Θεωρία Κεφαλαίου 2 Κύματα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΥΜΑΤΑ

Επιμέλεια: sciencephysics4all.weebly.com 2

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

2-1) ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στο κεφάλαιο αυτό αναλύεται η έννοια του κύματος, που αποτελεί μια από τις

σημαντικότερες έννοιες της Φυσικής. Η δομή του κεφαλαίου περιλαμβάνει τις ακόλουθες

ενότητες:

2-2) ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

2-3) ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ Η ΥΠΕΡΘΕΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ

2-4) ΣΥΜΒΟΛΗ ΔΥΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ

2-5) ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ

2-6) ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

2-8) ΤΟ ΦΑΣΜΑ ΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ

2-9) ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΘΛΑΣΗ

2-10) ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ

Στο εγχειρίδιο αυτό παρουσιάζεται η θεωρία του σχολικού βιβλίου, καθώς και η επέκταση

αυτής για την πλήρη προετοιμασία που απαιτούν οι πανελλήνιες εξετάσεις. Ως εκ τούτου

αποδεικνύονται (μέσω των βασικών σχέσεων του σχολικού βιβλίου) και άλλες χρήσιμες

σχέσεις. Όμως χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή διότι όσες σχέσεις δεν περιέχονται στο

σχολικό βιβλίο πρέπει να αποδεικνύονται για να χρησιμοποιηθούν στις πανελλήνιες

εξετάσεις!!!

http://sciencephysics4all.weebly.com/



2-2) ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Κύμα: η διάδοση μιας διαταραχής που μεταφέρει ενέργεια και ορμή με σταθερή ταχύτητα.

Ελαστικό μέσο: κάθε υλικό μέσο που για λόγους απλότητας, δεχόμαστε ότι έχει τις εξής

ιδιότητες:

1)Αποτελείται από σωματίδια τα οποία πληρούν το μέσο χωρίς διάκενα.

2)Τα σωματίδια αυτά αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με δυνάμεις ανάλογες τις απομάκρυνσης.

Σε ένα ελαστικό μέσο που βρίσκεται σε ισορροπία, οι δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε

σωματίδιο του μέσου από τα γειτονικά του σωματίδια έχουν συνισταμένη ίση με μηδέν.

Αν προκληθεί μια διαταραχή σε ένα υλικό που ηρεμεί (ισορροπεί), τα μόριά του, στην

περιοχή όπου προκλήθηκε η διαταραχή, μετατοπίζονται από τις θέσεις ισορροπίας τους.

Επειδή όμως τα μόρια αυτά αλληλεπιδρούν με τα γειτονικά τους δέχονται δυνάμεις που

τείνουν να τα επαναφέρουν στις αρχικές τους θέσεις ενώ στα διπλανά τους ασκούνται

δυνάμεις που τείνουν να τα εκτρέψουν από τη θέση ισορροπίας. Έτσι, η διαταραχή διαδίδεται

από τη μια περιοχή του υλικού στην άλλη και όλα τα σημεία του υλικού εκτελούν διαδοχικά

την ίδια κίνηση. Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο διαδίδεται το κύμα.

Προσοχή! Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια και ορμή από το ένα σημείο

του μέσου στο άλλο, όχι όμως και ύλη.

Για τη δημιουργία ενός κύματος χρειάζονται η

1) πηγή της διαταραχής (ή πηγή του κύματος),

(δηλαδή η αιτία που θα προκαλέσει τη διαταραχή

και

2) ένα ελαστικό μέσο.

Τα κύματα που διαδίδονται σε ένα ελαστικό μέσο

ονομάζονται μηχανικά κύματα.

Κατά τη διάδοση ενός κύματος δεν έχουμε

μεταφορά ύλης από μια περιοχή του ελαστικού

μέσου σε άλλη. Τα μόρια του ελαστικού μέσου

κινούνται γύρω από τη θέση ισορροπίας τους. Για

να προκαλέσουμε την κυματική διαταραχή πρέπει

να δώσουμε ενέργεια σε κάποια περιοχή του

μέσου. Η ενέργεια αυτή μεταφέρεται με το κύμα σε

άλλες περιοχές του μέσου.




Είδη κυμάτων

Με κριτήριο τη διεύθυνση στην οποία κινούνται τα σημεία του ελαστικού μέσου ως προς τη

διεύθυνση της διάδοσης του κύματος, τα κύματα διακρίνονται σε εγκάρσια και σε διαμήκη

Αν η πηγή εκτελεί περιοδική κίνηση τα σωματίδια του μέσου κινούνται επίσης περιοδικά. Το

κύμα που προκύπτει τότε είναι ένα περιοδικό κύμα. Ειδικότερα, αν η κίνηση της πηγής είναι

απλή αρμονική ταλάντωση όλα τα σωματίδια του μέσου εκτελούν επίσης απλή αρμονική

ταλάντωση και το κύμα ονομάζεται ημιτονοειδές ή αρμονικό.

Οποιαδήποτε κυματική διαταραχή, όσο περίπλοκη και να είναι, μπορεί να θεωρηθεί ότι

προέρχεται από το άθροισμα ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων.

Τα στοιχεία του αρμονικού κύματος

Έστω ότι η πηγή ενός κύματος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο , συχνότητα

f και πλάτος , τότε τα σωματίδια του μέσου όπου διαδίδεται το κύμα εκτελούν επίσης

απλή αρμονική ταλάντωση που έχει την ίδια διεύθυνση, την ίδια περίοδο, την ίδια συχνότητα

και το ίδιο πλάτος με την ταλάντωση της πηγής. Στην περίπτωση αυτή στο μέσο διαδίδεται

ένα αρμονικό κύμα.

Περίοδος ενός αρμονικού κύματος (Τ): Το χρονικό διάστημα στο οποίο ένα σωματίδιο

του μέσου εκτελεί μία πλήρη ταλάντωση

Εγκάρσια ονομάζονται τα κύματα στα

οποία όλα τα σημεία του ελαστικού

μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη

διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

Διαδίδονται στα στερεά (π.χ. κατά μήκος

μιας χορδής) και στην ελεύθερη

επιφάνεια των υγρών. Κατά τη διάδοσή

τους σχηματίζονται ‘όρη’ και ‘κοιλάδες’

Διαμήκη ονομάζονται τα κύματα στα

οποία τα σημεία του ελαστικού μέσου

ταλαντώνονται παράλληλα στη

διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τέτοιο είναι το κύμα που διαδίδεται

κατά μήκος του ελατηρίου στο σχήμα.

Διαδίδονται στα στερεά, στα υγρά και

στα αέρια. Κατά τη διάδοσή τους

σχηματίζονται ‘πυκνώματα’ και

‘αραιώματα’

Διάδοση κύματος


Διεύθυνση

ταλάντωσης σωματιδίων

του μέσου

Διεύθυνση ταλάντωσης σωματιδίων

του μέσου

Όρος

Κοιλάδα

Πύκνωμα

Αραίωμα

y

t

y

t

Χρονική στιγμή t Χρονική στιγμή t+Τ




Εάν φωτογραφίζαμε το μέσο στο οποίο διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα δυο χρονικές στιγμές

που διαφέρουν κατά μια περίοδο ( 1t και 22t ) θα βλέπαμε ότι όλα τα σωματίδια του

μέσου, έχοντας εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση, βρίσκονται πάλι στις αρχικές τους θέσεις.

Έτσι, παρόλο που το κύμα θα έχει προχωρήσει, η κυματική εικόνα που θα πάρουμε θα είναι

ίδια. Επομένως περίοδος του κύματος είναι επίσης το χρονικό διάστημα στο οποίο η

κυματική εικόνα επαναλαμβάνεται.

Συχνότητα ενός αρμονικού κύματος ( f ): Η συχνότητα με την οποία ταλαντώνονται τα

σωματίδια του μέσου.

Η συχνότητα του κύματος δείχνει τον αριθμό των κορυφών (αν πρόκειται για εγκάρσιο κύμα)

ή των πυκνωμάτων (αν πρόκειται για διάμηκες) που φτάνουν σε κάποιο σημείο του μέσου

στη μονάδα του χρόνου κατά τη διάδοση του κύματος.

Πλάτος ενός αρμονικού κύματος (Α): Το πλάτος με το οποίο ταλαντώνονται τα

σωματίδια του μέσου.

Ταχύτητα διάδοσης ενός αρμονικού κύματος (υ): Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το

κύμα σε ένα ορισμένο ελαστικό μέσο.

Όταν το ελαστικό μέσο είναι ομογενές και ισότροπο, η ταχύτητα διάδοσης ενός μηχανικού

κύματος είναι σταθερή και δίνεται από τη σχέση

t

x

όπου x είναι η απόσταση την οποία διατρέχει το κύμα κατά μήκος μιας ευθείας διάδοσής

του και t ο χρόνος που χρειάζεται γι’ αυτό.

Προσοχή! Η σταθερή ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ένα κύμα σε ένα ελαστικό μέσο δεν

πρέπει να συγχέεται με τη χρονικά μεταβαλλόμενη ταχύτητα της ταλάντωσης των σωματίων

του μέσου.

Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ένα κύμα σε ένα μέσον εξαρτάται μόνο από τις

ιδιότητες του μέσου που διαταράσσεται και όχι από το πόσο ισχυρή είναι η διαταραχή. Για παράδειγμα ο ήχος διαδίδεται στον αέρα με ταχύτητα 340 m/s (περίπου), ανεξάρτητα από

το αν είναι ισχυρός ή ασθενής. Στα στερεά ο ήχος διαδίδεται με μεγαλύτερη ταχύτητα, στα

υγρά με μικρότερη και στα αέρια με ακόμα μικρότερη. t

Μήκος κύματος ενός αρμονικού κύματος (που διαδίδεται σε ένα ελαστικό μέσο) (λ): Η

απόσταση την οποία διατρέχει το κύμα στο μέσο αυτό σε χρόνο ίσο με την περίοδο του

κύματος.

Στο σχήμα α βλέπουμε δύο στιγμιότυπα

ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος σε

χρονικές στιγμές που διαφέρουν κατά Δt. Σ'

αυτό το χρονικό διάστημα μια κορυφή του

κύματος μετακινήθηκε κατά tx . Σε

χρονικό διάστημα μιας περιόδου μια

κορυφή (έστω αυτή με το βελάκι) θα έχει

μετακινηθεί κατά ένα μήκος κύματος

x (σχ. β). Επομένως η απόσταση δύο

διαδοχικών κορυφών είναι ίση με λ .

t

y

x

y

x

Σχ. α

Σχ. β




Εναλλακτικός ορισμός μήκους κύματος: Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων

του μέσου που απέχουν το ίδιο από τη θέση ισορροπίας τους και κινούνται κατά την ίδια

φορά.

Αν θέσουμε στη σχέση t

x , t και x

Προκύπτει:

(1)

Όμως,

1

f (2)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (2) την (1) προκύπτει:

1

f

Στην παραπάνω σχέση:

Η σταθερή ταχύτητα διάδοσης του αρμονικού κύματος

Το μήκος κύματος

f Η συχνότητα του κύματος.

Η σχέση αυτή ισχύει για οποιοδήποτε αρμονικό κύμα και ονομάζεται θεμελιώδης εξίσωση

της κυματικής.

Προσοχή! Η συχνότητα f καθορίζεται από την πηγή του κύματος και η ταχύτητα από το

μέσο διάδοσης. Δηλαδή:

H συχνότητα εξαρτάται μόνο από την πηγή του κύματος.

Η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται μόνο από το μέσο διάδοσης.

Όταν ένα κύμα μεταβαίνει από ένα μέσο Α (όπου έχει ταχύτητα ) σε ένα μέσο Β (όπου

έχει ταχύτητα ) τότε θα μεταβληθεί το μήκος κύματος του κύματος από σε .

Δηλαδή

f .

Η εξίσωση του αρμονικού κύματος

Εξίσωση ενός αρμονικού κύματος ονομάζουμε την εξίσωση που μας δίνει την απομάκρυνση

ενός σωματιδίου του μέσου διάδοσης του κύματος σε συνάρτηση με το χρόνο και με την

απόσταση του σωματιδίου από την αρχή μέτρησης των αποστάσεων.

Ας υποθέσουμε ότι η πηγή αρμονικής διαταραχής Ο

αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή 00 t

και ότι η ταλάντωσή της περιγράφεται από τη σχέση

ty (εξίσωση απλής αρμονικής ταλάντωσης

χωρίς αρχική φάση).

x





Η διαταραχή θα φτάσει σε ένα τυχαίο σημείο Σ σε χρόνο

xt (διότι το κύμα διαδίδεται με

ταχύτητα t

x ) . Άρα, το Σ του ελαστικού μέσου θα αρχίσει να ταλαντώνεται τη χρονική

στιγμή

xt 1 . Επομένως μια μεταγενέστερη χρονική στιγμή t ,το σημείο Σ θα

ταλαντώνεται επί χρόνο

xtttt 1 και, με την προϋπόθεση ότι το πλάτος της

ταλάντωσης του Σ είναι ίσο με το πλάτος ταλάντωσης του Ο η εξίσωση της κίνησής του θα

είναι

xty

xty

xty 2

2

Όμως επειδή

, θα έχουμε

xty 2

Η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση του αρμονικού κύματος


y Η απομάκρυνση ενός σημείου (που απέχει οριζόντια απόσταση x από την πηγή του

κύματος) για κάθε χρονική στιγμή t από τη θέση ισορροπίας του

Το πλάτος του κύματος (δηλαδή η μέγιστη απομάκρυνση των σημείων του μέσου στο

οποίο διαδίδεται το κύμα από τη θέση ισορροπίας τους)

t Η χρονική στιγμή στην οποία ένα σημείο που απέχει οριζόντια απόσταση x από την

πηγή του κύματος βρίσκεται σε απομάκρυνση y από τη θέση ισορροπίας του.

x Η οριζόντια απόσταση του σημείου από την πηγή του κύματος.

Η περίοδος του κύματος (δηλαδή ο χρόνος στον οποίο τα σωματίδια του μέσου στο

οποίο διαδίδεται το κύμα εκτελούν μία πλήρη ταλάντωση).

Το μήκος κύματος.

Παρατηρήσεις:

Α) Εναλλακτική χρήσιμη μορφή της εξίσωσης του κύματος είναι η ακόλουθη:

xty 2

xty1

2

x

tfy 2

, όπου f η συχνότητα του κύματος.

Β) Η γωνία

xt2 ονομάζεται φάση του κύματος και μετριέται σε ακτίνια.

Επειδή η φάση εξαρτάται από την απόσταση x από την πηγή προκύπτει ότι τα σημεία του

ελαστικού μέσου την ίδια χρονική στιγμή έχουν διαφορετικές φάσεις.

Γ) Θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων x τη θέση της πηγής του κύματος, εκτός

αν το πρόβλημα διατυπώνεται διαφορετικά.




Δ) Θεωρούμε ότι κατά τη χρονική στιγμή 0t η πηγή του κύματος ( 0x ) βρίσκεται στη

θέση ισορροπίας της ( 0y ) και κινείται κατά τη θετική φορά ( 0 ), δηλαδή η ταλάντωση

της πηγής δεν έχει αρχική φάση. Αυτό ισχύει διότι στην παραπάνω ανάλυση υποθέσαμε ότι η

εξίσωση της ταλάντωσης της πηγής είναι η ty .

Ε) Η εξίσωση

xty 2 ισχύει όταν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά της πηγής

(θετική φορά), οπότε ένα οποιοδήποτε σημείο του μέσου που βρίσκεται στη θέση x έχει την

πηγή του κύματος προς τα αριστερά του.

ΣΤ) Αν το κύμα διαδίδεται κατά την αρνητική φορά τότε η εξίσωση του κύματος θα είναι:

xty 2

Ζ) Όταν δίνεται η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε

άμεσα το πλάτος , την περίοδο και το μήκος κύματος και έμμεσα τη συχνότητα f ,

την ταχύτητα και άλλα στοιχεία συγκρίνοντας την δοθείσα εξίσωση με την εξίσωση της

θεωρίας. Για να έχουμε τις πληροφορίες αυτές φέρνουμε την δοθείσα εξίσωση στην κανονική

της μορφή και συγκρίνουμε τη διαμορφωμένη εξίσωση με την αντίστοιχη εξίσωση της

θεωρίας και εξισώνουμε τους συντελεστές όμοιων όρων.

Παράδειγμα

)410(1,0 xty (S.I.)

Άρα, θα έχουμε: )25(21,0 xty

Συγκρίνουμε την παραπάνω εξίσωση με την:

xty 2 και προκύπτει:

m1,0 ,

tt

5

51

s2,0

xx

2

21

m5,0

Η) Αν στην εξίσωση ενός κύματος θέσουμε 0x , τότε προκύπτει η εξίσωση της

ταλάντωσης της πηγής του κύματος

ty

2

ty

Θ) Για ένα ορισμένο σημείο Σ του μέσου που βρίσκεται στη θέση 1xx η εξίσωση του

κύματος γράφεται

11 222

xt

xty (1)




Παρατηρούμε ότι η εξίσωση (1) παρουσιάζει μια καθυστέρηση φάσης

12 x σε σχέση με

την πηγή του κύματος. Η καθυστέρηση φάσης οφείλεται στη χρονική καθυστέρηση 1

1

xt

με την οποία αρχίζει να ταλαντώνεται το σημείο Σ (διότι χρειάζεται χρόνος 1

1

xt μέχρι να

φθάσει η διαταραχή στο Σ. Θυμίζουμε ότι το κύμα διαδίδεται με ταχύτητα t

x ).

Άρα η εξίσωση (1) δίνει λύσεις για χρονικές στιγμές που ικανοποιούν την συνθήκη 1xt

Γραφική παράσταση αρμονικού κύματος

Από τη μορφή της εξίσωσης του αρμονικού κύματος:

xty 2

,φαίνεται ότι η απομάκρυνση y κάποιου σημείου του μέσου είναι συνάρτηση δύο

μεταβλητών, του χρόνου t και της απόστασης x του σημείου από την πηγή. Για το λόγο αυτό

πρέπει να θεωρήσουμε τη μια από τις δύο μεταβλητές σταθερή για είναι δυνατή η γραφική

της παράσταση.

Α. Στιγμιότυπο κύματος

Το διάγραμμα αυτής της συνάρτησης, δίνει τη θέση των διαφόρων σημείων του μέσου

μια ορισμένη χρονική στιγμή και ονομάζεται στιγμιότυπο του κύματος. Στο σχήμα

φαίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος. Τα σημεία B και Γ που έχουν διαφορά φάσης 2π,

απέχουν ένα μήκος κύματος.

Η απόσταση στην οποία έχει φθάσει το κύμα τη χρονική στιγμή 1t είναι: 11 tx

, όπου η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

Για δεδομένη χρονική στιγμή ( 1tt ), η εξίσωση

του αρμονικού κύματος γράφεται:

x

y .2

και δίνει την απομάκρυνση κάθε σημείου του

μέσου συναρτήσει της απόστασής του από την

πηγή.

x

y

1t

Απόσταση στην οποία έχει

φθάσει το κύμα τη χρονική

στιγμή 1t

Στιγμιότυπο κύματος τη

χρονική στιγμή 1tt




Β. Ταλάντωση ενός σημείου του μέσου

Φάση του αρμονικού κύματος

Στην εξίσωση του κύματος, η παράσταση:

xt2 έχει διαστάσεις γωνίας και

ονομάζεται φάση του κύματος.

Παρατηρούμε ότι σε ένα δεδομένο σημείο του άξονα Οx ( 1xx ) η φάση θα μεταβάλλεται

σε συνάρτηση με το χρόνο:

12

xt

1

22xt

.

2

t

Άρα η γραφική παράσταση της φάσης ενός σημείου συναρτήσει του χρόνου θα προκύπτει

από την εξίσωση:

Για ορισμένη απόσταση από την πηγή

( 1xx ), η εξίσωση του κύματος γίνεται

.2

ty και δίνει την

απομάκρυνση ενός συγκεκριμένου σημείου

του μέσου συναρτήσει του χρόνου.

Η γραφική παράσταση της σχέσης αυτής

είναι η γνωστή μας γραφική παράσταση της

απλής αρμονικής ταλάντωσης (βλ. σχήμα).

Η εξίσωση .2

t είναι της

μορφής: xy , όπου:

y

2

xt

y

t

1x

Το συγκεκριμένο σημείο αρχίζει να

ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή 1

1

xt ,

δηλαδή μόλις η διαταραχή φθάσει σε αυτό.

Γραφική παράσταση θέσης

συναρτήσει του χρόνου του

σημείου στη θέση 1xx

(Γραφική παράσταση απλής αρμονικής

ταλάντωσης)

1x t

Γραφική παράσταση φάσης

συναρτήσει του χρόνου του

σημείου στη θέση 1xx

2

Το συγκεκριμένο σημείο αρχίζει να

ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή 1

1

xt ,

δηλαδή μόλις η διαταραχή φθάσει σε αυτό.




Από την παραπάνω γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι για 0 , προκύπτει η στιγμή

1tt όπου αρχίζει το σημείο στη θέση 1xx να ταλαντώνεται:

0

022

11 xt

11

22xt

11 xt

1

1

xt (1)

Όμως από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής γνωρίζουμε ότι:

f

1 (2)

Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) και έχουμε:1

1

xt (χρονική στιγμή στην οποία το σημείο

στη θέση 1xx αρχίζει να ταλαντώνεται).

Επίσης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή ( 1tt ) η φάση θα μεταβάλλεται σε συνάρτηση με

την απόσταση x από την πηγή του κύματος:

xt12

xt

221 x

2. .

2

x

Άρα η γραφική παράσταση της φάσης ενός σημείου σε συνάρτηση με την απόσταση x από

την πηγή του κύματος θα προκύπτει από την εξίσωση:

Από την παραπάνω γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι για 0 , προκύπτει η θέση

1xx στην οποία έχει φτάσει το κύμα τη χρονική στιγμή 1tt :

0

022

11 xt

11

22xt

11 xt

1

1

tx

(1)

Όμως από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής γνωρίζουμε ότι:

Η εξίσωση .2

x είναι της

μορφής: xy , όπου:

y

2

Γραφική παράσταση φάσης των

σημείων του μέσου τη χρονική

στιγμή 1tt σε συνάρτηση με την

απόσταση x από την πηγή.

x 1t

1

2t

Απόσταση στην οποία έχει

φθάσει το κύμα τη χρονική

στιγμή 1t




f

(2)

Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) και έχουμε: 11 tx (θέση στην οποία έχει φθάσει το κύμα

τη χρονική στιγμή 1tt ).

Παρατηρήσεις

Α) Κάθε σημείο του μέσου που ταλαντώνεται έχει φάση 0 .

Β) Την ίδια χρονική στιγμή t κάθε σημείο έχει διαφορετική φάση από τα υπόλοιπα.

Γ) Μεταξύ δύο σημείων, μεγαλύτερη φάση έχει το σημείο στο οποίο φθάνει πρώτα το κύμα.

Επομένως συγκρίνοντας τις φάσεις των ταλαντώσεων δύο σωματιδίων του μέσου που

βρίσκονται στην ίδια ευθεία διάδοσης, σε μια ορισμένη χρονική στιγμή, μπορούμε να βρούμε

τη φορά στην οποία διαδίδεται το κύμα.

Διαφορά φάσης των ταλαντώσεων δύο σημείων του μέσου διάδοσης

Διαφορά φάσης Δφ των ταλαντώσεων σε δύο σημεία του μέσου διάδοσης ενός κύματος

ονομάζεται η διαφορά των φάσεων των ταλαντώσεων στα σημεία αυτά.

Έστω δύο σημεία Α και Β του άξονα Οx που απέχουν αποστάσεις x και x , ( xx ),

αντίστοιχα από την πηγή Ο του κύματος.

Οι φάσεις των ταλαντώσεων στα δύο αυτά σημεία κατά την ίδια χρονική στιγμή t , θα είναι

αντίστοιχα

)(2

xt Επειδή xx

)(2

xt

Σύμφωνα με τον ορισμό της διαφοράς φάσης, έχουμε

)(2)(2

xtxt

xx2

x

2

Από τη σχέση

x

2 προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα:

α) Αν x (όπου ,...2,1,0 ) τότε:

x

2

2 2 2

x




2

Σημείωση: Όπως προαναφέραμε η φάση του σημείου στο οποίο φθάνει πρώτα το κύμα είναι

μεγαλύτερη. Για το λόγο αυτό .

Η εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Α δίνεται από τη σχέση:

y 2y y

Η εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Β δίνεται από τη σχέση:

y

Άρα yy

Συμπέρασμα: Όταν η διαφορά των αποστάσεων δύο σημείων από την πηγή του κύματος

είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος, τότε τα σημεία αυτά έχουν σε κάθε χρονική

στιγμή την ίδια απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα ταλάντωσης και βρίσκονται σε

συμφωνία φάσης.

Δηλαδή: x , ,....2,1,0 Συμφωνία φάσης

Από την παραπάνω σχέση για 1 παίρνουμε x , οπότε το μήκος κύματος μπορεί να

οριστεί και ως εξής:

Μήκος κύματος ( λ ) ενός κύματος ονομάζεται η απόσταση δύο διαδοχικών σημείων της

ευθείας διάδοσης ενός κύματος, τα οποία βρίσκονται σε συμφωνία φάσης.

α) Αν 2)12(

x (όπου ,...2,1,0 ) τότε:

x

2

212

2

2

122 12

12 12

Η εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Α δίνεται από τη σχέση:

y 12y 2y

y y

Η εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Β δίνεται από τη σχέση:

y

Άρα yy




Συμπέρασμα: Όταν η διαφορά των αποστάσεων δύο σημείων από την πηγή του κύματος

είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος, τότε τα σημεία αυτά έχουν σε κάθε

χρονική στιγμή αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα ταλάντωσης και βρίσκονται σε

αντίθεση φάσης.

Δηλαδή 2)12(

x , ,....2,1,0 Αντίθεση φάσης

Για παράδειγμα στο παρακάτω στιγμιότυπο παρατηρούμε ότι:

Τα σημεία 1 και 3 (που απέχουν απόσταση ) έχουν σε κάθε χρονική στιγμή την ίδια

απομάκρυνση και την ίδια ταχύτητα ταλάντωσης. Άρα βρίσκονται σε συμφωνία φάσης.

Αντίθετα τα σημεία 1 και 3 έχουν αντίθεση φάσης με το 2 , διότι σε κάθε χρονική

στιγμή έχουν αντίθετη απομάκρυνση και αντίθετη ταχύτητα ταλάντωσης. Καθένα από τα 1

και 3 απέχει απόσταση 2/ από το 2 .

Σημείωση: Η φάση της ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου (x=σταθ.) που βρίσκεται κατά

μήκος της ευθείας διάδοσης ενός αρμονικού κύματος τη χρονική στιγμή t θα είναι:

xt21

Η φάση της ταλάντωσης του ίδιου σημείου του μέσου τη χρονική στιγμή tt θα είναι:

xtt22

Άρα, η αύξηση της φάσης της ταλάντωσης ενός σωματιδίου του μέσου (x=σταθ.) που

βρίσκεται κατά μήκος της ευθείας διάδοσης ενός αρμονικού κύματος από τη χρονική στιγμή

t μέχρι τη χρονική στιγμή tt δίνεται από την σχέση

xtxtt2212

y

x

max

max

1

2

3

2/ 2/

max




xtxtt2222

ttt 222

t 2


Α) Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης Ε είναι ίδια για όλα τα σωματίδια του μέσου που

ταλαντώνονται και διατηρείται σταθερή αν δεν υπάρχουν απώλειες. Η αρχή διατήρησης της

ενέργειας ταλάντωσης ενός σωματιδίου εκφράζεται με τη σχέση

222

2

1

2

1

2

1DymD


y η απομάκρυνση του σημείου σε μία τυχαία χρονική στιγμή

η ταχύτητα του σωματίου την ίδια χρονική στιγμή

το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου.

Προφανώς για οποιοδήποτε σημείο του μέσου μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή

διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης σε οποιαδήποτε μορφή, π.χ.

222

max2

1

2

1

2

1Dymm ή 22

max2

1

2

1 Dm κ.τ.λ.

Β) Όταν ένα αρμονικό κύμα διαδίδεται σένα ελαστικό μέσο, τότε η ταχύτητα και η

επιτάχυνση της ταλάντωσης ενός οποιουδήποτε σωματιδίου του μέσου δίνονται από τις

εξισώσεις:

Ταχύτητα:

xt2

Επιτάχυνση:

x

T

t22 y2

Προφανώς για κάθε σημείο του μέσου ισχύουν όλες οι σχέσεις μεταξύ των μεγεθών της

ταλάντωσης που αποδείξαμε στο κεφάλαιο 1, π.χ. 22 y κ.τ.λ.

Γ) Όταν κατά τη χρονική στιγμή 0t η πηγή του κύματος ( 0x ) δεν βρίσκεται στη θέση

ισορροπίας ( 0y ) κινούμενη κατά τη θετική φορά, τότε υπάρχει αρχική φάση 0 και η

απομάκρυνση της πηγής σε συνάρτηση με το χρόνο δίνεται από την εξίσωση

0 ty

0

2

ty

Επομένως, στην περίπτωση αυτή η εξίσωση του κύματος γράφεται:

])(2[ 0

xt

y




Δ) Αρνητική φάση κύματος (για ένα ζεύγος τιμών ( xt, ) σημαίνει ότι το κύμα δεν έχει φτάσει

ακόμα στο σημείο αυτό.

Ε) Όταν από ένα σημείο της ευθείας διάδοσης ενός διαμήκους αρμονικού κύματος διέρχονται

n ’πυκνώματα’ η ‘αραιώματα’ του κύματος σε χρόνο t , τότε από το σημείο αυτό διέρχονται

1n κύματα σε χρόνο t . Άρα η συχνότητα του κύματος δίνεται από τη σχέση t

nf

1 . Η

σχέση αυτή ισχύει και για εγκάρσια αρμονικά κύματα (που έχουν ‘όρη’ και ‘κοιλάδες’)




2-3) ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ Η ΥΠΕΡΘΕΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ

Αρχή της Επαλληλίας: Όταν σε ένα ελαστικό μέσο διαδίδονται δύο ή περισσότερα

κύματα η απομάκρυνση ενός σημείου του ελαστικού μέσου είναι ίση με τη συνισταμένη

των απομακρύνσεων που οφείλονται στα επί μέρους κύματα.

Δηλαδή , ...21 yyy

Τα κύματα που διαδίδονται στο ίδιο μέσο, δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Κάθε κύμα

διαδίδεται σαν να μην υπήρχε το άλλο. Η συνεισφορά κάθε κύματος στην απομάκρυνση ενός

σημείου του μέσου είναι ανεξάρτητη από την ύπαρξη του άλλου κύματος.

Σημειώσεις:

Α) Η αρχή της επαλληλίας παραβιάζεται μόνο όταν τα κύματα είναι τόσο ισχυρά ώστε να

μεταβάλλουν τις ιδιότητες του μέσου στο οποίο διαδίδονται (όταν οι δυνάμεις που ασκούνται

στα σωματίδια του μέσου δεν είναι ανάλογες της απομάκρυνσης). Τέτοιες περιπτώσεις όπου

δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας, έχουμε στα κύματα που δημιουργούνται από μια έκρηξη.

Β) Όπως την κίνηση ενός βλήματος την αναλύουμε σε συνιστώσες, οριζόντια και

κατακόρυφη, ένα σύνθετο κύμα μπορούμε να το θεωρήσουμε ως αποτέλεσμα της επαλληλίας

ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων, με επιλεγμένα πλάτη και μήκη κύματος.

Η ταυτόχρονη διάδοση δύο η περισσοτέρων κυμάτων στην ίδια περιοχή ενός ελαστικού

μέσου ονομάζεται συμβολή.

Στο σχήμα φαίνεται το αποτέλεσμα της

ταυτόχρονης διάδοσης δύο παλμών κατά μήκος

ενός σχοινιού, στο ίδιο επίπεδο, με αντίθετες

κατευθύνσεις. Όταν οι δυο παλμοί

συναντώνται, τα μόρια του σχοινιού έχουν

απομάκρυνση ίση με το αλγεβρικό άθροισμα

των απομακρύνσεων που θα είχαν αν οι δυο

παλμοί διαδίδονταν ξεχωριστά.

Το αποτέλεσμα της

συμβολής δύο όμοιων

και δύο όμοιων αλλά

αντίθετων κυματικών

παλμών.




2-4) ΣΥΜΒΟΛΗ ΔΥΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ

Μετά από χρόνο Τ/2 στο σημείο 0 θα φτάσουν ταυτόχρονα δύο ΄΄κοιλάδες΄΄, έτσι η

κοιλάδα που θα δημιουργηθεί στο 0 θα έχει διπλάσιο βάθος. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι

τα δύο κύματα συμβάλλουν ενισχυτικά

Ενισχυτική συμβολή έχουμε και σε άλλα σημεία. Για παράδειγμα και στο σημείο 1 , στο

οποίο 21 rr . Όταν στο σημείο 1 φτάνει ΄΄όρος΄΄ που προέρχεται από την πηγή Β,

ταυτόχρονα φτάνει ΄΄όρος΄΄ που προέρχεται από την πηγή Α και δημιουργήθηκε μια περίοδο

νωρίτερα. Το ίδιο συμβαίνει σε όλα εκείνα τα σημεία στα οποία η διαφορά των αποστάσεών

τους από τις δύο πηγές είναι ακέραια πολλαπλάσια του μήκους κύματος.

Το άθροισμά τους θα είναι πάλι μηδέν. Το σημείο 1 παραμένει διαρκώς ακίνητο. Το ίδιο

συμβαίνει με όλα εκείνα τα σημεία, στην επιφάνεια του νερού, στα οποία η διαφορά των

αποστάσεών τους από τις δύο πηγές είναι ίση με περιττό πολλαπλάσιο του λ/2. Στην

περίπτωση αυτή λέμε ότι τα δύο κύματα συμβάλλουν αποσβεστικά.

Έστω ότι στην επιφάνεια νερού διαδίδονται δύο όμοια

κύματα τα οποία προκαλούνται από τις πηγές Α και Β.

Στο σχήμα το σημείο 0 είναι ένα σημείο στην

επιφάνεια του νερού που απέχει εξίσου από τα σημεία

Α και Β, ( 21 rr ).

Επειδή τα δύο κύματα ξεκινούν ταυτόχρονα από τις

πηγές και η απόσταση που διανύουν μέχρι να φτάσουν

στο 0 είναι ίδια, όταν στο 0 φτάνει ΄΄όρος΄΄ από τη

μια πηγή, θα φτάνει ΄΄όρος΄΄ και από την άλλη,

σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, στο 0 θα

δημιουργηθεί ΄΄όρος΄΄ με διπλάσιο ύψος.

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση ενός

σημείου 1 , στο οποίο οι αποστάσεις 1r και 2r

από τις πηγές Α και Β, διαφέρουν κατά λ/2.

Όπως είπαμε τα ΄΄όρη΄΄ ξεκινούν ταυτόχρονα

από τις δύο πηγές. Όταν στο σημείο 1 φτάνει

όρος προερχόμενο από την πηγή Β, από την πηγή

Α θα φτάνει κοιλάδα, με αποτέλεσμα τα δύο

κύματα να αλληλοαναιρούνται. Μετά από χρόνο

Τ/2, στο σημείο 1 , θα φτάσει ΄΄κοιλάδα΄΄ από

το Β και ΄΄όρος΄΄ από το Α..




Συμπέρασμα

Τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις 1r και 2r , από τις δύο πηγές, διαφέρουν κατά ακέραιο

πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ

Δηλαδή Nrr 21 , όπου ,.....3,2,1,0 N

ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Τότε έχουμε ενίσχυση.

Τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις 1r και 2r , από τις δύο πηγές, διαφέρουν κατά περιττό

πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος (λ/2)

Δηλαδή 2)12(21

Nrr , όπου ,.....3,2,1,0 N

μένουν συνεχώς ακίνητα. Τότε έχουμε απόσβεση.

Όλα τα υπόλοιπα σημεία κάνουν ταλάντωση με ενδιάμεσο πλάτος.

Σημείωση

α)Στα σημεία που έχουμε ενίσχυση, οι φάσεις των κυμάτων που συμβάλλουν διαφέρουν κατά

N2 , όπου ,.....3,2,1,0 N

β) Στα σημεία που έχουμε απόσβεση, οι φάσεις των κυμάτων που συμβάλλουν διαφέρουν

κατά )12( N , όπου ,.....3,2,1,0 N

Μαθηματική περιγραφή φαινομένου

Έστω ότι ένα τυχαίο σημείο Σ του μέσου στο οποίο διαδίδονται ταυτόχρονα κύματα που

προέρχονται από τις πηγές Α και Β, απέχει από αυτές 1r και 2r αντίστοιχα. Μια τυχαία

χρονική στιγμή t το σημείο αυτό έχει απομάκρυνση

1

1 2rt

y εξαιτίας του πρώτου κύματος (1)

2

2 2rt

y εξαιτίας του δεύτερου κύματος (2)

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η απομάκρυνση του σημείου αυτού από τη θέση

ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t θα είναι

21 yyy

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση τις (1),(2) θα έχουμε:




21

21 22rtrt

yyyy

21 22

rtrty (3)

Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα

222

Η σχέση (3) γίνεται:

22

222

2121

rtrtrtrt

y

2

22

22

2121

rtrtrtrt

y

2

2

22

22

2112

rrtrr

y

22

22

222 2112 rrtrr

y

22

222 2112 rrtrr

y

Όμως επειδή )( η παραπάνω σχέση γράφεται:

22

222 2112 rrtrr

y

22

222 2121 rrtrr

y

Επομένως το αποτέλεσμα της συμβολής είναι ταλάντωση που έχει πλάτος:

2

22 21 rr (βάζουμε απόλυτη τιμή διότι το πλάτος είναι πάντα θετικός αριθμός)

και φάση: )2

(2 21

rrt





Α) Η περίοδος της ταλάντωσης του σημείου Σ είναι ίση με την περίοδο των κυμάτων που

συμβάλλουν.

Β) Για τη μέγιστη ταχύτητα και τη μέγιστη επιτάχυνση του σημείου Σ ισχύουν οι σχέσεις της

απλής αρμονικής ταλάντωσης:

Μέγιστη ταχύτητα: ||max

Μέγιστη επιτάχυνση: ||2max

Διερεύνηση της σχέσης πλάτους

α) Σύμφωνα με τη σχέση

2

22 21 rr , το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο

( 2 ) όταν

Nrrrr

2

||21

22 2121

N

rr

|| 21

Nrr || 21 , ,....2,1,0N Συνθήκη ενίσχυσης

Συμπέρασμα: Όλα τα σημεία της επιφάνειας του υγρού που η διαφορά των αποστάσεών

τους από τις δύο πηγές των κυμάτων είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος ,

εκτελούν ταλάντωση με μέγιστο πλάτος 2 .

β) Το πλάτος της ταλάντωση γίνεται μηδενικό ( 0 ) όταν

2)12(

2

||20

22 2121

N

rrrr

2)12(|| 21

Nrr , ,....2,1,0N Συνθήκη απόσβεσης

Συμπέρασμα: Όλα τα σημεία της επιφάνειας του υγρού που η διαφορά των αποστάσεών

τους από τις δύο πηγές των κυμάτων είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος

2/ , παραμένουν συνεχώς ακίνητα.

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του υγρού για τα οποία ισχύει 21 rr είναι

υπερβολή. Επομένως τα σημεία στα οποία έχουμε ενισχυτική συμβολή και τα σημεία στα

οποία έχουμε απόσβεση, βρίσκονται πάνω σε υπερβολές. Το σύνολο των υπερβολών αυτών

ονομάζονται κροσσοί συμβολής.

Κάθε υπερβολή ενισχυτικής συμβολής χαρακτηρίζεται από μία μοναδική τιμή του N στη

συνθήκη ενίσχυσης:

Nrr 21




Οι υπερβολές ενισχυτικής συμβολής συμβολίζονται με συνεχείς γραμμές στο παρακάτω

σχήμα. Τα σημεία πάνω στις υπερβολές ενισχυτικής συμβολής ταλαντώνονται με μέγιστο

πλάτος ( 2 ).

Κάθε υπερβολή αποσβεστικής συμβολής χαρακτηρίζεται από μία μοναδική τιμή του N στη

συνθήκη απόσβεσης:

2

1221

Nrr

Οι υπερβολές αποσβεστικής συμβολής συμβολίζονται με διακεκομμένες γραμμές στο

παρακάτω σχήμα. Τα σημεία πάνω στις υπερβολές αποσβεστικής συμβολής παραμένουν

συνεχώς ακίνητα ( 0 ).

Για παράδειγμα όπως φαίνεται από το παραπάνω σχήμα η διαφορά των αποστάσεων των

σημείων Α και Β από το Μ θα είναι:

Nrr 21 121 rr 21 rr

Προφανώς η σχέση 21 rr ισχύει για κάθε σημείο της υπερβολής ενισχυτικής συμβολής

που προκύπτει για 1N (όπου 1r η απόσταση του εκάστοτε σημείου της υπερβολής από το

σημείο Α και 2r η απόσταση του εκάστοτε σημείου της υπερβολής από το σημείο Β.)

Για παράδειγμα ισχύει:

Όπως βλέπουμε από το σχήμα 1r και 2r

Επίσης η διαφορά των αποστάσεων των σημείων Α και Β από το Κ θα είναι:

2

1221

Nrr

210221

rr

221

rr

Προφανώς η σχέση 2

21

rr ισχύει για κάθε σημείο της υπερβολής αποσβεστικής

συμβολής που προκύπτει για 0N (όπου 1r η απόσταση του εκάστοτε σημείου της

υπερβολής από το σημείο Α και 2r η απόσταση του εκάστοτε σημείου της υπερβολής από

το σημείο Β.)

0N

1N

2N

1N

2N

0N

1N

1N

2N

1r 2r

1r 2r




Για παράδειγμα ισχύει: 2

Όπως βλέπουμε από το σχήμα 1r και 2r

Σημείωση: Η μελέτη του φαινομένου της συμβολής, όπως έγινε, αφορούσε στη συμβολή

δύο κυμάτων των οποίων οι πηγές βρίσκονται σε φάση (δηλαδή δημιουργούν ταυτόχρονα

μέγιστα και ελάχιστα). Τέτοιες πηγές ονομάζονται σύγχρονες. Συμβολή, όμως, έχουμε κάθε

φορά που δύο κύματα διαδίδονται στο ίδιο μέσο.


1) Δύο πηγές κυμάτων ονομάζονται σύμφωνες πηγές όταν οι ταλαντώσεις τους έχουν

σταθερή διαφορά φάσης.

Σύμφωνες πηγές: .

Για να είναι η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων σταθερή ( . ), πρέπει αυτές

να έχουν την ίδια συχνότητα. Η πρόταση αυτή προκύπτει ως εξής:

Αν θεωρήσουμε ότι δύο πηγές κυμάτων ταλαντώνονται σύμφωνα με τις εξισώσεις

ty 11 .

)( 22 ty

Άρα η φάση της ταλάντωσης της πρώτης πηγής θα είναι: t11 (1)

Και η φάση της ταλάντωσης της δεύτερης πηγής θα είναι: t22 (2)

Αφαιρώντας τις σχέσεις (2) και (1) κατά μέλη προκύπτει:

tt 1212 t12 (3)

Όμως για να είναι η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων σταθερή ( . ) θα

πρέπει:

121212 0 ff

Άρα αν ικανοποιείται η συνθήκη αυτή, η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των δύο πηγών

θα είναι σταθερή, δηλαδή

Όταν η σταθερή διαφορά φάσης των ταλαντώσεων δύο σύμφωνων πηγών είναι ίση με το

μηδέν τότε οι δύο πηγές ονομάζονται σύγχρονες.

Σύγχρονες πηγές: 0




Οι σύγχρονες πηγές δημιουργούν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα.

2) Όταν ένα σημείο Σ της επιφάνειας υγρού, όπου συμβάλλουν δύο όμοια αρμονικά κύματα

(που προέρχονται από σύγχρονες πηγές), απέχει αποστάσεις 1r και 2r από τις δύο πηγές και

ζητείται η απομάκρυνση του σημείου από τη θέση ισορροπίας του, τότε υπολογίζουμε τους

χρόνους 1t και 2t (έστω 12 tt ) που χρειάζονται τα δύο κύματα για να διατρέξουν τις

αποστάσεις 1r και 2r .

Α) Αν είναι 2tt , τότε το σημείο Σ έχει απομάκρυνση 0y και ταχύτητα 0 αφού τα

κύματα δεν έχουν φθάσει ακόμα σ’ αυτό.

Β) Αν είναι 12 ttt , τότε το σημείο Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μόνο με την

επίδραση της πηγής που βρίσκεται σε απόσταση 2r (δηλαδή της πιο κοντινής σε αυτό πηγής

από την οποία φθάνει γρηγορότερα το κύμα) αφού το κύμα από την άλλη πηγή δεν έχει

φθάσει ακόμα.

Γ) Αν είναι 1tt , τότε το σημείο Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με την επίδραση και

των δύο κυμάτων (συμβολή) και η απομάκρυνσή του συναρτήσει του χρόνου δίνεται από τη

σχέση:

22

222 2121 rrtrr

y

3) Για να βρούμε πότε φθάνει το κύμα σε μία θέση x μηδενίζουμε τη φάση της ταλάντωσης

στη θέση x και λύνουμε ως προς t .




2-5) ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ

Δύο κύματα ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας διαδίδονται με αντίθετη φορά μέσα στο

ίδιο ελαστικό μέσο

Τα δύο κύματα συμβάλλουν. Η κίνηση του μέσου ονομάζεται στάσιμο κύμα.

Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων της ίδιας

συχνότητας και του ίδιου πλάτους που διαδίδονται στο ίδιο μέσο (άρα με την ίδια

ταχύτητα, καθώς η ταχύτητα ενός κύματος εξαρτάται μόνο από το μέσο διάδοσης) με

αντίθετες κατευθύνσεις.

Όταν η κυματική διαταραχή φτάσει στην άκρη του σχοινιού το σχοινί ασκεί μια δύναμη στο

σημείο στήριξης. Η αντίδραση σε αυτή τη δύναμη δημιουργεί έναν ανακλώμενο παλμό που

κινείται στην αντίθετη κατεύθυνση.

Ένα στάσιμο κύμα μπορεί να δημιουργηθεί από τη

συμβολή ενός κύματος και του κύματος που προκύπτει

από την ανάκλασή του πάνω σε ακλόνητο εμπόδιο.

Κρατάμε την ελεύθερη άκρη ενός τεντωμένου σχοινιού,

που η άλλη του άκρη είναι στερεωμένη σε ακλόνητο

σημείο και της δίνουμε μια ώθηση. Με αυτό τον τρόπο

δημιουργείται ένας κυματικός παλμός ο οποίος

διαδίδεται κατά μήκος του σχοινιού.

Εάν εξαναγκάσουμε το ελεύθερο άκρο του σχοινιού να

κάνει αρμονική ταλάντωση (όπως στο διπλανό σχήμα),

το αρμονικό κύμα που δημιουργείται και το όμοιο του

που προκύπτει από την ανάκλαση συμβάλλουν

δημιουργώντας στάσιμο κύμα. Αν φωτογραφίσουμε το

σχοινί σε διάφορες χρονικές στιγμές, θα παρατηρήσουμε

ότι υπάρχουν σημεία στο σχοινί - οι δεσμοί - που

παραμένουν διαρκώς ακίνητα ενώ όλα τα άλλα εκτελούν

ταλάντωση με την ίδια συχνότητα. Το πλάτος της

ταλάντωσης δεν είναι ίδιο για όλα τα σημεία που

ταλαντώνονται. Μέγιστο πλάτος έχουν τα σημεία που

βρίσκονται στο μέσο της απόστασης μεταξύ δύο

διαδοχικών δεσμών –οι κοιλίες. Όλα τα σημεία του

σχοινιού εκτός από τους δεσμούς εκτελούν ταλάντωση

με την ίδια συχνότητα και διαφορετικό πλάτος.




Το άκρο της χορδής που είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο είναι πάντα δεσμός.

Η ονομασία (στάσιμο = ακίνητο) οφείλεται στο γεγονός ότι εδώ δεν έχουμε να κάνουμε με

ένα κύμα, δηλαδή με μια παραμόρφωση που διαδίδεται. Στο κύμα όλα τα σημεία εκτελούν

διαδοχικά την ίδια κίνηση ενώ στο στάσιμο δε συμβαίνει το ίδιο.

Η εξίσωση του στάσιμου κύματος

Έστω το αρμονικό κύμα με εξίσωση

xty 21

(1)

που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x.

Ένα δεύτερο κύμα με ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα, που διαδίδεται κατά την αντίθετη

κατεύθυνση θα περιγράφεται από την εξίσωση

xty 22

(2)

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η απομάκρυνση ενός σημείου Σ του μέσου τη χρονική

στιγμή t, θα είναι

21 yyy (3)

Επομένως αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (1) και (2) στην (3) παίρνουμε:

xtxtyyyy 2221

]22[

xtxty (4)

Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα

222

Προκύπτει η εξίσωση του στάσιμου κύματος:

)](2)(2[

xtxt

y

22

222

xtxtxtxt

y

2

22

22

xtxtxtxt

y




2

2

22

2

22

tx

y

2

22

2

222

txy

txy

222

Όμως επειδή )( η παραπάνω σχέση γράφεται:

tx

y

222

Παρατηρούμε ότι ο όρος

x22

εξαρτάται μόνο από τη θέση x του σημείου και παραμένει σταθερός με το χρόνο.

Άρα η εξίσωση του στάσιμου κύματος μπορεί να πάρει τη μορφή

ty

2

ή ty

Που είναι η εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Επομένως

1. Κάθε σημείο του μέσου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση που έχει την ίδια

συχνότητα με αυτή των δύο κυμάτων.

2. Το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι το ίδιο για όλα τα σημεία αλλά εξαρτάται

από τη θέση κάθε σημείου του μέσου (βάλαμε απόλυτη τιμή διότι το πλάτος είναι

πάντα θετικός αριθμός) .

Προσοχή! Η εξίσωση στάσιμου κύματος προέκυψε από το γεγονός ότι η αρχή των

αποστάσεων Ο ( 0x ) αποτελεί κοιλία του στάσιμου κύματος με εξίσωση απομάκρυνσης

ty 2 . Επίσης θεωρούμε ως αρχή των χρόνων )0( t τη χρονική στιγμή που το σημείο

κοιλία Ο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του και κινείται κατά τη θετική φορά (δηλαδή η

εξίσωση της ταλάντωσης της πηγής δεν έχει αρχική φάση).

Διερεύνηση της εξίσωσης του στάσιμου κύματος

α) Ο όρος γίνεται μέγιστος, (δηλαδή 2 ), όταν

22

2

x

xx 21

2 (όπου ,.....2,1,0 )

x2

2

x , ,.....2,1,0




Τα σημεία αυτά [του θετικού ημιάξονα που απέχουν από την αρχή Ο( 0x ) αποστάσεις που

δίνονται από την παραπάνω σχέση] ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Ονομάζονται

κοιλίες του στάσιμου κύματος.

Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών του στάσιμου κύματος προκύπτει ως εξής:

22

)1(

d 222

d

2

d

Επομένως η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών του στάσιμου κύματος είναι ίση με το

μισό του μήκους κύματος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα, δηλαδή: 2

d

β) Ο όρος μηδενίζεται όταν, 0 , όταν

02

2

x 0

2

x

212

2

x (όπου ,.....2,1,0 )

2

122

x

4)12(

x , ,.....2,1,0

Τα σημεία αυτά [του θετικού ημιάξονα που απέχουν από την αρχή Ο( 0x ) αποστάσεις που

δίνονται από την παραπάνω σχέση] παραμένουν διαρκώς ακίνητα. Ονομάζονται δεσμοί του

στάσιμου κύματος.

Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος προκύπτει ως εξής:

4

124

1)1(2

d 4

1244

12

kd4

d

Επομένως η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος είναι ίση με το

μισό του μήκους κύματος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα, δηλαδή: 2

d

Συμπέρασμα: Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι ίση με το μισό

του μήκους κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα.

Σημείωση: Στάσιμα κύματα μπορούν να δημιουργηθούν και σε ένα μέσο του οποίου τα δύο

άκρα είναι ακίνητα (όπως π.χ. σε μια χορδή μουσικού οργάνου). Επειδή τα άκρα της χορδής

είναι οι δεσμοί του στάσιμου κύματος, πρέπει το μήκος L της χορδής και το μήκος των

κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα να συνδέονται με τη σχέση

2

L , ,...2,1

Στάσιμα κύματα σε χορδές:

κ=2 κ=3 κ=4




Η σχέση αυτή περιορίζει τα μήκη κύματος και τις συχνότητες των κυμάτων που μπορούν να

διαδοθούν κατά μήκος της χορδής.

LL

2

2 (1)

Όμως, f

f

(2)

Εξισώνοντας της σχέσεις (1) και (2) προκύπτει: f

L

2

Lf

2

,...2,1,


1) Όταν δίνεται η εξίσωση ενός στάσιμου κύματος τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε άμεσα

το πλάτος , την περίοδο και το μήκος κύματος των δύο κυμάτων που δημιουργούν

το στάσιμο κύμα και έμμεσα τη συχνότητα f και την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων

αυτών. Αυτό το επιτυγχάνουμε φέρνοντας την εξίσωση στην κανονική της μορφή και

συγκρίνοντας την με την

tx

y

222 .

Για παράδειγμα αν για ένα στάσιμο κύμα δοθεί η εξίσωση )20(5

20 tx

y

, (όπου τα

yx, είναι σε cm και το t σε s ), τότε συμπεραίνουμε ότι

cm202 cm10 ,

xx5

2

5

12

cm10 και

t

t

20

2

20

2s1,0

2) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση της ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου κατά

μήκος του οποίου δημιουργείται στάσιμο κύμα σε συνάρτηση με το χρόνο δίνονται από τις

εξισώσεις:

t

t

22

, όπου

x22

t 2

t

222

t

242

2

, όπου

x22

Τα μέτρα της μέγιστης ταχύτητας και της μέγιστης επιτάχυνσης ενός σημείου του μέσου που

δεν είναι δεσμός είναι, αντίστοιχα:

||max , όπου

x22 και | | το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου

(βάζουμε απόλυτη τιμή διότι το πλάτος είναι πάντα θετικός αριθμός).




||2max , όπου

x22 και | | το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου

(βάζουμε απόλυτη τιμή διότι το πλάτος είναι πάντα θετικός αριθμός).

3. Όλα τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έχουν την ίδια φορά κίνησης, διέρχονται

από τη θέση ισορροπίας τους την ίδια χρονική στιγμή και φθάνουν ταυτόχρονα στις μέγιστες

απομακρύνσεις τους.. Άρα έχουν την ίδια φάση (δηλαδή μηδενική διαφορά φάσης 0 ).

Δύο σημεία που βρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσμού και απέχουν από αυτόν λιγότερο

από λ/2 έχουν κάθε χρονική στιγμή αντίθετη φορά κίνησης. Τα σημεία αυτά διέρχονται

ταυτόχρονα από τις θέσεις ισορροπίας τους και φθάνουν ταυτόχρονα στις μέγιστες

απομακρύνσεις τους. Άρα δύο τέτοια σημεία έχουν κάθε στιγμή διαφορά φάσης

Δφ=π rad.

Για παράδειγμα στο παρακάτω στιγμιότυπο παρατηρούμε ότι:

Τα σημεία Α και Β έχουν την ίδια φάση. Τα σημεία Β και Γ έχουν διαφορά φάσης π rad.

Επίσης από το σχήμα επιβεβαιώνουμε ότι δύο διαδοχικοί δεσμοί και δύο διαδοχικές κοιλίες

απέχουν απόσταση λ/2.

4. Σε κάθε άτρακτο αντιστοιχεί μία κοιλία του στάσιμου κύματος,

`

y

x

Δεσμός

2/

2/

Δεσμός Δεσμός

Κοιλία Κοιλία

y

x

Άτρακτος

2/

Κοιλία




Ενεργειακή προσέγγιση

Σε μια χορδή, στην οποία έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, η ενέργεια μετατρέπεται συνεχώς

από ελαστική δυναμική ενέργεια, όταν η χορδή είναι στιγμιαία ακίνητη (στιγμιότυπο α,

δηλ. EUK ,0 ), σε κινητική όταν η χορδή διέρχεται από τη θέση ισορροπίας

(στιγμιότυπο γ δηλ. EKU ,0 ). Στις ενδιάμεσες θέσεις τα διάφορα σημεία της χορδής

έχουν και κινητική και δυναμική ενέργεια (στιγμιότυπο β δηλ. 0,0 KU ).

Σημείωση: Τα βελάκια στο σχήμα δείχνουν τις ταχύτητες των διαφόρων σημείων της

χορδής.

Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης ενός σωματιδίου μιας χορδής που εκτελεί στάσιμο κύμα

διατηρείται σταθερή. Ισχύει η σχέση:

222

2

1

2

1)(

2

1mDyD , όπου

x22

όπου y η απομάκρυνση και η ταχύτητα του σωματίου τη χρονική στιγμή .t

Εφόσον στο στάσιμο κύμα υπάρχουν σημεία

που παραμένουν πάντα ακίνητα, δε

μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του

μέσου στο άλλο (αυτός επίσης είναι ένας

βασικός λόγος που διαφοροποιεί την

κατάσταση του στάσιμου κύματος από αυτό

που ορίσαμε ως κύμα). Η ενέργεια που είχαν

τα αρχικά κύματα, η συμβολή των οποίων

έδωσε το στάσιμο κύμα, εγκλωβίζεται

ανάμεσα στους δεσμούς.




2-6) ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Η κίνηση αυτή των φορτίων αποτελεί εναλλασσόμενο ρεύμα. Ένα τέτοιο σύστημα

ονομάζεται ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο.

Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται σχηματικά η διαδικασία παραγωγής ηλεκτρομαγνητικού

κύματος από ένα ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο. Τη χρονική στιγμή μηδέν τα φορτία στις

άκρες των αγωγών είναι μηδέν (σχ. α). Καθώς η τάση στις άκρες των αγωγών μεταβάλλεται

εμφανίζονται ετερόσημα φορτία και δημιουργείται ηλεκτρικό πεδίο γύρω από αυτούς. Τη

χρονική στιγμή t= T/4 τα φορτία στις άκρες των αγωγών έχουν πάρει τη μέγιστη τιμή, ενώ το

ηλεκτρικό πεδίο που είχε δημιουργηθεί, από τη στιγμή μηδέν μέχρι τη στιγμή Τ/4, έχει

απομακρυνθεί από τις ράβδους (σχ. β). Στη συνέχεια τα φορτία στα άκρα των ράβδων

μειώνονται, επομένως μειώνεται και η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν.

Ένα τέταρτο της περιόδου αργότερα τα φορτία στα άκρα των ράβδων έχουν μηδενισθεί. Εν

τω μεταξύ το ηλεκτρικό πεδίο που είχε δημιουργηθεί μέχρι τότε απομακρύνεται από τους

αγωγούς, με ταχύτητα c (σχ. γ). Στη συνέχεια εμφανίζεται αρνητικό φορτίο κάτω και θετικό

πάνω. Τα φορτία παίρνουν τη μέγιστη τιμή τους τη στιγμή 3Τ/4, και μηδενίζονται τη στιγμή

Τ. Το φαινόμενο επαναλαμβάνεται συνεχώς.

Ο κύκλος λειτουργίας ταλαντούμενου ηλεκτρικού δίπολου. Στο σχήμα απεικονίζεται

μόνο το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται.

Στο ίδιο χρονικό διάστημα δημιουργείται και μαγνητικό πεδίο διότι οι αγωγοί διαρρέονται

από εναλλασσόμενο ρεύμα. Τη στιγμή μηδέν οι αγωγοί διαρρέονται από ρεύμα (σχ. 2.20) με

αποτέλεσμα γύρω τους να έχει δημιουργηθεί μαγνητικό πεδίο. Το ρεύμα αυτό μειώνεται και

μηδενίζεται τη στιγμή Τ/4. Στο μεταξύ το μαγνητικό πεδίο που είχε δημιουργηθεί απλώνεται

στο χώρο. Τη στιγμή T/2 οι αγωγοί διαρρέονται πάλι από ρεύμα, μέγιστης έντασης. Γύρω

τους έχει δημιουργηθεί εκ νέου μαγνητικό πεδίο κ.ο.κ. Αυτό που έχει σημασία είναι ότι

καθώς τα ηλεκτρικά φορτία ταλαντώνονται το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο που

Γνωρίζουμε ότι ένα σύστημα δύο φορτίων +Q και –Q

δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο και ότι ένας αγωγός που

διαρρέεται από ρεύμα δημιουργεί γύρω του μαγνητικό

πεδίο. Αν δύο μεταλλικές ράβδοι συνδεθούν με πηγή

συνεχούς τάσης, φορτίζονται με ετερόσημα φορτία +Q

και –Q (σχ. α,β). Αν συνδεθούν με γεννήτρια

εναλλασσόμενης τάσης, όπως στο σχήμα γ,

φορτίζονται εναλλάξ με θετικά και αρνητικά φορτία.

Στις άκρες τους εμφανίζεται ζεύγος ηλεκτρικών

φορτίων που μεταβάλλονται ημιτονοειδώς με το

χρόνο..




συνεχώς δημιουργούν απομακρύνεται από το δίπολο (διαδίδεται) με την ταχύτητα c του

φωτός.

Το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα και

δημιουργεί γύρω του μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο

Μια διαταραχή που διαδίδεται ονομάστηκε κύμα. Η κατάλληλη ονομασία για αυτού του

είδους τις διαταραχές (ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων) που διαδίδονται είναι

ηλεκτρομαγνητικό κύμα.

Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση ενός ηλεκτρικού και ενός

μαγνητικού πεδίου. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό με την

ταχύτητα του φωτός. Σε όλα τα υλικά διαδίδονται με μικρότερη ταχύτητα.

Σημείωση: Η ταχύτητα διάδοσης του Η/Μ κύματος (όπως και κάθε κύματος) εξαρτάται από

τη φύση του μέσου διάδοσης.

Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα δημιουργούνται από μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά και μαγνητικά

πεδία. Ένα σταθερό ηλεκτρικό πεδίο ή ένα σταθερό μαγνητικό πεδίο δεν παράγει

ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Αυτό σημαίνει ότι ούτε τα ακίνητα φορτία ούτε τα φορτία που

κινούνται με σταθερή ταχύτητα (σταθερά ρεύματα) μπορούν να δημιουργήσουν

ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Όταν όμως έχουμε ηλεκτρικά φορτία που επιταχύνονται τα

μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία που δημιουργούν έχουν ως αποτέλεσμα την

παραγωγή ηλεκτρομαγνητικού κύματος.

Η αιτία δημιουργίας του ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι η επιταχυνόμενη κίνηση

των ηλεκτρικών φορτίων.

Σημείωση: Τα ταλαντούμενα ηλεκτρικά δίπολα αποτελούν κοινή μέθοδο παραγωγής

ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στους ραδιοφωνικούς και τηλεοπτικούς σταθμούς. Κατά την

ταλάντωση του ηλεκτρικού φορτίου στην κεραία, όταν τα φορτία στα άκρα της έχουν

μέγιστη τιμή, το ρεύμα σ’ αυτή είναι μηδέν και όταν τα φορτία στα άκρα μηδενιστούν η

κεραία διαρρέεται από ρεύμα μέγιστης έντασης. Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο κοντά

στην κεραία έχουν διαφορά φάσης 2/ (όταν το ένα είναι μέγιστο το άλλο είναι μηδέν). Σε

μεγάλες όμως αποστάσεις τα δύο πεδία είναι σε φάση.

Από τη μελέτη των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων διαπιστώθηκε ότι:

Α) Το ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι εγκάρσιο. Τα διανύσματα του ηλεκτρικού και του

μαγνητικού πεδίου είναι κάθετα μεταξύ τους και κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του

κύματος.




Β) Κάθε στιγμή το λόγος των μέτρων των εντάσεων του ηλεκτρικού και του μαγνητικού

πεδίου είναι ίσος με την ταχύτητα διάδοσής τους

cB

E

Η σχέση αυτή ισχύει προφανώς και τις χρονικές στιγμές όπου τα μέτρα των δύο

εντάσεων παίρνουν τη μέγιστή τιμή τους, δηλαδή:

cB

E

max

max

Γ) Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα - όπως και τα μηχανικά - υπακούουν στην αρχή της

επαλληλίας.

Οι εξισώσεις που περιγράφουν το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο, ενός αρμονικού

ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται κατά τη διεύθυνση x, είναι

Εξίσωση ηλεκτρικού πεδίου Η/Μ κύματος: )(2max

xt

EE

Εξίσωση μαγνητικού πεδίου Η/Μ κύματος: )(2max

xt

BB

και το στιγμιότυπο ενός τέτοιου κύματος φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Στιγμιότυπο αρμονικού ηλεκτρομαγνητικού κύματος, διαδιδόμενου κατά τη διεύθυνση x.


1) Όταν η διεύθυνση των διανυσμάτων E

και B

είναι οι διευθύνσεις των αξόνων x και

y τότε το Η/Μ κύμα διαδίδεται στη διεύθυνση του άξονα z .

2) Αν υποθέσουμε ότι το Η/Μ κύμα διαδίδεται σε ομογενές διαφανές μέσο τότε B

E όπου

η ταχύτητα του Η/Μ κύματος στο μέσο.




2-8) ΤΟ ΦΑΣΜΑ ΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ

Ηλεκτρομαγνητικά κύματα δεν παράγονται μόνο από ταλαντούμενα ηλεκτρικά δίπολα.

Σήμερα γνωρίζουμε ότι συνδέονται με ένα πλήθος φυσικών φαινομένων όπως είναι η

αποδιέγερση των ατόμων, οι πυρηνικές διασπάσεις κ.α. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα

καλύπτουν ένα ευρύτατατο φάσμα μηκών κύματος και συχνοτήτων. Παρά τις τεράστιες

διαφορές στις εφαρμογές και στην παραγωγή τους, όλα τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα έχουν

τα γενικά χαρακτηριστικά που περιγράψαμε στην προηγούμενη παράγραφο .

Εφόσον όλα διαδίδονται στο κενό με την ταχύτητα c, η συχνότητα τους και το μήκος

κύματος συνδέονται με τη σχέση

fc

Ακολουθεί μια σύντομη περιγραφή των διαφόρων περιοχών του φάσματος της

ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας κατά σειρά ελαττούμενου μήκους κύματος. Πρέπει όμως

να έχουμε υπόψη μας ότι δεν υπάρχει σαφής διαχωρισμός του κάθε τμήματος του φάσματος

της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας από τα υπόλοιπα.

Ραδιοκύματα: Είναι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος από 510 m έως μερικά

εκατοστά. Δημιουργούνται από ηλεκτρονικά κυκλώματα, όπως τα κυκλώματα LC, και

χρησιμοποιούνται στη ραδιοφωνία και την τηλεόραση.

Μικροκύματα: Το μήκος κύματός τους εκτείνεται από 30cm έως 1mm περίπου. Παράγονται

από ηλεκτρονικά κυκλώματα. Οι φούρνοι μικροκυμάτων με τους οποίους μαγειρεύουμε ή

ζεσταίνουμε γρήγορα το φαγητό λειτουργούν με κύματα αυτής της περιοχής. Μικροκύματα

χρησιμοποιούν και τα ραντάρ.

Υπέρυθρα κύματα: Καλύπτουν την περιοχή από 1mm έως 7107 m περίπου. Τα κύματα

αυτά εκπέμπονται από τα θερμά σώματα και απορροφώνται εύκολα από τα περισσότερα

υλικά. Η υπέρυθρη ακτινοβολία που απορροφάται από ένα σώμα αυξάνει το πλάτος της

ταλάντωσης των σωματιδίων από τα οποία αποτελείται, αυξάνοντας έτσι τη θερμοκρασία

του.

Το ορατό φως. Είναι το μέρος εκείνο της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που ανιχνεύει ο

ανθρώπινος οφθαλμός. Το μήκος κύματος του ορατού φωτός κυμαίνεται από 400 nm έως 700

nm (δηλαδή από 400× 910 m έως 700× 910 m). Το ορατό φως παράγεται από την

ανακατανομή των ηλεκτρονίων στα άτομα και στα μόρια. Κάθε υποπεριοχή του ορατού

φάσματος προκαλεί στον άνθρωπο την αίσθηση κάποιου συγκεκριμένου χρώματος.

Προσεγγιστικά τα μήκη κύματος των διαφόρων χρωμάτων του ορατού φάσματος είναι :

Μια ακτινοβολία που περιέχει μήκη κύματος σε μια πολύ στενή περιοχή χαρακτηρίζεται

μονοχρωματική. Για παράδειγμα, μια ακτινοβολία από 490 έως 491 nm είναι μια πράσινη

μονοχρωματική αντινοβολία. Τέτοια ακτινοβολία μπορούμε να πάρουμε με τη χρήση ειδικών

πηγών ή φίλτρων. Όταν χρησιμοποιούμε την έκφραση «μονοχρωματικό φως με μήκος




κύματος 580nm» στην πραγματικότητα εννοούμε φως σε μια στενή περιοχή μηκών κύματος

γύρω στα 580 nm. Το απόλυτα μονοχρωματικό φως, δηλαδή το φως που αποτελείται μόνο

από ένα μήκος κύματος, αποτελεί μια εξιδανίκευση. Τα λέιζερ παράγουν φως που πλησιάζει

πολύ στο απόλυτα μονοχρωματικό.

Υπεριώδης ακτινοβολία: Η ακτινοβολία αυτή καλύπτει τα μήκη κύματος από 3,8× 710 m

έως 6× 810 m περίπου. Ο Ήλιος είναι ισχυρή πηγή υπεριώδους ακτινοβολίας. Οι υπεριώδεις

ακτίνες είναι υπεύθυνες για το ‘μαύρισμα’ όταν κάνουμε ηλιοθεραπεία, το καλοκαίρι.

Μεγάλες δόσεις υπεριώδους ακτινοβολίας βλάπτουν τον ανθρώπινο οργανισμό. Το

μεγαλύτερο μέρος της υπεριώδους ακτινοβολίας, που φτάνει στη Γη από τον Ήλιο

απορροφάται από τα άτομα και τα μόρια της ανώτερης ατμόσφαιρας (στρατόσφαιρα). Το

όζον της στρατόσφαιρας, απορροφά κατά κύριο λόγο την επικίνδυνη υπεριώδη ακτινοβολία.

Σήμερα ανησυχούμε για την πιθανή καταστροφή αυτής της προστατευτικής ασπίδας ενάντια

στις υπεριώδεις ακτίνες του Ήλιου. Το όζον της στρατόσφαιρας μειώνεται εξαιτίας

εκτεταμένης χρήσης των χλωροφθορανθράκων, ενώσεων που χρησιμοποιούνται στα ψυγεία,

τα κλιματιστικά τους ψεκαστήρες και αλλού.

Οι ακτίνες Χ (ή ακτίνες Röntgen): είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με μήκη κύματος

από 810 m έως 1310 m περίπου. Η πιο κοινή αιτία παραγωγής ακτίνων Χ είναι η

επιβράδυνση ηλεκτρονίων που προσκρούουν με μεγάλη ταχύτητα σε ένα μεταλλικό στόχο.

Οι ακτίνες Χ χρησιμοποιούνται στην ιατρική, κυρίως για διαγνωστικούς σκοπούς

(ακτινογραφίες), και στη μελέτη των διαφόρων κρυσταλλικών δομών. Οι ακτίνες Χ μπορούν

να προκαλέσουν βλάβες στους ζωντανούς οργανισμούς και γι’ αυτό πρέπει να αποφεύγουμε

την έκθεσή μας σ' αυτές χωρίς σοβαρό λόγο.

Οι ακτίνες γ: Είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που εκπέμπεται από ορισμένους

ραδιενεργούς πυρήνες καθώς και σε αντιδράσεις πυρήνων και στοιχειωδών σωματιδίων ή

ακόμα και κατά τη διάσπαση στοιχειωδών σωματιδίων. Τα μήκη κύματός τους αρχίζουν από 1010 m και φτάνουν ως τα 1410 m. Είναι πολύ διεισδυτικές και βλάπτουν τους οργανισμούς

που τις απορροφούν.

Το φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Στη λεπτομέρεια φαίνεται η περιοχή

του ορατού φωτός.




Συμπερασματικά μπορούμε να γράψουμε ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα μπορούν να

καταταγούν κατά σειρά αυξανόμενης συχνότητας (και ελαττούμενου μήκους κύματος) ως

εξής:

Ραδιοκύματα

Μικροκύματα

Υπέρυθρο

Υπεριώδες

Ακτίνες Χ

Ακτίνες γ

Προσοχή! Εάν θέλουμε να καταλάβουμε εάν δύο εξισώσεις ηλεκτρικού και μαγνητικού

πεδίου μπορούν να περιγράφουν ένα Η/Μ κύμα ελέγχουμε τις παρακάτω συνθήκες:

Α) Εάν οι δύο εξισώσεις είναι συμφασικές

Β) Εάν ικανοποιείται η συνθήκη cB

E

max

max .

Γ) Εάν ικανοποιείται η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής fc

Στην περίπτωση όπου κάποια από τις 3 συνθήκες δεν ικανοποιείται, τότε οι εξισώσεις δεν

περιγράφουν Η/Μ κύμα.

Η συχνότητα

αυξάνεται

Το μήκος κύματος

αυξάνεται




2-9) ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΘΛΑΣΗ

Α. Ανάκλαση του φωτός

Όταν μία φωτεινή ακτίνα προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων (π.χ. όταν

διαδίδεται στον αέρα και προσπίπτει στην επιφάνεια του νερού) τότε υφίσταται ανάκλαση και

διάθλαση. Επομένως σε κάθε περίπτωση όπου μία φωτεινή ακτίνα ανακλάται ή διαθλάται,

παύει να διαδίδεται ευθύγραμμα.

Θυμίζουμε ότι όταν το φως που διαδίδεται σε ένα μέσο συναντήσει τη διαχωριστική

επιφάνεια ανάμεσα στο αρχικό μέσο διάδοσης και σε ένα άλλο, ένα μέρος του επιστρέφει στο

αρχικό μέσο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ανάκλαση.

Η ανάκλαση χωρίζεται σε δύο κατηγορίες:

Α) Στην περίπτωση όπου οι ακτίνες μιας φωτεινής παράλληλης δέσμης προσπίπτουν σε μία

λεία και στιλπνή επιφάνεια (κάτοπτρο), οι ανακλώμενες ακτίνες εξακολουθούν να είναι

παράλληλες μεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή έχουμε κατοπτρική ανάκλαση (σχήμα 1).

Β) Εάν η επιφάνεια πάνω στην οποία προσπίπτει η δέσμη έχει ανωμαλίες, οι ακτίνες που την

αποτελούν ανακλώνται σε διάφορες διευθύνσεις (σχήμα 2) και σκορπίζουν στο γύρω χώρο. Η

ανάκλαση αυτή, στην οποία οι ανακλώμενες ακτίνες δεν είναι πια παράλληλες, ονομάζεται

διάχυση.

Σημείωση: Στα πλαίσια των ασκήσεων της σχολικής ύλης, όταν χρησιμοποιούμε τον όρο

ανάκλαση θα εννοούμε κατοπτρική ανάκλαση.

Πειραματικά προκύπτει ότι :

1. Η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμενη και η κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο

πρόσπτωσης, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Έστω ότι μια φωτεινή ακτίνα προσπίπτει υπό

γωνία πάνω σε μια λεία επιφάνεια και

ανακλάται (βλ. σχήμα). Τη γωνία ανάμεσα

στην αρχική διεύθυνση της ακτίνας και στην

κάθετη στην επιφάνεια την ονομάζουμε

γωνία πρόσπτωσης , και τη γωνία

ανάμεσα στην κάθετη στην επιφάνεια και

στη διεύθυνση της ανακλώμενης ακτίνας,

γωνία ανάκλασης r .

Σχήμα 1: Κατοπτρική ανάκλαση Σχήμα 2: Διάχυση




2. Η γωνία ανάκλασης , r είναι ίση με τη γωνία πρόσπτωσης .

r

Β. Διάθλαση του φωτός

Όταν το φως συναντήσει την επιφάνεια που διαχωρίζει το μέσον στο οποίο διαδίδεται από

ένα άλλο διαφανές μέσο, στο οποίο διαδίδεται με διαφορετική ταχύτητα, ένα μέρος του

ανακλάται και το υπόλοιπο μέρος του διαθλάται, δηλαδή περνάει στο δεύτερο μέσο,

αλλάζοντας πορεία.

Η γωνία που σχηματίζει η διαθλώμενη ακτίνα με την κάθετη στην επιφάνεια λέγεται γωνία

διάθλασης

Διάθλαση του φωτός ονομάζεται το φαινόμενο κατά το οποίο, όταν μια μονοχρωματική

ακτίνα συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφανών μέσων, περνάει από το πρώτο

στο δεύτερο μέσο και αλλάζει διεύθυνση διάδοσης.

Αιτία της διάθλασης είναι η διαφορετική ταχύτητα του φωτός στα δύο διαφανή μέσα.

Γνωρίζουμε ότι το φως διαδίδεται με τη μεγαλύτερη ταχύτητα στο κενό.

Ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο κενό (c) , προς την ταχύτητά του (υ) στο υλικό

ονομάζεται δείκτης διάθλασης (n) του οπτικού υλικού.

cn

Ο δείκτης διάθλασης είναι καθαρός αριθμός (δηλαδή δεν έχει μονάδες).

Επειδή η ταχύτητα του φωτός στο κενό c είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός σε

οποιοδήποτε άλλο μέσο διάδοσης , ο δείκτης διάθλασης οποιουδήποτε υλικού είναι

μεγαλύτερος της μονάδας.

Ισχύει: 11 nc

c

Στο κενό ισχύει c , άρα ο δείκτης διάθλασης ισούται με τη μονάδα, 1n .

Στο διπλανό σχήμα παρατηρούμε μία ακτίνα

μονοχρωματικού φωτός που προσπίπτει υπό γωνία

στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφανών μέσων.

Ένα μέρος της ανακλάται και το υπόλοιπο περνάει

από το μέσο α στο μέσο b (διαθλώμενη ακτίνα).

H γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της

διαθλώμενης ακτίνας με την κάθετη στην

επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης ονομάζεται

γωνία διάθλασης b .




b

b

Σημείωση: Μπορούμε προσεγγιστικά να θεωρήσουμε και το δείκτη διάθλασης του αέρα ίσο

με τη μονάδα, δηλαδή 1έn .

Προσοχή! Ο δείκτης διάθλασης είναι ανεξάρτητος από τη γωνία πρόσπτωσης.

Νόμος του Snell: Πειραματικά προκύπτει ότι:

1. Η προσπίπτουσα ακτίνα, η διαθλώμενη και η κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια

των δύο μέσων, στο σημείο πρόσπτωσης της ακτίνας βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

2. Όταν το φως είναι μονοχρωματικό, ο λόγος του ημίτονου της γωνίας πρόσπτωσης

( a ) προς το ημίτονο της γωνίας διάθλασης ( b ) είναι ίσος με τον αντίστροφο λόγο

των δεικτών διάθλασης των δύο μέσων.

n

nb

b

ή bba nn

Η σχέση αυτή ονομάζεται και νόμος του Snell.

Σημείωση: Αν το ένα από τα δύο διαφανή μέσα είναι το κενό η ο αέρας τότε αντικαθιστούμε

τον αντίστοιχο δείκτη διάθλασης με τη μονάδα. Έτσι αν το κενό η ο αέρας είναι το μέσο α

τότε οι παραπάνω σχέσεις γράφονται:

b

b

n

ή bbn

Συμπεράσματα από το νόμο του Snell

a

b

a

b

Ο νόμος του Snell δείχνει ότι όταν μια ακτίνα διέρχεται

από ένα υλικό α σε ένα υλικό b στο οποίο ισχύει

bn > an , τότε η γωνία διάθλασης είναι μικρότερη από

τη γωνία πρόσπτωσης, δηλαδή η διαθλώμενη ακτίνα

πλησιάζει στην κάθετη, στο σημείο πρόσπτωσης,

b . (Π.χ από το κενό η τον αέρα σε ένα διαφανές

υλικό). Πράγματι:

1

n

nb

b

1b

b

Αντίθετα αν ισχύει bn < an , η διαθλώμενη ακτίνα

απομακρύνεται από την κάθετη b .

Πράγματι:

1

n

nb

b

1b

b




a

b


Α) Ο δείκτης διάθλασης του κενού είναι εξ ορισμού ίσος με τη μονάδα, επομένως όταν μια

ακτίνα διέρχεται από το κενό σε ένα υλικό, πλησιάζει πάντα την κάθετη.

Β) Από τους νόμους της διάθλασης προκύπτει ότι η πορεία που ακολουθεί μια ακτίνα είναι

ίδια είτε αυτή μεταβαίνει από το υλικό α στο b είτε αντίστροφα.

Γ) Όταν σε ένα πρόβλημα ζητείται να καθοριστεί η πορεία μιας ακτίνας φωτός, τότε

υπολογίζουμε όλες τις άγνωστες γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης ή ανάκλασης που

σχηματίζει η ακτίνα με την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια.

Ερώτηση: Ποια από τα μεγέθη της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής f αλλάζουν,

όταν το μονοχρωματικό φως διέρχεται από ένα διαφανές υλικό μέσο σε κάποιο άλλο;

1) η συχνότητά του (f ), δεν αλλάζει, διότι ο αριθμός των μεγίστων που φτάνουν στη

διαχωριστική επιφάνεια στη μονάδα του χρόνου πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των

μεγίστων που στον ίδιο χρόνο την εγκαταλείπουν.

2) H ταχύτητα διάδοσης (υ) του φωτός είναι διαφορετική στα δύο μέσα και μάλιστα ,

σύμφωνα με τη σχέση n

ccn

όσο μεγαλύτερος είναι ο δείκτης διάθλασης ενός

μέσου, τόσο μικρότερη είναι η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο μέσο αυτό.

Όταν μια ακτίνα προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική

επιφάνεια, =0, =0 και από το νόμο του Snell

προκύπτει ότι και b =0. Δηλαδή η ακτίνα δεν αλλάζει

κατεύθυνση. Πράγματι,

bba nn bba nn 0 0bbn

0b 0b

3) Αφού η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το φως είναι

διαφορετική στα δυο μέσα και η συχνότητα της

ακτινοβολίας μένει σταθερή, το μήκος κύματος της

ακτινοβολίας πρέπει να είναι διαφορετικό στα δυο μέσα

( f ). Όταν μια μονοχρωματική ακτινοβολία

μεταβαίνει από το κενό (ή τον αέρα) σε κάποιο άλλο

διαφανές μέσο, το μήκος κύματος της ακτινοβολίας

μειώνεται.




Απόδειξη:

Έστω f η συχνότητα της ακτινοβολίας. Η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής για το κενό

γράφεται:

fc 0 ,

0 το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο κενό

c η ταχύτητα της ακτινοβολίας στο κενό.

Για ένα διαφανές μέσο η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής γράφεται:

f ,

0 το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο αυτό

η ταχύτητα της ακτινοβολίας στο μέσο αυτό.

Διαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε:

f

fc

0

0c

0n n

0

όπου

cn ο δείκτης διάθλασης του μέσου.

Συμπέρασμα: Αν το μήκος κύματος μιας μονοχρωματικής ακτίνας φωτός στο κενό είναι 0 ,

το μήκος κύματος σε ένα υλικό με δείκτη διάθλασης n είναι n

0 .

Επειδή 1n προκύπτει ότι 10

n 10

0

Έτσι βλέπει το ψάρι στην προέκταση της ακτίνας (εστιγμένη γραμμή), πιο κοντά στην

επιφάνεια από ότι είναι πραγματικά.

Στο φαινόμενο της διάθλασης οφείλονται πολλές

οφθαλμαπάτες, όπως το φαινομενικό σπάσιμο μιας

ράβδου που ένα τμήμα της είναι βυθισμένο στο νερό.

Μια άλλη οφθαλμαπάτη φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Το μάτι αντιλαμβάνεται το φως σαν να διαδίδεται

ευθύγραμμα.




Σημείωση: Πρέπει να επισημάνουμε ότι τα φαινόμενα αυτά δεν περιορίζονται μόνο στα

φωτεινά κύματα αλλά είναι κοινά σε όλα τα είδη κυμάτων, ηλεκτρομαγνητικά και μηχανικά.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι τα ραδιοκύματα ανακλώνται σε μεταλλικές

επιφάνειες.

Θα έχετε παρατηρήσει τις κεραίες εκπομπής με μεταλλικό ΄΄κάτοπτρο΄΄ ή τις κεραίες

δορυφορικής λήψης που επίσης φέρουν κάτοπτρο. Οι μεταλλικές επιφάνειες παίζουν για τα

ραδιοκύματα το ρόλο που παίζουν οι καθρέφτες για το φως. Σε πολλές κεραίες εκπομπής,

υπάρχει μια παραβολική μεταλλική επιφάνεια (κάτοπτρο). Χωρίς το κάτοπτρο, το κύμα που

παράγεται από το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο θα διασκορπιζόταν σε όλο το χώρο γύρω

του. Με το κάτοπτρο, μετά την ανάκλασή του το κύμα διαδίδεται προς μια μόνο κατεύθυνση.

Το κύμα αυτό είναι ικανό να φτάσει πολύ μακριά χωρίς σημαντική εξασθένιση. Στις κεραίες

λήψης, το κάτοπτρο ανακλά τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που πέφτουν πάνω του και τα

εστιάζει στην κεραία, με αποτέλεσμα το σήμα στην κεραία να είναι πιο ισχυρό.




2-10) ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ

Έστω ότι an > bn .

Από το νόμο του Snell, προκύπτει: a

b

b n

n

.

Όμως ισχύει an > bn 1a

b

n

n

Άρα, 1a

b

b n

n

1b

b b

Όταν η γωνία πρόσπτωσης είναι σχετικά μικρή, ένα μέρος του φωτός ανακλάται και το

υπόλοιπο διαθλάται.

Από το νόμο του Snell προκύπτει ότι όταν αυξάνεται η γωνία πρόσπτωσης θα αυξάνεται και

η γωνία διάθλασης b , παραμένοντας πάντα μεγαλύτερη από τη γωνία πρόσπτωσης. Άρα

υπάρχει μια τιμή της γωνίας πρόσπτωσης , με 90 , για την οποία η γωνία διάθλασης

b παίρνει τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η οποία είναι b90 (ακτίνα 3 στο σχήμα).

Στην περίπτωση αυτή ένα μέρος του φωτός ανακλάται και το υπόλοιπο μέρος διαθλάται και

κινείται παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων.

Η γωνία για την οποία η διαθλώμενη ακτίνα κινείται παράλληλα προς τη διαχωριστική

επιφάνεια των δύο μέσων ονομάζεται κρίσιμη γωνία (ή οριακή γωνία) και συμβολίζεται με

crit . Όταν η γωνία πρόσπτωσης γίνει μεγαλύτερη από τη crit , η ακτίνα ανακλάται ολικά

από τη διαχωριστική επιφάνεια. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ολική εσωτερική ανάκλαση

(ακτίνα 4 στο σχήμα). Άρα,

Ολική εσωτερική ανάκλαση του φωτός ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο, όταν

μια φωτεινή ακτίνα, προερχόμενη από το μέσο με το μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης

πέφτει πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφανών μέσων με γωνία μεγαλύτερη

της οριακής γωνίας, ολόκληρη η ακτίνα ανακλάται πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια.

Η ακτίνα 4 ανακλάται από τη διαχωριστική επιφάνεια σαν να έπεσε πάνω σε ένα τέλειο

κάτοπτρο. Η ακτίνα αυτή, όπως και όλες οι ακτίνες που υφίστανται ολική ανάκλαση,

Το διπλανό σχήμα δείχνει μερικές ακτίνες

μονοχρωματικού φωτός που εκπέμπονται

από μια σημειακή πηγή Ρ, μέσα σε ένα υλικό

α με δείκτη διάθλασης an .Οι ακτίνες

προσπίπτουν στην επιφάνεια που χωρίζει το

υλικό α από ένα δεύτερο διαφανές υλικό b

που έχει δείκτη διάθλασης bn .




ακολουθούν το νόμο της ανάκλασης δηλαδή, η γωνία πρόσπτωσης ισούται με τη γωνία

ανάκλασης.

Σημείωση: Εφαρμογή ολικής ανάκλασης οπτικές ίνες.

Το φως ταξιδεύει μέσω διαδοχικών ολικών ανακλάσεων.

Μπορούμε να βρούμε την κρίσιμη γωνία crit χρησιμοποιώντας το νόμο του Snell.

a

b

b n

n

. Θέτουμε στη σχέση αυτή = crit και b90 .

Άρα

a

bcrit

n

n

90

a

b

critn

n

Η κρίσιμη γωνία crit είναι χαρακτηριστική του ζεύγους των δύο διαφανών μέσων α και b.

Προσοχή! Έστω ακτίνα μονοχρωματικού φωτός που ταξιδεύει σε ένα μέσο α και προσπίπτει

στην επιφάνεια που χωρίζει το υλικό α από ένα δεύτερο διαφανές υλικό b. Ολική ανάκλαση

στη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων α και b μπορεί να συμβεί μόνο εάν ba nn .

Αυτό ισχύει διότι σε αντίθετη περίπτωση από τη σχέση a

b

critn

n προκύπτει crit >1 ,

που είναι αδύνατο.

Συμπέρασμα: Το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης συμβαίνει μόνο όταν το φως

μεταβαίνει από μέσο (α) σε μέσο (b) για τα οποία ισχύει an > bn . Για να έχουμε ολική

εσωτερική ανάκλαση πρέπει η γωνία πρόσπτωσης να είναι μεγαλύτερη της κρίσιμης γωνίας.

Όταν το φως κατευθύνεται από ένα διαφανές μέσο με δείκτη διάθλασης nna στο κενό

1bn τότε n

crit

1

Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι όταν ο δείκτης διάθλασης του μέσου είναι μεγάλος, η

κρίσιμη γωνία είναι σχετικά μικρή.

Σημείωση: Για το φως που κατευθύνεται από το γυαλί στον αέρα, η κρίσιμη γωνία είναι

41,1. Στο διαμάντι η κρίσιμη γωνία είναι 24

. Η μικρή κρίσιμη γωνία είναι ο λόγος που ένα

κατεργασμένο διαμάντι (με πολλές έδρες) λαμποκοπά στο φως. Το μεγαλύτερο μέρος του

φωτός που εισέρχεται στο διαμάντι, υφίσταται ολική ανάκλαση στις διάφορες έδρες του. Για

να εξέλθει πρέπει να προσπέσει σχεδόν κάθετα στις έδρες του.





Α) Όταν μια φωτεινή μονοχρωματική δέσμη κατευθύνεται από ένα διαφανές μέσο σε άλλο με

μικρότερο δείκτη διάθλασης, θα πρέπει να εξετάσουμε αν έχουμε διάθλαση ή ολική

εσωτερική ανάκλαση. Επομένως:

α) Υπολογίζουμε το ημίτονο της κρίσιμης γωνίας crit των δύο μέσων από τη σχέση:

a

b

critn

n

ή από τη σχέση

ncrit

1

(όταν το διαφανές μέσο με το μικρότερο δείκτη διάθλασης είναι ο αέρας ή το κενό.)

β) Υπολογίζουμε το ημίτονο της γωνίας πρόσπτωσης .

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

1) Αν critcrit τότε θα έχουμε ολική εσωτερική ανάκλαση της

δέσμης.

2) Αν critcrit , τότε θα έχουμε διάθλαση και η διαθλώμενη δέσμη

κινείται παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων.

3) Αν critcrit τότε θα έχουμε διάθλαση της φωτεινής δέσμης.

Β)

Όταν ένας δύτης βρίσκεται μέσα στο νερό και κοιτάζει προς τα πάνω μπορεί να δει έξω από

το νερό μόνο όταν κοιτάζει με γωνία μικρότερη της κρίσιμης. Όταν κοιτάζει με γωνία

μεγαλύτερη της κρίσιμης βλέπει το βυθό εξαιτίας του φαινόμενου της ολικής ανάκλασης του

φωτός (βλ. σχήμα)




Πρίσματα ολικής ανάκλασης

Εάν χρησιμοποιήσουμε το κατάλληλο πρίσμα, μπορούμε με το φαινόμενο της ολικής

εσωτερικής ανάκλασης να μεταβάλουμε την κατεύθυνση μιας ακτίνας φωτός. Στο παραπάνω

σχήμα παρατηρούμε τέτοιες περιπτώσεις. Στο σχήμα α η φωτεινή ακτίνα με ολική εσωτερική

ανάκλαση εκτρέπεται κατά 90 ενώ στο σχήμα β εκτρέπεται κατά 180 (αντιστρέφεται η

πορεία της). Τα περισκόπια στα υποβρύχια χρησιμοποιούν συνδυασμό δύο πρισμάτων της

περίπτωσης (α) (σχ. γ) ώστε οι άνθρωποι στο εσωτερικό τους να μπορούν να βλέπουν τι

γίνεται πάνω από την επιφάνεια του νερού.

Στα πρίσματα ολικής ανάκλασης η κρίσιμη γωνία είναι μικρότερη από 45 .


Θεωρία Κεφαλαίου 2 Κύματα

Documents

Transcript of Θεωρία Κεφαλαίου 2 Κύματα