Κύμα

Αρμονικό κύμα

Κίνηση υλικού σημείου

Κυματοσυνάρτηση

Φάση κύματος

φ0

Παράδειγμα 1

Παράδειγμα 2

Διαφορά φάσης

Συμφωνία φάσης –Αντίθεση φάσης

Στιγμιότυπο (1)

Στιγμιότυπο (2)

Εξίσωση ταλάντωσης (1)

Εξίσωση ταλάντωσης (2)

Περιεχόμενα

ΚύμαΚύμα : Διάδοση μιας διαταραχής στο χώρο

Μηχανικό κύμα : Διαδίδεται σε ένα ελαστικό μέσο

Πηγή του κύματος – Πηγή της διαταραχής : Η αιτία που προκαλεί τη διαταραχή

Μηχανισμός

Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ορμή και ενέργεια από το ένα σημείοτου μέσου στο άλλο , όχι όμως και ύλη.

Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ένα κύμα εξαρτάται μόνο από τις ιδιότητες του μέσου και όχι από το πόσο ισχυρή είναι η διαταραχή.

π.χ. Τα ηχητικά κύματα διαδίδονται στον αέρα με ταχύτητα 344m/s (στους 200C)ενώ στα στερεά διαδίδονται με μεγαλύτερη ταχύτητα.

Εγκάρσια κύματα : Διαδίδονται στα στερεά (στα υγρα κατά προσέγγιση) Τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση

διάδοσης του κύματος.

Διαμήκη κύματα : Διαδίδονται στα στερεά ,υγρά και στα αέρια Τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται πάράλληλα στη διεύθυνση

διάδοσης του κύματος.

Περιοδικό κύμα : Διάδοση μιας περιοδικής διαταραχής

Αρμονικό κύμα : Διάδοση μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης

Οποιαδήποτε διαταραχή μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από το άθροισμαενός αριθμού αρμονικών κυμάτων.

Περίοδος (Τ) του κύματος είναι ο χρόνος στον οποίο ένα σημείο του μέσου ολοκληρώνει την κίνηση του αλλά και ο χρόνος στον οποίο η κυματική εικόναεπαναλαμβάνεται.

Συχνότητα (f) : η συχνότητα ταλάντωσης αλλά και ο αριθμός των κορυφών ( σταεγκάρσια κύματα) ή των πυκνωμάτων (στα διαμήκη) στη μονάδα του χρόνου.

Μήκος κύματος : η απόσταση που διαδίδεται το κύμα σε μια περίοδο ή η απόστασηδύο σημείων που απέχουν τοίδιο από τη Θ.Ι. και κινούνται κατά την ίδια φορά ή η απόσταση δύο διαδοχικών κορυφών

Αρμονικό κύμαt=0y=Aημωt

t=T/4y=Aημ(ωt-π/2)

t=T/2y=Aημ(ωt-π)

t=3T/4y=Aημ(ωt-3π/2)

t=Ty=Aημ(ωt-2π)

ΙΔΙαιΤΕΡΟ Β.Ζαρείφης

Ιδιο πλάτος με την προυπόθεση ότι το κύμα διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο χωρίς απώλειες ενέργειαςΙδιο πλάτος με την προυπόθεση ότι το κύμα διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο χωρίς απώλειες ενέργειας

Οι ταλαντώσεις των υλικών σημείων του ελαστικού μέσου έχουν :

Ιδια συχνότητα f , γωνιακή συχνότητα ω , περίοδο ΤΙδια συχνότητα f , γωνιακή συχνότητα ω , περίοδο Τ

Διαφορετική φάση επειδή το κάθε ένα αρχίζει να ταλαντώνεται διαφορετική χρονική στιγμήΔιαφορετική φάση επειδή το κάθε ένα αρχίζει να ταλαντώνεται διαφορετική χρονική στιγμή

Επειδή τα σημεία αρχίζουν να ταλαντώνονται με καθυστέρηση σε σχέση με τηνπηγή η αρχική φάση είναι αρνητική (καθυστέρηση φάσης)

Η καθυστέρηση φάσης έιναι ανάλογη με την χρονική καθυστέρηση (Δt) και με την απόσταση x .Σε χρόνο T ή απόσταση λ αντιστοιχεί καθυστέρηση φάσης 2π

2 xTt 2 xTt

Κίνηση υλικού σημείου

λ

υu

Ταχύτητα κύματος

fTt

x

Ταχύτητα ταλάντωσης

u=Aωσυν(ωt-θ)

Εξισώσεις κίνησης υλικών σημείων

Απομάκρυνση y απότην Θ.Ι.

y=Aημ(ωt-θ)

ΙΔΙαιΤΕΡΟ Β.Ζαρείφης

Σταθερή - Εξαρτάται απότο μέσο διάδοσης

Θεμελιώδηςκυματικήεξίσωση

Κυματοσυνάρτηση

y

x

xΣ

yΣ

Σ

O

uΣ

s

xΣ : Θέση υλικού σημείουyΣ : Απομάκρυνση υλικού σημείου από την Θ.Ι.uΣ : Ταχύτητα ταλάντωσης υλικού σημείου.

Εξίσωση ΑΑΤ του (Ο)

tAy

Εξίσωση ΑΑΤ του (Σ)

)( ttAy

)(2T

x

T

tAy

)(2

x

tT

Ay

)(2

x

T

tAy

Το κύμα φτάνει σε απόσταση χ σε χρόνο

x

t

t ο χρόνος ταλάντωσης της πηγής

Χρόνος ταλάντωση του Σ : Ttt '

'tAy

ΙΔΙαιΤΕΡΟ Β.Ζαρείφης

Ν = 1 ταλάντωση μεταβολή φάσης 2π

Ν = 2 ταλαντώσεις μεταβολή φάσης 4π

Ν ταλαντώσεις μεταβολή φάσης Ν2π

Η φάση φ συνδέεται με τον αριθμό των ταλαντώσεων Ν2

x

T

t2ΦΑΣΗ

Φάση κύματοςΙΔΙαιΤΕΡΟ Β.Ζαρείφης

x

T

t2 0

Το κύμα φτάνει σε απόσταση χ 0 σε χρόνοv

xt 0

0

Η κυματοσυνάρτηση ισχύει για 0tt v

xt 0

T

xt

/0

0x

T

t 00

x

T

t02 0

x

T

t

Για t < t0 ή φ < 0 το σημείο ηρεμεί , δηλαδή y = 0 και u = 0

Για t = t0 ή φ = 0 το σημείο αρχίζει να ταλαντώνεται, δηλαδή y = 0 και u = +umax

ΙΔΙαιΤΕΡΟ Β.Ζαρείφηςφ0

Tx

t 0

Παράδειγμα 1Δίνονται οι εξισώσεις τριών αρμονικών κυμάτων

42210

xty y σε cm , χ σε m , t σε

425

xty

4210

xty

1. 2. 3.

Να βρείτε α) ποιο κύμα διαδίδεται με μεγαλύτερη ταχύτητα β) σε ποιό κύμα παρατηρείται η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης.

Παράδειγμα 2

42210

xty Δίνεται η κυματοσυνάρτηση

Ενα σημείο απέχει από την πηγή απόσταση χ=8 m. Να βρεθεί η απομάκρυνση (y)από την θέση ισορροπίας και η ταχύτητα ταλάντωσης τις χρονικές στιγμές :α) t=0.875 s β) t=1s γ) t=1,125 s

Για δύο σημεία Κ,Λ σε αποστάσεις XK , XΛ , από την πηγή , με XK < XΛ μεγαλύτερηΦάση σε δεδομένη στιγμή έχει το σημείο που βρίσκεται πιο κοντά στη πηγή ,

Δηλαδή φΚ > φΛ.

xxK

xxK

xxK

x

T

tx

T

t K

x

T

tx

T

t K 22

K

Διαφορά φάσης

x

T

tx

T

t K 22

xxK2

Kxx

2

x

2

x

2

ΙΔΙαιΤΕΡΟ Β.Ζαρείφης

O K Λ

ΔxKΛ= xΛ-xΚ

v = λf

O K Λ

v = λf

ΔxKΛ= xΛ-xΚ

x

2

Συμφωνία φάσης : y1= y2 , u1 = u2

v

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

κύμα

2

22x

x

Αντίθεση φάσης : y1 = -y2 , u1 = -u2

12

122x

212

x

Συμφωνία φάσης –Αντίθεση φάσηςΙΔΙαιΤΕΡΟ Β.Ζαρείφης

Στιγμιότυπο (1)

y = f(x) για δεδομένο t

πχ για t = 2T εχω t/T = 2 άρα

x

Ay 22

Δύο παλμοί

χ

y

+A

-A

2λ

x

T

tAy 2

ΙΔΙαιΤΕΡΟ Β.Ζαρείφης

Στιγμιότυπο (2)

π.χ. για t = 9T/4 εχω t/T = 9/4 άρα )4

9(2

x

Ay

4

12 παλμοί

y

+A

-A

χ9λ/4

ΙΔΙαιΤΕΡΟ Β.Ζαρείφης

Εξίσωση ταλάντωσης (1)

y=f(t) για δεδομένο x

π.χ. για x = 2λ εχω x/λ = 2 άρα )2(2 T

tAy

εναρξη ΑΑΤ την στιγμή t = x/υ = 2Τ

y

t

+A

-A2Τ

ΙΔΙαιΤΕΡΟ Β.Ζαρείφης

Εξίσωση ταλάντωσης (2)

y = f(t) για δεδομένο x

πχ για x/λ = Λ άρα )(2 T

tAy

u

t

+Aω

-AωΛΤ

)(2 T

tAu

)(22 T

tA

y

t

+A

-AΛΤ

ΙΔΙαιΤΕΡΟ Β.Ζαρείφης

ΙΔΙαιΤΕΡΟ