Alguns t´opicos em L espa¸cos topol´ogicos ... - UFPR · Departamento de Matem´atica - UFPR ......
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANASETOR DE CIENCIAS EXATAS
POS-GRADUACAO EM MATEMATICA APLICADA
Alguns topicos em L espacos topologicos: compacidade local,
espacos de Hurewicz e propriedade ω∗
Tomas Keller Breuckmann
CURITIBA - PR
2004
Alguns topicos em L espacos topologicos:compacidade local, espacos de Hurewicz e
propriedade ω∗
Tomas Keller Breuckmann
Orientacao:
Profa Soraya R. T. Kudri
Dissertacao apresentada como requisitoparcial a obtencao do grau de Mestre em Ma-tematica Aplicada, Curso de Pos-graduacaoem Matematica Aplicada, Setor de CienciasExatas, Universidade Federal do Parana.
UFPR - CURITIBA
2004
i
Termo de Aprovacao
Dissertacao aprovada como requisito parcial a obtencao do grau de Mestre em
Matematica Aplicada no Curso de Pos-graduacao em Matematica Aplicada da
Universidade Federal do Parana.
Profa. Soraya Rosana Torres Kudri (Orientadora)Departamento de Matematica - UFPR ———————————————
Prof. Marko Antonio Rojas MedarDepartamento de Matematica - UNICAMP ———————————————
Prof. Jose carlos Cifuentes VasquesDepartamento de Matematica - UFPR ———————————————
Prof. Marcelo Muniz Silva AlvesDepartamento de Matematica - UFPR ———————————————
Curitiba 18 de fevereiro de 2004
ii
Dedicado a todos os cubos,
esferas e outros seres
que vivem alem de Flatland.
iii
Agradecimento
Meus sinceros agradecimentos a professora Soraya.
iv
Sumario
Lista de Sımbolos vi
Lista de Figuras vii
Resumo ix
Abstract 1
1 Introducao 2
2 Teoria Basica 72.1 Topologia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 L-Conjuntos e L-Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 L-Topologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Compacidade Local 303.1 Compacidade local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Teorema da L-Caixa 464.1 Teorema da L-caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Propriedades de Recobrimento: Hurewicz e ω∗ 525.1 Espacos de Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 Propriedade ω∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Bibliografia 64
v
Lista de Sımbolos
N o conjunto dos numeros naturais.
∅ o conjunto vazio.
≤, � relacao de ordem parcial e sua negacao.
∨, ∧ supremo e ınfimo respectivamente.
′ involucao com reversao de ordem.
〈X, δ〉 um espaco topologico.
〈X, T 〉 um espaco L-topologico.
〈X, TD〉 um subespaco de um espaco L-topologico.
A o fecho do conjunto A ou de um L-conjunto A.
Ac o complementar do conjunto A.
χA a funcao caracterıstica de A.
x ∈ A, x /∈ A x pertence a A e sua negacao.
{x ∈ X ; P (x)} o conjunto dos elementos x em X com a propriedade P .
A ⊂<∞ B A e um subconjunto finito de B.
A ⊂ B A esta contido em B.
{Aj}j∈J uma famılia indexada de conjuntos, quando J = N e uma sequencia.
∪j∈JAj a uniao da famılia {Aj}j∈J .
f : X → Y uma funcao de X em Y .
vi
∏j∈J Aj o produto da famılia {Aj}j∈J .
∑j∈J Aj a soma da famılia {Aj}j∈J .
f(A), f−1(A) a imagem direta e inversa do conjunto A ou de um L-conjunto A.
f |A a restricao de f a A.
∀, ∃ quantificadores “para todo” e “existe”
pr(L) elementos primos do reticulado L.
πj a j-esima projecao.
0, 1 menor e maior elementos de um reticulado L.
LX o conjunto dos L-conjuntos de X.
xp um L-ponto.
supp(f) o suporte de f .
∨j∈Jfj a uniao da famılia de L-conjuntos {fj}j∈J .
∧j∈Jfj a intersecao da famılia de L-conjuntos {fj}j∈J .
ω(δ)o espaco L-topologico de todas as funcoes contınuas de umespaco topologico 〈X, δ〉 em um reticulado fuzzy L comtopologia Scott.
vii
Lista de Figuras
1.1 Funcao caracterıstica de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Conjunto fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 L-conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 L-conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1 L-conjunto muito compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Compacidade local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Compacidade local fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Compacidade local relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 Teorema 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1 Princıpio de selecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Espacos de Hurewicz e propriedade ω∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
viii
Resumo
Em um L espaco topologico propomos boas definicoes de compacidade local, com-
pacidade local fraca e compacidade local relativa. Como resultados obtemos a in-
variancia por funcoes abertas contınuas e sobrejetoras, a equivalencia em espacos de
Hausdorff, a regularidade em espacos de Hausdorff, teoremas de compatificacao por
um ponto e dois teoremas sobre a compacidade local e compacidade local fraca para
o L-espaco produto. Propomos tambem boas definicoes para espacos de Hurewicz
e a propriedade ω∗ em L espacos topologicos. Alguns resultados sobre espacos de
Hurewicz sao obtidos, onde o principal teorema estabelece por meio da proprie-
dade ω∗ condicoes necessarias e suficientes para um espaco ser Hurewicz. Para isso
foi necessario generalizar para um L espaco topologico um resultado simples sobre
produto finito de compactos, que chamamos de Teorema da L-Caixa.
Palavras-chave: L espacos topologicos, compacidade local, espacos de Hurewicz,
propriedade ω∗.
ix
Abstract
In an L-topological space we propose good definitions for local compactness, weak
local compactness and relative local compactness. As results we obtain the inva-
riance under continuous open surjections, the equivalence in Hausdorff spaces, the
regularity in Hausdorff spaces, one point compactification theorems and two the-
orems about local compacness and weak local compactness for L-product spaces.
We also propose good definitions for Hurewicz spaces and the ω∗ property in L-
topological spaces. Some results about Hurewicz spaces are obtained, where the
main theorem gives necessaries and sufficient conditions for a space to be Hurewicz
by means of the ω∗ property. For this result was necessary the generalization, for an
L-topological space, of a result about the product of finite compacts spaces which
we call here the L-Box Theorem.
Keywords: L-topological space, local compactness, Hurewicz spaces, ω∗ pro-
perty.
1
Capıtulo 1
Introducao
A teoria de conjuntos fuzzy teve origem com Zadeh [26] em 1965. Tal trabalho
causou grande interesse entre matematicos e profissionais das mais diversas areas, o
que resultou em um novo campo da matematica chamado ”Matematica Fuzzy”.
Dado um conjunto X, podemos ver um subconjunto A ⊂ X como uma funcao
caracterıstica χA, figura 1.1, definida por:
χA(x) =
{1 se x ∈ A0 se x /∈ A
As operacoes ∪, ∩ e c, e a relacao ⊂ entre conjuntos podem ser traduzidas para
funcoes caracterısticas da seguinte forma:
A ∪B ↔ χA∪B = χA ∨ χB.
A ∩B ↔ χA∩B = χA ∧ χB.
Ac ↔ χAc = 1− χA.
Figura 1.1: Funcao caracterıstica de A
2
CAPITULO 1. INTRODUCAO 3
A ⊂ B ↔ χA ≤ χB.
onde ∨ e ∧ denotam as operacoes de supremo e ınfimo respectivamente.
A ideia apresentada por Zadeh, foi de generalizar as funcoes caracterısticas per-
mitindo que asumissem valores no intervalo [0, 1]. Deste modo, um subconjunto de
X passa a ser uma funcao caracterıstica generalizada µ : X → [0, 1], chamados de
conjuntos fuzzy, figura 1.2.
Figura 1.2: Conjunto fuzzy
As operacoes ∪, ∩ e c, e a relacao ⊂ entre conjuntos se generalizam para conjuntos
fuzzy do mesmo modo que para funcoes caracterısticas.
Em 1967, Goguen [6] generalizou ainda mais a nocao de conjunto fuzzy, per-
mitindo que as funcoes caracterısticas asumissem valores em um reticulado L com
elemento minimo 0 = ∧L e maximo 1 = ∨L. Deste modo, os subconjuntos de X
passam a ser funcoes f : X → L, chamados de L-conjuntos, ou conjuntos L-fuzzy,
figura 1.3. O conjunto de todos os L-conjuntos de X e denotado por LX .
Em L-conjuntos podemos definir a uniao de f e g como sendo o L-conjunto f ∨g,
onde (f∨g)(x) = f(x)∨g(x). Definicao analoga para a intersecao de f e g utilizando
∧. Dizemos que f esta contido em g se e somente se f ≤ g, ou seja, f(x) ≤ g(x)
para todo x ∈ X.
A definicao do complementar de um conjunto para um L-conjunto nao pode ser
generalizada da forma anterior, pois em um reticulado nao temos obrigatoriamente
CAPITULO 1. INTRODUCAO 4
uma operacao de soma que nos permita fazer 1 − f(x). O complementar de um
L-conjunto f e um L-conjunto f c definido por f c(x) = f(x)′ onde ′ : L → L e
uma funcao que satisfaz as seguintes propriedades: e ≤ b ⇒ b′ ≤ e′, e, (e′)′ = e.
Note que com esta defininicao temos as mesmas propriedades de conjuntos para o
complementar, isto e, f ≤ g ⇒ gc ≤ f c e (f c)c = f . Como notacao escrevemos f ′
para o complementar de f e nao f c.
Um elemento p 6= 1 em L e primo se e somente se e∧ b ≤ p ⇒ e ≤ p ou b ≤ p. O
conjunto e todos os elementos primos de L sera denotado por pr(L). A definicao de
ponto fuzzy, ou L-ponto, que utilizaremos neste trabalho foi proposta em [21] por
Warner. Um L-ponto de X, figura 1.4, e um L-conjunto xp : X → L definido por:
xp(y) =
{p se y = x1 se y 6= x
onde x ∈ X e p ∈ pr(L).
Dizemos que o L-ponto xp pertence ao L-conjunto f , e escrevemos xp ∈ f , se e
somente se f(x) � p, figura 1.4. Interessante notar que em L-conjuntos nao temos
necessariamente a equivalencia xp ∈ f ⇔ xp /∈ f ′ que existe em conjuntos, pois
f(x) � p e f(x) ≥ p′ podem nao ser equivalentes.
A primeira definicao de espacos topologicos fuzzy foi proposta por Chang em [2].
Um espaco topologico fuzzy e um conjunto X com uma topologia usual de conjuntos
Figura 1.3: L-conjunto
CAPITULO 1. INTRODUCAO 5
fuzzy, isto e: ∅ e X sao abertos, uniao arbitraria de abertos e aberto, e intersecao
finita de abertos e aberto. Atualmente estes espacos topologicos fuzzy sao ditos
espacos L-topologicos ou L espacos topologico.
O primeiro capıtulo e dedicado a definicoes e propriedades basicas de reticulados,
L-conjuntos e L-pontos, e de espacos L-topologicos.
No segundo capıtulo apresentamos boas definicoes (definicao 2.27) para as propri-
edades de compacidade local, compacidade local fraca e compacidade local relativa
em um espaco L-topologico. Como resultados obtemos a invariancia destas propri-
edades por funcoes sobrejetoras contınuas e abertas, a equivalencia em espacos de
Hausdorff, a regularidade em espacos de Hausdorff, teoremas de compactificacao por
um ponto e teoremas sobre a compacidade local do L-espaco produto.
Em topologia geral, temos um resultado simples sobre compacidade que diz que
dado A, um subconjunto compacto de X, e um aberto W em Xn tal que An ⊂ W ,
existe um aberto V tal que A ⊂ V e V n ⊂ W . No terceiro capıtulo apresentamos
uma versao deste resultado para um L espaco topologico, o “teorema da L-caixa”.
Duas propriedades de recobrimento existentes na topologia geral sao a proprie-
dade de Hurewicz e a propriedade ω (selectively ω-grouping property). A propri-
edade de Hurewicz foi introduzida por Hurewicz em [8] e trata de sequencias de
coberturas abertas. A propriedade ω foi introduzida por Scheepers em [18] e trata
Figura 1.4: L-conjunto
CAPITULO 1. INTRODUCAO 6
de sequencias de ω coberturas.
No quarto capıtulo, trabalharemos com duas propriedades de recobrimento em
um L-espaco topologico: propriedade ω∗ e propriedade de Hurewicz. Apresentamos
boas definicoes para estas propriedades e obtemos um teorema garantindo condicoes
necessarias e suficientes para que um espaco seja Hurewicz atraves da propriedade
ω∗ (selectively ω∗-grouping property).
Em todos os capıtulos os resultados e definicoes sem atribuicao de autoria sao
nossa contribuicao.
Capıtulo 2
Teoria Basica
Este capıtulo consiste de definicoes e resultados necessarios no desenvolvimento deste
trabalho.
Dividimos este capıtulo em quatro secoes.
A primeira secao e dedicada a espacos topologicos. As definicoes e resultados
apresentados podem ser encontrados em qualquer bom livro de topologia geral,
como [3] e [15], e nos artigos [8] e [18].
A segunda secao e sobre reticulados. Importante aqui e a definicao de reticulado
fuzzy e um teorema sobre topologia Scott.
Na terceira secao introduzimos as definicoes e propriedades de L-conjuntos e L-
pontos, que sao casos particulares de L-conjuntos. Em muitos trabalhos, L-conjuntos
sao chamados de conjuntos L-fuzzy, que tem o mesmo significado.
Na ultima secao introduzimos espacos L-topologicos. Em trabalhos mais anti-
gos, um espaco L-topologico era chamado espaco topologico fuzzy. Atualmente, a
definicao de Chang [2] corresponde a espacos L-topologicos e a definicao de Sostak
[19] corresponde a espaco topologico fuzzy. Algumas demonstracoes simples serao
incluidas em detalhes para tornar o leitor familiarizado com alguns conceitos em
L-topologias.
2.1 Topologia Geral
Nesta secao X e Y sao considerados conjuntos nao vazios.
7
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 8
Teorema 2.1 [15, Munkres] Sejam 〈X, δ〉 um espaco topologico e A um compacto
em X. Considere Xn com a topologia produto. Se W e um aberto em Xn tal que
An ⊂ W entao existe V ∈ δ tal que A ⊂ V e An ⊂ V n ⊂ W .
Em topologia geral existem tres modos de se definir compacidade local, as quais
chamaremos aqui de compacidade local, compacidade local fraca e compacidade
local relativa.
Definicao 2.1 [3, Dugundji] Um espaco topologico 〈X, δ〉 e localmente compacto se
e somente se para cada x ∈ X e V ∈ δ tal que x ∈ V existem K compacto e U ∈ δ
tais que x ∈ U e U ⊂ K ⊂ V .
Definicao 2.2 [3, Dugundji] Um espaco topologico 〈X, δ〉 e fracamente localmente
compacto se e somente se para cada x ∈ X existem K compacto e U ∈ δ tais que
x ∈ U e U ⊂ K.
Definicao 2.3 [3, Dugundji] Um espaco topologico 〈X, δ〉 e relativamente local-
mente compacto se e somente se para cada x ∈ X existe U ∈ δ com U compacto tal
que x ∈ U .
Teorema 2.2 [3, Dugundji] Em espacos de Hausdorff as definicoes anteriores sobre
compacidade local sao equivalentes.
As definicoes a seguir falam a respeito das propriedades de Hurewicz e propriedade
ω (selectively ω-grouping). A primeira foi introduzida por Hurewicz em [8] e trata
de sequencias de coberturas abertas, a segunda foi introduzida mais recentemente
por Scheepers em [18] e trata de sequencias de ω coberturas. Usamos a notacao
A ⊂<∞ B como abreviacao para A e um subconjunto finito de B.
Definicao 2.4 [8, Hurewicz] Um espaco topologico 〈X, δ〉 e Hurewicz se e somente
se para cada sequencia {Un}n∈N de coberturas abertas de X, existe uma sequencia
{Vn}n∈N tal que:
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 9
(i) Cada Vn ⊂<∞ Un.
(ii) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃V ∈ Vn, x ∈ V ).
Definicao 2.5 [18, Scheepers] Uma ω cobertura aberta de 〈X, δ〉 e uma famılia de
abertos U com X /∈ U tal que para cada F ⊂<∞ X existe V ∈ U com F ⊂ V
Definicao 2.6 [18, Scheepers] Um espaco topologico 〈X, δ〉 tem a propriedade ω se e
somente se para cada sequencia {Un}n∈N de ω coberturas de X existe uma sequencia
{Vn}n∈N tal que:
(i) Cada Vn e um subconjunto finito de Un.
(ii) Para cada subconjunto finito F de X, existe n0 ∈ N tal que:
n > n0 ⇒ ∃V ∈ Vn, F ⊂ V
Definicao 2.7 Uma ω∗ cobertura em X e uma famılia de abertos U tal que para
cada subconjunto finito F de X, existe V ∈ U com F ⊂ V
Definicao 2.8 Um espaco topologico 〈X, δ〉 tem a propriedade ω∗ se e somente se
para cada sequencia {Un}n∈N de ω∗ coberturas de X existe uma sequencia {Vn}n∈N
tal que:
(i) Cada Vn e um subconjunto finito de Un.
(ii) Para cada subconjunto finito F de X, existe n0 ∈ N tal que:
n > n0 ⇒ ∃V ∈ Vn, F ⊂ V
2.2 Reticulados
Definicao 2.9 [1, Birkhoff] Um reticulado L = 〈L,≤,∨,∧〉 e um conjunto nao
vazio, com uma ordem parcial ≤, tal que cada subconjunto finito tem supremo e
ınfimo, denotados respectivamente por sup e inf, ou ∨ e ∧.
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 10
Definicao 2.10 [1, Birkhoff] Um reticulado L = 〈L,≤,∨,∧〉 e completo se e so-
mente se cada subconjunto tem supremo e ınfimo. Denotamos 0 = ∧L e 1 = ∨L.
Observe que 0 = ∨∅ e 1 = ∧∅. De fato, 0 e uma cota superior para ∅, isto e,
0 ≥ x para cada x ∈ ∅, pois caso contrario existiria x ∈ ∅ com 0 � x. Sendo uma
cota superior, 0 ≥ ∨∅, logo, 0 = ∨∅. Analogamente se mostra que 1 = ∧∅.
Definicao 2.11 [5, Gierz et al.] Um reticulado completo L = 〈L,≤,∨,∧〉 e com-
pletamente distributivo se e somente se satisfaz:
∧i∈I (∨j∈Jiei,j) = ∨f∈K (∧i∈I) ei,f(i)
onde para cada i ∈ I e j ∈ Ji, ei,j ∈ L; e K e o conjunto das funcoes f : I → ∪i∈IJi
tais que para cada i ∈ I, f(i) ∈ Ji.
Definicao 2.12 [1, Birkhoff] Uma involucao com reversao de ordem em um reticu-
lado L e uma funcao ′ : L → L, f(e) = e′, tal que:
(i) e ≤ b ⇒ b′ ≤ e′.
(ii) (e′)′ = e.
Definicao 2.13 [7, Hutton] Um reticulado fuzzy L = 〈L,≤,∨,∧,′ 〉 e um reticulado
completo, completamente distributivo com uma involucao com reversao de ordem
onde 0 = ∧L e 1 = ∨L.
Note que a involucao com reversao de ordem ′ : L → L e uma bijecao pois
a′ = b′ ⇒ a = (a′)′ = (b′)′ = b e b = a′ para cada b ∈ L onde a = b′ ∈ L. Com isso
temos que 1′ = 0 e 0′ = 1. De fato, 0 = a′ para algum a ∈ L, como 1 ≥ a temos que
1′ ≤ a′ = 0, logo 1′ = 0 pois 0 = ∧L. Analogamente temos 0′ = 1.
Para o que segue nesta secao, L sera um reticulado fuzzy.
Definicao 2.14 [5, Gierz at al.] Dizemos que p ∈ L:
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 11
(i) e primo se e somente se p 6= 1 e ∀e, b ∈ L, e ∧ b ≤ p ⇒ e ≤ p ou b ≤ p.
Definimos pr(L) = {p ∈ L ; p e primo}
(ii) e coprimo se e somente se p 6= 0 e ∀e, b ∈ L, e ∨ b ≥ p ⇒ e ≥ p ou b ≥ p.
Definicao 2.15 [1, Birkhoff] Um conjunto D com uma ordem parcial tal que: ∀a, b ∈D, ∃k ∈ D; k ≥ a e k ≥ b, e dito conjunto direto.
Definicao 2.16 [5, Gierz at al.] A topologia Scott T em L e definida como segue.
U ∈ T se e somente se:
1. ∀a ∈ U, ∀b ∈ L; a ≤ b ⇒ b ∈ U
2. Para cada D subconjunto direto de L com ∨D ∈ U temos D ∩ U 6= ∅.
Teorema 2.3 [22, Warner e McLean] A topologia Scott em L e gerada pelos con-
juntos {Ap}p∈pr(L), onde Ap = {x ∈ L ; x � p}.
2.3 L-Conjuntos e L-Pontos
Nesta secao X e um conjunto nao vazio e L e um reticulado fuzzy com a topologia
Scott.
Definicao 2.17 [6, Goguen] Um L-conjunto f em X e uma funcao f : X → L. O
conjunto de todos os L-conjuntos em X sera denotado por LX .
Podemos definir em LX uma ordem parcial, operacoes de sup e inf, e uma in-
volucao com reversao de ordem que fazem com que LX seja um reticulado fuzzy.
Sao elas [6, Goguen]:
(i) f ≤ g se e somente se f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X. Dizemos neste caso que f
esta contido em g.
(ii) (∨j∈Jfj) (x) = ∨j∈Jfj(x) para cada x ∈ X e famılia {fj}j∈J em LX . Dizemos
que (∨j∈Jfj) e a uniao dos L-conjuntos fj.
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 12
(iii) (∧j∈Jfj) (x) = ∧j∈Jfj(x) para cada x ∈ X e famılia {fj}j∈J em LX . Dizemos
que (∧j∈Jfj) e a intersecao dos L-conjuntos fj.
(iv) f ′(x) = (f(x))′ para f ∈ LX . Dizemos que f ′ e o complementar de f .
Definicao 2.18 [24, Weiss] Seja f um L-conjunto em X. O suporte de f e o
conjunto supp(f) = {x ∈ X; f(x) > 0}.
Em [21], Warner determinou os elementos primos de LX ,
pr(LX) ={xp ∈ LX ; x ∈ X, p ∈ prL
}
onde cada xp : X → L e o L-conjunto definido por
xp(y) =
{p , y = x1 , y 6= x
Definicao 2.19 [21, Warner] Os elementos de pr(LX) sao chamados L-pontos de
X. Dizemos que o L-ponto xp pertence ao L-conjunto f em X, escrevemos xp ∈ f ,
se e somente se f(x) � p.
Observe que em L-conjuntos nao temos necessariamente a equivalencia
xp ∈ f ⇔ xp /∈ f ′ que existe em conjuntos, x ∈ A ⇔ x /∈ Ac, pois f(x) � p e
f(x) ≥ p′ podem nao ser equivalentes. Isso nos da uma certa liberdade de escolha
em definicoes e teoremas. O modo como faremos a escolha entre xp ∈ f e xp /∈ f ′
sera semelhante ao feito por Kudri em [9, 10, 11, 12] que se mostrou satisfatoria na
obtencao de alguns resultados.
Definicao 2.20 [2, Chang] Sejam f : X → Y uma funcao, g ∈ LX e h ∈ LY
L-conjuntos em X e Y respectivamente. Definimos:
(i) A imagem direta de g por f e o L-conjunto f(g) em Y definido por
f(g)(y) = ∨{g(x) ∈ L ; x ∈ f−1(y)} para cada y ∈ Y .
(ii) A imagem inversa de h por f e o L-conjunto f−1(h) em X definido por
f−1(h)(x) = h (f(x)) para cada x ∈ X.
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 13
Proposicao 2.1 [2, 14, 17] Sejam f : X → Y uma funcao, {gj}j∈J uma famılia de
L-conjuntos em X e {hj}j∈K uma famılia de L-conjuntos em Y . Temos:
(i) f−1(h′j) = (f−1(hj))′
(ii) hj ≤ hi ⇒ f−1(hj) ≤ f−1(hi)
(iii) f−1(∨j∈Khj) = ∨j∈Kf−1(hj)
(iv) f−1(∧j∈Khj) = ∧j∈Kf−1(hj)
(v) f(g′j) ≤ (f(gj))′ se f e injetiva.
(vi) (f(gj))′ ≤ f(g′j) se f e sobrejetiva.
(vii) gj ≤ gi ⇒ f(gj) ≤ f(gi)
(viii) f(∨j∈Kgj) = ∨j∈Kf(gj)
(ix) f(∧j∈Kgj) ≤ ∧j∈Kf(gj)
(x) f(f−1(hj)) ≤ hj. Se f e sobrejetora entao vale a igualdade.
(xi) gj ≤ f−1(f(gj)). Se f e injetora entao vale a igualdade.
Proposicao 2.2 [14, Malghan e Benchalli] Sejam f : X → Y uma funcao, {gj}j∈J
uma famılia de L-conjuntos em X e h um L-conjunto em Y . Temos:
(i) gj ≤ gi ⇒ supp(gj) ⊂ supp(gi)
(ii) supp(∨j∈Jgj) = ∪j∈Jsupp(gj))
(iii) supp(∧nj=1gj) = ∩n
j=1gj
(iv) f(supp(gj)) = supp(f(gj))
(v) f−1(supp(h)) = supp(f−1(h))
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 14
2.4 L-Topologias
Nesta secao X, Y e Xj sao conjuntos nao vazios, e L e um reticulado fuzzy com a
topologia Scott.
Definicao 2.21 [2, Chang] O par 〈X,T 〉 e um espaco L-topologico, se e somente
se T e uma L-topologia em X, isto e, T ⊂ LX e tal que:
(i) ∅ ∈ T, X ∈ T , onde ∅ e X sao os L conjuntos definidos por ∅(x) = 0 e X(x) = 1
para cada x ∈ X.
(ii) Para toda famılia {fj}j∈J em T , ∨j∈Jfj ∈ T .
(iii) Para toda famılia {fj}kj=1 em T , ∧k
j=1fj ∈ T
Os elementos de T acima sao chamados de L-conjuntos abertos, ou L-abertos.
Dizemos que f e um L-conjunto fechado, ou um L-fechado, se e somente se f ′ ∈ T .
Definicao 2.22 [16, Pu e Liu] Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Seja f ∈ LX .
O interior de f , int(f), e o fecho de f , cl(f) = f , sao definidos por:
int(f) = ∨{g ∈ T ; g ≤ f}
cl(f) = ∧{g ∈ LX ; f ≤ g, g′ ∈ T
}
Definicao 2.23 [12, Kudri] Sejam 〈X, TX〉 e 〈Y, TY 〉 espacos L-topologicos. Seja
f : X → Y uma funcao. Dizemos que f e contınua se e somente se f−1(g) ∈ TX
para cada g ∈ TY . Dizemos que f e aberta se e somente se f(h) ∈ TY para cada
h ∈ TX .
Proposicao 2.3 [12, Kudri] Sejam 〈X,TX〉 e 〈Y, TY 〉 espacos L-topologicos. Seja
f : X → Y uma funcao. Temos:
(i) f e contınua se e somente se para cada L-conjunto fechado g ∈ LY temos que
f−1(g) ∈ LX e um L-conjunto fechado.
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 15
(ii) Se f e contınua entao f−1(g) ≤ f−1(g) para cada g ∈ LY .
(iii) Se f e contınua entao f(h) ≤ f(h)para cada h ∈ LX .
Demonstracao.
(i) Necessidade: Seja g ∈ LY um L-conjunto fechado, entao f ′ e um L-conjunto
aberto. Como f e contınua temos que f−1(g′) ∈ TX . Mas
(f−1(g))′ = f−1(g′) ∈ TX , logo, f−1(g) e um L-conjunto fechado.
Suficiencia: Seja g ∈ TY , entao g′ e um L-conjunto fechado, logo f−1(g′) e um
L-conjunto fechado. Mas (f−1(g))′ = f−1(g′), logo f−1(g) ∈ TX .
(ii) Como g ≤ g e f e contınua temos que f−1(g) ≤ f−1(g) e, por (i), f−1(g) e um
L-conjunto fechado. Logo, f−1(g) ≤ f−1(g).
(iii) Como h ≤ f−1(f(h)) temos que h ≤ f−1(f(h)), entao, pela continuidade da
f e usando (ii) com g = f(h), temos h ≤ f−1(f(h)) ≤ f−1(f(h)). Logo
f(h) ≤ f(f−1(f(h))) ≤ f(h)
Fica assim demonstrado a proposicao. ¥
Definicao 2.24 [25, Wong] Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Uma colecao
B ⊂ T e uma base para T se e somente se para cada f ∈ T existe uma famılia
{gj}j∈J em B tal que f = ∨j∈Jgj. Neste caso dizemos que T e gerada por B.
Definicao 2.25 [25, Wong] Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Uma colecao
C ⊂ T e uma subbase para T se e somente se a famılia de todas as intersecoes
finitas de elementos de C forma uma base para T . Neste caso dizemos que T e
gerada por C.
Definicao 2.26 [25, Wong] Seja {〈Xj, Tj〉}j∈J uma famılia de espacos L-topologicos.
Seja X =∏
j∈J Xj e defina para cada α ∈ J a α-esima projecao πα : X → Xα por
πα((xj)j∈J) = xα. A L-topologia produto T em X tem como subbase a famılia
∪j∈J
{π−1
j (f) ; f ∈ Tj
}. Chamamos 〈X, T 〉 de L-espaco produto.
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 16
Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Em [20] e [21] Warner mostrou que o conjunto
de todas as funcoes contınuas f : 〈X, δ〉 → L formam uma L-topologia w(δ) em X,
e que uma base para este espaco e o conjunto B ={fUb ∈ LX ; b ∈ L, U ∈ δ
}onde
cada fUb e definido por:
fUb(y) =
{b se x ∈ U0 se x /∈ U
Definicao 2.27 [20, Warner] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico e P uma propri-
edade topologica em 〈X, δ〉. Dizemos que uma propriedade topologica PL em um
espaco L-topologico e uma boa extensao de P se e somente se: 〈X, δ〉 tem a propri-
edade P se e somente se 〈X,w(δ)〉 tem a propriedade PL.
Os proximos quatro resultados serao usados futuramente sem referencia a eles.
Proposicao 2.4 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico, entao: f ∈ ω(δ) se
e somente se f−1 {t ∈ L ; t � p} ∈ δ para cada p ∈ pr(L).
Demonstracao. Necessidade: Se f ∈ ω(δ) entao e uma funcao contınua de X em
L, onde L tem a topologia Scott. Logo, f−1(A) ∈ δ para cada A aberto em L. Em
particular f−1(A) ∈ δ para os abertos A = {t ∈ L ; t � p} da base.
Suficiencia: Seja A um aberto em L, entao podemos escrever A = ∪p∈P Ap onde
P ⊂ pr(L) e Ap = {t ∈ L ; t � p}. Como f−1(Ap) ∈ δ temos que f−1(A) ∈ δ pois
f−1(A) = ∪p∈P f−1(Ap). Logo f ∈ ω(δ). ¥
Proposicao 2.5 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico, entao: f e fechado
em 〈X, ω(δ)〉 se e somente se f−1 {t ∈ L ; t ≥ p′} e fechado em 〈X, δ〉 para cada
p ∈ pr(L).
Demonstracao. Usando que
(f ′)−1 {t ∈ L ; t � p} = f−1 {t ∈ L ; t � p′}
e que(f−1 {t ∈ L ; t � p′})c
= f−1 {t ∈ L ; t ≥ p′}
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 17
temos que:
f ′ ∈ ω(δ) ⇔ ∀p ∈ pr(L), (f ′)−1 {t ∈ L ; t � p} ∈ δ
⇔ ∀p ∈ pr(L), f−1 {t ∈ L ; t � p′} ∈ δ
⇔ ∀p ∈ pr(L),(f−1 {t ∈ L ; t � p′})c
e fechado em 〈X,ω(δ)〉
⇔ f−1 {t ∈ L ; t ≥ p′} e fechado em 〈X, ω(δ)〉
O resultado segue do fato de que f e fechado em 〈X,ω(δ)〉 se e somente se
f ′ ∈ ω(δ). ¥
Proposicao 2.6 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico, entao: A ∈ δ se e
somente se χA ∈ w(δ).
Demonstracao. Necessidade: Seja A ∈ δ. Seja p ∈ pr(L) e considere o aberto
basico Ap = {t ∈ L ; t � p}. Temos que χ−1A (Ap) = {x ∈ X ; χA(x) � p} = A.
Logo, χ−1A (Ap) ∈ δ para cada aberto basico, ou seja χA e continua. Portanto
χA ∈ ω(δ).
Suficiencia: Se χA ∈ w(δ) entao χ−1A {t ∈ L ; t � p} ∈ δ para cada p ∈ pr(L),
mas χ−1A {t ∈ L ; t � p} = A, logo, A ∈ δ. ¥
Proposicao 2.7 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Seja e ∈ L e f um
L-conjunto em 〈X, ω(δ)〉 definido por:
f(y) =
{e se y ∈ A0 se y /∈ A
Entao:
int(f)(y) =
{e se y ∈ int(A)0 se y /∈ int(A)
e f(y) =
{e se y ∈ A0 se y /∈ A
Demonstracao. Ver Kudri [12]. ¥
Definicao 2.28 [11, Kudri] Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e g ∈ LX . Di-
zemos que g e compacto se e somente se para cada p ∈ pr(L) e famılia {fj}j∈J
de L abertos tal que (∨j∈Jfj) (x) � p para todo x ∈ X com g(x) ≥ p′, existe um
subconjunto finito J1 de J tal que (∨j∈J1fj) (x) � p para todo x ∈ X com g(x) ≥ p′.
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 18
Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico, a funcao φ : T → P(X × pr(L)) definida
por φ(f) = {(x, p) ∈ X × pr(L) ; f(x) � p} determina uma L-topologia φ(T ) em
X × pr(L) [23].
Lema 2.1 [22, Warner e McLean] Seja 〈X,T 〉 um espaco L-topologico. Temos:
〈X, T 〉 e compacto se e somente se para cada p ∈ pr(L), X × {p} e compacto em
〈X × pr(L), φ(T )〉.
Demonstracao. Necessidade: Seja p ∈ pr(L) fixado. Seja {φ(fj)}j∈J uma cober-
tura aberta de X × {p}, isto e, fj ∈ T e X × {p} ⊂ ∪j∈Jφ(fj).
Seja x ∈ X, entao, existe i ∈ J tal que (x, p) ∈ φ(fi), isto e, fi(x) � p, logo,
(∨j∈Jfj) (x) � p. Pela compacidade de 〈X, T 〉, existe um subconjunto finito J1 de
J tal que (∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X.
Temos entao que X × {p} ⊂ ∪j∈J1φ(fj). De fato, para x ∈ X temos
(∨j∈J1fj) (x) � p, entao existe i ∈ J1 tal que fi(x) � p, ou seja, (x, p) ∈ φ(fi).
Suficiencia: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}j∈J uma famılia de L-abertos tal que
(∨j∈Jfj) (x) � p para cada x ∈ X.
Seja (x, p) ∈ X × {p}. Como x ∈ X, (∨j∈Jfj) (x) � p, entao existe i ∈ J tal que
fi(x) � p, isto e, (x, p) ∈ φ(fi), logo, X × {p} ∈ ∪j∈Jφ(fj). Pela compacidade de
X × {p} existe um subconjunto finito J1 de J tal que X × {p} ∈ ∪j∈J1φ(fj).
Segue que (∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X. De fato, para x ∈ X temos
X × {p} ∈ ∪j∈J1φ(fj), entao existe i ∈ J tal que (x, p) ∈ φ(fi), ou seja fi(x) � p.
Logo, (∨j∈J1fj) (x) � p. ¥
Teorema 2.4 [22, Warner e McLean] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao:
〈X, δ〉 e compacto se e somente se 〈X,ω(δ)〉 e compacto.
Demonstracao. Tendo em vista o lema anterior, mostraremos que: 〈X, δ〉 e com-
pacto se e somente se para cada p ∈ pr(L), X × {p} e compacto em
〈X × pr(L), φ(ω(δ))〉
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 19
Necessidade: Sejam p ∈ pr(L) e {φ(fj)}j∈J , fj ∈ ω(δ), uma cobertura aberta de
X ×{p}. Para cada j ∈ J considere os abertos Uj = {t ∈ L ; t � p}, entao, {Uj}j∈J
e uma cobertura aberta de X. De fato:
x ∈ X ⇒ (x, p) ∈ X × {p}
⇒ ∃j ∈ J ; (x, p) ∈ φ(fj)
⇒ fj(x) � p
⇒ x ∈ Uj
Pela compacidade de X, existe um subconjunto finito J1 de J tal que X ⊂∪j∈J1Uj. Segue que X × {p} ⊂ ∪j∈Jφ(fj). De fato:
(x, p) ∈ X × {p} ⇒ x ∈ X
⇒ ∃j ∈ J1; x ∈ Uj
⇒ fj(x) � p
⇒ (x, p) ∈ φ(fj)
Portanto, X × {p} e compacto em 〈X × pr(L), φ(ω(δ))〉.Suficiencia: Seja {Uj}j∈J uma cobertura aberta de X. Fixe p ∈ pr(L) e considere
os L-abertos fj = χUj. Temos entao que {φ(fj)}j∈J e uma cobertura aberta de
X × {p}. De fato:
(x, p) ∈ X × {p} ⇒ x ∈ X
⇒ ∃j ∈ J ; x ∈ Uj
⇒ fj(x) = 1 � p
⇒ (x, p) ∈ φ(fj)
Pela compacidade de X × {p}, existe um subconjunto finito J1 de J tal que
X × {p} ⊂ ∪j∈J1φ(fj). Segue que X ⊂ ∪j∈J1Uj. De fato:
x ∈ X ⇒ (x, p) ∈ X × {p}
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 20
⇒ ∃j ∈ J1; (x, p) ∈ φ(fj)
⇒ fj(x) � p
⇒ x ∈ Uj
Portanto, 〈X, δ〉 e compacto. ¥
Teorema 2.5 [11, Kudri] Sejam S uma subbase para a L-topologia T em X, e
g ∈ LX . Se para cada p ∈ pr(L) e cada familia {fj}j∈J de L-abertos subbasicos tais
que (∨j∈Jfj) (x) � p para todo x ∈ X com g(x) ≥ p′ existe um subconjunto finito J1
de J tal que (∨j∈J1fj) (x) � p para todo x ∈ X com g(x) ≥ p′, entao, g e compacto.
Demonstracao. Ver Kudri [11]. ¥
Teorema 2.6 Seja 〈X,T 〉 um espaco L-topologico. Se h ∈ LX e tal que supp(h) e
finito, entao h e compacto.
Demonstracao. Ver Kudri [12].
Teorema 2.7 Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Se h, g ∈ LX sao compactos
entao h ∨ g e compacto.
Demonstracao. Ver Kudri [12].
Teorema 2.8 [12, Kudri] Sejam 〈X,TX〉 e 〈Y, TY 〉 espacos L-topologicos. Se
f : X → Y e uma funcao contınua e χA e um L-conjunto compacto em X entao
f(χA) e um L-conjunto compacto em Y .
Demonstracao. Observe inicialmente que f(χA) = χf(A). Seja p ∈ pr(L) e seja
{fj}j∈J uma famılia de L-abertos tal que (∨j∈Jfj) (y) � p para cada y ∈ Y com
χf(A)(y) ≥ p′, isto e, y ∈ f(A).
Considere a famılia {gj}j∈J , onde cada gj = f−1(fj) e um L-aberto pela conti-
nuidade de f . Seja x ∈ X com χA(x) ≥ p′, isto e, x ∈ A, entao y = f(x) ∈ f(A),
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 21
logo (∨j∈Jfj) (y) � p. Mas fj(y) = fj(f(x)) = f−1(fj)(x), logo (∨j∈Jgj) (x) � p
para cada x ∈ A.
Pela compacidade de χA existe um subconjunto finito J1 de J tal que
(∨j∈J1gj) (x) � p para cada x ∈ A. Segue que (∨j∈Jfj) (y) � p para cada y ∈ f(A),
isto e, y ∈ Y e χf(A)(y) ≥ p′. De fato, seja y ∈ f(A), entao y = f(x) para algum
x ∈ A. Temos entao que (∨j∈Jgj) (x) � p, ou seja, (∨j∈Jfj) (y) � p. ¥
Definicao 2.29 [4, Gantner et al.] Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico, A ⊂ X
e TA ={f |A ∈ LA ; f ∈ T
}. Dizemos neste caso que 〈A, TA〉 e um subespaco de
〈X, T 〉.
Teorema 2.9 [12, Kudri] Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e D ⊂ X. Entao:
χD e compacto se e somente se o subespaco 〈D, TD〉 e compacto.
Demonstracao. Necessidade: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}j∈J uma famılia de L-abertos
tais que (∨j∈Jfj) (x) � p para cada x ∈ D. Para cada j ∈ J , seja f ∗j ∈ T tal que
fj = f ∗j |D. Entao a famılia{f ∗j
}j∈J
e tal que(∨j∈Jf ∗j
)(x) � p para cada x ∈ X
com χD(x) ≥ p′ pois χD(x) ≥ p′ ⇔ x ∈ D.
Sendo χD compacto, existe um subconjunto finito J1 de J tal que(∨j∈J1f
∗j
)(x) � p para cada x ∈ X com χD(x) ≥ p′. Entao (∨j∈J1fj) (x) � p
para cada x ∈ D. Portanto 〈D, TD〉 e compacto.
Suficiencia: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}j∈J uma famılia de L-abertos tais que
(∨j∈Jfj) (x) � p para cada x ∈ X com χD(x) ≥ p′. Para cada j ∈ J seja gj = fj|D,
entao cada gj ∈ TD e a famılia {gj}j∈J e tal que (∨j∈Jgj) (x) � p para cada x ∈ D
pois χD(x) ≥ p′ ⇔ x ∈ D.
Sendo 〈D,TD〉 compacto, existe um subconjunto finito J1 de J tal que
(∨j∈Jgj) (x) � p para cada x ∈ D. Entao (∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X
com χD(x) ≥ p′. Portanto χD e compacto. ¥
Teorema 2.10 [12, Kudri] Seja {〈Xj, Tj〉}j∈J uma famılia de espacos L-topologicos
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 22
e seja X o L-espaco produto. Entao: X e compacto se e somente se para cada j ∈ J ,
Xj e compacto.
Demonstracao. Ver Kudry [12]. ¥
Definicao 2.30 [22, Warner e McLean] Um espaco L-topologico 〈X,T 〉 e Hausdorff
se e somente se para cada p, q ∈ pr(L) e cada x 6= y em X, existem f, g ∈ T tais
que f(x) � p, g(y) � q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para cada z ∈ X.
Teorema 2.11 [22, Warner e McLean] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao:
〈X, δ〉 e Hausdorff se e somente se 〈X,ω(δ)〉 e Hausdorff.
Demonstracao. Necessidade: Sejam p, q ∈ pr(L) e x 6= y em X. Sendo 〈X, δ〉Hausdorff, existem U, V ∈ δ tais que x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V = ∅. Seja f = χU e
g = χV , entao f, g ∈ ω(δ), f(x) = 1 � p, g(y) = 1 � q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para
cada z ∈ X.
Suficiencia: Seja x 6= y em X. Fixe p ∈ pr(L). Sendo 〈X, ω(δ)〉 Hausdorff,
existem f, g ∈ T tais que f(x) � p, g(y) � q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para cada
z ∈ X. Sejam S = {t ∈ pr(L) ; t � p}, U = f−1(S) e U = g−1(S). Entao U, V ∈ δ,
x ∈ U , y ∈ V e U ∩ V = ∅. ¥
Teorema 2.12 [12, Kudri] Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Se g ∈ LX e com-
pacto e f ∈ LX e L-fechado, entao f ∧ g e compacto.
Demonstracao. Sejam p ∈ pr(L) e H uma famılia de L-abertos tais que
(∨h∈Hh) (x) � p para cada x ∈ X com (f ∧ g)(x) ≥ p′. Seja F = H ∪ {f ′},entao (∨h∈Fh) (x) � p para cada x ∈ X com g(x) ≥ p′. De fato, seja x ∈ X com
g(x) ≥ p′, entao:
f(x) ≥ p′ ⇒ (f ∧ g)(x) ≥ p′
⇒ (∨h∈Hh) (x) � p
⇒ (∨h∈Fh) (x) � p
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 23
ou
f(x) � p′ ⇒ f ′(x) � p
⇒ (∨h∈Fh) (x) � p
Sendo g compacto, existe um subconjunto finito U de F tal que (∨h∈Uh) (x) � p
para cada x ∈ X com g(x) ≥ p′. Suponha U = {h1, · · · , hn, f′}, entao
(∨ni=1hi) (x) � p para cada x ∈ X com (f ∧ g)(x) ≥ p′. De fato, seja x ∈ X
com (f ∧ g)(x) ≥ p′, entao g(x) ≥ p′ e f(x) ≥ p′. Logo (∨h∈Uh) (x) � p e f ′(x) ≤ p.
Segue que existe h ∈ U tal que h(x) � p e que h 6= f ′. Portanto (∨ni=1hi) (x) � p e
f ∧ g e compacto. ¥
Corolario 2.1 [12, Kudri] Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Se g ∈ LX e com-
pacto e f e um L-conjunto fechado tal que f ≤ g, entao, f e compacto.
Demonstracao. Segue do teorema 2.12. ¥
Teorema 2.13 [11, Kudri] Seja 〈X,T 〉 um espaco L-topologico, Hausdorff. Se F ⊂X e tal que χF e compacto, entao χF e L-fechado.
Demonstracao. Ver Kudri [11]. ¥
Definicao 2.31 [17, Pu e Liu] Um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e dito totalmente
estratificado se e somente se cada L-conjunto constante e L-aberto.
Teorema 2.14 [12, Kudri] Seja 〈X,T 〉 um espaco L-topologico, totalmente estra-
tificado e Hausdorff. Seja D ⊂ X, entao o subespaco 〈D, TD〉 e totalmente estrati-
ficado e Hausdorff.
Demonstracao. Seja f ∈ LD um L-conjunto constante, digamos f(x) = c para
cada x ∈ D. Sendo 〈X, T 〉 totalmente estratificado, a funcao g definida por g(y) = c
para cada y ∈ Y e um L-aberto. Como g|D = f , temos que f ∈ TD. Logo, 〈D, TD〉e totalmente estratificado.
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 24
Sejam x 6= y em D ⊂ X e p, q ∈ pr(L). Como 〈X, T 〉 e Hausdorff, existem
f, g ∈ T tais que f(x) � p, g(y) � q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0 para cada z ∈ X.
Entao f |D, g|D ∈ TD sao tais que f |D(x) � p, g|D(y) � q, e, f(z) = 0 ou g(z) = 0
para cada z ∈ D. Logo, 〈D, TD〉 e Hausdorff. ¥
Definicao 2.32 [13, Lowen] Dizemos que um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e topolo-
gicamente gerado se e somente se existe uma topologia δ em X tal que T = ω(δ).
Teorema 2.15 [22, Warner e McLean] Se 〈X, T 〉 e um espaco L-topologico, total-
mente estratificado, compacto e Hausdorff, entao e topologicamente gerado.
Demonstracao. Ver Warner e McLean [22]. ¥
Definicao 2.33 [12, Kudri] Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e g ∈ LX . Di-
zemos que g e Lindelof se e somente se para cada p ∈ pr(L) e famılia {fj}j∈J de
L-abertos tal que (∨j∈Jfj) (x) � p para cada x ∈ X com g(x) ≥ p′; existe um
subconjunto enumeravel J1 de J tal que (∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X com
g(x) ≥ p′.
Teorema 2.16 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao: 〈X, δ〉 e Lin-
delof se e somente se 〈X, ω(δ)〉 e Lindelof.
Demonstracao. Necessidade: Sejam p ∈ pr(L) e {fj}j∈J uma famılia de
L-abertos tal que (∨j∈Jfj) (x) � p para cada x ∈ X. Considere os conjuntos
Uj = f−1j {t ∈ L ; t � p}, entao, cada Uj ∈ δ e a famılia {Uj}j∈J e uma cobertura
aberta de X. De fato:
x ∈ X ⇒ (∨j∈Jfj) (x) � p
⇒ ∃j ∈ J ; fj(x) � p
⇒ x ∈ Uj
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 25
Sendo 〈X, δ〉 Lindelof, existe um subconjunto enumeravel J1 de J tal que
X ⊂ ∪j∈J1Uj. Segue que (∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X. De fato:
x ∈ X ⇒ ∃j ∈ J1; x ∈ Uj
⇒ fj(x) � p
⇒ (∨j∈Jfj) (x) � p
Portanto, 〈X,ω(δ)〉 e Lindelof.
Suficiencia: Seja {Uj}j∈J uma cobertura aberta de X. Fixe p ∈ pr(L) e considere
os L-abertos fj = χUj, entao a famılia {fj}j∈J e tal que (∨j∈Jfj) (x) � p para cada
x ∈ X. De fato:
x ∈ X ⇒ ∃j ∈ J1; x ∈ Uj
⇒ fj(x) = 1 � p
⇒ (∨j∈Jfj) (x) � p
Sendo 〈X, ω(δ)〉 Lindelof, existe um subconjunto enumeravel J1 de J tal que
(∨j∈J1fj) (x) � p para cada x ∈ X. Segue que X ⊂ ∪j∈J1Uj. De fato:
x ∈ X ⇒ (∨j∈J1fj) (x) � p
⇒ ∃j ∈ J1; fj(x) � p
⇒ x ∈ Uj
Portanto, 〈X, δ〉 e Lindelof. ¥
Definicao 2.34 [12, Kudri] Um espaco L-topologico 〈X,T 〉 e regular se e somente
se para cada x ∈ X, cada p ∈ pr(L), e cada L-conjunto fechado f tal que f(x) = 0
e f(y0) ≥ p′ para algum y0 ∈ X, existem u, v ∈ T com u(x) � p, v(z) � p para cada
z ∈ X com f(z) ≥ p′, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z ∈ X.
Teorema 2.17 [22, Warner e McLean] Seja 〈X, δ〉 um espaco L-topologico. Entao:
〈X, δ〉 e regular se e somente se 〈X,ω(δ)〉 e regular.
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 26
Demonstracao. Necessidade: Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f um L-conjunto fechado
em 〈X,ω(δ)〉 tal que f(x) = 0 e existe y0 ∈ X com f(y0) ≥ p′.
Sendo f um L-conjunto fechado temos que F = f−1 {t ∈ L ; t ≥ p′} e fechado
em 〈X, δ〉, e F 6= ∅ pois y0 ∈ F . Como 〈X, δ〉 e regular temos que existem U, V ∈ δ
tais que x ∈ U , F ⊂ V e U ∩ V = ∅.Seja u = χU e v = χV , entao u, v ∈ ω(δ), u(x) = 1 � p e v(y) � p para cada
y ∈ X com f(y) ≥ p′ pois
f(y) ≥ p′ ⇒ y ∈ F ⇒ y ∈ V ⇒ v(y) = 1 � p.
Tambem temos que u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z ∈ X. De fato, se z ∈ X e
u(z) 6= 0 entao z ∈ U , logo z /∈ V pois U ∩ V = ∅. Segue que v(z) = 0.
Portanto 〈X,ω(δ)〉 e regular.
Suficiencia: Seja x ∈ X e F ⊂ X um fechado nao vazio em 〈X, δ〉 tal que x /∈ F .
Seja p ∈ pr(L) fixado.
Seja f ∈ LX definida por:
f(y) =
{p′ se y ∈ F0 se y /∈ F
Como F 6= ∅ existe y0 ∈ F , logo f(y0) = p′. Tambem temos que f e L-fechado
em 〈X,ω(δ)〉 pois para cada q ∈ pr(L) temos
f−1 {t ∈ L ; t ≥ q′} =
{F se p′ ≥ q′
∅ se p′ � q′
Pela regularidade de 〈X,ω(δ)〉 existem u, v ∈ 〈X,ω(δ)〉 tais que u(x) � p,
v(y) � p para cada y ∈ X com f(y) ≥ p′, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada
z ∈ X.
Seja U = u−1 {t ∈ L ; t � p} e V = v−1 {t ∈ L ; t � p}, entao U, V ∈ δ, x ∈ U
pois u(x) � p e F ⊂ V pois
y ∈ F ⇒ f(y) = p′ ⇒ v(y) � p ⇒ y ∈ V.
Tambem temos que U ∩ V = ∅. De fato, se z ∈ U entao u(z) � p logo v(z) = 0,
isto e, z /∈ V .
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 27
Portanto 〈X, δ〉 e regular. ¥
Teorema 2.18 [11, Kudri] Se 〈X, T 〉 e um espaco L-topologico compacto e Haus-
dorff entao 〈X, T 〉 e regular.
Demonstracao. Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f um L-conjunto fechado tal que
f(x) = 0 e existe y0 ∈ X com f(y0) ≥ p′. Mostraremos que existem u, v ∈ T tais
que u(x) � p, v(y) � p para cada y ∈ X com f(y) ≥ p′, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0
para cada z ∈ X.
Seja F = {t ∈ X ; f(t) ≥ p′}, entao F 6= ∅ pois y0 ∈ F e x /∈ F pois f(x) = 0 e
p′ 6= 0.
Como 〈X, T 〉 e Hausdorff, para cada y ∈ F existem fy, gy ∈ T tais que fy(x) � p,
gy(y) � p, e, fy(z) = 0 ou gy(z) = 0 para cada z ∈ X.
Seja A = {gy}y∈F . Entao (∨h∈Ah) (z) � p para cada z ∈ X tal que f(z) ≥ p′. De
fato, se z ∈ X e f(z) ≥ p′ entao z ∈ F e gz(z) � p.
Sendo f um L-fechado e 〈X, T 〉 compacto, pelo corolario 2.1 f e compacto. Por-
tanto existe um subconjunto finito B = {gy1 , · · · , gyk} de A tal que (∨h∈Bh) (z) � p
para cada z ∈ F .
Seja u = ∧ki=1fyi
e v = ∨ki=1gyi
, entao u, v ∈ T , u(x) � p pois fyi(x) � p para
cada i = 1, · · · , k, v(y) � p para cada y ∈ F pois v(y) =(∨k
i=1gyi
)(y) � p. Tambem
temos que u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z ∈ X. De fato, se z ∈ X e u(z) 6= 0
entao fyi(z) 6= 0 para cada i = 1, · · · , k, logo gyi
(z) = 0 para cada i = 1, · · · , k e
v(z) = 0.
Portanto 〈X,T 〉 e regular. ¥
O proximo lema e um resultado simples que sera usado em algumas demons-
tracoes no proximo capıtulo sem nos referirmos a ele.
Lema 2.2 [12, Kudri] Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao: K ⊂ X e compacto
em 〈X, δ〉 se e somente se χK e compacto em 〈X,ω(δ)〉.
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 28
Demonstracao. Necessidade: Seja p ∈ pr(L) e {fj}j∈J uma famılia de L-abertos
tal que (∨j∈Jfj) (x) � p para todo x ∈ X com χK(x) ≥ p′. Defina para cada j ∈ J
o aberto Uj = f−1 {t ; t � p}. Temos entao que a famılia {Uj}j∈J e uma cobertura
aberta de K. De fato:
y ∈ K ⇒ y ∈ X e χK(y) ≥ p′
⇒ (∨j∈Jfj) (y) � p
⇒ ∃j ∈ J ; fj(y) � p
⇒ y ∈ Uj
Sendo K compacto, existe um subconjunto finito J1 de J tal que K ⊂ ∪j∈J1Uj.
Segue que (∨j∈J1fj) (x) � p para todo x ∈ X com χK(x) ≥ p′. De fato:
y ∈ X e χK(y) ≥ p′ ⇒ y ∈ K
⇒ ∃j ∈ J1; y ∈ Uj
⇒ fj(y) � p
⇒ (∨j∈J1fj) (y) � p
Portanto χK e compacto.
Suficiencia: Seja {Uj}j∈J uma cobertura aberta de K. Para cada j ∈ J con-
sidere o L-aberto fj definido por fj = χUj. Entao a famılia {fj}j∈J e tal que
(∨j∈Jfj) (x) � p para todo x ∈ X com χK(x) ≥ p′. De fato:
y ∈ X e χK(y) ≥ p′ ⇒ y ∈ K
⇒ ∃j ∈ J ; y ∈ Uj
⇒ fj(y) � p
⇒ (∨j∈Jfj) (y) � p
Pela compacidade de χK existe um subconjunto finito J1 de J tal que
(∨j∈J1fj) (x) � p para todo x ∈ X com χK(x) ≥ p′. Segue que K ⊂ ∪j∈J1Uj.
CAPITULO 2. TEORIA BASICA 29
De fato:
y ∈ K ⇒ y ∈ X e χK(y) ≥ p′
⇒ (∨j∈J1fj) (y) � p
⇒ ∃j ∈ J1; fj(y) � p
⇒ y ∈ Uj
Portanto K e compacto. ¥
Capıtulo 3
Compacidade Local
Neste capıtulo trataremos da propriedade de compacidade local. Em topologia geral
existem tres modos de se definir compacidade local, equivalentes entre si em espacos
de Hausdorff. Vamos chamar aqui de compacidade local, compacidade local fraca e
compacidade local relativa, ver definicoes 2.1, 2.2 e 2.3.
As duas primeiras formas foram generalizadas para espacos L-topologicos por
Kudri em [9] e [10] atraves de L-conjuntos muito compactos. Um L-conjunto k e
muito compacto se e somente se e da forma:
k(y) =
{b y ∈ D0 y /∈ D
com χD compacto.
Definicao 3.1 [9] Um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e localmente compacto se e so-
mente se para cada x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ T tal que f(x) � p existem g ∈ T e
k ∈ LX muito compacto tais que g(x) � p e g ≤ k ≤ f .
Definicao 3.2 [9] Um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e fracamente localmente compacto
se e somente se para cada x ∈ X e p ∈ pr(L) existem g ∈ T e k ∈ LX muito
compacto tais que g(x) � p e g ≤ k.
Em [10] Kudri mostrou a equivalencia destas duas propriedades em espacos de
Hausdorff. Faltava ainda uma definicao para espacos relativamente localmente com-
pactos equivalente a estas em espacos de Hausdorff.
30
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 31
Em anotacoes feitas por Kudri e Aygun foi proposta uma boa definicao para
espacos relativamente localmente compactos. O que fazemos aqui, na primeira secao,
e redefinir as propriedades de compacidade local e compacidade local fraca nos mol-
des da definicao de Kudri e Aygun para compacidade local relativa. A segunda
secao e dedicada aos resultados obtidos destas propriedades: a invariancia por so-
brejecoes contınuas e abertas, equivalencias em espacos de Hausdorff, regularidade
em espacos de Hausdorff, teoremas de compactificacao por um ponto e teoremas
sobre a compacidade local do L-espaco produto.
3.1 Compacidade local
Definicao 3.3 Um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e localmente compacto se e somente
se para cada x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ T tal que f(x) � p, existem g ∈ T e k ∈ LX ,
com χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p e g ≤ k ≤ f .
Teorema 3.1 Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao: 〈X, δ〉 e localmente com-
pacto se e somente se 〈X, ω(δ)〉 e localmente compacto.
Demonstracao. Necessidade: Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ ω(δ) tal que f(x) � p.
Seja h ∈ ω(δ) um L-conjunto aberto basico tal que h(x) � p e h ≤ f , definido por:
h(y) =
{e se y ∈ V ∈ δ0 se y /∈ V
Como 〈X, δ〉 e localmente compacto, existem U ∈ δ e um subconjunto compacto
J de X tais que x ∈ U e U ⊂ J ⊂ V .
Sejam g ∈ ω(δ) e k ∈ LX definidos por:
g(y) =
{e se y ∈ U ∈ δ0 se y /∈ U
k(y) =
{e se y ∈ J ∈ δ0 se y /∈ J
Entao g(x) � p, g ≤ k ≤ h ≤ f e χsupp(k) = χJ e compacto pois J e compacto.
Logo, 〈X, ω(δ)〉 e localmente compacto.
Suficiencia: Sejam x ∈ X e V ∈ δ tal que x ∈ V . Fixe p ∈ pr(L). Como
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 32
〈X, ω(δ)〉 e localmente compacto, para f = χV , existem g ∈ ω(δ) e k ∈ LX , com
χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p e g ≤ k ≤ f .
Sejam U = g−1 {t ∈ L ; t � p} e K = supp(k), entao, U ∈ δ, x ∈ U , U ⊂ K ⊂ V
e K e um subconjunto compacto de X pois χsupp(k) e compacto. Logo, 〈X, δ〉 e
localmente compacto. ¥
Definicao 3.4 Um espaco L-topologico 〈X, T 〉 e fracamente localmente compacto
se e somente se para cada x ∈ X e p ∈ pr(L) existem f ∈ T e k ∈ LX , com χsupp(k)
compacto, tais que f(x) � p e f ≤ k.
Teorema 3.2 Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao: 〈X, δ〉 e fracamente local-
mente compacto se e somente se 〈X, ω(δ)〉 e fracamente localmente compacto.
Demonstracao. Necessidade: Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como 〈X, δ〉 e fracamente
localmente compacto, existem U ∈ δ e um subconjunto compacto J de X tais que
x ∈ U e U ⊂ J .
Sejam g = χU e K = χJ , entao g ∈ ω(δ), g(x) � p, g ≤ k e χsupp(k) = χJ e
compacto pois J e compacto. Logo, 〈X, ω(δ)〉 e fracamente localmente compacto.
Suficiencia: Seja x ∈ X e fixe p ∈ pr(L). Como 〈X,ω(δ)〉 e fracamente localmente
compacto existem g ∈ ω(δ) e k ∈ LX , com χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p e
g ≤ k.
Sejam V = g−1 {t ∈ L ; t � p} e K = supp(k), entao, V ∈ δ, x ∈ V , V ⊂ K
e K e um subconjunto compacto de X pois χsupp(k) e compacto. Logo, 〈X, δ〉 e
fracamente localmente compacto. ¥
Definicao 3.5 Um espaco L-topologico 〈X,T 〉 e relativamente localmente compacto
se e somente se para cada x ∈ X e p ∈ pr(L) existe f ∈ T , com χsupp(f) compacto,
tal que f(x) � p.
Teorema 3.3 Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico. Entao: 〈X, δ〉 e relativamente lo-
calmente compacto se e somente se 〈X,ω(δ)〉 e relativamente localmente compacto.
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 33
Demonstracao. Necessidade: Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como 〈X, δ〉 e relativa-
mente localmente compacto existe V ∈ δ, com V compacto, tal que x ∈ V . Seja
f = χV , entao f(x) = 1 � p. Temos ainda que f = χV , logo supp(f) = V e
compacto, portanto χsupp(f) e compacto.
Suficiencia: Seja x ∈ X e fixe p ∈ pr(L). Como 〈X, ω(δ)〉 e relativamente
localmente compacto existe f ∈ ω(δ) tal que f(x) � p, com χsupp(f) compacto, logo
supp(f) e compacto. Seja g ∈ LX Um L-conjunto aberto basico tal que g(x) � p e
g ≤ f , definido por:
g(y) =
{e se y ∈ V ∈ δ0 se y /∈ V
Como g ≤ f e
g(y) =
{e se y ∈ V0 se y /∈ V
temos que g ≤ f e V = supp(g) ⊂ supp(f), logo, V e compacto pois e fechado e
supp(f) e compacto. ¥
3.2 Propriedades
Teorema 3.4 Seja 〈X, TX〉 um espaco L-topologico localmente compacto e seja
〈Y, TY 〉 um espaco L-topologico. Se h : X → Y e uma sobrejecao contınua e aberta
entao 〈Y, TY 〉 e localmente compacto.
Demonstracao. Sejam y ∈ Y , com y = h(x), p ∈ pr(L) e f ∈ TY tal que f(y) � p.
Seja j = h−1(f) entao j ∈ TX , pois h contınua, e j(x) = f(y) � p. Como 〈X, TX〉 e
localmente compacto existem i ∈ TX e c ∈ LX , χsupp(c) compacto, tais que i(x) � p
e i ≤ c ≤ j.
Sejam g = h(j) e k = h(c). Entao g ∈ TY , pois h e aberta, e g ≤ k ≤ f ,
pois i ≤ c ≤ j. Como h e contınua e χsupp(c) e compacto temos que h(χsupp(c)) e
compacto, teorema 2.8. Mas:
h(χsupp(c)) = χh(supp(c)) = χsupp(h(c)) = χsupp(k)
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 34
Portanto, 〈Y, TY 〉 e localmente compacto. ¥
Teorema 3.5 Seja 〈X,TX〉 um espaco L-topologico fracamente localmente compacto
e seja 〈Y, TY 〉 um espaco L-topologico. se h : X → Y e uma sobrejecao contınua e
aberta entao 〈Y, TY 〉 e fracamente localmente compacto.
Demonstracao. Sejam y ∈ Y , com y = h(x), e p ∈ pr(L). Como 〈X, TX〉 e
fracamente localmente compacto existem i ∈ TX e c ∈ LX , com χsupp(c) compacto,
tais que i(x) � p e i ≤ c.
Sejam g = h(j) e k = h(c). Entao g ∈ TY , pois h e aberta, e g ≤ k, pois i ≤ c.
Como h e contınua e χsupp(c) e compacto temos que h(χsupp(c)) e compacto, 2.8. Mas:
h(χsupp(c)) = χh(supp(c)) = χsupp(h(c)) = χsupp(k)
Portanto, 〈Y, TY 〉 e fracamente localmente compacto. ¥
Teorema 3.6 Seja 〈X, TX〉 um espaco L-topologico relativamente localmente com-
pacto e seja 〈Y, TY 〉 um espaco L-topologico. Se h : X → Y e uma sobrejecao
contınua e aberta tal que h(g) ≤ h(g) para cada g ∈ LX , entao, 〈Y, TY 〉 e relativa-
mente localmente compacto.
Demonstracao. Sejam y ∈ Y , com y = h(x), e p ∈ pr(L). Como 〈X, TX〉 e
relativamente localmente compacto existe g ∈ TX , com χsupp(g) compacto, tal que
g(x) � p. Seja f = h(g) entao f(x) � p, f ∈ TY pois h e aberta, e h(χsupp(g)) e
compacto pois h e contınua. Mas:
h(χsupp(g)) = χh(supp(g)) = χsupp(h(g)) = χsupp(h(g)) = χsupp(f))
onde usamos o teorema 2.3 e o fato de h(g) ≤ h(g).
Portanto, 〈Y, TY 〉 e relativamente localmente compacto. ¥
Teorema 3.7 Se 〈X,T 〉 e um espaco L-topologico localmente compacto entao e fra-
camente localmente compacto.
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 35
Demonstracao. Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como 〈X, T 〉 e localmente compacto,
para f = X, existem g ∈ T e k ∈ LX , com χsupp(k) compacto, tal que g(x) � p e
g ≤ k ≤ f . Logo 〈X,T 〉 e fracamente localmente compacto. ¥
Teorema 3.8 Se 〈X, T 〉 e um espaco L-topologico compacto Hausdorff totalmente
estratificado, entao 〈X,T 〉 e localmente compacto.
Demonstracao. Sendo 〈X,T 〉 compacto Hausdorff totalmente estratificado, e to-
pologicamente gerado, teorema 2.15, logo existe uma topologia δ em X tal que
T = ω(δ). Pelos teoremas 2.4 e 2.11, 〈X, δ〉 e um espaco topologico compacto e
Hausdorff, logo e localmente compacto. Segue do teorema 3.1 que 〈X, T 〉 e local-
mente compacto. ¥
Teorema 3.9 Se 〈X, T 〉 e um espaco L-topologico fracamente localmente compacto
totalmente estratificado Hausdorff entao e localmente compacto.
Demonstracao. Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e f ∈ T tal que f(x) � p. Vamos mostrar
que existem g ∈ T e k ∈ LX , com χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p e g ≤ k ≤ f .
Como 〈X, T 〉 e fracamente localmente compacto existem i ∈ T e j ∈ LX , com
χsupp(j) compacto, tais que i(x) � p e i ≤ j. Seja D = supp(j). Como χsupp(j)
e compacto e 〈X,T 〉 e Hausdorff totalmente estratificado, o subespaco 〈D, TD〉 e
um espaco L-topologico compacto totalmente estratificado e Hausdorff. Entao, pelo
teorema 3.8, 〈D, TD〉 e localmente compacto. Logo, para fD = f |D, existem hD ∈ TD
e c ∈ LD, com χsupp(c) compacto, tais que hD ≤ cD ≤ fD e hD(x) � p.
Seja h ∈ T tal que h|D = hD e defina k ∈ LX por
k(y) =
{cD(y) if y ∈ D0 if y /∈ D
entao, h(x) � p e χsupp(k) e compacto pois supp(k) = supp(cD).
Seja g = h ∧ i, entao g ∈ T e g(x) � p. Tambem temos que g ≤ k ≤ f . De fato,
se y ∈ D entao g(y) ≤ h(y) ≤ k(y) ≤ f(y) pois hD ≤ cD ≤ fD, e se y /∈ D entao
i(y) = 0 e k(y) = 0, logo g(y) = 0 = k(y) ≤ f(y). ¥
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 36
Teorema 3.10 Se 〈X,T 〉 e um espaco L-topologico relativamente localmente com-
pacto entao 〈X, T 〉 e fracamente localmente compacto.
Demonstracao. Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como 〈X,T 〉 e relativamente local-
mente compacto existe g ∈ T , com χsupp(g) compacto, tal que g(x) � p. Como g ≤ g
temos que 〈X,T 〉 e fracamente localmente compacto. ¥
Teorema 3.11 Seja 〈X, T 〉 um espaco L-topologico fracamente localmente com-
pacto Hausdorff tal que χsupp(f) = χsupp(f), entao 〈X, T 〉 e relativamente localmente
compacto.
Demonstracao. Sejam x ∈ X e p ∈ pr(L). Como 〈X, T 〉 e fracamente localmente
compacto existem f ∈ T e k ∈ LX , com χsupp(k) compacto, tal que f(x) � p e
f ≤ k. Como χsupp(k) e compacto em um espaco de Hausdorff, e L-fechado, ver
teorema 2.13, entao, χsupp(k) = χsupp(k). Como f ≤ k, χsupp(f) ≤ χsupp(k), entao,
χsupp(f) ≤ χsupp(k), logo χsupp(f) e compacto pois e fechado e χsupp(k) e compacto, ver
corolario 2.1. Mas χsupp(f) = χsupp(f), entao χsupp(f) e compacto. Portanto 〈X, T 〉 e
relativamente localmente compacto. ¥
Teorema 3.12 Seja {Xj}j∈J um famılia de espacos L-topologicos totalmente estra-
tificados. Entao: O L-espaco produto∏
j∈J Xj e localmente compacto se e somente
se Xj e localmente compacto para cada j ∈ J e Xj e compacto para cada j ∈ J − J1
onde J1 e um subconjunto finito de J .
Demonstracao. Seja X =∏
j∈J Xj.
Necessidade: Como a j-esima projecao, πj : X → Xj, e uma funcao sobrejetora
aberta contınua e X e localmente compacto, pelo teorema 3.4, Xj e localmente
compacto para cada j ∈ J . Sejam p ∈ pr(L), x ∈ X e f um L-conjunto aberto
em X com f(x) � p. Entao pela compacidade local de X, existem um L-conjunto
aberto g em X e um L-conjunto k em X, com χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p
e g ≤ k ≤ f .
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 37
Seja ∧mi=1π
−1ji
(gji) um L-conjunto aberto basico tal que
∧mi=1π
−1ji
(gji) ≤ g ≤ k ≤ f.
Entao
χsupp(k) ≥ χsupp(∧mi=1π−1
ji(gji
))
= χ∩mi=1supp(π−1
ji(gji
))
= ∧mi=1χsupp(π−1
ji(gji
))
= ∧mi=1π
−1ji
(χsupp(gji))
Logo πj(χsupp(k)) ≥ πj(∧mi=1π
−1ji
(χsupp(gji))) = Xj para todo j ∈ J − J1, onde
J1 = {j1, · · · , jm}, ou seja, πj(χsupp(k)) = Xj. Como πj e contınua e χsupp(k) e
compacto em X temos pelo teorema 2.8 que Xj e compacto para cada j ∈ J − J1.
Suficiencia: Sejam p ∈ pr(L), x ∈ X e f = ∧mi=1π
−1ji
(fji) um L-aberto basico
em X tal que f(x) � p onde fjie um L-aberto em Xj. Podemos assumir que
{j1, · · · , jm} contem os ındices ji ∈ J1 onde Xjinao e compacto, caso contrario,
g = f ∧ (∧j∈J1π−1j (fj)
)e um L-aberto basico em X com g(x) � p.
Como f(x) � p temos que fji(xji
) � p para cada i ∈ {1, · · · ,m}. Da compacidade
local de cada Xji, existem L-abertos gji
em Xjie L-conjuntos kji
em Xji, com
χsupp(kji) compacto, tais que gji
(xji) � p e gji
≤ kji≤ fji
.
Sejam g = ∧mi=1π
−1ji
(gji) e k = ∧m
i=1π−1ji
(kji), entao, g e um L-aberto em X,
g ≤ k ≤ f e
g(x) = ∧mi=1π
−1ji
(gji)(x) = ∧m
i=1gji(xji
) � p
Tambem temos
χsupp(k) = χsupp(∧mi=1π−1
ji(kji
)) = ∧mi=1π
−1ji
(χsupp(kji)) = ∧j∈Jπ−1
j (wj)
onde wji= χsupp(kji
) para i ∈ {1, · · · , m} e wj = Xj para j /∈ {j1, · · · , jm}. Entao
χsupp(k) e um L-conjunto compacto em X pelo teorema 2.10, pois χsupp(kji) e com-
pacto para cada i ∈ {1, · · · ,m} e Xj e compacto para cada j /∈ {j1, · · · , jm}. ¥
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 38
Teorema 3.13 Seja {Xj}j∈J uma famılia de espacos L-topologicos totalmente es-
tratificado. Entao: O espaco L-topologico produto∏
j∈J Xj e fracamente localmente
compacto se e somente se Xj e fracamente localmente compacto para cada j ∈ J e
Xj e compacto para cada j ∈ J − J1 onde J1 e um subconjunto finito de J .
Demonstracao. A demonstracao e analoga a do teorema 3.12, entao daremos
apenas uma ideia da demonstracao. Seja X =∏
j∈J Xj.
Necessidade: A compacidade local de cada Xj e do teorema 3.5. Para o restante
basta usar a compacidade local fraca para obter um L-aberto g in X e um L-conjunto
k em X, com χsupp(k) compacto, tais que g(x) � p e g ≤ k.
Suficiencia: Para p ∈ pr(L) e x ∈ ∏j∈J Xj usar a compacidade local fraca de Xj,
j ∈ J1 = {j1, · · · jm} onde J1 e o conjunto de ındices onde Xj nao e compacto, para
obter L-abertos gjiem X e L-conjuntos kji
em X, com χsupp(kji) compactos, tais que
gji(xji
) � p e gji≤ kji
. Para o restante da demonstracao fazer g = ∧mi=1π
−1jli
(gji) e
k = ∧mi=1π
−1ji
(kji). ¥
Teorema 3.14 Se 〈X, T 〉 e um espaco L-topologico fracamente localmente compacto
e Hausdorff entao 〈X, T 〉 e regular.
Demonstracao. Sejam x ∈ X, p ∈ pr(L) e h um L-conjunto fechado tal que
h(x) = 0 e existe y0 ∈ X com h(y0) ≥ p′.
Vamos mostrar que existem u, v ∈ T tais que u(x) � p, v(y) � p para cada y ∈ X
com h(y) ≥ p′, e, u(z) = 0 ou v(z) = 0 para cada z ∈ X.
Pela compacidade local fraca de 〈X,T 〉 existem f ∈ T e k ∈ LX , com χsupp(k)
compacto, tais que f(x) � p e f ≤ k. Seja D = supp(k), entao:
(1) Como f(x) � p e f ≤ k temos que k(x) 6= 0, logo x ∈ D.
(2) Como f ≤ k e k(z) = 0 para z ∈ Dc temos que f(z) = 0 para z ∈ Dc.
(3) Como χD e compacto e 〈X,T 〉 e Hausdorff temos que χD e um L-fechado,
teorema 2.13. Logo, χ′D = χDc e um L-aberto.
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 39
Sendo χD compacto e 〈X,T 〉 Hausdorff, o espaco L-topologico 〈D, TD〉 e com-
pacto e Hausdorff, logo 〈D, TD〉 e regular pelo teorema 2.18.
Caso 1: Existe y ∈ D tal que h(y) ≥ p′.
Neste caso, por (1) e pela regularidade de 〈D, TD〉, existem uD, vD ∈ TD tais
que uD(x) � p, vD(z) � p para cada z ∈ D com h(z) ≥ p′, e, uD(z) = 0 ou
vD(z) = 0 para cada z ∈ D. Sejam u∗, v∗ ∈ T tais que u∗|D = uD e v∗|D = vD,
e defina u = u∗ ∧ f e v = v∗ ∨ χDc . Temos entao que:
(a) u ∈ T pois u∗, f ∈ T , e v ∈ T pois v∗ ∈ T e de (3).
(b) Temos que u∗(x) = uD(x) � p pois x ∈ D, logo u(x) � p pois f(x) � p e
p ∈ pr(L).
(c) Seja z ∈ X tal que h(z) ≥ p′.
z ∈ D ⇒ v(z) = v∗(z) = vD(z) � p
z ∈ Dc ⇒ χDc(z) = 1 � p ⇒ v(z) = χDc(z) � p
(d) Seja z ∈ X tal que u(z) 6= 0, entao, u∗(z) 6= 0 e f(z) 6= 0. Por (2), z ∈ D,
entao uD(z) = u∗(z) 6= 0, logo v∗(z) = vD(z) = 0. Segue que
v(z) = v∗(z) ∨ χDc(z) = 0 ∨ 0 = 0
Caso 2: Nao existe y ∈ D tal que h(y) ≥ p′.
Sejam u = f e v = χDc , entao u, v ∈ T e:
(a) u(x) = f(x) � p
(b) Seja z ∈ X tal que h(z) ≥ p′, entao z ∈ Dc pois estamos supondo neste caso
que nao existe z ∈ D com h(z) ≥ p′, logo χDc(z) = 1. Segue que v(z) = 1 � p.
(c) Seja z ∈ X tal que u(z) = f(z) 6= 0, entao por (2), z ∈ D, logo
v(z) = χDc(z) = 0.
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 40
Portanto 〈X,T 〉 e regular. ¥
De um modo analogo obtemos a regularidade para espacos de Hausdorff local-
mente compactos e Hausdorff relativamente localmente compactos pois os teoremas
3.7 e 3.10 garantem que estes espacos sao fracamente localmente compactos.
O que segue e baseado em [9].
Seja 〈X,TX〉 um espaco L-topologico que nao seja compacto, mas fracamente
localmente compacto e Hausdorff. Considere o conjunto Y = X∪{∞} com topologia
TY gerada pela subbase
S ={f1 ∈ LY ; f ∈ TX
} ∪ {χB∞ ∈ LY ; χB ∈ C
}
onde:
(i) f1 ∈ LY e definida por:
f1(y) =
{f(y) se y ∈ X0 se y = ∞
(ii) C ={χB ∈ LX ; B ⊂ X, χB compacto
}
(iii) Para χB ∈ C, definimos B∞ = (X −B) ∪ {∞}, logo:
χB∞(y) =
{1 se y ∈ B∞0 se y ∈ B.
O espaco L-topologico 〈Y, TY 〉 e a compactificacao por um ponto de 〈X,TX〉.
Teorema 3.15 Sejam 〈X,TX〉 um espaco L-topologico fracamente localmente com-
pacto Hausdorff, que nao seja compacto, e 〈Y, TY 〉 sua compactificacao por um ponto.
Entao, 〈Y, TY 〉 e compacto, Hausdorff, cl(X) = Y e tem 〈X,TX〉 como subespaco.
Demonstracao.
(i) Mostraremos que 〈X, TX〉 e subespaco de 〈Y, TY 〉.
Seja f ∈ TX , entao f = f1|X , onde f1 ∈ S e definida por
f1(y) =
{f(y) se y ∈ X0 se y = ∞
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 41
Logo, f ∈ TY |X .
Seja f1 ∈ TY , entao, f1|X = f onde f ∈ TX . Logo, f1|X ∈ TX .
Seja χB∞ ∈ TY , entao, χB∞|X = χX−B. Sendo χB compacto em X e X Hausdorff,
temos que χB e L-fechado, ou seja, χ′B e L-aberto. Mas χ′B = χX−B, portanto,
χB∞|X ∈ TX .
(ii) Mostraremos que cl(X) = Y .
Suponha que cl(X) 6= Y , entao cl(X) e da forma:
cl(X)(y) =
{1 se y ∈ Xl 6= 1 se y = ∞
Temos entao que cl(X)′ e um L-aberto definido por:
cl(X)′(y) =
{0 se y ∈ Xl′ 6= 0 se y = ∞
Seja f = χB1∞ ∧ · · ·∧χBn∞ um aberto basico tal que f ≤ cl(X)′ onde B1, · · · , Bn
sao subconjuntos de X com χB1 , · · · , χB1 compactos. Temos entao para y = ∞ que
f(y) = 1 ≤ cl(X)′(y), logo l′ = 1, ou seja, l = 0.
Temos tambem:
f ≤ cl(X)′ ⇒ χB1∞ ∧ · · · ∧ χBn∞ ≤ cl(X)′
⇒ cl(X) ≤ χ′B1∞ ∨ · · · ∨ χ′Bn∞ .
Como X ≤ cl(X) e χ′Bi∞|X = χBi, temos X ≤ χB1 ∨ · · · ∨ χBn , logo,
X = χB1 ∨ · · · ∨ χBn . Como a uniao finita de compactos e compacto e cada χBie
compacto, temos que X e compacto, um absurdo.
(iii) Mostraremos que 〈Y, TY 〉 e compacto.
Seja p ∈ pr(L) e B = {fj}j∈J uma famılia de L abertos subbasicos, fj ∈ S, tais
que (∨j∈Jfj) (y) � p para cada y ∈ Y . Entao existe j ∈ J tal que fj e da forma
fj = χB∞ com B ⊂ X e χB compacto, pois caso contrario, (∨j∈Jfj) (∞) = 0 ≤ p.
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 42
Seja B1 = {fj|X}j∈J1onde J1 = {j ∈ J ; fj 6= χB∞}, entao B1 e tal que
(∨j∈J1fj|X) (x) � p para cada x ∈ X com χB(x) ≥ p′. De fato:
x ∈ X, χB(x) ≥ p′ ⇒ x ∈ B ⊂ Y
⇒ (∨j∈Jfj) (x) � p
⇒ χB∞(x) ∨ (∨j∈J1fj) (x) � p
⇒ (∨j∈J1fj) (x) � p pois χB∞(x) = 0 ≤ p
⇒ (∨j∈J1fj|X) (x) � p
Pela compacidade de χB existe um subconjunto finito J2 de J1 tal que
(∨j∈J2fj|X) (x) � p para cada x ∈ X com χB(x) ≥ p′. Entao,
(χB∞ ∨ ∨j∈J2fj) (y) � p para cada y ∈ Y . De fato, seja y ∈ Y entao:
y ∈ B ⇒ y ∈ X e χB(y) ≥ p′
⇒ (∨j∈J2fj|X) (y) � p
⇒ (χB∞ ∨ ∨j∈J2fj) (y) � p
ou,
y ∈ B∞ ⇒ χB∞(y) = 1 � p
⇒ (χB∞ ∨ ∨j∈J2fj) (y) � p
(iv) Mostraremos que 〈Y, TY 〉 e Hausdorff.
Sejam x 6= y em Y e p, q ∈ pr(L). Caso x, y ∈ X, temos pelo fato de X ser
Hausdorff, que existem f, g ∈ TX tais que f(x) � p, g(y) � q, e, f(z) = 0 ou
g(z) = 0 para cada z ∈ X. Definindo
f1(y) =
{f(y) se y ∈ X0 se y = ∞ , g1(y) =
{g(y) se y ∈ X0 se y = ∞
temos que f1 ∈ TY , g1 ∈ TY , e, f1(z) = 0 ou g1(z) = 0 para cada z ∈ Y .
Caso x ∈ X e y = ∞, pela compacidade local fraca de 〈X,TX〉 existem f ∈ TX
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 43
e k ∈ LX , com χsupp(k) compacto, tais que f(x) � p e f ≤ k. Seja B = supp(k) and
f1(y) =
{f(y) se y ∈ X0 se y = ∞
entao f1 ∈ TY e χB∞ ∈ TY .
Segue que f1(x) = f(x) � p e χB∞(y) = 1 � q. Tambem temos:
(a) z ∈ B ⇒ χB∞(z) = 0
(b) z ∈ X −B = X − supp(k) ⇒ k(z) = 0 ⇒ f1(z) = f(z) = 0
(c) z = ∞⇒ f1(z) = 0
isto e, para cada z ∈ Y , f1(z) = 0 ou χB∞(z) = 0.
Estas condicoes demonstram o teorema. ¥
De um modo analogo podemos obter teoremas de compactificacao por um ponto
para espacos localmente compactos e relativamente localmente compactos pois os
teoremas 3.7 e 3.10 garantem que estes espacos sao fracamente localmente compac-
tos.
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 44
Figura 3.1: L-conjunto muito compacto
Figura 3.2: Compacidade local
CAPITULO 3. COMPACIDADE LOCAL 45
Figura 3.3: Compacidade local fraca
Figura 3.4: Compacidade local relativa
Capıtulo 4
Teorema da L-Caixa
Em topologia geral existe um resultado simples envolvendo produto finito de com-
pactos.
Teorema 4.1 [15, Munkres] Sejam 〈X, δ〉 um espaco topologico e A um compacto
em X. Considere Xn com a topologia produto. Se W e um aberto em Xn tal que
An ⊂ W entao existe V ∈ δ tal que A ⊂ V e An ⊂ V n ⊂ W .
Neste capıtulo apresentamos uma versao deste teorema para um espaco L-topologico
que chamaremos do“teorema da L-caixa”. Assumimos aqui que os conjuntos X, Y
e Xj sao nao vazios e que L e um reticulado fuzzy com a topologia Scott.
4.1 Teorema da L-caixa
Lema 4.1 Sejam 〈X, TX〉 e 〈Y, TY 〉 espacos L-topologicos, h ∈ LY um L-conjunto
compacto, x0 ∈ X e p ∈ pr(L). Considere X × Y com a L-topologia produto T . Se
N ∈ T e tal que
∀y ∈ Y, h(y) ≥ p′ ⇒ N(x0, y) � p
entao, existem L-conjuntos f ∈ TX e g ∈ TY tais que:
(i) f(x0) � p.
46
CAPITULO 4. TEOREMA DA L-CAIXA 47
(ii) ∀y ∈ Y, h(y) ≥ p′ ⇒ g(y) � p.
(iii) ∀(x, y) ∈ X × Y ,(π−1
1 (f) ∧ π−12 (g)
)(x, y) � p ⇒ N(x, y) � p.
Demonstracao. Como N ∈ T , podemos escrever N = ∨j∈J
(π−1
1 (fj) ∧ π−12 (gj)
)
onde fj ∈ TX e gj ∈ TY . Seja y ∈ Y com h(y) ≥ p′ entao N(x0, y) � p, logo, existe
jy ∈ J tal que fjy(x0) � p e gjy(y) � p.
Seja J1 = {jy ∈ J ; y ∈ Y, h(y) ≥ p′}, entao a famılia {gj}j∈J1e tal que
(∨j∈J1gj) (y) � p para cada y ∈ Y com h(y) ≥ p′. Pela compacidade de h, existe
J2 ⊂<∞ J1, tal que (∨j∈J2gj) (y) � p para cada y ∈ Y com h(y) ≥ p′.
Seja f = ∧j∈J2fj e g = ∨j∈J2gj, entao f ∈ TX , g ∈ TY e:
(i) Para cada j ∈ J2, fj(x0) � p, logo f(x0) � p.
(ii) Seja y ∈ Y com h(y) ≥ p′, entao (∨j∈J2gj) (y) � p, logo g(y) � p.
(iii) Seja (x, y) ∈ X × Y tal que(π−1
1 (f) ∧ π−12 (g)
)(x, y) � p, entao f(x) � p e
g(y) � p. Pelas definicoes de f e g, existe j ∈ J2 com fj(x) � p e gj(y) � p.
Logo,(π−1
j (fj) ∧ π−1j (gj)
)(x, y) � p. Portanto, N(x, y) � p.
Estas condicoes demonstram o teorema. ¥
Lema 4.2 Sejam 〈X, TX〉 e 〈Y, TY 〉 espacos L-topologicos, g ∈ LX e h ∈ LY
L-conjuntos compactos, e p ∈ pr(L). Considere X × Y com a L-topologia produto
T . Se N ∈ T e tal que
∀(x, y) ∈ X × Y,(π−1
1 (g) ∧ π−12 (h)
)(x, y) ≥ p′ ⇒ N(x, y) � p
entao, existem f ∈ TX e k ∈ TY tais que:
(i) ∀x ∈ X, g(x) ≥ p′ ⇒ f(x) � p.
(ii) ∀y ∈ Y, h(y) ≥ p′ ⇒ k(y) � p.
(iii) ∀(x, y) ∈ X × Y,(π−1
1 (f) ∧ π−12 (k)
)(x, y) � p ⇒ N(x, y) � p.
CAPITULO 4. TEOREMA DA L-CAIXA 48
Demonstracao. Como N ∈ T , podemos escrever N = ∨j∈J
(π−1
1 (fj) ∧ π−12 (gj)
).
Seja X1 = {x ∈ X ; g(x) ≥ p′}, e fixe x0 ∈ X1. Entao para y ∈ Y com h(y) ≥ p′
temos(π−1
1 (g) ∧ π−12 (h)
)(x0, y) ≥ p′, logo, N(x0, y) � p.
Pelo lema 4.1 existem fx0 ∈ TX e gx0 ∈ TY tais que:
(1) fx0(x0) � p.
(2) y ∈ Y, h(y) ≥ p′ ⇒ gx0(y) � p.
(3) ∀(x, y) ∈ X × Y,(π−1
1 (fx0) ∧ π−12 (gx0)
)(x, y) � p ⇒ N(x, y) � p.
Por (1), a famılia {fx}x∈X1e tal que (∨x∈X1fx) (x0) � p para cada x0 ∈ X1. Pela
compacidade de g, existe X2 ⊂<∞ X1 tal que (∨x∈X2fx) (x0) � p para cada x0 ∈ X1.
Seja f = ∨x∈X2fx e k = ∧x∈X2gx, entao, f ∈ TX , k ∈ TY e:
(i) Seja x ∈ X com g(x) ≥ p′, entao x ∈ X1, logo (∨x∈X2fx) (x0) � p, isto e,
f(x) � p.
(ii) Seja y ∈ Y com h(y) ≥ p′, entao para cada x ∈ X2, gx(y) � p por (2), logo
k(y) � p.
(iii) Seja (x, y) ∈ X × Y com(π−1
1 (f) ∧ π−12 (k)
)(x, y) � p, entao f(x) � p e
k(y) � p. Pelas definicoes de f e k, existe x0 ∈ X2 com fx0(x) � p e gx0(y) � p,
entao(π−1
1 (fx0) ∧ π−12 (gx0)
)(x, y) � p. Portanto, por (3), N(x, y) � p.
Estas condicoes demonstram o teorema. ¥
Lema 4.3 Sejam {〈Xj, Tj〉}nj=1, n ≥ 2, uma famılia de espacos L-topologicos, {hj}n
j=1
uma famılia de L-conjuntos compactos onde cada hj ∈ LXj e p ∈ pr(L). Considere
X =∏n
j=1 Xj com a L-topologia produto T . Se N ∈ T e tal que
∀x ∈ X,(∧n
j=1π−1j (hj)
)(x) ≥ p′ ⇒ N(x) � p
entao existe uma famılia {fj}nj=1 onde cada fj ∈ TXj
tal que:
(i) Para cada j = 1, · · · , n temos: ∀y ∈ Xj, hj(y) ≥ p′ ⇒ fj(y) � p.
CAPITULO 4. TEOREMA DA L-CAIXA 49
(ii) ∀x ∈ X,(∧n
j=1π−1j (fj)
)(x) � p ⇒ N(x) � p.
Demonstracao. Provaremos o teorema por inducao. Para o produto de 2
L-conjuntos compactos ver o teorema 4.2. Suponha entao que o teorema seja valido
para o produto de n− 1 L-conjuntos compactos.
Sejam g = ∧n−1j=1 π−1
j (hj) e X =∏n−1
j=1 Xj o L-espaco produto. Entao g e um
L-conjunto compacto em X. Sejam Y = Xn e h = hn.
Seja (x, y) ∈ X × Y tal que(π−1
1 (g) ∧ π−12 (h)
)(x, y) ≥ p′, entao g(x) ≥ p′ e
hn(y) ≥ p′. Seja x = (x1, · · · , xn−1) ∈ X. Como g(x) ≥ p′, ∧n−1j=1 hj(xj) ≥ p′, entao
(∧nj=1π
−1j (hj)
)(x, y) ≥ p′, logo, N(x, y) � p.
Pelo lema 4.2, existe um L-conjunto f ∈ TX e fn ∈ TY tal que:
(1) x ∈ X, g(x) ≥ p′ ⇒ f(x) � p.
(2) y ∈ Y, hn(y) ≥ p′ ⇒ fn(y) � p.
(3) ∀(x, y) ∈ X × Y,(π−1
1 (f) ∧ π−12 (fn)
)(x, y) � p ⇒ N(x, y) � p.
Sendo g = ∧n−1j=1 π−1
j (hj), por (1) podemos usar que o teorema e valido para n− 1
L-conjuntos compactos para obter L-abertos fj ∈ Tj, j = 1, · · · , n− 1, tais que:
(4) ∀y ∈ Xj, hj(y) ≥ p′ ⇒ fj(y) � p.
(5) ∀x ∈ X,(∧n−1
j=1 π−1j (fj)
)(x) � p ⇒ f(x) � p.
Considere a famılia {fj}nj=1 com cada fj ∈ Tj. Temos:
(i) De (2) e (4), para cada j = 1, · · · , n temos: ∀y ∈ Xj, hj(y) ≥ p′ ⇒ fj(y) � p.
(ii) Seja x = (z, xn) ∈ X tal que(∧n
j=1π−1j (fj)
)(x) � p, entao
(∧n−1j=1 π−1
j (fj))(z) � p
e fn(xn) � p. De (5), f(z) � p, entao(π−1
1 (f) ∧ π−12 (fn)
)(z, xn) � p. Logo, de
(3), N(x) � p.
Estas condicoes demonstram o teorema. ¥
CAPITULO 4. TEOREMA DA L-CAIXA 50
Teorema 4.2 (Teorema da L-Caixa) Sejam 〈X, TX〉 um espaco L-topologico,
h ∈ LX um L-conjunto compacto e p ∈ pr(L). Considere Xn com a L-topologia
produto T . Se N ∈ T e tal que
∀x ∈ Xn,(∧n
j=1π−1j (h)
)(x) ≥ p′ ⇒ N(x) � p
entao, existe um L-conjunto f ∈ TX tal que:
(i) ∀y ∈ X, h(y) ≥ p′ ⇒ f(y) � p.
(ii) ∀x ∈ Xn,(∧n
j=1π−1j (f)
)(x) � p ⇒ N(x) � p.
Demonstracao. Para j = 1, · · · , n seja hj = h, entao pelo lema 4.3, existe uma
famılia {fj}nj=1 onde cada fj ∈ TX tal que:
(1) ∀y ∈ X, hj(y) ≥ p′ ⇒ fj(y) � p.
(2) ∀x ∈ Xn,(∧n
j=1π−1j (fj)
)(x) � p ⇒ N(x) � p.
Seja f = ∧nj=1fj, entao f ∈ TX e temos:
(i) Seja y ∈ X tal que h(y) ≥ p′, entao, de (1), para cada j = 1, · · · , n, fj(y) � p.
Portanto, f(y) � p.
(ii) Seja x ∈ Xn tal que(∧n
j=1π−1j (f)
)(x) � p, entao, para cada j = 1, · · · , n,
f(xj) � p. Logo, para cada j = 1, · · · , n, fj(xj) � p, ou seja, π−1j (fj)(x) � p.
Portanto(∧n
j=1π−1j (fj)
)(x) � p. De (2), temos entao que N(x) � p.
Fica assim demonstrado o teorema da L-caixa. ¥
CAPITULO 4. TEOREMA DA L-CAIXA 51
Figura 4.1: Teorema 4.1
Capıtulo 5
Propriedades de Recobrimento:Hurewicz e ω∗
As propriedades de recobrimento Hurewicz e ω∗ se enquadram dentro do que
Scheepers chama em seus artigos de ”princıpio de selecao”. Tal principio diz o
seguinte: Dada uma classe de objetos Γ e uma classe de objetos ∆, mediante um
certo procedimento Π podemos obter para cada objeto A ∈ Γ um objeto Π(A) ∈ ∆.
Um exemplo conhecido de propriedade que se enquadra neste princıpio e a com-
pacidade. Seja
Γ = ∆ = {coberturas abertas}
Π = existir subcobertura finita.
Dizemos que um espaco topologico X e compacto se e somente se satisfaz o
principo de selecao acima, isto e, X ∈ Π(Γ, ∆).
Vamos inicialmente relembrar as definicoes de espacos de Hurewicz e a proprie-
dade ω∗ e verificar como se enquadram dentro do principio de selecao.
Definicao 5.1 [8, Hurewicz] Um espaco topologico 〈X, δ〉 e Hurewicz se e somente
se para cada sequencia {Un}n∈N de coberturas abertas de X, existe uma sequencia
{Vn}n∈N tal que:
(i) Cada Vn ⊂<∞ Un.
(ii) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃V ∈ Vn, x ∈ V ).
52
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 53
Aqui tomamos
Γ = sequencias de coberturas abertas.
∆ = sequencias {Vn}n∈N onde cada Vn e formado por finitos abertos.
Π = existir um elemento de ∆ satisfazendo as propriedades (i) e (ii).
Uma ilustracao desta propriedade pode ser vista na figura 5.2 com F = {x}.
Definicao 5.2 Uma ω∗ cobertura em X e uma famılia de abertos U tal que para
cada subconjunto finito F de X, existe V ∈ U com F ⊂ V
Definicao 5.3 Um espaco topologico 〈X, δ〉 tem a propriedade ω∗ se e somente se
para cada sequencia {Un}n∈N de ω∗ coberturas de X existe uma sequencia {Vn}n∈N
tal que:
(i) Cada Vn ⊂<∞ Un.
(ii) ∀F ⊂<∞ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ ∃V ∈ Vn, F ⊂ V
Aqui tomamos
Γ = sequencias de ω∗-coberturas abertas.
∆ = sequencias {Vn}n∈N onde cada Vn e formado por finitos abertos.
Π = existir um elemento de ∆ satisfazendo as propriedades (i) e (ii).
Uma ilustracao desta propriedade pode ser vista na figura 5.2.
Dividimos este capıtulo em tres secoes.
Nas duas primeiras secoes propomos boas definicoes para as propriedades de
Hurewicz e ω∗ em um espaco L-topologico. Na ultima secao apresentamos um
teorema que garante condicoes necessarias e suficientes para que um espaco tenha a
propriedade ω∗ utilizando-se da propriedade de Hurewicz.
Assumimos neste capıtulo que X e um conjunto nao vazio e que L e um reticulado
fuzzy com a topologia Scott. Vamos usar tambem a notacao A ⊂<∞ B como
abreviacao para “A e um subconjunto finito de B”.
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 54
5.1 Espacos de Hurewicz
Definicao 5.4 Um espaco L-topologico X e Hurewicz se e somente se para cada
p ∈ pr(L) e sequencia {Fn}n∈N de famılias de L-abertos tal que (∨f∈Fnf) (x) � p
para todo x ∈ X e n ∈ N, existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:
(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.
(ii) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; (n > n0 ⇒ ∃h ∈ Hn, h(x) � p).
Teorema 5.1 O espaco topologico 〈X, δ〉 e Hurewicz se e somente se o espaco
L-topologico 〈X, ω(δ)〉 e Hurewicz.
Demonstracao. Necessidade: Seja p ∈ pr(L) e {Fn}n∈N uma sequencia onde cada
Fn = {fnj}j∈Jne uma famılia de L-abertos tal que (∨j∈Jnfnj) (x) � p para todo
x ∈ X.
Seja {Un}n∈N a sequencia definida por Un = {Unj}j∈Jnonde
Unj = f−1nj {t ∈ L ; t p} .
Entao cada Un e uma cobertura aberta para X pois:
x ∈ X ⇒ (∨j∈Jnfnj) (x) � p ⇒ ∃j ∈ Jn, fnj(x) � p ⇒ x ∈ Unj
Como 〈X, δ〉 e Hurewicz, existe uma sequencia {Vn}n∈N tal que:
(1) Cada Vn ⊂<∞ Un.
(2) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃V ∈ Vn, x ∈ V ).
Por (1) podemos escrever Vn = {Unj}j∈Inonde In ⊂<∞ Jn. Defina
Hn = {fnj}j∈In, entao para a sequencia {Hn}n∈N temos:
(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.
(ii) Seja x ∈ X entao, por (2), existe um n0 ∈ N tal que:
n > n0 ⇒ (∃Unj ∈ Vn, x ∈ Unj)
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 55
Logo fnj ∈ Hn e tal que fnj(x) � p pois x ∈ Unj.
Estas condicoes mostram que o espaco 〈X, ω(δ)〉 e Hurewicz.
Suficiencia: Seja {Un}n∈N uma sequencia de coberturas abertas de X onde
Un = {Unj}j∈Jn. Seja p ∈ pr(L) fixado e considere a sequencia {Fn}n∈N, onde
Fn = {fnj}j∈Jne uma famılia de L-abertos definidos por fnj = χUnj
.
Seja x ∈ X. Sendo Un uma cobertura aberta de X, existe j ∈ Jn com x ∈ Unj,
logo, fnj(x) = 1 � p. Portanto, (∨j∈Jnfnj) (x) � p. Como 〈X, ω(δ)〉 e Hurewicz,
existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:
(1) Cada Hn ⊂<∞ Fn.
(2) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn, h(x) � p).
Por (1) podemos escrever Hn = {fnj}j∈Inonde In ⊂<∞ Jn. Defina
Vn = {Unj}j∈In, entao para a sequencia {Vn}n∈N temos que:
(i) Cada Vn ⊂<∞ Un.
(ii) Seja x ∈ X entao, por (2), existe um n0 ∈ N tal que:
n > n0 ⇒ (∃fnj ∈ Hn, fnj(x) � p)
Logo Unj ∈ Vn e tal que x ∈ Unj pois fnj(x) � p.
Estas condicoes mostram que o espaco 〈X, δ〉 e Hurewicz. ¥
Definicao 5.5 Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e g ∈ LX . Dizemos que g e
Hurewicz se e somente se para cada p ∈ pr(L) e sequencia {Fn}n∈N de famılias de
L-abertos tais que
∀x ∈ X, g(x) ≥ p′ ⇒ (∨f∈Fnf) (x) � p
existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:
(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 56
(ii) ∀x ∈ X, g(x) ≥ p′, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; h(x) � p).
Teorema 5.2 Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e g ∈ LX . Se g e compacto
entao e Hurewicz.
Demonstracao. Sejam p ∈ pr(L) e {Fn}n∈N uma sequencia onde cada
Fn = {fnj}j∈Jne uma famılia de L-abertos tal que (∨j∈Jnfnj) (x) � p para cada
x ∈ X com g(x) ≥ p′. Sendo g compacto, existe J1n ⊂<∞ Jn tal que
(∨j∈J1nfnj
)(x) � p para cada x ∈ X com g(x) ≥ p′.
Seja Hn = {fnj}j∈J1n, entao a sequencia {Hn}n∈N e tal que:
(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.
(ii) Seja x ∈ X com g(x) ≥ p′, fixado n0 ∈ N temos que, para n > n0:
g(x) ≥ p′ ⇒ (∨j∈J1nfnj
)(x) � p
⇒ (∃j ∈ J1n
)(fnj(x) � p)
⇒ (∃fnj ∈ Hn) (fnj(x) � p)
Estas condicoes mostram que 〈X, T 〉 e Hurewicz. ¥
Teorema 5.3 Sejam 〈X, T 〉 um espaco L-topologico e g ∈ LX . Se g e Hurewicz
entao e Lindelof.
Demonstracao. Sejam p ∈ pr(L) e F = {fj}j∈J uma famılia de L-abertos tais que
(∨j∈Jnfnj) (x) � p para cada x ∈ X com g(x) ≥ p′. Considere a sequencia {Fn}n∈N
onde Fn = F. Como g e Hurewicz, existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:
(1) Cada Hn ⊂<∞ Fn = F.
(2) ∀x ∈ X, g(x) ≥ p′, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; h(x) � p).
Seja S = ∪n∈NHn entao, por (1), e um subconjunto enumeravel de F. Seja x ∈ X
com g(x) ≥ p′, por (2) existe n0 ∈ N tal que:
n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; h(x) � p) .
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 57
Mas Hn ⊂ S, logo, h ∈ S e h(x) � p. Portanto, 〈X, T 〉 e Lindelof. ¥
Teorema 5.4 Sejam 〈X,T 〉 um espaco L-topologico, Hurewicz, e g ∈ LX . Se g e
L-fechado entao e Hurewicz.
Demonstracao. Sejam p ∈ pr(L) e {Fn}n∈N uma sequencia onde cada
Fn = {fnj}j∈Jne uma famılia de L-abertos tal que (∨j∈Jnfnj) (x) � p para cada
x ∈ X com g(x) ≥ p′. Seja Fgn = Fn ∪ {g′}. Sendo g L-fechado, cada Fg
n e uma
famıla de L-abertos, e a sequencia {Fgn}n∈N e tal que
(∨f∈Fgnf)(x) � p para cada
x ∈ X, pois para x ∈ X:
g(x) ≥ p′ ⇒ (∨j∈Jnfnj) (x) � p ⇒ (∨f∈Fgnf)(x) � p
g(x) � p′ ⇒ g′(x) � p ⇒ (∨f∈Fgnf)(x) � p
Sendo 〈X, T 〉 Hurewicz, existe uma sequencia {Hgn}n∈N tal que:
(1) Cada Hgn ⊂<∞ Fg
n.
(2) ∀x ∈ X, ∃n0 ∈ N; ∀n > n0 ⇒ (∃hg ∈ Hgn; hg(x) � p).
Por (1) podemos escrever Hgn = {fnj}n∈J1
n∪ {g′} onde J1
n ⊂<∞ Jn. Considere
Hn = {fnj}n∈J1n, entao a sequencia {Hn}n∈N e tal que:
(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.
(ii) Seja x ∈ X com g(x) ≥ p′, entao, por (2), existe n0 ∈ N tal que:
n > n0 ⇒ ∃hg ∈ Hgn; hg(x) � p.
Caso hg = g′, teriamos que g′(x) ≤ p e g′(x) � p, logo, hg nao pode ser g′.
Segue que hg ∈ Hn e hg(x) � p.
Portanto, g e Hurewicz. ¥
Teorema 5.5 Seja 〈X,T 〉 um espaco L-topologico. Se g ∈ LX e Hurewicz e
f : X → Y e uma funcao sobrejetora e contınua tal que f−1(y) e finito para cada
y ∈ Y , entao f(g) e Hurewicz.
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 58
Demonstracao. Seja p ∈ pr(L) e {F′n}n∈N uma sequencia onde cada F′n = {fnj}j∈Jn
e uma famılia de L-abertos tal que (∨j∈Jnfnj) (y) � p para cada y ∈ Y com
f(g)(y) ≥ p′. Considere Fn = {gnj}n∈N onde cada gnj = f−1 (fnj). Sendo f contınua,
cada gnj e um L-aberto. Seja x ∈ X e y = f(x) entao:
g(x) ≥ p′ ⇒ f(g)(y) = ∨{g(x) ; x ∈ f−1(y)
} ≥ g(x) ≥ p′
⇒ (∨j∈Jnfnj) (y) � p
⇒ (∨j∈Jngnj) (x) � p
Sendo g Hurewicz, existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:
(1) Cada Hn ⊂<∞ Fn.
(2) ∀x ∈ X, g(x) ≥ p′, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; h(x) � p) .
Por (1) podemos escrever Hn = {gnj}j∈J1n
onde J1n ⊂<∞ Jn. Seja H′n = {fnj}j∈J1
n,
entao a sequencia {H ′n}n∈N e tal que:
(1) Cada H′n ⊂<∞ F′n.
(2) Seja y ∈ Y com f(g)(y) ≥ p′, entao ∨{g(x) ; x ∈ f−1(y)} ≥ p′. Sendo p′
coprimo e f−1(y) finito, existe x ∈ f−1(y) com g(x) ≥ p′. Por (2), existe
n0 ∈ N tal que:
n > n0 ⇒ (∃gnj ∈ Hn; gnj(x) � p) .
Segue que fnj ∈ Hn e fnj(y) = f−1 (f(x)) = gnj(x) � p
Portanto, f(g) e Hurewicz. ¥
Definicao 5.6 Seja {〈Xk, Tk〉}k∈N uma famılia de espacos L-topologicos disjuntos.
Seja X = ∪k∈NXk. Defina T ⊂ LX por: f ∈ T se e somente se f |Xk∈ Tk para cada
k ∈ N.
Teorema 5.6 Na definicao 5.6, T ⊂ LX define uma L-topologia in X. Com esta
L-topologia, chamamos o espaco L-topologico 〈X, T 〉 de L-espaco soma e denotamos
por X =∑
j∈NXj.
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 59
Demonstracao. E imediato da definicao que:
(i) ∅ ∈ T e X ∈ T pois para cada j ∈ N, ∅|Xj= ∅ ∈ Tj e X|Xj
= Xj ∈ Tj.
(ii) Para uma famılia {fj}j∈J em T , e f = ∨j∈Jfj temos para cada k ∈ N que
f |Xk= ∨j∈Jfj|Xk
∈ Tk, pois fj ∈ T.
(iii) Para uma famılia {fj}nj=1 em T , e f = ∧n
j=1fj temos para cada k ∈ N que
f |Xk= ∧n
j=1fj|Xk∈ Tk, pois fj ∈ T.
Logo, T e uma L topologia em X. ¥
Teorema 5.7 Seja {〈Xj, Tj〉}j∈N uma famılia de espacos L-topologicos. Se cada Xj
e Hurewicz, entao o L-espaco soma X =∑
j∈NXj e Hurewicz.
Demonstracao. Sejam p ∈ pr(L) e {Fn}n∈N uma sequencia onde cada
Fn = {fnj}j∈Jne uma famılia de L-abertos em X tal que (∨j∈Jnfnj) (x) � p para
todo x ∈ X.
Seja k ∈ N fixado e considere a sequencia{Fk
n
}n∈N definida por Fk
n = {fnj|Xk}j∈Jn
.
Entao, cada Fkn e uma famılia de L-abertos em Xk tal que:
x ∈ Xk ⇒ x ∈ X⇒ ∨j∈Jnfnj(x) � p ⇒ ∨j∈Jnfnj|Xk(x) � p
Como para cada k ∈ N fixado, Xk e Hurewicz, existe uma sequencia{Vk
n
}n∈N tal
que:
(1) Cada Vkn ⊂<∞ Fk
n.
(2) ∀x ∈ Xk, ∃n0 ∈ N; m > n0 ⇒ (∃h ∈ Vkm, h(x) � p).
Por (1) podemos escrever Vkn = {fnj|Xk
}j∈Jkn
onde Jkn ⊂<∞ Jn. Seja
Wkn = {fnj}j∈Jk
ne defina Hn = ∪n
k=1Wkn. Temos:
(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 60
(ii) Seja x ∈ X e k ∈ N um ındice tal que x ∈ Xk. Seja n1 = max {n0, k} onde n0
e o ındice em (2). Seja m > n1, entao, m > n0. Por (2) existe fmj|Xk∈ Vk
m
com fmj|Xk(x) � p. Tambem temos m > k, logo fmj|Xk
∈ ∪mk=1Vk
m pois nestas
condicoes Vkm ⊂ ∪m
k=1Vkm. Portanto, fmj ∈ Hm e fmj(x) � p.
Estas condicoes mostram o L-espaco soma e Hurewicz. ¥
5.2 Propriedade ω∗
Definicao 5.7 Seja X = 〈X, T 〉 um espaco L-topologico. Dizemos que X tem a
propriedade ω∗ se e somente se para cada p ∈ pr(L) e sequencia {Fn}n∈N de famılias
de L-abertos tal que
∀F ⊂<∞ X, ∃f ∈ Fn; ∀x ∈ F, f(x) � p
existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:
(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.
(ii) ∀F ⊂<∞ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; ∀x ∈ F, h(x) � p).
Teorema 5.8 Seja 〈X, δ〉 um espaco topologico, entao: 〈X, δ〉 tem a propriedade
ω∗ se e somente se 〈X,ω(δ)〉 tem a propriedade ω∗.
Demonstracao. Necessidade: Sejam p ∈ pr(L) e F = {Fn}n∈N uma sequencia de
famılias de L-abertos tal que:
∀F ⊂<∞ X, ∃f ∈ Fn; ∀x ∈ F, f(x) � p
Suponha que Fn = {fnj}j∈Jne defina a sequencia {Un}n∈N por Un = {Unj}j∈Jn
onde Unj = f−1nj {t ; t � p}. Entao, para F ⊂<∞ X existe fnj ∈ Fn com fnj(x) � p
para cada x ∈ F . Logo, F ⊂ Unj.
Como 〈X, δ〉 tem a propiedade ω∗ existe uma sequencia {Vn}n∈N tal que:
(1) Cada Vn ⊂<∞ Un.
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 61
(2) ∀F ⊂<∞ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃V ∈ Vn; F ⊂ V ).
Por (1) podemos escrever Vn = {Unj}j∈Jnonde Jn ⊂<∞ J . Seja Hn = {fnj}j∈Jn
,
entao para a sequencia {Hn}n∈N temos:
(i) Cada Hn ⊂<∞ Fn.
(ii) Seja F ⊂<∞ X, entao, por (2), existe um n0 ∈ N tal que:
n > n0 ⇒ (∃Unj ∈ Vn; F ⊂ Unj)
Logo, fnj(x) � p para cada x ∈ F .
Portanto, 〈X,ω(δ)〉 tem a propriedade ω∗.
Suficiencia: Seja U = {Un}n∈N uma sequencia de famılias de abertos tais que:
∀F ⊂<∞ X, ∃V ∈ Un; F ⊂ V
Seja Un = {Unj}j∈Jne defina a sequencia {Fn}n∈N por Fn = {fnj}j∈Jn
onde
fnj = χUnj. Entao para F ⊂<∞ X existe Unj ∈ Un com F ⊂ Unj, logo, para cada
x ∈ F , fnj(x) � p.
Como 〈X, ω(δ)〉 tem a propriedade ω∗, existe uma sequencia {Hn}n∈N tal que:
(1) Cada Hn ⊂<∞ Fn.
(2) ∀F ⊂<∞ X, ∃n0 ∈ N; n > n0 ⇒ (∃h ∈ Hn; ∀x ∈ F, h(x) � p).
Por (1), podemos escrever Hn = {fnj}j∈Jnonde Jn ⊂<∞ J . Seja Vn = {Unj}j∈Jn
,
entao para a sequencia {Vn}n∈N temos:
(i) Cada Vn ⊂<∞ Un.
(ii) Seja F ⊂<∞ X, entao, por (2), existe um n0 ∈ N tal que:
n > n0 ⇒ (∃fnj ∈ Nn; ∀x ∈ F, fnj(x) � p)
Logo fnj(x) = 1 para cada x ∈ F , ou seja, F ⊂ Unj.
Portanto 〈X, δ〉 tem a propriedade ω∗. ¥
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 62
5.3 Teorema Principal
Teorema 5.9 Seja X = 〈X, T 〉 um espaco L-topologico, entao: X tem a proprie-
dade ω∗ se e somente se para cada n ∈ N, Xn e Hurewicz.
Demonstracao. Necessidade: Fixe n ∈ N e seja p ∈ pr(L). Seja {Uk}k∈N uma
sequencia onde cada Uk = {fnj}j∈Jke uma famılia de L-conjuntos abertos tais que
(∨j∈Jkfkj) (x) � p para cada x ∈ Xn.
Seja F ⊂<∞ X e seja h = χF , entao h e compacto em X pois supp(h) = F e
finito [12], e, ∧nj=1π
−1j (h) e compacto em Xn. Portanto, existe JF
k ⊂<∞ Jk tal que:
∀x ∈ Xn,(∧n
j=1π−1j (h)
)(x) ≥ p′ ⇒
(∨j∈JF
kfkj
)(x) � p
Pelo teorema 4.1, existe um L-conjunto fk,F ∈ T tal que:
(1) fk,F (x) � p para cada y ∈ X com h(y) ≥ p′.
(2) ∀x ∈ Xn,(∧n
j=1π−1j (fk,F )
)(x) � p ⇒
(∨j∈JF
kfkj
)(x) � p
Sejam k ∈ N fixado e Fk = {fk,F ∈ T ; F ⊂<∞ X}. Entao a sequencia {Fk}k∈N e
tal que:
y ∈ F ⇒ y ∈ X, h(y) = 1 ≥ p′ ⇒ fk,F (y) � p
Como X tem a propriedade ω∗ existe uma sequencia {Wk}k∈N tal que:
(3) Cada Wk ⊂<∞ Fk.
(4) ∀F ⊂<∞ X, ∃k0 ∈ N; k > k0 ⇒ (∃w ∈Wk; ∀y ∈ F, w(y) � p).
Como w ∈ Wk podemos escrever w = fk,g para algum G ⊂<∞ X. Seja
Hk ={fkj ∈ Uk ; j ∈ JG
k , fk,G ∈Wk
}, entao temos:
(i) Cada Hk ⊂<∞ Uk, pois Wk e JGk sao conjuntos finitos.
(ii) Seja x = (x1, · · · , xn) ∈ Xn entao F = {x1, · · · , xn} e um subconjunto finito de
X. Por (2), existe k0 ∈ N tal que:
k > k0 ⇒ (∃fk,G ∈Wk; ∀y ∈ F, fk,G(y) � p)
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 63
Entao, para j = 1, · · · , n, fk,G(xj) � p e ∧nj=1π
−1j (fk,G)(x) � p. Por (2),
∨j∈JGkfkj(x) � p. Logo existe j ∈ JG
k tal que fkj(x) � p. Portanto, Xn e Hu-
rewicz.
Suficiencia: Seja p ∈ pr(L). Seja {Uk}k∈N uma sequencia onde cada Uk e uma
famılia de L-conjutos abertos tais que:
F ⊂<∞ X, ∃f ∈ Uk; ∀x ∈ F, f(x) � p (5.1)
Seja X =∑
n∈NXn o espaco soma, entao pelo teorema 5.7, e Hurewicz pois cada
Xn e Hurewicz.
Para cada k ∈ N defina Fk ={∑
n∈N fn ; f ∈ Uk
}onde
∑n∈N fn e o L-conjunto
definido por: (∑
n∈Nfn
)(x) = ∧m
j=1π−1j (f)(x)
para cada x ∈ X onde m e o ındice tal que x ∈ Xm.
Cada∑
n∈N fn e um L-conjunto aberto em X pois(∑
n∈N fn) |Xm = ∧m
j=1π−1j (f)
e um L-conjunto aberto em Xm para cada m ∈ N.
Sejam x ∈ X e m o ındice tal que x = (x1, · · · , xm) ∈ Xm, entao F = {x1, · · · , xm}e um subconjunto finito de X, logo, por 5.1, existe f ∈ Uk com f(xj) � p para
j = 1, · · · , n. Seja g =∑
n∈N fn, entao g ∈ Fk e g(x) = ∧mj=1f(xj) � p, portanto,
(∨g∈Fkg) (x) � p.
Como X e Hurewicz, existe uma sequencia {Hk}k∈N tal que:
(1) Cada Hk ⊂<∞ Fk.
(2) ∀x ∈ X, ∃k0 ∈ N; k > k0 ⇒ (∃f ∈ Hk, f(x) � p).
Por (1) podemos escrever Hk ={∑
n∈N fnj
}j∈Jk
onde Jk e um conjunto finito de
ındices. Seja Vk = {fj}j∈Jkentao temos:
(i) Cada Vk ⊂<∞ Uk.
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 64
(ii) Seja F = {x1, · · · , xm} um subconjunto finito de X. Seja x = (x1, · · · , xm) ∈ X,
entao, por (2), existe k0 ∈ N tal que:
k > k0 ⇒ (∃g ∈ Hk; g(x) � p)
Escreva g =∑
n∈N fnj onde fj ∈ Uk e j ∈ Jk, ou seja, fj ∈ Vk. Como g(x) � p,
∧mi=1fj(xi) � p, entao para cada i = 1, · · · ,m, fj(xi) � p. Logo fj(y) � p para
cada y ∈ F .
Portanto X tem a propriedade ω∗. ¥
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 65
Figura 5.1: Princıpio de selecao
CAPITULO 5. PROPRIEDADES DE RECOBRIMENTO: HUREWICZ E ω∗ 66
Figura 5.2: Espacos de Hurewicz e propriedade ω∗
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