Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 1

Φυσική ΚατεύθυνσηςΓ’ Λυκείου

Κεφάλαιο 1ο

ταλαντώσειςΕνότητα 1η

μηχανικέςταλαντώσεις

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 2

1.1 Εισαγωγή1.2 Περιοδικά φαινόμενα

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 3

Περιοδικά φαινόμενα

Περιοδικά φαινόμενα : φαινόμενα πουεξελίσσονται και επαναλαμβάνονταιαναλλοίωτα (με τον ίδιο τρόπο) σε σταθεράχρονικά διαστήματα.

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 4

Παραδείγματα περιοδικών φαινομένων 1Κίνηση Γης γύρω από τον Ήλιο,

αλλά και γύρω από τον εαυτό της

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 5

Παραδείγματα περιοδικών φαινομένων 2

Το άναμμα και σβήσιμοενός φάρου

Το εκκρεμές του ρολογιού

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 6

Η εναλλαγή των εποχών.

Η κίνηση των δεικτών τουρολογιού.

Παραδείγματα περιοδικών φαινομένων 3

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 7

ΒΑΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ 1

Περίοδος : ο χρόνος που απαιτείται για ναολοκληρωθεί μια φορά το φαινόμενο

NtT =

Έστω Ν επαναλήψεις του περιοδικού φαινομένου σεχρόνο t, τότε

Τ [s]

Παράδειγμα: Η Γη σε δύο χρόνια έχει ολοκληρώσει δύο περιφορές γύρω απότον Ήλιο, άρα η περίοδος περιφοράς της είναι

yearTNtT 1

22==⇒=

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 8

ΒΑΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ 2

Συχνότητα : το πηλίκο του αριθμού Ν τωνεπαναλήψεων του φαινομένου σε χρόνο tπρος τον χρόνο αυτό

tNf =

Έστω Ν επαναλήψεις του περιοδικού φαινομένου σεχρόνο t, τότε

f [s-1 ή Hz]

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 9

Σχέση περιόδου - συχνότητας

tNf =

Tf 1=

Ν =1

t = T

ήf

T 1=

∆ιότι σε χρόνο μιας περιόδου (t=T),έχει ολοκληρωθεί μια φορά τοπεριοδικό φαινόμενο (Ν=1)

Τα μεγέθη περίοδος και συχνότητα είναι ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ.

ΑΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ, ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑΥΠΟΛΟΓΙΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΕΡΙΟ∆Ο ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ!

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 10

ΒΑΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ 3

Γωνιακή συχνότητα

Η γωνιακή συχνότητα έχει φυσική σημασία στην ομαλή κυκλική κίνησηκαι η έννοιά της επεκτείνεται και σε όλες τις περιοδικές κινήσεις.

ω [rad/s]

Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας στην ομαλή κυκλικήκίνηση ισούται με τη γωνιακή συχνότητα που έχει ωςπεριοδική κίνηση.

?

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 11

Μια ομαλή κυκλική κίνηση είναι περιοδική.

Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας στηνομαλή κυκλική κίνηση ορίζεται ως το πηλίκοτης γωνίας ∆φ που διαγράφει το σώμα σεχρόνο ∆t προς τον χρόνο αυτό. tΔ

Δ=

φω

Γωνιακή ταχύτητα 1

Η διεύθυνση του διανύσματος τηςγωνιακής ταχύτητας είναι κάθετηστο επίπεδο της τροχιάς και η φοράτου δίνεται από τον κανόνα τουδεξιού χεριού.

Ο R m

υr

ωr

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 12

Σε χρόνο ∆t =Τ το κινητό κάνει μια πλήρη περιφορά , δηλαδή η γωνία που έχει διαγράψει είναι ∆φ = 2π ( rad )

Οπότε :

2t Tϕ πω Δ

= =Δ

Γωνιακή ταχύτητα 2

Και επειδή

fππω 22=

Τ=

fT=

1

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 131.3 Απλή Αρμονική Ταλάντωση

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 14

ΟΡΙΣΜΟΙ

Ταλάντωση : περιοδικό φαινόμενο πουεξελίσσεται παλινδρομικά γύρω από μιαθέση ισορροπίας

Γραμμική ταλάντωση : ταλάντωση πουπραγματοποιείται σε ευθεία γραμμή

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 15

Παράδειγμα ΑΑΤ 3

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 16

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (ΑΑΤ)

Απλή Αρμονική Ταλάντωση : γραμμική ταλάντωση, στην οποία ηαπομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας είναι ημιτονοειδήςσυνάρτηση του χρόνου, δηλαδή δίνεται από τη σχέση

x = Α·ημωtΌπου

x : η απομάκρυνση του σώματος από τη ΘΙΑ : η μέγιστη απομάκρυνση του σώματος από

τη ΘΙ (πλάτος ταλάντωσης)ω : γωνιακή συχνότηταωt : φάση

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 17

Απλή Αρμονική Ταλάντωση

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 18

Παράδειγμα ΑΑΤ 1

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 19

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΕξίσωση απομάκρυνσης

x = A ·ημωt

Εξίσωση ταχύτητας

ΠΡΟΣΟΧΗ! Η απομάκρυνση μετριέται

πάντα από τη θέσηισορροπίας !!!

υ = ω·A ·συνωt υ = υmax·συνωtυmax=ω·Α

Εξίσωση επιτάχυνσηςα = - ω2·A ·ημωt α = -αmax·ημωtαmax=ω2·Α

α = - ω2·x Η επιτάχυνση είναι πάντα αντίθετη της απομάκρυνσης.

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 20

Παράδειγμα ΑΑΤ 1

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 21

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5t/s

x/m

x=Aημωt

ΓραφικέςΓραφικές παραστάσειςπαραστάσεις

Α. Απομάκρυνσης - χρόνου

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 22

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0,5 1 1,5 2 2,5t/s

υ/ m/s

υ=ωΑσυνωt

ΒΒ. . ΤαχύτηταςΤαχύτητας -- χρόνουχρόνου

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 23

-2,5-2

-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

2,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5t/ s

α/ m/s2

α=-ω2Αημωt

Γ. Επιτάχυνσης - χρόνου

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 24

Γραφικές παραστάσεις

x=Aημωt

υ=ωΑσυνωt

α=-ω2Αημωt

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 25

Πρόσημα μεγεθών

ΘΙΑκραίαθέση

Ακραίαθέση

x = -Α x = +Αx = 0

υ = +υmax

υ > 0

υ = 0

υ < 0υ < 0

υ > 0

υ = -υmax

Για να πάει το σώμα από τη ΘΙ απευθείας σε ακραία θέση και τοαντίστροφο, χρειάζεται χρόνο Τ/4!

x < 0 x > 0

x < 0 x > 0

υ = 0

Τ/4

Τ/4Τ/4

Τ/4

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 26

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΟι εξισώσειςx=Aημωt, υ=ωΑσυνωt και α=-ω2Αημωtισχύουν με την προϋπόθεση ότι το σώμα την t=0διέρχεται από τη ΘΙ κινούμενο προς τη θετικήκατεύθυνση.Σε κάθε άλλη περίπτωση υπάρχει αρχική φάση (φ)και οι εξισώσεις γίνονταιx=Aημ(ωt+φ), υ=ωΑσυν(ωt+φ), α= - ω2Αημ(ωt+φ)

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 27

Υπολογισμός αρχικής φάσης

Έστω ότι για t=0, η απομάκρυνση του σώματος από τη ΘΙείναι d.Τότε,χ = Αημ(ωt+φ)

t=0

x=dd = Aημφ ημφ = d/A

Και λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση

ημχ = ημθ

χ = 2κπ + θ ή χ = 2κπ + π – θ

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 28

Θυμόμαστε από την Τριγωνομετρία

Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεωνημχ = ημθ

χ = 2κπ + θ ή χ = 2κπ + π – θ

συνχ = συνθ

χ = 2κπ ± θ

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 29

Χρειαζόμαστε από την Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρικοί αριθμοί συμπληρωματικών, παραπληρωματικών γωνιών

συνφφπημ =− )2

( ημφφπσυν =− )2

(

συνφφπημ =+ )2

( ημφφπσυν −=+ )2

(

ημφφημ −=− )( συνφφσυν =− )(

ημφφπημ =− )( συνφφπσυν −=− )(

ημφφπημ −=+ )( συνφφπσυν −=+ )(

θπ-θ

π+θ

Άξοναςημιτόνων

Άξοναςσυνημιτόνων

02κπ

π/2

π

3π/2

π/2 - θπ/2 + θ

-θ

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 30

Τριγωνομετρικοί αριθμοί

-10εφ

01συν

10ημ

π/2 (90ο)π/3 (60ο)π/4 (45ο)π/6 (30ο)0ο

21

23

22

21

23

22

33 3

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 31

Ερωτήσεις βιβλίου

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 32

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 33

Φωτιάδου Σαπφώ - ΓΕΛ∆Ε Σαπών 2011-2012 34

Το φιλί

Gustav Klimt1862-1918