AULAS 29 e 30 Prof. Rodrigo Fonseca

Lei dos Senos

Em um mesmo triângulo, a razão entre o lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é constante

ex:

h

45° 60°

8 x

sen60

8

sen45

x

x

hsen60

8.sen45x.sen60

8

hsen45 sen45h .8

x.sen60h

3

68x

2

3

2

2

8x

Lei dos Senos

Em um mesmo triângulo, a razão entre o lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita nesse triângulo

C B a

b

β

A’

c

γ

α

2R

α

A

2R

asenα

2Rsenγ

c

senβ

b

senα

a

2Rsenα

a

Lei dos Senos

C B 135°

A

R2 sen

c

sen

b

sen

a

02

C B a

b

β

c

γ

α

A

R

R = 6 cm

cm26a

R2sen135

a 12.sen135a

2

2

Em um mesmo triângulo, a razão entre o lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita nesse triângulo

a

Lei dos Cossenos

“Teorema de Pitágoras” para um triângulo qualquer: obtusângulo, acutângulo ou retângulo

ex:

h

C A m

x

B

c

α b-m

b

m²h²c²

2bc.cos-c²b²x²

m²h²c²

m)²-(bh²x²

c.cosαm c

mcosα

m²2bm-b²h²x²

2bm-c²b²x²

Note que:

α = 90° ⇒ cosα = 0 ⇒ x² = b² + c²

Lei dos Cossenos

“Teorema de Pitágoras” para um triângulo qualquer: obtusângulo, acutângulo ou retângulo

=

01

x

30°

A

B

4

C 34

03212x-x²

).x.cos(3032.4-x²)²3(44²

2

3.x.38-x²4816

x= 8

x= 4

30°

A’’

C

A’

B 34

4

4

4

4

60°

30°

Triângulo isósceles obtusângulo Triângulo escaleno retângulo

06

30°

A

O

1

B

α

B

A

0

2

1

30°

2.senαx

Lei dos Senos

30sen

1

sen

x

0 < x ≤ 2

-1 ≤ senα ≤ 1

-2 ≤ 2.senα ≤ 2

x

Note que:

x = 2 ⇒ senα = 1 ⇒ α = 90°

05