FÓTONS - midia.atp.usp.br · Quanto vale a energia de um raio X com comprimento de onda λ= 0,1...

FTONS2 TPICO

Luiz Nunes de Oliveira

2.1 Introduo2.2 Propagao

2.2.1 Leis de conservao2.2.2 Reflexo2.2.3 Refrao

2.3 Partculas elementares2.4 Caractersticas dos ftons

2.4.1 Carga2.4.2 Velocidade2.4.3 Massa2.4.4 Spin

2.5 Outros aspectos2.5.1 Trajetria2.5.2 Mediao da fora eltrica2.5.3 Ondas e partculas

Licenciatura em cincias USP/ Univesp

22Licenciatura em Cincias USP/Univesp

Objetivos do tpico:Compreender que a luz composta de partculas os ftons.Discutir as propriedades dos ftons.Calcular as quantidades de movimento de um fton na reflexo e na refrao. Entender a correo relativstica da soma de velocidades.Conhecer a relao entre a energia da teoria da mecnica clssica com a da

teoria da relatividade.

Determinar o ngulo de desvio de um fton.Calcular o nmero de ftons em uma dada regio.

2.1 IntroduoEm determinadas condies, como vimos no tpico Luz, a luz se comporta como um

conjunto de partculas, chamadas de ftons. A energia de um fton depende apenas da fre-

quncia da radiao:

2.1. = hv

A radiao pode combinar vrias frequncias. A luz branca,

por exemplo, uma mistura de todas as cores. Em casos como

esse, um feixe de radiao composto por vrios tipos de

ftons, cada um com sua frequncia e sua energia, relaciona-

das pela Equao 2.1.

A quantidade de movimento p de um fton depende do comprimento de onda e da direo de propagao da radia-

o. O mdulo dado pela igualdade

2.2,=hp

e a direo de p coincide com a direo de propagao do raio.

Fonte: Cepa.

23 Licenciatura em Cincias USP/Univesp

A energia e a quantidade de movimento do fton so portanto relacionados pela igualdade

2.3. = p v

O produto igual velocidade v com que a onda avana. No vcuo, em particular v = c. Em outros meios, a velocidade inferior a c. Em qualquer caso, a equao 2.3 equivale igualdade

2.4 = pv

Este tpico explora as consequncias da Equao 2.4 e discorre sobre outras propriedades

das partculas de luz. Em particular, veremos que, embora a propagao da luz por espaos

delimitados por obstculos ou fendas de tamanho comparvel com o comprimento de onda

seja sempre ondulatria, os ftons so partculas to reais quanto as que constituem a matria.

Saber mais sobre eles saber mais sobre tudo o que existe ao nosso redor.

Exerccio ResolvidoQuanto vale a energia de um raio X com comprimento de onda 0,1 nm = ?

Resoluo: A energia de um fton vale . = hv , onde v a frequncia da radiao e est relacionada com sua velocidade (c) atravs da relao c v= . Assim, a energia do fton pode ser reescrita como

=hc

.

Agora s substituir os valores abaixo na equao da energia.

34 8 96,63 10 J s, 3 10 m/s, 0,1 10 m- -= = = h c

Assim,

34 815

106,63 10 3 10 2 10 J

10

--

-

= E .

Podemos expressar essa resposta, tambm, na unidade de energia eltron-volt (eV), a partir da relao 191 eV 1,6 10 J-= .

Fazendo a substituio 19

1 eV1,6 10-

=

J em E, temos que 312,4 10 eV 12,4 keV = .


2.2 PropagaoQuando o espao delimitado por objetos com dimenses muito maiores do que o com-

primento de onda, possvel e conveniente tratar a radiao naquela regio como um conjunto

de ftons. Uma vez que a energia de um fton muito pequena, o nmero de ftons emitidos

por segundo por uma lmpada de 60 Watts, por exemplo, descomunal: da ordem de 1020. Isso,

porm, no nos atrapalha, porque todos os ftons com uma mesma frequncia se comportam

exatamente da mesma forma. Assim, basta acompanhar o movimento de um deles.

A dinmica dos ftons simples. No vcuo ou em um meio material uniforme, a luz

avana com velocidade constante. Assim, em um dado meio, cada fton se desloca em linha

reta, sempre com a mesma velocidade. Na pas-

sagem de um meio uniforme para outro, do

ar para a gua, por exemplo, a sua quantidade

de movimento pode mudar, assim como pode

mudar quando o fton colide com um espelho.

Em cada caso, a variao da quantidade de movi-

mento pode ser facilmente determinada, porque

algumas grandezas so conservadas.

2.2.1 Leis de conservao

A energia de um fton sempre conservada, desde o momento em que ele criado at o

instante em que desaparece. Uma vez que os ftons no interagem entre si, o nico mecanismo

capaz de reduzir ou aumentar sua energia seria a interao com a matria. Nesse caso, porm,

mais conveniente pensar que um fton foi

destrudo e outro foi criado, com energia

diferente. Assim, a energia e a frequncia so

como impresses digitais de cada fton: no

mudam ao longo de sua existncia.

J a quantidade de movimento pode

mudar. Quando passa do ar para o vidro, por

exemplo, o fton perde velocidade. Uma vez

Fonte: NASA; Thinkstock.

Fonte: CEPA.

http://www.nasa.gov/http://www.thinkstockphotos.com/


que a energia conservada, a quantidade de movimento tem de aumentar, para que o lado

direito da Equao 2.4 seja preservado.

A quantidade de movimento um vetor e pode, portanto, ser di-

vidido em uma componente perpendicular superfcie que separa

os dois meios e outra paralela a ela. Uma vez que o espao muda

na direo perpendicular superfcie, mas no na direo paralela, a

componente paralela superfcie se mantm constante, enquanto a

componente perpendicular varia.

Temos portanto duas leis de conservao: quando um fton

incide sobre uma superfcie, tanto sua energia quanto a componente

paralela superfcie da quantidade de movimento so conservadas. A

partir dessas duas noes, descreveremos em Reflexo e Refrao, o comportamento de um

fton ao ser refletido por um espelho e ao atravessar a interface entre dois materiais transparentes.

2.2.2 Reflexo

A Figura 2.1 mostra um fton colidindo com uma superfcie refletora plana um espe-

lho plano. Antes da coliso, o fton tem energia E e quantidade de movimento ip . Depois, a energia ainda E, mas a quantidade de movimento muda para fp .

Antes e depois da coliso, o fton est no mesmo meio e tem, portanto, velocidades com o

mesmo mdulo v. De acordo com a Equao 2.4, visto que a energia no muda, a quantidade de movimento tem o mesmo mdulo p antes e depois da reflexo. Alm disso, sabemos que a componente da quantidade de movimento paralela superfcie conservada durante a coliso.

Assim, na Figura 2.1, a componente horizontal da quantidade de movimento deve ser a

mesma antes e depois da reflexo. A componente horizontal inicial

2.5 ,= ix ip p sen

e a final,

2.6 .= fx fp p sen

Fonte: CEPA.


Figura 2.1: Reflexo da luz por um espelho plano. A componente da quantidade de movimento paralela superfcie conservada, enquanto a componente perpendicular invertida / Fonte: CEPA. (Clique na imagem para visualizar a animao)

Vemos que, para que pix e pfx sejam iguais, os ngulos i e f devem ser iguais. O ngulo de incidncia portanto igual ao de reflexo.

Exerccio ResolvidoSe o mdulo da quantidade de movimento do fton for o dobro da quantidade de movimento final

na direo horizontal x (paralela superfcie), quanto vale o ngulo de incidncia?

Resoluo: Sabendo que a quantidade de movimento na direo x se conserva, temos a relao = xp p sen . Dado que 2 xp p= , o ngulo de incidncia vale 30, que igual ao ngulo de reflexo.

2.2.3 Refrao

A Figura 2.2 mostra um fton que incide sobre a superfcie plana que separa uma regio

A do espao com ndice de refrao nA de outra B com ndice nB. Para sermos especficos,


consideraremos A Bn n< , isto , que a luz viaja no meio A com velocidade vA maior do que sua velocidade vB em B.

Figura 2.2: Refrao. Um fton passa do meio A, onde a velocidade da luz vA, para o meio B, onde a velocidade vB. As conservaes da energia e da quantidade de movi-mento fazem com que os ngulos B e A sejam diferentes e tornam obtuso o ngulo entre as trajetrias A e B / Fonte: CEPA. (Clique na imagem para visualizar a animao)

Uma vez que a energia conservada na travessia de um meio para o outro, a Equao 2.4 nos

diz que as quantidades de movimento pA, no meio A, e pB, no meio B, so relacionadas pela igualdade

=A A B Bp pv v 2.7ou pela igualdade equivalente

2.8=A BB A

pp

vv

Sabemos tambm que a componente horizontal da quantidade de movimento tem de ser con-

servada. Obtemos assim uma relao entre os ngulos A e B anloga que encontramos na reflexo:

2.9 A A B Bp sen p sen =

Na Seo 2.2.2, os mdulos inicial e final da quantidade de movimento eram iguais, e por

isso os ngulos de incidncia e de reflexo resultaram iguais. Aqui, porm, os mdulos pA e pB so diferentes, e precisamos recorrer Equao 2.9 para calcular a razo entre os dois mdulos:


2.10

=

A B

B A

p senP sen

Comparando esse resultado com a Equao 2.8, vemos que os lados direitos das duas

igualdades devem ser iguais. Encontramos, com isso, uma relao entre os ngulos A e B:

2.11 ,

=

B B

A A

sensen

vv

ou se lembrarmos da definio nA=c/vA e nB =c/vB dos ndices de refrao,

2.12 .

=

B A

A B

sen nsen n

Escrita nessa forma, a igualdade conhecida desde o sculo X. Apesar disso, recebeu o nome

de Lei de Snellius e Descartes, em homenagem aos dois pesquisadores que a redescobriram, no

comeo do sculo XVII. A Equao 2.12, que governa a mudana de ngulo, ou refrao, de um

raio de luz ao passar de um meio para outro, e a igualdade entre os ngulos de entrada e sada, que

governa a reflexo por uma superfcie espelhada, constituem a base da ptica geomtrica. Esse

ramo da Fsica, desenvolvido no sculo XVII, do tpico seguinte Reflexo. No restante deste

tpico, estaremos interessados nas propriedades dos ftons que foram reveladas no sculo XX.

Exerccio ResolvidoUm fton, que inicialmente se propaga no vcuo (n1 = 1) com comprimento de onda 1 600 nm = , incide perpendicularmente a uma superfcie de um vidro, cujo ndice de refrao n2 = 2. Qual o comprimento de onda do fton no vidro?

n1 = 11 = 600 nm

n2 = 2


Resoluo: Ao passar para o vidro, a frequncia da luz no se altera. Isso implica nas seguintes relaes:

1 2 2

2 1 1

= = = =

cn nnv

vv

vv

onde v a velocidade e a frequncia do fton.Assim, a relao entre os comprimentos de onda

1 (vcuo) e

2 (vidro) dada por:

1 2 2

2 1

12 600

nn

= =

O comprimento de onda do fton no vidro , portanto, 2= 300 nm.

2.3 Partculas elementaresComo vimos no tpico Luz, apesar de a radiao eletromagntica ser constituda de ondas,

o fton uma partcula to real quanto um eltron. Quando discutimos a propagao da luz

e sua interao com a matria, encontramos trs situaes diferentes. Em uma delas, podemos

visualizar a luz como um conjunto de partculas. Na segunda, devemos visualizar as partculas.

E na terceira, devemos pensar na radiao como uma onda.

Na primeira situao, quando o comprimento de onda muito menor do que as dimenses

dos obstculos que delimitam a propagao, visualizar a radiao como conjunto de partculas

mera convenincia. Como Huygens demonstrou h mais de trezentos anos, as leis da reflexo

e da refrao podem ser obtidas de uma anlise ondulatria apenas um pouco mais complexa

do que nossa a discusso da dinmica dos ftons em Reflexo e Refrao. Assim, no

precisaramos dos ftons para discutir a ptica geomtrica.


Leia mais sobre o experimento de Young que foi favorvel teoria ondulatria de Huygens.

J na segunda situao, o conceito de fton se torna obrigatrio. Para calcular a transferncia

de energia ou quantidade de movimento entre radiao e matria somos obrigados a visualizar

a luz como um conjunto de partculas.

Na terceira situao, o comprimento de onda comparvel com o tamanho dos obstculos

que delimitam o espao, e somos obrigados a tratar a luz como onda. O que acontece com os

ftons nessa situao? Ser que eles existem e no podemos detect-los, ou ser que eles desa-

parecem? Essas so questes filosficas que a Mecnica Quntica no responde. Assim, cada um

de ns pode escolher a resposta que lhe parecer mais atraente, sem medo de incorrer em erro.

No obstante, ainda que no saibamos o que acontece com eles nessa terceira situao, os

ftons esto longe de serem partculas anmalas. De fato, os eltrons, os prtons, os nutrons e

as demais partculas subatmicas que sero discutidas no "Tema 3: Estrutura da matria" deste

curso esto todos sujeitos mesma limitao: cada um deles est associado a um campo que, em

determinadas situaes, se comporta como onda.

Em outras palavras, a dinmica de cada uma delas descrita por uma equao anloga

equao de onda derivada por Maxwell. Os eltrons nos materiais ao nosso redor, por exemplo,

obedecem Equao de Schrdinger. A soluo dessa equao associa comprimentos de onda e

frequncias partcula. Quando o comprimento de onda muito menor do que as dimenses

do ambiente por onde o eltron transita, conveniente trat-lo como uma partcula. Se, ao

contrrio, o comprimento de onda do eltron for comparvel s distncias tpicas no espao em

que ele se movimenta, necessrio trat-lo como onda.

Somente em situaes especiais obrigatrio pensar no eltron como uma partcula. Quando,

por exemplo, uma certa carga eltrica transferida de um sistema A para outro B, independente

do primeiro, um eltron transferido de cada vez. Sabemos disso porque se interrompermos a

transferncia em um certo instante e medimos a carga transferida Q, o resultado sempre um nmero inteiro vezes a carga do eltron.

Em outras palavras, se chamarmos a carga eletrnica de -e, verificaremos que Q pode ser -e ou -2e ou -7e, mas no pode ser, por exemplo, -1.5e. Isso significa que um eltron, ou trs eltrons ou sete eltrons podem ser transferidos, mas no um eltron e meio. fcil de se

entender, e precisamente a mesma restrio que limita a transferncia de energia dos ftons.

Vemos, portanto, que os ftons so partculas to reais quanto os eltrons.

http://www.if.ufrgs.br/historia/young.html


2.4 Caractersticas dos ftonsComo se ver na disciplina Estrutura da Matria, as partculas fundamentais de um dado

tipo compartilham trs propriedades: todas elas tm a mesma carga, o mesmo spin e a mesma

massa aqui falamos da massa em repouso, porque segundo a Teoria da Relatividade a massa

depende da velocidade. Os eltrons, por exemplo, tm carga -e = 1.6 1019 C, massa de repouso me = 9,1 1031 kg e spin (1/2), onde a constante de Planck dividida por 2, isto , / 2= h . A carga, a massa e o spin do fton sero discutidos nesta seo, bem como o significado fsico das trs grandezas.

Leia Mais sobre a Teoria da Relatividade.

2.4.1 Carga

Uma vez que composto de campos eletromagnticos, o fton desprovido de carga. Se

no fosse assim, dois raios de luz interagiriam ao passar um pelo outro, como acontece com

dois feixes de eltrons bem como com as espadas de luz na srie cinematogrfica Guerra nas

Estrelas. Na vida real, os feixes luminosos no interagem, e isso basta para comprovar que a

carga eltrica do fton nula.

2.4.2 Velocidade

No vcuo, os ftons se deslocam com velocidade da luz. Esta no uma velocidade qualquer.

Ela desempenha papel principal na Teoria Especial da Relatividade (nome frequentemente

abreviado para Teoria da Relatividade), que foi proposta por Albert Einstein (1879-1955) em

1905 para descrever partculas que se movem com velocidades prximas da velocidade da luz.

Na Teoria da Relatividade, c uma constante fsica fundamental, uma propriedade do espao. Ela a maior velocidade a que uma partcula pode ser acelerada e a maior velocidade com que

uma onda pode propagar-se. Assim, nada pode ser enviado de um ponto A no espao para outro

ponto B mais rpido do que a luz.

http://mundoestranho.abril.com.br/materia/o-que-e-a-teoria-da-relatividade


Figura 2.3: Velocidade relativa. O automvel A corre de So Paulo para Campinas a 120 km/h. O automvel B corre com a mesma velocidade no sentido oposto. O motorista de A v o motorista de B com a velocidade de 240 km/h / Fonte: USPSC.

Na dcadas de 60 e 70, quando astronautas foram Lua, a comunicao entre eles e a base

na Terra sofria atraso de mais de dois segundos, porque as ondas de rdio levam mais de um

segundo para cobrir a distncia, em torno de 380 mil quilmetros, entre nosso planeta e seu

satlite. Se a comunicao fosse com um ser nas vizinhanas da estrela mais prxima do Sol, que

est a mais de 4 anos-luz de ns (um ano-luz a distncia que a luz percorre em um ano, igual a

3,8 1013 km), o atraso seria superior a 8 anos. Nenhum avano tecnolgico conseguir elimi-nar esse retardo, porque os ftons no podem deslocar-se com velocidade superior a c.

Pode parecer estranho que a velocidade, que depende do sistema de referncias, no possa

passar de c. Para pr essa questo em perspectiva, consideremos um exemplo do quotidiano. Na Rodovia dos Bandeirantes, entre So Paulo e Campinas, a velocidade mxima permitida

de 120 km/h. No obstante, sem nenhuma violao da lei, podemos ver veculos trafegando a

240 km/h: para isso basta estar num automvel que viaja no sentido So Paulo-Campinas a 120

km/h e observar outro automvel que corre no sentido oposto, tambm a 120 km/h. Como

os dois veculos correm em sentidos opostos, a velocidade de um em relao ao outro a soma

das velocidades 240 km/h.

Por analogia, pode parecer evidente que, se um fton cruzar com o outro que corre pelo

espao no sentido oposto, a velocidade de um em relao ao outro ser 2c. luz desse racioc-nio, o conceito de velocidade limite parece mal definido.

http://www.saocarlos.usp.br/


O raciocnio, porm, incorreto. Ele pressupe que as regras para calcular velocidades

relativas no dia-a-dia valem tambm para velocidades da ordem de c. Na verdade, a Teoria da Relatividade toma como princpio que, se um corpo se move com a velocidade da luz em

relao a um sistema de referncia, ele se mover com a mesma velocidade em relao a todos

os sistemas de referncia.

Assim, como indicado na Figura 2.4, cada fton v todos os demais ftons com velocidade

c. Para isso, evidentemente, necessrio que a regra para adio de velocidades na Teoria da Relatividade seja diferente da que foi empregada por Newton. De fato, a expresso relativstica

somente se reduz newtoniana quando pelo menos uma das velocidades muito menor do

que a velocidade da luz. Quando se trata de ftons ou partculas com velocidade comparvel

com c, a regra outra. Por exemplo, no caso de duas partculas 1 e 2 que andam na mesma di-reo, mas em sentidos opostos, como na Figura 2.3, a expresso relativstica para a velocidade

da segunda em relao primeira

2.131 2

211 2

21

+=

+c

v vv v v

onde v1 e v

2 so as velocidades das duas partculas em relao a uma pessoa parada no labora-

trio, enquanto v21

a velocidade da partcula 2 em relao a uma pessoa que se move junto

com a partcula 1.

Quando as velocidades v1 e v

2 so muito menores do que c, o denominador direita na

Equao 2.13 praticamente igual unidade, e a velocidade relativa simplesmente a soma

das duas velocidades, v21

= v1 + v

2, como acontece na Figura 2.3.

Se, por outro lado, pelo menos uma das duas velocidades for prxima da velocidade da

luz, o denominador se tornar significativamente maior do que a unidade. Isso acontece, em

particular, quando uma das partculas anda com a velocidade da luz em relao ao observador

no laboratrio. Seja, por exemplo, v2= c. A Equao 2.13 pode ento ser simplificada:

( )121 21

.1

+= =

+

c c

c

vv vv 2.14


Basta agora efetuar a soma no denominador para verificar que

( )21 2 .= =c cv v 2.15

Isso mostra que, se a partcula 2 avanar com velocidade c em relao ao sistema de referncias no laboratrio, ela avanar com a mesma velocidade em relao a qualquer outro sistema de referncias.

No exceo o caso v1= v

2= c, em que as duas partculas andam com a velocidade da

luz. Assim, a velocidade relativa entre os ftons A e C na Figura 2.4 c. E mesmo quando as duas partculas caminham no mesmo sentido, como A e B na Figura 2.4, dois ftons que

avanam com exatamente a mesma velocidade, a velocidade relativa c. Como indicado por esses exemplos, a velocidade da luz no vcuo independe do referencial.

2.4.3 Massa

Diz a Teoria da Relatividade que

a massa cresce indefinidamente

medida em que a velocidade da par-

tcula se aproxima de c. Uma vez que corre com a velocidade da luz, o fton

no pode ter .

Ainda segundo a Teoria da

Relatividade, a energia E de uma partcula com massa de repouso m

0 est relacionada com sua quantidade de movimento p pela

relao geomtrica indicada na Figura 2.5. Como a massa de repouso dos ftons nula, a

hipotenusa do tringulo mostrado na ilustrao sempre coincide com o cateto vertical. Assim,

para os ftons,

2.16. = pc

Como explicado no tpico Luz, Compton empregou essa igualdade para identificar a

quantidade de movimento dos ftons.

Figura 2.4: Velocidades relativas de ftons. Tanto em relao a um observador parado no laboratrio quanto em relao ao fton A, os mdulos das velocida-des dos ftons B e C so iguais a c / Fonte: USPSC.



Figura 2.5: Relao relativstica entre a energia e a quantidade de movimento de uma partcula com massa de repouso m0. Quando a partcula est em repouso, p = 0, e a hipotenusa coincide com o cateto horizontal, isto , E = m0c2 . Quando, ao contrrio, p muito grande, a hipotenusa se aproxima do cateto vertical e E pc. No caso dos ftons, m0= 0 e a hipotenusa sempre coincide com o cateto vertical / Fonte: USPSC.

O fton no a nica partcula sem massa. No interior dos prtons e nutrons, existem

outras partculas, chamadas glons, responsveis pela coeso das partculas elementares pesadas,

que tambm so desprovidas de massa. Entre as partculas que preenchem o meio em que

vivemos, porm, o fton a nica com massa nula.

2.4.4 Spin

O spin uma propriedade especial das partculas elementares, uma propriedade sem corres-

pondente no mundo macroscpico. Ele tem dimenso de energia vezes tempo e portanto pode

ser expresso em unidades de h. Pode mostrar-se que ele sempre um mltiplo inteiro de h/ e, por isso, costumeiro express-lo em unidades de / 2= h .

Assim, escreve-se que o spin de uma partcula = S s , onde s um inteiro (s = 0, 1, . . .) ou um semi-inteiro (s = 1/2, 3/2, . . .). No primeiro caso, dizemos que a partcula elementar um bson; no segundo, que a partcula um frmion. O eltron, que tem s = 1/2, um frmion. J o fton um bson, porque seu spin dado por s = 1.

O valor unitrio provm dos campos que constituem a radiao e est associado s duas

polarizaes que a luz pode ter, discutidas no tpico Luz. Infelizmente, teremos de esperar

para explorar esse assunto com mais profundidade, porque ainda no temos a necessria fami-

liaridade com a teoria do eletromagnetismo.



Exerccio ResolvidoAlice e Bob esto em foguetes separados, movendo-se na mesma direo e em sentidos opostos. Bob

move-se a 90% da velocidade da luz com relao Alice. Ela, por sua vez, move-se a 50% da velo-

cidade da luz com relao ao laboratrio. Qual a velocidade de Bob com relao ao laboratrio?

Resoluo: importante sabermos identificar cada uma das velocidades. Neste exemplo, Bob representa a

partcula 2 e Alice a partcula 1. Assim, temos:

v21= 0,9c (velocidade de Bob com relao a Alice)

v1=0,5c (velocidade de Alice com relao ao laboratrio)

v2=? (velocidade de Bob com relao ao laboratrio)

Substituindo os valores na lei relativstica de adio de velocidades,

1 2 221 2

1 222

0,5 0,400,9 0,730,5 0,5511

+ += = =

++

cc c c

cc

v v vv vv v v

Portanto, Bob move-se com aproximadamente 73% da velocidade da luz com relao ao laboratrio.

2.5 Outros aspectosDado o papel que a luz tem em nossas vidas, no ser surpresa saber que o fton participa de

um nmero grande de processos fsicos importantes. Esta seo apresenta trs exemplos.

2.5.1 Trajetria

Em meios uniformes, a luz se propaga em linha reta. Em viagens astronmicas, porm, a

trajetria pode ser curva. Esse efeito foi previsto pela Teoria Geral da Relatividade de Einstein

(1879-1955), que trata da ao da gravidade sobre corpos que se movem com velocidades pr-

ximas da velocidade da luz. A curvatura na trajetria de um fton foi observada pela primeira

vez em uma medida feita em Sobral, no Cear, em 1919.


Segundo Einstein, uma massa, como a do Sol, deforma o espao ao seu redor, de forma que

o caminho mais curto entre dois pontos no ser mais uma reta. Como a luz sempre segue o

caminho mais curto, a trajetria dos ftons deixa de ser retilnea.

Para explicar como foi feita a experincia que comprovou essa previso, a Figura 2.6

mostra um raio de luz proveniente de uma estrela, o qual passa perto do crculo ocupado pelo

Sol no cu. Segundo a Teoria Geral da Relatividade, a trajetria desse raio ser afetada pelo

campo gravitacional solar e a estrela parecer deslocada no cu em relao s demais estrelas,

porque a luz provinda destas no passa perto do Sol e no , portanto, desviada. Assim, em tese,

basta fotografar a regio do cu que fica em torno do Sol para comprovar o desvio.

Figura 2.6: Desvio da trajetria de um raio de luz estelar pelo Sol. Como os raios provindos da estrela passam perto do Sol antes de chegar Terra, o campo gravitacional do Sol deforma sua trajetria, fazendo com que a estrela parea deslocada no cu, em relao s demais estrelas / Fonte: USPSC.

Na prtica, evidentemente muito difcil fazer a experincia, porque o sol ofusca. Por isso,

ela s pode ser realizada durante um eclipse solar em que a Lua cubra totalmente o crculo do

Sol e permita ver estrelas durante o dia um eclipse total do Sol. A regio em torno do Sol

tem de ser fotografada nos poucos minutos que dura o eclipse, as condies meteorolgicas tm

de ser favorveis e a fotografia tem de ser tirada no local em que ocorre o eclipse total, no nos

lugares que seriam conveniente para os cientistas interessados. Algumas tentativas foram feitas

antes de 1919, mas acabaram prejudicadas pelo mau tempo, pela dificuldade de comunicao e

pela Primeira Guerra Mundial. Finalmente, em 29 de maio de 1919, o astrnomo ingls Arthur

S. Eddington (1882-1944) conseguiu realizar a medida na cidade cearense.

Hoje, graas ao desenvolvimento dos instrumentos astronmicos, o desvio gravitacional

pode ser medido de outra forma. Com auxlio de tais instrumentos, observam-se galxias que

se encontram a bilhes de anos-luz de ns. Observam-se tambm outras fontes de radiao,



to fortes que a sua luz chega at ns com bastante intensidade, embora elas estejam ainda mais

longe. Quando uma dessas fontes se encontra atrs de uma galxia, pode parecer impossvel

v-la, j que qualquer fton proveniente dela e dirigido diretamente em direo ao nosso

telescpio no consegue atravessar o disco galctico.

Figura 2.7: Lente gravitacional. As trajetrias dos ftons provindos de um objeto luminoso muito distante podem ser to fortemente distorcidas pelo campo gravitacional de uma galxia que, ao chegar Terra, as partculas parecem ter partido de vrios objetos distintos / Fonte: USPSC.

Como mostra a Figura 2.7, no entanto, a trajetria dos ftons que passam perto dos limites

da galxia fortemente deformada pelo seu campo gravitacional. Parte deles desviada em

direo Terra e podem ser observada daqui. Como vrias trajetrias so desviadas por diferentes

regies na periferia galctica, o observador na Terra recebe vrias imagens da mesma fonte de luz.

Exerccio Resolvido

Para obter uma aproximao grosseira para o desvio que um fton sofre ao passar perto da Terra, siga

o seguinte procedimento. Considere um fton com comprimento de onda = 500 nm. Defina uma massa fictcia para o fton pela relao E = mc2. Nessa concepo, a fora gravitacional entre a Terra e o fton o peso da partcula, P = mg, onde g a acelerao da gravidade. Suponha, pois, que o fton se move inicialmente na direo horizontal da figura abaixo e fica sujeito fora P durante o tempo em que percorre a distncia 2RT = 1,3 107 m, onde RT o raio da Terra. Determine o tempo Dt em que ele fica sujeito fora e encontre a variao de sua quantidade de movimento por meio da expresso p P tD = D

. Qual o ngulo de desvio a?



Resoluo: Primeiro, identificamos as grandezas que foram dadas e aquelas que vamos precisar calcular.

2

500 nm ? ?

?

tmc p

P mg

= D = = D == a =

72 1,3 10 mR =

O tempo que a luz percorre o dimetro da Terra vale

7

8

2 1,3 103 10

Rc t

t = D =

D

0,043 st D

Para encontrarmos a quantidade de movimento, teremos que escrever a massa fictcia m em termos das grandezas conhecidas. Para isso, usamos as relaes a seguir.

22mc m hc

= = =

cc = =

hc =

2

1 1 h hm mc cc

= = =


Substituindo m em Dp, temos:

34

8 9

6,63 10 10 0,0433 10 500 10

hp mg t g tc

-

-

D = D = D =

36 21,9 10 kg m /sp -D

Esse sistema fsico pode ser descrito pela seguinte figura geomtrica (fora de escala):

(Figura fora de escala)

2RT

y

A partir das equaes conhecidas do Movimento Uniformemente Variado (MUV) e usando a apro-

ximao de ngulos pequenos, encontramos o desvio sofrido pelo fton.

21 tan2 2

yMUV y g tR

D D = D a =

( )2 2

7

10,5 10 0,04321 tan

2 1,3 10

g t

R

D a a a = =

10 7,1 10 rad- a

2.5.2 Mediao da fora eltrica

Sabemos que a interao entre a radiao eletromagntica e a matria feita por meio da

emisso ou absoro de ftons. Podemos agora ir um passo adiante e considerar dois eventos

consecutivos, como os mostrados na Figura 2.8. No primeiro, um eltron A emite um fton de frequncia h e quantidade de movimento q (cujo mdulo q = h/, onde o compri-mento de onda do fton emitido).


(a) (b)

Figura 2.8: Interao entre dois eltrons mediada por um fton. (a) O eltron A cria um fton com energia h e quantidade de movimen-to h/. A sua energia portanto reduzida de A para A-h, enquanto sua quantidade de movimento varia de pA para pA-q. (b) Um eltron B recebe o fton criado por A. Com isso, a sua energia cresce de B para B+h, enquanto sua quantidade de movimento varia de pB para pB+q / Fonte: USPSC.

No segundo evento, outro eltron B recebe o fton emitido pelo primeiro. O resultado lquido dos dois eventos o primeiro eltron perder energia h e quantidade de movimento q, enquanto o segundo recebe a mesma energia e a mesma quantidade de movimento.

O efeito lquido , precisamente, o previsto pela Mecnica de Newton, segundo a qual o

primeiro eltron exerce fora sobre o segundo. De acordo com Newton, a fora exerce trabalho e

altera a quantidade de movimento dos dois eltrons. Como a energia e a quantidade de movimen-

to tm de ser conservadas, o que o primeiro eltron perde deve ser igual ao que o segundo ganha.

Na imagem da Figura 2.8, porm, a fora cede lugar ao fton. Na Mecnica Quntica,

alm de simplesmente transportar a radiao eletromagntica, o fton intermedeia a interao

eletromagntica entre eltrons e, de forma mais geral, entre uma partcula carregada e outra.

Por extenso desse raciocnio, imaginamos todas as interaes fundamentais como resultante

da troca de partculas elementares. H sempre um agente mediador da interao o fton, no

caso do eletromagnetismo. Os agentes mediadores so partculas elementares. Assim, as partcu-

las que interagem entre si nunca se tocam. A ao ocorre distncia. s partculas que fazem

essa intermediao damos o nome de bsons intermedirios.

2.5.3 Ondas e partculas

Para concluir este tpico, precisamos discutir a situao prtica que nos obriga a visualizar a

radiao eletromagntica como constituda de ondas e de partculas, ao mesmo tempo. Como

j foi explicado, isso obrigatrio quando (i) o espao se divide em regies com dimenses

comparveis com o comprimento de onda da radiao e (ii) a luz interage com a matria.



Ainda que as duas vises possam parecer inconciliveis, na prtica relativamente fcil

combin-las. O procedimento se divide em duas etapas. Na primeira, tratamos a propagao da

luz como onda. Isso feito, passamos a conhecer o mdulo do campo eletromagntico em todos

os pontos do espao, em todos os instantes.

Como ilustrao, a Figura 2.9 mostra a experincia de Young, j discutida no tpico Luz.

A soluo das equaes de Maxwell em todo o espao determina o campo eletromagntico

representado na figura por frentes de onda. Na regio do anteparo D, direita, a interferncia, ora construtiva, ora destrutiva, entre as frentes provenientes das fendas B e C d origem ao perfil de mximos e mnimos representado pela curva sombreada.

(a) (b)

Para descrever a interao da radiao com a matria, passamos em seguida para a segunda

etapa do procedimento. Para entender o que acontece em um ponto P onde h interao, con-sideramos um pequeno volume V do espao em torno de P. Como j calculamos, na primeira etapa, o campo eletromagntico em todo o espao, conhecemos o campo no pequeno volume

e podemos facilmente calcular a energia DE contida em V.A partir da relao de Planck, DE=nh, onde a frequncia do laser, podemos ento

determinar o nmero de ftons contido no volume V, e a direo de propagao da radiao indica a direo em que eles se movem. Temos com isso todos os elementos de que precisamos

para calcular os efeitos da radiao sobre o anteparo: basta calcular o efeito sobre o material de

um fluxo de ftons com energia, quantidade de movimento e velocidade conhecidas.

Figura 2.9: Arranjo que exige combinao dos conceitos de onda e de partcula. (a) Ao passar pela fenda no topo, cujo dimetro da ordem do comprimento de onda , a luz do laser se espalha em todas as direes a sua frente. Aps passar pelas duas fendas logo abaixo, igualmente estreitas, ela avana em duas frentes, e passa a haver interferncia. O trao horizontal mostra um anteparo translcido que recebe a radiao luminosa. O padro dourado, na parte de baixo da ilustrao, mostra a intensidade de luz como seria vista por uma pessoa que estivesse posicionada abaixo do anteparo. A interferncia construtiva nas regies claras, e destrutiva nas escuras. (b) Para descrever a interao da luz com a matria no anteparo, preciso visualizar a radiao incidente sobre ele como um fluxo de ftons. Nas regies onde a interferncia construtiva, o fluxo intenso; onde ela destrutiva, o fluxo tnue / Fonte: USPSC.



Exerccio Resolvido

Em um quarto de 24 m2 h radiao eletromagntica oscilando 1 bilho de vezes por segundo. Saben-

do que a energia total dessa radiao de 1 eV, calcule a densidade de ftons no interior do quarto.

Resoluo: A densidade de radiao dada pelo nmero de ftons dividido pelo volume do quarto (24 m2). O

nmero de ftons pode ser obtido a partir da relao de Planck,

nhvD = ,

onde v a frequncia da radiao que, neste caso, vale 109 Hz. A constante de Planck vale346,63 10 J sh -= ,

lembrando que 191 1,6 10 JeV -= .

Substituindo os valores, temos

195

34 9

1,6 10 2,4 10 ftons6,63 10 10

-

-

D = =

n

hv.

A densidade da radiao no interior do quarto vale

52

2

2,4 10 ftons 10.0000 ftons/m24 m

= =ndV

.

Agora a sua vez...Acesse o ambiente virtual e realize as atividades.

Concluses do tpicoComo se v, embora a luz possa comportar-se como onda ou como partcula, a dua-

lidade no , de forma alguma, um fenmeno misterioso. As condies em que prevalece

cada um dos comportamentos so matematicamente definidas e, a partir delas, pode se

prever a propagao e os efeitos da radiao eletromagntica em qualquer situao de

interesse prtico, com a preciso desejada.

2.1 Introduo2.2 Propagao2.2.1 Leis de conservao2.2.2 Reflexo2.2.3 Refrao

2.3 Partculas elementares2.4 Caractersticas dos ftons2.4.1Carga2.4.2 Velocidade2.4.3Massa2.4.4 Spin

2.5 Outros aspectos2.5.1 Trajetria2.5.2 Mediao da fora eltrica2.5.3 Ondas e partculas

SumPagimpar: Page 2: OffPage 4: Page 6: Page 8: Page 10: Page 12: Page 14: Page 16: Page 18: Page 20: Page 22:

Apresentao 7: SumPagPar: Page 3: OffPage 5: Page 7: Page 9: Page 11: Page 13: Page 15: Page 17: Page 19: Page 21: Page 23:

MassaRepouso_bt: MassaRepouso_cx: MassaRepouso_x: Apresentao:

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