Μη γραμμικά οπτικά κύματα σε ομογενή και περιοδικά...

Μη γραμμικά οπτικά κύματα σε ομογενή και περιοδικά μέσα

Εργαστήριο Πλάσματος Ηλεκτρονικής Δέσμης και Μη Γραμμικής Οπτικής

ΕΜΠ

Νίκος Μοσχονάς, Γιάννης Κομίνης, Παναγώτης Παπαγιάνης,

Κυριάκος Χιτζανίδης

Θέματα εν συντομία

1. Γενικά περί μη γραμμικών κυμάτων, μη γραμμικών οπτικών παλμών και solitons

2. Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε ομογενή μέσα 2+1D

3. Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε περιοδικά μέσα-Πλεγματικά σολιτόνια

Γενικά περί μη γραμμικών κυμάτων, μη γραμμικών οπτικών παλμών και solitons

• Σολιτόνια, πρώτη παρατήρηση: Το νερό στο αυλάκι, 1834soliton

Αναπαράσταση παρατήρησης Scott Russell, Heriot-Watt University 1995

Παρατηρήσεις Russell•Ο κυματισμός είναι εντοπισμένος, σταθερός σε πλάτος και διατηρείται για μεγάλες αποστάσεις•Η ταχύτητα εξαρτάται από το πλάτος και το βάθος του νερού•Οι κυματισμοί αυτού του τύπου δεν συσσωματώνονται, αντίθετα από τα «συνήθη» κύματα

Σολιτόνια: Γενικές Παραδοχές•Εντοπισμένα κυματοπακέτα με μορφή αναλλοίωτη ή περιοδικά μεταβαλλόμενη•Δημιουργούνται από την αμοιβαία εξισορρόπηση φαινομένων•Δεν μεταβάλουν το πλάτος, την ενέργεια, ή την ταχύτητα τους μετά από μεταξύ τους συγκρούσεις, παραμένουν αναλλοίωτα σαν σωματίδια, εξ’ου και ο όρος “soliton” (1965)•Είναι μη γραμμικές οντότητες

N.J.Zabusky, M.D.Kruskal, Phys.Rev.Let. 15, 240, 1965N.N. Akmediev, A.A. Ankiewicz, Solitons: Nonlinear pulses and beams (Chapman and Hall, 1997)E.Infeld, G.Rowlands, Nonlinear waves, solitons and chaos (Cambridge university press, 1990)R.W.Boyd, Nonlinear Optics (Academic Press, 1992)


Τα φαινόμενα που εξισορροπούνται είναι η ανώμαλη διασπορά και η μη-γραμμική απόκριση του μέσουΠαλμός εισόδου

Απόκριση μέσου

Παλμός εξόδου

διασπορά (ή περίθλαση)

αυτο-εστίαση

solitont

z

•Σολιτόνιο σημαίνει ισορροπία, συχνά καθόλου ασταθής

•Κύματα και διαταραχές, ακόμα και σε ισχυρά μη-γραμμικό μέσο δεν σχηματίζουν απαιτητά σολιτόνια

•Μη γραμμικά φαινόμενα κατά τη διάδοση διαταραχών σε ομογενή μέσα και η ύπαρξη σολιτονίων μελετώνται εκτεταμένα σε τομείς όπως

•Μη-γραμμική οπτική

•Διάδοση διαράχων στο πλάσμα

•Ρευστομηχανική για τον σχηματισμό τσουνάμις και freak waves

φωτεινό σκοτεινό collision


• Korteweb-de Vries:• Kadomstev-Petviashvili:• Sine-Gordon:

06 xxxxt uuuu

0sin uuu xxtt

03)6( yyxxxxxt uuuuu

Μοντελοποίηση μη γραμμικών κυμάτων…

…PDEs, Μη γραμμικές (φυσικά)Όλες έχουν αναλλοίωτες σολιτονικές λύσεις

Μη γραμμική Οπτική: Nonlinear Schrödinger Equation (NLSE)2 2

22 2 2 2

0

1 1E PEc t c t

Διάδωση σε οπτικό κυματοδηγό

(1) (3)0 0P E E E E Πόλωση, γραμμική και μη (φαινόμενο Kerr)

22

21 02

u ui u uz t

Διαστάσεις: 1+1 : χωρικές διαταραχές/σολιτόνιαt x

Δυναμικό σύστημα:-Άπειρων βαθμών ελευθερίας -Ολοκληρώσιμο (άπειρα ολοκληρώματα της κίνησης)

Στάσιμη Λύση Φωτεινού Σολιτονίου:

Γαλιλαϊκός Μετασχηματισμός:(οδεύοντα κύματα)

2 / 20( , ) sech ( ) in zu t z n n t t e

2 / 2, ; , i i zu t z u t z z e

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε ομογενή μέσα, δύο και τριών διαστάσεων

2 2 22

2 2 2

1 02

u u u ui u uz x y t

NLSE 3+1 διαστάσεων

Επίπεδος κυματοδηγός

1 ή 2 εγκάρσιες διαστάσεις

3D μέσο

2 ή 3 εγκάρσιες διαστάσεις

Πεπερασμένος αριθμός ολοκληρωμάτων

Ανυπαρξία ευσταθών λύσεων με Kerr

Για ανώμαλη διασπορά και P>Pc έχουμε collapse η μάλλον έκρηξη!


L.W.Liou, X.D.Cao, C.J.McKinstrie, G.P.Agrawal Phys.Rev.A 46, 4202, 1992

…όμως, σε μέσα με κανονική διασπορά δεν έχουμε collapse (δεν έχουμε και soliton βέβαια...)

Σχέσεις Διασποράς-περιοχές αστάθειας

K K

Δυνατότητα δημιουργίας και ελέγχου παλμών και ακτινών που θα παραμένουν αναλλοίωτα ή τουλάχιστον συγκεντρωμένα για κάποιες αποστάσεις

Αυθόρμητη γένεση κυμάτων “X”

Αλληλεπίδραση και έλεγχος παλμών-ακτίνων

Bidispersive: Τα μέσα που εμφανίζουν αντίθετα πρόσημα περίθλασης και διασποράς


Αυθόρμητη γένεση κυμάτων τύπου “X”

J.Salo, J.Fagerholm, A.T.Friberg, M.M.Saloma, Phys.Rev. E 62, 4261, 2000

Κύματα Χαναλλοίωτες λύσεις της γραμμικής κυματικής εξίσωσης με άπειρη ενέργειασυναρτησιακά είναι άθροισμα συναρτήσεων Besselπολύ δύσκολο να αναπαραχθούν

Υπάρχει δυνατότητα γένεσης τους από άλλους παλμούς (π.χ. Γκαουσιανούς, sech ή CW);;;

Αριθμητική επίλυση NLSE 2+1D: Αρχικός παλμός: Gaussian (+ ασθενές CW)

P=4Pc

no CW

Μη γραμμικό

Γραμμικό

P=2Pc

CW 0.1Α

Δφ=0


t

2u

x

P=2Pc

CW 0.1Α

Δφ=π/2


exp( )CWu a


Αλληλεπίδραση και έλεγχος παλμών και ακτίνων, παρουσία ρυθμιστικού CW

AlGaAs

Χωροχρονική μετάθεση παλμών•Το αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης εξαρτάται:

•Θέση, φάση, ισχύ, γωνία αρχικών παλμών•Φάση και ισχύ CW

•Κυρίαρχα φυσικά φαινόμενα•Αλληλεπίδραση παλμών•Bidispersion•Ενίσχυση πλευρικών φασματικών περιοχών (μη γραμμικότητα)

•Οι παλμοί εξόδου:•Διαφορετική εγκάρσια και χρονική μετατόπιση•Φασματική μετατόπιση

Input, CW 0.2A Input, CW 0.2A

Δφ=0

Input, CW 0.2A

Δφ=π

Input, CW 0.2A

Δφ=π, φ1=π/2, φ2=-π/2

Μη γραμμικοί οπτικοί παλμοί σε περιοδικά μέσα-Πλεγματικά σολιτόνια

Εφαρμογές στη μη γραμμική οπτική

Συστοιχίες Μη Γραμμικών Κυματοδηγών (α) 1D AlGaAs, (b) 2D silica glass

Φράγματα σε οπτικές ίνες (Fiber gratings)

(b) οπτική επαγωγή (συμβολή 4 επιπεδων κυμάτων)

Μη Γραμμικοί Φωτονικοί Κρύσταλοι (α) εγκάρσιο προφίλ

Review papers:

D.N. Christodoulides et al, “Discretizing light behaviour in linear and nonlinear waveguide lattices”, Nature 424, 817 (2003)

A.A. Sukhorukov et al, “Spatial Optical Solitons in Waveguide Arrays”, IEEE J. Quant. Electron. 39, 31 (2003)

J.W. Fleischer et al, “Spatial photonics in nonlinear waveguide arrays” , Opt. Express 13, 1780 (2005)


Ιδιότητες Πλεγματικών Σολιτονίων

• Τα μαθηματικά μοντέλα που περιγράφουν τη διάδοση Πλεγματικών Σολιτονίων σε μέσα με εγκάρσια ανομοιογένεια είναι μη-ολοκληρώσιμα. Με την αυστηρή μαθηματική έννοια δεν υπάρχουν σολιτόνια! Υπάρχουν όμως εύρωστα εντοπισμένα μη-γραμμικά κύματα.

• Η πληθώρα σολιτονικών κυμάτων σε μη-γραμμικά πλέγματα έχει ποιοτικά διαφορετικά χαρακτηριστικά από την περίπτωση μη-γραμμικών ομοιόμορφων μέσων.

• Η εγκάρσια ανομοιογένεια του μέσου συνεπάγεται απώλεια της ιδιότητας μεταφορικής συμμετρίας (translational invariance) με αποτέλεσμα:– Περιορισμένη κινητικότητα σολιτονίων– Σχηματισμό των σολιτονίων σε συγκεκριμένες θέσεις σε σχέση με την

γεωμετρία του πλέγματος• Από τεχνολογική άποψη έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον:

– Απαιτούν σημαντικά μικρότερη ισχύ για την εμφάνιση μη-γραμμικών ιδιοτήτων και των σχηματισμό τους

– Μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε εφαρμογές δρομολόγησης και μεταγωγής οπτικών σημάτων σε αμιγώς οπτικές συσκευές

Εφαρμογές:- Σχεδίαση / Κατασκευή (engineering) Σύνθετων Φωτονικών Δομών με επιθυμητές ιδιότητες- Δυναμικός οπτικός έλεγχος (δυναμική εξαρτώμενη από την ισχύ, έλεγχος με οπτικά σήματα (π.χ. XPM)


2 2 4 2 4

0 2( ) ( )2 2 2 2 4p q q q qH n x n x

Θέση και Ευστάθεια Σολιτονίων σε Σύνθετες Φωτονικές Δομές

Θεωρούμε μια φωτονική δομή όπου τόσο οι γραμμικές όσο και οι μη-γραμμικές ιδιότητες του μέσου είναι εγκάρσια ανομοιογενείς:

22 2

0 22 2 ( ) ( ) 0U Ui U U n x U n x U Uz x

n0(x), γραμμικός δείκτης διάθλασης

n2(x), μη-γραμμικός δείκτης διάθλασης

ε, διαταρακτική παράμετρος

( , ) ( ) i zU x z u x e Ψάχνω για Στάσιμες Λύσεις:2

3 30 22 2 ( ) ( ) 0d u u u n x u n x u

dx Δυναμικό σύστημα:

Hamiltonian 1+1/2 βαθμών ελευθερίας:

( , ) ( , / )q p u du dx


Το αδιατάρακτο σύστημα (ε=0) για β>0 έχει μια ομοκλινική τροχιά:

που αντιστοιχεί στο στάσιμο σολιτόνιο της NLSE για κάθε x0.

0 0

0 0 0

( ) sech ( ) ,

( ) sech ( ) tanh ( )

q x x x

p x x x x x

Η ομοκλινική τροχιά:

- σχηματίζεται από την λεία ένωση της ευσταθούς και της ασταθούς πολλαπλότητας του σαγματικού στάσιμου σημείου στο μηδέν

- είναι κλειστή καμπύλη που αποτελείται από άπειρα μη-εγκάρσια (nontransverse) σημεία τομής (ομοκλινικά σημεία) των δύο πολλαπλοτήτων


Η παρουσία διαταραχών (ε≠0) έχει σαν αποτέλεσμα την ισχυρή τροποποίηση (σπάσιμο) αυτής της “ευαίσθητης” τροχιάς και την εμφάνιση σημείων εγκάρσιας τομής των δύο πολλαπλοτήτων.

ε=0 ε≠0 ε≠0

x

Εκτεταμένος φασικός χώρος

Η συνάρτηση Melnikov M(x0) είναι ανάλογη της απόστασης d(x0) των δύο πολλαπλοτήτων όπως αυτή μετράται πάνω σε μία τομή Poincare.

Τομές Poincare

S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer (2003)

Οι μηδενισμοί της συνάρτησης Melnikov:• αντιστοιχούν σε ομοκλινικά σημεία• προσδιορίζουν για το διαταραγμένο σύστημα τα διακριτά

μέλη της (αρχικά συνεχούς) οικογένειας λύσεων με παράμετρο x0


Περίπτωση: n0(x)=cos(x), n2(x)=0 Για όλες τις περιπτώσεις ε=0.1

β = 0.1

β = 1

Για όλα τα β:- Ευσταθές σολιτόνιο εντοπισμένο στη θέση μεγίστου του n0(x), x0=0- Ασταθές σολιτόνιο εντοπισμένο στη θέση ελαχίστου του n0(x), x0=π


Περίπτωση: n0(x)=cos(x), n2(x)=-4.8cos(x)

β = 0.1

β = 1

Ίδιος αριθμός σολιτονίων, στις ίδιες θέσεις, διαφορετικός τύπος ευστάθειας για β = 0.1, 1. Εξάρτηση της ευστάθειας από: Ισχύ / χωρικό εύρος / σταθερά διάδοσης

Εργαστήριο Πλάσματος Ηλεκτρονικής Δέσμης και Μη Γραμμικής Οπτικής ΕΜΠ[email protected]Καθ. Κυριάκος Χιτζανίδης: [email protected]

Μη γραμμικά οπτικά κύματα σε ομογενή και περιοδικά...

Documents

Transcript of Μη γραμμικά οπτικά κύματα σε ομογενή και περιοδικά...