA dTdS

(1 )

dTdS

gradiente de temperaturas en la trayectoria curvilínea

dTdr

=dTdZ

=0

dTdS

=dTdθdθdS

(2 )

dS=rdθ→ dθdS

=1r

(3 )

(3) en (2)

dTdS

=dTdθ

1r

(4 )

(4) en (1)

d Q=−KdA dTdθ

1r

dA=Zdr

d Q=−KZdr dTdθ

1r=−KZ∫

r1

r2

drr [ dTdθ ]

Q=−KZ ln( r2

r1) dTdθ ] (5 )

calculo dT/dθ usando coordenadas cilíndricas

1r2 ( ∂2T

∂θ2 )=0 integrando→dTdθ

=C1 (6 )→dT=C1dθ

volviendo a integrar

T=C1θ+C2 (7 )

condiciones de contorno

θ= 0 → T = T1 →T1 = C1*0 + C2 → T1 = C2 (8)

θ = θ2 → T = T2 →T2 = C1 θ2 + T1 →C1=T 2−T 1

θ2

(9 )

( 8 ) y ( 9 ) en ( 7 )

T=(T 2−T 1

θ2)θ+T1 (10 )

( 9 ) en ( 6 )

dTdθ

=T 2−T 1

θ2

(11)

( 11 ) en ( 5 )

Q=−KZ ln( r2

r1)(T 2−T 1

θ2)=¿KZ ln (r 1

r 2)(T 2−T 1

θ2)¿