Matemática

Aula 12 – Trigonometria

Parte 1

Relações no Triângulo Retângulo

Dado o triângulo retângulo ABC

sen (α )= catetoopostohipotenusa

=BCAB

cos (α )= cateto adjacentehipotenusa

= ACAB

tg (α )= sen (α )cos (α )

= cateto opostocatetoadjacente

= BCAC

Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis são:

Estas 3 relações permitem que com dois dados possamos obter um terceiro. Exemplo:

Desejamos calcular o valor de x. A relação a ser aplicada é a tangente, portanto

tg30 °= x10→ √33

= x10→x=10√3

3

O radiano

Já vimos que podemos medir ângulos e arcos em graus. Outra unidade de medida de ângulos e arcos é o radiano, cujo comprimento é igual ao de um raio da circunferência.

Uma circunferência possui 2π radianos

1circunferência :360 °=2 πrad

Dividindo os dois lados por 2 obtermos a relação de transformação de graus em radiano

180 °=2π

Os ângulos notáveis, expressos em radianos, são

Círculo trigonométrico

É uma circunferência orientada de raio unitário cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano. Deste modo, o plano fica dividido em 4 quadrantes.

Qualquer arco AM da circunferência ou os ângulos centrais tem sempre origem em A e são positivos no sentido anti-horário.

A partir do círculo trigonométrico podemos perceber que há uma simetria entre ângulos dos 4 quadrantes

Seno, cosseno e tangente de um arco trigonométrico

Para determinarmos o seno, cosseno e tangente de um arco x no circulo trigonométrico é necessário conhecer os seguintes eixos:

O eixo dos senos é o eixo vertical que passa pelo centro O.

O eixo dos cossenos é o eixo horizontal que passa pelo centro O.

O eixo das tangentes também é vertical, porém passa pelo ponto A da circunferência, ou seja, é tangente à circunferência no ponto A.

Os sinais do seno, cosseno e tangente de arcos nos 4 quadrantes estão ligados a critérios de positividade

A partir da simetria entre ângulos dos 4 quadrantes e dos critérios de positividades podemos obter os valores se seno, cosseno e tangente de um ângulo em qualquer quadrante de acordo com o seu valor simétrico no primeiro quadrante.

Vamos fazer um exemplo:

Relação fundamental da trigonometria

A partir do círculo trigonométrico obtemos o que é chamado de relação fundamental da trigonometria

sen2 ( x )+cos2 ( x )=1

Demonstração: