Κύματα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Μηχανικά κύματα

1. Από τα μεγέθη που χαρακτηρίζουν ένα μηχα-

νικό αρμονικό κύμα, αυτά που δεν εξαρτώνται

από το ελαστικό μέσο διάδοσης του κύματος

είναι:

α. Η συχνότητα του κύματος.

β. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

γ. Το μήκος κύματος.

δ. Το πλάτος του κύματος.

2. Δύο ηχητικά κύματα Α και Β διαδίδονται στο

ίδιο μέσο με συχνότητες fΑ = 200 Hz και fΒ = 400

Hz αντίστοιχα. Για τις ταχύτητες των κυμάτων

αυτών, ποια σχέση θα ισχύει;

α. υΒ = 12 υΑ, β. υΒ = υΑ, γ. υΒ = 2 υΑ, δ. υΒ = 4 υΑ

3. Τα ηχητικά κύματα δεν διαδίδονται:

α. σε στερεά, β. σε υγρά, γ. σε αέρια, δ. στο

κενό

4. Αν μεταβληθεί η συχνότητα ενός αρμονικού

κύματος, ποια από τα παρακάτω μεγέθη μετα-

βάλλονται;

α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

β. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σω-

ματιδίων του μέσου διάδοσης.

γ. Το μήκος κύματος.

δ. Η περίοδος του κύματος

5. Κατά μήκος δύο χορδών 1 και 2 που είναι κα-

τασκευασμένες από το ίδιο υλικό, έχουν ίδιο

μήκος και πάχος και τεντωμένες το ίδιο, διαδί-

δονται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα. Το κύ-

μα στη χορδή 1 έχει διπλάσια συχνότητα και

μισό πλάτος από το κύμα στη χορδή 2. Ποιες

από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

α. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι ί-

δια και στις δύο χορδές.

β. Το μήκος κύματος στη χορδή 2 είναι διπλά-

σιο από το μήκος κύματος στη χορδή 1.

γ. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης είναι μεγα-

λύτερη στα σωματίδια της χορδής 1.

δ. Η μέγιστη επιτάχυνση ταλάντωσης είναι με-

γαλύτερη στα σωματίδια της χορδής 1.

6. Η φάση ενός αρμονικού κύματος που διαδίδε-

ται προς το θετικό ημιάξονα δίνεται από τη

σχέση:

α. 2πtT , β. 2π

xλ , γ. 2π(

t xT λ- ), δ. 2π(

t xT λ+ )

7. Ένα αρμονικό κύμα έχει συχνότητα f = 10 Hz

και διαδίδεται σ’ ένα ελαστικό μέσο. Αν στην

ευθεία διάδοσης του κύματος δύο σημεία Α και

Β του μέσου, που απέχουν μεταξύ τους από-

σταση 2 m, έχουν διαφορά φάσης π/6 rad, η

ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι:

α. 12 m/s, β. 60 m/s, γ. 120 m/s, δ. 240 m/s

Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

8. Για την εξίσωση ενός αρμονικού κύματος

y = Aημ2π(t xT λ- ), τι από τα παρακάτω είναι

σωστό;

Α. Το μέγεθος y είναι η απόσταση του σημείου,

στο οποίο φτάνει το κύμα τη χρονική στιγμή t,

από την πηγή του κύματος.

Β. Το μέγεθος Α είναι η μέγιστη απομάκρυνση

από τη θέση ισορροπίας κάθε υλικού σημείου

του ελαστικού μέσου, που κάνει εξαιτίας του

κύματος απλή αρμονική ταλάντωση.

2

Γ. Το μέγεθος λ είναι το μήκος κύματος, δηλα-

δή η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο

μιας περιόδου.

Δ. Το μέγεθος Τ είναι η περίοδος του κύματος,

η οποία είναι ίση με την περίοδο ταλάντωσης

της πηγής του κύματος.

9. Σωστό ή λάθος:

Α. Το μήκος κύματος λ είναι η απόσταση μετα-

ξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου τα οποία

έχουν μεταξύ τους διαφορά φάσης π rad.

Β. Η εξίσωση y = A ημ2πλ ( υt – x ) περιγράφει

αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική

κατεύθυνση του άξονα x΄x.

Γ. Η εξίσωση y = A ημ ( ωt + k x ), όπου k = 2πλ ,

περιγράφει αρμονικό κύμα που διαδίδεται κα-

τά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x΄x.

Δ. Το στιγμιότυπο του αρμονικού κύματος πα-

ριστάνει την απομάκρυνση ενός υλικού σημεί-

ου του ελαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται

το κύμα, σε συνάρτηση με το χρόνο.

10. Ποιες από τις προτάσεις που αναφέρονται σε

ένα αρμονικό κύμα είναι σωστές και ποιες λαν-

θασμένες. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις

σας.

α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος συμπί-

πτει με τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των

υλικών σημείων του μέσου.

β. Όλα τα σημεία του μέσου διάδοσης έχουν

την ίδια χρονική στιγμή την ίδια φάση.

γ. Για ένα συγκεκριμένο σημείο του μέσου η

φάση αυξάνεται σε συνάρτηση με το χρόνο.

δ. Για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή η φά-

ση αυξάνεται σε συνάρτηση με τη θέση x των

σημείων του μέσου.

11. Το διάγραμμα του σχήματος απεικονίζει το

στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύμα-

τος που διαδίδεται προς τα δεξιά. Σωστό ή λά-

θος:

Α. Τα σημεία Α και Γ του μέσου έχουν την ίδια

φάση.

Β. Τα σημεία Α και Γ βρίσκονται σε συμφωνία

φάσης.

Γ. Τα σημεία Α και Γ έχουν διαφορά φάσης 2π

rad.

Δ. Τα σημεία B και Γ έχουν διαφορά φάσης π2

rad.

Ε. Η φάση του σημείου Β είναι μεγαλύτερη από

τη φάση του σημείου Α κατά π rad.

Στ. Η φάση του σημείου Β είναι μεγαλύτερη

από τη φάση του σημείου Γ κατά π rad.

12. Οι παρακάτω εξισώσεις περιγράφουν δύο ε-

γκάρσια αρμονικά κύματα που διαδίδονται σε

διαφορετικά ελαστικά μέσα:

α. y = 0,5συν2π(5t-3x),

β. y = 0,4συν2π(-6x-10t) (S.I.)

Ποιο κύμα διαδίδεται με μεγαλύτερη ταχύτη-

τα;

Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

13. Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι:

y = 8 ημπ(4t+x10 ) (x και y σε cm, t σε s).

Σωστό ή λάθος:

Α. Το πλάτος του κύματος είναι 4 cm.

y

x O

A

B

υ Γ

3

Β. H συχνότητα του κύματος είναι 2 Hz.

Γ. Το μήκος κύματος είναι 10 cm.

Δ. Το κύμα διαδίδεται προς την αρνητική φορά

του άξονα x΄x.

Ε. Για δύο σημεία Α και Β για τα οποία ισχύει

xA < xB, θα ισχύει και φΑ < φΒ.

14. Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι:

y = 0,4ημ(20πt-4πx) (S.I.). Η μέγιστη ταχύτητα

ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέ-

σου στο οποίο διαδίδεται το κύμα είναι:

α. π m/s, β. 4π m/s, γ. 6π m/s, δ. 8π m/s

Βρείτε τη σωστή απάντηση.

15. Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι:

y = 0,1ημ2π(100t-0,05x) (S.I.). Η απόσταση με-

ταξύ δύο διαδοχικών σημείων του ελαστικού

μέσου που ταλαντώνονται με διαφορά φάσης

π, είναι: α. 1 m, β. 2,5 m, γ. 5 m, δ. 10 m

Βρείτε τη σωστή απάντηση.

16. Σ' ένα ελαστικό μέσο διαδίδεται ένα αρμονικό

κύμα μήκους κύματος λ. Η διαφορά φάσης της

ταλάντωσης δύο σημείων του μέσου που απέ-

χουν μεταξύ τους λ/4 είναι:

α. π8 , β. π4 , γ. π2 , δ. π.

Βρείτε τη σωστή απάντηση.

17. Ένα αρμονικό κύμα συχνότητας f και μήκους

κύματος λ μεταβαίνει από ένα ελαστικό μέσο Α

σε ένα άλλο ελαστικό μέσο Β, όπου διαδίδεται

με διπλάσια ταχύτητα. Ποια θα είναι η συχνό-

τητα και ποιο το μήκος του κύματος στο μέσο

Β; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

18. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου

διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα, προς την

αρνητική κατεύθυνση. Οι φάσεις της ταλάντω-

σης δύο σημείων Α και Β του ελαστικού μέσου,

την ίδια χρονική στιγμή, είναι φΑ= 15π2 και

φΒ = 5π2 , αντίστοιχα. Αν τα δύο σημεία βρίσκο-

νται στο θετικό ημιάξονα, ποιο βρίσκεται πλη-

σιέστερα στη θέση x = 0; Αιτιολογήστε την α-

πάντησή σας.

19. Δύο σημεία Α και Β ενός γραμμικού ελαστικού

μέσου, στο οποίο διαδίδεται αρμονικό κύμα

συχνότητας f = 30 Hz, έχουν κάποια χρονική

στιγμή διαφορά φάσης Δφ = 6π rad. Σε πόσο

χρόνο θα φθάσει το κύμα από το ένα σημείο

στο άλλο; [Απ. 0,1 s]

20. Κατά μήκος του ημιάξονα Οx διαδίδεται προς

τη θετική φορά ένα αρμονικό κύμα μήκους κύ-

ματος λ = 0,5m. Δύο σημεία Α και Β του μέσου

διάδοσης του κύματος απέχουν μεταξύ τους

απόσταση 20 cm και είναι xA < xB. Αν κάποια

χρονική στιγμή η φάση της ταλάντωσης του

σημείου Β είναι 360, η φάση της ταλάντωσης

του σημείου Α την ίδια χρονική στιγμή θα είναι:

α. 1080, β. 1440, γ. 1800 , δ. 2160.

Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

21. Ποια από τις επόμενες εξισώσεις περιγράφει

στιγμιότυπο αρμονικού κύματος που διαδίδε-

ται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x΄x;

α. φ = 2π (t xT λ- ) β. y = Aημ2π(

tT - σταθ )

γ. y = Aημ2π(xλσταθ - ) δ. y = Aημ2π(

t xT λ- )

22. Το σχήμα παριστάνει το στιγμιότυπο ενός ε-

B

A

y

x O

A

υ t = 2T

4

γκάρσιου αρμονικού κύματος, το οποίο διαδί-

δεται προς τα δεξιά. Προς ποια κατεύθυνση κι-

νούνται τα σημεία Α και Β του ελαστικού μέ-

σου;

α. και τα δύο προς τα πάνω

β. και τα δύο προς τα κάτω

γ. το Α προς τα πάνω και το Β προς τα κάτω

δ. το Α προς τα κάτω και το Β προς τα πάνω

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

23. Το παρακάτω σχήμα δείχνει το στιγμιότυπο

ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος, το οποίο

παράγεται από την πηγή Ο και διαδίδεται προς

τα δεξιά, κατά τη χρονική στιγμή t. Αν η εξίσω-

ση της απομάκρυνσης της πηγής Ο είναι y = A

ημπt (το t σε s), τότε 2,5 s μετά τη χρονική

στιγμή t η πηγή Ο:

α. θα έχει απομάκρυνση μηδέν και θετική τα-

χύτητα.

β. θα έχει απομάκρυνση μηδέν και αρνητική

ταχύτητα.

γ. θα έχει απομάκρυνση μέγιστη θετική.

δ. θα έχει απομάκρυνση μέγιστη αρνητική.

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

24. Σε ένα ελαστικό μέσο διαδίδεται ένα εγκάρσιο

αρμονικό κύμα, το οποίο περιγράφεται από

την εξίσωση y = Aημ2π(t xT λ- ).

Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τις

χρονικές στιγμές 5T4t = και

3T2t = .

25. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο που έχει τη

διεύθυνση του άξονα x΄x, διαδίδεται αρμονικό

κύμα, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση

y=Aημ2π(t xT λ- ). Αν η πηγή του κύματος αρχί-

ζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t = 0, να

παραστήσετε γραφικά την απομάκρυνση ενός

σημείου Μ του μέσου που βρίσκεται στη θέση

M

3λ4x = σε συνάρτηση με το χρόνο, για το

χρονικό διάστημα από t = 0 μέχρι t = 3Τ.

26. α) Η ταλάντωση είναι κύμα;

β) Όταν ένα κύμα διαδίδεται σε κάποιο μέσο,

τα μόρια του μέσου ταλαντώνονται γύρω από

τις θέσεις ισορροπίας τους. Εξαρτάται η ταχύ-

τητα της ταλάντωσης αυτής από την ταχύτητα

διάδοσης του κύματος;

Συμβολή

27. Η αρχή της επαλληλίας ισχύει:

α. μόνο για κύματα με την ίδια συχνότητα και το

ίδιο μήκος κύματος,

β. μόνο για αρμονικά κύματα,

γ, μόνο για εγκάρσια κύματα,

δ. για όλα τα κύματα του ίδιου τύπου (εγκάρσια

ή διαμήκη) που δεν έχουν πολύ μεγάλο πλάτος

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

28. Στην επιφάνεια ενός υγρού δύο πηγές Π1 και Π2

εκτελούν κατακόρυφη αρμονική ταλάντωση του

ίδιου πλάτους Α, καθώς και της ίδιας συχνότητας

και με την ίδια φάση. Το πλάτος της ταλάντωσης

ενός τυχαίου σημείου της επιφάνειας του υγρού,

στο οποίο φθάνουν τα δύο κύματα:

α. είναι 2Α,

β. ποικίλει από μηδέν έως 2Α,

-A A

y

x O

A υ t

5

γ. ποικίλει από μηδέν έως Α,

δ. β. ποικίλει από Α έως 2Α.

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

29. Στην επιφάνεια ενός υγρού, δύο σύγχρονες πη-

γές Π1 και Π2 παράγουν πανομοιότυπα αρμονικά

κύματα, μήκους κύματος λ το καθένα. Ένα ση-

μείο Α της επιφάνειας του υγρού, θα μένει συνε-

χώς ακίνητο, όταν η διαφορά των αποστάσεών

του από τις δύο πηγές (r1-r2) είναι ίση με:

α. 3λ β. 3λ4 γ. 11λ2

δ. μηδέν

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

30. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 δημι-

ουργούν στην επιφάνεια μιας λίμνης εγκάρσια

κύματα πλάτους Α και μήκους κύματος λ = 2cm.

Να αντιστοιχίσετε τα σημεία Α, Β και Γ της επι-

φάνειας του νερού της αριστερής στήλης με τα

πλάτη ταλάντωσης της δεξιάς στήλης. (Με δεί-

κτη 1 συμβολίζονται οι αποστάσεις των σημείων

από την πηγή Π1 και με δείκτη 2 οι αποστάσεις

των σημείων από την πηγή Π2).

Α (r1 = 18 cm,

r2 = 15 cm)

1. Tαλάντωση με πλάτος Α2 .

Β (r1 = 20 cm,

r2 = 12 cm)

2. Tαλάντωση με πλάτος 2Α.

Γ (r1 = 20 cm,

r2 = 15,5 cm)

3. Tαλάντωση με πλάτος με-

ταξύ Α και 2Α.

4. Σημείο διαρκώς ακίνητο.

31. Ήχος φτάνει από ένα μεγάφωνο σε σημείο Α από

δύο διαφορετικούς δρόμους, που έχουν διαφορά

απόστασης d = 1,7 m. Όταν η συχνότητα του ή-

χου αυξάνεται βαθμιαία, η ένταση του ήχου στο

σημείο Α περνά διαδοχικά από μια σειρά μεγί-

στων και ελαχίστων. Αν ένα μέγιστο της έντασης

παρατηρείται για τη συχνότητα f1 = 1000 Hz και

το αμέσως επόμενο μέγιστο παρατηρείται για τη

συχνότητα f2 = 1200 Hz, υπολογίστε την ταχύτη-

τα του ήχου.

32. Δύο πηγές Π1 και Π2 δημιουργούν αρμονικά κύ-

ματα στην επιφάνεια υγρού. Τα κύματα έχουν το

ίδιο πλάτος την ίδια ταχύτητα διάδοσης και την

ίδια συχνότητα. Ποιο είναι το αποτέλεσμα της

συμβολής σε ένα σημείο της επιφάνειας του υ-

γρού το οποίο βρίσκεται στη μεσοκάθετο του

τμήματος που ενώνει τις δύο πηγές: α) αν οι πη-

γές είναι σύγχρονες και β) αν οι πηγές ταλαντώ-

νονται με διαφορά φάσης π;

Στάσιμα κύματα

33. Το στάσιμο κύμα είναι το αποτέλεσμα της συμ-

βολής δύο κυμάτων που έχουν:

α. ίδια συχνότητα, πλάτος και κατεύθυνση.

β. ίδια συχνότητα, διαφορετικό πλάτος και ίδια

κατεύθυνση.

γ. ίδια συχνότητα, ίδιο πλάτος και αντίθετη κα-

τεύθυνση.

δ. διαφορετική συχνότητα, ίδιο πλάτος και αντί-

θετη κατεύθυνση.

Ποια πρόταση είναι σωστή;

34. Κατά μήκος ενός σχοινιού έχει δημιουργηθεί

στάσιμο κύμα. Το πλάτος ταλάντωσης μιας στοι-

χειώδους μάζας του σχοινιού:

α. είναι σταθερό σε συνάρτηση με το χρόνο t και

τη θέση x.

β. είναι συνάρτηση του χρόνου t.

γ. είναι συνάρτηση της θέσης x.

δ. είναι συνάρτηση του χρόνου t και της θέσης x.

Ποια πρόταση είναι σωστή;

6

35. ι) Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο δεσμών

στάσιμου κύματος είναι: α. λ4 β. λ2 γ. λ δ. 2λ

Ποια είναι η σωστή απάντηση;

ιι) Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και

μιας κοιλίας στάσιμου κύματος είναι:

α. λ8 β. λ4 γ. λ2 δ. λ

Ποια είναι η σωστή απάντηση;

36. Δύο αρμονικά κύματα με την ίδια συχνότητα

f = 10 Hz και την ίδια ταχύτητα υ = 1 m/s συμβάλ-

λουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα. Η απόστα-

ση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου

κύματος είναι:

α. 0,05 m β. 0,1 m γ. 0,2 m δ. 0,4 m.

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση και αιτιολογήστε

την.

37. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου

έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Δύο σημεία Α

και Β του μέσου που βρίσκονται μεταξύ δύο δια-

δοχικών δεσμών:

α. βρίσκονται σε συμφωνία φάσης

β. έχουν την ίδια φάση

γ. έχουν κάθε στιγμή την ίδια φορά κίνησης και

την ίδια ταχύτητα.

δ. έχουν το ίδιο πλάτος.

Ποιες προτάσεις είναι σωστές;

38. Κατά μήκος ενός σχοινιού δημιουργείται στάσι-

μο κύμα, ως αποτέλεσμα της συμβολής δύο αρ-

μονικών κυμάτων μήκους κύματος λ. Η διαφορά

φάσης των ταλαντώσεων δύο σημείων του σχοι-

νιού που απέχουν μεταξύ τους απόσταση λ4 :

α. είναι πάντοτε μηδέν

β. είναι πάντοτε π

γ. μπορεί να είναι μηδέν ή π

δ. είναι πάντοτε π4 .

Ποια πρόταση είναι σωστή;

39. Κατά μήκος ενός σχοινιού δημιουργείται στάσι-

μο κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση:

y = 2A συν2πxλ ημ2π

tT . Σωστό ή λάθος:

Α. Οι δεσμοί του στάσιμου κύματος παραμένουν

μονίμως ακίνητοι, ενώ οι κοιλίες ταλαντώνονται

με πλάτος 2Α.

Β. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών

είναι ίση με π.

Γ. Η απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και μιας κοι-

λίας είναι περιττό πολλαπλάσιο του λ4 .

Δ. Όλα τα σημεία του σχοινιού εκτός των δε-

σμών ταλαντώνονται με περίοδο Τ.

40. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λάθος;

Όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου που περι-

λαμβάνονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών

ενός στάσιμου κύματος:

α. έχουν την ίδια φάση.

β. έχουν την ίδια συχνότητα ταλάντωσης.

γ. έχουν την ίδια μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης.

δ. διέρχονται ταυτόχρονα από τις θέσεις ισορρο-

πίας τους.

41. Στο σχήμα φαίνονται δύο στιγμιότυπα στάσιμου

εγκάρσιου κύματος, που έχει δημιουργηθεί σε

γραμμικό ελαστικό μέσο. Αν το στιγμιότυπο 1

(συνεχής γραμμή) αντιστοιχεί στη χρονική στιγ-

μή t1 = Τ4 (όπου Τ: η περίοδος των κυμάτων που

δημιούργησαν το στάσιμο κύμα), τότε το στιγ-

1

A

x

y

2

7

t

Ο

y

x

μιότυπο 2 (εστιγμένη γραμμή) αντιστοιχεί στη

χρονική στιγμή: α. 3Τ4 β. Τ2 γ. Τ δ. Τ3

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.

42. Στο σχήμα δίνεται ένα στιγμιότυπο στάσιμου

κύματος, που έχει δημιουργηθεί κατά μήκος ε-

νός σχοινιού. Η ενέργεια του κύματος αυτή τη

χρονική στιγμή είναι:

α. μηδέν

β. μόνο κινητική

γ. μόνο δυναμική

δ. κινητική και δυναμική

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αι-

τιολογήσετε.

43. Τη χρονική στιγμή t1, το στιγμιότυπο στάσιμου

κύματος το οποίο σχηματίζεται σε χορδή της ο-

ποίας τα άκρα Α και Β είναι στερεωμένα, είναι το

σχήμα (α). Να αντιστοιχίσετε τα στιγμιότυπα (β),

(γ) και (δ) με τις χρονικές στιγμές:

1. t1+ Τ4 , 2. t1+ 3Τ4 , 3. t1+ Τ2 , 4. t1+ Τ8

(Τα βέλη συμβολίζουν τα διανύσματα των ταχυ-

τήτων των αντίστοιχων σημείων της χορδής)

44. Το ένα άκρο μιας χορδής είναι ακλόνητα στερε-

ωμένο, ενώ το άλλο άκρο της είναι συνδεδεμένο

με ταλαντωτή, ο οποίος δημιουργεί στάσιμα κύ-

ματα πάνω στη χορδή. Όταν η συχνότητα του

ταλαντωτή αυξάνεται, ο αριθμός των δεσμών

του στάσιμου κύματος:

α. μειώνεται

β. αυξάνεται

γ. παραμένει σταθερός

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να την αι-

τιολογήσετε.

45. Ένα στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσω-

ση: y = 2A συν2πx

λημ

2πt

T. Σε κοινό διάγραμμα να

παρασταθούν γραφικά με το χρόνο οι απομα-

κρύνσεις των σημείων που βρίσκονται στις θέ-

σεις: α) x = λ β) x = 7λ

6 και γ) x =

9λ

4.

46. Να δείξετε ότι δύο σημεία του στάσιμου κύμα-

τος που απέχουν μεταξύ τους Δx =λ

2 βρίσκονται

συνεχώς σε αντίθεση φάσης, δηλαδή έχουν κάθε

στιγμή αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη τα-

χύτητα.

Α Β Α Β

t1

(α) (β)

Α Β Α Β

(δ) (γ)

Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Μηχανικά κύματα

1. Η εξίσωση αρμονικού κύματος είναι

y = 0,2ημπ(5t – x) (S.I.). Να βρείτε:

α) την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και την

μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των υλικών ση-

μείων του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται

το κύμα. [Απ. 5 m/s, π m/s]

β) Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες:

i) το στιγμιότυπο του κύματος τις χρονικές στιγμές

t1 = 0,7 s, t2 = 1 s.

ii) τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του

σημείου Μ (xM = +1,75 m) σε συνάρτηση με το

χρόνο.

γ) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ των

σημείων Μ (xM = +1,75 m) και Λ (xΛ = +2,5 m) για

κάθε χρονική στιγμή μετά την έναρξη της ταλά-

ντωσης και των δύο σημείων. [Απ. 3π/4 rad]

δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας ταλά-

ντωσης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή που η

απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του εί-

ναι y1 = +0,1 m. [Απ. 0,5π 3 m/s]

2. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται με ταχύτητα

υ = 5 m/s κατά μήκος ομογενούς χορδής σταθε-

ρού πάχους και απείρου μήκους που ταυτίζεται με

τον θετικό ημιάξονα Οx. Το κύμα διαδίδεται προς

τη θετική κατεύθυνση και το υλικό σημείο που

βρίσκεται στο αριστερό άκρο Ο (x = 0) της χορδής

έχει εξίσωση ταλάντωσης y = Αημωt. Ένα υλικό

σημείο Μ της χορδής, που έχει μάζα m = 10-4 g,

αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t1 = 1s

έχοντας ενέργεια ταλάντωσης Ε = 210-6 J. Μεταξύ

του σημείου Μ τη στιγμή που ξεκινά την ταλά-

ντωσή του και του άκρου Ο της χορδής η κυματι-

κή εικόνα έχει επαναληφθεί 5 φορές.

α) Να βρείτε το πλάτος του κύματος. [Απ. 0,2 m]

β) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης επανα-

φοράς σε συνάρτηση με το χρόνο για το σημείο Μ.

[Απ. FM = -210-5ημ(10πt –10π) (S.I.), t>1 s]

γ) Να βρείτε τον αριθμό των ορέων που έχουν

σχηματιστεί στη χορδή τη χρονική στιγμή t2 που

το υλικό σημείο Μ διέρχεται για τρίτη φορά από

τη θέση ισορροπίας του μετά τη στιγμή που ξεκί-

νησε να ταλαντώνεται. [7]

δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης φ

της ταλάντωσης του υλικού σημείου Κ (xΚ = +3,25

m), σε συνάρτηση με το χρόνο.

[Απ. φK = 10πt – 6,5π]

Θεωρήστε π2 = 10.

3. Ένα ημιτονοειδές κύμα διαδίδεται προς την αρνη-

τική κατεύθυνση του άξονα x΄x. Το σημείο Ο

(x = 0) του άξονα εκτελεί απλή αρμονική ταλά-

ντωση με εξίσωση της μορφής y = 0,1 ημωt. Τη

χρονική στιγμή t1 = 130 s το σημείο Ο διέρχεται για

πρώτη φορά από τη θέση με απομάκρυνση

y1 = +0,05 m, ενώ τη χρονική στιγμή t2 που το Ο

φθάνει για πρώτη φορά στη θέση ισορροπίας του

το κύμα έχει διαδοθεί κατά d = 0,6 m πέρα από το

σημείο αυτό.

α) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t2.[Απ. 0,2 s]

β) Nα βρείτε με πόσα μήκη κύματος ισούται η α-

πόσταση μεταξύ των σημείων Ο και Δ του ελαστι-

κού μέσου (xΔ = +2,4 m). [Απ. 2]

γ) Να γράψετε την εξίσωση της φάσης του κύμα-

τος και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση

τη χρονική στιγμή t3 = 2 t2, για όλα τα σημεία του

ελαστικού μέσου που βρίσκονται μεταξύ του Ο

και του Δ. [Απ. φ(x) = 2π +5πx

3]

9

δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση y = f(t) για το

σημείο Κ του ελαστικού μέσου το οποίο είναι το

τρίτο κατά σειρά στον αρνητικό ημιάξονα που κά-

θε χρονική στιγμή, από τη στιγμή που άρχισε να

ταλαντώνεται, έχει αντίθετη απομάκρυνση και

αντίθετη ταχύτητα από το σημείο Ο.

4. Για ένα γραμμικό αρμονικό κύμα που τη χρονική

στιγμή t = 0 ξεκινά από την αρχή του άξονα x΄x

και διαδίδεται κατά τη θετική φορά, η φάση του

τη χρονική στιγμή t = 2 s μεταβάλλεται σε συνάρ-

τηση με την απόσταση από την αρχή Ο του άξονα

σύμφωνα με τη σχέση φ = 4π(2-x) (S.I.).

Αν το πλάτος του κύματος είναι Α = 0,1 m:

α) να βρείτε τη συχνότητα και την ταχύτητα διά-

δοσης του κύματος. [Απ. 2 Hz, 1 m/s]

β) να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

[Απ. y = 0,1ημ4π(t-x) (S.I.)]

γ) να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος για

τη χρονική στιγμή t = 2 s.

δ) να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση των

σημείων του μέσου, που απέχουν x = 1 m από την

αρχή του άξονα, τη χρονική στιγμή t = 5 s.

[Απ. 0,4π m/s, 0]

5. Ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος ενός

γραμμικού ελαστικού μέσου, με ταχύτητα

υ = 40 m/s προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα

x΄x. Κάποια στιγμή, οι φάσεις των ταλαντώσεων

δύο σημείων Α και Β του μέσου είναι φΑ = 15π rad

και φΒ = 45π rad, αντίστοιχα. Το σημείο Β βρίσκε-

ται σε απόσταση xΒ = 5 m από την αρχή Ο του άξο-

να και είναι το τρίτο κατά σειρά σημείο του ελα-

στικού μέσου που έχει μόνιμα αντίθετη απομά-

κρυνση και αντίθετη ταχύτητα από το Ο.

α) Να εξετάσετε αν το κύμα διαδίδεται από το Α

προς το Β ή αντίθετα. [Απ. από το Β προς το Α]

β) Να υπολογίσετε τη συχνότητα του κύματος.

[Απ. 20 Hz]

γ) Να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ των ση-

μείων Α και Β. [Απ. 30 m]

δ) Όταν το σημείο Β διέρχεται από τη θέση ισορ-

ροπίας του, κινούμενο κατά τη θετική φορά, ποια

είναι η απομάκρυνση και η φορά κίνησης του ση-

μείου Α; [Απ. 0, θετική φορά]

6. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου,

διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με μήκος κύ-

ματος λ = 20 cm, προς την αρνητική φορά του ά-

ξονα x΄x. Η απομάκρυνση ενός σημείου Ο, το ο-

ποίο θεωρούμε αρχή του άξονα, δίνεται από την

εξίσωση y = 2∙10-2ημ20πt (S.I.).

α) Nα υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του

κύματος. [Απ. 2 m/s]

β) Nα γράψετε την εξίσωση του κύματος.

[Απ. y = 2∙10-2ημ2π (10t+5x)]

γ) να βρείτε τη διαφορά φάσης Δφ = φΑ - φΒ μετα-

ξύ των ταλαντώσεων των σημείων Α (x = 0,4 m)

και Β (x = -0,4 m) του ελαστικού μέσου την ίδια

χρονική στιγμή. [Απ. 8π]

δ) Όταν το σημείο Α βρίσκεται στη μέγιστη θετική

απομάκρυνσή του, σε ποια απομάκρυνση βρίσκε-

ται το σημείο Β; [Απ. ίδια με το Α]

10

7. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους Α = 0,4 m δια-

δίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x΄x.

Η απομάκρυνση της πηγής Ο που είναι και η αρχή

του άξονα δίνεται από τη σχέση y = Aημωt. Στο

διάγραμμα φαίνεται η μεταβολή της φάσης ενός

σημείου Α που βρίσκεται στη θέση ΧΑ = 20 m, σε

συνάρτηση με το χρόνο t.

α) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

[Απ. y = 0,4ημ2π( t x2 4 ) (S.I.)]

β) H φάση ενός σημείου Β είναι μεγαλύτερη από

τη φάση του Α κατά 6π (rad) την ίδια χρονική

στιγμή. Να γίνει το διάγραμμα της απομάκρυνσης

του σημείου Β σε συνάρτηση με το χρόνο.

γ) Να σχεδιαστεί το διάγραμμα y = f(x) τη χρονική

στιγμή t = 1,5 s (στιγμιότυπο του κύματος).

8. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται σε ελαστικό

μέσο κατά μήκος του άξονα x΄x. Η αρχή του άξονα

τη χρονική στιγμή t = 0 έχει y = 0 και υ > 0. Τη

χρονική στιγμή t = 2 s η φάση μεταβάλλεται σε

συνάρτηση με την απόσταση x από την πηγή του

κύματος όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμ-

μα.

Αν το πλάτος είναι Α = 0,1 m:

α) Nα βρείτε τη συχνότητα και την ταχύτητα διά-

δοσης του κύματος. [Απ. 2 Hz, 1 m/s]

β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.

[Απ. y = 0,1ημ4π(t-x) (S.I.)]

γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη

χρονική στιγμή t = 2 s.

δ) Να βρείτε την ταχύτητα ταλάντωσης και την

επιτάχυνση των σημείων του άξονα x΄x που απέ-

χουν από την αρχή απόσταση x = 1 m τη χρονική

στιγμή t = 5 s. [Απ. 0,4π m/s, 0]

9. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου,

διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα

υ = 4 m/s, προς την θετική φορά του άξονα x΄x.

Ένα σημείο Μ του μέσου, το οποίο βρίσκεται στη

θέση x = +2 m, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση

με εξίσωση yΜ = 0,1ημ8πt (S.I.).

α) Να βρείτε το μήκος κύματος λ. [Απ. 1 m]

β) Να γράψετε την εξίσωση της πηγής του κύμα-

τος, αν αυτή βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα.

[Απ. y = 0,1ημ(8π t+4π) (S.I.)]

γ) Ποια είναι η ταχύτητα της πηγής όταν η ταχύ-

τητα του σημείου Μ είναι 2 m/s; [Απ. 2 m/s]

10. Η εξίσωση της ταλάντωσης της πηγής ενός αρμο-

νικού κύματος δίνεται από τη σχέση

y = 2ημ(2πt + φ0) (t σε s, y σε cm).

Tη χρονική στιγμή t = 0 η πηγή βρίσκεται στη μέ-

γιστη θετική απομάκρυνση. Όταν η πηγή περνάει

από τη θέση ισορροπίας της για τρίτη φορά, το

κύμα που παράγεται απ’ αυτήν έχει διαδοθεί σε

απόσταση d = 25 cm.

α) Να βρείτε την αρχική φάση φ0. [Απ. π/2 rad]]

β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος, αν η πη-

γή βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα x’ x και το

κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του

άξονα. [Απ. y = 2ημ2π(t- x20 + 14 )]

γ) Να γράψετε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της

επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα

μόριο του ελαστικού μέσου το οποίο βρίσκεται

στη θέση x = 10 cm.

x(m) 0 2

8π

φ(rad)

t(s) 0

10

-10π

φ(rad)

11

[Απ. υ = 4πσυν2π(t- 14 ), α = -8π2ημ2π(t- 14 )]

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τις

χρονικές στιγμές t = 0 και t = 1,5 s .

11. * Δύο ελαστικά νήματα μεγάλου μήκους συνδέο-

νται στο σημείο Ο και σχηματίζουν ελαστικό μέσο

που ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα xOx. Το

σημείο σύνδεσης O (x = 0), αρχίζει τη χρονική

στιγμή t0 = 0 να κινείται κατακόρυφα με την επί-

δραση δύο ταλαντώσεων:

yα = 5 ∙ημ(10πt + π3 ) και yβ = 5 3 ∙ημ(10πt - π

6 )

(yα, yβ σε cm, t σε s).

Σημείο Μ του ενός νήματος που βρίσκεται στη

θέση x Μ = 2m, αρχίζει να ταλαντώνεται μετά από

χρόνο tM = 0,4s, ενώ σημείο Ν του άλλου νήματος

με xN = -2m, αρχίζει να ταλαντώνεται μετά από

χρόνο tN = 0,3s.

α) Να βρείτε την εξίσωση κίνησης του σημείου Ο.

[Απ. yΟ = 0,1 ∙ημ10πt (S.I.)]

β) Να βρείτε τις εξισώσεις των κυμάτων που δη-

μιουργούνται.

[Απ. y1 = 0,1ημ2π(5t-x), y2 = 0,1ημ2π(5t+ 3x4 )(S.I.)]

γ) Να βρείτε την φάση των σημείων του ελαστι-

κού μέσου τη στιγμή t1 = 0,6s και να την παραστή-

σετε γραφικά. [Απ. φ1 = 2π(3-x), φ2 = 2π(3+ 3x4

)(S.I.)]

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του ελαστικού

μέσου τη χρονική στιγμή t1.

ε) Να βρείτε την διαφορά φάσης μεταξύ των ση-

μείων Μ και Ν τη χρονική στιγμή t1.

[Απ. φN - φΜ = π rad]

στ) Να βρείτε πόσα σημεία του ελαστικού μέσου,

έχουν κατά τη χρονική στιγμή t1, κινητική ενέρ-

γεια ίση με την δυναμική ενέργεια ταλάντωσής

τους. [Απ. 24 σημεία]

ζ) Να βρείτε ποια χρονική στιγμή το σημείο Μ έχει

κινητική ενέργεια τριπλάσια της δυναμικής ενέρ-

γειας ταλάντωσής του για δεύτερη φορά.

[Απ. 2960 s]

η) Να βρείτε την απομάκρυνση και την ταχύτητα

ταλάντωσης του σημείου Ν όταν το σημείο Μ έχει

απομάκρυνση -8cm κινούμενο προς τη θέση ι-

σορροπίας του. [Απ. 8 cm , -0,6π m/s]

θ) Να βρείτε την ενέργεια ταλάντωσης στοιχειώ-

δους τμήματος του νήματος που έχει μάζα

Δm = 10-4kg. [Απ. 5π210-5 J]

ι) Αν η μάζα ανά μονάδα μήκους του νήματος που

είναι στο θετικό ημιάξονα είναι 0,2kg/m και του

νήματος στον αρνητικό ημιάξονα είναι 0,4kg/m,

να βρείτε την ενέργεια που παρέχει η πηγή στη

μονάδα του χρόνου. [Απ. 211π6 W]

Συμβολή

12. Σε δύο σημεία Κ και Λ της επιφάνειας υγρού υ-

πάρχουν δύο πηγές που δημιουργούν τη χρονική

στιγμή t = 0 ταυτόχρονα αρμονικά κύματα πλά-

τους Α = 3 cm, συχνότητας f = 10 Hz και ταχύτητας

διάδοσης υ = 1 m/s. Αν σ’ ένα σημείο Μ της επιφά-

νειας του υγρού, που απέχει από τις πηγές απο-

στάσεις αντίστοιχα ΜΚ = r1 = 80 cm και ΜΛ = r2 =

57,5 cm, επιπλέει μικρός φελλός, να βρείτε:

α) Τη χρονική στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνε-

ται ο φελλός. [Απ. 0,575 s]

β) Την εξίσωση της απομάκρυνσης του φελλού

από τη θέση ισορροπίας του, όταν τα κύματα από

τις πηγές συμβάλλουν.

[Απ. y = 0,03 2 ημ2π(10t-6,875) (S.I.)]

12

γ) Την απομάκρυνση του φελλού από τη θέση ι-

σορροπίας του τις χρονικές στιγμές t1 = 0,5 s,

t2 = 0,7 s και t3 = 1 s. [Απ. 0, 3 cm, 3 cm]

13. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π1 και

Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού κύματα με

το ίδιο πλάτος Α = 1 cm και την ίδια συχνότητα

f = 1 Hz. Η ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων

είναι υ = 40 cm/s. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρί-

σκεται στο σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού

που απέχει από τις δύο πηγές r1 = 120 cm και r2 =

40 cm αντίστοιχα. Να βρεθούν:

α) Η απομάκρυνση του φελλού, τη χρονική στιγμή

t1 = 4912 s καθώς και η ταχύτητα ταλάντωσής του

εκείνη τη στιγμή; [Απ. 1 cm, 2π 3 cm/s]

β) Ποια χρονική στιγμή ο φελλός βρίσκεται για

πρώτη φορά στη θέση y = +2 cm. [Απ. 3,25 s]

14. Σ’ ένα σημείο Κ της επιφάνειας υγρού που απέχει

r1 = 8 m και r2 = 6 m από δύο πηγές Π1 και Π2 αντί-

στοιχα, φθάνουν ταυτόχρονα απ' αυτές δύο ε-

γκάρσια κύματα της μορφής y1 = Aημ(πt-πr1+φ0)

και y2 = Aημ(πt-πr2) (S.I.). Για ποια τιμή της φ0 το

σημείο Κ θα παραμένει συνεχώς ακίνητο; [Απ. π]

15. Δύο μεγάφωνα Α και Β εκπέμπουν ημιτονοειδή

ηχητικά κύματα της ίδιας συχνότητας. Ένας α-

κροατής βρίσκεται σε σημείο Κ, που απέχει απο-

στάσεις r1 = 5 m και r2 = 4 m αντίστοιχα από τα με-

γάφωνα Α και Β. Αν η ταχύτητα του ήχου είναι υ =

340 m/s, να βρείτε για ποιες συχνότητες ο ακροα-

τής στο σημείο Κ ακούει ήχο μέγιστης έντασης

και για ποιες δεν ακούει καθόλου ήχο.

[Απ. 340Ν Hz, 170(2Ν+1) Hz, N = 0,1,2... ]

16. Για να μετρήσουμε την ταχύτητα διάδοσης των

κυμάτων στην επιφάνεια υγρού, κάνουμε το πα-

ρακάτω πείραμα: δημιουργούμε στην επιφάνεια

του υγρού δύο σύγχρονες πηγές (πηγές σε φάση)

Π1 και Π2 αρμονικών κυμάτων με συχνότητα

f = 20 Hz. Η διαφορά των αποστάσεων από τις πη-

γές ενός σημείου Α που παραμένει ακίνητο είναι

r2 - r1 = 145 cm, ενώ η διαφορά των αποστάσεων

από τις πηγές ενός άλλου σημείου Β που παραμέ-

νει επίσης ακίνητο είναι r2΄ - r1΄ = 255 cm. Αν στο

ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ υπάρχουν ακόμη 10 ακί-

νητα σημεία, να βρείτε την ταχύτητα υ των κυμά-

των. [Απ. 2 m/s]

17. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π1 και

Π2, που απέχουν μεταξύ τους d = 6 m, δημιουρ-

γούν στην επιφάνεια υγρού κύματα με το ίδιο

πλάτος Α = 2 cm και την ίδια συχνότητα f. Η ταχύ-

τητα διάδοσης των δύο κυμάτων είναι υ = 16 m/s.

Έχει προσδιοριστεί πειραματικά ότι το μήκος κύ-

ματος των κυμάτων που παράγουν οι πηγές βρί-

σκεται στην περιοχή μεταξύ λ1 = 0,65 m και

λ2 = 1 m. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται στο

σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού, σε απόσταση

r2 = 8 m από την πηγή Π2 και πάνω στην κάθετο

προς το ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2 που διέρχεται

από το σημείο Π2. Αν το κομμάτι του φελλού πα-

ραμένει συνεχώς ακίνητο, να υπολογίσετε:

α) Τη συχνότητα f. [Απ. 20 Hz]

β) Το πλάτος της ταλάντωσης ενός άλλου μικρού

κομματιού φελλού, που βρίσκεται στο ευθύγραμ-

μο τμήμα Π1Π2, σε απόσταση x1 = 3,1 m από την

πηγή Π1. [Απ. 2 2 cm]

18. Στην επιφάνεια ενός υγρού δημιουργούνται δύο

εγκάρσια αρμονικά κύματα πλάτους 3cm και

συχνότητας 10 Hz τα οποία διαδίδονται με ταχύ-

τητα 3,6 m/s. Τα κύματα παράγονται από δύο

πηγές Π1 και Π2 που απέχουν μεταξύ τους 12 cm

και αρχίζουν να ταλαντώνονται ταυτόχρονα τη

χρονική στιγμή t = 0. Ένα σημείο Μ, που βρίσκε-

13

ται στην κάθετο της Π1Π2 η οποία διέρχεται από

την Π2, είναι το σημείο με την μικρότερη φάση,

από αυτά που που ταλαντώνονται με πλάτος

3 3 cm. Να υπολογίσετε:

α) τις αποστάσεις r1 και r2 του Μ από τις πηγές Π1

και Π2 αντίστοιχα. [Απ. 15 cm, 9 cm]

β) την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επι-

τάχυνση του Μ τη χρονική στιγμή t = 11120 s.

Θεωρήστε π2≈10.

[Απ. -1,5 3 cm, -0,9π m/s, 60 3 m/s2]

19. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π1 και

Π2 βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ αντίστοιχα της

επιφάνειας ενός υγρού και ταλαντώνονται με εξί-

σωση y = 0,05ημ10πt (S.I.). Οι δύο πηγές απέχουν

μεταξύ τους απόσταση d = 0,4 m και τα κύματα

που δημιουργούν διαδίδονται στην επιφάνεια του

υγρού διανύοντας το καθένα μήκος Δx = 0,1 m σε

κάθε περίοδο ταλάντωσης της πηγής που τα δη-

μιουργεί. Σε σημείο Ζ της επιφάνειας του υγρού,

το οποίο απέχει από την πηγή Π1 απόσταση r1 και

από την πηγή Π2 απόσταση r2 (r1 > r2), τα κύματα

φθάνουν με διαφορά φάσης Δφ = 7π rad.

α) Να εξετάσετε εάν στο σημείο Ζ λόγω της συμ-

βολής των δύο κυμάτων εμφανίζεται ενίσχυση ή

απόσβεση.

β) Να υπολογίσετε την απόσταση του μέσου Μ

του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ από το σημείο Δ

το οποίο είναι το σημείο τομής του τμήματος ΚΛ

και της υπερβολής ενίσχυσης ή απόσβεσης (όπως

προέκυψε από το α’ ερώτημα) που διέρχεται από

το σημείο Ζ. [Απ. 0,175 m]

γ) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης του

υλικού σημείου Θ, το οποίο βρίσκεται πάνω στο

ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ σε απόσταση ενός μήκους

κύματος από το μέσο Μ, μετά τη στιγμή συμβολής

των δύο κυμάτων στο σημείο αυτό.

[Απ. y = 0,1ημ(10πt-4π) (S.I.)]

δ) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή, μετά τη

συμβολή, που το σημείο Μ φθάνει για πρώτη φο-

ρά σε απομάκρυνση y = +0,05 m. [Απ. 512 s]

20. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων Π1 και

Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού κύματα με

το ίδιο πλάτος Α = 0,5 cm και την ίδια περίοδο

Τ = 0,2 s. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται στο

σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού και απέχει

από τις δύο πηγές r1 = 28 cm και r2 = 44 cm αντί-

στοιχα. Η ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων

είναι υ = 0,4 m/s.

α) Ποια είναι η διαφορά φάσης των δύο κυμάτων

στο σημείο Μ, την ίδια χρονική στιγμή; [Απ. 4π]

β) Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης του φελ-

λού; [Απ. 1 cm]

γ) Κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος Π1Π2

βρίσκεται ένα δεύτερο μικρό κομμάτι φελλού.

Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση του φελλού από

το μέσο του τμήματος Π1Π2, ώστε ο φελλός να πα-

ραμένει διαρκώς ακίνητος; [Απ. 2 cm]

21. Δύο πηγές κυμάτων Π1 και Π2 δημιουργούν στην

επιφάνεια ενός υγρού κύματα με πλάτος Α = 2 cm,

περίοδο Τ = 1 s και την ίδια φάση. Η ταχύτητα διά-

δοσης των δύο κυμάτων είναι υ=10cm/s. Ένα ση-

μείο Μ της επιφάνειας του υγρού απέχει αντίστοι-

χα από τις δύο πηγές r1 = 20 cm και r2, τέτοια ώστε

22 cm < r2 < 26 cm.

α) Πόση είναι ακριβώς η απόσταση r2, αν το ση-

μείο Μ παραμένει διαρκώς ακίνητο; [Απ. 25 cm]

β) Να βρείτε τις εξισώσεις y1 = f(t) και y2 = f(t) των

ταλαντώσεων που εκτελεί το σημείο Μ, λόγω των

κυμάτων που φθάνουν από τις πηγές Π1 και Π2 α-

14

ντίστοιχα. [Απ. y1 = 2ημ2π(t-2), y2 = 2ημ2π(t-2,5),

y1, y2 σε cm και t σε s]

γ) Με τη βοήθεια των εξισώσεων του προηγούμε-

νου ερωτήματος να εξηγήσετε γιατί το σημείο Μ

παραμένει συνεχώς ακίνητο. [Απ. Δφ = π]

Στάσιμα κύματα

22. Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα, που έχουν το ίδιο

πλάτος και την ίδια συχνότητα, διαδίδονται ταυ-

τόχρονα κατά μήκος του ίδιου ελαστικού μέσου,

προς αντίθετες κατευθύνσεις. Τα δύο κύματα

συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα. Η ε-

ξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς την θε-

τική κατεύθυνση είναι: y1 = 4ημπ(2t-x

20), όπου τα

x, y1 σε cm και t σε s. Θεωρούμε ως αρχή μέτρη-

σης των αποστάσεων (x = 0) μια κοιλία του στάσι-

μου κύματος και ως αρχή των χρόνων (t = 0) τη

χρονική στιγμή που στη θέση x = 0 η φάση της τα-

λάντωσης είναι φ = 0.

α) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος που δια-

δίδεται προς την αρνητική κατεύθυνση.

[Απ. y2 = 4ημπ(2t+x

20), x, y σε cm και t σε s]

β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.

[Απ. y = 8συνπx

20ημ2πt, x, y σε cm και t σε s]

γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης,

της πλησιέστερης προς τη θέση x = 0 κοιλίας του

στάσιμου κύματος.

[Απ. y = -8ημ2πt, y σε cm και t σε s]

δ) Πόσοι δεσμοί υπάρχουν μεταξύ των θέσεων

x = 0 και x = 80 cm; [Απ. 4]

23. Γραμμικό ελαστικό μέσο εκτείνεται κατά μήκος

του άξονα x΄x. Δύο σημεία του Α και Β απέχουν με-

ταξύ τους απόσταση 20 cm και αρχίζουν να ταλα-

ντώνονται κατακόρυφα με την ίδια συχνότητα

f = 5 Hz και πλάτος Α = 4 cm. Κατά μήκος του ελα-

στικού μέσου διαδίδονται τα ημιτονοειδή εγκάρσια

κύματα που παράγονται λόγω της ταλάντωσης των

σημείων Α και Β. Το μήκος κύματος είναι λ = 4 cm.

Θεωρούμε αρχή του άξονα x΄x το μέσο Ο της από-

στασης ΑΒ, με το Α αριστερά και το Β δεξιά. Επίσης

θεωρούμε αρχή του χρόνου, τη χρονική στιγμή κα-

τά την οποία τα κύματα συναντώνται στο Ο και εί-

ναι, για το σημείο Ο, y = 0 και υ > 0.

α) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος

που προκύπτει από τη συμβολή των δύο κυμάτων.

[Απ. y = 8συνπx2 ημ10πt, x, y σε cm και t σε s]

β) Να βρείτε τις θέσεις και τον αριθμό των δεσμών

και κοιλιών που σχηματίζονται. (Στάσιμο κύμα κα-

τά μήκος του ελαστικού μέσου σχηματίζεται μόνο

μεταξύ των σημείων Α, Β. Αριστερά του Α και δεξιά

του Β, τα κύματα διαδίδονται κατά την ίδια κατεύ-

θυνση). [Απ. xΔ = (2κ+1) cm, -5≤ κ ≤4, 10 δεσμοί,

xΚ = 2κ cm, -5≤ κ ≤5, 11 κοιλίες]

γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης y

σε συνάρτηση με το χρόνο για τη δεύτερη προς τα

δεξιά κοιλία μετά το Ο.

[Απ. y = 8ημ10πt, x, y σε cm και t σε s]

24. Ένα οριζόντιο σχοινί έχει στο ένα άκρο του στερε-

ωμένο δακτύλιο, ο οποίος περιβάλλει κατακόρυφο

σωλήνα μικρότερης διαμέτρου. Αν αρχίσουμε να

ταλαντώνουμε το ελεύθερο άκρο του σχοινιού κα-

τακόρυφα με σταθερή συχνότητα, τότε διαδίδεται

προς τα δεξιά ένα εγκάρσιο κύμα που περιγράφε-

ται από την εξίσωση:

y1=4ημ2π(10t-x60 ) (x, y1 σε cm και t σε s).

α) Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

[Απ. 6 m/s]

15

β) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος

που δημιουργείται από το προσπίπτον και το ανα-

κλώμενο κύμα.

[Απ. y = 8συνπx30 ημ20πt, x, y σε cm και t σε s]

γ) Για ένα τμήμα του σχοινιού από τη θέση x = 0

που ταυτίζεται με μία κοιλία, μέχρι τη θέση

x = 90 cm, όπου βρίσκεται ο δακτύλιος, να σχεδιά-

σετε τα στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος κατά

τις χρονικές στιγμές t = 0 και t = 0,025 s.

δ) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του σημεί-

ου του σχοινιού που βρίσκεται σε απόσταση

d = 37,5 cm από τον δακτύλιο. [Απ. 4 2 cm]

Δίνεται ότι, επειδή ο δακτύλιος είναι ελεύθερος να

κινηθεί πάνω-κάτω, το προσπίπτον κύμα ανακλά-

ται χωρίς μεταβολή φάσης.

25. Πηγή κυμάτων Α δημιουργεί εγκάρσια κύματα

στην ήρεμη επιφάνεια υγρού με συχνότητα

f = 2 Hz, πλάτος Α = 0,1 m και ταχύτητα διάδοσης

υ = 1 m/s. Ένα σημείο Γ της επιφάνειας του υγρού

απέχει απόσταση d = (AΓ) = 74

m από την πηγή Α.

Στο σημείο Δ της μεσοκαθέτου της ΑΓ τοποθε-

τούμε ανακλαστήρα κυμάτων, κάθετο στην επι-

φάνεια του υγρού και παράλληλο προς την ΑΓ.

α) Να υπολογίσετε την ελάχιστη απόσταση ΜΔ

(Μ το μέσο της ΑΓ) έτσι ώστε στο σημείο Γ να έ-

χουμε απόσβεση. [Απ. 15

8

m]

β) Αν τοποθετήσουμε τον ανακλαστήρα κάθετα

στην ΑΓ στο σημείο Κ, με ΑΚ = 138

m, τότε στο ευ-

θύγραμμο τμήμα ΑΚ δημιουργείται στάσιμο κύ-

μα, με κοιλία στο σημείο Α και δεσμό στο Κ.

i. να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύμα-

τος. [Απ. y = 210-1συν4πxημ4πt (S.I.)]

ii. να βρείτε πόσες κοιλίες περιέχονται στο ευθύ-

γραμμο τμήμα ΑΚ. [Απ. 7]

iii. να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης του ση-

μείου Μ. [Απ. 0]

26. Κατά μήκος μιας χορδής δημιουργείται στάσιμο

κύμα, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση:

y = 4συνπx10 ημ25πt (x, y σε cm και t σε s).

Υποθέτουμε ότι στη θέση x = 0 βρίσκεται μία κοιλία

Ο της οποίας η φάση είναι μηδέν για t = 0.

α) Να βρείτε τον αριθμό των κοιλιών του στάσιμου

κύματος που περιλαμβάνονται μεταξύ δύο δεσμών

(Σ και Σ΄) που απέχουν μεταξύ τους απόσταση

d = 50 cm. [Απ. 5]

β) Μεταβάλλοντας κατάλληλα τη συχνότητα των

δύο κυμάτων, δημιουργούμε νέο στάσιμο κύμα. Αν

τα σημεία Σ και Σ΄ είναι δεσμοί και του νέου κύμα-

τος και ο αριθμός των κοιλιών που περιλαμβάνο-

νται μεταξύ των Σ και Σ΄ είναι κατά μία λιγότερες

από πριν, να γράψετε την εξίσωση του νέου στάσι-

μου κύματος. [Απ. y = 4συν2πx

25ημ20πt, x, y σε

cm και t σε s]

27. Φυσώντας κατάλληλα στα χείλη ενός άδειου

μπουκαλιού, δημιουργείται στάσιμο κύμα το ο-

ποίο περιγράφεται από την εξίσωση

y = 410-3συνπx

0,09ημ3800πt (S.I.), με x = 0 στα

χείλη του μπουκαλιού, όπου σχηματίζεται κοιλία.

Το μήκος του μπουκαλιού είναι L = 22,5 cm και

στον πυθμένα του δημιουργείται δεσμός.

M K Γ Α

Δ

16

Α.α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του ήχου στον

αέρα και να γράψετε τις εξισώσεις των κυμάτων

από τα οποία προήλθε το στάσιμο κύμα.

[Απ. 342 m/s, y1,2 = 210-3ημ2π(1900tx0,18 ),(S.I.)]

β) Να υπολογίσετε τον συνολικό αριθμό των

σχηματιζόμενων δεσμών στο μπουκάλι. [Απ. 3]

Β. Ρίχνουμε στο μπουκάλι νερό και μειώνουμε το

μήκος της αέριας στήλης κατά 30%. Φυσώντας

τώρα (με διαφορετικό τρόπο), δημιουργείται νέο

στάσιμο κύμα, με κοιλία στα χείλη, δεσμό στον

πυθμένα και 5 συνολικά δεσμούς.

α) Να βρείτε το μήκος κύματος των κυμάτων που

δημιουργούν το νέο στάσιμο κύμα. [Απ. 7 cm]

β) Να γράψετε τη νέα εξίσωση του στάσιμου κύ-

ματος και να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης

των μορίων του αέρα που απέχουν απόσταση

x = 10,5 cm από τα χείλη του μπουκαλιού.

[y = 410-3συν2πx0,07 ημ9771,4πt (S.I.), 410-3m]

28. Δύο αρμονικά κύματα πλάτους Α = 0,1 m διαδίδο-

νται με αντίθετες ταχύτητες μέτρου υ = 4 m/s σε

γραμμικό ελαστικό μέσο που ταυτίζεται με τον ά-

ξονα x’x και συμβάλλοντας δημιουργούν στάσιμο

κύμα. Στο σχήμα φαίνεται για το υλικό σημείο Ζ

(xΖ > 0) η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης

από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το

χρόνο y = f(t), από κάποια στιγμή που θεωρείται

t = 0 και μετά, αφού έχει δημιουργηθεί το στάσιμο

κύμα σε όλο το ελαστικό μέσο.

Στην αρχή του άξονα (x = 0) δημιουργείται κοιλία

και το υλικό σημείο του ελαστικού μέσου που βρί-

σκεται στη θέση αυτή εκτελεί απλή αρμονική τα-

λάντωση περνώντας τη χρονική στιγμή t = 0 από τη

θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα.

α) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος των συμβαλ-

λόντων κυμάτων. [Απ. 0,8 m]

β) Να υπολογίσετε τη θέση του σημείου Ζ στον ά-

ξονα x’x αν γνωρίζετε ότι μεταξύ των σημείων Ο

και Ζ υπάρχουν 4 δεσμοί. [Απ. +1,6 m]

γ) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της ταχύτη-

τας ταλάντωσης και της επιτάχυνσης ενός υλικού

σημείου Μ που απέχει από το σημείο Ζ απόσταση

d = 0,3 m και βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα, με-

ταξύ του 5ου και του 6ου δεσμού (μετρώντας από

την αρχή Ο). Θεωρήστε π2=10.

[Απ. vM = -π 2 συν10πt, αM = 100 2 ημ10πt (S.I.)]

δ) Μεταβάλλοντας την συχνότητα των αρμονικών

κυμάτων που συμβάλλοντας δημιουργούν το στά-

σιμο κύμα, πετυχαίνουμε να δημιουργήσουμε 2

κοιλίες μεταξύ των σημείων Ο και Ζ, με το Ζ να έχει

γίνει δεσμός και το σημείο Ο να παραμένει κοιλία.

Να υπολογίσετε την % μεταβολή της συχνότητας

[Απ. -37,5%]

29. Χορδή μήκους L = 0,8 m έχει τα άκρα της ακλόνητα

στερεωμένα. Όταν ένα σημείο της χορδής τίθεται

σε ταλάντωση, κατά μήκος της χορδής δημιουργεί-

ται στάσιμο κύμα με τέσσερις κοιλίες που ταλα-

ντώνονται με πλάτος Α = 4∙10-2 m. Η ταχύτητα διά-

δοσης των αρμονικών κυμάτων που συμβάλλουν

είναι υ = 5 m/s.

α) Να βρείτε το μήκος κύματος των συμβαλλόντων

κυμάτων. [Απ. 0,4 m]

β) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης

δύο διαδοχικών κοιλιών Κ1 και Κ2 του στάσιμου

-0,2

yΖ(m)

t(s) 0

+0,2

0,1

0,2

0,3

0,4

17

κύματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Ως αρχή των

χρόνων (t = 0) να θεωρήσετε τη χρονική στιγμή

που η κοιλία Κ1 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και

κινείται κατά τη θετική φορά.

[Απ. y1 = 4∙10-2ημ25πt, y2 = -4∙10-2ημ25πt (S.I.)]

30. Mία χορδή έχει μήκος L = 1 m. Το ένα άκρο είναι

ελεύθερο, ενώ το άλλο δένεται σε ακλόνητο σημεί-

ο. Στη χορδή διαδίδεται κύμα με ταχύτητα υ =8m/s.

α) Ποιων συχνοτήτων κύματα δημιουργούν στη

χορδή στάσιμα κύματα; [Απ. 2(2k+1) Hz, k Ν]

β) Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = 4 cm, να

γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.

(Θεωρήστε ότι το ελεύθερο άκρο της χορδής είναι

κοιλία του στάσιμου κύματος).

[Απ. y = 0,08συν(2κ+1

2π x)ημ4π(2κ+1)t,(SI) k Ν]

31. Χορδή έχει μήκος L = 16 cm. Από τα δύο άκρα της

αρχίζουν να διαδίδονται ταυτόχρονα κατά μήκος

της χορδής δυο εγκάρσια κύματα που έχουν πλά-

τος Α = 2 cm, μήκος κύματος λ = 4 cm και συχνότη-

τα f = 10 Ηz.

α) Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο κυμάτων και

την εξίσωση του κύματος που προκύπτει από τη

συμβολή τους.

[Απ. y1 = 2ημ2π(10t-x

4), y2 = 2ημ2π(10t+

x

4-4),

y=4συν2π(2-x

4)ημ2π(10t-2), x,y σε cm, t σε s]

β) Βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου

που απέχει απόσταση x = 4

3cm από το ένα άκρο.

[Απ. 2 cm]

32. Σώμα 2 μάζας m2 = 3 kg είναι δεμένο στο ένα

άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθε-

ράς k = 300 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι

στερεωμένο στην οροφή και είναι ακίνητο σε

ύψος h = 0,15 m πάνω από το οριζόντιο δάπεδο.

Στο σώμα αυτό είναι δεμένο οριζόντιο αβαρές

νήμα μεγάλου μήκους που ταυτίζεται με τον ά-

ξονα x΄Οx.

Σώμα 1 μάζας m1 = 1 kg βάλλεται από το δάπεδο

κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα υ0 , στη

διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, και τη

χρονική στιγμή t = 0 συγκρούεται κεντρικά και

ελαστικά με το σώμα 2, με αποτέλεσμα αυτό να

ταλαντώνεται, κι έτσι να διαδίδεται εγκάρσιο

αρμονικό κύμα κατά μήκος του οριζόντιου νή-

ματος με εξίσωση y = 0,05ημ(10t-2πx) (SI).

α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ορμής του σώ-

ματος 2 αμέσως μετά την κρούση.

[Απ. 1,5 kgm/s]

β) Να βρείτε την ταχύτητα υ0. [Απ. 2 m/s]

γ) Να υπολογίσετε την μεταβολή της ορμής του

σώματος 1 εξαιτίας της κρούσης.

[Απ. -1,5 kgm/s]

δ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη

χρονική στιγμή t = 0,75π s

Δίνεται: g = 10 m/s2.

Απόστολος Γεωργάκης

Φυσικός